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Revista Ingenierías Universidad de Medellín

ISSN: 1692-3324

[email protected]

Universidad de Medellín

Colombia

Gil Zapata, Martha María; Pérez Ramírez, Fredy Ocaris

Análisis y predicción de la acción de la empresa Acerías Paz del Río utilizando un modelo

GARCH(1,1) y redes neuronales artificiales

Revista Ingenierías Universidad de Medellín, vol. 4, núm. 7, julio-diciembre, 2005, pp. 83-97


Medellín, Colombia

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RESUMENRESUMENRESUMENRESUMENRESUMEN

En este artículo se describen el modeloGARCH(1,1) y un modelo utilizando redesneuronales artificiales (en particular el filtro lineal)para el análisis y predicción de la acción de laempresa Acerías Paz del Río (pazrio), la cual cotizaen la BVC. Lo que se pretende es comparar losalcances y limitaciones del modelo utilizando redesneuronales frente al modelo GARCH(1,1); para elloutilizaremos las plataformas del EVIEWS y elMATLAB .

Análisis y predicción de la acciónde la empresa Acerías Paz

del Río utilizando un modeloGARCH(1,1) y redes

neuronales artificialesMartha María Gil ZapataMartha María Gil ZapataMartha María Gil ZapataMartha María Gil ZapataMartha María Gil Zapata

Ingeniera Civil y Magíster en Aprovechamiento de Recursos Hidráulicos de la Universidad Nacional sede Medellín. Decana de la

Facultad de Ingenierías de la Universidad de Medellín. e-mail: [email protected]

Fredy Ocaris Pérez RamírezFredy Ocaris Pérez RamírezFredy Ocaris Pérez RamírezFredy Ocaris Pérez RamírezFredy Ocaris Pérez Ramírez2 Matemático de la Universidad de Antioquia, Magíster en Matemáticas Aplicadas de la Universidad EAFIT y Estudios de

Especialización en Estadística en la Universidad Nacional sede Medellín. Profesor de tiempo completo, Facultad de Ingenierías.

Programa de Ingeniería Financiera. Universidad de Medellín. e-mail: [email protected]

RECIBIDO: 22/07/2005ACEPTADO: 30/09/2005

Análisis y predicción de la acción de la empresa acerías paz del río...

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Revista Ingenierías

PALABRAS CLAVEPALABRAS CLAVEPALABRAS CLAVEPALABRAS CLAVEPALABRAS CLAVE

GARCH, Redes Neuronales Artificiales.

ABSTRACTABSTRACTABSTRACTABSTRACTABSTRACT

In this article they describe to the modelGARCH(1,1) and a model using artificial neuronalnetworks (in individual the linear filter) for theanalysis and prediction of the action of thecompany Acerías Paz del Río (pazrio), which quotesin the BVC. What it is tried is to compare thereaches and limitations of the model being usedneuronal networks front to the model GARCH(1,1),for it we will use the platforms of the EVIEWS andthe MATLAB.

KEY WORDSKEY WORDSKEY WORDSKEY WORDSKEY WORDS

GARCH, networks neuronal artificial.

Gil & Pérez

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IntroducciónAcerías Paz del Río es una empresa colombianadel sector siderúrgico y minero que actualmentese encuentra en concordato (ley 550), hoy por hoyesta llevando a cabo una serie dereestructuraciones internas en donde lo más

relevante es su proceso de renovación tecnológicay el aprovechamiento de la reestructuraciónfinanciera que le da una ventaja competitiva en elsector.

A continuación se muestra una informacióngeneral de la empresa y del comportamiento desu acción en el año 2004.


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La posibilidad de predecir el comportamiento dela acción de la empresa Acerías Paz del Río es unaherramienta fundamental para competir en elsector.

