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Generadores de Radiación Ionizante

Formulas & Ejercicios

Objetivos: Dominar los modelos asociados a la generación de

radiación ionizante mediante la resolución de

problemas.

1

www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

Dr. Willy H. Gerber

Instituto de Fisica

Universidad Austral

Valdivia, Chile

1.2 Modelo del Filamento – Modelo Mecánico Cuántico

Función de onda

[-]

Vector de onda

[m]

Largo de onda

[m]

n = 1, 2, 3,… numero de estado

Impulso

[kg m/s]

Energía

[J]

z/L

L

z

m

h,

Largo del conductor

Posición dentro del conductor

Masa del electrón [kg]

(9.11x10-31 kg)

Constante de Planck

(6.63x10-34 Js, 1.055x10-34 Js)


1.2 Modelo del Filamento – Distribución de electrones según Fermi

1

E =100kT

Energía del

Estado

[J]

Numero de

Estado con

Energía < E

[-]

Numero de

Estados con

0

0 5

F(E)

E/EF

EF=100kT

EF=kT

EF=2kT

EF=10kT

Estados con

Energía entre

E y E+dE

Probabilidad

de ocupación

de estados

Energía de

Fermi [J o eV]

N: Numero de electrones / m3


1.2 Modelo del Filamento – Corriente de electrones libres

Impulso mínimo

para escapar

conductor

Distribución de

electrones

Densidad de

corriente

Constante

Función de trabajo [J]

Constante de Boltzmann [J/K] (1.38x10-23J/K)

Carga elemental [C (1.6x10-19 C)

Temperatura absoluta

ϕk

e

T

(Ecuación de Richardson-Dushman)


1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Child-Langmuir

cátodo ánodo

Flujo de electrones

[1/m2]

Potencial entre

Placas [V]

Velocidad de los

***

Electrones [m/s]

Distribución de

Electrones [-]

Energía del

Electrón [J o eV]

*** Para j inferior al j calculado con la ecuación de Richardson-Dushman

(efecto saturación)

Constante de campo

8.85x10-12 C2/N m2

ε0


Modelo de Filamento

Modelamiento del sistema filamento-placas

(p: placa, f: filamento, a: ánodo)

6

Superficie del filamento [m2]

Sección del filamento [m2]

Largo del Filamento [m]

Constante de Stefan Boltzmann

[5.6704x10-8 J/sm2K4]

Grado de emisión [-]

S

A

L

σ

ε

Caso Tungsteno:


1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Betatrón

Potencial inducido

en el anillo

Campo eléctrico

en el anillo

Impulso del

Electrón en el anillo

Fuerza de Lorentz para

retener al electrónretener al electrón

en el anillo

Impulso por efecto

de la fuerza de Lorentz

Relación de Wideroe

Energía del electrón


Campo magnético operación [T]

Campo magnético retención [T]

Radio del anillo [m]

Potencial inducido [V]

Campo eléctrico [N/C=V/m]

Impulso [kg m/s]

Velocidad [m/s]

Masa del electrón [kg]

Carga del electrón [C]

1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Ciclotrón

Fuerza para

Retener el electrón

Velocidad angular

Frecuencia angular

de operación

Periodo de campo

acelerador


1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Klistrón

Energía inicial

Energía tras buncher

Señal en buncher

Potencial en buncher


1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Klistrón

Aceleración en buncher

Factor de propagación del haz

Factor de acoplamiento

Caso perfil cuadrado


Caso perfil cuadrado

Angulo de transito

Variación de energía

Guía de Ondas

Periodo de la oscilación del generador RF:

Distancia entre disco:

11

En que la fase depende del diseño, o sea de la solución formal de la ecuación de

las cavidad.


Guía de Ondas

Ecuaciones claves para el calculo de la estructura de la guía de onda para el

caso de alta velocidad:

