CURSOSUPERIOR I I ADVER TENCIA EstetratadodeGeometracompletaloscursoselementalyme dio,yapublicadosparalaprimeraenseanza. Amsdenumerososejerciciosyproblemasprcticoscontiene estelibroNocionesdeAgrimensura,LevantamientodePlanosyNi-velacin,que56ncomoaplicacindelosprincipiosexpuestosenl. Lasdefinicionesyteorasqueencierraestnenuntodocon-formesconlasdenuestroCursodeGeometraparalaSegundaEnse-anza,demodoquelosalumnosquepasarendeunoaotrocurso,no severnprecisadosaestudiarotrasdefiniciones,quesibienidnticas encuantoalfondo,noporesodejarandecrearlesamenudoserias dificultades. Sehaprocuradoexponerestoselementosdelacienciageometflc3, conlamayorsencillezyclaridadposible,parafac ilitardeestemodo suestudioygeneralizarmssusaplicacionesprcticas. INTRODUCCION PRELIMINARES l.- ObjetodelaGeometra. I 'Ul eslacienciadelaextensin. objetoesestudiarlaspropiedades,formasydimensionesde lasfigurasg:omtrifQs. Figura esunaextensindeterminadaporpuntos, n((/soSup(1'/icies. m La(xlensi6nconsideradaenlosobjetosmateriales,eslapor-cin-queocupandelespacioabsolutoysinlmitesenquesehallan colocadostodosloscuerpos. ueicuerpo,porpequeoquesea,esextensoentodossentidos; sinembargolaextensinseconsideranicamenteentressentidos principales,llamadosdimenones,quesedesignanconlosnombres de-longitudolargo,latitudoanchoyalturaqueavecessellama grueso,espesoroprofundidad. Enelvolumen,laextensinestconsideradaenlastressiones.Lassuperficiesslotienenlongitudylatitud,laslneasslo longitud,yelpuntomatemticonotieneextensin. mElvolumendeuncuerpoestlimitadoporsuperficies.Un sillar,porejemplo,estlimitadoporsuscaras. Unaporcindesuperficieestlimitadaporunalnea.Porejem. pIo,lasaristasdelmismosillar. Unaporcindelneaestlimitada.pordospuntos,v.gr.:los vrticesdeesesillar. Cuandodossuperficies 1 secortan,suinterseccines ylainterseccinqedoslneas ro(fig.1). unalnea, esunmSepuedeconsiderarunalneaca- porunpuntoquese mueve;unasuperficie,por'unalnea;y unslido,porunasuperficie. m Medirunafiguraescompararla conlaunidaddemedida.Porlotanto, laslongitudes,lasreasylosvolmenes sedeterminarnporsurelacinconla unidaddelaespeciecorrespondiente. l ' 8GEOMETRIA n.- Llea. r6""1Lalneams , sencillaeslarecta. D; hilobientirantenosdaideadelalnearecta(Hg.2). fi. 2 Larectaesilimitada,esdecirqueseconsideraprolongadai n ~ definidamente. 'Sesueledesignarunarectaporme-diodedosletrasqueindicansudirec-cin.Assedir:larectaMN' (fig. 3). {1JLlmasesegmentoderecta,omssencillamenterecta,ala porcinderectaindefinidacompren,di-daentredospuntosdeterminados. FiJ .. Paradesignarunsegmentoderectase leenlasletrasdesusextremos;v.gr.: larectaAB(fig.4). , Larectaeslamenordistanciaentredospuntos;porlotantola rectaesmenorquecualquierotraHneaquetengalosmismosextre-mos.LarectaAB,porejemplo(Hg.5),esmenorquelalnea ACDEB. m Llmaselineaquebradaopoligonalalacompuestadevarios j' / Fi.6 segmentosderectasunidosdedosendosporunodesusextFemos, sinquedosconsecutivostenganlamismadireccin. Porejemplo,lalneaABCDE(fig.6). [2J U n ~ acurvaesaquellaqueni esrecta,niestformadaderectas. Pi. 7 Porejemplo,lalneaEFGH(fig.7). FiJ;.8 UnhiloaflojadorepresentaunaHneacurva(fig.8). fi.. 9 Sellaman INTRODUCCION 9 Lneamixtaeslacompuesta departesrectasypartescurvas.Tales lalneaABCD(fig.9). convexasalaslneasquebradasocurvascuando Fig.la rC":'\C.. " unarectanopuedecortarlasen -msdedospuntos(fig.10) . III.