1. Modelo GARCH(1,1)La modelación del GARCH proviene de avancesen la modelación de la volatilidad en la décadapasada; este proceso se introduce en el grupo deanálisis que trata el exceso de kurtosis y lavolatilidad, dos características importantes de lasseries financieras. Estas característicasproporcionan una adecuada predicción de lasvarianzas y covarianzas del retorno de los activosa través de su facilidad para modelar la variaciónen el tiempo de las varianzas condicionales.

Se pueden aplicar modelos GARCH en cualquierade los diversos campos de la administración delriesgo, de la administración de portafolio, en lacolocación de activos, en las opciones de precio,en las tasas de cambio y en la estructura de tasasde interés.

También se pueden encontrar grandes efectossignificantes del GARCH en mercados accionarios,no sólo para choques individuales, sino tambiénpara stock de portafolios e índices y para mercadosfuturos accionarios. Estos efectos son importantesen algunas de las áreas de la valoración del riesgo(VAR), y en otras aplicaciones de la administracióndel riesgo concernientes a la eficiencia de lacolocación del capital. Se pueden usar los modelosGARCH para examinar la relación entre las tasasde interés de corto y largo plazo debido a laincertidumbre de las tasas; el modelo sirve tambiénen el análisis de la variación del tiempo en elretorno de las tasas.

DefiniciónEl modelo GARCH(1,1) para un proceso εεεεεt, sedefine como

εεεεεt = ht at donde

es una condición necesaria para la

estacionariedad del modelo. Bajo esta condición,

el modelo GARCH(1,1) equivale a un modelo ARCH

de orden infinito

Del modelo GARCH(1,1) de (1.1) se tiene que

donde puede verse que, para que el proceso devarianza condicional sea estacionario, es precisoque .

TeoremaSi los εεεεεt siguen un proceso GARCH(1,1), entoncesla varianza no condicional de εεεεεt esta dada por

Demostración

(1.1)

Gil & Pérez

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Por lo tanto, utilizando la fórmula de recurrencia, y suponiendo que

es finita, se tiene que

entonces, si y se cumple que

,

y al aumentar el horizonte de previsión s, puede

probarse que el valor esperado de la varianza

condicional converge hacia .

En general, el 2n ésimo momento del modeloGARCH(1,1), existe si

donde

Por ejemplo, en el caso del proceso ARCH (1), es

decir para θ1 = 0, la condición (1.2) se reduce a

.

El 2n-ésimo momento se expresa por la siguientefórmula recursiva

(1.2)


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En particular, el momento de cuarto orden en elmodelo GARCH(1,1), existe si

en cuyo caso

y

por lo tanto, el coeficiente de Kurtosis es

que es positivo bajo nuestras hipótesis, por lo queel proceso GARCH(1,1) es leptocúrtico.

En las aplicaciones prácticas de este modelo, setiene con frecuencia que δ1 + θ1 esaproximadamente igual a la unidad, con lo que elproceso no se separa mucho de uno noestacionario. Tal proceso se dice que es integradoen varianza, ya que la primera diferencia de estesería un proceso estacionario.

En tal modelo, la previsión de la varianza

condicional para s>0 no converge

hacia σ2 al crecer en el horizonte de previsión, sino

que depende explícitamente de ΩΩΩΩΩt.

2. Redes neuronalesartificialesLas redes neuronales emulan la estructura y elcomportamiento del cerebro, utilizando losprocesos de aprendizaje para buscar una solucióna diferentes problemas; son un conjunto dealgoritmos matemáticos que encuentran lasrelaciones no lineales entre conjuntos de datos;suelen ser utilizadas como herramientas para lapredicción de tendencias y como clasificadoras deconjuntos de datos.

Se denominan neuronales porque están basadasen el funcionamiento de una neurona biológicacuando procesa información.

