fyzika pevnÝch lÁtekkatedry.fmmi.vsb.cz/modin_animace/opory/03_materialov... · 2014-11-17 · na...

Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava

Fakulta metalurgie a materiálového inženýrství

FYZIKA PEVNÝCH LÁTEK (FYZIKA TUHÝCH LÁTOK)

studijní opora

Pavol Koštial

Ostrava 2013

Recenze: prof. RNDr. Ivan Baják, DrSc.

Název: Fyzika pevných látek

Autor: prof. RNDr. Pavol Koštial, Ph.D.

Vydání: první, 2013

Počet stran: 133

Studijní materiály pro studijní program Materiálové inženýrství Fakulty metalurgie a

materiálového inženýrství.

Jazyková korektura: nebyla provedena.

Studijní opora vznikla v rámci projektu: Název: ModIn - Modulární inovace bakalářských a navazujících magisterských programů na

Fakultě metalurgie a materiálového inženýrství VŠB - TU Ostrava

Číslo: CZ.1.07/2.2.00/28.0304

© Pavol Koštial

© VŠB – Technická univerzita Ostrava

ISBN 978-80-248-3374-3

Fyzika tuhých látok

3

POKYNY KU ŠTÚDIU


Pre predmet 5. semestrazískavate študijný balík obsahujúci integrované skriptum pre

kombinované štúdium obsahujúci i pokyny na štúdium.

Prerekvizity

Pre štúdium tohto predmetu sa predpokladá absolvovanie predmetovFyzika a Náuka

o materiáli.

Cieľom predmetu a výstupy z učenia

Tento text slúži ako základný orientačný materiál pre štúdium predmetu Fyzika tuhých

látok pre druhý stupeň vysokoškolského vzdelávania. Obsahuje prehľad pojmov z predmetu

štúdia, ale nie je klasickou učebnicou. Zväčša neobsahuje tzv. „odvodzovačky“, ktoré sú

bežné v štandardných kurzoch tuhých látok, ale snažili sme sa prezentovať základné

myšlienky z danej problematiky a sústredili sme sa na ich analýzu. Materiál je tiež spestrený

radom obrázkov, ktoré by mali zvýšiť jeho zrozumiteľnosť. Pre hlbšie znalosti je ovšem

potrebné siahnuť po klasických učebniciach ako je napríklad Úvod do fyziky pevných látek

od CharlesaKittela (Académia, Praha 1985), alebo podobných učebníc. Za týmto účelom sú

v texte zaradené aj základy kvantovej mechaniky a štatistickej fyziky, ktoré umožnia

študentovi hlbšie vniknutie do problematiky. Text obsahuje poznatky ako

fenomenologického charakteru, tak aj mikroštrukturálny pohľad na problematiku vlastností

materiálov. Sú tu uvedené poznatky z vplyvu anizotropie materiálov na mechanické a optické

vlastnosti materiálov, ďalej sú popísané viskózne elastické vlastnosti, tepelné vlastnosti,

dielektrické vlastnosti a elektrické vlastnosti materiálov.

Pre koho je predmet určený

Predmet je zaradený do magisterského štúdia a študijná opora sa delí na časti, kapitoly, ktoré

odpovedajú logickému deleniu študovanej látky, ale nie sú rovnako rozsiahle. Predpokladaná

doba na štúdium kapitoly sa môže výrazne líšiť, preto sú veľké kapitoly delené ďalej na

číslované podkapitoly a im odpovedá nižšie popísaná štruktúra. Materiál je vhodný pre

študentov so zameraním na Materiálové inžinierstvo, Diagnostiku materiálov, Chémiu, ale aj

iných záujemcov z technických odborov.


4

Pri štúdiu každej kapitoly odporúčame nasledujúcí postup:

Na úvod kapitoly je uvedený čas potrebný na preštudovanie látky. Čas je však len

orientačný.Ďalej sú uvedené ciele, ktoré má študent dosiahnuť po preštudovaní tejto kapitoly

a konkrétne znalosti. Nasleduje vlastný výklad študovanej látky, zavedenie nových

pojmov,ich vysvetlenie, pričom všetko je sprevádzané obrázkami a tabuľkami.Na záver

každej kapitoly sú zopakované hlavné pojmy, ktoré si v nej má študent osvojiť. Pre overenie,

či dobre a úplne látku kapitoly zvládol, má študent uvedených v závere niekoľko teoretických

otázok.

Spôsob komunikácie s vyučujúcim:

Prvý kontakt študenta s vyučujúcim je realizovaný počas konzultácií kombinovaného štúdia.

Ak bude potrebovať študent ďalšie doplnenie poznatkov, tieto je možné realizovať osobnou

konzultáciou s vyučujúcim, resp. internetom.

Prof. RNDr.Pavel Koštial, CSc.

email:[email protected]

tel. +420597324498


5

OBSAH

1.POPIS VLASTNOSTÍ ANIZOTROPNÝCH MATERIÁLOV

POMOCOU TENZOROV .................................................................................. 6

2. ZÁKLADY ŠTATISTICKEJ FYZIKY A KVANTOVEJ

MECHANIKY ................................................................................................... 28

3. VISKÓZNE A VISKÓZNE-ELASTICKÉ SPRÁVANIE SA

MATERIÁLOV ................................................................................................. 43

4. TEPELNÉ VLASTNOSTI TUHÝCH LÁTOK ....................................... 74

5.DIELEKTRICKÉ VLASTNOSTI TUHÝCH LÁTOK ............................. 87

6.ELEKTRICKÉ VLASTNOSTI TUHÝCH LÁTOK ................................ 112


6

1.Popis vlastností anizotropných materiálov pomocou tenzorov

Čas na štúdium: 5 hodin

Cieľ Po preštudovaní kapitoly

budete oboznámení s tenzorovým popisom anizotropných vlastností

materiálov

naučíte sa základom tenzorového počtu v aplikáciách na materiály

zoznámite sa s výpočtami konkrétnych fyzikálnych veličín

v anizotropných materiáloch

naučíte se chápať vzťah medzi štrukturou materiálu a jej matematickým

opisom

pochopíte vzťahy medzi popisom izotropných a anizotropných

materiálov

Výklad

1.1.Transformácie súradníc

Pojem hmotného bodu, ktorého poloha v priestore je určená polohovým vektorom r,

patrí medzi základné pojmy klasickej mechaniky. Prvá derivácia polohového vektora podľa

času určuje rýchlosť a druhá derivácia zrýchlenie hmotného bodu.

V prípade sústavy N hmotných bodov je počet súradníc determinujúci polohu takejto

sústavy rovný 3N. Ak ide o nezávislé hmotné body, potom aj počet stupňov voľnosti je

takisto 3N.

Zo základného kurzu fyziky vieme, že poloha hmotného bodu sa vždy určuje s

ohľadom na zvolenú vzťažnú sústavu. Táto sústava umožňuje popisovať polohu hmotného

bodu vo všeobecnosti N nezávislými veličinami qi, (i=1,2,..N), ktoré charakterizujú polohu

sústavy s N stupňami voľnosti a nazývame ich zovšeobecnené súradnice.


7

Ich prvé derivácie podľa času potom nazývame zovšeobecnenými rýchlosťami a druhé

derivácie zovšeobecnenými zrýchleniami.

Plné určenie mechanickej sústavy vyžaduje poznať N zovšeobecnených súradníc a N

zovšeobecnených rýchlostí.

Príkladom takýchto zovšeobecnených súradníc môžu byť polárne súradnice r a ,

vhodné napríklad na popis pohybu hmotného bodu po kružnici.

Pohyb mechanickej sústavy je určený pohybovými rovnicami ako diferenciálnymi

reláciami medzi súradnicami a rýchlosťami. Pohybové rovnice vyjadrené v

zovšeobecnených súradniciach majú tiež zovšeobecnený tvar.

Zo základného kurzu fyziky vieme, že rozlišujeme skalárne fyzikálne veličiny (tiež

nazývané tenzory nultého poriadku), ktoré sú úplne určené zadaním čísla (skalárnej

hodnoty), ktorá je nezávislá od výberu súradnicovej sústavy. Matematicky to môžeme

v trojrozmernom priestore vyjadriť skalárnou funkciou súradníc f(x1, x2, x3), ktorá je

invariantná voči transformáciám súradnicových osí, a teda platí f(x1, x2, x3) = f(x1‘, x2‘, x3‘).

Patria sem fyzikálne veličiny ako hmotnosť, hustota, teplota a ďalšie.

Na rozdiel od nich existujú aj vektorové veličiny (tiež nazývané tenzory prvého

poriadku). Ak určíme vhodnú súradnicovú sústavu, ktorá podlieha transformačným

pravidlám (pozri ďalej vzťahy 1.13, 1.14), potom je vektor plne určený zadaním hodnôt jeho

zložiek v smere týchto súradnicových osí.

Vektor teda chápeme aj ako usporiadanú trojicu (vo všeobecnosti n-ticu) skalárnych

hodnôt - súradníc vektora vo zvolenom súradnicovom systéme. Medzi vektorové fyzikálne

veličiny patria zrýchlenie, sila, atď.

Vektorom je aj trojica parciálnych derivácií skalárnej funkcie f(x1, x2, x3), ktorý

nazývame gradientom skalárnej funkcie, pretože

'

i

k

k'

i x

x.

x

f

x

f

. 1.1

Zložky gradientu v novej sústave sa vyjadrujú cez komponenty f / xk , v starej sústave

pomocou koeficientov xk / xi’.

Zo vzťahového hľadiska môžeme teda skalárnu veličinu chápať aj ako matematický

objekt sprostredkujúci násobenie vektora číslom. Toto tvrdenie lepšie pochopíme, ak si

vezmeme ako príklad Ohmov zákon v zovšeobecnenom tvare. Vzťah medzi vektorom

prúdovej hustoty i a vektorom intenzity elektrického poľa E je daný známym vzťahom

i = E. 1.2


8

Pre zložky vektora prúdovej hustoty potom platia vzťahy

332211 Ei,Ei,Ei 1.3

a merná elektrická vodivosť je v tomto prípade (za daných fyzikálnych podmienok)

skalárna veličina. Z matematického hľadiska ide teda skutočne o násobenie vektora

intenzity elektrického poľa číslom.

Iná je však situácia, ak materiál je anizotropný. Vtedy vektor elektrickej intenzity nie je

kolineárny s vektorom prúdovej hustoty ako v predchádzajúcom prípade a zložky vektora

prúdovej hustoty sú určené ako lineárne kombinácie zložiek vektora elektrickej intenzity v

tvare

i E E E

i E E E

i E E E

1 11 1 12 2 13 3

2 21 1 22 2 23 3

3 31 1 32 2 33 3

,

,

.

1.4

Je jasné, že aj merná elektrická vodivosť už nie je skalárnou veličinou, ale každá z

hodnôt ij má svoj špecifický fyzikálny význam.

Ak je elektrické pole aplikované v smere osi x1, potom vektor intenzity elektrického

poľa má zložky

E = (E1,0,0) 1.5

a vektor prúdovej hustoty bude mať zložky

131312121111 Ei;Ei;Ei . 1.6

Význam zložiek vektora prúdovej hustoty je vidieť na obrázku 1.1.

Obrázok 1.1. Význam zložiek vektora prúdovej hustoty


9

Elektrická vodivosť je teda v prípade anizotropného kryštalického materiálu určená

všeobecne deviatimi nezávislými zložkami, ktoré tvoria tenzor druhého poriadku (nazvaný

podľa počtu indexov zložiek), ktorý zapisujeme v tvare matice

11 12 13

21 22 23

31 32 33

. 1.7

Na tenzor druhého poriadku sa môžeme pozerať ako na matematický objekt

(operátor), ktorý jednoznačne definuje vzťah medzi dvomi vektorovými veličinami.

