geometri transformasi
TRANSCRIPT
![Page 1: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/1.jpg)
Transformasi
Oleh :Feli RamuryMaya SaftariNurul Fajriah
![Page 2: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/2.jpg)
Pendahuluan1. Konsep Felix Klein2. Geometr Transformasi
![Page 3: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/3.jpg)
Transformasi VektorTransformasi ini menunjukkan suatu
transformasi linier. Transformasi linier akan tampak terlihat jelas jika B = C dan akan dinyatakan dalam bentuk A : B B yang disebut dengan operator linier pada B. Satu alasan mengapa transformasi tersebut dikatakan linier karena transformasinya mempertahankan/ mengawetkan (preserve) kelurusan garis (straightness lines).
![Page 4: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/4.jpg)
Gambar Points on a Line
a
a +b
tb
a +tb
b
0
L1
L1
Diperpanjang
sebesar t
![Page 5: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/5.jpg)
Transformasi Linier dengan Matriks
1. Isometri artinya berukuran sama. 2. Invarian3. Isometri dalam geometri Euclid terdiri
dari 3 kategori dan komposisinya: translasi, rotasi, dan refleksi.
![Page 6: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/6.jpg)
Transformasi Affine1. Transformasi affin adalah hubungan
geometri yang mempertahankan bentuk dasar dan integritas bangun geometri. Transformasi affin dapat berupa rotasi, translasi, dan dilatasi.
2. Transformasi affine tidak mempertahankan / mengawetkan kesebangunan. Hal ini dikarenakan faktor pengali pada p tidak sama dengan pengali pada q.s
![Page 7: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/7.jpg)
Contoh Transformasi Affine
![Page 8: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/8.jpg)
The Group of Isometries of The Planef: R2 → R2 yang mempertahankan jarak dengan , Dengan menggunakan definisi,Jika f dan g adalah isometri. Maka,
,karena f adalah suatu isometri ,karena g adalah suatu isometri.
![Page 9: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/9.jpg)
Chapter 3.7, setiap isometri dari R2 adalah produk dari satu, dua, atau tiga refleksi.Misalkan f = r1r2r3,
Refleksi dioperasikan dengan dirinya menjadi fungsi identitas, didapatf = r1r2r3 r3r2r1
= r1r2r2r1
= r1r1
= fungsi identitas,
Oleh karena itu, r3r2r1 = f -1
![Page 10: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/10.jpg)
A transformation of a set S ia a function from S to S, and a collection G of transformation forms a group if it has the two properties:Jika f dan g berada di G, maka begitu juga f g
Jika f anggota G, kemudian ada inversnya, f -1
![Page 11: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/11.jpg)
Spherical GeometrySpherical Geometry adalah suatu
geometri dua dimensi dari permukaan bola (sphere).
Sphere adalah himpunan semua titik dalam ruang tiga dimensi yang
merupakan jarak tetap dari suatu titik tertentu (disebut pusat).
![Page 12: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/12.jpg)
Great Circle
1Q
P
O
θ
![Page 13: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/13.jpg)
Great CircleGreat Circle Distance adalah lingkaran yang dibentuk oleh perpotongan bola dan bidang melewati pusat. Sebuah lingkaran besar adalah lingkaran terbesar yang dapat ditarik pada suatu lingkungan tertentu, dan jalur terpendek sepanjang bola antara dua titik adalah lingkaran besar.
![Page 14: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/14.jpg)
The Reflection “line” on The Sphere
![Page 15: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/15.jpg)
Representing Space Rotations by Quaternions
dimana a, b , c, d ∈ R dan i2 = -1. Atau dapat ditulisq = a1 +bi + cj + dk, dimana
ij = k = -ji dan i2 = -1
![Page 16: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/16.jpg)
Jika p adalah titik sembarang di R4, kemudian pemetaan p → pq mengalikan semua panjang di R4 dengan
Hal ini terjadi karena
=
sehingga .
![Page 17: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/17.jpg)
Untuk semua titik p1, p2 ∈R4,
dikalikan dengan
Secara khusus, jika = 1, maka peta p → pq adalah suatu isometri di R4.
![Page 18: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/18.jpg)
Rotations of (i, j, k) –space
Jika p adalah quaternion di ruang (i, j, k)p = xi + yj + zk, dimana x, y, z ϵ R,
Jika q adalah quaternion nol (qpq-1) juga terletak dalam ruang (i, j, k).
jika = 1, maka pemetaan p → qpq-1 merupakan isometri di R3
![Page 19: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/19.jpg)
setiap quaternion dengan = 1 dapat ditulis dalam bentuk,dimana l 2 + m2 + n2
Dan isometri p → qpq-1 merupakan sebuah rotasi di ruang (i, j, k) dengan sudut θ, melalui 0 dan li + mj + nk.
![Page 20: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/20.jpg)
Buku ini memverifikasinya hanya untuk kasus khusus di mana sumbu rotasi berada dalam arah i, dan titik p yang khusus untuk mempermudah menentukan sifat isometri tersebut. Dengan menggunakan sudut di q dan q-1 .
![Page 21: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/21.jpg)
Contoh:Pemetaan p → qpq-1, dimana .Pertama kita periksa setiap titik xi pada sumbu i
, karena i2 = -1 = xi
![Page 22: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/22.jpg)
Selanjutnya akan diperiksa jika j titik diputar dengan sudut θ dalam (j, k), ke titik jcosθ + ksinθ.
,karena ji = -k=,karena ik = j, ij = k=
Sama halnya dengan memeriksa qkq-1 = -k sinθ + j cosθ. Oleh karena itu, isometri p → qpq-1 adalah rotasi dari bidang (j, k) dengan sudut θ.
![Page 23: Geometri Transformasi](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081416/5592b3341a28ab7d0d8b45dd/html5/thumbnails/23.jpg)
Terima Kasih