geometría afín y proyectiva, 2016 semana 5
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Espacio Afın Sistema de referencia Subespacios afines Operaciones con subespacios
Geometrıa afın y proyectiva, 2016SEMANA 5
Sonia L. Rueda
ETS Arquitectura. UPM
October 11, 2016
Espacio Afın Sistema de referencia Subespacios afines Operaciones con subespacios
Geometrıa afın y proyectiva
1. Algebra Lineal
2. Geometrıa afın y euclıdea
3. Conicas y cuadricas
Espacio Afın Sistema de referencia Subespacios afines Operaciones con subespacios
Geometrıa afın y euclıdea
2.1 Espacio afın.
2.2 Transformaciones afines.
2.3 Espacio afın euclıdeo. Isometrıas afines.
Espacio Afın Sistema de referencia Subespacios afines Operaciones con subespacios
Contenidos
Definicion de espacio afın
Sistema de referencia afınCambio de coordenadas afines
Subespacios afinesEcuaciones de un subespacio afın
Operaciones con subespacios
Espacio Afın Sistema de referencia Subespacios afines Operaciones con subespacios
Definicion de espacio afın
Sistema de referencia afınCambio de coordenadas afines
Subespacios afinesEcuaciones de un subespacio afın
Operaciones con subespacios
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Un espacio afın real es una terna (A,V , φ) donde A es un conjuntode puntos, V es un espacio vectorial real y φ : A× A −→ V unaaplicacion que verifica:
1. ∀P ∈ A y ∀u ∈ V existe un unico Q ∈ A tal que
φ(P,Q) = u.
2. φ(P,Q) + φ(Q,R) = φ(P,R) para todo P,Q,R ∈ A.
Escribiremos φ(P,Q) = PQ. Los elementos del conjunto A sellaman puntos de A y diremos que V es el espacio vectorialasociado al espacio afın (A,V , φ). Definimos la dimension de unespacio afın (A,V , φ) como
dimA = dimV .
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Ejemplos
1. Todo espacio vectorial V es un espacio afın con espaciovectorial asociado V . De hecho, en la terna (A,V , φ), A =Vy la aplicacion φ viene dada por
φ : A× A −→ V , φ(P,Q) = Q − P,∀P,Q ∈ A.
2. Por el ejemplo anterior, (R2,R2, φ) es un espacio afın dedimension 2, (R3,R3, φ) es un espacio afın de dimension 3.En general (Rn,Rn, φ) es un espacio afın de dimension n.
Propiedades de un espacio afın
Sea (A,V , φ) un espacio afın real. Se verifica que:
1. φ(P,Q) = 0 sı y solo si P = Q.
2. φ(P,Q) = −φ(Q,P), ∀P,Q ∈ A.
3. φ(P,Q) = φ(R, S) sı y solo si φ(P,R) = φ(Q, S).
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Definicion de espacio afın
Sistema de referencia afınCambio de coordenadas afines
Subespacios afinesEcuaciones de un subespacio afın
Operaciones con subespacios
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Sea A un espacio afın de dimension n con espacio vectorialasociado V .
Definicion de sistema de referencia afın Un conjunto de n + 1puntos {O,P1, . . . ,Pn} de A es un sistema de referencia afın de Asi el conjunto de vectores
{OP1, . . . ,OPn
}es una base de V .
Al punto O ∈ A tal que B ={OP1, . . . ,OPn
}es una base de V ,
se le llama origen del sistema de referencia {O,P1, . . . ,Pn}.
Proposicion Un punto O ∈ A y una base B de V determinan unsistema de referencia afın R de A con origen en O, que denotamosR = {O;B}.
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Definicion Llamamos coordenadas del punto P ∈ A con respecto alsistema de referenciaR = {O;B} de A, a las coordenadas delvector OP en la base B de V . Es decir, la n-upla (α1, . . . , αn) deRn tal que
OP = α1u1 + · · ·+ αnun,
siendo B = {u1, . . . , un} una base de V . EscribiremosP(α1, . . . , αn)R.
Ejemplo Sea R = {O = (0, 0, 0);Bc = {e1, e2, e3}} un sistema dereferencia de (R3,R3, φ), con B3 la base canonica de R3.Consideremos otro sistema de referencia R′ = {O ′;B ′} conO ′ = (1, 2,−1) y B ′ = {u1, u2, u3}, con vectores u1 = (1, 0, 0),u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 1, 1) .
