Generalizz~tzione dei teoremi di minimo volume di Wirt inger a tut te le variet~ k~hleriane o quasi-k~hleriane.

!~4emoria di E~zo I'¢[ARTI~ELLI (a Roma)

A d A n t on io S i g n o r i n i nel suo 70 mo compleanno.

Sunto. - S i d i m o s t r a che le var i e t~ k ~ h l e r i a n e o q u a s i - k a h l e r i a n e subord ina te a d u n a var i e t~ k(~hter iana o q u a s i - k ~ h l e r i a n a , sono var i e t~ di vo lume min imo .

1. Le varietit immagini reali delle varietY, anali t iche eomplesse dello spazio euelideo eomplesso o dello spazio proiettivo complesso, costruite rispet- t ivamente nello spazio euelideo reale o nella variet~ di MAI~'OUR¥-FUBII~/I -

S~UDY, godono della proprieti~, stabilita da W. WIR~I~GER [5], di essere variet~ di volume minimo entro il relativo ambiente.

Dimostreremo in questa memoria ehe i risultati rieordati sono caso parti- eolare di un 'ana loga proposizione generale concernente le varieth kahler iane o quasi-kt thler iane subordinate ad una qualunque varieti~ klihleriana o quasi- ki~hleriana, nel senso che sarh preeisato al n. 7.

Seeondo aceenneremo nel § IV, la proposizione generale suddetta potrebbe ottenersi pifi rapidamente, con la stessa tecnica qui usata, poggiando sul risultato di W1RTINGER .p. er 10 spazio euelideo, oppure sul significato geome- trieo della forma di KAHLER e delle sue potenze ottenuto reeentemente da G. B. RIzzA [3, 4].

Qui preferiamo perb procedere in modo autonomo, foudando le nostre considerazioni sullo studio dei rapporti ehe intereedono tra le proprietor geome- triche delle metriehe hermit iane e delle metr iche euelidee. Comineeremo pereib con qualche osservazione in proposito.

§ I. - M e t r i c a h e r m i t i a n a e m e t r l c a e u c l l d e a .

2. /~, C siano r ispet t ivamente il corpo reale e il corpo complesso. Lo spazio numerieo C~(~ 1, ..., ~), (~ - - ' ~ -~ i"~aE C; '~, " ~ E R ; ~ - - 1, ..., n),

si rappresenta biunivocamente sullo spazio numerico R2"('~ 1, ..., '~, %1, .... ,,~,). C", R 2", dotati r ispett ivamente delle s t rut ture di spazio vettoriale su C e su R, saranno denotati con C,~, R~,~. Si ha allora ehe C,~ si rappresenta su R2, biuni- voeamente (e isomorfieamente nei r iguardi della s t ru t tura additiva e della s t rut tura moltiplicativa su /~): al vettore ~ ~ ~e~ E Cn corrisponde il vettore

--- '~ 'e~ ~ "~"e~ E R~,,, essendo (e~) e ('e~, "e~) le basi canoniche risp. in

136 E. MARTINELLI; Gcncralizzazione dci teoremi di m inimo volume, eve.

C,~, R2~ e sott intendendo (qui e in segtUto) di sommare rispetto agl ' indici r ipetut i in alto e in basso.

Penseremo Cn, Rz,~ identificati assumendo ~ ~ ~, il che implica, in parti- colare, ' - - e~ - e~ , "e~ ~ ie~ Diremo che la base ('e~, "e~) di R2,~ ~ associata alia base (e~) di C~.

Sin Cp(1 ~ p ~ n) uno spazio vettoriale p-d imens iona le su C subordinato a C,~, generato a par t i te dai vettori indipendenti ~ , ..., ~p, cosicch~ per ~ E C~ risulti :

essendo t k - - ' I k ÷ i " i k E C (k ~- 1, ..., p). Cp ha. per immagine ia R_~ un part icolare spazio vettoriale 2p-~limen-

siouale su R (col quale s' identifica), spazio che diremo caratteristico e denoteremo con R~p. Tale R ~2p ~, generato dai 2p vettori ~ , i~k, indipendenti in R~,~, in quanto pub scriversi:

R ¢ immagine In particolare per p----1 si ottiene un piano c a r a t t e r i s t i c o di una ret ta C~ descri t ta dai vettori ~ ~---I~ al var iare del fattore di propor- zionalith I ~ C. Un vettore ~ individua un determinato piano caratterist ico che lo contiene.

