1

Fyzikální praktikum z molekulové fyziky a termodynamiky KEF/FP3

Teplotní záření, Stefan-Boltzmannův zákon

Teorie

Lze říci, že látky všech skupenství vyzařují elektromagnetické vlnění, jehož vznik souvisí s neuspořádaným pohybem elektricky nabitých částic v elektronových obalech jejich atomů. Toto záření je tzv. tepelné záření. Je-li teplota látky nižší než 525 °C, není toto záření viditelné a leží v infračervené oblasti. První zmínky o tomto záření se objevují ve druhé polovině 18. století (Karl Scheele (1742-86), první pokusy prováděli Marcus Pictet (1752-1825) a Pierre Prévost (1751-1839).. Na jejich práce navázal německý fyziky Gustav Kirchhoff, který formuloval vztah mezi emisí a absorpcí záření a založil spektrální analýzu látek a definoval pojem černého tělesa. Kromě vyzařování záření může každé těleso záření také odrážet, propouštět a pohlcovat. Pohlcené záření se zejména mění na tepelnou energii. Množství pohlceného záření závisí na vlastnostech tělesa, zejména na barvě (černá tělesa pohltí více záření než bílá) a na povrchové úpravě (od lesklých těles se záření odráží, kdežto matná tělesa více pohlcují záření).

Teplotním zářením tělesa rozumíme povrchem tělesa emitované elektromagnetické záření, jehož charakter závisí pouze na povaze a teplotě emitující látky. Spektrum teplotního záření je spojité. Se zvyšováním teploty roste celkové množství vyzářené energie. Změna teploty je provázena změnou energetického spektra vysílaného záření.

Pro popis těles byl zaveden model tělesa – absolutně černé těleso. Je to takové myšlené těleso, které pohltí veškeré dopadající záření. Můžeme si jej představit jako dutou kostku s velmi malým otvorem – viz obr. 1. Jestliže záření projde malým otvorem do dutiny, jejíž vnitřní povrch je černý a matný, pak se po několika odrazech pohltí – tzn., že se malý otvor navenek jeví jako absolutně černé těleso – veškeré záření projde otvorem dovnitř, ale žádné záření otvorem nevyjde ven.

Zářivá energie vysílaná nějakou plochou povrchu zářícího tělesa za jednotku času se

nazývá zářivým tokem Pe a udává se ve wattech. Intenzita vyzařování He je definována podílem zářivého toku dPe vystupujícího z elementární části plochy dS v daném místě a této plochy

dSdPH e

e

a udává se ve W m-2. Vzhledem ke spektrální závislosti energie teplotního záření je třeba zavést ještě tzv.

spektrální vyzařování H (monochromatické vyzařování), které je definováno jako energie záření s vlnovou délkou v intervalu ( , + d ) vysílaného jednotkovou plochou za 1 s, tj.

ddHH e

Spektrální vyzařování H se udává ve W m-3. Schopnost tělesa vyzařovat souvisí úzce s jeho schopností absorbovat záření. Poměr

energie absorbované povrchovou plochou a energií na plochu dopadající se nazývá poměrná

2

pohltivost a označuje se . Poměrná spektrální (monochromatická) pohltivost je definována obdobně jako poměr energie záření vlnové délky absorbované povrchovou plochou k energii téže vlnové délky na plochu dopadající.

Na základě termodynamického popisu rovnovážného stavu záření v dutině odvodil v roce 1860 Kirchhoff zákon, který vyjadřuje, že poměr intenzity vyzařování He k pohltivosti závisí jen na teplotě tělesa tj. nezávisí na jakosti tělesa (chemickém složení, úpravě povrchu apod.). Kirchhoffův zákon platí nejen pro úhrnnou intenzitu vyzařování He, ale i pro jednotlivé spektrální intervaly teplotního záření, což lze vyjádřit vztahem

),(

TFH

kde F je univerzální funkce dvou proměnných T a , H spektrální vyzařování a spektrální (monochromatická) pohltivost při vlnové délce . Kirchhoffův zákon platí přesně jen pro