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Sea P el punto de coordenadas (5, 5, 0) en R, es decir,
P(5, 5, 0)R ⇐⇒ OP = 5e1 + 5e2 + 0e3.
Calculemos las coordenadas de P en R′:
O ′P = (5− 1, 5− 2, 0 + 1) = (4, 3, 1),
O ′P = x1u1 + x2u2 + x3u3 = x1(1, 0, 0) + x2(1, 1, 0) + x3(1, 1, 1)
= (x1 + x2 + x3, x2 + x3, x3),
thus 4 = x1 + x2 + x3
3 = x2 + x3
1 = x3
=⇒
x1 = 1x2 = 2x3 = 1
ası, (1, 2, 1) son las coordenadas de P en R′: P(1, 2, 1)R′ .
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Estudiemos primero el caso de un espacio afın de dimension 2. SeaA un espacio afın de dimension 2 con espacio vectorial asociado V .
Sean B = {u1, u2} y B ′ = {u′1, u′2} bases de V y R = {O;B},R′ = {O ′;B ′} dos sistemas de referencia de A.
Dado un punto P ∈ A, sean (x1, x2) sus coordenadas en R y(x ′1, x
′2) sus coordenadas en R′; es decir
OP = x1u1 + x2u2,
and O ′P = x ′1u′1 + x ′2u
′2.
¿Que relacion existe entre (x1, x2) y (x ′1, x′2)?
Sabemos que, por la definicion de espacio afın
OP = OO ′ + O ′P.
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Sean (a, b) las coordenadas de O ′ en R;
OO ′ = au1 + bu2,
y sean
(a11, a21) las coordenadas de u′1 en B,
(a12, a22) las coordenadas de u′2 en B;
ası,
u′1 = a11u1 + a21u2,
u′2 = a12u1 + a22u2.
Sustituyendo en OP = OO ′ + O ′P se obtiene:
OP = OO ′ + O ′P
= au1 + bu2 + x ′1u′1 + x ′2u
′2
= au1 + bu2 + x ′1 (a11u1 + a21u2) + x ′2 (a12u1 + a22u2)
=(a + x ′1a11 + x ′2a12
)u1 +
(b + x ′1a21 + x ′2a22
)u2,
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y como OP = x1u1 + x2u2, desarrollando y teniendo en cuenta quelas coordenadas de un vector en un bae son unicas llegamos a:{
x1 = a + x ′1a11 + x ′2a12
x2 = b + x ′1a21 + x ′2a22
Tambien podemos escribir dichas ecuaciones en forma matricial: 1x1
x2
=
1 0 0a a11 a12
b a21 a22
1x ′1x ′2
.
Pasemos al caso general. Sea A un espacio afın n-dimensional, ysean R = {O;B = {u1, . . . , un}} y R′ = {O ′;B ′ = {u′1, . . . , u′2}}dos sistemas de referencia de A.
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Sean (x1, . . . , xn) las coordenadas de P en la referencia R y(x ′1, . . . , x
′n) las coordenadas de P en la referencia R′, las
ecuaciones del cambio de referencia de R′ a R son:1x1...xn
=
1 0 · · · 0a1 a11 · · · a1n...
.... . .
...an an1 · · · ann
1x ′1...x ′n
donde
(a1, . . . , an) son las coordenadas de O ′ en R,
(a11, . . . , an1) son las coordenadas de u′1 en B,...
(a1n, . . . , ann) son las coordenadas de u′n en B.
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Se pueden escribir de la forma: x1...xn
=
a1...an
+ A
x ′1...x ′n
siendo A la matriz de cambio de base de B ′ a B:
A = M(B ′,B) =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
.
La matriz
M(R′,R) =
1 0 · · · 0a1 a11 · · · a1n...
.... . .
...an an1 · · · ann
es la matriz de cambio de coordenadas de R′ a R.
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EjemploEn (A2,V2, φ) tomemos sistemas de referenciaR = {O;B = {u1, u2}}, R′ = {O ′;B ′ = {u′1, u′2}} con
OO ′ = 3u1 + 3u2, u′1 = 2u1 − u2, u′2 = −u1 + 2u2.
• Determinar la matriz de cambio de coordenadas de R′ a R.Se tiene que
OP = OO ′ + O ′P = 3u1 + 3u2 + y1(2u1 − u2) + y2(−u1 + 2u2)
= (3 + 2y1 − y2) u1 + (3− y1 + 2y2) u2,
por tanto {x1 = 3 + 2y1 − y2
x2 = 3− y1 + 2y2
this is,
M(R′,R) =
1 0 03 2 −13 −1 2
.