Neskôr si ukážeme, že tenzor štvrtého poriadku určuje funkčný vzťah medzi dvoma tenzormi

druhého poriadku.

Rovnice 1.3, ktoré vyjadrujú závislosť vektora prúdovej hustoty od intenzity elektrického

poľa, môžeme zapísať aj v skrátenom tvare

32,1,i,32,1,j,Ei3

1j

jiji

1.8

alebo

,3,2,1j,iEi jiji 1.9

pričom sme použili tzv. Einsteinove sumačné pravidlo, podľa ktorého sčitujeme vždy podľa

indexu, ktorý sa opakuje dvakrát. V tomto prípade je to index j, ktorý nazývame aj

sumačným indexom. Index i nazývame voľným indexom.

Veľakrát sa pri riešení fyzikálnych úloh stretávame s problémom, že je potrebné prejsť

od jedného súradnicového systému (súvisiaceho napríklad s kryštalografickou

orientáciou) k súradnicovému systému pracovnému, v ktorom je úloha riešená (napr.

dynamika šírenia sa elastických vĺn v kryštáli v určenom smere a v danej rovine). Časť z

týchto určite zaujímavých problémov sa tu pokúsime objasniť.

Prv než pristúpime k štúdiu problematiky transformácií, definujeme si základné

pravidlo, ktoré musí byť splnené bez ohľadu na to, o aký typ transformácie pôjde.


10

Pri prechode (transformácii) od jedného súradnicového systému k druhému, sa mení

len forma zápisu transformovanej veličiny, ale nie samotná transformovaná veličina.

Aby sme dodržali toto pravidlo, je potrebné definovať pravidlá transformácie, pri

ktorých budeme vychádzať z obrázku 1. 2.

Pri transformácii súradnicových osí budeme predpokladať, že oba systémy majú

spoločný počiatok. Vzťahy medzi „starými“ a „novými“ osami sú určené

tabuľkou (maticou)

„Staré osi“ 1.10

„Nové osi“

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Prvý index v matici sa vzťahuje k „novým“ osiam a druhý k „starým“ osiam.

Obrázok 1.2. Transformácia súradnicových osí

Poznámka.

Z teórie transformácií vieme, že musia byť splnené tzv. vzťahy ortogonality, z ktorých

prvý môžeme zapísať v tvare (súčet kvadrátov smerových kosínusov sa rovná jednej)


11

.1aaa

,1aaa

,1aaa

2

33

2

32

2

31

2

23

2

22

2

21

2

13

2

12

2

11

V skrátenej forme môžeme tieto rovnice vyjadriť v tvare 1aa jkik pre i=j.

Druhá podmienka (ortogonalita ) je splnená, ak platia rovnice

.0aaaaaa

,0aaaaaa

,0aaaaaa

231322122111

133312321131

332332223121

Skrátený zápis rovníc bude mať tvar 0aa jkik pre ji .

Prejdime ku konkrétnym transformáciám. Ako prvou sa budeme zaoberať

transformáciou vektora. Majme vektor p so zložkami p1, p2, p3. Zložky vektora p v nových

súradnicových osiach (čiarkovaných) budú dané ako projekcie zložiek p1, p2, p3 (chápaných

ako vektory v smere nečiarkovaných osí, pozri obrázok 1.3) prostredníctvom smerových

kosínusov v tvare

( ) ( ) ( )'

133

'

122

'

111

'

1 xxcosp+xxcosp+xxcosp=p 1.11

alebo

313212111

'

1 papapap . 1.12

Využijúc Einsteinove sumačné pravidlo, 1.11 prepíšeme do tvaru

jij

'

i pap . 1.13

Pre inverznú transformáciu máme podobne

,

jiji pap . 1.14

Ak porovnáme oba transformačné vzťahy, vidíme, že poradie sumačných indexov sa vo

vzťahoch 1.14 a 1.13 líši. Pri priamej transformácii sú sumačné indexy vzájomne „bližšie“

ako pri inverznej.


12

Ľahko sa na základe predchádzajúceho výkladu presvedčíme o správnosti tvarov

nasledujúcich transformačných matíc.

Symetriu voči počiatku súradnicových osí určuje matica

100

010

001

SS . 1.15

Pre rovinu symetrie kolmú na os x3 platí

100

010

001

3XM . 1.16

Pootočenie súradnicovej sústavy o uhol 2 / 3 okolo diagonály kocky je určené maticou

001

100

010

32;111 . 1.17

Pre pootočenia o uhol okolo osí x1 a x2 platia transformačné matice v tvaroch

cossin0

sincos0

001

;x1 1.18

a

cos0sin

010

sin0cos

;x 2.


13

Obrázok 1.3. Transformácia vektora

1.2.Vlastnosti tenzorov

V predchádzajúcej časti sme sa detailnejšie zaoberali problematikou tenzorov nultého

(skalárov) a prvého (vektorov) poriadku. V tejto časti sa budeme zaoberať tenzormi vyšších

poriadkov a matematickým aparátom, ktorý ich popisuje. Preskúmame najprv transformačné

vzťahy platné pre tenzory vyšších poriadkov. Transformáciu tenzora (zatiaľ ho chápme ako

matematický objekt sprostredkujúci funkčný vzťah medzi dvoma vektormi) si vysvetlíme na

všeobecnom príklade vektorov účinku u a príčiny p. Budeme postupovať podľa nasledujúcej

schémy

u’ u p p’. 1.19

Potom postupne dostávame

kik

'

i uau . 1.20

Ak použijeme k ako voľný index a l ako sumačný, potom v súlade s I.13 dostávame

.pT=u lklk 1.21

Analogicky teraz zameníme sumačný index l za voľný a máme

'

jjll pap 1.22

alebo

.paTapTauau '

jjlkliklklikkik

'

i 1.23

Po úprave dostávame vzťah

'

j

'

ij

'

i pTu , 1.24


14

kde

kljlik

'

ij TaaT , 1.25

ktorý nazývame transformačným vzťahom tenzora druhého poriadku.

Zdôrazňujeme, že v rovnici I.25 sú i, j voľné indexy a k,l sumačné indexy.

Je potrebné zvýrazniť jeden fakt, a to rozdiel medzi transformačnou maticou a zložkami

tenzoru Tkl , ktoré reprezentujú nejakú fyzikálnu veličinu. Pri ich matematickom vyjadrení

v oboch prípadoch ide po formálnej stránke o rovnaké matematické objekty obsahujúce

deväť členov (ak uvažujeme tenzor druhého poriadku). To je ale aj jediná podobnosť.

Matica transformačných koeficientov (aij) nie je fyzikálna veličina, zakiaľ súbor

komponentov Tkl tvoriacich tenzor Tkl ňou je.

Na základe tohoto tvrdenia je možné vysloviť aj nasledovnú definíciu tenzora.

Ak v ľubovoľnom súradnicovom systéme deväť koeficientov Tkl (charakterizujúcich

nejakú fyzikálnu veličinu) lineárne viaže zložky vektorov p a u, potom pri prechode od

jednej sústavy k druhej sa zložky tenzora [ Tkl ] transformujú v súlade s rovnicou 1.25 a tieto

zložky tvoria tenzor druhého poriadku.

Všeobecne môžeme konštatovať, že tenzorom poriadku r je operátor, ktorý tvorí súbor 3r

konštánt, majúcich r indexov, ktorý sa transformuje podľa vzťahu ....lmn..

'

...ijk.. AA ..nkjmil .

Objasníme si teraz geometrickú interpretáciu tenzora druhého poriadku. Za týmto

účelom analyzujme rovnicu kvadriky v tvare

1xxS jiij , 1.26

kde Sij budeme považovať za zložky tenzora Sij .

Ak rozpíšeme rovnicu 1.26 do zložiek, dostávame

.1xSxxSxxSxxS

xSxxSxxSxxSxS

2

333233213313223

2

222122131132112

2

111

1.27

Poznámka:

Symetrickým (antisymetrickým) platí znamienko mínus) tenzorom rozumieme

tenzor, ktorého zložky spĺňajú rovnicu Sij = Sji.

Ak predpokladáme, že tenzor je symetrický, dostávame


15

.1xxS2xxS2xxS2xSxSxS 211213313223

2

333

2

222

2

111 1.28

Ak tento vzťah porovnáme s transformačným vzťahom pre tenzor 2.7, vidíme, že ako

kvadrika, tak aj symerický tenzor druhého poriadku, podliehajú rovnakým

transformačným vzťahom.

Charakteristická plocha, určená kvadrikou 1.27, je charakteristickou plochou

symetrického tenzora Sij .

Je dôležité poznamenať, že kvadrika má hlavné osi, ktoré sú navzájom kolmé.

Rovnicu kvadriky je možné upraviť na zjednodušený tvar (ak hlavné osi kvadriky sú totožné

so zvoleným súradnicovým systémom)

.1xSxSxS 2

33

2

22

2

11 1.29

Ak rovnicu kvadriky porovnáme s charakteristickou rovnicou kvadratickej plochy

1c

x

b

x

a

x2

2

3

2

2

2

2

2

1 , 1.30

dostávame pre hlavné poloosi kvadratickej plochy hodnoty

,S

1,

S

1,

S

1

321

1.31

kde Si sú diagonálne zložky tenzora Sij .

Ak sú všetky zložky Si kladné, potom charakteristická plocha je elipsoid, ak sú dva

koeficienty kladné a jeden záporný, potom plocha je jednoosový hyperboloid, ak sú dva

koeficienty záporné a jeden kladný, charakteristická plocha je dvojosový hyperboloid (pozri

obrázok 1.4).

Obrázok 1.4. Elipsoid (a), jednoosový hyperboloid (b), dvojosový hyperboloid (c)


16

.0S ijij 1.32

i j je Kroneckerov symbol. Tri korene určujú hlavné osi charakteristickej plochy a dá sa

ukázať, že všetky tri hlavné osi sú vzájomne ortogonálne, a že platí ’= S1, ’’= S2,

’’’= S3.

Veličiny nazývame aj vlastnými hodnotami tenzora Sij .

Súčet vlastných hodnôt tenzora Sij je jeho invariantom.

Vektory určené rovnicou 1.33 sa nazývajú vlastné vektory tenzora Sij . Vlastné

hodnoty tenzora Sij sú reálne a smery, ktoré tieto hodnoty určujú, sú vzájomne

ortogonálne.

Z praktického hľadiska často potrebujeme nájsť hodnotu tenzorovej veličiny v danom

smere. Podľa toho, voči akému súradnicovému systému budeme tento problém riešiť,

rozoznávame dva prípady, ktoré opäť budeme prezentovať na tenzore elektrickej vodivosti.

1.Nech smerové kosínusy 3,21 ll,l určujú vybraný smer elektrickej vodivosti. Ak je

elektrické pole orientované v tomto smere, potom ho môžeme vyjadriť v tvare

El,El,ElE 321 . Pre prúdovú hustotu potom platí El,El,Eli 332211 . Komponent

prúdovej hustoty premietnutý do smeru E bude ElElEli 3

2

32

2

21

2

1 . Potom hodnota

mernej elektrickej vodivosti v smere li bude 3

2

32

2

21

2

1 lll .

2. Nech súradnicový systém je orientovaný ľubovoľne voči hlavným osiam tenzora

elektrickej vodivosti..

Nech li sú smerové kosínusy s ohľadom na ľubovoľný súradnicový systém, a teda

platí ii l.EE . Zložka prúdovej hustoty i v smere E bude E/Ei alebo v tenzorovom zápise

E

Ei ii . Pre elektrickú vodivosť potom dostávame 2

ijij

2

ii

E

EE

E

Ei , resp. jiij ll .