- Superficie. [!b] P.lanoostlPerficieplanaeslasuperficieconlacualcoinci-deentodasuextensinunarectaaplicadaadoscualesquierade sus- puntos. FiS_11 Porejemplo,lasuperfi:iedelaguare-posadaencortaextenSlOn.ladeuna pizarra(fig.11 ). (ll] SuperficiepolidrioaOqueb1'ada eslacompuestadeplanosconsecutivos queterminanensusmutuasinterseccio-nes. Porejemplo,lasuperficietotaldeun cubo. [H] Superficiecurvaeslaqueenningunadesuspartesespla-na,comoporejemploladeunaesfera. IV.- Divisindelageometra. LaGeometrfasedivideenGeometraplanaymetdadelespacio. LaGeometrfaplanaestudialaspropiedadesdelasfigurasplanas, estoes,deaquellascuyoselementosestnenunmismoplano. '. LoscuatroprimeroslibrosdeestaobratratandelaGeometra plana. LaGeometradelespacioestudialaspropiedacksdelasfiguras cuyoselementosnoestnenunmismoplano. Los"'cuatroltimoslibrosdeestaobratratandelaGeometradel espacio. V.- Definicionesdealgunostrminosempleadosengeometra. 00 Lasfigurasgeomtricasson: Iguales,cuandosuperpuestas,coincidenentodasuextensin; Equivalentes,cuandotienenlamismaextensinsin ' tenerlaroaforma; Semejantes,cuandotienenlamismaformasintenerlamisma extensin. 10GEOMJ::TRIA 111.'Axiomaestodaverdadevidenteporsmisma. Porejemplo: Ellodo~ sigualalasumadesusparus; Lapar/eesmenorquedtodo; Doscanridadesigualesaunaterarosonigualt:sentres . .I1!J.TeoremaesunaverdadqU{necesitaserdemostrada. Porejemplo:lasumadelostingulosdermtricnguloesiguala dosngulosrcctos. IT9.lProblemaesunacuestinquetieneporobjetobuscarcan ti dades-cJesconocidas.\'alindoseparadiodeotrasconocidas. Ejemplo:hacerpasarunacircunferenciaportrespuntosqueno estinenlnearecta. 120.1L1maseproposici6nalenunciadodeunaxiomaodeun teorema. Hiptesis,eslasuposicindeunacosaposibleoimposible,para deducirdeellaalgunaconsecuencia, mJCoro/arioeslaconsecuenciaquesededucedeunademos-tracin. Escolioesunaobservacinacercadeunaproposicinyarlemos-trada. 122.1Lemaes~ n aproposicinquesirveparafacilitarlademos-tracindeunteor:'!ma. lJElenunciadodeunaproposicinconstadedospartes:la hiptesisosupuesto,queesJoquesesuponecierto,ylaconclusin oconsecuenciaqueresultadelsupuesto. Enelsiguienteenunciado:Todopuntodelabisectrizde.unn-guloequidistadelosladosdeestengulo,lahiptesises :todopunto delabisectrizdeunngulo,ylaconclusin:equidistadeloslados deestedngulo. IHJDosproposicioness o ~recprocascuandolasegundatiene porhi ptesislaconcl usindelaprimera,yporconclusinlahipte-sisdelamisma. Larecprocadelejemploanteriorser:todopuntoequidistante delosladosdeunngulopertenecealabisectrizdedichongulo. Hayproposicionescuyasrecprocassonfalsas.Laproposicin: todoslosngulos"utossoniguales,tieneporrecproca:todoslos tt ngulosigualessonrectos.Laproposicinescierta,perofalsasu recproca . GEOMETRIAPLANA LIBROI LINEASRECTAS,ANGULOS yPOLIGONOS CAPITULO 1.- Angulos. Definiciones [1DAngulaesunafiguraplanaqueformandosrectasquese corta"oyterminanensupuntodein-terseccin.EsasrectasSellaman ' ladosdd nguloyelpumoenquesecortan, t fil' n ngulosedesignaconlasola letradelvrtice,ocontresletrascolo-cadasunaencadalado,yotraenelvr-tice.Alleerseponesiempreenmedio laletradelvrtice. Aselngulodelafig.12seleer nguloAonguloBACI. Avecessedesignaunnguloconuna lerraminscula jporejemploelngu-lom(fig.13). illJ Dosngulossonigualescuandosuperpuestos,coincidensus

@:.JLamagnitudovalordeunnguloslodependedelama-

.FJ,. I" ---_...........;:,.. yoromenoraberturadesuslados,yno/ delalongituddestos,yaque. siempre selossuponeindefinidos.As,elngulo O queelnguloE(fig.14). l12:JAngulas sonlosque tienenelmismovrciceyunlado"::0 mn;porejemplo,losngulosmyn

