Zur Theor ie der seh l i ehten Abbi ldungen.

Von

G. Szeg5 in K6nigsberg.

Die vorliegende Arbeit enth~lt einige Bemerkungen fiber die Abselmitte von schliehten Potenzreihen.

Wit betrachten im folgenden drei Unterklassen der im Einheitskreis l zl < 1 regul~ren Funktionen

f ( z ) = c o + C ~ z + % z ~ + . . . + c ~ z ~ + . . . .

Das Bild des Kreises ]z] < 1 bei der Abbildung w = - f ( z ) ist (,s): schlicht.

(~o): Das Bild des Kreises lz] <: 1 bei der Abbildung w = f ( z ) ist schlicht und in bezug auf den Punkt w ~-c o stern]6rmigl).

(B*)" f ( z ) ist 8chlichtuad beschrSnkt, und zwar If (z)i ~< 1 ~ii~ l z 1 < 1. In Zusammenhang mit (So) wird such die folgende Unterklasse

erw~hnt5:

(K): Das Bild des Kreises Iz[ < 1 bei der Abbildung w - ~ f ( z ) ist schlicht und konvex.

In w 2 beweisen wit den folgenden Sstz-

I. Die Funkt ion

f (z) ~- C o -+- C, l z -+- co z ~ + . . . --}- c,~z'* -}--.. .

sei regular und schlieht i m Kreise ]z] < 1. D a n n sind sSmtliche Abschnitte

e o + c l z + e~z ~ + . . . + c~z ~ (n = 1, 2, 3, . . .) setdieht i m Kreise l z ] < x u

~) Dies bedeutet, dab mit jedem Punkte w such die geradlinige Verbindungs- strecke cow zum Bildgebiet geh~rt.

G. SzegS. Schlichte Abbildungen. 189

Der Beweis dieses Satzes ist leieht fiir n = 2 mad n >__ 5, jedoeh nieht ganz einfaeh flit n ~-3 und n = 4. Im letzteren Falle benutze ieh eine Bemerkung yon Herrn W. Rogosinski. Die Konstante �88 kann dureh keine grSi~ere Zahl ersetzt werden, well bei der Funktion

= z - - ~ 2 z ~ + 3 z 3-+- . . . + n z " + . . . (1 --z) ~

1 versehwindende Ableitung besitzt. der Abschnitt z-+-2 z 2 eine in z = - - u Der Beweis liefert zugleieh, dal~ die fragliehen Absehnitte fiir n > 2 sogar in einem (nut yon n abh~ngigen) Kreise [z[ < rn, worn > �88 ist, sehlieht bleiben. Die genaue Bestimmung des grSBeen Kreises i z t < r , dieser Art diirfte nieht leieht sein.

Die Yragestelhng, welehe durch den obigen Satz erledigt wird, erinnert an eine analoge Frage beziiglieh der Klasse der besehr~nkten Funktionen, bzw. der Funktionen mit positivem Realteil, welehe yon den Herren W. Rogosinski und L. Fej6r behandelt women ist~).

Die entspreehende Aufgabe bei der Klasse (So) wird erledigt dureh den in w 3 zu beweisenden Satz:

II. Die Funk t ion

f ( z ) -= C o -~- ClZ -~- C~z ~ --~ . . . ~, %Z '~ - -~ . . .

sei reguldr und schlicht i m Kreise ] z ] < 1 und bilde denselben au / ein beziiglich w = c o stern/Srmiges Gebiet ab. D a n n s ind stimtliche Abschnitte

co § c lz § c~z ~ + . . . + c . z" ( n = 1, 2, 3 , . . . )

1 schlicht und , s tern/6rmig" beziiglich w = c o i m Kreise i z [ < z.

Die Konstante -~ kann aueh bier dutch keine gr5l~ere ersetzt werden. Der Beweis dieses Satzes ist leieht f i i r n = 2 und n ~ 4, dagegen etwas umst/indlieh fiir n = 3.

MAt den Funktionen der Klasse (E*) hat sich Herr L. Fej6r besehKf- tigt. Er zdg te , da$ die Absehnitte derselben der Ungleichung

1 = 1 ,7071 . . . ( ! z i ~ l )

1/2

geniigena). Wit bezeichnen bei festem n mit % die obere Grenze yon

I% § § ~ § § ~,,z" l

2) Vgl. die Literaturzusammen,~ellung bei L. Fej~r, a. a~ O. ~), Fu6not~ ~) au/ S. 185.

a) L. Fej~r, Uber die Koeffizientens~mme eiuer beschr~nkten mad schtichten Potenzreihe, Acta Mathematica 49 (1926), S. 183--I90,

190 G. Szegs.

flit t zl ~ 1 und fiir alle Fun~ionen yon (E*); ierner sei a die obere Grenze yon al, % , . . . , %, . . . . Dann ist nach L. Fej6r

% = 1,25 ~ a ~ 1,7071 . . . .

In w 4 zeigen wit, dal] man die obere Schranke von a etwas herab- driicken kann. Es gilt

III . ~ ~ 1,6t60 . . . .

Welter fiihrt in w 5 eine nicht ganz leichte Rechnung auf ~ f ' ~

IV. % = 3 - - 4 V ~ = 1,2232 . . . .

Es ist bemerkenswert, dai~ % < ~ ausf~llt. In w 2 wird zum Teil die K. L5wnersche Theorie der Schlitzabbil-

dungen ~) benutzt.

1. H i l f s s a t z I. gat I~,-I=~[ < I, I=~ (1 ) I f(z')-f(z'~)

; z 1 - - Z~.

w Hilfss~tze.

Es sei f (z) eine Funktion der Klasse ( S). Dann < 1 die Ungleichung

_>_li'(~o)'~(1 ~ .l ~ ~-~~ l Z o

Fiir den Spezialfall z~ = 0 geht diese Ungleichung in

(2) If(z~)--f(O)}> If'(O)l zl } = (1 + I z,',) ~

iiber, was einen Teil des Verzerrungssatzes (in der schaffen Fassung) bildet. Aui diesen Spezialfall kann abet (1) dutch eine Abbildung des Einheitslrreises auf sich leicht zuriickgefiihrt werdenS).

Wir setzen z --~2 z.,_ -- z~

1 - - ~ z ~ - W , l _ ~ z l = W 1.

as sei ferner f ( z ) = g ( w ) . Nach (2) gilt

! g(w~)-g(o), ~ I g'(o) I (3) ] ~ ~ 0+I~!)~.