1.3. Tenzor napätia

Pôsobenie týchto síl sme mlčky chápali ako „bodové“. V skutočnosti reálne sily

pôsobia na určitej ploche, a tak už nehovoríme o sile, ale o mechanickom napätí, ktoré

vyvoláva deformáciu. V základnom kurze fyziky ste už analyzovali aj tieto pojmy, ale pre

izotropné teleso.


17

Vychádzalo a z konštatovaní, že „mechanické napätie je v celom telese homogénne“, „

všetky častice telesa sú v štatistickej rovnováhe“, „objemové sily a objemové momenty sú

zanedbateľné“. Teraz si náš obzor rozšírime o komplexný pohľad na uvedenú problematiku.

Budeme vychádzať z obrázku 1.5, na ktorom je zobrazená jednotková kocka.

Obrázok 1.5. Rozloženie napätí v homogénne napätej tuhej látke

Z obrázku je zrejmé, že komponenty tenzora deformácie [Tij] sú kladné, keď ide o

napätia spôsobujúce dilatáciu tuhého telesa a záporné, ak tieto napätia spôsobujú kontrakciu.

Je tiež vidieť, že diagonálne zložky tenzora napätia T11, T22, T33 predstavujú normálové

komponenty napätia a zložky Tij pre i j tangenciálne komponenty.

Vráťme sa však k samotnej definícii pojmu mechanického napätia. Budeme vychádzať z

obrázku I.6.

Na element plochy S2, ktorého normála je rovnobežná s osou x2, pôsobia napätia T12, T22,

T32, pričom napríklad T12 je definované vzťahom

2

1

0S12

S

FlimT

2

1.33

alebo všeobecne

k

i

0Sik

S

FlimT

k

. 1.34


18

Obrázok 1.6. Definícia pojmu mechanického napätia. Element povrchu je

kolmý na súradnicovú os (a). Ľubovoľne orientovaný element

plochy (b).

Tik reprezentuje i – tý komponent sily pôsobiacej na jednotku povrchu kolmého k osi xk .

Zrejme okolité prostredie na základe zákona akcie a reakcie bude pôsobiť rovnako veľkou,

ale opačne orientovanou silou.

Záverom si ešte uvedieme niektoré špeciálne prípady tenzora napätia. Pre jednoosové

napätie má tenzor napätia tvar

T11 0 0

0 0 0

0 0 0

. 1.35

Pre dvojosové napätie bude platiť

T

T

11

22

0 0

0 0

0 0 0

. 1.36

„Čisto“ šmykové napätie bude vyjadrené v tvare

0 0

0 0

0 0 0

12

12

T

T

. 1.37

Hydrostatický tlak p bude vyjadrený maticou


19

p

p

p

0 0

0 0

0 0

. 1.38

1.4. Tenzor deformácie

Tenzor deformácie popisuje „reakciu“ tuhého telesa na pôsobiace napätie. V tejto

časti však budeme analyzovať aj iné procesy súvisiace so zmenou rozmerov telesa ako je

napríklad tepelná rozťažnosť. Naše úvahy začneme s pomocou už známeho obrázku

1.7, ktorý popisuje deformáciu „jednostranne votknutej“ tyče v smere sily F.

Ak si vezmeme na tejto tyči úsek dĺžky s koncovými bodmi M a N, ktoré

Obrázok 1.7. Deformácia „jednostranne votknutej“ tyče pod vplyvom sily F

majú súradnice x a x + x, potom po deformácii pod vplyvom sily F dostávame

nové súradnice zmienených bodov v tvare x + u(x) a x + x + u(x +x), kde u(x) je spojitá

funkcia súradníc.

Relatívne predĺženie elementu MN je potom definované v blízkosti bodu M (teda pre

x 0) prvou deriváciou u podľa x v tvare

dx

du

x

ulime

0x

. 1.39

Zdôrazňujeme, že deformácia je bezrozmerná veličina. Z vyššie uvedeného výkladu

plynie, že pod vplyvom sily F by v tomto prípade malo dochádzať len k lineárnej

deformácii (pohybu atómov v smere pôsobiacej sily), ak neuvažujeme o zmene priemeru

tyče.

Skutočnosť je však zložitejšia a nie je nijakých fyzikálnych dôvodov, aby sa reálny

materiál takto správal. Pohyb atómov je závislý mimo iného aj od daného kryštalografického

systému a teda aj od typu chemických väzieb pôsobiacich medzi atómami.

Tenzor deformácie sa dá vyjadriť vzťahom


20

j

k

i

k

i

j

j

iij

x

u

x

u

x

u

x

u

2

1S , 1.40

Deväť zložiek Sij tvorí tenzor druhého poriadku [Sij], ktorý nazývame tenzorom deformácie.

Väčšinou sú deformácie malé a platí

i

j

i

iij

x

u

x

u

2

1S , 1.41

pričom sme zanedbali výraz druhého poriadku

j

k

i

k

x

u

x

u

1.42

Táto aproximácia vedie potom k tzv. lineárnej teórii pružnosti, ale vo svojej podstate je

deformácia nelineárna.

Pozrime sa teraz na význam jednotlivých komponentov tenzora deformácie.

Vidieť, že e11 predstavuje predĺženie pripadajúce na jednotku dĺžky premietnuté na os

x1. Veličina e21 reprezentuje pootočenie proti smeru chodu hodinových ručiček.

Analogicky by sme dostali aj fyzikálny zmysel komponentu e12, ktorý reprezentuje

pootočenie toho istého elementu v smere hodinových ručičiek.

Ľubovoľný tenzor druhého poriadku je možné rozložiť na symetrickú a

antisymetrickú časť v tvareijijij Se , kde tenzor

)ee(2

1S jiijij 1.43

reprezentuje deformáciu a tenzor

)ee(2

1jiijij 1.44

rotáciu.

V prípade trojrozmernej deformácie dostávame tenzor deformácie v tvare

3332233113

3223222112

3113211211

ij

e)ee(2

1)ee(

2

1

)ee(2

1e)ee(

2

1

)ee(2

1)ee(

2

1e

S . 1.45

Diagonálne komponenty reprezentujú predĺženia tuhého telesa. V ľubovoľnom

súradnicovom systéme je relatívna zmena objemu dV

dVdV ' invariantom a platí


21

332211 SSS . 1.46

Nediagonálne komponenty po deformácii voči pôvodnej polohe zvierajú uhol / 2 -

2 S12. Zmena uhla medzi dvomi vzájomne kolmými úsečkami dxi, dxj je v dôsledku

šmykovej deformácie Sij teda rovná -2Sij .

Doteraz sme sa zaoberali zmenami dĺžky vzorky pod vplyvom mechanického napätia.

Zmeny dĺžky vzorky však môžu mať aj inú príčinu a tou môže byť napríklad tepelná

rozťažnosť.

Pri malých zmenách teploty môžeme deformáciu považovať za homogénnu a pre

tenzor deformácie môžeme písať

TS ijij . 1.47

ij sa nazývajú koeficientami teplotnej rozťažnosti. Poznamenávame, že ako [ ij ],

tak aj [ Sij ] sú tenzormi druhého poriadku.

1.5. Tenzor elastických konštánt

V úlohách, ktoré budeme riešiť v rámci tohoto kurzu, budeme prepokladať, že

deformácie sú malé (pružné) a je ich možné popísať členom prvého poriadku v Taylorovom

rozvoji, ako to plynie zo vzťahu

T S TT

SS

T

S SS S

ij kl ijij

kl Skl

kl

ij

kl mn SklSmn

kl mn

0

1

2

0

2

00

....

1.48

Pretože platí Tij (0) = 0, potom môžeme písať (po zanedbaní vyšších členov v Taylorovom

rozvoji)

klijklij ScT , 1.49

kde

cT

Sijkl

ij

kl Skl

0

. 1.50

Výraz 1.50 tvorí tenzor modulov pružnosti a výraz 1.49 nazývame zovšeobecnený

Hookov zákon. Tenzor elastických konštánt je tenzorom štvrtého poriadku a má 34 = 81


22

komponentov. Tenzory napätia a deformácie sú symetrické, a preto sa hodnoty elastických

konštánt nemenia pri zámene prvých dvoch alebo druhých dvoch indexov, a teda platí

c c c cijkl jikl ijkl ijlk ; . 1.51

Vzťah 1.51 redukuje počet nezávislých elastických konštánt na 36. Ďalšia ich redukcia, ako

uvidíme neskôr, bude spôsobená symetriou kryštálov.

S ohľadom na vyššie uvedený fakt, že poradie indexov (napr. i, j) je zámenné, existuje len

šesť párov kombinácií prečíslovaných číslami od jedna do šesť, a to nasledovne:

(11) 1, (22) 2, (33) 3, (23) = (32) 4, (31) = (13) 5, (12) = (21) 6.

1.52

U nerovnakých dvojíc indexov „prečíslovanie“ určíme tak, že k chýbajúcemu číslu z trojice

1,2,3 pripočítame číslo 3.

Ak by sme chceli vyjadriť deformáciu ako funkciu napätia, potom zovšeobecnený

Hookov zákon má tvar

,TsS klijklij 1.53

kde súbor hodnôt sijkl, tzv. koeficientov poddajnosti tvorí opäť tenzor štvrtého poriadku.

Medzi matematickým vyjadrením tenzora elastických konštánt [cijkl] a tenzora

poddajnosti [sijkl] v maticovom zápise platí, že s= (c)-1

alebo s c = , kde

,je Kroneckerov symbol, čo inak môžeme interpretovať tak, že matice vyjadrujúce oba

tenzory s, c sú vzájomne inverzné.

Poznámka.

V technickej praxi často nepoužívame elastické konštanty (resp. poddajnosti) zavedené

vyššie, ale Youngov modul (E), šmykový modul (G) a Poissonov koeficient (). Vzťahy

medzi elastickými konštantami (resp. poddajnosťami) a zmienenými modulmi pre izotropný

materiál sú nasledovné.

.cc2

1cG

,12

EG,

G

1

E

12ss2,

Es,

E

1s

121144

12111211


23

1.6. Objemová stlačiteľnosť

Pod objemovou stlačiteľnosťou rozumieme zmenšenie objemu v dôsledku

všestranného jednotkového hydrostatického tlaku. Vo vzťahu 1.54 nahradíme Tkl vzťahom

Tkl = - pkl, čím dostávame

ijkkklijklij pspsS . 1.54

Označíme zmenu objemu vzťahom = Sii = - psiikk, odkiaľ pre objemovú

stlačiteľnosť dostávame - / p = siikk = k, čo predstavuje nový typ invariantu tenzora.

Pre kubický kryštalografický systém alebo pre izotropnú tuhú látku potom môžeme

objemovú stlačiteľnosť vyjadriť vzťahom 3 (s11 + 2s12).

V praxi často zavádzame objemový modul stlačiteľnosti ako prevrátenú hodnotu

objemovej stlačiteľnosti k v tvare K=1/k =1/3(s11+2s12)= E / 3 (1 - 2).

1.7. Vplyv symetrie mriežky na tenzorovú reprezentáciu

Periodičnosť mriežky znižuje počet možných elementov symetrie a vytvára vzťahy

medzi niektorými z nich, a tak existuje len sedem grúp symetrií, z ktorých každá determinuje

jeden kryštalografický systém.

Existujú dva základné typy elementárnych symetrických operácií. Je to priama

symetria a inverzná symetria.

Elementárne priame symetrie sú zviazané s osami symetrie a to s osou symetrie An poriadku

n, kde n je celé číslo, ak pootočením kryštálu okolo takejto osi o uhol 2 / n sa kryštál

dostane do východzej pozície, v akej bol pred rotáciou.

Inverzné symetrie sú viazané na stred symetrie a inverzné osi.

Stred symetrie C zodpovedá inverznej transformácii kryštálu s ohľadom na bod.