Ll!!:JUnarectaesa ot racuandoformaconelladosngulos adyacentesiguales,yoblicuacuandodi chosngulossondesiguales. Fig.15 AslarectaABesperpendiculara eDenlafig.16,Y oblicuaenlafig17. rmAngulorectoesaquelcuyosladossonperpendicularesen ttes. 1Aligualquealgunosau toresmodernos,pa.ra.abreviarlae"$crltura.de pa.labrangulo,abrazaremoslas......letrasquesetlalanesafi guraconel a.gno ...............que.seleengulo. seleer :nguloA,nguloBAO. r 12GEOMETRIA LIBRO1 , Fos:. 16 r'I.17 Losngulosm,n(fig.16)sonrectos. 132.1Unnguloesagudocuandoesmenorqueunngulorecto, yobtusoenelcasocontrario. Porejemplo,enlafig.17elngulonesagudo,yobtusoeln gulam. 133.1Angulascomplementariossonaquelloscuyasumaesiguala unrectoysuplementariosaquelloscuyasumaesigualadosrectos. Enlafig19losngulosHAnyBAB'soncomplementarios,y suplementarioslosngulosBAeyBAO. Complementodeunnguloesloquelefaltaparavalerunn-gulorecto. Suplementodeunnguloesloquelefaltaparavalerdosngu-losrectos. 134.1Axioma.DoslinguJosigualestienencomplementosysuple-mentosiguales. Recprocamente,dosngulosquetient:ncomplementososuple-mentosigualessonigua1es. ~ / i"" 135.1Dosngulossonopuestosporel vrticecuandolosladosdelunosnlas prolongacionesdelosladosdelotro; v.g.:losngulosm,n(Iig.18). 136.1Bisectrizdeunnguloeslarecta que,pasandoporsuvrtice,divideal nguloendospartesiguales. Teorema ~Porunpuntotomadoenunarectasepuedelevantaruna perpendicularaestarecta,ysiouna. Seae!puntoAtomadoenlarectaeD. II?PorelpuntoAsepuedelevanta,.unaperpendicularaCD. Fi,.19 Enefecto,tracemosunaoblicuacual-quieraAByhagmoslagiraralrededor de!puntoA.Elngulon,menorque elngulom,aumentaconstantemente, entantoqueelnguloadyacentemdis-minuyeenloquee!otroaumenta. ClaroestquelarectaASi l e ~ a r a tenerunaposicinenquelosnzulos rnynseaniguales,entoncesAB'ser perpendicularaCD(NO30). CAP.l.- ANGULOS13 2mayorque. AC + CA'. Pero,acabamosdedemostrarqueAC ==A'C,AD ==A'D; luego2AD> 2AC yporlotantoAD> AC Luego,sidesdeunpunto . . . ltecproco.19Ladistancia...menordesdeunpuntoatinarec-taeslaperpendicularbaiadadesdedichopuntoala'uta. 29Sidosoblicuas,trazadasdesdeunmismopunto,soniguales, suspiesequidistandeldelaperpendicula,.. 3''Sidosoblicuas,trazadasdesdeunmismopunlo,sondesi-guales,elpiedelamayordistamdsdelpiedelaperpendicular. SeanlasoblicuasdesigualesAD,AE(fig.29).Porhiptesiste-nemosAD> AE;probemosqueBD> BE. DesuponerAD==BE,resultaraAD ==AE(NI.'46,211),loque estencontradiccinconelsupuesto. SuponiendoRD< BE,resultaraAl) < AE(N"46,3"),loque tambinestenpugnacon .eIsupuesto. Luego,siBDnopuedeserigualaBE,nimenorqueBE,se infierequeesmayor,porqueentredoscantidadesnohaymsque trescomparacionesposibles: , bn Pquelasdoscantidadesseaniguales; 2:).quelaprimeraseamayorquelasegunda; 3'l- quelaprimeraseamenorquelasegunda1. JI'"llamadode lado,ydemo qeseeupont" 1)miocons1ateenauponerque erdadporlacontradiccinque . trasroponescuyaverdadlIehade-8esteejemploporparecernosmuypropJopa.raestaformade n,lacualpuedeapItC6rseaInmayorpartedelasproposioiones redprof.:ss CAP.11.- TRIANGULOS17 14S;}Corolario.LAsoblicuasigualesACyAEforman,conla perpeniculorAS,ngulos ____ AC=BAE. Ij9.1Definicin.Distanciadeunpuntoaunarectaeslalongi-tudelaperpendicularbajadadesdeesepUntoalarecta. Teorema. 