gabarito_lista 1_equilíbrio geral (trocas)
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Instituto de Economia
Microeconomia II – 1º semestre de 2014
Professores: Edgard Pereira e Paulo Fracalanza
PED: Camila Veneo
Gabarito Lista 1 – Equilíbrio Geral (Trocas)
1) a) Verdadeiro
A lei de Walras implica que haja somente k-1 equações independentes num modelo
de equilíbrio geral de k bens, se a demanda se igualar à oferta em k-1 mercados, ela
terá de igualar à oferta no mercado final.
Demonstração: Varian, cap. 31, p.614 e 615.
b) Verdadeiro
O enunciado é conhecido como o 1º teorema do bem-estar.
Prova por absurdo: Supor que o equilíbrio de mercado é ineficiente no sentido de
Pareto e provar que esta condição leva a uma contradição lógica.
Demonstração: Varian, cap. 31, p.619 e 620.
c) Verdadeiro
É possível ter alocações eficientes no sentido de Pareto nos lados da caixa – onde um
dos consumidores consome zero de algum bem. Isso porque nesta situação não há
como melhorar a situação do consumidor que não consome determinado bem sem
piorar a situação do outro consumidor (que deixará de consumir toda a quantidade
disponível do bem em questão).
d) Verdadeiro
É a própria definição do 2º teorema do bem-estar.
e) Verdadeiro
A curva de contrato é o conjunto de todos os pontos eficientes no sentido de Pareto na
caixa de Edgeworth. Se a dotação inicial dos consumidores estiver sobre a curva de
contrato ela é eficiente no sentido de Pareto. Se dotação inicial é eficiente no sentido
de Pareto, então, todos os ganhos com a troca se exauriram.
2) ANPEC 2006 - QUESTÃO 07
(0) Falso
Dada a alocação ineficiente “A”, apenas as alocações sobre a curva de contrato que se
encontram entre ou sobre as curvas de indiferença de 1 e 2 são preferíveis a alocação
inicial.
Pode existir uma alocação que esteja sob a curva de contrato, mas fora da lente, a
qual, apesar de fazer parte do conjunto de pontos eficientes de Pareto desde a dotação
original não eficiente, indica um equilíbrio no qual somente um agente melhora.
(1) Verdadeiro
(Varian, cap. 31, p.613 a 615)
(2) Verdadeiro.
Dados UA(x.y) = xy e UB(x,y) = 𝑥𝑦, utilidade de B é uma transformação
monotônica da utilidade de A. A curva de contrsto tem que respeitar a seguinte
“restrição”:
𝑇𝑀𝑆𝐴 = 𝑇𝑀𝑆𝐵 =𝑃𝑥𝑃𝑦
Sendo que a forma da TMS de cada indivíduo coincide:
𝑇𝑀𝑆𝐴 = 𝑦𝐴
𝑥𝐴𝑒 𝑇𝑀𝑆𝐵 =
𝑦𝐵
𝑥𝐵
Assim, a curva de contrato será uma reta definida por:
𝑃𝑥𝑃𝑦
=𝑦
𝑥 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑦 =
𝑃𝑥𝑃𝑦
. 𝑥
(3) Falso.
Em uma alocação Pareto eficiente estão exauridos os ganhos de troca. Não é possível
melhorar um agente sem piorar o outro, logo, é impossível que A e B etejam pior que
em outra alocação não-eficiente já que neste ponto ao menos um dos agentes pode
melhorar ao menos sem que o outro piore.
(4) Falso.
De fato, a Fronteira de Possibilidades de Utilidade apresenta todas as informações
contidas na curva de contrato, pois reúme os pontos eficientes de Pareto. Contudo, o
espaço em que ela é desenhada é “utilidade de A – utilidade de B”.
Os pontos dentro desta fronteira indicam pontos factíveis, porém ineficientes, pois
através das trocas pelo menos um indivíduo melhora o seu bem-estar sem piorar o do
outro. Já os pontos fora desta fronteira indicam pontos não factíveis dadas as dotações
iniciais.