Siccome Cp # lnogo di ~ p - ~ (infinit'~ complessa) retie C~ aventi a due a due in comune il solo vettore hullo, cosi ll~p ~ luogo di c~P -~ (infinit~ reale) piani caratterist iei /~,~ aventi a due a due in comune il solo vettore

hullo.

3. La metrica hermi t iana in C,~ si ott~ene assegnando la misura di un vettore ~ mediante la:

i3.1) (mis ~)~ = ~ i " = Z [('~)~ ÷ ('i~) ~] (a -- 1 .... , n),

ore si indica con ~ il complesso coniugato di ~ e analogamente in seguito. Appare dalla i3.1) c h e l a misura di ~ assegnata dalla metr ica hermit iana

coincide con la misura assegnata dalla metrica euclidea in R ~ ~ C~. Non coincidono invece, in generale, il prodot!o hermit iano in C,~ e il

prodotto scalare in R~,~, prodotti che indicheremo risp. con ~ . y e ~ X ~1, essendo ~, y ~ C,~ ~ R:,~.

Prec isamente si ha:

(32)

(3.3)

E. MARTINELLI: Generalizzazionc dei teoremi di minimo volume~ eec. 137

donde r isul ta ehe:

{3.4) I l prodotto scalare di due vetlori uguaglia la componente reale del prodotto hermitiano; in particolare i due prodotti coincidono quando sono enlrambi reali (1).

Ne segue c h e s e dae vettori ~, y sono hermit iano-ortogonal i (h-ortogonali), cioi~ ~. ~/-- 0, essi sono anche ortogonali (rispetto alla metrica euelidea), cio~

X ~/-- 0. Cosi pure se i vettori ~1,..., ~,~ formano una base h-or tonormaie in C,~, essi costi tuiscono un sistema ortonormale (euclideo), che pub comple- tarsi in una base ortonormale in R~,, p. es. eonsiderando la base assoeiata in. 2) alia base ~1,..., ~ in Cn, eiob considerando i vettori ~1~..., ~ ,

4. Dimostriamo the :

(4.1) Se un vettore ~1 e h-orlogonale ad un vettore ~, allora ~1 e h-orto. gonale e quindi ortogonale ad ogni vetlore del piano earatteristico individuato da ~ ; e viceversa.

Infatt i i vettori del piano R~ individuato da ~ sono i vettori ),~ (),E C); e, se ~ ~ . ~ / ~ 0 ~ anehe:

(~)" '~ = ~(~" '7) = 0.

Vieeversa, per ogni ). E C, sia (2~)X ~/----0. Da (3.4) segue:

(~). ,7 + (~}. ,~ = o,

e, assumendo successivamente ), -- 1, ), -~- i,

~. ,7 + ~ . ,1 = o, - - i (~ . ,1) + i (~ . ,1) = o;

quindi r isul ta ~. ~/-- 0. Dalla propriet~ dimostrata consegue c h e l a h-ortogonali th di due vettori

equivale alla ortogonalit~t dei piani caratterist ici da essi individuati. ]~ imme. diato trarne la relazione geometrica che intercede tra una base h-or tonormale in C,~ e la base ortonormale associata in R2,,.

~on ci fermeremo su eib. Stabil iamo invece la seguente proposizione ehe ci servirk nel seguito:

(4.2) In ogni spazio vettoriale R~v_~ (1 <--10 <: n) subordiuato ad R~, esi. stono p veltori non nulli a due a due h-orlogonali (~).

(t) Per il significato della componente immaginaria del prodotto hermitiano, vedasi il successivo n. 10.

(2) Questa proposizione pub ravvicinarsi al lemma b~ dato da R]zzA in [4].