Inverzná os poriadku n, označovaná ako An

i pretransformuje kryštál z

východzej pozície do východzej jeho pootočením o uhol 2 / n a následnou inverziou s

ohľadom na bod. Platí teda rovnica An

i = AnC = C An.

Rovina symetrie je špeciálnym prípadom inverznej osi druhého poriadku alebo

zrkadlovej roviny M kolmej na os v bode inverzie, a teda A2

i = M.

Rovnako aj stred symetrie je ekvivalentný inverznej osi prvého poriadku, a teda platí

C = A1

i .


24

Ako sme už spomínali vyššie, periodicita kryštálovej štruktúry okrem redukcie typov

symetrie vedie aj k vzťahom ekvivalencie medzi jednotlivými symetriami.

V dôsledku symetrie kryštálov môžu existovať len určité typy symetrických operácií a

len osi symetrie určitého poriadku. Celkove existuje tridsaťdva tried bodovej symetrie

kryštálov. U trojrozmerných mriežok existuje štrnásť typov tzv. Bravaisových

elementárnych mriežok. Týchto štrnásť typov mriežok je zoskupených v siedmich

kryštalografických systémoch podľa siedmich typov elementárnych buniek. Zásady platné

pre tzv. bodovú symetriu kryštalických mriežok môžeme zhrnúť do nasledovných

konštatovaní.

1. Každá priamka rovnobežná s osou symetrie poriadku n a ktorá prechádza uzlom

mriežky, je osou symetrie toho istého poriadku.

2. Každá os symetrie prechádzajúca cez uzol je totožná s poriadkom mriežky.

3. Každý uzol mriežky je stredom symetrie.

4. Os symetrie poriadku n 2 vytvára n kolmých osí druhého poriadku.

V ďalšej časti si teraz uvedieme symetrické operácie prípustné s ohľadom na

periodicitu mriežky a ktoré určujú sedem kryštalografických systémov.

Pre väčšiu prehľadnosť uvádzame jednotlivé symetrické operácie a geometrické parametre

jednotlivých kryštalografických systémov na obrázku 1.8.

V úvode našich úvah o vplyve symetrie na tenzorovú reprezentáciu fyzikálnych veličín

sa budeme zaoberať symetrickými tenzormi druhého poriadku, ktoré popisujú fyzikálne

vlastnosti, ktoré majú stredovú symetriu. Tieto tenzory majú šesť nezávislých komponentov,

ak sa vzťahujú k ľubovoľnému súradnicovému systému.

Ak však kryštál má určitú symetriu, počet nezávislých zložiek klesá. Symetria

charakteristickej plochy tenzora je identická so symetriou danej fyzikálnej vlastnosti

opisovanej tenzorom.

V súvislosti so symetriou fyzikálnych vlastností a bodovou symetriou kryštálu je

užitočné bližšie si uvedomiť tzv. Neumanov princíp, ktorý hovorí:

Elementy symetrie fyzikálnej veličiny, ktorá charakterizuje kryštál, v sebe obsahujú

elementy symetrie bodovej grupy kryštálu.

Fyzikálna veličina môže teda mať určitú symetriu, ktorá sa prejavuje nezávisle od toho,

akú symetriu má kryštál. V súlade s Neumanovým princípom však fyzikálna vlastnosť musí

mať aj všetky tie elementárne symetrie, ktoré má kryštál. Napríklad pružnosť hexagonálneho


25

kryštálu nie je len stredovo symetrická, ale má tiež elementy symetrie tohoto kryštalického

systému.

Ak zavedieme transformačnú maticu l, dostávame

...pqr..

'

..ijk.. SS ......... r

k

q

j

p

i lll , 1.55

Teda invariantnosť fyzikálnych vlastností vo vzťahu k vybraným symetrickým

operáciám vedie k transformačnej rovnici

...pqr.....ijk.. SS ......... krjqip lll 1.56

Prejdime však k niektorým konkrétnym prípadom. Stred symetrie je popísaný maticou 1.15

alebo v skrátenom zápise ij

j

i , kde ij je Kroneckerov symbol. Potom

...ijk.....ijk.. SS ......... kkjjii lll ,

resp. pre tenzor poriadku n platí S S...ijk..

n

...ijk.. 1

Ak n je nepárne, potom (- 1)n = -1, a teda všetky komponenty tenzora sú nulové. Tento

výsledok sa dá interpretovať aj tak, že stredovo symetrické kryštály nemôžu mať fyzikálne

vlastnosti popísané tenzormi nepárneho poriadku. Platí to napríklad o piezoelektrickom aj

pyroelektrickom jave, ktoré sú popísané práve tenzormi tretieho poriadku. Ak je n párne,

nespôsobuje stred symetrie žiadne zmeny.

V úvode našich úvah o vplyve symetrie na tenzorovú reprezentáciu fyzikálnych veličín

sa budeme zaoberať symetrickými tenzormi druhého poriadku, ktoré popisujú fyzikálne

vlastnosti, ktoré majú stredovú symetriu. Tieto tenzory majú šesť nezávislých komponentov,

ak sa vzťahujú k ľubovoľnému súradnicovému systému.

Ak však kryštál má určitú symetriu, počet nezávislých zložiek klesá. Symetria

charakteristickej plochy tenzora je identická so symetriou danej fyzikálnej vlastnosti

opisovanej tenzorom.

V súvislosti so symetriou fyzikálnych vlastností a bodovou symetriou kryštálu je

užitočné bližšie si uvedomiť tzv. Neumanov princíp, ktorý hovorí:

Elementy symetrie fyzikálnej veličiny, ktorá charakterizuje kryštál, v sebe obsahujú

elementy symetrie bodovej grupy kryštálu.

Fyzikálna veličina môže teda mať určitú symetriu, ktorá sa prejavuje nezávisle od toho,

akú symetriu má kryštál. V súlade s Neumanovým princípom však fyzikálna vlastnosť musí

mať aj všetky tie elementárne symetrie, ktoré má kryštál. Napríklad pružnosť hexagonálneho


26

kryštálu nie je len stredovo symetrická, ale má tiež elementy symetrie tohoto kryštalického

systému.

Ak zavedieme transformačnú maticu l, dostávame

...pqr..

'

..ijk.. SS ......... r

k

q

j

p

i lll , 1.55

Teda invariantnosť fyzikálnych vlastností vo vzťahu k vybraným symetrickým operáciám

vedie k transformačnej rovnici

...pqr.....ijk.. SS ......... krjqip lll 1.56

Prejdime však k niektorým konkrétnym prípadom. Stred symetrie je popísaný

vzťahom ij

j

i , kde ij je Kroneckerov symbol. Potom resp. pre tenzor poriadku n platí

S S...ijk..

n

...ijk.. 1

Ak n je nepárne, potom (- 1)n = -1, a teda všetky komponenty tenzora sú nulové. Tento

výsledok sa dá interpretovať aj tak, že stredovo symetrické kryštály nemôžu mať fyzikálne

vlastnosti popísané tenzormi nepárneho poriadku. Platí to napríklad o piezoelektrickom aj

pyroelektrickom jave, ktoré sú popísané práve tenzormi tretieho poriadku. Ak je n párne,

nespôsobuje stred symetrie žiadne zmeny.

Obrázok 1.8. Kryštalografické systémy a ich príslušné symetrické operácie

...ijk.....ijk.. SS ......... kkjjii lll ,


27

Zhrnutie pojmov kapitoly (podkapitoly)

Transformácie súradníc a tenzorov, vlastnosti tenzorov druhého poriadku, tenzory

napätia, deformácie a Hookov zákon vo všeobecnom tvare, objemová stlačiteľnosť,

vplyv symetrie mriežky na počet nezávislých zložiek tenzora.

Otázky k prebranému učivu

1. Ako sa transformuje tenzor druhého poriadku?

2. Aký vzťah určuje zložky tenzora napätia?

3. Vysvetlite Hookov zákon vo všeobecnom tvare.

4. Ako sa vypočíta objemová stlačiteľnosť anizotropného materiálu?

5. Aký je vplyv symetrie na počet nezávislých zložiek temzora druhého poriadku?

6. Vysvetlite pojem invariant tenzora a čo určuje?


28

2. Základy štatistickej fyziky a kvantovej mechaniky

Čas ke studiu: 5 hodin

Cíl Po preštudovaní kapitoly

budete oboznámení so štatistickým popisom veľkých súborov častíc

zoznámite sa so základmi vlnového popisu častíc

naučíte se chápať rozdřely medzi mikro a makro svetom

pochopíte význam zavedebia pojmu fázový priestor

Výklad

2.1. Štatistický výklad popisu fyzikálnych sústav s mnohými časticami

V tejto kapitole budeme formulovať základné zákonitosti popisu mnohočasticových

sústav a sledovať ich vývoj v závislosti od zmien rôznych fyzikálnych parametrov. Prečo

vzniká potreba zavedenia iného matematického prístupu, ako sme boli zvyknutí v klasickej

Newtonovej fyzike? Odpoveď na túto otázku nám naznačuje tabuľka 2.1.

Z uvedených čísel vidieť, že popis mnohočasticových systémov, ako sú napríklad plyny,

diferenciálnymi rovnicami Newtonovej mechaniky by bol nesmierne zložitý, ale najmä

exaktne ťažko riešiteľný.

Preto sa pri popise mnohočasticových systémov používajú metódy matematickej štatistiky.

Matematická pravdepodobnosť je definovaná ako pomer očakávaných javov 1n ku všetkým

možným javom n , čo môžeme vyjadriť vzťahom

n

nP 1 <1 2.1

a tento pomer je vždy menší ako jedna.

Vo fyzike mnohočasticových systémov hovoríme o štatistickom súbore, ktorý pozostáva z

veľkého množstva identických podsúborov (aj nekonečne veľkého). Každá časť systému


29

podsúborov sa chová ako celý súbor. Prípustný stav systému je taký, ktorý nie je v rozpore

s jeho fyzikálnymi vlastnosťami.

Napríklad stavy, kedy SiO2 má kryštalickú štruktúru sú neprípustné ak sme na začiatku mali

sklenú formu tohoto materiálu. Je totiž fyzikálne nemožné, aby pri nízkych teplotách nastala

transformácia skla na kryštál.

Ak existuje g prípustných stavov, potom súbor má g podsúborov.

Pri veľkom počte opakovaných náhodných javov má náhoda charakter nutnosti. Pre

malý počet javov stráca pojem pravdepodobnosti zmysel.

Tabuľka 2.1. Rozmerové charakteristiky sveta molekúl

Počet molekúl v objeme jedného

kilomólu plynu

2610.025,6

Počet molekúl v objeme 1m3 2510.668,2

Rýchlosť molekúl s/m1010 32

Priemer molekúl m10 10

Stredná voľná dráha molekúl m10 10

Počet zrážok za 1 sekundu 109 1010

Sledujme teraz podrobnejšie trend pravdepodobnosti pri hádzaní viacerých mincí.

Každá minca má rub (R) a líce (L) a pri hádzaní sady mincí vznikne rôzny pomer R:L.

K popisu takéhoto procesu využívame kombinatoriku. Ak každá minca je individuálny prvok

súboru mincí a mince očíslujeme ich od 1 do 10, pričom uvažujeme len jednu ich stranu,

môžeme z desiatich očíslovaných mincí zostaviť celkom 3628800 usporiadaných radov

s rôznym poradím očíslovaných mincí, lebo 36288001......8.9.10!10!n .

Po každom hodení týchto mincí dostaneme rôzny pomer zastúpenia R a L v rade, ale pri tom

istom pomere aj v rôznych kombináciách. Ak uvažujeme variácie oboch strán mincí v rade


30

desiatich mincí (R=0 -10, L=10 - 0), je podľa pravidiel kombinatoriky počet všetkých

variácií 1024210 .