3) ANPEC 2007 - QUESTÃO 07
(0) Falso.
Eficiência de Pareto não é um conceito de igualdade distributiva, mas de eficiência
econômica. Se não é possível melhorar João sem piorar Maria neste ponto, a alocação
é Pareto-eficiente. Se as funções utilidade de João e Maria são monótonas e
estritamente convexas, esta alocação será eficiente de Pareto.
(1) Falso.
TMS diferentes não significa que sobrarão latas e fatias, apenas que a alocação não é
Pareto-eficiente. Ou seja, ainda é possível realizar ganhos de trocas e atingir uma
alocação que dê pelo menos a mesma utilidade para João e/ou Maria.
(2) Falso.
João pode trocar algumas das fatias de pizza em excesso por algumas das latas de
refrigerante em excesso de Maria. Ambos ficarão mais felizes. A alocação inicial não
era Pareto-eficiente uma vez que ainda havia espaço para ganhos de trocas.
(3) Falso.
Isto não é possível quando os agentes são racionais e preferem mais a menos. Após
negociarem, seu nível de utilidade será pelo menos igual ao inicial.
(4) Verdadeiro.
O Equilíbrio Walrasiano é um conjunto de preços onde cada consumidor escolhe sua
cesta de consumo satisfazendo a restrição orçamentária e onde a demanda se iguala à
oferta em cada mercado. Também o equilíbrio walrasiano tem de ser necessariamente
uma solução eficiente, de forma que o ótimo de pareto a ser alcançado pelas trocas
depende da dotação inicial dos recursos na economia de trocas.
4) ANPEC 2008 - QUESTÃO 07
(0) Verdadeiro
Definição de ótimo paretiano.
(1) Falso
Este é o 1º teorema do bem-estar.
De acordo com o 2º teorema do bem-estar é possível que uma alocação Pareto-
eficiente possa vir a ser alcançada através de um equilíbrio competitivo (ou
walrasiano) desde que as preferências dos agentes sejam convexas e que seja possível
realocar as dotações iniciais.
(2) Falso
É possível que um agente esteja melhor em uma alocação não eficiente do que em
uma alocação que seja eficiente. O que não é possível é que todos os agentes estejam
simultaneamente melhores em uma alocação que não é eficiente comparativamente a
uma alocação que seja eficiente.
(3) Falso
Embora, em geral, seja correto afirmar que “se {(xA, yA),(xB , yB )} é uma alocação
Pareto-eficiente, então as taxas marginais de substituição são iguais”, para as
utilidades tipo substitutas perfeitas dadas na questão as taxas marginais de
substituição são diferentes.
A taxa marginal de substituição A é constante e igual a TMSa = -3. Isso indica que
esse consumidor está disposto a abrir mão de até 3 unidades de y para adquirir uma
unidade adicional de x.
A taxa marginal de substituição de B é TMSb = -1/3, o que indica que esse
consumidor aceita ceder uma unidade de x desde que receba ao menos 1/3 unidades
de y em troca. Assim, qualquer alocação com yA>0 e xB>0 será ineficiente, pois,
quando isso ocorre, é possível melhorar A e B transferindo, por exemplo, uma
unidade de x de B para A e uma unidade de y de A para B, de tal sorte que A pagará
pela unidade transferida de x menos do que estaria disposto a pagar.
Desse modo, as alocações eficientes serão aquelas nas quais yA= 0 ou xB =0, ou
ambos.
(4) Verdadeiro
O 2º teorema do bem estar social afirma que desde que as condições de convexidade
das preferências e dos conjuntos de produção sejam verificadas, toda a alocação
eficiente no sentido de Pareto é um equilíbrio de mercado para uma distribuição
adequada das dotações iniciais. Isso implica que os problemas de distribuição e justiça
podem ser resolvidos realocando-se as dotações iniciais e deixando o mercado
competitivo gerar uma alocação de consumo eficiente.