Existe una gran variedad de tipos de estructurasde redes neuronales; la principal diferencia estáentre las redes de prealimentación y las redesrecurrentes. En las primeras, las conexiones sonunidireccionales y no hay ciclos. En las recurrentes,las conexiones pueden formar topologíasarbitrarias. Las redes de prealimentación conniveles fueron estudiadas por primera vez porRosenblatt y otros más, a finales de la década delos cincuenta bajo el nombre de Perceptrones. Almismo tiempo que Frank Rosenblatt trabajaba enel modelo del Perceptrón, Bernard Widriw y suestudiante Marcian Hoff introdujeron el modelode la red Adaline y su regla de aprendizaje llamadaalgoritmo LMS (Least Mean Square).

La red Adaline es similar al Perceptrón, excepto ensu función de transferencia, la cual es lineal; sinembargo, esta red tiene la misma limitación que elPerceptrón, ya que solo puede resolver problemaslinealmente separables. Sin embargo, el algoritmoLMS es más potente que la regla de aprendizajedel Perceptrón, ya que minimiza el error mediocuadrático, característica que lo hace bastantepráctico en las aplicaciones de procesamiento deseñales digitales y la predicción de series de tiempo.

Adaline se denomina por sus siglas Adaptive LinearNeuron, pero pasó a llamarse Adaptive LinearElement, debido a que ADALINE es un dispositivoque consta de un único elemento de

Gil & Pérez

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procesamiento, y como tal no es técnicamente unared neuronal.

El Adaline es lineal porque la salida es una funciónlineal sencilla de los valores de la entrada. La salidade la red esta dada por

La red lineal tiene un límite de decisión como elperceptrón que es determinado por los vectoresde entrada para las entradas de la red. Así la redlineal permite clasificar objetos en dos categorías,sin embargo, este puede clasificar objetos que sonsólo linealmente separables; la misma limitacióndel perceptrón.

El error es calculado como la diferencia entre eltarget y la salida de la red. El objetivo es minimizarel promedio de la suma de estos errores.

Regla de aprendizajeLa red Adaline es una red de aprendizajesupervisado que necesita conocer de antemanolos valores asociados a cada entrada. Cuando unaentrada es presentada a la red, la salida de la redes comparada con el valor de t que es asociado.Los pares de entrada y salida tienen la siguienteforma

El proceso de actualización de los pesos y los biasse obtiene a partir del algoritmo LMS, que estábasado en el método de gradiente descendente.Widrow y Hoff estiman el error cuadrático mediousando el error cuadrático en cada iteración,obteniendo así la siguiente regla de aprendizaje

donde t(k): es la salida esperada y

El error es reducido por el factor ααααα mientras lospesos van cambiando a medida que se presentaun valor de entrada. Cada vez que se presenta unnuevo patrón el ciclo de actualización inicianuevamente; el siguiente error es reducido por elfactor α α α α α y el proceso continúa.

La constante α α α α α controla la estabilidad y lavelocidad de la convergencia del proceso deentrenamiento; si se escoge un valor muy pequeñoel algoritmo pierde velocidad y tarda mucho enalcanzar la convergencia; si, por el contrario, setoma un valor muy grande, el algoritmo pierdeestabilidad y se torna oscilante alrededor del valorde convergencia. Para patrones de entradaindependientes en el tiempo, la estabilidad esgarantizada para valores de α α α α α que varían entre

0< ααααα < 2.

Si se fija α α α α α en un valor mayor a 1 el error esinnecesariamente sobre-corregido, por lo tanto unrango de valores prácticos para la rata deaprendizaje es 0.1< ααααα < 1.

La red Adaline toma la entrada y la salida deseada,y se ajusta a sí misma para ser capaz de llevar acabo la transformación deseada. Además, sicambian las características de la señal, la redAdaline puede adaptarse automáticamente.

Predicción de la acción de laempresa Acerías Paz del Río

a) Utilizando un modelo GARCH(1,1)

El análisis clásico de regresión basado eninformación de series de tiempo suponeimplícitamente que la serie de tiempo en la cualse basa es estacionaria o que puede convertirseen estacionaria mediante alguna transformaciónapropiada. De no ser así, el procedimientoconvencional de prueba de hipótesis, basadoen los test de la t, F, ji-cuadrada y otras similares,será de dudosa aceptación.