Napríklad pre štyri mince dostávame 1624 variácií. Môžeme teda vytvoriť 16 usporiadaní

po štyroch, v ktorých sú variácie rôzneho počtu strán R,L. Pravdepodobnosť javu, pri ktorom

hádzaním desiatich mincí padnú samé R alebo len L, je 10

10

22

1

a aby takýto stav nastal,

musíme vykonať aspoň 1024 hodov.

Pre počet rovnakých opakujúcich sa prípadov platí vzťah

!nn!n

!nn

!n!n

!n

11

21

21

, 2.2

kde 21 nnn je počet očakávaných javov.

Pre 21 nn dostávame vzťah

!n!n

!ng

11

, 2.3

ktorý Planck nazval termodynamická pravdepodobnosť alebo sa tiež nazýva štatistická

váha, resp. stupeň degenerácie systému ( počet rovnakých stavov).

Pravdepodobnosť, že padne Ln1 a Rn2 bude daná vzťahom

nn

21

2

!L!R

!LR

2

!n!n

!n

P

,

kde 21

n

21 nnn,10242,Ln,Rn .

Venujme sa teraz bližšie výkladu pojmu termodynamická pravdepodobnosť.

Predstavme si dve identifikovateľné (označené, ale identické) molekuly v uzavretom

priestore s priepustnou prepážkou, ktorá delí priestor na dve polovice. Možné rozdelenie

molekúl v jednotlivých častiach (štatistických stavoch alebo tiež mikrostavoch) je v tabuľke

2.2.

Ak aplikujeme na tento prípad vyššie uvedené vzťahy, dostávame pre celkový počet

mikrostavov 422 , ale len tri termodynamické (tiež makrostavy) stavy, lebo stav plynu je

určený kolektívom molekúl bez ohľadu na to, ktorá z individuálnych molekúl tento stav


31

plynu tvorí. Rovnomerné rozdelenie molekúl po oboch stranách prepážky sa vyskytuje

dvakrát ( 2!1!1

!2

!n!n

!ng

11

) a sumárna pravdepodobnosť P tohoto stavu je teda 50

percent.

Sledujeme ďalej vývoj v takomto dvojmikrostavovom systéme s pribúdajúcim počtom

molekúl. Pre štyri molekuly dostávame 1624 stavov, pričom rovnomerné rozdelenie bude

v šiestich prípadoch, lebo 6!2!2

!4

!n!n

!ng

11

.

Pravdepodobnosť samovoľnej kompresie molekúl v jednej polovici systému s rastom počtu

molekúl klesá. Pokiaľ pre dve molekuly bola 25 percent, pre štyri molekuly je už len 6,25

percenta, pri desiatich molekulách 410.8 percenta.

Čo je však zaujímavé, termodynamická pravdepodobnosť g rovnovážneho stavu

(rozdelenia) naopak, rýchlo rastie. Pri desiatich molekulách je takýchto stavov 252, pri 100

molekulách už 2810.15,11 a pri tisíc molekulách 29910.7,2 . Z týchto úvah jednoznačne

plynie, že najpravdepodobnejšie rozdelenie veľkého počtu identických častíc je také, pri

ktorom budú molekuly rozdelené rovnomerne. Samozrejme, sú možné aj iné stavy (môžu

vzniknúť napríklad v rámci fluktuácií v systéme), ale ich pravdepodobnosť je malá.

Tabuľka 2.2. Počty mikrostavov a ich pravdepodobnosť v dvojčasticovom systéme

Mikrostav I Mikrostav II Počet stavov P [%]

1 25

1 25

1 25

1 25

Pravdepodobnosť sme mali vyššie definovanú vzťahom q

niP . Stredná hodnota

ľubovolnej fyzikálnej veličiny A sa dá potom určíť zo vzťahu


32

in.iAq

iP.iAAn

i

n

i

11

1. 2.4

Vieme, že pravdepodobnosť toho, že častica je v stave s energiou E úmerná

Boltzmannovmu faktoru

kT

Eexp i , ak nedochádza v systéme k výmene častíc.

n

i

Z

i

n

i

i

kT

E

kT

Eexp.iA

A

1

1

, 2.5

Z- štatistická suma.

2.2. Základy vlnového popisu častíc

Ako už vieme zo základného kurzu fyziky, častice sa za určítých podmienok správajú ako

vlny, čo sa dá ľahko demonštrovať na Braggovom rozptyle X-lúčov na kryštalickej mriežky,

ako je to zobrazené na obrázku 2.1 a 2.2.

Obrázok 2.1. Braggov rozptyl X-lúčov na kryštalickej mriežke.


33

Obrázok 2.2. Braggova podmienka

Na základe týchto experimetov Louis de Broglie sformuloval nasledovné relácie medzi

vlnovou dĺžkou prislúchajúcou elektrónu a jeho hybnosťou.

mv

h

p

h . 2.6

Vlnová funkci sama o sebe neposkytuje žiadnu fyzikálne relevantnú informáciu, lebo

je komplexná.

Fyzikálny zmysel mávšak súčin reálnej a imaginárnej zložky 22222* B+A=Bi-A=ψψ ,

tzv. hustota pravdepodobnosti, ktorá predstavuje reálne číslo.

Tento súčin určuje pravdepodobnosť výskytu častice v danom čase v danom bode priestoru.

Na základe takejte interpretácie vlnovej funkcie potom W. Heisenberg sformuloval tzv.

princip neurčitosti, ktorý z principiálních dôvodov neumožňuje súčasne s rovnakou

presnosťou merať súradnicu a hybnosť.

ΔxΔp≥h/2π. 2.7

Venujme sa teraz popisu systému n častíc pomocou vlnových funkcií. Takáto

„celková“ vlnová funkcia sa dá vyjadriť ako súčin funkcií jednotlivých častí v tvare

( ) ( ) ( ) ( ).nψ.......2ψ1ψ=N:::::.2.1ψ 2.8

Ak je jedna častica v stave a a druhá v stave b, nemala by sa hustota pravdepodobnosti meniť a musí

platiť


34

( ) ( )22

1,2ψ=2,1ψ . 2.9

Vlnová funkci ( )1,2ψ po zámene častíc môže byť buď symetrická, alebo antisymetrická a teda platí

jedna z divoch nasledujúcich relácií

( ) ( )1,2ψ=2,1ψ ,

( ) ( )1,2ψ=2,1ψ- . 2.10

Ak je častila 1 v stave a a častila 2 v stave b, resp. častila 1 v stave b a častila 2 v stave a

potom platia rovnice

( ) ( )

( ) ( ).1ψ2ψ=ψ

,2ψ1ψ=ψ

ba2

ba1 2.11

Obe funkcie správne popisujú sysytém a tak výsledná funkcia celého sytému je daná ich

lineárnou kombináciou

( ) ( ) ( ) ( )( )1ψ2ψ+2ψ1ψ2

1=ψ babas ,

( ) ( ) ( ) ( )( )1ψ2ψ-2ψ1ψ2

1=ψ babaa . 2.12

Antisymetrickými funkciami sú popísané častice s polčíselným spinom tzv. Fermióny

( elektróny, protóny, neutróny..)

Častice s celočíselným spinom jako sú fotóny sú popísané symetrickými funkciami a

nazývajú sa aj Bozóny,

2.3. Kvantové štatistiky

Ako už vieme z predchádzajúcich častí tejto učebnice, ktorá sa zaoberala

kvantovomechanickými princípmi mikrosveta, elektrón sa súčasne môže nachádzať len

v jednom energetickom stave s dvomi rôznymi orientáciami spinu (Pauliho princíp). Častice

riadiace sa týmto princípom sa tiež nazývajú fermióny (patrí sem napríklad aj 3He – 2

protóny, 1neutrón). Vráťme sa k modelu z kapitoly 4 a budeme predpokladať, že sytém

(obsadený jediným elektrónom s energiou alebo je neobsadený-vakantný a jeho energia je

rovná nule) je v tepelnom a difúznom kontakte s rezervoárom tak, ako je to vidieť na obrázku

2.3.


35

Obrázok 2.3. Možné stavy fermiónu podľa Pauliho princípu

Veľká sumu 9 (v systéme nedochádza len k výmene energie ale aj častíc) môžeme pre

fermióny napísať v tvare

Z = 1 + exp(-/), 2.13

lebo kTkTkTkT

0

e1eeeZ

. Pre strednú hodnotu obsadenia systému dostávame

výraz

kT

kT

e.1

e.n

, 2.14

resp. definujeme funkciu

( )

1+e

1=εn=)ε(f

kT

με, 2.15

ktorú nazývame Fermiho – Diracovo rozdelenie.

Hodnota chemického potenciálu pri absolútnej nule sa vo fyzike tuhých látok nazýva

Fermiho energia alebo aj Fermiho hladina.

Ak pri ľubovoľnej hodnote teploty je energia systému rovná chemickému potenciálu, potom

stredné obsadenie systému je rovné jednej polovici, čo plynie zo vzťahu

.5,011

1

1kT/exp

1f

Priebeh Fermiho – Diracovej rozdeľovacej

funkcie je na obrázku 2.4.

1. R

e

z

e

r

v

o

á

r

vakant

ný

energi

a=0

2. R

e

z

e

r

v

o

á

r

1

elektró

nn

energia


36

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

0,2

1,0

0,8

0,6

0,4

1f( )=

Obrázok 2.4. Fermiho – Diracovo rozdelenie 5,0 μττ

Poznámka:

Je potrebné všimnúť si, že obsadenie hladín u Fermiho – Diracovej rozdeľovacej funkcie

je totožné s pravdepodobnosťou jej obsadenia.

Teplotná závislosť Fermiho-Diracovej funkcie pre K50000k

T FF

ε je na obrázku

2.5.

Okrem fermiónov existuje aj trieda častíc s celočíselným spinom (napríklad fotóny,

4He, 2 protóny, 2 neutróny), ktoré podliehajú iným štatistickým pravidlám ako fermióny. Pre

tieto častice neplatí Pauliho vylučovací princíp, a tak systém, ktorý je v tepelnom a difúznom

kontakte s rezervoárom môže byť zaplnený ľubovoľným počtom častíc a pre veľkú sumu

platí výraz

x1

1=x=e=

kT

εnμnexp=)kT,μ(Z

0=n

n

0=n

n

kT

εμ

0=n

∑∑∑∞∞∞

, 2.16

kde x = exp((-)/kT). Súčet geometrického radu pre x 1 konverguje a pre x 1

diverguje. Pre stredný počet častíc v systéme podobným postupom ako u fermiónov

dostávame postupne


37

987654321

0,8

0,6

0,4

0,2

1,0

1,2

0

500 K5000 K

2,5.10 4K

5.10 4K

10.10 4K

Obrázok 2.5. Teplotná závislosť Fermiho-Diracovej funkcie pre K50000k

T FF

ε.

.1x

1

1x

1

1

x1

x

Z

Z.dx

d.x

x

xdx

d.x

x

x.n

n1

0n

n

0n

n

0n

n

0n

n

2.17

Výraz

1e

1n

kT

2.18

nazývame Boseho – Einsteinovým rozdelením pre bozóny, ktoré je na obrázku 2.6.

Poznámka.

Na rozdiel od Fermiho – Diracovho rozdelenia pravdepodobnosť obsadenia hladiny nie je v

štatistike bozónov totožná s jej obsadením, ako to bolo u fermiónov. Počet častíc bude tým

väčší, čím bude energia menšia.


38

210-1-20

Boseho -Einsteinoverozdelenie

Fermiho -Diracoverozdelenie

n (

1

2

3

4

Obrázok 2.6. Boseho – Einsteinovo a Fermiho – Diracovo rozdelenie.

