g 6 ejercicios de aplicación.coreegir

7/25/2019 G 6 Ejercicios de Aplicacin.coreegir

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EJERCICIOS DE APLICACIN

EJERCICIO 1:

Para un fuido dado la velocidad para todo campo es vx=5m

s y

vy=2 tm

s (t en segundos). Una partcula se suelta en t=0 seg. En el

origen de coordenadas. Obtener las ecuaciones de la trayectoria y lneasde corriente en t=5 seg.

Solucin:

Ecuacin de !rayectoria" para obtener la ec. #e trayectoria debemostener la $uncin %=&(') ya ue este seala el camino.

vx=dxdt=5

dx=5dt

x

0

x

dx=t0

t

5 dt

x=5(tt0) * c0 t0=(tx

5) * c1

+(,)

vy=dy

dt=2 t

dy=2 t dt

0

y

dy=

t0

t

2t dt

y=2( t2t0

2)+c2 +.. (-)

ustituyendo (,) en (-) nos ueda"


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y=2[ t2(t22( tx5 )c1+x2

25 )+c2]

y=2

(t

x

5

)c1

x2

25

+k

i" t=5seg. /eemplaamos en la ecuacin"

y=2(5x5 )c12525 +k

y=2(5x5 )c11+k *cEcuacin de 1nea de corriente" abiendo ue la ecuacin analtica de lalnea corriente para un instante t en un movimiento bidimensionaltenemos"

dx

vx=

dy

v y

dx

5=

dy

2t

1

5dx=

1

2tdy

1

50

x

dx=12

0

ydy

t

2*x

5=y

2 t

2onsiderando t=5 seg.

c+x

5=y2(5)


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y=2x *2 +(Ec. #e 1. 2orrienteen el tiempo 5seg)

EJERCICIO 2:

Un elemento bidimensional de fuido3 de dimensiones dx y dy se

traslada y se distorsiona como se muestra en la 4gura3 durante un

periodo in4nitesimal dt= t- t,. 1as componentes de la velocidad

en el punto P en el instante inicial3 son u y v en las direcciones x y

y 3 respectivamente. #emuestre ue la magnitud de la ran de la

rotacin (velocidad angular) alrededor del punto P en el plano xy es"


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wz=1

2(

dv

dx

du

dy)

Solucin:

elocidad de rotacin" w=wz=1

2(

dv

dx

du

dy)

6ngulo medio de rotacin"

a+b2

#urante el incremento de tiempo dt3 el punto P se mueve una distanciaudt a la derec7a y vdt 7acia arriba.


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En el punto 8 se mueve una distancia (u+du

dydx )dt 7acia la derec7a y

(v+dv

dxdx )dx 7acia arriba.

En el punto 9 se mueve una distancia (u+du

dydy )dt 7acia la derec7a y

(v+dv

dxdy )dx 7acia arriba.

:nicialmente la distancia del punto 8 al punto P es d'

1a distancia del punto 8; al punto P; en un tiempo t-es dx+du

dxdxdt

#onde la distancia vertical del punto P; al punto 8; t-esdv

dxdxdt

:nicialmente la distancia vertical del punto P al punto 9 es dy

1a distancia 7oriontal del punto P; al punto 9; en t-esdu

dx dydt

y la distancia vertical del punto P; al punto 9; en t-es dy+dv

dydydt

ya conocidas las distancias3 encontraremos el


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/eemplaando en

a+b2

tenemos"

a+b

2

=1

2

( v

xdt

u

ydt

)=

dt

2

( v

x

u

y

)&inalmente

a+b2

w=wz=d

dt

1

2 ( v x u y )

EJERCICIO 3:

i la intensidad de iluminacin de una partcula fuida en ('3y3) altiempo t est< dada por"

:=8e3 t

x2+y2+z2

% el campo de velocidades del fuido est< dado por"

vx=B (y +2z)

vy=B(y+3z)

vz=B (y+3z+2z )

#onde 8 y 9 son constantes conocidas3 determine la velocidad devariacin de la iluminacin e'perimentada al tiempo t por la partculafuida ue est< en el punto (,3-3-) al tiempo t.