5) ANPEC 2010 - QUESTÃO 08
(0) Verdadeiro
Demonstração: Varian, cap. 31, p.613 a 615 ou questão (2) item (1) desta lista de
exercícios.
(1) Falso
Em um sistema de equilíbrio geral, seja com trocas simples ou com a inclusão do
lado da oferta (produção), somente os preços relativos são determinados;
(2) Verdadeiro
As preferências do tipo Cobb-Douglas não são definidas nos eixos. No entanto, de
forma geral, a alocação descrita é Pareto-eficiente, pois só é possível melhorar o
agente B piorando o agente A.
6) Dotação inicial: Jane (3,9) Bob (8,4)
A condição de eficiência (ótimo de pareto) é que 𝑇𝑀𝑆𝑏𝑜𝑏 = 𝑇𝑀𝑆𝑗𝑎𝑛 .
Esta condição não é satisfeita, pois 𝑇𝑀𝑆𝑏𝑜𝑏 = 2 e 𝑇𝑀𝑆𝑗𝑎𝑛 = 4.
Representação na caixa de Edgeworth:
Passo 1 -Montar a caixa com os quatro eixos e cruzar as curvas de diferença no ponto
da dotação inicial. Os pontos eficientes (ótimo de Pareto) são todos os pontos onde as
curvas de indiferença se tangenciam. Todos estes pontos juntos podem ser
representados em uma curva de contrato.
A representação torna possível afirmar que a alocação não é eficiente de Pareto
porque trocas poderiam ser realizadas no intervalo entre as taxas marginais de
substituição 2 e 4 de forma que o bem-estar de ambos aumentasse(ou pelo menos de
um deles, de forma que o outro não fosse prejudicado). As trocas vão ocorrer até o
ponto da caixa, dada as dotações iniciais, em que duas curvas de indiferença se
tangenciem, fazendo com que 𝑇𝑀𝑆𝑏𝑜𝑏 = 𝑇𝑀𝑆𝑗𝑎𝑛 .
No caso de Jane procurar Bob a fim de conseguir aumentar a sua quantidade de
refrigerante, ela está disposta a dar até 4 sanduíches para conseguir uma unidade de
refrigerante. No entanto, Bob está disposto a trocar 1 refrigerante por apenas 2
sanduíches. As trocas ocorrerão desde que a Karen ofereça pelo menos dois
sanduíches e desde que o Bob não exija mais do que 4 sanduíches por um refrigerante.
7) Condição de equilíbrio:𝑇𝑀𝑆𝑗𝑒𝑛 = 𝑇𝑀𝑆𝑑𝑟𝑒𝑤
No entanto, 𝑇𝑀𝑆𝑗𝑒𝑛 = 1 𝑒 𝑇𝑀𝑆𝑑𝑟𝑒𝑤 = 3,𝑃𝑐
𝑃𝑠=
3
2
Jane troca um café por um suco de laranja enquanto Drew troca três cafés por um
suco de laranja. Ou seja, ambas acham vantajoso trocar café por suco e estão dispostas
a abir mão de uma quantidade maior do que a necessária para obter uma unidade de
suco de laranja (é preciso apenas 2/3 de café para obter um suco de laranja). Existe
um excesso de demanda no mercado de suco de laranja e um excesso de oferta no
mercado de café. Dadas as diferenças nas TMS e o fato de que estão acima dos preços
relativos, o preço do café tem que cair e o do suco de laranja subir para que haja
equilíbrio.
8) a) (desenho)
b) Alguns pontos de troca serão melhores que os outros porque dependerá da
habilidade de negociação de cada consumidor e da dotação inicial dos fatores. Pontos
mais distantes do vértice de A serão preferíveis para A e pontos mais distantes do
vértice de B serão preferíveis para B. Imaginando uma situação hipotética onde o
ponto mais distante de A fosse o resultado final das trocas, este seria um ponto ótimo
de pareto, o preferido por A, mas seria uma alocação onde B não possuíra nenhum
bem. Este exercício elucida a desconexão entre eficiência e equidade.
