Galileo Galilei: El mtodo cientfico resolutivo-compositivoPosted on14 junio, 2011bysukicorleoneGalileo Galilei, es uno de los cientificos ms importantes de la edad moderna, por su grandes aportes a la ciencia, especialmente en el metodo de trabajo, que usaba para llegar a sus conclusiones y formular sus hipotesis, este metodo es el llamado mtodo cientfico resolutivo-compositivoEl mtodo se basaba en 4 pautas a seguir:1.-Observacin:Hay que partir inevitablemente de la precisin en la consideracin del objeto de la investigacin, lo que nicamente es posible por la determinacin de datos de observacin minuciosamente delimitados y con referencia a un problema que resolver. Generalmente el problema que se plantea hace referencia a una teora explicativa frente a la cual los datos observados no pueden ser explicados por ella, bien por un cambio de concepto en el fundamento o por simple ampliacin de observaciones.2.-Elaboracin de una hiptesis explicativa:A partir de este momento la explicacin de este nuevo modo de concebir el fenmeno requiere una explicacin nueva, lo cual se hace como hiptesis o teora provisional a la espera de una confirmacin experimental.3.-Deduccin:Sobre esta hiptesis o teora se hace necesario extraer las consecuencias que se derivan del hecho de tenerla por verdadera. Fundamentalmente dichas consecuencias deductivas deben ser de tipo matemtico pues, como dice Galileo,la naturaleza est escrita en lenguaje matemtico4.-Experimento o verificacinSe montan las condiciones en las que se puedan medir las consecuencias deducidas, procurando unas condiciones ideales para que las interferencias con otros factores sean mnimos (rozamientos, vientos etc.), y comprobar si efectivamente en todos los casos, siempre se reproducen dichas consecuencias.Por ejemplo en la formulacin de la ley de movimiento de los cuerpos1.- Galileo rechaza la teora aristotlica del movimiento. No acepta la explicacin cualitativa. l pretende una descripcin del movimiento por la medida de cantidades, como relacin espacio-tiempo que permite establecer lo que l llamcantidad de movimientoque hoy llamamosvelocidad.La cada libre de los graves, percibida en la experiencia comoir cada vez ms deprisase convierte ahora en una relacin meramente cuantitativa devariacin de cantidad de movimiento por unidad de tiempo, lo que hoy llamamosaceleracin.Ahora el movimiento de cada de los graves se interpreta como variacin de relacin de cantidades: en un primer orden de espacio y en un segundo orden de velocidad, con respecto al tiempo.2.- Galileo considera tres tipos de hiptesis: las metafsicas que no tienen comprobacin alguna, las inventadas para salvar la situacin, como explicacin de las apariencias, y las deductivas pensadas para poder obtener de ellas nuevas relaciones matemticas entre los elementos de la observacin. Estas son las que realmente interesan a la ciencia.Galileo establece la hiptesis que le parece razonable: la variacin de la cantidad de movimiento (velocidad) en el movimiento de cada libre es constante. Dicho modernamente:la aceleracin es constante.3.- Galileo en su caso realiz las siguientes deducciones:Naturalmente simplificamos y utilizamos conceptos y expresiones matemticas actualesSobre la hiptesis de que en el movimiento de cada de los cuerpos la aceleracin es constante, tendramos las siguientes relaciones:Velocidad final del mvil:Vf=V0+atVelocidad media del mvil:Espacio recorrido por el mvil:e=VmtEn el caso de que el mvil iniciara el movimiento desde el estado de reposo, entonces:V0= 0y entonces:Vf=at;;y el espacio recorrido:y finalmente:Con estas deducciones tenemos un medio de comprobacin de la hiptesis pues hemos deducido el valor de la aceleracin en funcin de los valores del espacio recorrido, que es medible, y el tiempo, que tambin es medible. (Lo que no ocurre con la velocidad o la aceleracin con los medios disponibles en la poca). Lo que nos permitira construir una experiencia, ahoraexperimento, para comprobar que el valor de dicha aceleracin es siempre la misma, constante.4.- No es cierto que Galileo se dedicase a lanzar cuerpos desde la torre inclinada de Pisa. En su lugar construy unas rampas bien preparadas y unas bolas de bronce bien pulidas para minimizar los rozamientos. Tras numerosas mediciones hall un valor medio que vino a ser, con sus instrumentos de medida, 9,6 m/s2.Estemetodo, fue usado por muchosfilsofos, para aplicarlos a las formulaciones polticas de la poca, caso de Hobbes, Grocio o SpinozaLA PRIMERA FUNCIN(Galileo y laLey de Cada de los cuerpos)Funciones para entender el mundoEn el s. XVII, a la vez que se consegua conocer el movimiento de los planetas, se comenz a investigar cmo suceden los fenmenos naturales en la Tierra, qu leyes siguen. Fue el nacimiento de la experimentacin y de la Fsica moderna. Uno de los primeros y ms importantes resultados fue saber que el mismo principio que explica muchas cosas de las que vemos en la Tierra es el que tambin rige los movimientos de los planetas en el cielo: la Gravitacin Universal. Despus, y hasta nuestros das, los cientficos han experimentado y descubierto leyes con las que explicar todo tipo de situaciones (no slo fsicas, tambin econmicas, sociales, etc.). La aplicacin de esas leyes, a travs de la tecnologa, ha transformado el mundo.Pero para que esta aventura del conocimiento se produjese, fueron necesarios nuevos conceptos y herramientas matemticas: primero las funciones (Galileo), despus el Clculo Diferencial (Newton y Leibnitz).En