150.1Todopuntodelaperpendicularlevantadaenelpuntomedio Jeunarectaequidistadelosextremosdesta. SeaAunpuntocualquieradelaperpen-dicularAB. TracemoslasrectasACyAD. PorhiptesistenemosBC==BD,luegolas oblicuasACyADsonigualesporapartar-seigualmentedelpiedelaperpendicular (NO46,20). Recproco.Todopuntoequidistantede losextremosdeunarectaperteneceala perpendicularlevantadaenelpuntomediode Ei.30estarecta. Teorema. :Todopuntoexterioralaperpendicularlevantadaenelpun-meiodeunarectanoequidistadelosexturnosdeestarecta. ""1 SeaelpuntoM,exterioralaper-pendicularAB. Tenemos MD 13'A'C' ColoquemoseltringuloA'B'C'sobredtringuloABCdema-AA e F,C37 neraquelosdosladosigua-lesAByA'B'coincidan SiendoelnguloBAC"me-norqueelnguloBAC,la bisectrizdelnguloC" AC encontraralladoBeen ciertopuntol.Lostringu-losAICyAle"soniguales portenerunnguloigual entreladosrespectivamente igualesj luegoIC= IC" Peroeneltringulo o CAP.n. - TRIANGULOS BIC"tenernos: BC"< BI+IC" BC"< BI+IC 21 oscaB'C'< BC Luego.sidostringulos ... [IDRecproco.SidostringulosABC,A'B'C',tienendoslados respectivamenteiguales,AS = A'B',AC = A'C',yelUrcer. lado BedelprimeromayorqueeltercerladoB'C'delsegundo,elngulo AopuestoaBCesmayorqueelnguloA'opuestoaS'C'. CASOSDEIGUALDADDELOSTRIANGULOS RECTANGULOS Teorema. ~Primercaso.Dostringulosrectngulossonigualescuando tienenigualeslashipotenusasytmnguloagudo. &anlostringulosrectngulosTyT'quetienen: ~ ) Z C ' C=C, ColoquemoseltringuloTsobreeltringuloT'demodoque elnguloCcoincidaconsuigualC' .La hipotenusaCBcoincidirconsuigualC'B'; elladoCAtomarladireccindeC'A'. .........--____"'-':::.... cSiendoBAyB'A'dosperpendicularesbaja-dasdesdedmismopuntoB'alamisma rectaC'A',handeconfundirse(N945),Y porlotantolosdostringuloscoincidirn. ..l...______...J...;::.... CILuego,dostringulosrectngulos ... Fig,)8T eorem3. @] Segundocaso.Dostringulosrectngulossonigualescuando tienenigualeslashipotenusasyuncateto. SeanlostringulosrectngulosTyT'quetienen: BC=B'C',AB=A'B' ColoquemoseltringuloTsobreel . ~tringuloT'demodoqueelcatetoBAcoin-cidaconsuigualB'A',Acausadelosn-TgulasrectosAyA',elcatetoACtomarla AedireccindeA'C',ysiendoBCyB'C'obli-cuasigualestrazadasdesdeelmismopunto B',suspiestienenqueapartarseigualmen-tedelpiedelaperpendicularB'A'(N9 L..____::::..,.47,2'if;..luegoAC =A'C'yelpuntoC caerenC';porconsiguiente,losdostrin-guloscoincidirn, Luego,dostringulosrectngulos", 22GEOMETRIA.- LIBROJ Teorema. [ID Enuntringulo igualessoniguales. issceles,los,lgulosopuestosaloslados Seaeltringulo isscelesABC,cuyosladosigualessonABy AC.ParademostrarqueelnguloBes igualalnguloe,unamoselvrticeAcon D,puntomediodeBC. LostringulosBADyCADsonigua-lesportenersustresladosrespectivamen-teiguales(N62),asaber: AB==ACporhiptesis j DB ==Deporconstruccin; ADesladocomn. LuegoelnguloBopuestoalladoAD delprimertringuloesigualalnguloe, .'-__-+-__.... copuestoalmismoladodelsegundo(No63). fi,. -'OLuego,eneltridngulo ... [ill, Recproco:Sidosngulosdeuntringulosoniguale)',sus ladr0f ueslas/0sontambin,yeltringuloes 70Escolios.- I.Entodotringuloissceles,labisectrizdel ngulodelvrticeesalavezalturaymediana. n.Recprocamente,untringulosersiunarectadel mismogozadeestaspropiedades. 