„gekoppelte oszillatoren“
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„Gekoppelte Oszillatoren“. Inhalt. Gekoppelte Pendel Gekoppelte elektrische Schwingkreise Gekoppelte Schwingungen in den Bausteinen der Materie Orbitale der Elektronen Molekülschwingungen Schwingungen in Festkörpern. Feder und Massenpunkt. d‘ Alembertsches Prinzip. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
„Gekoppelte Oszillatoren“
Inhalt
• Gekoppelte Pendel
• Gekoppelte elektrische Schwingkreise
• Gekoppelte Schwingungen in den Bausteinen der Materie– Orbitale der Elektronen– Molekülschwingungen– Schwingungen in Festkörpern
Feder und Massenpunkt
Einheit Bezeichnung
1 N Federkraft
1 N Trägheitskraft
1 NSchwingungs-gleichung
skF
smF d‘ Alembertsches Prinzip
smsk
Erste Eigenschwingung der über eine Feder gekoppelten Oszillatoren
Leicht erhöhte Frequenz: Kopplungsfeder wird wenig beansprucht
Symmetrische Auslenkungen
Zweite Eigenschwingung der über eine Feder gekoppelten Oszillatoren
Höhere Frequenz: Kopplungsfeder wird stark beansprucht
Anti-Symmetrische Auslenkungen
Versuch: Gekoppelte Pendel
• Verhalten eines einzelnen Schwingkreises• Kopplung über die Feder• Schwebungen durch Überlagerung von zwei
Schwingungen unterschiedlicher Frequenz• Suche nach den Eigenfrequenzen durch
spezielle Startbedingungen• Unterschiedliche Eigenschwingungen zeigen
unterschiedliche Symmetrie
SchwingungartSymmetrie bei
SpiegelungMuster
Erste
EigenschwingungSymmetrisch
Zweite Eigenschwingung
„Anti“-symmetrisch
Beliebig, das ist eine Überlagerung beider
Eigenschwingungen
Unsymmetrisch
„Schlüsselexperiment“ Doppelpendel
Effekt der Kopplung
• Ohne Kopplung: Beide Oszillatoren zeigen die gleiche Eigenfrequenz
• Mit Kopplung: – Zwei „Schwingungsmoden“ mit
unterschiedlichen Eigenfrequenzen– Die Symmetrie der Auslenkungen beider
Moden ist unterschiedlich
Versuch: Gekoppelte elektrische Schwingkreise
• Verhalten eines einzelnen Schwingkreises• Kopplung über die Feldstärken• Schwebungen durch Überlagerung von
zwei Schwingungen unterschiedlicher Frequenz
• Suche nach den Eigenfrequenzen mit Fourier-Analyse
Kopplung von zwei elektrischen Schwingkreisen über das magnetische Feld
Kopplung ohne Materie gibt es nur in elektromagnetischen Feldern!
Über das Magnetfeld gekoppelte Schwingkreise
• Schwebungen aufgrund des Austauschs der Energie zwischen den Schwingkreisen
• Grund: Überlagerung der beiden Eigenschwingungen mit– leicht unterschiedlichen Frequenzen– unterschiedlichen Symmetrie-Eigenschaften
• Erste Eigenschwingung mit „gleichphasigen“ Feldstärken in beiden Kreisen
• Zweite Eigenschwingung mit „gegenphasigen“ Feldstärken in beiden Kreisen
Gekoppelte Schwingungen in der Materie
• Alle durch Wechselwirkungskräfte verbundenen Teile sind – bei entsprechender Anregung – „gekoppelte Pendel“
• Bei Teilchenzahl n wächst - im dreidimensionalen Raum - die Zahl der „Freiheitsgrade“ auf 3n
• Es gibt deshalb 3n Eigenschwingungen mit unterschiedlichen– Symmetrie-Eigenschaften– Energie-Werten
• An jeder Eigenschwingung sind immer alle Oszillatoren beteiligt
Beispiele
• „Gekoppelte Pendel“
• Orbitale des Elektronensystems
• Molekülschwingungen
• Schwingungen im Festkörper, „Phononen“