Solucin:

1o ue se pide es e'actamente el concepto de #erivada material3 eneste caso de la iluminacin recibida por una partcula fuida. #ados el

campo Euleriano de iluminacin y el campo de velocidades con ue semueve el fuido3 la e'presin de la derivada material es"

DI

Dt=

I

t+(v )I

iendo las derivadas parciales"


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I

t=3A

e3 t

x2+y2+z2

I

x=2xA

e3 t

(x2+y2+z2)2

I

y=2yA

e3t

(x2

+y2

+z2

)

2 I

z=2zA

e3 t

(x2

+y2

+z2

)

2

1a e'presin 4nal resulta"

DI

Dt=A

e3 t

x2+y2+z2

[3+ 2B

x2+y2+z2

(yx+4zx+y2+6zx+2z2)]

Evaluando en el punto (,3-3-) resulta"

DI

Dt=Ae

3 t

9 (4 B3)

EJERCICIO 4:

En un cierto fu>o bidimensional no estacionario las componentes de la

velocidad son u=ax

t yv=by 3 siendo a y b constantes.

#eterminar la curva ue describe en cada instante el coloranteinyectado en el punto (,3-)3 suponiendo despreciables los e$ectos dedi$usin.

Solucin:

?otamos del problema ue para el fu>o bidimensional 7ablamos de dos

coordenadas especiales (@'A y @yA)3 y ue el fu>o estacionario (nopermanente) se re4eren a ue sus caractersticas mec


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dx

dt=

ax

t

%dy

dt=by ,

2on las condiciones iniciales '='03 y=y0en t=t0.

El resultado es

x=x0

(

t

t0

)

a

,

y=y0 exp [b (tt0 ) ] .

Eliminando t0entre estas dos ecuaciones y sustituyendo '0 = , e y0= -3

e obtiene la lnea de traa correspondiente al punto (,3-)3Bue coincide con la curva ue se pide determinar en el enunciado"

y=2exp [bt(1x 1a)].EJERCICIO 5:

En las pro'imidades de un punto de remanso (o punto de estancamiento)bidimensional3 la velocidad est< dada por"

u=Uox

L u=Uo

Y

L 3 C=0

a) 2alcular el vector aceleracin y veri4car ue es puramente radial.


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b) Dallar las lneas de corriente3 las trayectorias y las lneas de7umo3 dibu>arlas esueme la trayectoria de la partcula ue a t = 0estaba en el punto (03-130)3 la lnea de corriente ue3 a tiempo

1U03 pasa por el punto (-13 13 0) y la lnea de 7umo del punto (-1303 0)3 en instante t = 1U0.

Solucin:

a) Para calcular la aceleracin a partir del campo Euleriano develocidades3 se calcula la derivada material de la velocidad"

Dv

Dt=

v

t+(v )v

ax=d

dt+

d

dx+v

d

dy+!

du

dz=0+

U0

L+0+0

ay=dv

dt+

dv

dx+v

dv

dy+!

dv

dz=0+0+v (U0L)+0

az=dw

dt+

dw

dx+ v

dw

dy+!

dw

dz=0

ax=U0

2

L2

x ,a y=U0

2

L2

y , az=0

iendo la aceleracin un mFltiplo (U02

L2) del vector posicin.

b) 2omo se trata de un campo estacionario3 las lneas de corriente3 las

trayectorias3 y las lneas de 7umo ser


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Entonces las lneas de corriente tienen la $orma" y= '=k

x 3 como se indica en

la 4gura

c) 1a trayectoria de la partcula ue a t = 0 estaba en el punto (03-130) es la

semirrecta" (' = 03y G 0). 1a lnea de corriente ue3 a tiempo 1U03 pasa por el

punto (-13130) es la curva" (y = 2L

2

x ). % la lnea de 7umo del punto (-13030)3

en instante t = 1U0es la semirrecta (' G 03y = 0)


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EJERCICIO :

Un campo de velocidad euleriano est< dado por = a'-i H -a'y>.a) IEs uni3 bi o tridimensionalJb) IEs permanente o transitorioJc) Ies incompresibleJd) Encuentre la pendiente de la lnea de corriente ue pasa por el

punto K,3,L.

Solucin

Para los incisos a) y b)3 el campo de velocidad est< descrito pordos coordenadas especiales (@'A y @yA) y no depende del tiempo3de modo ue es bidimensional y permanente.

Para el inciso c) se tiene"

" . v=d

dx+

dv

dy=

dax2

dx

d2axy

dy =2ax2ax=0

Por lo tanto es incompresible.

Para la parte d)3 a partir de la de4nicin de lnea de corriente3 sesabe ue su pendiente en el plano K'3yL est< dado por el


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