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Para la estimación del modelo se utiliza una basede datos de los precios de cotización diarios decierre de la empresa Acerías Paz del Río desde el 1de enero de 2004 hasta el 12 de octubre del 2004,que en adelante llamaremos PAZRIO. La gráfica dela serie PAZRIO se presenta en la figura 1. Como laserie PAZRIO es no estacionaria, se toma la seriede rendimientos diarios de PAZRIO (que llamaremosDLNPAZRIO) que sí es estacionaria (ver apéndice1). La gráfica de la serie DLNPAZRIO se muestraen la figura 2.

Figura 1. Precios de cotización diarios de cierre de la empresa Acerías Paz del Río desde el 1 de enerode 2004 hasta el 12 de octubre del 2004 .

Se observa en la figura 1 que los precios de la acciónAcerías Paz del Río presentan un comportamientoascendente con un pico muy alto aproxima-damente entre los meses de marzo y abril de 2004.Se observa también que a principios del año laacción es estable en un precio bajo, luego presentauna fuerte alza y por último comienza a descenderestabilizando su precio sin llegar a los nivelesiniciales.

Figura 2. Gráfica de la serie DLNPAZRIO

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El modelo GARCH(1,1), para la serie estacionariaDLNPAZRIO, estimado es:

donde se puede observar que todos los parámetrosson significativos y además los residuales delmodelo son ruido blanco (ver apéndice 2).

Ahora se analizan los valores de la volatilidad conel comportamiento de la serie, para comprobar silos picos tanto ascendentes como descendentesde la serie coinciden con alta volatilidad. Se puedeobservar en el gráfico que se presenta en la figura3, que en el primer trimestre del año hubo un

pivote hacia arriba, reflejado en una alta volatilidaddebido a la expectativa de entrega de los primerosresultados empresariales, ya que el mercadocomienza a ser sobre demandado generandoagresión de puntas de venta, provocandotendencias significativas al alza; lo anterior debidoal repunte económico del país y a la confianza delos operadores del mercado que por mucho tiemposiguieron ingresando órdenes de compra almercado superando cualquier pronóstico de losanalistas económicos. Mirando el gráfico devolatilidad refleja este acontecimiento antes ydespués con altas volatilidades.

A comienzos de mayo, el representante de laautoridad monetaria de los Estados Unidos, en unode sus discursos, asegura que su economía puedeempezar a contraer su política monetaria medianteun alza acelerada de tasa de interés, lo que generóun alto nerviosismo en los mercados internacio-nales y, por ende, en mayor proporción en losmercados emergentes. Esto generó incertidumbreen las bolsas, provocando caídas abruptas en losprecios de las acciones y demás activos financieros,ya que los operadores rápidamente cerraron susposiciones largas en acciones, para tomarposiciones largas en dólares y realizar flujos decapitales a la economía norteamericana. Poco apoco el pánico fue generalizándose y las ventas encorto de los inversionistas generaron aún máscaídas en los precios, reflejándose volatilidadesaltas hacia abajo.

Los mercados poco a poco se fueron estabilizandoluego de que la economía norteamericana nopresentaba signos vitales de recuperacióneconómica, ya que las principales variables de sueconomía (empleo, pedidos de bienes duraderos,índice de confianza, entre otros) no generabanconfianza a los inversionistas, por ende,nuevamente las bolsas internacionales yemergentes presentaron repuntes importantes enlos precios de las acciones, y la volatilidad que veníaen orden ascendente se estabiliza como se reflejaen el precio de la acción. Es decir, hubo duranteentre agosto, septiembre y octubre una relativacalma en el mercado mientras los operadores


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analizaban qué posición tomaban respecto a lasnoticias de la economía de los Estados Unidos.

