geometria computacional
DESCRIPTION
Geometria Computacional. Prof. Walter Mascarenhas Segundo semestre de 2004 Aula 4. Produto vetorial. Fórmulas. Encarando como transformação linear:. Mais fórmulas. Generalizações. Orientação indica esquerda/sobre/direita. esquerda/direita/sobre && interseção. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/1.jpg)
Geometria Computacional
Prof. Walter Mascarenhas
Segundo semestre de 2004
Aula 4
![Page 2: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/2.jpg)
Produto vetorial
![Page 3: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/3.jpg)
Fórmulas
![Page 4: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/4.jpg)
Encarando como transformação linear:
![Page 5: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/5.jpg)
Mais fórmulas
![Page 6: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/6.jpg)
Generalizações
![Page 7: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/7.jpg)
Orientação indica esquerda/sobre/direita
![Page 8: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/8.jpg)
esquerda/direita/sobre && interseção
Corte transversal <=> esquerda(A,B,C) * esquerda(A,B,D) =
esquerda(C,D,A) * esquerda(C,D,B) = -1
esquerda(A,B,C) * esquerda(A,B,D) = 1ou
esquerda(C,D,A) * esquerda(C,D,B) = 1
=> não há interseção
![Page 9: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/9.jpg)
Restam os casos degenerados
![Page 10: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/10.jpg)
Triangulação em O(n logn)
1- Ordene os pontos pela coordenada y O(n logn) 2- Decomponha o polígono em trapézios usando uma scanline O(n logn)3- Usando os trapezóides, quebre o polígono em partes monótonas através da eliminação das cúspides internas O(n)4- Triangule as partes monótonas O(n)
![Page 11: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/11.jpg)
Vértices reflexos e cúspides internasUm vértice v de um polígono P é reflexo se o seu ângulo interno é estritamente maior que pi. Um vértice reflexo r é uma cúspide interna de P com relação à reta r se seus dois vizinhos estão contidos no mesmo semi-plano fechado definido pela paralela a r que passa por v..
![Page 12: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/12.jpg)
Partição em trapéziosUm polígono particionado em trapézios (triângulos são trapézios degenerados.) Note que o lado inferior de cada trapézio contém exatamente um vértice e o superior também
![Page 13: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/13.jpg)
Método da scanline
![Page 14: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/14.jpg)
Poligonais estritamente monótonasUma poligonal P é estritamente monótona com respeito à uma reta r se toda perpendicular à r corta P em no máximo um ponto
![Page 15: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/15.jpg)
Poligonais monótonas
Uma poligonal P é monótona com respeito à uma reta r se toda perpendicular à r corta P em no máximo uma componente conexa
![Page 16: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/16.jpg)
Observação
![Page 17: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/17.jpg)
Polígonos monótonosUma polígono é (estritamente) monótono com respeito à uma reta r se puder ser particionado em duas poligonais que são (estritamente) monótonas com respeito a r
![Page 18: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/18.jpg)
Conseqüência da observação passada
![Page 19: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/19.jpg)
Critério de não monotonicidade
Lema: Um polígono P não monótono com relação a uma reta r contém pelo menos uma cúspide interna.
A recíproca deste lemma e versões mais fortes são falsas:
![Page 20: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/20.jpg)
Idéia da prova do Lema(os detalhes são muito chatos)
``Prova’’ do Lema: suponha que o polígono esboçado na figura não é monótono. Então podemos assumir que uma paralela a r intercepta a poligonal cyan em mais de uma componente conexa.
Isto implica que v0 está abaixo da paralela e vn está acima. Portanto a paralela também corta a poligonal amarela. Ai temos alguns casos. Por exemplo, poderíamos conectar o ponto a ao ponto b ou ao ponto c
![Page 21: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/21.jpg)
Continuação da prova do Lema
![Page 22: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/22.jpg)
De trapezóides para partes monótonas:
Basta remover as cúspides internas conectando-as da seguinte maneira:1- Uma cúspide interna que está no lado inferior de um trapézio é ligada ao vértice do polígono que está no lado superior do mesmo trapézio por uma diagonal2- Uma cúspide interna que está no lado superior de um trapézio é ligada ao vértice do polígono que está no lado inferior do mesmo trapézio por uma diagonal
![Page 23: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/23.jpg)
De trapezóides para partes monótonas:
![Page 24: Geometria Computacional](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062322/56814e28550346895dbb8ede/html5/thumbnails/24.jpg)
Finalmente, triangular polígono monótono em O(n):