Z obrázku 2.6 tiež vidieť, že pre „veľké“ energie sa obidve rozdelenia platné pre svet kvánt

v limite približujú (jednotka v menovateli prestáva hrať dôležitú úlohu) a prechádzajú v

„klasické“ Maxwellovo – Boltzmannovo rozdelenie v tvare (ak neuvažujeme

predexponenciálny člen).

.

2.4. Schrodingerova rovnica

Napíšme rovnicu rovnicu rovinném vlny šíriacej sa v smere osi x v tvare

Ψ=Aexp[-iω(t-x/v)].

2.19

Pretože platí

E=hν

a 2.20

λ=h/p

môžeme rovnicu 2.19 prepísať v tvare

Ψ=Aexp[-i/ħ(Et-xp)], 2.21

ktorý platí pre voľnú časticu.

Aby sme mohli sledovať dynamiku dejov, teda zmeny podľa súradníc, alebo času,

vypočítame si príslusné derivácie.

2

2

2

2 Ψp-=

x∂

Ψ∂

a 2.22


39

ΨiE

-=t∂

Ψ∂

Pre celkovú energiu častice platí vzťah

V+m2

p=E

2

, 2.23

resp. po úprave

ΨV+m2

Ψp=ΨE

2

. 2.24

Ďalej platí

t

Ψ

i-=ΨEΨ

iE-=

t

Ψ

∂

∂→

∂

∂

a 2.25

Ψp=x

Ψ- 2

2

2

2

∂

∂

Odkiaľ dostávame časovo závislý tvar Schrödingerovej rovnice v tvare

0=ΨEm2

+x

Ψ→ΨV-

x

Ψ

m2=

t

Ψ

i 22

2

2

22

∂

∂

∂

∂

∂

∂, 2.26

2.5. Fázový priestor

V klasickej mechanike je okamžitý stav častice jednoznačne popísaný hodnotou

súradnice a impulzu, ktoré ako vieme, sú principiálne súčasne merateľné s rovnakou

presnosťou. Zákony Newtonovej mechaniky s ohľadom na ich deterministický charakter

dávajú možnosť určiť správanie sa častice v čase. Zadanie okamžitých hodnôt

zovšeobecnených súradnice q a zovšeobecnených impulzov p je ekvivalentné bodu

v dvojrozmernom priestore p versus q, ktorý nazývame fázovým priestorom (pozri obrázok

2.7).

Obrázok 2.7. Definícia fázového priestoru


40

Keďže súradnica aj impulz sa v klasickej fyzike môžu meniť spojite, rozložíme fázový

priestor na elementárne bunky s plochou 0hqp , kde 0h je kladná konštanta

s rozmerom momentu hybnosti (pozri obrázok 2.8).

Obrázok 2.8. Rozdelenie fázového priestoru na bunky

Na to, aby bol stav častice popísaný stačí, aby sme dokázali, že súradnica je z intervalu

fázového priestoru qq,q a hybnoť z intervalu pp,p . Teraz si treba položiť otázku,

aká musí byť veľkosť konštanty 0h ? V klasickej fyzike môže byť jej hodnota nekonečne malá

a naša úloha sa zjednodušuje na zodpovedanie otázky, aké je „poradové“ číslo bunky vo

fázovom priestore, v ktorom sa nachádza súradnica a impulz častice?

Ako vieme z kvantovej mechaniky, objem bunky fázového priestoru je jednoznačne

určený Heisenbergovým princípom neurčitosti.

Na záver uvedieme dve praktické technické aplikácie fázového priestoru. Prvá sa týka vplyvu

umelých defektov v gumárenských zmesiach. Vo válčekových vzorkách gumárenských

zmesí boli vyvŕtané otvory rôznych priemerov v radiálnom smere. Na obrázku 2.9 sú

uvedené frekvenčné zmeny amplitúdy vynútených kmitov takýchto vzoriek. Vidíme, že na

závislosti amplitúdy vynútených kmitov od frekvencie sú zmeny spôsobené dierami len

relatívne malé. Ak sme ale tie isté výsledky zobrazili vo fázovom priestore, ako je to vidieť

na obrázku 2.10, zmeny dynamiky systému sa prejavili radikálne a namerané krivky majú

typický „motýlovitý“ tvar, ako to pre periodické deje predpokladá teória chaosu.


41

Obrázok 2.9. Frekvenčná závislosť amplitúdy vynútených kmitov pre rôzne diery vŕtané

v radiálnom smere do gumárenskej zmesi

Obrázok 2.10. Dáta z obrázku 2.9 zobrazené vo fázovom priestore.

Druhý prezentovaný výsledok sa týka sledovania reprodukovateľnosti prípravy

gumárenských zmesí. Boli testované tri vzorky pripravené rovnakým spôsobom

a s deklarovaným rovnakým zložením. Vidíme, že krivky pre dve vzorky sa prakticky

prekrývajú a jedna ide úplne mimo trend týchto dvoch vzoriek. Zrejme teda bola pri jej

výrobe porušená technológia, alebo vzorka mala iné zloženie (Obrázok 2.11).


42

0,0E+00

1,5E-05

3,0E-05

4,5E-05

6,0E-05

7,5E-05

9,0E-05

-6,0E-05 -4,0E-05 -2,0E-05 0,0E+00 2,0E-05 4,0E-05 6,0E-05

x(t) [m]

M.x'(t)

[kg.m.s-1

]

Obrázok 2.11. Test technologickej uniformity pre tri rôzne vzorky rovnakého zloženia

Zhrnutie pojmov kapitoly

Štatistický popis mnohočasticových sústav, stredné hodnoty fyzikálnych veličín, vlnový popis

častíc, hustota pravdepodobnosti, Fermiho-Diracova rozdeľovacia funkcia, Boseho Einsteinova

rozdeľovacia funkcia, Schrodingerová rovnica, Fázový priestor.


1.Ako je definovaná pravdepodobnosť javu?

2.Čo je to termodynamická pravdepodobnosť?

3.Ako vypočítame strednú hodnotu fyzikálnej veličíny?

4. Charakterizujte Fermiho-Diracovú štatistiku.

5. Charakterizujte Boseho-Einsteinovu štatistiku.

6. Vysvetlite Schrödingerovu rovnicu.

7.Aké sú symetrické a antisyerické vlnové funkcie?

8. Vysvetlite pojem vlnovej funkcie častice.

9. Kedy sa na elktrón môžeme pozerať ako na klasickú časticu?

10. Vysvetlite Heisenbergov princíp neurčitosti.

11. Vysvetlite pojem fázového pristoru.


43

3. Viskózne a viskózne-elastické správanie sa materiálov



budete oboznámení s pojmami viskózny a viskózne elastický

naučíte sa modely takýchto prostredí

zoznámite sa s charakteristikami reálnych materiálov

naučíte sa chápať mikroštrukturálne aspekty toku materiálov

pochopíte procesy sprevádzajúce tok materiálu

Výklad

3.1. Charakteristika viskózních a viskózneelastických prostredí

Pojem viskozita máme najčastejšie asociovaný s kvapalným a plynným skupenstvom.

Viskozita je fyzikálny jav spôsobený Van der Waalsovými silami pôsobiacimi medzi

časticami kvapaliny alebo plynu pri ich pohybe. Ak je tento pohyb len „šmykového“

charakteru, potom, ako už vieme zo základného kurzu fyziky, platí Newtonov viskózny

zákon v tvare

dy

dvTyx , 3.1

kde T je napätie a η je dynamická viskozita. Takéto kvapaliny nazývame Newtonovské.

Reálne kvapaliny sa však od Newtonovských líšia. Aj voda ako relatívne málo viskózna

kvapalina sa správa „pružne“, ak na ňu napríklad aplikujeme v krátkych impulzoch veľké

napätia. Tento jav dobre poznáme napríklad z „nevydarených skokov“ do vody, kedy

dopadneme na brucho (pružná reakcia vody je dostatočne citeľná). Časový vývoj mechanicky

zaťaženého viskózneho prostredia teda závisí aj od trvania pôsobenia záťaže.

Zo skúseností vieme, že na asfaltových cestách sa robia tzv. koľajnice, ktoré spôsobujú

ťažké nákladné vozidlá, a to najmä v letných mesiacoch. Určite si spomenieme na odtlačky

podpätkov ženských topánok, tzv. ihličiek v asfalte počas letných mesiacov. Vieme tiež, že

ak zohrejeme med, tento sa stáva tekutejší a podobných príkladov by sme našli ešte viac.


44

Plynie z nich však jeden fakt, a to ten, že viskozita materiálu je okrem dĺžky pôsobenia a

veľkosti priloženého mechanického napätia (tzv. tixopropné látky) aj funkciou teploty.

Pri výklade tohto javu budeme vychádzať z tzv. dierového modelu kvapaliny. V tomto

modeli sa predpokladá, že kvapalina sa skladá z molekúl a z vakantných miest tzv. dier,

ktoré v kvapaline môžu vzniknúť napríklad odparením molekúl. Preskok molekuly do novej,

energeticky výhodnejšej polohy je možný len vtedy, ak susedné miesto je voľné, a teda je tam

diera. Koncentrácia takýchto dier (pomer vakantných miest n k celkovému počtu N uzlov

štruktúrnej siete) bude

RT/HeN

n , 3.2

kde ΔH je entalpia potrebná na vytvorenie diery (je približne rovná 2/5.ΔHvýp.), R

je plynová konštanta a T absolútna teplota. Molekuly kmitajú okolo rovnovážnych polôh,

pričom 2ν-krát za sekundu atakujú okolité potenciálové bariéry. Potom pre frekvenciu

možných preskokov molekúl dostávame

BA

RT/QRT/H HHQ;e2eN

n2

1

. 3.3

Prvá z entalpií predstavuje aktivačnú entalpiu potrebnú na vznik diery a druhá reprezentuje

výšku bariéry, ktorú musí molekula prekonať pri samodifúzii. Ak označíme koordinačné

číslo molekuly z (počet najbližších susedov je z), potom pre frekvenciu preskokov platí

zτ

1=ν .

Ak bude pri difúznom procese asistovať aj vonkajšia sila F, potom sa molekuly budú

pohybovať v smere tejto sily a stredná rýchlosť molekúl bude úmerná tejto sile, pričom

koeficient úmernosti budeme nazývať pohyblivosťou molekuly

Fqv . 3.4

Ak medzi vrstvami kvapaliny, ktoré sa po sebe kĺžu, je vzdialenosť δ rovná medzi atómovej

vzdialenosti, potom platí vzťah

δq

1=η 3.5


45

a pre koeficient dynamickej viskozity dostávame (bez uvedenia ďalších krokov, ktoré majú

matematický charakter)

RT/Q

33e

νδ2

zkT=

δ

τzkT=η , 3.6

kde k je Boltzmannova konštanta. Vidíme, že koeficient dynamickej viskozity s rastúcou

teplotou klesá tak, ako sme o tom hovorili vyššie. Uvedený model je samozrejme

kvalitatívny a pre jednotlivé typy materiálov a teplotné rozsahy sa používajú aj iné vzťahy.

Teraz si rozšírime naše poznatky o fyzikálnej interpretácii viskózneho toku na

polyméry a kaučuky. Je známe, že molekulárne „preskoky“ nastávajú hlavne v amorfných

oblastiach, zatiaľ čo u kryštalitov nastávajú na ich rozhraniach alebo poruchových miestach.

Môže tiež dôjsť k pootočeniu celých kryštalitov. Kinetika toku je popísaná dvoma rôznymi

procesmi.