138 E. ~[ARTINELLI: Generalizzazione dei teorem~ dl minimo vohtme, ccc.

L'a f fe rmazione ~ banale per p - - 1 ; cosiceh~ possiamo provarla per indu- zione.

Sia R~p-8 c R2p-~ e ~1,..., ~p_~ p - 1 vettori in R2p-2 a due a due h-orto- gonali. Tall vettori individuano in C,~ ua Cp_~ subordinato, e quindi in R2, nn R~p_~ carat ter is t ico immagine di Cp_~ (n. 2}. Sia R~,-2p+~ lo spazio orto- gonale ad R ~ L' 2p-2 entro R2,. intersezione Rzp_~ ~ R~n-~÷~ ~ un Rq di dimeu- sione q ~ ( 2 p - - 1 ) ~ ( 2 n - - 2 p ~ 2 ) - - 2 n - - 1 , cosiceh~ in esso esiste sempre qualehe vettore ~p non nullo. E ~p, in quanto appart iene ad R~_~y+~, ~ orto- gonale ad / ~ _ ~ e, in partieolare, a ciascuno degli R ~ individuat i dai vettori

. . . , Tenuto conto della parte inversa di (4.1), ne segue ehe ~ ~ h-ortogonale

a ~ , ..., ~,_~. I1 sistema di vettori ~ , ..., ~_~, ~p soddisfa dunque alle eondi- zioni volute in (4.2).

§ II . - F o r m e d i f f e r e n z i a l i e l o r o i n t e g r a l l .

,5. P r ima di passare a l l ' a rgomento principale cui miriamo, ~ anche oppor- tuno qualche richiamo sulle forme differenziali esterne e sui loro integrali.

Siano x 1, ..., x" coordinate locali su una variet~ differenziabile n-dimen- sionale M , . Una forma differenziale ~ -= a,d~c ~ ( i ~ 1, .. . , n) definisce una funzione l ineare sui vettori dello spazio vettoriale T, tangente alla varieth. Se v E T, ha componenti v ~ nel r i fer imento duale del cbriferimento dx ~, ..., d x ' , il valore di ~ su v, che indicheremo con [~]~, ~ dato da :

(5 .1) = •

Siano ~1,..., ~,, n forme lineari indipendenti, atte quindi a definire un corifer imento in T . . Una p - f o r m a differenziale esterna del t ipo:

(52) • =a~ , . . .~ ~, A --. A ~ ,

definisce, pifi in generale, una funzione lineare sni p -ve t to r i V (p) di T , , il cui valore 6 espresso dalla (s):

(5.3) = % - . 6

essendo V~r"~ le componenti di V (p) nel r i fer imento duale del coriferimento

~o ~, ..., ¢p". Qualora, in part icolare, V (~) sia prodotto esterno vl A ... A v~ dei p vet-

(s) Cfr. p. es. A. LIOH~BaOWmZ, [1], n. 109,

E. MARTINELLI: Generalizzazione dei teoremi di minimo volume, ecc. 139

tori sempliei v~, ..., vp, nella (5.3) va posto percib:

(5.4) V~i'"~ - -

essendo :

1 1

1 J.

(5 .5) ~ - - [~']~ k

( k - - 1, . . . , p ; i - - 1, . . . , n)

le componenti di v~ nel r i fer imento duale di ¢~, ..., ~". Consideriamo era l ' in tegra le di una p - fo rma ~, quale la (5.2), sopra una

variet~ p-d imeas iona le Mp regolarmente immersa nella varieti~ ambiente M, e rappresenta ta con le equazioni:

(5.6) x ' --- x ' ( t ~, . . . , tp} (i = 1, . . . , n).

Si supporrk My orientata in corrispondenza del l 'or ientazione natura le dello spazio euelideo (t 1 .... , tP).

Sia ~1 .... , e~ il r i fer imento duale del coriferimento dt 1, . . . , dt ~ nello spazio vettoriale T~ tangente ad Mp. ~os t r iamo ehe:

(5.7) L ' e l e m e n t o d ' in tegrale di ¢I) su My si espr ime coU'elemento d ' i n t e . grale m u l t i p l e ord inar io nello spazio euclideo (t ~, . . . , tP):

(5.8) [qb],,h ... Aspdt ~ ... dtP.

