généralités sur les fonctions image d’un nombre · exercice 3 : algorithme permettant de...
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Généralités sur les fonctions – Image d’un nombre – Exercices corrigés
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Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
Exercice 1 : calcul de l’image d’un nombre par une fonction
Exercice 2 : lecture graphique de l’image d’un nombre
Exercice 3 : algorithme permettant de calculer l’image d’un réel par une fonction
Exercice 4 : image, antécédent et tableau de valeurs
Exercice 5 : représentation graphique d’une fonction
Exercice 6 : appartenance d’un point à une courbe
Exercice 7 : algorithme permettant d’indiquer si un point appartient à une courbe
Généralités sur les fonctions – Image d’un nombre
Exercices corrigés
Généralités sur les fonctions – Image d’un nombre – Exercices corrigés
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1) Calculer l’image de par la fonction définie sur par ( ) .
2) Calculer l’image de par la fonction définie sur par ( ) .
3) Calculer l’image de
par la fonction définie sur
par ( ) √
.
Rappel : Image d’un nombre
Soit une fonction définie sur un ensemble . L’image de tout nombre de est le nombre ( ).
1) Pour tout , ( ) .
L’ensemble de définition de la fonction est et donc l’image de par , notée ( ), existe. Pour
calculer ( ), on remplace par dans l’expression de ( ), c’est-à-dire dans l’expression .
( )
Donc l’image de par est . On dit aussi que est un antécédent de par .
2) Pour tout , ( ) .
L’ensemble de définition de la fonction est et donc l’image de par , notée ( ), existe.
Pour calculer ( ), on remplace par dans l’expression de ( ), à savoir dans l’expression .
( ) ( ) ( )
Donc l’image de par est . On dit aussi que est un antécédent de par .
3) Pour tout , ( ) √
.
L’ensemble de définition de la fonction est et
donc l’image de
par , notée (
), existe. Pour
calculer ( ), on remplace par
dans l’expression de ( ), à savoir dans l’expression √
.
(
) √
√
√
Donc l’image de
par est √ . On dit aussi que
est un antécédent de √ par .
Exercice 1 (3 questions) Niveau : facile
Correction de l’exercice 1 Retour au menu
] [
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La courbe ci-contre est la représentation graphique,
dans un repère orthonormé ( ) du plan, d’une
fonction définie sur .
1) Donner une valeur approchée de l’image de
par .
2) Donner un encadrement de l’image par
de
par deux entiers consécutifs.
Remarque : La fonction est une « fonction
polynôme ».
1) Donnons, par lecture graphique, une valeur approchée de l’image de par .
Représentation graphique d’une fonction
Soit une fonction définie sur un ensemble .
La représentation graphique (aussi appelée
courbe représentative) de dans un repère est
l’ensemble des points de coordonnées
( ( )) où . Une équation de la courbe
représentative de est alors ( ).
La courbe ci-contre représente une fonction . On
cherche à donner une valeur approchée de l’image
de par , c’est-à-dire ( ), qui peut être lue en
suivant le chemin tracé en pointillés bleus puis
rouges.
On obtient ainsi ( ) .
L’image de par est donc environ égale à .
Rappel : Coordonnées d’un point
Dans un repère, chaque point peut être repéré par son
abscisse et son ordonnée .
Exercice 2 (2 questions) Niveau : facile
Correction de l’exercice 2 Retour au menu
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Remarque importante : Lecture graphique
Un graphique ne permet pas d’obtenir des valeurs exactes mais des valeurs approchées. En effet, dans le cas
présent, par lecture graphique, on ne peut pas affirmer si ( ) est exactement égale à ou si ( ) est égale à
une valeur très proche de , comme ; ; etc.
2) Proposons un encadrement de l’image par de
par deux entiers consécutifs.
On cherche à donner un encadrement de l’image de
par , c’est-à-dire à encadrer (
), qui peut
être lue en suivant le chemin tracé en pointillés
bleus puis rouges.
On obtient ainsi (
) .
L’image de
par est donc encadrée par les
entiers consécutifs et .
Remarque : La fonction représentée est définie par ( )
.
A la lumière de cette information, on peut vérifier que ( ) et (
) .
D’une part,
( )
D’autre part,
(
)
( )
(
)
(
)
On a donc ( ) et (
) .
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Soit la fonction définie sur par ( ) √ .
1) Préciser l’ensemble de définition .
2) Ecrire un algorithme permettant de calculer l’image de tout réel et d’afficher un message
d’erreur pour tout .
1) Précisons l’ensemble de définition .
La fonction est définie sur par ( ) √ ; elle est donc définie si et seulement si le radicande
est positif ou nul. Or, . Il vient donc que [ [.
2) Ecrivons avec le logiciel AlgoBox un algorithme permettant de calculer l’image de tout réel et
permettant par ailleurs d’afficher un message d’erreur pour tout .