Orbitale
• Die Elektronen in einer „Schale“ n eines Atoms bilden ein System identischer, gekoppelter Oszillatoren– Hier verlässt man das Bohrsche Atommodell
• Die Eigenschwingungen dieses Systems werden mit den Quantenzahlen l, m bezeichnet– und zeigen unterschiedliche Symmetrie-Eigenschaften
• Orbitale zeigen die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen– was bei Oszillatoren sinnvoll ist
Drehung erlaubt? X-Achse Y-Achse Z-Achse
Ja Nein Nein
Nein Ja Nein
Nein Nein Ja
Symmetrie der drei p Orbitale einer Unterschale (l=1)
bei beliebiger Drehung um eine Achse
Orbitale mit ihren Quantenzahlen
Symmetrie
0m 1m 1m
gt1
1l
Haupt-quantenzahl
Drehimpuls- oder Nebenquantenzahl
Orientie-rungs-Quanten-zahl
Max. Zahl der Zustände
Form derOrbitale
N SchaleSchale, Orbital
TypSpin
1 K 0 s 0 2
2 L
0 s 0 2
1 p
-1
60
1
Beispiel: Orbitale im Neon
1N0 l lml
Molekülschwingungen, Beispiel CO2, erste Streckschwingung, symmetrisch
z
x
Beispiel CO2, zweite Streckschwingung antisymmetrisch
z
x
Beispiel CO2, erste Deformationsschwingung
z
x
Beispiel CO2, erste Deformationschwingungen, Ansicht von der Längs-Seite
z
y
Beispiel CO2, zweite Deformationschwingung, Ansicht von der Längs-Seite
z
y
1
ja ja ja ja
ja nein nein ja
ja nein ja nein
Symmetrieeigenschaften dieser Schwingungen bei der Einheitsoperation, Drehung und Spiegelung
Ist die Schwingung invariant gegenüber der Symmetrieoperation?
Beispiel: Anregung der ersten Deformationsschwingung von CO2 im
Infrarot-Bereich
Kristalline Festkörper
• Bei n Teilchen gibt es n „Schwingungsmoden“ mit Auslenkungsmuster unterschiedlicher Symmetrie
• Die n Eigenfrequenzen der Moden liegen zum Teil sehr dicht beisammen, es entstehen Energiebänder
Modell für die Einheitszelle eines Kristalls mit zwei Atomen in der Elementarzelle mit Federn anstelle der Coulomb-Kräfte
Freiheitsgrade eines Kristallgitters mit 2 Atomen in der Elementarzelle
Translation Innere Schwingung
Beispiel für die Eigenschwingungen eines Kristalls mit zwei Atomen in der Elementarzelle
Freiheitsgrade eines Kristallgitters mit 2 Atomen in der Elementarzelle
Beispiel für eine Eigenschwingung
Phononen
• Zu jedem Auslenkungsmuster gehört eine „Eigenfrequenz“
• Normalschwingungen der Teilchen in kristallinen Festkörpern werden „Phononen“ genannt
• Die Schwingungen der Teilchen, die Phononen, koppeln an die Anregung der Elektronen
Wirkung der Kopplung: Vergleich der Spektren von
Gasen/Flüssigkeiten/Festkörpern
C6H6
Beispiele für Emission und Absorption an freien Atomen und im Vergleich dazu – an heißen Festkörpern
Abbildung: Emissionsspektrum der Quecksilberdampflampe und Absorptionslinien im Sonnenspektrum. Quelle: Meyers Enzyklopädisches Lexikon
Absorptionslinien von Wasserstoff vor der „Weissen“ Strahlung der Sonne (an der Oberfläche ca. 6000 K)
Zuammenfassung
• Alle durch Wechselwirkungskräfte verbundenen Teile sind – bei entsprechender Anregung – „gekoppelte Pendel“
• Bei Teilchenzahl n wächst die Zahl der „Freiheitsgrade“ auf 3n
• Es gibt deshalb 3n Eigenschwingungen mit unterschiedlichen– Symmetrie-Eigenschaften– Energie-Werten
Finis
Leicht erhöhte Frequenz: Kopplungsfeder wird wenig beansprucht
Symmetrische Auslenkungen