N ~ i~t g (w~)= f(z~), g ( o ) - f(z~) ~ d dz f ' (z) (1 - ~ z ) ~

g ' ( w ) = f'(z)-d~--" l_lz~l~ '

0 K. LSwner, Untersuchungen tiber schlichte konforme Abbildungen des Ein- heitskreises I, Math. Anna~len 89 (1923), S. 103--I21.

0 Den Hinweis auf diesen Kunstgriff verdanke ich Herrn K. LSwner.

Sehlichte Abbildungen. t 91

folglich g' ( o ) = - !

woraus die Behauptung folgt~). Welter ist nach dem Verzerrungssatze

'-iz~I ] f , (0) l ' ! f ' ( z~) l = > (1+ ,z~l)8 so dab wit aus (1)

(1') , f(~i)-f(~:) i> If,(o)i (ll+ ~:i,~ , - ~ )': zi--z2 -'~ ,z2 ) ( z 1-z~ + ' l - - ~ z 1

(lz, t < 1, tz:l < I) i erhalten. Es ergibt sich schlie~lli& ~ [z~ ] < ~, l z.2 l < z

(1_:_7 ' , , 1--1-- ~ ~ , f , ( o ) l = _ . i ~ _ ~ t ( o ) l . (4) f ( z , ) - - f ( z ~ ) > , 432 f ,

. z , - - z : ' tlq_ ~ (1 I_1+~6) 2. Hi l f s sa tz II. Es sei

f ( z ) --~ C o q- ClZ q- C.,Z ~ q- . . . -47 C,~Z ~ J~, . . .

eine Funlct ion der Klasse ( S ) u n d c~ = 1. D a n n ist / i ir n ~ 2

(5) l c ~ l < e n ,

(5')

/erner

(6) Die Absch~itzungen (5)

men

]Cn] ( ~n

( n _ l ) '~-~-'

I

und (5') ((5) ist eine Folge yon (5')) stare- yon Herrn J. E. LittlewoodT). Um (6) ~ beweisen, verf~hre ich in

6) Wendet man auf g(w) anstatt (3) die in dem Verzerrungssatze enthaltene obere Abschgtzung an, so ergibt sich das folgende Gegenstiick zu (1): Es sei f ( z ) eine Funktion der Klasse (S). Dann gilt ffir ] z I ! < 1, i z~ ] < 1

(1") i f ( ~ , ) - f ( ~ ) !<= , : f , (~ ) , ( l_~ l~) 11-~1, , 1 _ , ~- I zi -- % ( [ z I -- z,~ --~ 1 -- z~ zl i)

Herr W. Rogosinski hat reich auf die /olgenden Ungleiehungen aufmerksam gemacht, die aus (1) und (1") fiir z l = O , z ~ = z folgen:

z f ' ( z ) l+ iz i 1--1z ~ < . i + l z, =i f ( ~ ) - f ( O ) =i-!z l

Durch die obere Abschgtzung wird u.a. eine Fragestellung von Herrn J. E. Litttewood (a. a. 0. ~), S. 508, Theorem 26) beantwortet.

7) j . E. Litttewood, On inequalities in the theory of functions, Prom of the London Math. Soc. (2) 23 (1924), S. 481--519 (Theorem 20).

192 G. SzegS.

eine briefliche Bemerkung Anlehnung an derma6en. Fiir die Funktion

g(z) =- ( f (z -~) -- co) - ~ - - z + 51z -t- -~ + . . .

besagt der ,Fl~chensatz"S), da6

t 51 i" + 3 15. I~+ 5i 551 ~ + . . . =<

ist. Aus f ( z ) - - C o = (g(z-�89 -~ folgt aber

c5-~- - 257 @ 65~55 + 3 5 : - - 125:5~ @ 55: ,

so dab mit {b n l = f l ~

! c~ l < 2 flv -+- 6 fllfls + 3 " fl2fl~ + 5 fl~ gilt, wobei

Nun ist < a a

folglieh

yon ge rm IL Orandjot folgen-

3 21

V5 Die quadratische Funktion rechts erreicht fiir fly =- :5i- ihr Maximum, so daft

3 ~ 2 [5 V5 68 34 5 (7) 2 flv + 6 fllfls ~ [_~ , 21 2 1 = 2 1 l / g < ~ f < - f f .

Andererseits hat man

3 fl ~ -+-12 fl : fl a + 5 fl : ~ 3 f l ~ + 1 2 ( 1 - - a f l ~ ) A - t - 5 ( 1 - - 3 f l ~ ) "

< - - 27 fl: --}- 12 fia -{- 5 ,

2 Die quadratische Funktion auf der rechten Seite erreicht fiir f i3-~g ihr Maximum, so dab

4 8 19 (s) 3~2 + 1 2 ~ A + 5~: __<- ~ + ~ + 5 = y

und also wegen (7) und (8) 5 19

!c51 < ~ + - f = 8 ist.

s) Vgl. L. "Bieberbach, Lehrhuoh der F ~ t i o n e n t h e o r i e , Band H, S. 84--85. Leipzig: B. G. Teubner, 1927.

Sehliohte Abbildungen. 193

w tiber dieKlasse (S).

Wir diirfen annehmen, da~ cx = 1 ist.

1. Wir beweisen den Satz I zuniehst ffir u ~ 6, indem wir zeigen, dab

(9)

ist.

Or,

i f ( z t ) - - f ( % ) > r 2 - z ~ I 1 6) (t ,t < 1, t, t <u

Wegen der Ungleichungen (4) und (5) genfigt

v~ 432

*'=~,+1

e s

nachzuweisen. Gilt diese Ungleichung ffir n = 6, so n ~ 6 . Nun is~

m ~ ( 1 - x ) ~ + ( 2 m + 1) x ( 1 - - x ) + 2 x ~ (11) ~"~ Z " = X ~ . . . . .

~=~ (1 -~)~.

gilt sie auch

( m = 0 , 1, 2 , . . . ) ,

so dab

= v ~ I 16(~+1)~+ (2~+3)+ Z 4~_ 1 -~- 4-- ~ s "-

9.n~+ 24n+20 27,4 '~-1

ist. Wit haben also nut zu zeigen, da~

61 432 27.128 e<C3125

besteht. Dies is~ abet richtig, weft

61 64.3 1 432 27-128 e <:: 27-128 ~ 18 <: 3-]~"

2. Fii~ n = 5 versagt die vorige Methode. auf die Ungleiehung (12) 365 432

27,956 r <:: 3125 ' was wegen

365 365-2,7 27,256 e :> 27,256

falsch ist.