Analyzujme prvý proces. Preskoky molekúl v smere toku vedú k usporiadaniu

s menšou entropiou bez zmeny vnútornej energie, pričom tento proces nazývame entropická

pružnosť. Proces je zobrazený na obrázku 3.1a. Môže tiež dochádzať k obsadzovaniu stavov

s vyššou energiou, čo je podmienené existenciou uzlových bodov a ide o tzv. energetickú

pružnosť a zodpovedá situácii na obrázku 3.1b.

V druhom prípade sa molekuly alebo ich časti odpútavajú od svojho okolia a uzlové

body zanikajú. Rozdelenie potenciálnej energie sa v priemere nemení, lebo sa vytvárajú nové

potenciálové valy, ktorých energetická distribúcia je taká istá ako pôvodná. Tento tok

nazývame nevratným tokom a v prvom priblížení

preň platí Newtonov zákon pre viskozitu. Na obrázku 3.1 sú zobrazené obidva procesy.

V doterajších úvahách sme sa zaoberali len vlastnosťami elastických materiálov.

Reálne materiály sa však vždy za definovaných podmienok prejavujú aj ako viskózne. Tieto

vlastnosti vyplývajú zo samotnej povahy materiálov, ktoré

sú v metastabilnom stave (sklá, niektoré vysokopolymérne látky).


46

Obrázok 3.1. Závislosť zmeny potenciálu od vzdialenosti. Model entropickej pružnosti (a),

model energetickej pružnosti (b). Plné krivky korešpondujú stavu pred priložením napätia a

čiarkované po aplikovaní napätia

Deformácia spôsobená priloženým mechanickým napätím k oceli spôsobí zmenu

medziatómových vzdialeností, ale u plastických hmôt zmenu valenčného uhla. Všetky

ostatné pomalšie prebiehajúce zmeny tvaru označujeme ako tok. Medzi tieto procesy (tok)

zaraďujeme oneskorenú pružnú deformáciu, konštantný tok, pozvoľný návrat do pôvodného

tvaru, vratný deformačný pochod po zahriatí atď. Pri ťahových skúškach polymérov

pozorujeme vždy tok materiálu.

Konštantnú rýchlosť toku η

T=

dt

γd (T je napätie, , sú postupne šmykový uhol a

dynamická viskozita ) pozorujeme zvlášť pri veľkých záťažiach. V takýchto prípadoch po

prerušení zaťaženia materiálu sa časť zachováva, preto hovoríme o nevratnom toku. Ak

takýto proces prebieha už pri malých napätiach, hovoríme, že materiál nemá vláčnu pevnosť.

Vláčna pevnosť bola najskôr pozorovaná u kryštálov a obvykle sa takáto deformácia nazýva

plastická. Pre názornosť je na obrázku 3.2 vynesená rýchlosť zmeny pôvodne pravého uhla

γ hranola, na ktorý pôsobí tangenciálne napätie ako funkcia priloženého mechanického

napätia pre rôzne typy látok.

Deformácia vulkanizovaného prírodného kaučuku vzniká takmer okamžite a je len

z nepatrnej časti trvalá. Po prerušení zaťažovania sa materiál vracia prakticky do pôvodného

stavu a hysterézia je malá (hysterézna krivka má malý plošný obsah), ako to vidíme na

obrázku 3.3.

Nameraná pružná deformácia kaučuku sa skladá z dvoch častí. Táto deformácia vedie

jednak k poklesu entropie v dôsledku zvýšenia usporiadanosti systému a tento proces sa

prejaví tiež poklesom mernej tepelnej kapacity materiálu. Modul E1 plynúci z poklesu


47

entropie je priamo úmerný absolútnej teplote. V neideálnom vulkanizovanom kaučuku sa

časť deformačnej práce viaže ako vnútorná energia, v dôsledku čoho dochádza k zmenám

medziatómových vzdialeností, ale najmä valenčných uhlov a korešpondujúcej zmene modulu

E0. Pre celkový modul potom dostávame 10 E

1

E

1

E

1 , resp.

T

tatankonš

E

1

E

1

0

.

3.2. Newtonovská kvapalina (a), nenewtonovská kvapalina (b), látka s vláčnou

pevnosťou (c)

3.3. Hysterézna krivka. Mechanické napätie versus deformácia

Ako vidieť z obrázku 3.4 modul s rastúcou teplotou rastie (krivka a), čo je dôsledok

entropickej povahy pružnosti kaučuku, zakiaľ u plastov klesá (krivka b), lebo rastie podiel

príspevkov vratných, časovo závislých deformácií.

Zmena modulu medzi bodmi A a B závisí na prechode k ideálne pružnému správaniu sa

materiálu pod teplotou skleného prechodu. Kaučukovité látky (a), viskózne elastické látky

(b).


48

Obrázok 3.4. Závislosť modulu E od teploty.

Modul kaučuku je podstatne nižší ako u ostatných látok. Pružná deformácia u kaučuku

v mnohých prípadoch prevyšuje pôvodnú dĺžku materiálu. Nie je preto možné v jednom

diagrame vyniesť napätie a deformáciu kaučuku, plastu a oceli.

Takéto porovnanie je možné len v logaritmickej stupnici, ako to vidieť na obrázku 3.5.

Venujme sa teraz popisu polymérov z pohľadu ich struktury a fyzikálních vlastností.

Ako všetky látky, môžeme aj pre polyméry definovať tri základné skupenské stavy, plynný,

kvapalný a tuhý. Napriek všeobecnej podobnosti, v polyméroch predsa existujú určité

osobitnosti, ktoré ich odlišujú od nízko molekulových látok.

.

3.5. Ťahové krivky v logaritmickej stupnici pre kaučuk (a), viskózne elastickú látku (b),

oceľ (c)

Vo všeobecnosti plynný stav je charakterizovaný intenzívnym pohybom častíc, pričom

vzdialenosti medzi molekulami sú veľké. Keďže vzájomné pôsobenie častíc v zmysle


49

príťažlivých síl klesá so šiestou mocninou vzdialenosti, pre molekuly v plynnom stave možno

vzájomné príťažlivé sily vzhľadom na vzdialenosť medzi molekulami prakticky zanedbať.

V kvapalnom stave je tepelný pohyb molekúl stále veľmi intenzívny, ale na rozdiel od plynu,

vzdialenosti medzi molekulami sú podstatne menšie a molekuly sa navzájom výrazne

ovplyvňujú.

V tuhom skupenstve sa intenzita tepelného pohybu zníži natoľko, že nepostačuje na

rozrušenie medzi molekulových kontaktov. Molekuly zaujmú trvalú, definovanú polohu

v priestore a vykonávajú len vibračné pohyby s frekvenciou 1013-14 Hz. Vzdialenosti medzi

molekulami sa od kvapalného stavu príliš nelíšia, čo možno ľahko dokázať porovnaním

hustoty látky v troch skupenstvách. Zatiaľ čo rozdiel v hustote medzi plynom a kvapalinou je

niekoľko poriadkov, rozdiel medzi hustotou kvapaliny a tuhej látky je malý. Pritom možno

povedať, že vzdialenosti medzi časticami sú približne na úrovni veľkosti molekúl.

Z rozdielov pohyblivosti molekúl vyplývajú i významné rozdiely vo vlastnostiach

Pre kvapalné skupenstvo je typický intenzívny translačný pohyb molekúl popri

rotačnom a vibračnom, v tuhom stave molekuly zaujímajú navzájom viac- menej konštantné

polohy a translačný pohyb je obmedzený na minimum. Zatiaľ čo kvapalina ľahko mení tvar

pôsobením minimálnej sily, napríklad i vlastnou hmotnosťou (gravitačná sila), na deformáciu

tuhého telesa potrebujeme obyčajne vynaložiť pomerne veľkú silu.

Pri diskusii o usporiadaní v tuhom stave treba upozorniť na dve možné uporiadania,

jednak náhodné usporiadanie, podobné ako v kvapaline, s rozdielom podstatne nižšej

termickej pohyblivosti častíc a jednak kryštalické, kde sú molekuly usporiadané pravidelne

so zreteľnou symetriou pozdĺž priestorových osí. Možno konštatovať, že v tuhom stave môžu

materiály existovať v rôznych štruktúrnych fázach, ktoré sa líšia spôsobom usporiadania

molekúl, pričom nie vždy možno tieto fázy od seba oddeliť. V tomto prípade rozlišujeme dve

definície fázy, a to podľa štruktúrneho, alebo termodynamického hľadiska, kedy v druhom

prípade sa fázy navzájom líšia termodynamickými parametrami, sú oddelené jasne

odlíšiteľným rozhraním a sú navzájom oddeliteľné.

Typickou ukážkou materiálu obsahujúceho rozličné štruktúrne fázy je koexistencia

kryštalického stavu, vyznačujúceho sa pravidelným usporiadaním častíc do kryštalickej

mriežky a podchladeného kvapalného stavu, kde pohyblivosť molekúl je nízka, ale ich

uloženie v priestore je náhodné, bez známok symetrie. Pri náhodnom uložení v priestore

hovoríme o tzv. amorfnom stave (z gréckeho „morphe = tvar“, „amorfný = beztvarý“). Fázy

tohto materiálu sú chemicky totožné, ale výrazne sa líšia usporiadaním Ako príklad pre fázy


50

definované z termodynamického hľadiska možno uviesť kompozit zložený z dvoch

rozličných materiálov, napríklad jemná suspenzia ílu vo vode.

Pod teplotou topenia vody je celý systém v tuhom skupenstve s dvoma

termodynamicky odlišnými zložkami, oddelenými presne definovaným rozhraním a

navzájom oddeliteľnými. Pre polyméry ako príklad možno uviesť kompozit plastu a

anorganického plniva.

Pri diskusii o fázových stavoch, v ktorých sa rôzne látky nachádzajú za rozličných

podmienok pre polyméry plynný stav neuvažujeme, pretože medzi molekulová súdržnosť

vzhľadom na dĺžku reťazcov a z toho vyplývajúci počet kontaktov je oveľa vyššia než

pevnosť kovalentných väzieb. Preto skôr, ako by mohlo dôjsť k uvoľneniu jednotlivých

makromolekúl do plynného stavu, nastane deštrukcia reťazca termickou degradáciou.

V kvapalnom a tuhom stave je charakter fázových premien zložitejší ako pre nízko

molekulové látky. Pre túto diskusiu je výhodné, ak neuvažujeme z hľadiska pohyblivosti o

celých makromolekulách, ale tieto rozdelíme na články reťazca – segmenty, v typických

prípadoch napr. 12 až 60 uhlíkov v hlavnom reťazci. Pri nízkych teplotách je rovnovážna

poloha segmentov konštantná a pohyb sa obmedzuje len na vibračné alebo rotačno – vibračné

oscilácie okolo rovnovážnych polôh. Polymér sa správa rovnako ako nízko molekulová látka

v tuhom stave. Pri aplikácii deformácie sa celý systém riadi Hookovým zákonom, Youngov

modul pružnosti je vysoký a materiál je krehký. Keďže správanie sa polyméru je podobné

vlastnostiam skla, tento stav nazývame stavom sklovitým. Sklovitý stav sa pozoruje pri

nízkych teplotách až po tzv. teplotu sklovitého prechodu. V oblasti teploty sklovitého

prechodu Tg dochádza ku kvalitatívnej zmene pohybu segmentov, ktorý sa v oblasti nad Tg

zmení na rotačný. Reťazec môže nadobúdať veľký počet rozličných konformačných tvarov,

materiál má nižší modul pružnosti a správa sa ako vysokopružné teleso. Hovoríme o tzv.

vysokoelastickom, alebo kaučukovitom stave. Tento stav je typický pre lineárne polyméry a

okrem polymérov nie je známy pre žiadne iné materiály.