cualquier situacin podemos observar diversos aspectos medibles omagnitudes(temperatura, tiempo, longitud, masa, etc.); algunas se mantienenconstantes, pero otras tienen valoresvariables. Entre las variables, las hay cuyos valores son independientes y otras cuyos valores dependen de aquellas:variables independientesyvariables dependientes, tambin llamadasfunciones.Por ejemplo: en un movimiento con velocidad constante, el tiempo transcurre independiente a cualquier otra magnitud y el espacio recorrido vara dependiendo slo del tiempo transcurrido. Decimos entonces que, a velocidad constante, el espacio es funcin del tiempo:s(t) = v tEste forma de pensar hoy nos resulta comn, pero alguien tuvo que ser el primero en analizar de esa forma los fenmenos naturales. Esa persona fueGalileo Galilei(Pisa, 1564 Florencia, 1642).La Ley de Cada de los CuerposSegn se dice, desde la plataforma superior de la torre de Pisa, Galileo dej caer simultneamente dos esferas: una pesada de hierro, y otra ms ligera, de madera. A pesar de la gran diferencia de peso, ambas esferas caan juntas y llegaban al suelo en el mismo instante. Las velocidades de ambas aumentaban conforme caan, pero siempre se mantenan iguales entre s; es decir, en su cada se aceleraban de igual manera. Y ocurrira igual con cuerpos ms ligeros (una hoja de rbol, por ejemplo), si en esos casos no interviniese la resistencia del aire.As, Galileo supuso que la gravedad acta de igual forma sobre todos los cuerpos y enunci la Ley de Cada de los Cuerpos: en el vaco, los cuerpos caen con la misma aceleracin. Deba comprobar esta suposicin con medidas experimentales que dieran lugar a una ley precisa, a una frmula.Pero Galileo no poda medir con suficiente precisin el tiempo y el espacio recorrido por un cuerpo en cada libre, pues la cada se realiza demasiado rpidamente. Por esta razn, Galileo decidi "diluir la fuerza de gravedad" haciendo que una esfera rodase por un plano inclinado y repiti las mediciones en planos que cada vez tenan mayor pendiente, en unas situaciones que as eran cada vez ms parecidas a la cada libre en vertical.Leonardo da Vinci haba supuesto que la evidente aceleracin de un cuerpo que cae se produca de esta manera:si el espacio recorrido en un tiempo t dado es 1, en sucesivos intervalos de tiempo iguales a t el cuerpo recorre estos espacios: 1 2 3 4 -.... Pero Galileo descubri que la secuencia de espacios recorridos en tiempos iguales era otra: 1 3 5 7 -...Se dice que, para comprobarlo, se le ocurri colocar unas campanitas a lo largo de la rampa, que sonaran al paso de la esfera.Despus movi la colocacin de las campanas hasta conseguir que sonasen a intervalos iguales de tiempo. Entonces, ya slo tena que medir las distancias entre cada dos campanas consecutivas.Pero Galileo no tena un cronmetro con el que asegurar que los tiempos eran iguales. Resolvi esa dificultad mediante un reloj de agua (clepsidra), en el cual se mide el tiempo por la cantidad de lquido que pasa a travs de una pequea abertura en el fondo de una gran vasija. Las fotos son deldispositivoexpuesto en el Museo di Storia della Scienza de Florencia que data del s. XIX y utiliza un pndulo para medir los intervalos iguales de tiempo.Midiendo las distancias recorridas durante esos intervalos iguales de tiempo, comprob que seguan la sucesin de los nmeros impares: 1 3 5 7 - ... etc. Cuando el plano estaba ms inclinado, las correspondientes distancias eran ms largas, pero sus relaciones eran siempre las mismas. As, concluy Galileo, esta ley debe regir tambin para el caso lmite de cada libre.Entonces, las distancias totales recorridas desde el comienzo hasta cada perodo de tiempo eran:s(1) = 1s(2) = 1 + 3 = 4s(3) = 1 + 3 + 5 = 9s(4) = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 ... etc.(las sumas de impares consecutivos nos dan los nmeros cuadrados perfectos)Puedesver una animacinde este experimento en la web delMuseo di Storia della Scienza de FlorenciaHasta aqu, para ms comodidad, se ha supuesto que el espacio recorrido en el primer perodo de tiempo meda 1. Si fuese otra distancia, C , los espacios recorridos en los sucesivos perodos seran:C , 3C , 5C , 7C ... etc.Y las distancias totales:s(1) = C s(2) = 4C s(3) = 9C s(4) = 16C ... etc.En general:s(t) = t2 Csta fue la primera funcinexpresada como tal en la Historia de la Ciencia!Pero era slo un primer paso para el propsito de Galileo. Para llegar a demostrar la Ley de Cada de los Cuerpos (que la aceleracin es la misma para todos ellos) se necesitaba una Matemtica desconocida hasta entonces:el Clculo Diferencial.Ese sera el siguiente captulo de esta historia y otros seran sus protagonistas.LA NECESIDAD DEL CLCULO DIFERENCIALNecesidades matemticas en el s. XVII.Galileo quera demostrar que la aceleracin es la misma para todos los cuerpos en cada libre. Ya vimoscmo llega formular la funcin que relaciona el espacio recorrido con el tiempo:s (t)= Ct2Pero para conseguir su propsito, pensemos en todo lo que an le faltaba:Haba que comenzar por plantearse: qu es la aceleracin? ... el ritmo de cambio de la velocidad.Lo cual nos lleva a otra pregunta: qu es la velocidad? ... el ritmo de cambio de la posicin del cuerpo (del espacio recorrido)*As que,era necesario estudiarel ritmo de cambio de una funcin(aos ms tarde se le llamaraderivada)Vamos a hacer una primera aproximacin a ese estudio:Para simplificar, supongamos que el cuerpo recorre un espacio de 1 m. en el primer segundo. Entonces:t (segundos)12345