Gustav Kirchhoff

Wilhelm Wien Kromě vyzařování záření může každé těleso záření také odrážet, propouštět a pohlcovat. Pohlcené záření se zejména mění na tepelnou energii. Množství pohlceného záření závisí na vlastnostech tělesa, zejména na barvě (černá tělesa pohltí více záření než bílá) a na povrchové úpravě (od lesklých těles se záření odráží, kdežto matná tělesa více pohlcují záření). Z tohoto zákona vyplývá, že těleso absorbuje nejsilněji právě ty spektrální čáry, které nejsilněji vyzařuje. Schopnost tělesa emitovat záření je tedy úměrná schopnosti absorbovat záření. Nejvíce tedy vyzařuje těleso, jehož pohltivost = 1. Takové těleso se je výše uvedené dokonale (absolutně) černé těleso resp. černé těleso.

Obr. 8.1

3

Obr. 1 Absolutně černé těleso Vstupující záření se opakovanými odrazy na vnitřních stěnách dutiny prakticky zcela pohltí. Stěny dutiny neustále absorbují a emitují záření, závisle na teplotě stěn T . Záření z dutiny vystupující lze pak pokládat za záření absolutně černého tělesa.

Označíme-li Ho intenzitu vyzařování černého tělesa, pak můžeme Kirchhoffův zákon

vyjádřit ve tvaru )(TfH o

resp. ),( TFH o

kde Ho je spektrální vyzařování černého tělesa a funkce f (T) a F (T,) jsou univerzální funkce nezávislé na vlastnostech zdroje teplotního záření.

Tvar funkce f (T) byl nalezen experimentálně Stefanem v roce 1879 a teoreticky odvozen Bolzmannem na základě termodynamického popisu záření v dutině. Stefan – Bolzmannův zákon lze vyjádřit vztahem 4.TH o , kde = 5,669 . 10-8 Wm-2 deg-4 .

Wienův posunovací zákon byl publikován na základě experimentálních výsledků v roce 1893 Wienem a vyjadřuje závislost vlnové délky max, která přísluší maximu vyzařované energie, na teplotě tělesa bT .max , kde b = 2,898 .10-3 mK .

Z Wienova zákona posuvu plyne,

že se maximum spektrálního vyzařování s rostoucí teplotou posouvá ke kratším vlnovým délkám. Se stoupající teplotou přechází barva žhavého tělesa od červené ke žluté, která se stává stále bělejší. Wienův zákon dovoluje na základě spektra teplotního záření stanovit jeho teplotu. Např. vlnová délka energetického maxima slunečního spektra je asi 0,5 nm. Pro teplotu slunečního povrchu je vypočtená hodnota T 5800 K . Spektrální závislost teplotního záření černého tělesa vyjádřená Kirchhoffovým zákonem obsahuje universální funkci F (T, ), jejíž průběh musí dokonale popisovat experimentálně získané závislosti zobrazené na obr. 2.

Obr. 2 Kirchhoffův zákon

4

Obr. 3 Wienův posunovací zákon (Převzato z http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/radfrac.html)

Na základě zákonů klasické fyziky byly odvozeny vzorce Wiena a Ragleigh – Jeanse pro spektrální vyzařování, které ovšem dostatečně přesně popisuje pouze části spektra. Oba tyto vzorce lze pokládat za limitní příklady obecně platného vzorce Planckova

)1(2

/5

2

Tkhco e

hcH (8.8)

v němž Planckova konstanta h = 6,6251 . 10-34 J s, Boltzmannova konstanta k = 1,38044 10-23 J K-1 a c je rychlost světla.