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• Determinar la matriz de cambio de coordenadas de R a R′.
M(R,R′) = M(R′,R)−1
=
1 0 03 2 −13 −1 2
−1
=
1 0 0−3 2
313
−3 13
23
.
• Sabiendo que las coordenadas del punto P en la referencia Rson (3, 5), hallar sus coordenadas en la referencia R′.
M(R,R′)
135
=
1 0 0−3 2
313
−3 13
23
135
=
12343
.
• Las coordenadas de Q en R′ son (2, 3). Hallar suscoordenadas en R.
M(R′,R)
123
=
1 0 03 2 −13 −1 2
123
=
147
.
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Definicion de espacio afın
Sistema de referencia afınCambio de coordenadas afines
Subespacios afinesEcuaciones de un subespacio afın
Operaciones con subespacios
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Definicion de subepacio afınSea (A,V , φ) un espacio afın real.Un subconjunto L ⊂ A es un subespacio afın de A si dado unpunto P ∈ L el conjunto
W (L) = {PQ | Q ∈ L}
es un subespacio vectorial de V , llamado subepacio vectorialasociado a L y se denota por L. La terna (L, L, φ) es un espacioafın. affine space.
Proposicion La definicion anterior no depende de P.
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Proposicion Para todo P ∈ A y todo subespacio vectorial W ⊂ Vel conjunto
{X ∈ A | PX ∈W }
es un subespacio afın de A que denotamos P + W .
Definicion Sea L un subespacio afın de A. La dimension de L sedefine como la dimension de su subespacio vectorial asociado:dimL = dimL.
Supongamos que la dimension de A es n. Los subespacios afinesde dimension 0 son los puntos de A. Los subespacios afines dedimensiones 1, 2 y n− 1 se llaman respectivamente rectas, planos ehiperplanos.
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Fijamos en el espacio afın A el sistema de referencia R = {O;B},B = {e1, . . . , en}.Sea L ⊂ A un subespacio afın de A de dimension k; es decir,L = P + L con L = 〈u1, . . . , uk〉.
Supongamos que (a1, . . . , an) son las coordenadas de P en R yu1 = a11e1 + · · ·+ an1enu2 = a12e1 + · · ·+ an2en
...uk = a1ke1 + · · ·+ anken
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Ecuaciones parametricas
Un punto X (x1, . . . , xn)R ∈ L sı y solo si existen λ1, . . . , λk ∈ R talque
OX = OP + λ1u1 + · · ·+ λkuk ;
es decir,
(x1, . . . , xn) = (a1, . . . , an)+λ1(a11, . . . , an1)+· · ·+λk(a1k , . . . , ank)
o, equivalentementex1 = a1 + λ1a11 + · · ·+ λka1k
...xn = an + λ1an1 + · · ·+ λkank
que son las ecuaciones parametricas de L en la referencia R.
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Ecuaciones cartesianas
Un punto X (x1, . . . , xn)R ∈ L sı y solo si el vector
PX = (x1 − a1, . . . , xn − an) ∈ 〈u1, . . . , uk〉 .Como los vectores u1, . . . , uk son linealmente independientes,tenemos que
rango
a11 · · · a1k...
. . ....
an1 · · · ank
= k.
Ası, PX = (x1 − a1, . . . , xn − an) ∈ 〈u1, . . . , uk〉 sı y solo si
rango
x1 − a1 a11 · · · a1k...
.... . .
...xn − an an1 · · · ank
= k.
Estamos forzando a que el rango sea k por lo que obtenemos n− kmenores de orden k + 1 igualados a cero. Es decir, obtenemosn − k ecuaciones en n variables: (x1, . . . , xn).
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Observaciones: Recordemos que la dimension de A es n. Lasecuaciones cartesianas de un subespacio afın L de dimension n − rson un sistema de r ecuaciones lineales en n incognitas, que engeneral no son homogeneas.
L ≡
a11x1 + · · ·+ an1xn = b1
...a1rx1 + · · ·+ anrxn = br
Si P,Q ∈ L el vector u = PQ satisface el sistema de ecuacioneslineales homogeneas asociado a L y que se obtiene igualando acero los terminos independientes del anterior.