L'espress ione (5.8) si giustifica immediatamente. Invero, si esprima • helle variabili # , . . . , t ~ per mezzo della rappresentazione (5.6), ottenendo ( P ~ a d t ~ A ... / \ dtp. Poich~ la eomponente d ' indie i 1, . . . , p del p-ve t tore e~ A ... A % nel r i fer imento duale di dt ~, . . . , di p s i r iduee ad 1, si ha dalla (5.3) :

[O]~i^ . . . ^~p - - a ;

deride segue quanto asserito, pereh~ l~elemento d ' in tegra le di • su M~ date appunto~ per definizione, da adt ~... dt ~"

L' in teresse del l 'espressione (5.8) sta nel fatto ehe il valore di (I) su e~ /~ ... A e~ pub caleolarsi diret tamente, in virtfi delle (5.3), (5.4), senza ehe oeeorra r idur re prevent ivamente (I) nelle variabiti t z, ..., t p.

§ III. - II t e o r e m a d i m i n i m o v o l u m e .

6. Sia M2,~ una variet~ reale 2n-dimensionale, descri t ta mediante le coordinate a~ ~, ..., x~'.

localmente

140 E. ~[ARTINELLI: Gcncral izzazione del teoremi di m i n i m o volume, etc.

Non staremo nel seguito a preeisare d i volta in volta quale sia la claase di differenziabilit';~ occorrente per gli enti geometrici e analitici che conside- reremo, tale precisazione risultando di per se ovvia. Ci l imitiamo tuttavia ad avvert ire che occorreri~ supporre M2,, almeno di classe di differenziabilit~ 2.

Ci porremo senz' altro nell ' ipotesi che M2., sia quas i -kd~hler iana (con ehe resta iucluso in part ieolare il caso k-~hleriano).

Cib signifies t he .3I~,, b dotata di metr ica r iemanniana il cut ds 2 pub esprimersi nella forma (4j:

(6.1) ds ~ = 0~0~ (o: = 1, . . . , n),

essendo :

O~ = ~ + i~ ~ ~ , O~ - - ~ - - i ~ + , ,

e ~ , ~o~+,* 2n forme pfaffiane reali indipendenti nelle coordinate ~e ~, ... 0e TM.

Inoltre la 2-forma di K~_HLER

(6.3) to _ 2

supposta chiusa :

(6.4) dto - - 0.

Tenuto conto delle (6.2) pub anehe ser ivers i :

(6.5)

(6.6)

ds 2 ---- E ( ~ - - i'~ ~+~) (~¢~ + i~ ~+~) ---- Y~ (~,)2, k

i = - 2 - - A + = £ A

in tendendo (qui ed oltre) gl ' indici greet variabili da 1 ad n e gli indict lat ini da 1 a 2n.

Ora le (6.2) ci permettono di considerate lo spazio vettoriale T~, tangente ad M 2 , , sia come uno spazio vettoriale reale R~,~, sia come uno spazio vetto- r iale complesso C, rappresentato su B2,, e a d esso identificato nel senso del n. 2. Le forme (0~), (~o~, ~+~) = {~t d'~nno risp. in C, , R2, eor i fer imenti duali di r i fer imenti associati (n. 2). the denoteremo risp. con (e~)] (e~, e~÷, ,=ie~).

Le (6.1), (6.5) mostrano che la metr ica r i emanniana su Ms,, pub pensarsi indotta sia dalla metr ica hermit iana su /'2, ----- C , , sia dalla metr ica euclidea su T2, ~ R2,, essendo le metr iche su C , , R2,, quelle canonicamente deter- minate dai r i fer imenti .

(4) Cfr. p, os. A. LICHNBROWICZ, [2], n. 106.