9) Primeiro teorema do bem-estar – O equilíbrio competitivo é um ótimo de Pareto.
A implicação do 1º teorema do bem-estar é que a eficiência econômica corresponde
ao equilíbrio competitivo. Se considerarmos que este teorema é válido para uma
população suficientemente grande, o uso de mercados competitivos garante não só qe
se atinja um ponto de eficiência paretiana, mas também que isso ocorra sem que seja
necessário que o agente compile uma grande quantidade de informações. As únicas
informações que o consumidor precisa ter para tomar suas decisões de consumo são
relativas aos preços dos bens que ele pretende consumir.
Segundo teorema do bem-estar – Qualquer ponto Pareto eficiente pode ser atingido
como resultado de um equilíbrio competitivo, dada uma dotação inicial.
A implicação do 2º teorema do bem-estar é que uma distribuição eficiente não será
uma distribuição necessariamente justa ou equitativa. Desse modo, tornar-se possível
separar problemas de distribuição dos de eficiência, uma vez que se pode redistribuir
as dotações iniciais dos bens para alterar a riqueza dos agentes e usar os preços para
indicar escassez relativa. Em larga escala, essas decisões políticas devem ser
separadas.
10)
Indivíduos Alocação
inicial Comércio
Alocação
final
Jorge 6C, 2B 1C, 3B 5C , 5B
Aroldo 1C, 8B 3B, 1C 2C, 5B
Aroldo abriria mão de 4 balas por um chocolates (condizente com sua dotação inicial),
enquanto Jorge abria mão de um bala por um chocolate. Qualquer valor entre 1 e 4
vaibiliza a troca de balas por chocolates. Supondo que Jorge (bom negociador)
proponha a Aroldo trocar 1C por 3B haveria comércio? Sim, pois a Aroldo trocaria
até 4 balas para ter um chocolate. Com este comércio a alocação final poderia ser
(5C, 5B) e (2C, 5B)
Indivíduo Alocação
inicial Comércio
Alocação
final
Garibaldo 10C, 3B 1C, 1B 9C, 4B
Clotilde 5C , 15B 1B, 1C 6C, 14B
11) a) Embora essa divisão possa parecer justa, cada individuo possui a mesmaparcela de
cada bem, este ponto não representa um ótimo de pareto, pois TMgx,yA ≠ TMgx,y
B.
Resolvendo as derivadas parciais, considerando
𝑇𝑀𝑆𝑎 = −𝜕𝑈𝑎 𝑥 ,𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑈𝑎 𝑥 ,𝑦
𝜕𝑦
tem-se a TMSa = 1 e TMSb = 1/2
b) Como a situação anterior não era ótima de Pareto não é possível que a dotação
seja mutuamente vantajosa para os dois agentes, ou seja, tanto A como B
poderiam ter um aumento na sua utilidade trocando os bens a uma taxa entre 1 e
½.
12) ANPEC 2000 - QUESTÃO 10
O agente A possui uma função de utilidade do tipo substitutos perfeitos, enquanto o
agente B tem uma função de utilidade do tipo complementares perfeitos, isto é, os bens
são consumidos sempre juntos e em proporções fixas.