Sie fiibrt n~mlich dana

73 438 432

Mit Riicksicht auf ( 5 ' ) genfigt es abel" anstatt (12)

365 6 ~ 6 66 432

Mathem~tische Annalen. 100. I~

194 ~ G. Szegii.

oder

(12') 122 27

zu beweisen. Nun ist

- - e + 9-1;2 5 < 432.256

3125

und

122 12,2.27,2 2-7- e 4- 9-1 ,2 5 ~ 27 q-lO,8.1,44~<12,2-i-O,l-ar- lO,8.2,1

= 3 4 , 9 8 < 3 5

432.256 430.255 8 6 - 5 1 86.50 3125 ~ 3125 125 :> 125

75 {- ~ ---- 34,4 -{- 0,6 ~ 35.

(5")

nicht zum Ziele. Seite von (9)

3. Fii_v n = 4 fiihrt die bisher befolgte Methode selbst im Besitze der (bis heute unbewiesenen) Ungleichungen

s ..) Diese liefern n~mlich als obere Schranke flit die rech~

[9n~+24n+20\ "65 4 432 �9 ) 27-16 2q 3125

Ich benutze daher eine Versch~rfung der vorigen Methode, auf welche ich yon Herin W. Rogosinski aufmerksam gemacht Worden bin. Es wird dabei die AbscE4tzung (6) eine Rolle spielen.

~g Es geniigt offenbar die Ungleichung (9) flit z 1 - - 1, z~ = Z mit I x I = 1

zu beweisen, was wegen (1') eine Fotge von

ist.

i ~ I x

4 +I'

Wir unterscheiden zwei F~lle"

a) 11- i>o:4.

~=5 4~-I l - - x

9 ~, 1

1 - ~ +gI 1-xl + (1--x)~ t 1 _ i _ ~ = x

. 4 ~ ' - - 1 1--x

Man hat mit Riicksicht auf (6 ) , (5) (vgl. (23))

8 x-~ fc.l 8 8 ,, = 4" < 11-~1 + e

8 (8

1 ;72+19(3--,0,1)

1 72+19e 11 - - x I 9-128

1 1 < ; 9 1 - - x [ '

Schlieh~e Abbildtmgem 195

so da~ wir Iolgendes zu beweisen haben:

1 I - x < : 3,24. t - x 1 - - -

16

Nun ist das erste Glied der linken Seite monoton abnehmend,

von 0 bis ~ 1Kaft; es ist ferner 1--Y6I < 1 fiir I 1 - x ' - - 0 , 4 }

Man hat also

1 - N < 1 1 - ~ ~ = 2,5

und

l I l - - x x 16 1 - - ~

1 2 2 ~---~16 1 ~--~ ~ 0,2.

I+1-g

Es ist aber 2,5 + 0,5 + 0,2 = 3,2 < 8,24.

b) I 1 - x i < 0,4. Man hat mit Riicksicht auf (5') und (12)

4"-; 1--x (4 -~ -@ 4--~ ( @2 6 e ( @365.2,7"2 27.256 ~=5 v = 6

3B,5 7,3 7r 0,~ 78,8 = ~ + 2-~ @ ~7. ~5--~ < 25--g @ 2-~ = ~-~ = 0,3,

so dab die zu beweisende Ungleichung "folgendermaBen lautet:

I x I 1 1 ( l - x ) : I 9 I = 1 , 2 1 - ~ @ 2 1 1 - - x l "4- 1 - 1 <250,3 "

Nun ist I ~] [15 ! ~ ] 15,~ o, B2 1--~-~ = ~-~-[- <:-i-g - < 1 15 = 1 - - 0 , 0 2 ,

W e I l n a r c x

I~I=1.

Es ist n/imlich 9)

ferne~ �89 -- x I < 0,2 und

16 l _ N t

0,16 0,16 0,30 = ~ < i5 = 0,02,

womit die Behauptung flit den Abschnitt n - = 4 gezeigt ist. 4. ~ n = 2 ist die Behauptung Ieicht zu beweisen.

11 +r > 1 ~ > o 2

~) Vgl~ a. a. O. 8), S. 85--86. 13"

196 O. Sze#.

Wit betraehten endlieh den Fall u =: 3. Es geniigt, den Satz fiir die yon Herrn K. LSwner a. a. O. ~) betraehteten Sehlitzabbildungen zu be- weisen'~ Wir setzen dementspreehend

(la) ~=~/~(~)~-~, ~=4 ~.(~)~-~d~ -~f~(~)~-~-~, 0 0

wobei ~ (~) eine stetige Funktion von , mit Die Behauptung Iautet dann

1 + c~ (zl + z~ ) + c~ (z~ + z, zo. + z~ ) + 0

Wit zeigen sogar, dal] flit l zl I = t z~ t u

(14)

ist.

i x ( , ) I = 1 bezeiehnet~l).

1 (iz,

1 + ~ { c~ (z, + z~. ) + c~ (z~ + z~ z~ + z$ ) } > 0

Ersetzt man z~ und zo durch ,z~ bzw. e z~ und gleiehzeitig z(v) dutch ~ z ( , ) , l e j = l , so bleibt die linke Seite yon (14) unver/~ndert. Da e stets so bestimmt werden kann, dab , z 1 und e z, konjugiert komplex sind, so geniigt es also (14) fiir den Fall zu beweisen, dal~

z~ = - ~ - , z2 ----- 4 ( 9 reel l )

ist. Dann lautet die Behauptung:

1 + c o s g . 3 t f x ( ~ ) e - ~ d , 0

/ . 8 3{ 2 ~ d~ - - ( , ) e - ~ d , > 0 . o

Setzt man

0 0

e o s ~ - ~ 2 ( - - 1 _< 2_< 1),

so erh~lt die zu beweisende Ungleiehlmg die folgende Form:

42~-1 l + 2 x ~ + 8 x o > 0 .

Die Ableitung des linksstehenden &usdruekes naeh 2 ist x 1 + 2x~; ale hat fiir Ix x I ~ i x~ ] konstantes Vorzeiehen, wenn -- 1 _< 2 _< 1, so dal~ in diesem Falle nut die SteUen 2-- - -+ 1 zu priifen sin& Letzteres gilt iiber-

~) Vgl. die Bemerkung a. a. O. 4), S. 106. u) A~ a. O. 4). Vgl. die Formeln (51) und (57).

