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“Geometrıa Hiperbolica y sus amigos I”

Gabriel Ruiz [email protected] www.matem.unam.mx/gruiz

Instituto de Matematicas, UNAM, Mexico

EMALCALa Paz, Bolivia 2014

G. Ruiz-Hernandez Geometrıa Hiperbolica I

Nota Historica

La Geometrıa Hiperbolica fue creada en la primera mitad delsiglo XIX en medio de los intentos para entender los axiomasde Euclides para la Geometrıa.La historia asocia cinco nombres con esta empresa, dosaficionados y tres profesionales.Los aficionados fueron Schweikart y su sobrino Taurinus(1794-1874).Los profesionales fueron Carl Friedrich Gauss (1777-1875),Nicolas Lobachevsky (1793-1855) y Janos Bolyai (1802-1860).


Axiomas de Euclides

1 Cualesquiera dos puntos se pueden unir por un unicosegmento de linea recta.

2 Cualquier segmento de linea recta se puede extenderindefinidamente en cualquier direccion.

3 Existe una unica circunferencia de un radio y centro dados.4 Todos los angulos rectos son congruentes entre ellos.5 Si una linea recta corta a otras dos lineas rectas con

angulos internos, a uno de sus lados, menores a unangulo recto entonces si las lineas se extiendenindefinidamente se deben intersectar en ese lado.

Suponiendo los otros cuatro, el Axioma (5) es equivalente alaxioma de la paralelas:Dada una linea recta y un punto fuera de ella, existe una unicalinea que pasa por el punto y es paralela a la recta dada.


Disco de Poincare

B := {x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn| |x |2 = x2

1 + . . . + x2n < 1} con

metrica

dB(x , y) := cosh−1(

1 +2|x − y |2

(1 − |x |2)(1 − |y |2)

)

,

donde y = (y1, . . . , yn).

Las geodesicas son semi circulos o diametros ortogonalesa la frontera.Los angulos son Euclidianos.

n = 3G. Ruiz-Hernandez Geometrıa Hiperbolica I

La distancia a la frontera

De acuerdo a la funcion cosh−1 en la imagen la distancia de unpunto dado a la frontera converge a infinito.


Modelo del Semi plano superior

H := {x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn|xn > 0}

dU(x , y) := cosh−1(

1 +|x − y |2

2xnyn

)

,

Las geodesicas son semi circulos o semi rectasortogonales a xn = 0.Los angulos son Euclidianos.


Modelo de Klein

K := {x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn| |x |2 = x2

1 + . . .+ x2n < 1} con

metrica

dK (x , y) := cosh−1

(

1 − x · y√

1 − |x |2√

(1 − |y |2)

)

,

Las geodesicas son las cuerdas o segmentos de recta.Los angulos NO son Euclidianos.


La suma de los angulos internos de un triangulohiperbolico

Para probar la desigualdad

α+ β + γ < π.

Se aplica una transformacion del modelo de Poincare almodelo de klein que mande al punto en el angulo α al centrodel disco en el modelo de Klein. Dicha tranformacion es unaisometrıa y por tanto manda geodesicas en geodesicas ypreserva angulos.


Existencia

Proposicion

Dados tres numeros reales α, β, γ tales que α+ β + γ < πexiste un triangulo hiperbolico que los realiza. Es unico hastaisometrıas

Una isometrıa entre dos espacios metricos (X ,dX ) y (Y ,dY ) esuna funcion biyectiva f : X −→ Y que preserva la distancia:

dY (f (x), f (y)) = dX (x , y).

El conjunto de isometrıas de (X ,d) en si mismo forma ungrupo (bajo la composicion de funciones), llamado el grupo deisometrias de (X ,d).Se denota como Iso(X ,d) o Iso(X ).


El grupo de Isometrıas Iso(X , d)

es un grupo bajo la composicion de funciones ya que satisfacelas siguientes condiciones:

Si f ∈ Iso(X ,d) entonces f ◦ I = I ◦ f = f donde I : X −→ Xes la funcion I(x) = x (para todo x ∈ X ).

Si f ,g,h ∈ Iso(X ,d) entonces (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h).

Si f ,g ∈ Iso(X ,d) entonces f ◦ g ∈ Iso(X ,d).

Si f ∈ Iso(X ,d) entonces f−1 ∈ Iso(X ,d).


Accion de Iso(X , d) en X

es la funcionIso(X ,d)× X −→ X donde la pareja (f , x) tiene imagen f (x) ysatisface:Para todo f ,g ∈ Iso(X ,d) y x ∈ X

(f ◦ g)(x) = f (g(x))I(x) = x

La orbita de x ∈ X bajo la accion de Iso(X ,d) es el conjuntoIso(X ,d) · x := {f (x) ∈ X | f ∈ iso(X ,d)} ⊂ X .La accion de Iso(X ,d) en X se dice transitiva si la orbita decualquier x ∈ X es todo X . Equivalentemente, si para todapareja x , y ∈ X existe f ∈ Iso(X ,d) tal que f (x) = y .Dos subconjuntos A,B ⊂ X se dicen congruentes si existe unaisometrıa f ∈ Iso(X ,d) tal que f (A) = B.Un tri angulo hiperb olico (que realiza tres angulos dados) Ten (B,dB) se dice unico salvo isometrıas si para cualquierotro tri agulo R hiperb olico con los mismos angulos existeuna isometrıa f ∈ Iso(B,dB) tal que f (T ) = R.