Passo 1 – Encontrar as curvas de demanda de cada agente por cada bem
Agente A
max 𝑈 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 2𝑦 𝑠. 𝑎. 𝑚 = 𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦
Sendo a TMS= ½
Se 𝑝𝑥
𝑝𝑦>
1
2, 𝑋𝐴 = 0 𝑒 𝑌𝐴 =
5 𝑝𝑥+𝑝𝑦
𝑝𝑦
Se 𝑝𝑥
𝑃𝑦<
1
2, 𝑋𝐴 =
5 𝑝𝑥+𝑝𝑦
𝑝𝑥 𝑒 𝑌𝐴 = 0
Se 𝑝𝑥
𝑝𝑦=
1
2, a demanda será qualquer combinação de X e Y que satisfaça a restrição
orçamentária
Agente B
max 𝑈 𝑥, 𝑦 = min 2𝑥, 𝑦 𝑠. 𝑎. 𝑚 = 𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦
A demanda do agente B pelos bens x e y deve ter x=y/2
𝑋𝑏 =5 𝑝𝑥 + 𝑝𝑦
𝑃𝑥 + 2𝑝𝑦 𝑒 𝑌𝑏 =
10 𝑝𝑥 + 𝑝𝑦
𝑝𝑥 + 2𝑝𝑦
Passo 2 –Encontrar os preços relativos dos bens em equilíbrio
𝑆𝑒 𝑝𝑥
𝑝𝑦>
1
2
0 + 5 𝑝𝑥 + 𝑝𝑦
𝑃𝑥 + 2𝑝𝑦= 10
𝑝𝑦 = 1 𝑓𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑝𝑥 < 0 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑛𝑜 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜
𝑆𝑒 𝑝𝑥
𝑝𝑦<
1
2
5 𝑝𝑥 + 𝑝𝑦
𝑃𝑥 + 2𝑝𝑦+
5 𝑝𝑥 + 𝑝𝑦
𝑝𝑥= 10
𝑁ã𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜
𝑆𝑒 𝑝𝑥
𝑝𝑦=
1
2 e 𝑝𝑦=1 então px=
1
2
Substituindo nas funções de demanda encontramosXA = 7, XB = 3, YA = 4, YB= 6Solução
de equilíbrio geral.
(0) Falso
A TMS dos bens complementares perfeitos é zero ou infinita. Deste modo, a única
forma de os dois dois indivíduos atingirem um equilíbrio competitivo num ponto de
ótimo interior é a reta que representa as preferências do tipo substitutos perfeitos
tangenciar a curva das preferências do tipo complementares perfeitos no ponto em que
este indivíduo consome 2x e y. Como este não é o caso das dotações iniciais, os
indíviduos podem realizar trocas a ½ para alcançar ganhos de utilidade.
(1) Verdadeiro
A função de utilidade de B gera V(2,4) = 4 . A única maneira de aumentar a utilidade
do agente B é aumentando a quantidade disponível dos dois bens para B, mas isto
implica que a utilidade de A deve diminuir. Por outro lado, a redução na
disponibilidade de um dos bens para o agente B implica em redução na sua utilidade,
de modo que não é possível melhorar o agente A sem piorar o B também.
(2) Verdadeiro
Com preços relativos com ½ .
(3) Falso
A única restrição é 2x=y. Na solução de equilíbrio por exemplo, Xb=3.
(4) Verdadeiro
Lembrar da caixa de edgeworth e de que qualquer combinação 2x=y satisfaz o agente
B, de modo que o agente A pode substituir um bem por outro.
13) Solução
a) Sim, pois TMgx,yA ≠ TMgx,y
B;
𝝏𝑼𝑨 𝟒,𝟐
𝝏𝒙𝟏
𝝏𝑼𝑨 𝟒,𝟐 = −
𝟏
𝟐
𝝏𝒙𝟐
𝝏𝑼𝑩 𝟏,𝟑
𝝏𝒙𝟏
𝝏𝑼𝑩 𝟏,𝟑 = −𝟑
𝝏𝒙𝟐
b)
O problema da demanda é maximizar a utilidade, dada a renda;
𝑚á𝑥𝑈𝐴𝑥1 . 𝑥2 s.a. 𝑚 = 𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2
Usando transformações monatômicas para resolver Cobb Douglas:
𝐴𝑥1 =1
2
4𝑝1 + 2𝑝2
𝑝1 = 2 +
𝑝2
𝑝1
𝐴𝑥2=
1
2
4𝑝1 + 2𝑝2
𝑝2 = 1 +
2𝑝1
𝑝2
𝐵𝑥1=
1
2
1𝑝1 + 3𝑝2
𝑝1 = ½ +
p2
p1
𝐵𝑥2 =1
2
1𝑝1 + 3𝑝2
𝑝2 = + ½
p1
p2
Para o consumidor A: x1= 2 + p2/p1 e x2= 1+ 2p1/p2; para o B: x1= ½ + p2/p1 e x2=
+ ½ p1/p2;
c)
Adotando p2=1 (numerário). Para que uma alocação qualquer seja factível é preciso
que a quantidade total demandada de cada bem se iguale a quatidade total disponível.