111.Untringuloserisscelessitienedosalturas,dosbisectrices, odosmedianasigualu. IV.Eltringuloequilteroestambinequingulo,ytieneiguales suslresalturas,bisectricesymedianas. Teorema. lli.lTodopuntodelabectrizdeunnguloequidistadeJos ladosdedichongulo. Fi,. .jI SeaelnguloBAC. DesdeunpuntocualquieraDdelabi-sectriz,bajemosaAByAClasperpendi-cularesDB,De,quedeterminanlasdis-tanciasdedichopuntoalosladosdeln-gulo. LostringulosrecdnculosADByADC soniguaJesportene!:lahipotenusaADco-mnyunnguloagudoigualenA(No? 66),porlotanto, DB=DC. Luego,todopunto ... I 72.1Recproco.Todopuntoequidistantedeloslados gulopertenecealabisectrizdedichongulo. deunn-CAP.1II RECTASPARALELAS 23 NOTA.Labisectriz.deunnguloesellugar delos puntos losladosl. CAPITULOIII RECTASPARALELAS DEF1XICIOXES [I[J Rectasparaldassonaquellasque,estandoenunmismopla. no,noseencuentranpormsquesepro A _________-""longuen. c ________r. ,______ ' fiJ.42 TalessonlasrectasAB,CDyEF (fig.42) . (Z!J Llmasesecanteotransversalala rectaquecortaacualquierlneaofigura. Porejemplo,EF(fig.43). [ll] SiadosrectasAByCD(fig.43),seanonoparalelas, selascortaporunaterceraEF,staformaconlasprimerasocho gulasque,tomadosdedosendos,recibendistintosnombres,segn susdiferentesyrelativasposiciones. Angulasalurnossonlossituadosaunayotrapartedelasecan-/' te,ynoadyacentes. Llmansengulosalternosur nosalosngulosinternosnoadya centes,situadosadistintoladodela secante.Porejemplo,losngulosm, n;HeI(fig.43). Angulasalternossonlos externosnoadvacentes,situadosadis-tintoladodeiasecante.Porejemplo, losngulos1',o;G,K(lig.43). [ill Angulascorrespondientessonlosnoadyacentes,situadosa unmismoladodelasecante,elunointernoyelotroexterno.V.gr.: o,n;H,K;G,I;m,r(fig.4'2). Teorema. [ill Dos.rectas aunatercerasonparalelasen tres. SeanAByCD,dosperpendicularesalarectaAG. Fig." SiABY CDnofuesenparalelas,des-deelpuntodondesecortasentendra-mosdosperpendicularesalamisn'larec raAC,loqueesimposible(NO45). ,Luego,AByCDsonparalelas. 1'Lugargeo1iletricoeselconjuntodepuntosQue;ozandeunamIsma propleded. r 24 GEO.METRIA.- LIBROI --,. ft CorolarIO.Paratrazarporunpun-todadoA,unaparalelaaunarectadada Ar ________ BC(fig.45),bastatrazarABperpendi-1,cularaBe,ydespusADpr:rpendi-cularaAB. Fig.-4 5 )S c LasdosrectasADy porserperpc'ndiculares taAB(N977). LADODEEUCT!DES Besonparalelas alamismaree-POrunpuntodadonoutrazarmsqueunaparalela aunarectadada. A180.1 Corolario.DosrectasAByCD "---------- paralelasaunaterceraEF(lig.46)son cc---________ oparalelasentres,porquesiAByCD secortasen,porelpuntodeinterseccin, rr-__________ pasarandosparalelasaEF,locuales Fi".(6 imposible(N979) , Teorema. mJ Sidosrutassonparalelas,todarectaperpmdicularalatina loestambinalaotra. ScanAByCDdosparalelas,yACperpendicularaAB,Demos-41tremosqueloestambinaCD. IPataello,tracemosCEperpendicular !aAC;siendoAByCEperpendicularesa IlarectaAC,resultaquesonparalelasentre Is(N977);pero,porelpuntoCnopuede I r____ ----------.. 1pasarsinounaparalelaaAB(Ne?79);I ..-......Dgo,lasrectasCDyCEseconfunden,ypor elconsiguienteCDesperpendicularaAC,y IPi,. 47recprocamente. Luego,sidosrectassonparale/as- .. 00 Escolio.Cuandodosrectas(OAyOC)secortan,susrespec-tivasperpendicularessecortantambin. ________Fi,.48 PorquesinoseencontrasenlaspendicularesAByCEseranparalelas.y entonceslarectaAODperpendiculara AB,loseratambinaDCE(N981),Y tendramosporelpumoOdosperpendi-cularesOCyODalamismarectaDCE, loqueesimposible(N"45), Luego,cuandodosrulas . .. 1P1"aao.- PropollicInqueno('5evidencia.ydela. CU:lOhaydemostracInquesatIsfaga. Euc!...1ugemetragriego.320C. CAP.IIl.- RECTASPARALELAS25