Modelo de la semi esfera

Proyeccion estereografica del modelo de Poincare en elmodelo de la semiesfera.

S := {(x1, . . . xn, xn+1) ∈ Rn+1|xn+1 > 0, x2

1 + . . .+ x2n+1 = 1}.

Las geodesicas son semi circulos o ortogonales alecuador.Los angulos son Euclidianos.


Transformaciones entre modelos

B := {x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn| |x |2 = x2

1 + . . . + x2n < 1}

H := {x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn|xn > 0}

K := {x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn| |x |2 = x2

1 + . . .+ x2n < 1}

S := {(x1, . . . xn, xn+1) ∈ Rn+1|xn+1 > 0, x2

1 + . . .+ x2n+1 = 1}.

A : S −→ B,A(x) = (x1

xn+1 + 1, . . . ,

xn

xn+1 + 1),

B : S −→ H,B(x) = (2x2

x1 + 1, . . . ,

2xn+1

x1 + 1),

C : S −→ K ,C(x) = (x1, . . . , xn).


Inversiones o Reflexiones

La inversion con respecto al circulo rojo con centro en O y deradio r en la tranformacion σ : R2 −→ R

2 del plano en el planoque manda a un punto P al punto P ′ = σ(P) y que cumple(OP)(OP ′) = r2.

σ2(P) = P para todo P ∈ R2 \ {O} y σ deja fijo punto a

punto al circulo rojo

(Steiner) es conforme y manda circulos en circulos

deja fijo punto a punto a un circulo ortogonal (en colorazul)


El grupo de Mobius

Definimos la esfera de Riemann como S2 := R

2 ∪ {∞}.Una inversion σ : R2 −→ R

2 se extiende a σ : S2 −→ S2

definiendo σ(O) := ∞, σ(∞) := O y σ(P) := σ(P) en otro caso.El grupo generado por todas las inversiones (bajo lacomposicion de funciones) en circulos es el grupo de MobiusMob(S2).El subgrupo de Mob(S2) que deja fijo a disco unitario B enR

2 ⊂ R2 ∪ {∞} se denota por Mob(B).

Las transformaciones Mob(S2) estan generadas por

traslaciones T (x) = x + a.

rotaciones T ∈ SO(2)

dilataciones T (x) = λx

la inversion T (x) = x/|x |2.


PSL(2,R)

Teorema

Iso(B,dB) =Mob(B) y Iso+(B,dB) =Mob+(B).Si z denota las coordenadas complejas del plano entoncesIso+(B,dB) es isomorfo al grupo

Iso+(U,dU) =

{

az + bcz + d

|a,b, c,d ∈ R,ad − bc = 1}

.

Este ultimo grupo es isomorfo a PSL(2,R) := SL(2,R)/{±I}.


Subgrupo discreto de isometrıas

La region de dicontinuidad de un subgrupo G de Iso(B,dB) esel conjunto de puntos p en B := B ∪ S

1∞

para los cuales existeuna vecindad U de p tal que:#{g ∈ G|gU ∩ U 6= ∅} < ∞.

Teorema

Un subgrupo G de Iso(B,dB) es discreto ssi su region dediscontinuidad en B es todo B.


Conjunto limite

El conjunto limite de un subgrupo discreto G de (B,dB) es elconjunto de puntos de acumulacion en B de las orbitas depuntos en B.

Teorema

Un subgrupo G de Iso(B,dB) es discreto. Entonces el conjuntolimite de G es el complemento de la region de discontinuidadde G en S

1∞

.


Grupo Fuchsiano

Un grupo Fuchsiano cl asico es un subgrupo discreto dePSL(2,R).Dados tres enteros p,q, r ≥ 2 tal que 1/p + 1/q + 1/r < 1definimos a T como el triangulo acotado por geodesicas y conangulos π/p, π/q, π/r . Sea G∗ el grupo generado por lasinversiones en cada uno de los tres lados de T . G∗ es unsubgrupo discreto de isometrıas de Iso(B,db).Para tener un subgrupo discreto de PSL(2,R) hay que tomarun numero par de composiciones de las tres inversiones yaque PSL(2,R) es isomorfo a Iso+(B,db).


Teselacion 2-3-7


Teorema de Pitagoras en G. Hiperbolica I

cosh c = (cosh a) (cosh b),

c = dB(A,B), a = dB(B,C) y b = db(A,C).


Teorema de Pitagoras en G. Hiperbolica II

cosh c = 1 +|eiφ − k i|2

2k sinφ

= 1 +

(

eiφ − k i) (

e−iφ + k i)

2k sinφ

= 1 +k2 + 1 − 2k sinφ

2k sinφ=

k2 + 12k sinφ

cosh a = 1 +|B − C|2

2 Im B Im C

= 1 +(k − 1)2

2k=

k2 + 12k

cosh b = 1 +|eiφ − i|2

2 sinφ

= 1 +cos2 φ+ (sinφ− 1)2

2 sinφ=

1sinφ

.


Bibliografıa

1 A. Cano, J. P. Navarrete and J. Seade, Complex KleinianGroups,Progress in Mathematics 303 (2013).

2 J. G. Ratcliffe, Foundations of Hyperbolic ManifoldsSpringer.

3 W. P. Thurston, Three-Dimensional Geometry andTopology,Princeton University Press.

GRACIAS POR SU ATENCION


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