Figura 3. Gráfico de la serie PAZRIO vs Volatilidades

Con el modelo encontrado se obtienen lospronósticos muestrales y se realiza el gráfico entrelos valores observados y los ajustados en la figura 4.

Figura 4. Valores observados vs estimados

Se puede ver, en la figura 4, que los pronósticosson muy similares a los observados. Utilizando elmodelo GARCH(1,1) se obtienen los siguientes

pronósticos extramuestrales para las siguientes 2semanas y se muestra un cuadro comparativoentre los resultados obtenidos con el modelo y lascotizaciones reales de la acción, que sepresentaron posteriormente entre el 13 y 25 deoctubre en la Bolsa de Valores de Colombia.

Tabla 1. Valores reales observados de PAZRIO ylos valores de su predicción con el modelo GARCH

Gil & Pérez

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b) Utilizando redes neuronales artificiales

Para la aplicación se toma de nuevo la base dedatos de los precios de cotización diarios decierre de la empresa Acerías Paz del Río desde el1 de enero de 2004 hasta el 12 de octubre del2004. Los datos están en la plataforma Excel.La idea esencial consiste en tomar estos datoscomo entradas de una estructura neuronal, lacual una vez diseñada y entrenada, mediante elproceso de simulación nos arrojaría unosresultados que representarían la valoración delas acciones de Acerías Paz del Río en las fechasestablecidas. La herramienta computacionalacordada para desarrollar dicho trabajo es elMATLAB, con el toolbox de Redes neuronales.

La situación planteada nos indica que los datosno pueden ser ingresados al mismo tiempo, sinouno por día, por lo que se considera una redneuronal que sea consistente.

Red lineal con retardosPara implementar esta red necesitamos de unanueva componente, la línea de retardos, pudiendode esta manera lograr un uso total de la red lineal.Esta línea de retardo se muestra más adelante. Enella la señal de entrada ingresa desde la izquierda,y pasa a través de N-1 retardos. La salida de lalínea de retardo (TDL) es un vector de N-dimensiones, el cual se configura con la señal deentrada en el tiempo actual y la señal de entradaanterior.

Filtro linealEs posible y apropiado combinar una línea deretardo con una red lineal, para crear el filtro linealel cual aparece a continuación

La salida del filtro está dada por

La red mostrada arriba está referenciada en elcampo del procesamiento de señales digitalescomo un filtro de respuesta de impulso finito(FIR).

Error cuadrático medioEl algoritmo del menor error cuadrático medio(LMS) es un ejemplo de entrenamiento


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supervisado, en el cual la regla de aprendizaje estáacompañada de un conjunto de ejemplos decomportamiento deseado de la red

Aquí está una entrada a la red, y la correspondientesalida deseada. En tanto que cada una de lasentradas se aplican a la red, la salida de la red secompara con la salida deseada. El error se calculacomo la diferencia entre la salida deseada y la salidade la red. Cuando queremos minimizar el promediode la suma de estos errores, empleamos laexpresión

El algoritmo LMS ajusta los pesos y bias de la redlineal para minimizar este error cuadrático medio.

El objetivo es entonces diseñar, entrenar y simularun filtro lineal (compuesto de una línea de retardoy una red lineal), al cual se le ingresan un conjuntode datos (acciones de Acerías Paz del Río) a travésde la línea de retardos, con el propósito de predecirvalores futuros de series de tiempo, en donde losvalores próximos en una señal están dados porlos valores anteriores de la misma.