183.1Dosrectasparaldascortadasporunaformanocho ngulos,asab(r:cuatroagudoss,ycuatroobtusos,tam-binigual(s(ntus. Seanlasparalc:1asAByCD,cortadasporlasecanteEF. PorO,puntomediodeGK,tracemosMTperpendicularaAB, yporlotantoaeD(N"81). LostringulosrectngulosOTGyOMKsoniguales,portener iguallahipotenusa,COG==OK),YunnguloagudoigualenO, comoopuestosporelvrtice(N!?43) .Luegodnguloindelpri- e I T , I h I ,o '..J I , .. !' r G H o mertringuloesigualalngu-londelsegundo. Ademslosngulosagudos a,msonigualescomoopuestos porelvrtice,ascomotambin losngulosn,1';porlotanto loscuatrongulosagudosm,n, a,rsoniguales. Dedondesededucequelos ngulosobtusosG,H,J,Kson igualesporsersuplementosde ngulosagudosiguales. Luego,dosrectasparaldos ... 184.1Corolario.Sidosrectasparalelassoncortadasporunau-cante: 19Losngulosalternosntanossoniguales; 29Losnguloscorrespondientessontambinigual(s. Recproco.Dosrectassanparalelascuandocortadasporuna s(canteforman: 19Angulasalternosinternosiguales; 29Angulasco,.,.espondiemesiguales. 186.1Advertencia.Asentadalateoradelasparalelassesudeem-plearlasvocescorrespondienteJ,alternoJinternos,paradesignarnica-mentelosngulosformadospordosparalelasyunasecante. Teorema. 187.1DosngulosqcutienenSIUladosrespectivamenteparalelos SOI1igualesosuplementarios. 19Seanlosngulosaydquetienenlosladosrespectivamente paralelosydirigidosenunmismosentido:elbdoACparaleloaOC, yABparaleloaDE. Paraello,prolonguemosOChastaqueencuentreaAB.Losn-gulosay11sonigualescomoaltcrnosinternos:losngulostJydson igualesporlamismarazn.Luego r 26GEOMETRIA.- LIBRO1 e6-/.'- a_d, porsercadau no 2{,)Consideremoslos JI,8ngulosaymquetienen ...elladoACparaleloaDG YABparaleloaDF,y demostremosque 1..-2rectos. _Yaquedaasentado u/.'- A'(NQ39)que: Fig.50d-1- m==2rectos; 1''i:' iguala pero porlotanto 2rectos. Luego,dosngulos. Teorema. 00.Dosngulosquetienensusladosrespectivamenteperpendi. cularessonigualesosuplementarios. p.}Seanlosngulosaya'quetienensusladosrespectivamente perpendiculares,asaberOFperpendicularaOD,00perpendicular aOE.Demostremosque Yasabemos(NI:'38) , a1rectoj

1recto; Luego 29Seanlosngulosaymque tienenODperpendicularaOF',y ._ _...........\OEperpendicularaOG.Dema, o.' tremasque 'i'- 2rectos. fig.SIYasabemos(Ng39)que 2rectos. Sustituyendoelnguloa'consuiguala,tendremos: 2rectos. Luego,dosngulosquetienen ... r CAP.IV- POLICONOS CAPITULOIV POU( 1.- Polgonosengeneral. 27 1!2]Definiciones.Llmase.polgonoatodasuperficieplanali-mitadaporlneasrectas. Estaslneassonlosladosdelpolgono;ypermetroeselconjunto' desuslados. Lospuntosdeinterseccindelosladossellaman Diagonaldeunpolgonoeslarectaqueulledos securivos:porejemplo,farectaAC(fig.53). vrtices. vrticesnocon-Fil".53 Angulounpolgonoeselformadoporunocual-quieradeloslaJosdelpolgonoylaprolongacindelladoadyacente. AselnguloHAD(fig.52)esunnguloexterior. Losngulosexterioressonsuplementosdelosngulosinteriores adyacentes. @]PolgonoequitnguloeselquetienetoJossus:ngulosiguales. ..equiltteJ'oesaquelcuyosladossoniguales. ,/ "regularesaquelcuyosladosyngulossoniguales. v @tiPolgonoconvexoes.eIquetieneporpermetrounalnea (onvexa(fig.53).J Fi,.54 Elpolgonoq uenoesconvexose llamacncavo;estt:polgonotieneuno omsngul osentrantes,estoes,mayores quedosrectos;taleselnguloF (fig.54). \I.J ....ImEltringuloeselmssencillodelospolgonos. Elpolgonode4ladossellamacuadril,tuo. 5 pentgono. 