Angulo de transición

Largo de cavidad

Factor de propagación

12

Angulo de transición

La energía ganada

tras n cavidades

1 2 3 4 n n+1

dn dn+1d1 d2 d3 d4

Haz


1.4 Guía de Ondas – Ondas fuera de una cavidad

Ecuación de onda

Solución onda

plana

Relación de

dispersión

Velocidad de fase

Velocidad de grupo

Perpendicularidad

Vector de onda y

amplitud


1.4 Guía de Ondas – Ondas en cavidades infinita

Ecuación de ondas

Cavidad cilíndrica

Condiciones de

borde

Solución

Velocidad de fase

Velocidad de grupo

Relación de

dispersión

Frecuencia de cut-off


1.4 Guía de Ondas – Funciones de Bessel del primer tipo

s n=0 n=1 n=2 n=3

1 2.405 3.832 5.135 6.379

2 5.520 7.016 8.147 9.760

3 8.654 10.173 11.620 13.017

4 11.792 13.323 14.796 16.224

Raíces Jn

4 11.792 13.323 14.796 16.224

5 14.931 16.470 17.960 19.410

6 18.071 19.616 21.117 22.583

7 21.212 22.760 24.270 25.749

8 24.353 25.903 27.421 28.909

9 27.494 29.047 30.571 32.050


1.4 Guía de Ondas – Ondas en cavidades periódicas

Ansatz

Condiciones

de borde

con

Soluciones

Modo TM010


Densidad de energía Energía

Cabezal del Linac

Caso distintas velocidades (energías)


Perfil del haz

Corrección de la forma del perfil del haz: modelo de la fuente puntual

Rayos

Gamma Compensador

Colimador

Inte

nsi

da

d


Perfil del haz

Corrección de la forma del perfil del haz


Ejercicios 1

1. Cuales son los largos de onda de los primer tres estados en un filamento

representado por un conductor “unidimensional” de largo 5 mm? (5.00x10-3m,

2.50x10-3m, 1.67x10-3m)

2. Cuales son los impulsos para los estados descritos en 1? (1.33x10-31 kg m/s,2.65x10-31

kg m/s, 3.98x10-31 kg m/s)

3. Cuales las energías de los estados descritos en 1? Exprese el resultado en eV

(6.07x10-14 eV, 2.43x10-13 eV, 5.46x10-13 eV)

Mecánica Cuántica

20


4. Si el conductor se define como un volumen de 5 mm de largo y 0.1 mm de radio de

Tungsteno (densidad 19.25 g/cm3, peso molar 183.84 g/mol) y cada átomo contribuye

con un electrón; cuantos electrones de conducción contiene? (9.902x1018)

5. Cual es la energía de Fermi del filamento antes descrito? Exprese el resultado en eV

(5.83eV)

6. Si se toma como referencia que las típicas energías de partículas son del orden de kT

(donde k es la constante de Boltzmann y T la temperatura), a que temperatura

correspondería la función de trabajo del Tungsteno que es 4.52 eV? Que significa que

la temperatura que puede alcanzar del filamento antes de fundirse sea 3695 K?

(5.24x10+4 K; muy pocos electrones contribuyen al flujo)

Modelo del Filamento

Ejercicios 2

7. Si la función de trabajo del Tungsteno es 4.52 eV, cual es la velocidad

mínima que tiene que tener el electrón para abandonar la superficie del filamento?

Considere la aproximación no relativista. (1.90x10+6m/s)

8. Cual es el error (diferencia entre masa relativista y masa no relativista)

para la velocidad calculada en el ejercicio anterior? (2.01x10-5)

9. Si se asume que el gamma es 0.5, cual seria la máxima densidad de corriente para las

temperaturas 20C, 100C, 1000C, 2000C y 3000C? (3.63x10-67A/m2, 2.04x10-50A/m2,

1.67x10-6A/m2, 3.48x10+2A/m2, 7.91x10+5A/m2)

Modelo simple de placas

10. Depende la velocidad final de los electrones de la distancia entre las placas? Porque?

(No, la energía es igual a la fuerza por la distancia recorrido, pero la fuerza es

proporcional al inverso de la distancia)

11. Cual es la velocidad que tienen los electrones al alcanzar el ánodo si el potencial

aplicado es 20 kV, 40 kV, 80 kV, 120 kV y 150 kV (8.38x10+7 m/s, 1.19x10+8 m/s,

1.68x10+8 m/s, 2.05x10+8 m/s, 2.30x10+8 m/s)

12. Cual es la corriente que se puede generar entre filamento y ánodo si ambos están a 2

cm, el haz tiene un radio de 1 mm y el potencial aplicado es 1 kV, 5 kV, 10 kV, 20 kV y

50 kV (1.84x10+2 A/m2, 2.06x10+3 A/m2, 5.83x10+3 A/m2, 1.65x10+4 A/m2, 6.52x10+4

A/m2))

Modelo simple de placas


Ejercicios 3

13. Supongamos que un filamento de Tungsteno opera a 3300 K, cual seria la

resistencia de este si su largo es de 5 cm y el radio es 0.02 mm. (41.16 Ω)

14. Que corriente debe de existir si el filamento del ejercicio anterior se encuentra en

equilibrio radiactivo y la temperatura ambiente es de 20C? Asuma el grado de

emisión como 1. (1.013 A)

15. Que potencial tiene que ser aplicado al filamento del ejercicio anterior para lograr la

corriente calculada? (41.7 V)

Betatrón/Ciclotrón

16. Uno de los primeros betatrón generaba electrones con energías de 2 MeV y tenían

un radio del orden de 50 cm. De que orden tenían que ser los campos magnéticos?