V oblasti krátkých vln a nízkých teplot ( tj. T 1 ) lze vzorec (8.8) zapsat ve tvaru Wienova vyzařovacího zákona

)exp()2( 52

TkhchcH o

. (8.9)

Podobně pro oblast delších vlnových délek a vyšších teplot ( T 1 ) přechází vzorec (8.8) v limitním případě ve vyjádření Rayleigha a Jeanse, odvozeného na základě předpokladu stojatých vln vyplňujících dutinu, jíž je realizováno černé těleso

4.. TkonstH o . (8.10)

Z obecného Planckova vyzařovacího zákona (8.8) lze odvodit jak zákon Stefan – Boltzmannův, tak i Wienův zákon posuvu. Vyjádříme-li intenzitu vyzařování černého tělesa Ho pomocí spektrálního vyzařování Ho ze vzorce (8.8) pak platí

5

44

32

45

0

.15

TThc

kdHH oo

(8.11)

Z vyjádření podmínky maxima funkce )( fH o

0oH

(8.12)

vyplývá pro = max

965,4max

kThc (8.13)

a tedy i konstT .max (8.14)

Planckův zákon byl původně formulován v roce 1900 jako matematické řešení

fyzikálního rozporu, kdy jediná fyzikální veličina byla v závislosti na vlnové délce popisována dvěma různými zákony. Tento matematický vztah navržený Planckem (8.8) velmi dobře vyhovoval v celém oboru vln a pro všechny teploty, ale nebylo snadné zdůvodnit jej fyzikálně. Planck podrobil všechny známé úvahy o teplotním záření kritickému rozboru a zjistil, že odvození správného vyzařovacího zákona je možné jedině tehdy, opustíme-li do té doby samozřejmý předpoklad spojité výměny energie mezi tělesy. Experimentálně potvrzenou funkci (8.8) bylo možno teoreticky získat jen za zcela převratného předpokladu, který se zpočátku nazýval Planckovou kvantovou hypotézou: “ Emise a absorpce zářivé energie se může dít jen po celistvých násobcích “kvanta“, = h, kde je vlastní frekvence oscilátoru a h je účinkové kvantum“ ( Planckova konstanta). Při odvození schematizoval Planck proces záření ( emise a absorpce) takto: „ Atomy, z nichž se skládá zářící těleso kmitají okolo svých rovnovážných poloh a tvoří tak lineární harmonické oscilátory. Energie těchto oscilátorů nemohou nabývat spojitě všech hodnot. Energetické spektrum je dáno systémem energetických hladin, přičemž přechod atomu z vyšší energetické hladiny E2 na nižší E1 je provázen vyzářením rozdílu energií ve formě elektromagnetického záření s energií

12 EEh . Absorpce záření s frekvencí vede naopak k vyzvednutí atomu z nižší energetické hladiny E1 na E2, přičemž opět hEE 12 “.

Planckovo odvození vyzařovacího zákona položilo základ k rozvoji zcela nového oboru fyziky – kvantové fyziky. Jeho předpoklad elementárních kvant elektromagnetického záření byl řadou experimentů a to zejména pokusy s fotoelektrickým jevem potvrzen. Návod k experimentální úloze Stefan-Boltzmannův zákon Tematické zaměření: transport tepla, záření absolutně černého tělesa, termoelektrické napětí, teplotní závislost odporu Princip: Podle Stefan-Boltzmannova zákona je energie vyzářená absolutně černým tělesem na jednotku plochy a v jednotkovém čase úměrná čtvrté mocnině absolutní teplotě tělesa. Zákon platí i pro šedé těleso, jehož povrch vykazuje absorpční koeficient nezávislý na vlnové délce záření a je mnohem menší než 1. V experimentu je šedé těleso představováno katodou žhavicí lampy, vyzářená energie je měřena v závislosti na teplotě.

6

Pomůcky: Termočlánek, trubice, držáky, zesilovač, zdroj napětí , lampa, rezistor 100 , digitální multimetry, vodiče, optická lavice Úkoly:

1. Změřte odpor katody žhavicí lampy při pokojové teplotě 2. Určete odpor katody při teplotě 0 oC 3. Změřte hustotu tepelného toku pro různá žhavicí napětí 4. Pro dané hodnoty proudu a žhavicího napětí vypočtěte odpor 5. Vypočtěte teplotu na základě určeného odporu

Provedení experimentu

Obr. 4 Schéma zapojení Podle obr. 1 sestavte elektrický obvod. Rezistor je zapojen do série s lampou. Měříme pro hodnoty 100 mA a 200 mV. Proud je dostatečně malý, změny teploty v obvodu lze zanedbat. Poté zapojíme jednotlivé prvky dle obr. 5.