Sendo assim somamos a quantidade total demandada do bem um e igualamos a
quantidade disponível deste mesmo bem:
2 +𝑝2
𝑝1+ 1/2 + 3/2
𝑝2
𝑝1= 5
Deste modo encontramos p1/p2=1;
d)Basta substituir os preços relativos nas equações de demanda.Para o consumidor A:
x1= 3 e x2= 3; e para o B: x1= 2 e x2= 2.
e) Fazer o diagrama de edgeworth;
f) O ponto de equilíbrio tem eficiência alocativa, mas não é eqüitativo. O agente A
tem maior dotação inicial, logo irá consumir mais do que o B no equilíbrio. Ainda
assim os dois agentes estão melhor no resultado final das trocas do que no ponto da
dotação inicial.
14) ANPEC 1992 - QUESTÃO 13
𝑼 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝟒𝒚𝟔 (𝒅𝒐𝒕𝒂çã𝒐 𝟒, 𝟐)
𝑽 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝟔𝒚𝟒 𝒅𝒐𝒕𝒂çã𝒐 𝟐, 𝟒
Passo 1 –Encontrar as funções de demanda
Passo 2 –Encontrar os preços relativos dos bens em equilíbrio
Obtendo a função de demanda a partir de funções utilidades Cobb-Douglas:
𝑼 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒄𝒚𝒅
ln 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑐 ln 𝑥 + 𝑑 ln 𝑦
O Problema que se coloca:
𝑚á𝑥𝑥𝑦 𝑐 ln 𝑥 + 𝑑 ln 𝑦 𝑠. 𝑎. 𝑚 = 𝑝1𝑥 + 𝑝2𝑦
Formamos a Lagrangiana
𝐿 = 𝑐 ln 𝑥 + 𝑑 ln 𝑦 − ⋌ (𝑝1𝑥 + 𝑝2𝑦 − 𝑚 )
Diferenciamos para obter as condições de primeira ordem:
𝝏𝑳
𝝏𝒙=
𝑐
𝑥− ⋌ 𝑝1 = 0
𝝏𝑳
𝝏𝒚=
𝑑
𝑦− ⋌ 𝑝2 = 0
𝝏𝑳
𝝏 ⋌= 𝑝1𝑥 + +𝑝2𝑦 = 0
Resolvendo:
𝑐 = ⋌ 𝑝1𝑥
𝑑 = ⋌ 𝑝2𝑦
Somando
𝑐 + 𝑑 = ⋌ 𝑝1𝑥 + 𝑝2𝑦 =⋌ 𝑚
⋌ =𝑐 + 𝑑
𝑚
Substituindo nas duas primeiras equações encontramos:
𝑥 = 𝑐
𝑐 + 𝑑.𝑚
𝑝1
𝑦 = 𝑑
𝑐 + 𝑑.𝑚
𝑝2
Usando as informações do enunciado:
Demanda A por x, y
𝑥𝐴(𝑝1, 𝑝2) =4
4 + 6 . 4𝑝1 + 2𝑝2
𝑝1=
2
5 4 + 2
𝑝2
𝑝1
𝑦𝐴 𝑝1, 𝑝2 =6
4 + 6 . 4𝑝1 + 2𝑝2
𝑝2=
3
5 4
𝑝1
𝑝2+ 2
Demanda de B por x, y
𝑥𝐵(𝑝1, 𝑝2) =6
4 + 6 . 2𝑝1 + 4𝑝2
𝑝1=
3
5 2 + 4
𝑝2
𝑝1
𝑦𝐵 𝑝1, 𝑝2 =4
4 + 6 . 2𝑝1 + 4𝑝2
𝑝2=
2
5(2
𝑝1
𝑝2+ 4)
Equilíbrio no mercado de bens
2
5 4 + 2
𝑝2
𝑝1 +
3
5 2 + 4
𝑝2𝑐
𝑝1 = 6, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜
𝑝2
𝑝1= 1
V/F/V/V
15) ANPEC 2004 - QUESTÃO 07
1 1 1 2
2 2 2 1
2 34 2 2 4 6 1 1
5 5
p p p p
p p p p
Mais uma vez, para alcançar o equilíbrio walrasiano devemos proceder aos seguintes
passos: (a) maximizar a utilidade individual e encontrar as demandas individuais pelos
bens 1 e 2. (b) consolidar o equilíbrio nos mercados dos bens 1 e 2.