E. M~R'r~N~: Generaliz'zazione dei teoremi di minimo volume, eee. 141

7. Poniamo era la seguente definizione.

(7.1) Diciamo ehe una variet~t M~ r di dimensione 2p (1 ~ ' p _~ n), regolar- mente immersa in M2,,, b una variet~ quasi-k~hleriana subordinata ad M2,,, quando in ogni punto ~c E M,p lo spazio vettoriale T2" tangente ad M2" 8 uno spazio caraiterist ico (m 2) subordinate allo spazio T~, ~ R~,, ~ C,, tangente i n x ad M~.,;

Allo scope di giustifieare la precedente definizione, osserviamo ehe, qualora M2~ sia klihleriana (cio8 descrivibile loealmente con coordinate com- plesse, raceordate analitieamente), ogni varieth kahler iana subordinata (cio~ anat i t ieamente immersa rispetto atla coordinate complesse), soddisfa alia condizione espressa in (7.1), c o m ~ immediate rieonoscere.

Osserviamo altresl che, se M2n ~ quasi-kahler iana, ogni variet~ M2~ sod- disfacente alla condizione espressa in (7.1), r isulta di fatto una variet~ quasi- kahleriana.

Pe r dimostrare l ' u l t ima affermazione, notiamo pre l iminarmente the, sic- come non si al tera l 'espressione (3.1) della misura hermit iana di un vettore per un cambiamento di base h-ortonormale, non si al tera la forma hermit iana (6.1) de1 ds 2 per un cambiamento della ~)ase h-or tonormale (e~) in T2,. Gosi pure non si al tera la forma euclidea (6.5) del ds ~ per il corrispondente cam- biamento della base ortonormale associata {e~, e~-~).

Ricordando la proposizione (4.2) possiamo allora supporre che, put conser- vando inalterate tutte le formule precedenti , in ogni punto x di una varieti~ M,:, regolarmente immersa in M2", i primi p vettori base e~,. . . , ep appar- tengono allo spazio T w tangente in x ad M2p.

Supponiamo ora~'T2~ caratteristico. In tal case esso ~ descritto dai vettori k~e~ ~ ,.. ~ ).Pe~, essendo ).~, ..., ).p ~ C (cosicchb, in particolare, appartengono a T~p anche i vettori base e ~ n - " ie~, ..., e p + n : iep). Percib su ogni vettore di T~p r isulta d0~+ ~ - - 0 .... , dO n - - 0. Ne segue che le (6.1), (6.3) si riducono su M~p a:

i - (}~ ...

Tenuto conto c h e l a {6.4) implica inoltre:

= = 0 ,

si conclude che M2p ~ di fatto quasi-ki~hleriana, come abbiamo affermato. Cib premesso, ~ nostro intento dimostrare il seguente

(7.2) TEOREI~IA.- Ogni variet~ quasi-k~hleriana ~fzp subordinata ad una varlet& quasi-kg~hleriana /1I~.(1 <:--p ~--n), ~ una variet& di volume minimo rispetto alla metrica r iemanniana di M2~.

142 E. MARTINELLI: Geuera l~ , z zaz ionc de i t e o r e m i d i m i u i m o v o l u m e , ecc.

8. Poich~ le forme (~:) cost i tuiscono un cor i fer imento euclideo hello spazio T2~ tangente ad M2~ (n. 6), l ' e i emen to di volume 2p-d imens iona le in M~n, che denoteremo con de'P~, ~ espresso dalla:

(8.t) (d@~p)~= Z ( ~ ' A ... A ~%)~. k, < : . . . < k~i ~

Sia N2p una variet& 2p-d imens iona le regolarmente immersa in M2n descri t ta dai paramet r i t ~, . . . , t"p, ed orientata eor r i spondentemente (cfr. n. 5). Sopra N~p 1' e lemento di volume, [del)_~]N~, si r iduce ad una 2p-forma differenziale (mono- mia) hel le variabil i t ~, .... t~. Rieordaudo (5.7), si ha qu ind i :

(8.2) [daJ,~]~, = (~.<Z [¢~' A ... A ¢~%],.^...^~,,)'dt'...dt% ...<k~

dove e~,..., ~ denota il riferimento duale di dt ~,..., dl~ nello spazio T~p tangente ad _~.