s(t)= t2(metros)1491625

Supongamos que queremos estudiar la velocidad en t0= 2 . Para ello comparemos la situacin en ese momento con la de un momento posterior, cada vez ms cercano:t (segundos)543

)tincremento de tdesde t0= 2 hasta t5 2 = 3 seg.4 2 = 2 seg.3 2 = 1 seg.

)sincremento de sdesde t0= 2 hasta t25 4 = 21 m.16 4 = 12 seg.9 4 = 5 seg.

)s /)tvelocidad mediadesde t0= 2 hasta t21 / 3 = 7 m./seg.12 / 2 = 6 m./seg.5 / 1 = 5 m./seg.

Como vemos, la velocidad media no es la misma segn la amplitud del intervalo de tiempo considerado. As que, como nos interesa es la velocidad ent0= 2, vamos a acercarnos ms:t (segundos)2,52,22,1

)tincremento de tdesde t0= 2 hasta t2,5 2 = 0,5 seg.2,2 2 = 0,2 seg.2,1 2 = 0,1 seg.

)sincremento de sdesde t0= 2 hasta t2,52 4 = 2,25 m.2,22 4 = 0,84 m.2,12 4 = 0,41 m.

)s /)tvelocidad mediadesde t0= 2 hasta t2,25 / 0,5 = 4,5 m./seg.0,84 / 0,2 = 4,2 m./seg.0,41 / 0,1 = 4,1 m./seg.

Resumiendo resultados:t (segundos)5432,52,22,1

)s /)tvelocidad mediadesde t0= 2 hasta t7 m./seg.6 m./seg.5 m./seg.4,5 m./seg.4,2 m./seg.4,1 m./seg.