Obr. 5 Aparatura

7

Rezistor již není součástí tohoto experimentálního uspořádání. Katoda je napájena střídavým nastavitelným napětím. Maximální hodnota proudu během měření nesmí přesáhnout 6 A. Napětí zvyšujeme po 1 voltu do hodnoty 8 V. Na lampu přivedeme napětí 1 V. Termočlánek umístíme do vzdálenosti 30 cm od katody a nastavíme tak, aby termoelektrický e.m.f. byl na maximální hodnotě. Jeho hodnoty jsou řádu milivolty, proto pro přesný odečet hodnot je potřeba použít zesilovač. Zesílení by mělo být řádu 102 až 103 při rozsahu digitálního voltmetru do 10 V. Zesilovač je nastaven na LOW-DRIFT mode (104 ) s časovou konstantou 1 s. Z blízkosti experimentu je třeba odstranit veškeré zdroje radiace, které by mohlo narušit pozadí. Použité vztahy pro výpočty hodnot v jednotlivých krocích experimentu Ověření S-B zákona – měříme záření emitované katodou žhavicí lampy, která představuje šedé těleso. Pro konstantní vzdálenost mezi katodou a termočlánkem, je tok energie dopadající na termočlánek úměrný H(T). Protože existuje závislost mezi a termoelektrickým e.m.f., lze psát Uther T4 (pro teplotu termočlánku 0 K). Protože termočlánek má pokojovou teplotu TR, pak také vyzařuje v závislosti na T4, takže můžeme psát Utherm (T4 – TR

4) Za daných podmínek lze TR

4 zanedbat oproti T4 . Pokud danou závislost zlogaritmujeme, získáme lineární závislost odpovídající funkci Utherm = f(T) lg Utherm = 4 lgT + konst Termodynamickou teplotu T = t + 273 katody vypočteme ze změřeného odporu R(t) R(t) = Ro(1+t+t2) kde Ro je odpor při teplotě 0 oC, = 4,82 10-3 K-1, = 6,76 10-7 K-2 Odpor Ro při teplotě 0 oC určíme podle vztahu

21)(

RR

Ro tt

tRR

Použitím převodních vztahů mezi T a t máme pro teplotu

1)(4

21273 2

oRtRT

Hodnoty R(tR) a R(t) zjistíme využitím Ohmova zákona (měříme proud a napětí na katodě). Použitím výstupu napětí na zdroji napětí stejnosměrný proud 100 mA a 200 mA byl přiveden na katodu (přes zapojený rezistor 100 ). Naměřené hodnoty napětí byly 16,5 mV a 33 mV. Zdvojnásobení proudu vedlo ke dvojnásobnému růstu napětí. V tomto případě lze vliv teploty skutečně zanedbat. V tomto případe na základě Ohmova zákona máme R(tR) = 0,165 Ro = 0,15 Odchylky v hodnotě Ro jen mění sklon křivky v grafu, a to zanedbatelným způsobem.

8

Příklady naměřených hodnot U V IA UthermmV TK 1 2,20 0,15 672 2 2,80 0,62 983 3 3,45 1,30 1160 4 4,00 2,20 1300 5 4,45 3,20 1430 6 4,90 4,45 1540 7 5,30 5,90 1630 8 5,70 7,50 1720 Graf závislosti po zlogaritmování je na obr. 6. Regresní křivka má tvar S = 4,19 0,265

Obr. 6 Graf závislosti

[1] HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J.: Fyzika. 1. vyd. Brno: VUTIUM, 2000 [2] HORÁK, Z., KRUPKA, F.: Fyzika. 2. vyd. Praha: SNTL, 1976 [3] JAVORSKIJ, B. M., SELEZNĚV, J. A. Přehled elementární fyziky. 1. vyd., Praha:

SNTL, 1989 [4] LEPIL, O. Fyzika pro gymnázia – Optika. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2002 [5] HUS, V. Fyzika II. Skriptum. kf.upce.cz/F2_kap8.doc [6] Phywe.com