Ora, tenuto eon~o delle (5.3), (5.4),

[ ~ ' A "" A ~k~Ple, A...Ae.~v

si r iduoe alla componente Ek,'"k~p del 2p-vet tore E(2p) ~ c~ A ... A e2p nel r i fer imento ( ek ) - - ( e~ , . . . , e~+,) duale in T TM det cor i fer imento (~k). Si pub scrivere pereib :

t

(8,3) [de~)2p]Nep - - E [k,<...<%(Ek'"'%)~'~ dt" '''

dove :

(8.4) E~'"'% --

1 1

• o • ~ • •

2p ~p

avendo posto :

(8.5) ~k = [ :~] , , , ..., ~k = [~]~.,,. 1 2p

Consideriamo d 'a t t ra parte h~ 2p- forma Q ~- APw, potenza es terna p - m a della forma di KA~LER a). Avuto r iguardo alia (6.6) r isul ta :

= (s A ... A (s A

p(p--1) = ( - - 1 ) ~ p ! Z

E. ~][ARTINELLI: Generalizzazione dei teoreml di mlnlmo volume, ece. 143

e i l corrispondente elemento d ' in tegra le su N ~ vale:

p(p--~)

(8.6) [g~]N~ --" (-- 1) ~ p ! Z E ~ .... %~,+"'"%+'~dt ~ ... dFP.

Ebbene, proviamo the, per ogni ~ immersa in 2/12, si ha:

(8.7) 1

luogo quando I ~ ~ una il segno uguale avendo subordinata ad M~,.

Tenuto conto ehe nelle (8.3), (8.6) il fattore dt ~... dF~ positivo, la {8.7) ~ equivalente al la:

variet~ quas i -kghler iana

deve assumersi

(8.8) E (E ~ .... ~v)2~ (~,<..Z.<~ E~,...%~,+"...%-~-) ~. k~ < . . . <~ k21 o

0 r a le eomponenti del 2p-vettore E(2p) - - 81 A -../~ s~ the appaiono nella (8.8), si alterano al pi~t per un fattore reale di proporzionalit~ non nullo sostitaendo i vettori e l , . . . , e2p con altri 2p vettori indipendenti appartenenti allo stesso spazio T21, tangente ad N2p. D' altronde la presenza del detto fat. tore di proporzioualit~ ~ inessenziale ai fini della verifica della (8.8).

Percib, previo un opportuno cambiamento della base h-or tonormale {e~,) possiamo, come al n. 7, supporre el, ..., ep in Tap e assumere E(2P)- -e l /~ ... • .. /~ e , A vl /~ ... /~.vp, ore v~, .... vp sono a l t r i p vettori gener icamente scelti in T~p. Tenuto conto delle (8.4), si ha atlora ehe nel secondo membro della 18.8) appare una sola componente non nul la di E(~p), preeisamente E1...pl+n...p+ n ; il che prova la disuguaglianza (8.8), qualunque sia la posizione di T~ entro T~,.

poi, in particolare, T2~ ~ caratteristico, cio~ _hT~ ~ una varietk k~ihle- r iana subordinata, sappiamo (n. 7) che anche e l -~ , .... ep+, stanno in T2~, onde pub assumersi E(2p)----e~ A ... A ev A e~+~ A ... A ep+n. In tal caso le componenti E~v..~p (k~ < ... < k2p), che appaiano nel primo e secondo membro della 18.8 b sono tulle nulle ad eccezione della E~...~+'~...~+ " ( c h e vale 1); cosicchi~ nella (8.8) vale il segno uguale.

]~ cost prova~a la disuguaglianaa (8.7) con la precisazione coneernente li caso ia eui Na~ sia una varietg quasi-ki~hleriana subordinata.

9. Siamo ormai in grado di passare alia dimostrazione del teorema (7.2). Gominciamo con l 'osservare c h e l a forma ~ ~ / ~ ( o ~ chiusa, giacchi~

tale to e d Q - ~ pd(o A (AP-'I(o) •

Esiste percib in un opportuno intorno U di un punto ~ C M2~, arbitrario ma fissato, una ( 2 p - - 1 ) - f o r m a regolare (I) tale che :

(9.1) d(1) - - ~.