Vemos que al reducir el intervalo de tiempo considerado, la velocidad media cada vez vara menos: parece acercarse ilimitadamente a un nmero (4 m./seg.?). El ltimo clculo se refiere a un intervalo de tiempo muy breve: desde t0= 2 hasta t = 2,1 ... slo una dcima de segundo.Pero nosotros no queremos saber la velocidad media de dcima en dcima de segundo, sino al instante! (como en el velocmetro del coche, donde la vemos cambiar continuamente). Y cunto es un instante?: diremos que un)tcasi cero. Desde luego, en ese instante,)stambin ser casi cero.As quetambin era necesario estudiar:* El cociente del incremento de una funcin entre el incremento de su variable independiente(en el ejemplo,)s /)t).Se le llamatasa de variacin media* El clculo con cantidades muy pequeas, que son casi ceroA esas cantidades se les llamainfinitsimosy al clculo con ellos,paso al lmite.Como ves, en Matemticas, para resolver un problema surge la necesidad de dominar nuevos conceptos que estn por debajo de l. Slo asegurando esos cimientos se puede construir luego un edificio de razonamientos que llegue hasta la solucin del problema inicial.Galileo no pudo completar esta obra, pero dej marcado el camino a sus sucesores, Isaac Newton y Wilhelm G. Leibnitz, quienes estudiaron esos conceptos necesarios, desarrollandoel concepto de derivaday el Clculo Diferencial.LA DERIVADA, EL LENGUAJE DEL MOVIMIENTOGalileo, al describirpor vez primera una funcinque relacionaba el espacio y el tiempo en la cada de los cuerpos, haba dejado abierta lanecesidad del Clculo Diferencial; el clculo con derivadas.La derivada, en general, expresa el ritmo de cambio instantneo en cualquier fenmeno funcional.Pero, cuando se trata de cuerpos en movimiento, esta interpretacin es especialmente precisa e interesante. De hecho, histricamente fue la que dio origen al estudio de las derivadas.UEn cualquier movimiento, el espacio recorridoses funcin del tiempo transcurrido:s = s (t)La tasa de variacin entre dos instantest = a yt = bes el espacio recorrido en ese intervalo de tiempo:s (b) s (a)La tasa de variacin media en ese mismo intervalo es conocida comovelocidad media:

Cuando el intervalo de tiempo [a , b] es infinitesimal, casi cero, sa es lavelocidad instantnea:A este lmite se le llama derivada. Es decir:la velocidad instantnea en un momento dado, es la derivada del espacio como funcin del tiempo en ese momento:Vi(a) = s(a)UA su vez, la velocidad cambia a lo largo del tiempo, tambin es funcin del tiempo:vi(t) = s(t)La tasa de variacin entre dos instantest = a yt = bes la aceleracin experimentada en ese intervalo de tiempo:Aa , b=Vi (b) Vi(a) = s (b) s (a)La tasa de variacin media en ese mismo intervalo es conocida comoaceleracin media:

Cuando el intervalo de tiempo [a , b] es infinitesimal, casi cero, sa es laaceleracin instantnea:

Es decir:la aceleracin instantnea es la derivada de la velocidad como funcin del tiempo en un momento dado. Y por ser derivada de una derivada, se dice quees la derivada segunda del espacio con respecto al tiempo en ese momento:Ai(a) = Vi (a) = [ s](a) = s(a)Ejemplo.- Un movimiento viene dado por la siguiente ecuacin: s (t) = 2t2 5.Vamos a calcular la velocidad instantnea cuandot= 1 seg.En este ejemplo, para calcular la derivada no vamos a usar tablas de valores, sino que razonaremos con expresiones algebraicas. Adems, al intervalo de tiempo [1 ,b] lo llamaremos [1 , 1 +h]. Ser lo mismo decir queb!1 o queh!0 .Velocidad media en [1 , 1 +h]:Velocidad instantnea ent = 1:LA LEY DE CADA DE LOS CUERPOSVolvemos alintento de Galileopor demostrar que todos los cuerpos caen con la misma aceleracin, en el punto donde l no pudo seguir.Si en el primer intervalo de tiempo el espacio recorrido eraC, Galileo haba comprobado que:s (t) = C t2Con qu rapidez cambias(t)?. Calculemos sus velocidades media e instantnea:Velocidad media en [t , t + h]:Velocidad instantnea ent:Aceleracin media en [t ,t + h]:

Aceleracin instantnea ent:

En definitiva,Galileo tena razn: la aceleracin de los cuerpos que caen es constante(2C).USe comprob que la aceleracin de los cuerpos en cada libre, sin rozamientos, es:g= 9,8 m/seg2, valor llamadoaceleracin de la gravedadEntonces:g = 2CC = gs (t) = g t2es la expresin del espacio recorrido por un cuerpo en cada libre.UQuines fueron capaces de completar la tarea de Galileo?...Isaac Newton y W.G. Leibnitz, ambos por separado y casi a la vez, lo cual originuna fuerte disputa entre ellos.Newton y Leibnitz iniciaron el Clculo Diferencial y, al medir el ritmo de cambio de los fenmenos fsicos, naturales e incluso sociales, abrieron las puertas al espectacular desarrollo cientfico y tecnolgico que ha transformado el mundo en 3 siglos tanto o ms que en toda la historia anterior. Pareca que por fin se haba cumplido el sueo pitagrico: explicar el mundo con Matemticas.