Schlichte Abbildungen. 197

haupt fiir xe ~ 0. Fiir I x~ 1 < x~ hingegen mug aUein die Stelle 2 = x~ betrachtet werden. Wit haben folglich zu zeigen- x~

8

x~ b) 1 > ~ + - ~ , wenn tx l l<lx~i , x ~ > 0 ist.

Die Ungleichlmg a) kann, wenn man z ( ~ ) = x ( ~ ) + iy(~) setzt, fol- gendermallen geschrieben werden:

2 y f - + 1 . 0

2 (/ 16 y(~)e-'dz + (1--2y~'(~))e-2~d~< ~

0

nachzuweisen. Die linke Seite ist hier

~ 2 y e ( z ) ( e - ~ - - e - ~ * ) d ~ + - ~ 2 (e-~--e-e*)d~+-~=~<-6- . o 0

Zum Beweise yon b) geniigt es

x ~ 8 ~::_. + ~ x~ 5z~ d.h. x ~ < ~ - 1 > ~ . ~ - - g = 8,

zu zeigen. Bekanntlich 1~) gilt mehr, n/imlich

8 8

Damit ist Satz I vollstii~dig bewiesen.

w

LTber die Klasse (So).

Wir diirfen annehmen, da$ co = O, e~ = 1 ist.

1. Eine solche ~mktion f(z) gehSrt bekanntlich dann und nut dann zur Klasse (So) , werm

f'(z) (15) ~ z f(z----~ > 0 ffir ]z] < 1

I~) A. a. 0. ') , S. 120--121. Die Ungle iehung l x~ + iy~ I ~-~ { ist mit lea 1 ~= 3 gleiehwertig~ ~_

198 G. Szeg5.

giltlS). Man hat ferner

so da$

(17)

istl~). .. Auflerdem gilt

(17') .

Wir setzen nun fiiz n ~ 2

(lS) z + c ~ z ~ + . . . + c ~

und stellen ans die Aufgabe,

(lo) und

2 ~

1 [" f ' (z)

0

s" (z) (20)

~ z f ' ( z ) >~ 1 - l ~ l

f ( z ) - - l + ! z I

f ' ( z ) ' 1 + I z f (z) = 1 - z

( z = r e i~, 0 < r < l ) ,

z~=-s.(z), f(z)=-s.(z)+e.(z) 3_ o<lz]<z

8.(z)+o

= ~ z f ' ( ~ ) f e z ) + ~Rz I

e, (z) f ' (z) 5" (z) f(~)

f(z) - e,, (~)

naohzuweisen.

(21)

mad

(22)

f'(z) - e'(z) - - -~z f ( z ) -e , . ( z )

(l l<i)

(izl <1).'9

> 0

Es geniigt zu diesem Zwecke, --

i f (z) i :> le,,(z)l

behaupte ich - - , f tzl=

1 4 1

1 + u

e: (~) ! i f--{77 + le ' (~ ) : f (z) 1- ! q:(z)!

13) Vgl. a. ~. O. s), S. 93. x4) Dies folgt aus dem Harna~ksehen Lemma: Wenn u (r, 90) eine flit r < 1 regul~re

positive Potentia,]~nktion ist, fii~ welehe 2~

l: f u (r , ep)dg~ = 1 2~z 0

1 - - r , < u O , r l + r ~jlt__ , ~ m x hat man 1-}-----r = - - 1 - r"

a~) Dies folgr aus dem Carath6odoryschen Lemma: Wenn u (r, f ) eine f i i r r < 1 regu~re positive Potentialfunktion ist, fiir welche

2 ~

0

gilr wenn ferner w(z) die analytische F n n ~ o n bezeichnet, deren Realteil u ( r , q~)ist,

note ~) gilt fibrige~ (17 3 ~ eiae beliebige Fnnktioa f ( z ) der Kla~el( ; ) mit f (0)= 0.

Sch.lichte Abbildungen. I 9 9

zu zeigen. In der Tat ist e~(z) regal/ix fiir [z t < 1 Aus Aer Richtigkeit f(z)

~o. (~1) ~ t ~ t = �88 ergibt sieh also dieselbe Ungleiehuag, also (19) fiir

0 < l z I < }" ~'olgIieh ist Z s ~ I regulKr flit l z { ~ �88 und aus der Richtig-

keit yon (20) fiir l z [ = �88 folgt dieselbe Ungleiehung fiir [z{ < z. ~ Fiir ist aber (20) eine Folge yon (22), da doch (17) und (21) gelCen. ;zi u

Wir bemerken zan~chst, da8 die Koeffizientenabsch~.tzung (5") f@ die Klasse (So) bekannt isttS). Zum Beweise yon (22) benS~igen wit auf~er der Formel (11) noch die folgende

,=,~ (i ' x ) ~

Es is~ also, t z[ = a o 4 :

| ~ ( n + l ) + t 1 4

(m~- O, 1, 2, . . . ) .

3 n + 4

9-4 ~

und nach der in w 1, 1 durchgeffihrt~n Reehnung

Z ~,~ One+ 24n~+ 20 (2a') t =< =

' ~ = n + ~ 4 ~:--1 2 7 . 4 n - 1

1 Man hat {erner wegen (17') flit I zl ~

1 i 1 +-4- 20 i f ' ( z ) ~ 4 - - y = -~ .

4

SchlieBlich ergibt sich aus (2), ]z ] -- ! 4 '

1

it'(.)l > 4 4 25"

Fiir n ~ 4 hat der husdruck rechts in (23) den Weft ~-~ < 2 5

da~ (21) fiix n ~ 4 gilt. (22) ist nun eine Folge dot Ungleichung

20 3 n + 4 9 n ~ + 2 4 ~ + 2 0 27.4._ <

(24) 4 3 n + 4 - - 25 9.4~*

so

z6) 1~ Nevanl~nn~, Uber die konforme AbD~aung yon Sterngebieten, 0versikt av Finska Vetenskaps-Soc. F6rh. 68 (A) (1920~21), Nr. 6.