7 8 9 10 II 12 15 eXlgono. epttgol10. octgono. enegonoonongono. decgono. endecgonooundecgono. dodecgono. pentedccgono. r 28 GEOMETRIA. - LIBRO1 Losdemspolgonossedesignansegn diciendo,porejemplo,polgonodecatorce elnmerodesuslados, lados. Teorema. [2!] Lasuma (1dosrectos. delosngulosinterioresdeuntringuloesigual eFiJ.55A b ProlonguemoselladoCA;y porelpuntoAtracemoslarecta AEparalelaaCB. Losngulose'ye'sooiguales comocorrespondientes,ylosngu-losbyb'losoncomoalternos internos. Luego,lasumadelosngu-losdeltringuloesigualalasuma delostresngulosformadosenelpuntoA,ycomostossuman dosrectos(NQ40,11 ),tambin 0+1'+1'- 2rectos. /0suma .. _ L..2ZJCorolarios.I.ElnguloexteriorBADdeuntringulo(fig. 55)equivalealasumadelosngulosinterioresnoadyacentesb,c. 11.Sidostringulostienendosngulosrespectivamenteiguales, eltercerngulodelp1;{mertringuloesigualaltercerngulodelse-gundo;puesambossonsuplementosdelasumadelosotrosdos. lIT.Losngulosagudosdeuntringulorectnguloson mentarios. Teorema. 00 Lasumadelosngulosinterioresdeunpolgonoconvexo esigualatantasvecesdosrectos,COmoladostiene,menosdos. SeaelpolgonoconvexoABCDE;tracemoslasdiagonalesADy AC. ClaroestqueacadaunodelosgulasextremosAED,ABelesdedosladosdelpolgono,entantoqueal A.DtringulointermedioACDslolecorres-pondeU110. Ademslosngulosdelos[restringulos valentantocomolosngulosdelpolgono. Ahorabien,encadatringulolasumade lostresngulosesigualadosrectos(NQ 94);Y comohaytanwstringuloscomola-dosmenosdos,seinfiereque delosngulos. l.2Z:.JNOTA.Llamandonalnmerodeladosdelpolgono, 11- 2representarelnmerodetringulos,y (11 - 2)1rectos lasumadelosngulosinterioresdelpolgono. 198.'Lasuma CAP .IV.- POLIGONOS29 Teorema. losngulos prolongan-do unmismolodoslosladosunpolgonoigualacuatro tos. Enefecto,seaunpolgonodenlados; cadanguloexterioressuplementodeln-guloini:erioradyacente,ylasumadeto-doslosngulosinterioresyexterioreses Fi,.51igualanvecesdosrectos; Sumadetodoslosngulos==2 n Sumadelosngulosinteriores(N997)==2 Tl- 4 Ladi fe rencia,4rectos,expresarlasumadelosngulosex-teriores. n. - Cuadrilteros. DEFINI CIONES [22JLlmasecuadrilteroalafiguralimitadaporcuatrolados (iig.58). Uncuadrilterpuedeserconvexo(fig.58),cncavo(Hg.59) o,mellado(fig.60) . [ Fig.38Fi8.39Fis.60 /Enestecursoslotrataremosdeloscuadri lterosconvexos.V Llmaseparaldogramoalcuadrilterocuyosladosopuestosson paralelos- (fig.61) . guloesunparalelogramocuyoscuatrongulossonrec-tos(lig.62) . . Romboeselparalel ogramocuyosladossoniguales( fig.63). '\\J[\> o Pan le!OI'UI:IRect:inguloRomboCuadrado FiJ. 61FiJ.62FiJ . 63FiS.6' Cuadradoeselpa ralelogramoquetimesUsladosyngulosigua-les(lig.64) . Estecuadrilteroesalavezromboyrectngulo. Trapecioesuncuadrilteroquetienedosladosparal elos.Estos ladossonlasbasesdeltrapecio(fig.65) . 30- GEOMETRI.o\ LIBROI \._JD Fig. 65I',. 66Flg.(i1 rectnguloeselquetienedosngulos, rectos(fig.66). Trapecioosimtricoeselquetieneigualesloslados opuestosnoparalelos(fig.67). Teorema [J Lasumadelosngulosdeuncuadrilteroconvexoesigual acuatrorectos. SeaelcuadrilteroABen .Ladiago-nalACledivideendostringuloscu-yosngulosvalentantocomulosdel cuadriltero.Peroyasabemosquelasu-madelosngulosdeuntringulovale 2rectos;porlotantolasumadelosn-gulosdelcuadrilterovaldrcuatrorec-tos1. fTi)[lCorolario.Sidosngulosdeuncuadrilterosonsuplemen-tario"S;70sotrosdos/0serntambin. PROPIED.\DESDELPARALELOC;RAMO Teorema.[!Q[JEntodoparalelogramo,losladosylosngulos son