Agente A
O individuo A possui função de utilidade cobb douglas e, portanto, apresenta a seguinte
estrutura de demanda:
𝑋1𝐴 =1
3
𝑀𝐴
𝑝1𝑋2𝐴 =
2
3
𝑀𝐴
𝑝2
𝑚𝐴 = 10𝑝1 + 20𝑃2
Agente B
O indíviduo B apresenta preferências complementares e irá consumir os bens 1 e 2 na
proporção 1 para 1. Qualquer consumo fora dessa proporção representa desperdício de
recursos para o indivíduo B, ou seja:
𝑋1𝑏 = 𝑋2
𝑏
Desse modo:
𝑋1𝐵 = 𝑋2
𝐵 =𝑚𝐵
𝑝1 + 𝑝2
𝑚𝐵 = 20𝑝1 + 5𝑝2
Passo 2: Equilíbrio nos mercados
𝑥1𝐴 + 𝑥1
𝐵 = 𝑤1
10𝑝1+20𝑝2
3+
20𝑝1+5𝑝2
𝑝1+𝑝2 = 30 para p1 = 1
𝑝2 =2,25 ± 9,0625
2
(0) Verdadeiro
O individuo B está consumindo de acordo com sua proporção ótima. Qualquer
unidade de consumo a menos para B irá piorá-lo estritamente.
(1) Falso
O equilíbrio walrasiano determina apenas os preços relativos
(2) Verdadeiro
As alocações eficientes devem satisfazer às seguintes condições
𝑋1𝐴 + 𝑋1
𝐵 = 30
𝑋2𝐴 + 𝑋2
𝐵 = 25
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑋1𝐵 = 𝑋2
𝑏
𝑋2𝐴 + 𝑋1
𝐵 = 25
Então
𝑋1𝐴 + (25 − 𝑋2
𝐴) = 30
𝑋2𝑎 = 𝑋1
𝐴 − 5
(3) Verdadeiro
p1= 1 e p2 =1
𝑋1𝐴 =
1
3 10 + 20 = 10
𝑋2𝐴 =
2
3 10 + 20 = 20
𝑋1𝐵 =
20 + 5
2=
25
2= 12,5
𝑋2𝐵 = 12,5
Bem 1
Oferta total = 30
Demanda bruta = 22,5
Demanda líquida = -7,5 (excesso de oferta)
Bem 2
Oferta total = 25
Demanda bruta = 32,5
Demanda líquida = 7,5 (excesso de demanda)
(4) Falso
Não existe nenhuma relação entre eficiência e equidade. Se a alocação inicial é ótima
de Pareto, isso apenas significa que os agentes não realizarão mais trocas. É o caso de
uma alocação em que um tem tudo e o outro não tem nada. Não é uma alocação justa,
mas é eficiente de Pareto.