L ≡
a11x1 + · · ·+ an1xn = 0
...a1rx1 + · · ·+ anrxn = 0
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Ecuaciones de una recta
Una recta afın r ⊂ A es un subespacio afın de dimension 1,r = P + 〈u〉, con P ∈ A y u ∈ V . Supongamos que (a1, . . . , an)son las coordenadas de P en R y
u = u1e1 + · · ·+ unen.
Un punto X ∈ r sı y solo si
OX = OP + λu,
es decir si (x1, . . . , xn) son las coordenadas de X en R entonces,
(x1, . . . , xn) = (a1, . . . , an) + λ(u1, . . . , un)
o, equivalentemente obtenemos las ecuaciones parametrica de r .x1 = a1 + λ1u1
...xn = an + λ1un
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Si suponemos ui 6= 0, i = 1, . . . , n podemos escribir:
x1 − a1
u1= · · · =
xn − anun
que son las ecuaciones en forma contınua de la recta r .Finalmente, X (x1, . . . , xn)R ∈ L sı y solo si XP ∈ 〈u〉 sı y solo siXP y u son proporcionales. Por tanto, XP ∈ 〈u〉 sı y solo si
rango
x1 − a1 u1...
...xn − an un
= 1.
Tenemos que imponer que el rango sea 1, obteniendo n − 1menores de orden 2, las n − 1 ecuaciones cartesianas de r .
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Ecuaciones de un hiperplano
Un hiperplano afın H ⊂ A es un subespacio afın de dimensionn − 1; por tanto tiene una sola ecuacion cartesiana
a1x1 + · · ·+ anxn = b.
Observacion Un subespacio afın L de dimension k es la interseccionde n − k hiperplanos independientes.
Ejemplo 1 Obtener las ecuaciones parametricas delm subespacioafın L de A con ecuaciones cartesianas en R = {O, {e1, e2, e3}} :
L ≡{
x1 + x2 + 2x3 = 12x2 − x3 = 1
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Resolvemos el sistema de ecuaciones que define L. La matriz decoeficientes es:
A =
(1 1 20 2 −1
)de rango 2. Como
rango
(1 10 2
)= 2
tomamos x3 = λ como parametro de la solucion del sistema:
{x1 + x2 + 2x3 = 12x2 − x3 = 1
=⇒
x1 + x2 = 1− 2λ2x2 = 1 + λx3 = λ
Finalmente, x1 = 1
2 −52λ
x2 = 12 + 1
2λx3 = λ
que son las ecuaciones parametricas de L.
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Ejemplo 2
Fijamos en (A,V , φ) la referencia R = {O;B}, B = {e1, e2, e3}.Obtener las ecuaciones cartesianas de L = P + L, con P(1, 2,−1)Ry L = 〈u1, u2〉 con u1 = e1 + 2e2 − e3) y u2 = 2e1 + e2 + e3.Solucion.Los vectores u1, u2 que generan L son linealmente independientes.Por tanto, dimL = 2.Un punto X (x1, x2, x3)R ∈ L sı y solo si el vector
PX = (x1 − 1, x2 − 2, x3 + 1) ∈ 〈u1, u2〉 ;
es decir, sı y solo si
rango
x1 − 1 1 2x2 − 2 2 1x3 + 1 −1 1
= 2⇐⇒ 0 =
∣∣∣∣∣∣x1 − 1 1 2x2 − 2 2 1x3 + 1 −1 1
∣∣∣∣∣∣ .La ecuacion cartesiana del hiperplano es L ≡ x1 − x2 − x3 = 0.
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Definicion de espacio afın
Sistema de referencia afınCambio de coordenadas afines
Subespacios afinesEcuaciones de un subespacio afın
Operaciones con subespacios
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Interseccion y suma de subespacios
Sea (A,V , φ) un espacio afın real y L1, L2 dos subespacios afinesde A.La interseccion de L1 y L2:
L1 ∩ L2 = {P | P ∈ L1 and P ∈ L2}
es un subespacio afın de A. Si la interseccion es no vacıa,L1 ∩ L2 6= ∅, entonces
L1 ∩ L2 = L1 ∩ L2.
Definimos la suma de L1 y L2 como el menor subepacio afın quecontiene a L1 y L2, que denotamos por L1 + L2. Si L1 = P1 + L1 yL2 = P2 + L2 entonces
L1 + L2 = P1 + L1 + L2 +⟨P1P2
⟩.