200 o. Szeg~.

deren Richtigkeit flit sie ab'er richtig, weft

ist.

n = 4 doch

5 65

4 1 25 144

Bemerkung . 13 4 576 < ~ " Die ]autet ngmlich

die iiir n _~ 4 ~tr Folge hat. Ffir n - - 4 ist

1 1 1--8 + -6- 2.72 12 1 i --9---gs=~<~ - "

8 72

Ffir n - - 3

Ungleiehung (24)

in diesem Falle 65

27.16 4

,25 Die linbe Seite ist abet

2. Fiir n -- 2 ist dana um die

oder

Man hat abet

wird der Ausdmck reeht~ in (23) ghieh

ist dagegen +in diesem Falle falseh; sie

173 - - + 2 7 . 1 6

13 576

gr61]er als 4 10

1 5

12

70 I2 27 >-5-"

die Behauptung leicht zu beweisen. Ungleichung

~ I + 2 c ~ z > 0 lq-c~z

Es handelt sich

m(1 + 2c~z) (1 + ~2 5) - - 1 § 3mc, z + 2 lc~l=lzl ~ 3 I ~ 1

- -2 -~§ s > o v

g § > 4 4 = - 4 ' (cu=~O)' so da~

- 1 1 m(1 § 2c~ z) (1 § ~0 ~) > 2.16 8 - - 0

0zl<+)

(25) m > o. i + u

gilt. Der Nenner wird bier nicht. 0, weil }c,z-}-c s z ~ ] =< 2.~ § 3 - ~ - - ~ < 1 ~ ~ ist. Man kan~ also l zl = ~ annehmen. Es geniigt ferner diese Ungleichung

1 flit z = z zu beweisen. (Man betrachte gf(e z) mit passendem e, t~ [ = 1.) Die Behauptung lautet also-

1 + ~ -~3ca16

ist. Wir kommen nun attf den etwas schwierigeren

werden beweisen, dab fiir ]z] ~ �88

1 + 2c~zq- 3c~ z~ l+c2z+c3z~ ~ 0

Fall n = 3 . Wit

Se2~liehte Abbildungem 201

Die Funktion

f'(z) 1 +2cez+3c~z~ + . . . __ 1 +2C~z~20~z~+ (26) z ~-~-~ - - l + c , z + c a z ~ + . . . . . .

hat flit l z I < 1 positiven Realteil, so daI~ nach der Carath~odory-Toeplitzschen Theorie der Funktione~ dieser Art 1:)

(27) ]O~.l ~1, 16 '~ - -C / ]~ I - - ]C~ ] ~

gilt. (Umgekehrt gibt es zu vorgeschriebenen C1, O~, welehe (27) er- fiillen, stets eine Funktion (26) mit positivem Realteil flit l z l < 1, folg- rich eine auf die obige Weise normierte Funktion f(z) der Klasse (So).) Nun ist

Man kann also (25) auch folgendermagen schreiben:

> 0 el +-~+ ~(c~+ ~c~)

oder wenn man C~ -- C~ = ~ (1 -- I C~l ~) setzt, wobei 1~1 =< 1 ~t, 3

~R > 0 , . 1 -}--~ -}- 1 (3 C;-t- ~/(1 -- ] O, ]'))

Wir fassen den letzten Bruch bei festem G~ und C'~ als eine Funktion von a~. Sie ist ~e~ul~ ~ ] '1~-1, ~ I (vgl. ob~n)

ist.

(25')

gilt.

~c~ ~ ~ l ic~i 21v~t ~ 11 I -]- (3 G~ _.}_ ~/(1 _ ]G~ ]e)) < __~ _}_ + 1 < < 1

Man daft Iolglich ]~/]= 1 annehmen. Wit haben also zu zeigen,

Wit setzen el +ol

Dann lautet (25')

oder

~56 is ~(wl + w~)~ > 0.

dal~

xT) VgL den Enzyklol~dieartikel yon L. Bieberbach, Neuere Untersuohungen fiber Funktionen yon komplexen Variablen [H C4, S. ~79-532 ], S. 501-504.

202 G. 8zeg&

Diese Ungleiehung ist nun gleichwertig mit

256 ~ 16

d.h . mit

i w~ § w..t,

( t wl + w~ [ I--iCon's) ~ wl-- w~ o. I t

2 16 :> 4

1.- tG ~

Setzt man C 1 = ~, so lautet diese Ietzte Ungleichung

<28) 14+:1 > !ci )

3. Wir schreiben

es ist geometrisch klar, daft 3 g r _~ 5 ist, daft ferner bei jedem festen r

(29) - - % ( r ) ~ • ~ Vo(r)

gilt, wobei ~o (r) aus der Gleiehung ] -- 4 q- r e ~ i = 1 bestimmt werden

kann, 0 <: ~o (r) < -2-:" Der Punk't" -- 4 + r e ivo(r) liegt auf dem Einheits- kreise. Man erhglt"

1 5 + r "~ (3o) ~o~ Vo(r) = s~

~ 9n~ kann nun (28) folgender- Wegen 8 + 5 8 - + - ~ = 2 4 - - 1 3 ~ x ~ u mal]en gesehrieben werden:

wobei Q = r - ~ ] - 4 q-reivi~ = - 1 2 - ~ r ( 1 +6cosq0) -aYr ~ ist. Mit Riicksicht auf (29) mad (30) hat man

8__ 3 r . 2_ 3 (31) Q ~ - 1 2 + r - f - ( 1 5 - ~ r ~ ) - u 4 + r "

Wit schreiben nun (28') in der Form 3

I a - - f l ~ + 7~{ > u -+- Q oder

(32) [(a+Tr~')eos~o f l r i ' + ( a - - y r : ) ~ ( 1 c o s ~ ) ( ~ + Q ) ~ - - - ~ 0 ,

wo iibergangsweise a = 2 4 , f l~-13, 7 = 0 gesetzt worden ist. Wir denken tins ~

Q + 1 2 - r + 3 r ~

r = 6 r

Sehliehte Abbfldungea. 203

gesetzt und betrachten die linke Seite f(r, Q) yon (32) als Funktion yon r u n d Q. J=Iierbei durehliiuft r das Intervall 3 ~_ r ~ 5 and Q ein ge- wisses, von r abh~ingendes Intervall Q~ (r) ~ Q s Q~ (r). Es ist Q~ (r)-= - ~ -{- r. Wit zeigen, dab f(r, Q) bei ~[estem r , 3_< r_< 5, als ~hmktion yon Q fiir Q ~ Q1 (r) monoton w~hst .