(0.0267 T)

17. Cual es la masa relativista del electrón con la energía indicada en el ejercicio

anterior? (6.67x10-3 kg)

18. Cuanto le falta a la velocidad v del electrón para alcanzar la velocidad de la luz c?

Indique el resultado como la fracción (c-v)/c. (6.83x10-29)

19. Si con los parámetros del betatrón se construye un ciclotrón, con que velocidad

angular tienen girar los electrones? (4.68 GHz)


Ejercicios 4

20. Si a la entrada del Klistrón se aplica un potencial de 80 kV, con que velocidad entra el

electrón al buncher? (8.38x10+7 m/s)

21. Si la señal que se aplica en el buncher opera con una frecuencia de 2.8 GHz. Cual es

el largo del bunch que se genera? (18.8 cm)

22. Considerando los datos del ejercicio anterior, cual es el factor de propagación del

haz? (33.4 1/m)

23. De que tamaño es el factor de acoplamiento si en el caso del ejercicio anterior se

Klistrón

23. De que tamaño es el factor de acoplamiento si en el caso del ejercicio anterior se

supone que el campo es constante a lo largo de un buncher de 1 cm? (98.2 1/m)

24. Si el potencial aplicado al buncher es de 500 V, cual es la energía que se le “agrega”

o “resta” a los electrones según el ciclo de la señal en el ejercicio anterior? Indique

el resultado en keV. (49.08 keV)

25. Si deseamos acelerar electrones hasta una energía de 6MeV, que velocidad

debemos lograr? Indique el resultado en fracción de la velocidad de la luz (0.966)

26. Si la guía es operada con una radio frecuencia de 2.8 GHz, de que largo debe ser la

ultima cavidad? (53.3 mm)

Guía de Ondas


Ejercicios 4

27. De que tamaño debe ser la primera cavidad si entra con la energía máxima

que resulta de sumar la energía de entrada al Klistrón (ejercicio 20) y aquella

que este le suma (ejercicio 24)? (53.3 mm – o sea en este caso las cavidades casi no

varían desde la primera a la ultima porque la velocidad inicial es cercana a la de la

luz)

28. Cual es el largo máximo de las cavidades de la guía de onda descrita por los

ejercicios anteriores? (53.7 mm)

29. Cuanta energía suministra cada cavidad si esta tiene un largo de 53.3 mm, la radio

frecuencia es de 2.8 GHz y el voltaje máximo es de 150kV? Indique el resultado en

MeV. (95.98 keV)

30. Cuantas cavidades tenemos que tener en la guía para lograr electrones de 6 MeV si

al ingresar tienen una energía de 50keV? (62)

31. Para una guía de ondas de 1 cm de radio y largo infinito, cual es la primera

frecuencia angular de corte? (7.22x10+10 1/s)

32. Cual es la velocidad de grupo de una onda en una cavidad infinita para el caso de

vector de onda cero? (cgrupo=c)

33. Porque la guía de onda de largo infinito no logra acelerar electrones? (Porque la

velocidad de grupo de las ondas (c) se adelantan a la de los electrones (v < c) que

deben acelerar)


Ejercicios 5

34. Si el electrón que sale del Linac tiene una energía de 6 MeV, que intensidad tiene

que tener el campo magnético para que lo logre deflectar en tan solo 15 cm?

(1.13x10-2 T)

35. Si un electrón tuviese una energía en un 0.1% menor a los 6 MeV, cual seria la

diferencia entre el radio de la trayectoria de este electrón con respecto del de 6

MeV? (0.658 mm)

36. Si la distancia entre la fuente virtual y el paciente es de 2 m, el colimador esta a 50

cm de la fuente virtual y este ultimo tiene un ancho de 2 cm; cual es el ancho del

Colimador y focalizador

cm de la fuente virtual y este ultimo tiene un ancho de 2 cm; cual es el ancho del

haz a la altura del paciente y cual es el decrecimiento en el borde del haz respecto

del centro si no existiera un filtro corrector? (8 cm, 0.998)


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