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Dos subespacios afines L1 = P1 + L1 y L2 = P2 + L2 tieneninterseccion no vacıa sı y solo si
P1P2 ∈ L1 + L2.
Observacion Si L1 ∩ L2 6= ∅ entonces
L1 + L2 = L1 + L2 +⟨P1P2
⟩= L1 + L2,
Si L1 ∩ L2 = ∅ entonces
L1 + L2 = L1 + L2 +⟨P1P2
⟩, P1 ∈ L1, P2 ∈ L2.
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Paralelismo
Diremos que dos subespacios afines L1 = P1 + L1 y L2 = P2 + L2
de A son paralelos si L1 ⊂ L2 o L2 ⊂ L1.Los subespacios afines L1 = P1 + L1 y L2 = P2 + L2 podrıan tenerinterseccion vacıa y no ser paralelos, en dicho caso diremos que secruzan.
Formula de las Dimensiones
Sean L1 = P1 + L1 y L2 = P2 + L2 subespacios afines de A. Severifica que:
1. Si L1 ∩ L2 6= ∅, entonces
dim(L1 + L2) = dimL1 + dimL2 − dim(L1 ∩ L2).
2. Si L1 ∩ L2 = ∅, entonces
dim(L1 + L2) = dimL1 + dimL2 − dim(L1 ∩ L2) + 1.
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I. Posicion relativa de dos rectas
Sean L1 = P1 + L1 y L2 = P2 + L2 rectas afines de un espacio afınA de dimension n. Las posiciones relativas posibles de L1 y L2 son:Si L1 ∩ L2 6= ∅ entonces L1 ∩ L2 es una recta dim(L1 ∩ L2) = 1 oL1 ∩ L2 es un punto point dim(L1 ∩ L2) = 0. Ası:
dim(L1 + L2) = dimL1 + dimL2 − dim(L1 ∩ L2)
L1 and L2 son coincidentesL1 and L2 intersecan en un punto
=⇒{
1 = 1 + 1− 12 = 1 + 1− 0
Si L1 ∩ L2 = ∅ entonces L1 ∩ L2 puede ser una recta vectorial o elsubespacio nulo 0. Asi:
dim(L1 + L2) = dimL1 + dimL2 − dim(L1 ∩ L2) + 1
L1 and L2 are parallelL1 and L2 are skew lines
=⇒{
2 = 1 + 1− 1 + 13 = 1 + 1− 0 + 1
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Se verifica que:
1. Las rectas L1 y L2 se cruzan si no existe un plano quecontenga a ambas; si {u1, u2,P1P2} son linealmenteindependientes.
2. Las rectas L1 y L2 estan el mismo plano si {u1, u2,P1P2} sonlinealmente independientes.
3. Las rectas L1 y L2 intersecan si L1 ∩ L2 6= ∅.4. Las rectas L1 y L2 son paralelas si L1 = L2; si u1 y u2 son
proporcionales. Si ademas L1 ∩ L2 6= ∅ entonces soncoincidentes.
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II. Posicion relativa de dos hiperplanos
Sean H1,H2 ⊂ A dos hiperplanos dados por sus ecuacionescartesianas
H1 ≡ a1x1 + · · ·+ anxn = b,
H2 ≡ a′1x1 + · · ·+ a′nxn = b′.
Las ecuaciones cartesianas de sus subespacios vectoriales asociadosson
H1 ≡ a1x1 + · · ·+ anxn = 0,
H2 ≡ a′1x1 + · · ·+ a′nxn = 0.
Si existe λ tal que (a′1, . . . , a′n) = λ (a1, . . . , an) entonces H1 = H2
y los hiperplanos H1, H2 son paralelos.
Si ademas, b′ = λb los hiperplanos H1, H2 son coincidentes.
Si b′ 6= λb entonces los hiperplanos H1, H2 no intersecan(H1 ∩ H2 = ∅).
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III. Posicion relativa de recta e hiperplano
Sea r = P + 〈u〉 una recta de A con P(a1, . . . , an)R yu = u1e1 + · · ·+ unen. Sea H un hiperplano dado por la ecuacioncartesiana
a1x1 + · · ·+ anxn = b.
La recta r y el hiperplano H son paralelos si el vector u ∈ H; esdecir, si (u1, . . . , un) satisface la ecaucion de H
a1u1 + · · ·+ anun = 0.
Si ademas (a1, . . . , an) satisface la ecuacion de H, la recta estacontenida en el hiperplano.