144 E. M A ~ n L ~ : Gcncralizzazione dei teorcmi di minimo volume~ ecc.

Cib posto, sia M~ una variet'h quas i -kahler iana subordinata ad M.~. Assumeremo p ~ n, il caso p - - n essendo ovvio e d' al tronde privo d ' interesse.

Pe r p ro ra te (7.2) possiamo limitarci a considerare una porzione di M2p (por~ione che denoteremo col simbolo stesso M~) appartenente ad un intorno del tipo U suddetto. Supporremo inoltre e h e l a porzione di varieti~ M~, sia eosi r is tret ta da potersi rappresentare con una sola earta su un dominio D dello spazio euclideo (t~,..., t2~).

Tenendo fissi i punti del contorno 3M~ di M ~ , deformiamo M~ cosi poco ehe la porzione di variet'~ defornmta, ehe denoteremo con £V~, appar- tenga aneh 'essa ad U. Notiamo che anche ~Y~ si raploresenta sul dominio D,

e risul~a

(9.2) ~-~12p - - ~Y~p.

II teorema (7.2) sarh provato se si dimostrer~ deformata 2Y~p, abbastanza prossima ad M2p, r isul ta :

(9.3) volume .hr2p ~ volume M~p.

che, per ogni variet/~

Ora si osservi che, essendo

1 (9.4) = l,

il seeondo membro della (9.4) non ~ mai nullo, in quanto non pub essere tale un elemento di volume (come segue p. es. dalla (8.3), tenuto conto che il 2p-vettore E(~p ) - - ~I/~ . . . /k ~2v non pub avere tutte le componenti nulle, essendo indipendenti i ~,ettori sl, ..., s~p).

Pereib 1

ha sempre lo stesso segno su M2~; e eonseguentemente il segno medesimo ha

1

su ~Y~p, quando 2/2~ sia abbastanza prossima ad /V2p. hTe segue che, passando helle (8.7), (9.4) dagli elementi d ' in tegra le agli

integrali corrispondenti , si h a :

(9.5) i f ltf l N2p N2~

E. ~IARTINELLI: Genera~izzazione dei teoremi di minimo volume~ etc. 145

(9.6) _ 1 1 . f Q vo um - f t I = •

D'al tra parte dalla (9.1) r isul ta :

e quindi, attesa la (9.2),

f Q - - / ' Q .

N2p M~p

ll confronto delle (9.5), (9.6) provato.

d~ allora la 0.3); e i[ teorema (7.2) risulta

§ IV - O s s e r v a z i o n i c o m p l e m e n t a r i .

10. Seeondo si ~ accennato al n. 1, la dimostrazione esposta del teorema (7.2) non poggia sui risaltati di WIR~I~G~,t¢ relativi ai casi particolari indi- earl, cosiech~ essa fornisce una nuova dimostrazione anche di tall casi particolari.

D'altra parte non ~ difficile convincersi che, una volta noto il risultato di WIR~I~OER, pur nel sol0 caso dello spazio euclideo, potrebbe dedursene pifi rapidamente il teorema generale (7.2) proeedendo con la stessa tecnica qui usata dei coriferimenti hermitiani (0~) ed euclidei associati {~, ~+~).

Invero la disuguaglianza (8.7), o la equivalente (8.8), non ~ in rondo che la disuguaglianza fondamentale di WIR~INC~Ea per un parallelotopo dello spazio euclideo.

Cosl pure la (8.7) pub trarsi dal significato geometrico delia forma assegnato da RIzzA mediante la nozione di deviazione caratleristica.

A questo proposito vogliamo inoltre osservare the la detta deviazione caratteristica, per il caso di una faccetta 2-dimensionale, cio~, in ult ima analisi, per un piano /~z dello spazio R2,~ (n. 2), pub collegarsi int imameute al prodotto hermitiano di due vettori ~, y individuanti R2.