Man hat

,~f(~,Q) 2 a+~,r ~ - (~ ) OQ -- 6r [ (a+Tr~)e~ 6rrr~)~e~ + Q

= ' ~ aTr e ~ (a+rr~) 2 2Q

4 Q+ 1 2 - r + ~ - /~ (cr _+_ 7r~) 3 = g a y 6 a 2 2Q.

Dieser Ausdruck ist positiv Ifir Q ~ Q~ (r), wenn er fiir Q = Qx (r) positiv

ist, da ja O~f(r'Q) 2 - a } , - 2 > 0 ausf~illt. Nun hat man abet aQ ~ 9

4 15+r ~ f l ( t z+y r~ ) 3 ( 8 ) ~ a r s 8 2 2 - - - ~ + r

( a - 2 ~ ) r r ~ 2 r + a(15},--25) 3 ~ - - 6 - - 6 ~- - - u - - 2 r + 3 1 > 0

Diese Ungleichung ist n~imlieh fiir Damit ist gezeigt, d ~ f(r,

heiBt cos ~ = cos ~v o (r) oder I$ Behauptung

(28") d.h.

oder

r = 5, folglich aueh fiir 3 _< r _< 5 richtig. Q) fiir Q = Q1 (r) Minimum wird. Dies I = 1 , ~-----e~v. Dana Iautet abet die

5 + ! > 1 4 + i

(-~ cosy 2 + 5)~+ ( ~ s i n ~ ) ~ > 17 + 8 cos yJ

72 cos ~ y~ + -U cos v 2 -{- 8 + - - > 0.

Die linke Seite wird fiir cos ~/, = 189 Minimam, und zwar betriig~ dies 4-72

x89 [23 16"-72 + 8 --~ \--~-] :> O,

w e ~ ~ 180"~ (16"I2)~ 32 and - - > 24 ist. 16-72 <:: Ia.72 Damit ist (28"), also dex Satz I I bewiesen.

204 G. SzegS.

selben Kreises bei der Abbildung w = z f ' ( z ) in bezug sehlicht und sternfSrmig ist~S). Hieraus folgt der Satz

II ' . Die Funktion

f ( z ) = c o -4- clz -4-%z ~ + . . . - 4 - c .z ~ + . - . /

sei regulgr und schlicht im Kreise [z[ < 1 und bilde konvexes Gebiet ab. Dann sind sdmtliche Abschnitte

Co + c~ z § co z ~ § § c . z ~

3. schlicht und ,,konvex" im Kreise I zl < ~. a kann aueh bier (lurch keine grSBere ersetzt Die Konstante

auf w = f ( o )

densdben au] ein

1, 9, a , . . . )

werden.

w

~ber die Klasse (~E*): Die obere Absch~tzung yon 6.

In einer gemeinsamen Arbeit von W. Rogosinski und G. Szeg519) ist der folgende Satz bewiesen women"

Es sei 0 < ~ ~ -~ . Wenn die Potenzreihe

(ua)

f ( z ) = - C o + c~ z + e.~z ~ + . . . + e ~ z ' + . . .

konvergiert und 1 f (z) l ~ 1 ist, dann gilt/ i ir n -~ O, 1, 2 , . . .

( sin l - - n + 1

~,~-0

1 f J:(.)a., o

wo Jo ( x) die Besselsche Funktion O-ter Ordnung bedeutet.

Fiir v~--+ 0 geht diese Ung]eichung in die folgende fiber:

1 n+ e,, < 1

welehe besagt, dag die arit.hmetisehen l~t tel erster Ordnung der AbsetmiCte yon f(z) dem Betro.ge naeh tmterhalb der Sehranke 1 bleiben.

Herr Fej6r hat a.a.O. 3), S. 187-- 188, die letzte Ungleiehtmg benutzt, um s~ ~ % q- e 1 -+- c~ -}-. . . -~- c~ bei einer Funktion der Klasse (E*) ab- zuschgtzem Benutzt man auf ghnliche Weise die Ungleichung (33), so

ergibt sich (ffir 0 - - 2 ) ein etwas schiirferes.:Resultat.

1~) Vgl. etwa G. PSlya und G. Szeg5, Aufgaben und L e h r ~ z e aus der Analysis ! (Berlin: Julius Springer 1925),,. S. 105, Aufgabe 110.

r

ag) W. Rogosinski und G. Szeg5, Uber die Abschnitte yon Potenzreihen, die in einem Kreise besohffmkt bleiben, Math. Zeitschrift 28 (I928), S. 73~94. Vgl./usbeson- dere w 8. ~ ,

Schlichte .~bbildmagen. 2 0 5

folglieh

Wegen

H i t

In der Tat gilt

--n+---l ~9 n s i n v q _ s i n 1 n+l 0

sm ~ sin v~ v = O * '=1

v~

if 0 *,----I

o~

X , ' Ic, i ~ -_< 1 (vgl. a. ~. o. % v - - 1

I f ~ 1 0

der Bezeiehnung [sin ~ - sin (~ - x)]~

x

sin ~ -- sin (1 n+!~' ) a i

sin ~ I c- l"

S. 188) erhalten wit hieraus

~�89

1 =h(z) ( 0 < z = < o ; h(o)=o)

kann der Ausdruek in der Klammer { } folgendermal~en geschrieben werden:

~ + 1 ~ ~--4-i- " ~, -~0

Man hat aber ffir 0 < x_~ v ~

x~h'(x) = [sin v a -- sin(va-- x)] [2xeos ( ~ - - x) -- sin ~ + sin ( ~ - - x ) ] ~ O,

weiI doch sin v~ -- sin (v a -- x) _~ x cos ( va -- x)

ist. Folglieh i s t h(x) monoton wachsend und es gilt

d .h .

1 (a4) 18.t < sin

2"Z

Fi i r ,9 = ~-

n

n + l ~ =

1,=0 0

o J:(x)dx +-~--~ tJo x

ist das erste Glied

2

f J~ (x) dx = 1,0777 . . . , ~o) 0

~o) A.a.O. ~), S. 77.

206 G. Szeg5.

w~rend das zweite

d x 2 - - d x 2 d x x ~ x 3

Man hat

4 ~r

�9 a 2§ 1 1 1 1 4 sm x 3 d x = - - ~ c o s x - - ~ c o s 2 x §

0 0

67-4o V2 144

und

so da~ tats~ichlich

gHt.

]/67 - 4 0 ~2 ~__ 0,5382 ~ o ~

ls~! < 1,0777.. . § 0,5382. . . : 1 ,6160. . .

Es sei

w Uber die Klasse (E*): Die Bereehnung yon ~.~.

f (z)--~- c o § cl z --~-c~z ~ § "-{-c~z n §

eine Funktion der Klasse (E*), d.h. reguliix und seh]icht fiir lz} < 1, ferner sei daselbst ] f (z) j s 1. Naeh der in de/-Einleitung gegebenen Defi- nition ist o~ die obere Grenze von

leo § +c.~ + . . . +c,,J fiir alle Funktionen der Klasse (E*). Es ist a~= ~ = 1,25. W i r stellen uns die Aafgabe, % zu bereehnen.