Para obtener las predicciones se considerarondiferentes retardos y se obtuvo un menor errorcuadrático medio con 202 rezagos. La estimaciónde los pesos y el bias se realizó utilizando elpaquete MATLAB versión 7.04. El valor estimadodel bias fue de 2.5517 y la estimación de los pesosno se muestra (pero están disponibles paraverificación). El error medio fue de 0.0258, elerror absoluto porcentual medio de 0.1201% y losresiduos estimados del modelo son ruido blanco.En la siguiente tabla se muestra el comportamientode las predicciones del modelo GARCH(1,1) y lasdel filtro lineal con 202 retardos, frente a la seriede los precios de las acciones de PAZRIO del 13de octubre del 2004 al 25 de octubre del 2004.

Tabla 2. Valores reales observados de PAZRIO ylos valores de su predicción con los modelosGARCH y el de Filtro Lineal

Se observa en la tabla 2 que la predicción generadapor la red neuronal fue mejor que la obtenida conel modelo GARCH. Los resultados del filtro linealestuvieron, en promedio, más cercanos en relacióncon la predicción del primer modelo.

Conclusiones1.Los pronósticos extramuestrales obtenidos con

el modelo GARCH(1,1) a diferencia de losmuestrales presentan un mayor error; esto dadoporque el modelo arroja pronóstico contendencia al alza en el precio, mientras que enlas dos semanas siguientes el precio de la acciónreaccionó a la baja perdiendo un 11.70%aproximadamente en su valor.

2.Gráficamente se comprueba que a valores bajosde la volatilidad de los errores se observaestabilidad en el precio de la acción; en cambio,cuando la volatilidad presenta valores altos enmuchos casos coincide con alza o una caídaabrupta en la cotización de la acción.

3.Gracias a las características de flexibilidad yadaptabilidad, el filtro lineal y en general las redesneuronales artificiales presentan una alternativa

Gil & Pérez

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para analizar y predecir la serie de tiempo delprecio de cierre de las acciones de Acerías Pazdel Río. Sin embargo, como lo han demostradoalgunos resultados, el uso de las redesneuronales no necesariamente desplazará losmétodos clásicos de predicción, sino que alcontrario, éstas se pueden convertir enprocedimientos complementarios para unanálisis más riguroso de las series de tiempofinancieras y económicas.

4.La ventaja de aplicar la técnica de redesneuronales artificiales radica en que, a diferenciade los modelos econométricos tradicionales, loscuales intentan ajustar los datos a un modelo,las redes neuronales construyen un modelo quese ajusta a los datos.

5.En la Ingeniería Financiera, la posibilidad depredecir el comportamiento del mercado seconvierte en una herramienta fundamental enel análisis econométrico y en el proceso de tomade decisiones. La información recolectada através de las series de tiempo y los métodos depredicción pueden ser usados para prevenirposibles comportamientos no deseados en elmercado y tomar medidas que favorezcan laestabilidad del mismo.

6.Una de las características que muestra la seriede tiempo del precio de cierre de las accionesde Acerías Paz del Río es su volatilidad. Estecomportamiento, las asimetrías en lasfluctuaciones, son un indicio de la presencia deno linealidades y justifica el hecho de realizar lapredicción con el modelo GARCH(1,1).

Apéndice 1Contraste de raíz unitaria para la serie DLNPAZRIO

Para realizar el contraste de raíz unitaria, seconsideró la prueba de Dickey-Fuller aumentada.

Con base en esta salida, se realiza el contraste deraíz unitaria.

Como el estadístico ADF , entonces se rechaza lahipótesis nula, es decir que la serie DLNPAZRIOno tiene raíz unitaria por lo que concluimos quees un proceso estacionario en nivel. Al concluiresto decimos que el valor d de nuestro modelo esd=1, es decir, que la serie se debe diferenciar unasola vez para tener un comportamientoestacionario en nivel.

La interpretación grafica ratifica que el modelo dela serie es estacionaria en media al diferenciarlauna vez y el proceso estocástico permite predecirel comportamiento futuro de las cotizaciones delos precios.


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Apéndice 2Análisis de los residuos del modelo ajustadoGARCH(1,1).

A partir del correlograma se observa que losresiduos son ruido blanco.

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