1 VARIABLES
2 x EST_DU_TYPE NOMBRE
3 image_de_x EST_DU_TYPE NOMBRE
4 DEBUT_ALGORITHME
5 AFFICHER "Donner un nombre : "
6 LIRE x
7 AFFICHER x
8 SI (x<4) ALORS
9 DEBUT_SI
10 AFFICHER "On ne peut pas calculer l'image du nombre "
11 AFFICHER x
12 FIN_SI
13 SINON
14 DEBUT_SINON
15 image_de_x PREND_LA_VALEUR F1(x)
16 AFFICHER "L'image du nombre "
17 AFFICHER x
18 AFFICHER " est : "
19 AFFICHER image_de_x
20 FIN_SINON
21 FIN_ALGORITHME
Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox
***Algorithme lancé***
Donner un nombre : 2
On ne peut pas calculer l'image du nombre 2
***Algorithme terminé***
***Algorithme lancé***
Donner un nombre : 8
L'image du nombre 8 est : 2
***Algorithme terminé***
Exercice 3 (2 questions) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 3 Retour au menu
Fonction numérique utilisée :
F1(x)=sqrt(x-4)
On peut remplacer l’instruction d’affectation
« image_de_x PREND_LA_VALEUR F1(x) »
(Attention ! La fonction numérique doit dans ce
cas être déclarée par « F1(x)=sqrt(x-4) ») par
« image_de_x PREND_LA_VALEUR sqrt(x-4) »
Si , alors et on ne peut
alors pas calculer l’image de .
Dans le cas contraire, on peut
calculer et afficher l’image de .
sqrt(X) correspond à la racine
carrée du nombre X
√ existe si et seulement si
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Une fonction est définie sur l’intervalle [ ]. On donne le tableau de valeurs suivant.
( )
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, tout en justifiant.
1) ( )
2) L’image de par est .
3) n’a pas d’image par sur [ ].
4) et ont même image.
5) Seuls deux nombres ont des images opposées.
6) Un antécédent de par est .
7) n’a pas d’antécédent par .
8) a au moins deux antécédents par .
1) D’après le tableau de valeurs, ( ) . L’affirmation est vraie.
( )
2) D’après le tableau de valeurs, ( ) . Autrement dit, l’image de par est . L’affirmation est
fausse.
( )
Remarque : On a en revanche ( ) , qui se traduit par « un antécédent de par est » Il ne fallait donc
pas confondre « l’image de par est » et « un antécédent de par est . »
3) Le tableau de valeurs proposé dans l’énoncé ne concerne que l’ensemble fini
{ }. Or, d’après l’énoncé, la fonction est définie sur l’intervalle
[ ]. Aussi, même si le tableau de valeurs ne consigne pas la valeur , [ ] donc
( ) existe. Autrement dit, a une image par , qui n’est en revanche pas renseignée dans le tableau de
valeurs. L’affirmation est fausse.
( )
4) D’après le tableau de valeurs, ( ) et ( ) . Autrement dit, a pour image et a pour
image . Finalement, et ont même image, à savoir le nombre . L’affirmation est vraie.
( )
Exercice 4 (8 questions) Niveau : facile
Correction de l’exercice 4 Retour au menu
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5) D’après le tableau de valeurs, seules deux images sont opposées ; il s’agit des nombres et . On lit
en outre ( ) , ( ) et ( ) . Autrement dit, d’une part et ont des images
opposées et, d’autre part, et ont des images opposées. L’affirmation est fausse.
−3
( )
Rappel : Antécédent d’un nombre
Soit une fonction définie sur un ensemble . Si ( ), on dit que :
est l’image de par
est un antécédent de par
6) D’après le tableau de valeurs, ( ) . Autrement dit, un antécédent de par est .
L’affirmation est fausse.
( )
Remarque : On a en revanche ( ) , qui se traduit par « l’image de par est ». Il ne fallait donc
pas confondre « un antécédent de par est » et « l’image de par est ».
7) D’après le tableau de valeurs, ( ) . Autrement dit, il existe (au moins) un antécédent de par
; cet antécédent est . L’affirmation est fausse.
−3
( )
8) D’après le tableau de valeurs, ( ) et ( ) . Autrement dit, a deux antécédents par sur
{ } : les nombres et . Pour autant, il convient de remarquer
que l’on ignore s’il existe d’autres antécédents de par sur [ ]. En définitive, a au moins
deux antécédents par sur [ ]. L’affirmation est vraie.
( ) 2
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Représenter dans un repère orthonormé ( ) du plan la fonction définie sur par ( ) ( ) .
La fonction est définie sur par ( ) ( ) . Pour tracer sa représentation graphique dans un
repère orthonormé ( ) du plan, il convient de trouver plusieurs points de coordonnées ( ( ))
appartenant à puis de les relier afin de former une courbe harmonieuse.