SeaelparalelogramoABCD. TracemosladiagonalDB. Losngulosny . n'sonigualescomoalternosinternos,ascomo tambinloson,yporanlogarazn,losngulosmym', Porlotanto,losdostringulosABDyBCDsonigualespor tenerUI1:ladocomn,BD,adyacente D . 'eadosngulosrespectivamenteiguales ,,(NQ61 ) . .....d .LuegoloslaosAByCDopues "',. .tosangulosigualessoniguales,lo ......-------.:.'''' .mismoquelosladosADyBC,Fig.69 igualescomoopuestosal igualalngulototalD. tosalosngulosigualesn,n', Adems,losngulosAy eson ladocomnBD,yelngulototalBes Luego,todoparalelogramo .. . W!IJ Escolios.- l.Ladiagonal JostriRgu/OSiguales. unparalelogramolo1EsteteoremanoesmasqueuncasoparticulardelN'>'G4. CAP.IV. POLlGONQS31 11.- Enunparalelogramodosngulosconsecutivossonsuple. mentarros. [!]!] Corolarios.I.Lossegmentosdeparalelascomprendidosen Fg.70 treotrasdosrectasparalelassongua les. SeanlossegmentosABy encom prendidosentrelasparalelasADy BC. LafiguraABCDesunparalelo gramo(NO99); luego:AB=CD(N9102). n. Dosparalelasequidistanentodossuspuntos. e Fig.71 SeanAByCDdosparalelascuales quiera. TracemoslasperpendicularesACyBD. Estasperpendicularessonparalelas (N77)eiguales(NO104, );adems midenladistanciadelasparalelasAB yCD. Teorema. ~105.I SilosladosopuestosdeuncuadrilterosonlJualesdedos endos,lafiguraserunparalelogramo. SeaelcuadrilteroABCD,enelcualtenemos: AB = DC,AD = BC TracemosladiagonalBD.LosdostringulosABDyBDCson igualesportenerlostresladosrespec tivamenteiguales.Dedondeseinfiere queelngulomesigualalngulom' comoopuestosaladosigualesentrin gulasiguales;luegolasrectasADyBC sonparalelasporformar,conlasecan teBD,ngulosalternosinternosiguales. Asimismo,losngulosnyn'songua. les,ylasrectasAByDCresultanparalelas ;porlotantoelcuaclri. lteroABCDesunparalelogramo . . Luego,silosladosopuestosdeuncuadriltero. Teorema. 1106.1Sidosladosdeuncuadrilterosonigualesyparaldos,la figuraserunparalelogramo. SeaelcuadrilteroABCD,cuyosladosAByDCsonigualesy paralelos. TracemosladiagonalDB. LosdostringulosABDyBCDsonigualesportenerun nguloigualentreladosrespectivamenteiguales,asaber: , .. 32 GEOMETRIA. - LIBRO1 D./":.... . ,....---.....--7cporalternosinternos,BOesladoco-'" mn,y ==enporhiptesis. ''K:,....Dedondeseinfierequeelngu-" ..-.llom,opuestoalladoABdelprimer _____ - tringulo,esigualalngulom'opuesto Fi"73alladoCDdelsegundo,porconsiguiente, lasrcctasADyBequeformandichosngulossonparalelas(Ne.>85), ylafiguraABCDesunparalelogramo. Luego,,sidosladosdettncuadriltero .. U07.1Corolario.Elrectngulo,rl,romboyelcuadradosonpara-lelogramos. Teorema. U08.1Lasdiagonalesdeunparalelogramosedi videnmtltuamen-__teenpartesiguales.

..... _--.",..cSeaABCnunparalelogramocual-quierayseanACySDsusdiagonales; odemostremosqueOeselpuntomedio .decadaunadeellas. "Fi,.7-4 LosdostringulosAOByDOC (AB = OC), saber: sonigualesporunladoigual, adyacenteadosngulosrespectivamenteiguales,a .:6AB = @" (NO 84) . 'liiA'"=ooE'( Id.) . Aspues,OAdelprimertringuloesigualaOCdelsegundo, yOB= 00. Luego,lasdiagonalesdeunparalelogramo ... 1109.1Recproco.Silasdiagonalesdeuncuadrilterosedividen enpartesiguales,lafiguraesunparalelogramo. Teortma. 1110.1LasdiagonalesdeunrombosecortanellnguloTecto. Enefecto,siendoABCDunparale-logramo,Oeselpuntomediodelas diagonales;lostringulosAODyCOD sonportenerlostresladosres-pecti vamenteiguales :.ODesladoco-Fig.75 mn,AO=OC(NO108),AO =OC pordefinicin. Luego,losngulosAODyeGOson iguales,yporconsiguienterectos. CAP.IV.POLICONOS33 Teorema. Iili]Lasdiagonales un soniguales. Enefecto,losdostringulosABCyDCBsonigualesportener unnguloigualcomprendidoporladosC>