Abbiamo visto invero (n. 3) the la componente reale del prodotto kermi. tiano ~ . y non ~ che il prodotto scalare ~ X y. Consideriamo analogamente la eomponente immaginaria ; la diremo prodolto caratterislico dei vettori ~, e la indicheremo con ~ . y .

Annali di Maternatica 19

146 E. MARTINELLI: Generallzzazionc dei teoreml di mlnimo volume, eee.

Ricordando la (3.2), poniamo cio~:

i

cosicch~, attesa Ia (3.3}, r isulta anche :

(10.2) ~ • y = (i~) X ~/.

La (10.1) mostra che il prodotto caratteristico ~ , ~1 dipende soltanto dal bivettore ~ A ~1 prodotto esterno di ~, ~1.

Ora, come dal prodotto scalare si deriva, com'~ ben noto, la nozione di angolo, % dei vet~ori ~, ~/ mediante la

(mis ~) (mis ,/) (10.3) cos ~ - - ~ X ~ '

in modo analogo si pub derivare dal prodotto caratteristico ~ , ,/ una nozione di ango]o, ~, relativo al piano Bd~ , ~/) (e non ai singoli vettori ~, ~/), mediante la

(10.4) cos 8 - - ~ * ~/ mis (~ A Y)'

La (10.4) ~ legitt ima perch, , come subito verificheremo, r isul ta :

(10.5) ] ~ , ~ / ] ~ mis (~ A ~).

Infatti , la (10.5) equivale a l ia :

(~ . y)2 < (mis ~)2 (mis y)~ sin 2 ~ -- (mis ~)" {mis ~/}~ -- (~ X ~/)~,

cio~ :

(~ X y)" q- (~ * ~/)~ <- (mis ~)~ (mis ~/)~ ;

e quest' ul t ima non i} the la nota disuguagl ianza:

t ~" ~/[ -<' (mis ~) (mis ~).

Ebbene l 'angolo definito dalla (10.4) coincide con la deviazione caratleri- stica del piano R, indiv iduato dai vettori ~, 7.

E. MAaTI~LLI: Genera l i z za z ione dei t e o r e m i di m i n i m o v o lum e , e tc . 147

P e r d imos t ra r lo , basra a s s u m e r e in R~ i due ve t to r i ~, ~ o r tonormal i , il t h e non a l t e r a il va lore di 8. Si h a infa t t i a l lo ra : mis (~ A ~?) - - 1 ; onde r i s u l t a :

c o s ~ = ~ , ,; = (i~) x ,;,

r i c adendo cosi in una f o r m u l a da ta da RIzzA in [3] per e sp r imere la devia . zione ca ra t t e r i s t i ca .

Non ~ forse senza in te resse u n u l t e r i o r e a p p r o f o n d i m e n t o del le a c c e n n a t e considerazioni~ t h e p o s s o n o se rv i r e ad i l l u m i n a r e m a g g i o r m e a t e i r a p p o r t i geomet r i c i t r a m e t r i e h e h e r m i t i a n e ed euc l idee .

B I B L I O G R i F I A

[J-] A. LICHNER0%ICZ, Alg~bre et analyse lindaires, Masson, Paris, 1947. [2] - - - - , Thdorie globate des co~nexions et des groupes d'holonomie~ Cremonese, Roma, 1955. [3] G. B. RIZZA, Deviazione caratteristica delle faceette plane di una varietd~ a s trut tura

complessa~ • Rend Ace. Lincei ,, 24 (t958), 662.671.

[4] -- --~ HoIomorphic Deviation for the 2q-dimensional Sections of Complex Analyt ic Manifolds, Int, Congress of Math., Edinburgh, 1958; pubbticato in • Archly. der Math. % 10(1959), 170-173.

[5] W. WIRT1NGEI-¢, Eine Determinantenidenti tat und ihre Anwendung au f analytisehe Gebilde in Euktidischer und Hermitescher Mqssbestimmung~ ~ ~Ionatshefts f. Math. u. Physik >), ~4, (1936), 343-365.