Pour ce faire,
1) calculons quelques images de (en choisissant arbitrairement différentes valeurs de )
2) puis consignons les résultats dans un tableau de valeurs
3) puis plaçons les points de coordonnées ( ⏟
( )⏟
) dans le repère
4) puis relions ces points en formant une courbe harmonieuse
1ère
étape : Calculs d’images par
Si , alors ( ) ( ) ( )
Si , alors ( ) ( ) ( )
Si , alors ( ) ( ) ( )
Si , alors ( ) ( ) ( )
Si , alors ( ) ( ) ( )
Si , alors ( ) ( ) ( )
Si , alors ( ) ( )
Si , alors ( ) ( )
Si , alors ( ) ( )
Si , alors ( ) ( )
2e étape : Remplissage d’un tableau de valeurs
( )
3e étape : Placement de points
Il faut donc placer dans le repère orthonormé ( ) les points de coordonnées suivantes :
( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) et ( ).
Exercice 5 (1 question) Niveau : facile
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4e étape : Tracé de la courbe représentative de la fonction
Reste à relier les points placés en traçant une courbe harmonieuse.
Remarque : La courbe représentée est une parabole ; elle est la représentation graphique d’une fonction
polynôme de degré 2 définie ici par sa forme canonique ( ) (avec , et réels tels que ).
Axe des
ordonnées
Axe des
abscisses
Remarque :
Les 3 premiers points
de la liste ci-dessus
ne sont ici pas
visibles car leurs
ordonnées sont trop
grandes pour qu’ils
soient placés dans le
repère choisi.
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Soit la fonction définie sur par ( )
. On note sa courbe représentative dans un repère du
plan.
1) Le point ( ) appartient-il à ?
2) Le point ( ) appartient-il à ?
3) est le point de , d’abscisse nulle. Quelle est l’ordonnée de ?
4) Existe-t-il un point de , d’ordonnée ? Si oui, lequel ? Sinon, pourquoi ?
Rappel : Appartenance d’un point à une courbe
Soit une fonction définie sur un ensemble et soit sa courbe représentative dans un repère du plan.
Soit , un point du plan, de coordonnées ( ) avec , on a :
si , alors ( )
si ( ) , alors
si , alors ( )
si ( ) , alors
1) Vérifions si le point de coordonnées ( ) appartient à .
( ) (
)
( )
Ainsi, ( ) donc .
2) Vérifions si le point de coordonnées ( ) appartient à .
( ) (
)
( )
( )
Or,
. Ainsi, ( ) donc .
3) Calculons l’ordonnée de .
est un point d’abscisse nulle donc a pour abscisse .
Exercice 6 (4 questions) Niveau : moyen
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En outre, donc ( ) ( )
.
Le point a donc pour ordonnée
, c’est-à-dire pour coordonnées (
).
4) Etudions l’éventuelle existence d’un point de , d’ordonnée .
Il existe un point de , d’abscisse et d’ordonnée , si et seulement si ( ) .
Or, pour tout réel , ( )
.
Ce résultat est absurde ! Par conséquent, l’équation ( ) n’admet pas de solution.
Il n’existe donc pas de point de , d’ordonnée .
Remarque : Ci-dessous est représentée la fonction dans un repère orthonormé ( ) du plan. On observe
alors que la courbe est toujours située strictement au-dessus de l’axe des abscisses. Par conséquent,
graphiquement, il ne peut pas exister de point de d’ordonnée .
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Ecrire un algorithme permettant de savoir si un point de coordonnées ( ) appartient ou non à la courbe
représentative de la fonction définie sur par ( ) .
Ecrivons avec AlgoBox un algorithme permettant de savoir si un point de coordonnées ( ) appartient ou
non à la courbe représentative de la fonction définie sur par ( ) .
1 VARIABLES
2 x EST_DU_TYPE NOMBRE
3 y EST_DU_TYPE NOMBRE
4 DEBUT_ALGORITHME
5 AFFICHER "Soit un point M de coordonnées (x ; y)."
6 AFFICHER "Saisir l'abscisse x de M : "
7 LIRE x
8 AFFICHER x
9 AFFICHER "Saisir l'ordonnée y de M : "
10 LIRE y
11 AFFICHER y
12 SI (F1(x)==y) ALORS
13 DEBUT_SI
14 AFFICHER "Le point M appartient à la courbe représentative de f."
15 FIN_SI
16 SINON
17 DEBUT_SINON
18 AFFICHER "M n'appartient pas à la courbe représentative de f."
19 FIN_SINON
20 FIN_ALGORITHME
Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox
***Algorithme lancé***
Soit un point M de coordonnées (x ; y).
Saisir l'abscisse x de M : 3
Saisir l'ordonnée y de M : 17
Le point M appartient à la courbe représentative de f.
***Algorithme terminé***
***Algorithme lancé***
Soit un point M de coordonnées (x ; y).
Saisir l'abscisse x de M : -2
Saisir l'ordonnée y de M : -22
M n'appartient pas à la courbe représentative de f.
***Algorithme terminé***
Remarque : Il suffit de modifier l’expression de la fonction F1 pour pouvoir tester l’appartenance ou non d’un
point de coordonnées (x ; y) à la courbe représentative de F1, sans avoir à changer le reste de l’algorithme.
Exercice 7 (1 question) Niveau : moyen
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Fonction numérique utilisée :
F1(x)=pow(x,3)-2*pow(x,2)+3*x-1
pow(X,n) correspond à la puissance
nème
de X, c’est-à-dire à Xn