Es sei

(35) v , ( z ) = rl z § 7~z ~ + . . . + r , ,z '~ + . . .

eine beliebige Funktion der Klasse (E*), fiir die aui~erdem yJ (0 )= 0 gilt. Es sei ferner ] a ] K 1. Dann ist

(36) f ( z ) = t _ a ~ , ( z )

stets eine Funktion der Klasse (E*). Umgekehrt kann Funktion f ( z ) der Klasse (E*) immer in dieser Form dargestellt werden, indem man a --- -- f (0) setzt.

Wir erhalten dutch Koeffmientenvergleichung

(87) ~o=-~ , ~l=r1(1-I~I~), c~=(r~+~) (1 -~ i~ i? ) . . . - ,

(t~J < 1)

eine beliebige

Schlichte Abbildungen. 207

so dal3 co + c~+ c~ = - ~ + (y~ + r~ + ~ ) (1 - i ~ l ~ ) .

Es handelt sich nm das Maximum des absoluten Betrages dieses Aus- druckes, wiihrend a alle Zahlen mit ] a l < 1 durchl/iuft und 7~, 7s die An- fangskoeffizienten einer beliebigen Funktion ~p(z) der Klasse (E*) sind. Man kann hierbei 71 = ~' ohne Beschr~nkung der Allgemeinheit als reell und positiv annehmen.

Es ist offenbar

(ss) 0 < ~ < 1.

Man hat ferner nach einem Satze yon G. Pick ~1)

(39) 17~{<=2y(1- -7) .

Umgekehrt, wenn zwei Zahlen 71 = Y, 7, diesen beiden Ungleichungen ge- niigen, so existiert stets eine Funktion y~(z) der Klasse (E*) mit diesen_ Anfangskoeffizienten.

Es ist also

(40) 'co + c 1 + c.. ! < : - - a + (r + ~ 7') (1 --iais)I + 2 r(1 -- r) (1 --t~t"),

wo man bei passender Wahl yon f ( z ) das Gleichheitszeichen realisieren kann. Wit wollen das Maximum der rechten Seite yon (40) berechnen, wean a aIIe Zahlen mit [a I < 1 und y aIIe Zahlen mit 0 < 7 ~ 1 durchI~uft.

Wir setzen a = re ~ (0 < r < 1) und betrachten bei iestem r derr Ausdruek

! - - r e ' ~ + ( y - ~ - r e - ' v y ~ ) ( 1 -- r ~ ) l = ]/(Ar cos~ @ B ) : + O ~r2sin~q~.

Hierbei haben A, B, O die folgende Bedeutung"

A = l - - 7 ~ ( 1 - - r ~ ) , C = 1 + 7 : ( 1 - - r~), B = - - 7 ( 1 - - r~).

Wit bemerkem dab A s - C S = 4 y B < 0

is~. Es handelt sich, wenn man zur Abkiirzung cos q~ : 2 (-- 1 _~ 2 g 1~ setzt, um die FunkCion

u ( ~ ) = (A s -- CS)r ~ 2 s -}- 2 A B r 2 -}- B ~ -Jr- C~'r ~,

deren Ableitung nach Ji

is~.

u' (2) = 2(A ~ -- C'~)r ~ 2 + 2 A B r = 2B r(47 r 2 + A)

Wir untersc~heiden zwe5 FMle:

m) O. Pick, Uber clio konforme Abhi]dung eines Kreises auf ein sehlioht~ und zugleich b e s c ~ s Oebiet, Sitzungsberichte d. matb.-naturwi~ Klas~ d. Aku~lemie~ d. Wiss. zu'Wien, Zweite Abteihmg, 126 (1917), S. 247--263~

2 0 8 G. SzegS.

i t

Dann ist u ' ( l ) < 0 flit

A > 4 r r .

- - 1 < 2 ~ 1 , so dab

Max u(~) = ~ ( - 1) _ 1 _ ~ i < 1 .

wird.

2. A < 4 r r .

In diesem Falle ist u ' ( 2 ) ~ 0 fiir 2 ein Maximum, d.h.

-I<z<i=

Die Bediugung I besag~, da~

(41) r ~ ( 1 - - r ~) + 4 r r < t

A und zwar besitzt hier u(2) 4 7 r ~

ist. Bei iestem r, 0 < r < 1, ist die lin~e Seite dieser Ungleichung monoton wachsend mit 7, und da 1 - - r ~ + 4r > 1 is~, so gibt es einen Wert go (r), 0 < go(r )< 1, derart, daI~ filr 0 < 7 <go(r ) die Bedingtmg 1, ff~r g o ( r ) ~ 7 ~ 1 dagegen 2 effiillt ist. Es ist iibrigens

g o ( r ) = - - 2 r + V 3 r ~ + l 1 - - r "~

In dem Falle 1 erhalt~n wit bei festem r u n d 7 als das Maximum der rechten Seite yon (40)

(42) r + (r -- r r~) (1-- r') + 2 r ( 1 - - r ) ( l - - r ~)

- - r + a t ( 1 - r ~) - (2 + r)(1 -- r~)7 ~ = P(r, 7).

A und erhalten flit das- In dem Falle 2 setzen wit l-----cos ~ - - 47 r selbe Maximum

Nun ist

~and

so dab

(43)

+ 2 7 ( 1 - - 7)(1 r = Q(r , 7).

A s C~+4?.B C ~

A s G ~ ru 3 r 2 + 1 1 6 7 3 : ' 167 '~Jr- 4

C Q(r, r ) = ~ 1/8r ~ + 1 + 2r(1 - x ) ( 1 - r ~)

1 = ~ ) / 3 r ~ + l + 2 7 ( 1 - - r ~ ) + , ~ ( 1 - - r ~ ) ( 1 1 / 3 r ~ + 1 - 2 ) .

Es ist nat~irlich P(r: go(r)) = Q(r, go(r)). Wirhaben zun~chst bei festem r, 0 < r <: 1, das Maximum M(r) der stetigen Funktion yon 7 zu be-

Schlichte Abbfldungem 209

s t immen, welche fiir mit Q (r , ~,) iibereinstimmt.

o < r < go (r) mit e ( r , r) uaa Es wird dann

( t*) o4 = Ma~ M (r). ~) o < r < l

Nun verschwindet ~P(r, y)

~7 3

flit den einzigen Weft ~, : g l ( r ) = ~ ( 2 §

i~ r d a ~ emiteeln, Oa~ g, ( r ) < go (r) is~. 8 ~

2(2 + r ) oder

(45)

go(r)< r < l

= (1 - - r~)[3 - 2(2 + r ) r ]

Wit wollen

Dies heigt naeh (41)

4 r < l

l l r ~ + 3 2 r ~ 7 .

Anderseits versehwindet

= ( : - [ 2 - ( 4 - 0~,

2 . Bereehnen wir die Werte nut fiir Y = g~(r) ~ - 4 _ l / _ f f r / + 1

welche g2 (r) < gl (r) gilt. Diese Unghichung besagt

4--1/3r~+1 ~ 2(2+r) 2 ~ 8

oder --4 (1 -- r)__> ]/3r~ + 1

was, wie man leicht nackrectmet, mit (45) iden~iseh ist. Es sei also r' die positive Wurzel yon 11 r ~ + 32r = 7.

iibrigens r' ~ 3 ~ - - 16

11 , 0 < r ' < 1. ,(46) Dann gilt

,(47') - and

,(47-)

die Bedingtmg

go(r)~g~(r)~g~(r) ftir O<r<r"

von r, fiir

Man hat

go (r) < g~ (r) __< g~ (r) f~r / < r < l .

Das Gleicbbeitszeichen tr i t t nu~ fiir r = r ' ein. Es sei nun zun~.chst 0 < r < rq Dann erreich~ P(r, ~,) im Intervall

0 < r < g o ( r ) fiir ~=-:gl(r) sein Maximum. Dagegen wird Q ( r , 7 ) i m Intervall go(r)< r -<_ 1 abnehmen und erreicht fiir y = g o ( r ) seia Maxi- mum. Es is* abet Q(r, go(r))=P(r, go(r))<P(r,g~(r)), folglich ist

~) Wit werden gleich sehen, da~ M(r) his zu einem hmeren Punk~ des Inter- ~valls O, 1 monoton zunimmt und yon da ab monoton abnimmt.

Mathemat'mahe Annalen. 100. 14

210 G. SzegS.

das gesuchte Maximum 9 1 - - r ~

(48) M(r) = P(r, g~ ( r ) ) = r + 2 2 + r

(49)

ist.

9 q - 8 r - - S r ~ 4 ( 2 + r )

9 1 - - r "2 4 2 + r

(0< ~<~').

Es sei anderseits r ' < r < 1. Dann ist P(r, Y) fiir 0 < 9' ~ go (r) waehsend, erreieht also fiir ~, = go(r) sein Maximum. Ferner wird Q(r, y) im Intervall go (r) _< ~, <__ 1 an der Stelle ~, = g~ (r) Maximum. Dttrch Beachtung yon P(r, go(r))= Q (r, go(r)) < Q (r, g~(r) ) ersieht man also, dal~

1 2 ( 1 - r ~) (r' < r < 1 ) M(r)=Q(r ,g~(r ) )=-~ l /Zr ~" -4- 1 + 4 _ i/3r~+ 1

Die beiden Ausdriieke (48) und (49) stimmen fiir r = r ' wegen go(r3=g1(r')=g..(r') iiberein, so dab M(r) ffir r = r ' stetig ist.

Es sei 0 < r < r ' . Man hat

weil

i s t .

(50)

4 (2 + r) ~ M'(r) = (8 -- 10r ) (2 + r) -- 9 -- 8r + 5 r ~

= 7 -- 2 0 r - - 5 r ~ > 0,

5 r '~ + 2 0 r ' < 1 1 r ' ~ 3 2 r ' = 7

Folglieh hat man

Max M(r )= M(r'). 0 < r . ~ r '

Es sei anderseits r '< r < 1. Wir setzen

4 - ]f3r ~ + 1 = e , r~ 15-s~+r = 3 :

so dab

M(,)-- + 1-=2 ( 6 ~-

Man hat also

Wenn r wiichst,

M ' ( r ) versehwindet flit

8 7~ d~

so nimmt ~) ab und es gilt

2 < e < 4 - ] / ~ r '~ § i .

e - 4 ]~v mad wit behaupten, dab

gilt. Diese Behanpttmg kann entweder dutch direkte Rechnung oder ein- taeher folgendermal~en bewiesen werden. Im gegenteiligen Fatle miiBte M(r) im ganzen Intervalle 0 < r <: 1 monoton wac, hsen. Dies ist aber

Schliehte Abbfldungen. 21I

unmSglieh, weil doch 9

lim M(r)-=- -g, ~'-~+0

gilt.

lira M ( r ) = 1 -~I --0

Hiermit wird M(r) fiir ~ ~-4 ]/-~ Maximum und zugleich sieht man, dab dieser Maximalwert grSBer aIs M(r') ausf/~llt. Wit haben also

~ = Ma,~ M ( ~ ) = - 2 ~ / ~ + - f - - 2 ~ = -~- - - 4 = 1 , 2 2 8 2 . . . . O < r < l

Bekanntlich wird a 1 nut bei den Funktionen

1

f(~)=~, Z l+~-

erreicht. Sie bilden den Einheitskreis t z l ~ 1 auf sich selbst ab. Fiir welche Funktionen der Klasse (E*) wird nun % erreicht, & h~

bei welcher Funktion wixd der zweite Abschnitt (bei passendem z, tz] = 1) gleieh % ?

So// % erreich~ werden, so mu~ zun/ichst in tier Ungleichung (39) das Gleichheitszeiehen gelten, d .h . die Fun_~ion ~ (z) mu~ den Einheits- kreis ]z l < 1 auf den l~ngs eines geradlinigen, yon einem Peripheriepunk~ senkreeht nach innen geriehteten Sehlitzes aufgeschnittenen Einheitskreis abbilden~3). Naeh der Abbildung (36) erhalten wit wiederum den auf- gesetmittenen Einheitskreis, wobei der Schlitz ein yon einem Peripherie- punkt ausgehender, naeh innen ge r i~e t e r passender Or~hogonalbogen ist. Dies ist das Bildgebiet bei der fragliehen Abbildung w-~ f(z). Man erh~lt s~mtliche Abbildungen dieser Art aus einer einzigen, wenn man das eben erw~ihnte Bildgebiet einer beliebigen Drehung um den Nullpunkt and einer 8piegelung an der reeIIen Aehse unterwirft.

(J,~}--1)

K S n i g s b e r g , November 1927.

~) VgI. a. a. O. sz].

(Eingegangen am 10. 11. 1927.)