Ďalším zvyšovaním teploty sa stáva rotačný pohyb segmentov intenzívnejší až napokon

umožní aj preskupovanie najprv segmentov a neskôr celých makromolekúl. Po dosiahnutí

tzv. teploty tečenia sa polymér nachádza v stave viskózno – plastickom, kedy dochádza

k nevratnému toku. Nad touto teplotou sú polyméry tepelne plasticky tvarovateľné.

Tieto úvahy platia pre neusporiadanú amorfnú tuhú fázu. Mnohé polyméry však

vytvárajú kryštalickú fázu, pričom táto takmer bez výnimky koexistuje spolu s amorfnou

fázou vo forme tzv, semikryštalických materiálov. Pritom kryštalická fáza sa správa ako tuhá


51

a nad tzv. teplotou topenia, kedy dôjde k rozrušeniu kryštalitov, sa transformuje na fázu

kvapalnú, viskózno – plastickú. Z hľadiska teplôt, pri ktorých dochádza k významným

transformáciam, rozlišujeme teda teplotu

sklovitého prechodu - Tg

topenia - Tm

tečenia – Tf,

pričom Tg < Tm ~ Tf.

Zmenu skupenského stavu, premenu amorfnej látky na kryštalickú a naopak, alebo

premenu jednej kryštalickej sústavy na druhú označujeme ako fázovú, alebo stavovú

premenu. Pritom sa vedľa seba môže vyskytovať viacero fáz, ktoré sú v termodynamickej

rovnováhe., oddelené sú jasne identifikovateľným rozhraním a jednofázovými oblasťami

konečných rozmerov. Na rozhraní sa mení vnútorná energia, merné teplo a koeficient

tepelnej rozťažnosti. Podľa charakteru tejto premeny hovoríme o fázových prechodoch

prvého alebo druhého poriadku.

Fázové prechody určujeme zo závislostí zmeny vnútornej energie s rastom teploty.

Experimentálne najjednoduchšie sa môžu stanoviť z teplotnej závislosti špecifického objemu.

Pri fázovom prechode 1. poriadku na oboch závislostiach je pozorovateľná skoková zmena.

Typickým fázovým prechodom 1. poriadku je topenie, alebo vratný dej – tuhnutie pri bode

topenia / tuhnutia. V tomto bode napr. pri topení do systému dodávame teplo, čiže vnútorná

energia rastie, pričom sa ale teplota nemení. Až po roztopení celého kryštalického podielu sa

teplota, teraz už kvapaliny začne opäť zvyšovať. Podobný obraz pozorujeme aj ak sledujeme

zmenu špecifického objemu s teplotou, kde v bode topenia dôjde k výraznej zmene tohto

parametra bez toho, aby sa zmenila teplota.

Pri fázovom prechode 2. poriadku pozorujeme na týchto závislostiach miesto skoku

zlom. Závislosť napr. objemu od teploty je lineárna, keď smernica priamky dV / dT je

koeficientom teplotnej rozťažnosti. Pri fázovom prechode sa táto smernica zmení, pritom ale

závislosť je kontinuálna, neprerušená. V skutočnosti u polymérov vo väčšine

prípadov dochádza namiesto zlomu k väčšiemu alebo menšiemu ohybu v teplotnom intervale

niekoľkých stupňov (typicky 5 – 15 oC). Teplotu sklovitého prechodu potom stanovíme

lineárnou extrapoláciou ako priesečník dvoch priamok.

To, akým spôsobom sa tavenina dostane do tuhého stavu, závisí od štruktúry reťazca

polyméru a od rýchlosti ochladzovania.


52

Ak má látka nesymetrické molekuly, nemôže dôjsť k pravidelnému usporiadaniu

a materiál nekryštalizuje. Vznikne amorfná tuhá fáza za každých podmienok. Na druhej

strane, aj pri maximálnej pravidelnosti štruktúry polyméru prakticky nikdy nevykryštalizuje

celý objem podchladenej taveniny. Po znížení teploty na teplotu kryštalizácie sa polymérne

segmenty začnú usporadúvať do kryštalickej mriežky. Segmenty, ktoré sú už zabudované do

kryštalickej mriežky, majú presne definovanú polohy a ich translačný pohyb sa zastaví.

Súčasne sa ale znižuje pohyblivosť susedných segmentov, ktoré teda kryštalizujú pomalšie,

prípadne ani nemajú možnosť usporiadať sa do pravidelného tvaru a vytvoria amorfnú fázu,

t.j. zamrznutú tuhú, ale nekryštalickú štruktúru.

Z tohto pohľadu je zaujímavá superpozícia rýchlosti kryštalizácie a pohyblivosti

segmentov s klesajúcou teplotou kryštalizácie. Čím je teplota kryštalizácie nižšia, tým je

väčšia hnacia sila, ktorá núti segmenty usporiadať sa do kryštalickej mriežky. Súčasne ale

rastie viskozita podchladenej taveniny a klesá pohyblivosť segmentov. Preto závislosť

rýchlosti kryštalizácie od Tm ide cez maximum, keď pri malom podchladení je hnacia sila

kryštalizácie malá, zatiaľ čo pri vysokom podchladení je síce hnacia sila veľká, ale

pohyblivosť segmentov, umožňujúca ich usporiadanie, je nízka.

Napokon v oblasti Tg sa translačný pohyb segmentov prakticky zastaví a

časť materiálu, ktorá nestihla vykryštalizovať, sa transformuje do sklovitého stavu. Z tejto

úvahy súčasne vyplýva, že pri dostatočne vysokej rýchlosti kryštalizácie možno teoreticky

každú látku získať vo forme amorfného skla.

Ďalším dôsledkom tohto procesu je, že pokiaľ ochladzovanie neprebieha nekonečne

pomaly, v materiáli vždy existujú oblasti, ktoré nie sú termodynamicky v rovnováhe. Vedie

to k fenoménu tzv. sekundárnej kryštalizácie, kedy po zvýšení teploty do oblasti (hlboko pod

teplotou topenia) sa môže zvýšiť pohyblivosť segmentov natoľko, že umožní dodatočnú

kryštalizáciu.

Ako už bolo povedané vyššie, teplotu sklovitého prechodu Tg definujeme ako teplotu,

pri ktorej sa na závislosti merného objemu od teploty objaví ohyb resp. zlom. V tej istej

teplotnej oblasti sa zjavuje i zlom teplotných závislostí termodynamických funkcií, ako

entalpia a entropia. Prvá derivácia základných termodynamických funkcií, teplotný koeficient

objemu dV/dT a teplotný koeficient entalpie dH/dT = Cp (tepelná kapacita) sa mení skokom.

Taktiež sa menia skokom teplotné koeficienty transportných vlastností, ako viskozita, difúzia

plynov a relaxácia napätia, pričom modul pružnosti stúpne o niekoľko poriadkov. Absorpcia

mechanickej a elektrickej energie dosahuje maximum.


53

Pre stanovenie teploty sklovitého prechodu existuje viacero metód, ktoré využívajú práve

zmeny vlastností v oblasti Tg. Tg možno stanoviť napríklad dilatometricky, sledovaním

teplotnej rozťažnosti. Inou bežne používanou metódou je kalorimetria, najmä diferenciálna

snímacia kalorimetria DSC. Dôležitou metódou je i dynamicko-mechanická analýza, ktorou

sa pri postupnom zvyšovaní teploty priamo detegujú uvoľnenia určitých pohybov, pričom

najvýraznejšia odozva sa pozoruje pri uvoľneni pohybov segmentov hlavného reťazca, ktoré

zodpovedajú teplote Tg.

Metódy stanovenia Tg súvisia s dôležitým parametrom, tzv. voľným objemom.

Koncepciu voľného objemu si vysvetlíme nasledovnou úvahou. V tuhom telese molekuly nie

sú celkom tesne poukladané, sú medzi nimi voľné vakancie. Tieto súvisia so zamrznutím

resp. obmedzením pohybu v reálnom čase v určitom stave. Pri zvyšovaní teploty dochádza k

teplotnej objemovej expanzii. Pritom vlastný objem molekuly sa s teplotou takmer nemení a

prakticky sa mení len priestor medzi molekulami a súčasne sa zvyšuje pohyblivosť molekúl.

Podľa teórie Cohena a Turnbulla v kvapaline sústavne dochádza sústavne k redistribúcii

veľkosti vakancií, pričom molekula môže preskočiť len do toho priestoru. ktorý má aspoň

určitý minimálny objem. Preskoková frekvencia je určovaná nie energetickými faktormi, ale

faktormi pravdepodobnostnými, pričom dôležitou veličinou je kritický objem.

Pravdepodobnosť, že určitá molekula preskočí na iné miesto je daná pravdepodobnobnosťou,

že v jej blízkosti sa vyskytuje dostatočne veľká vakancia.

Objemová teplotná rozťažnosť je spôsobená rastom voľného objemu. Pravdepodobnosť

možno vyjadriť veličinou f ako podielom priestoru obsadeného a neobsadeného. Závislosť f

od teploty je lineárna

f = f (T - T), 3.7

kde T a T je teplota systému a referenčná teplota a f je koeficient teplotnej rozťažnosti. Na

základe týchto predpokladov možno odvodiť vzťahy pre koeficient difúzie D v tvare

D = D exp (-1 / f (T - T) 3.8

alebo iné veličiny, napr. viskozitu η

η = η exp (-1 / f (T - T) 3.9

Alternatívou k pravdepodobnostným teóriám sú energetické teórie. Podľa týchto

preskok častice kvapaliny je možný len vtedy, ak má častica určitú nadbytočnú energiu, ktorá

jej umožní prekonať energetickú barieru. Teplotné závialosti sú dvojparametrové a majú tvar

Arrheniovej rovnice

D = D e-Ea/RT, 3.10


54

kde Ea možno považovať za aktivačnú energiu, resp. teplotný koeficient daného procesu.

Pritom si treba uvedomiť, že celková energia systému závisí od teploty, ale energia každej

jednotlivej častice (resp. pohybujúceho sa segmentu v prípade polyméru) nie je totožná s

ostatnými časticami a nie je ani konštantná. Častice (segmenty) do seba narážajú a

odovzdávajú si energiu, pričom náhodne môže niektorá častica nadobudnúť energiu,

postačujúcu na rozrazenie energetickej bariéry vytvorenej okolitými časticami. V takom

prípade dôjde k preskupeniu – translačnému pohybu.

Pri teplote T = 0 K koeficient difúzie klesne na nulu a viskozita nadobudne nekonečnú

hodnotu.

V r. 1921 Vogel, Fulcher a Tamman odvodili pri štúdiu viskozity anorganických skiel

dôležitú empirickú rovnicu, umožňujúcu priamy výpočet viskozity taveniny η pre akúkoľvek

teplotu T, ak sa experimentálne stanovila konštanta B a viskozita pri referenčnej teplote

T

log = log + B / (T - T) 3.11

Porovnaním vzťahov vidno, že

f = log e / B. 3.12

Druhú kľúčovú semiempirickú rovnicu navrhli Williams - Landel – Ferry v r. 1953,

keď za referenčnú teplotu zvolili Tg a g je viskozita pri Tg. Táto rovnica má tvar

log / g = -c1g (T - Tg) / c2g + T - Tg 3.13

a je natoľko významná, že je známa pod označením rovnica WLF. Podľa WLF rovnice

viskozitu η pri teplote T možno vypočítať na základe známej viskozity g pri teplote Tg, keď

c1g a c2g sú empirické parametre.

WLF rovnicu možno odvodiť z Vogelovej rovnice tak, že za základné parametre

dosadíme súradnice referenčného bodu g a Tg. Po substitúcii

c1g = B / Tg - T 3.14

a

c2g = Tg - T 3.15

dostaneme WLF rovnicu. V tomto prípade sú konštanty c1g a c2g takmer skutočne nezávislé

od teploty, ak sa ako referenčná teplota použije Tg. Univerzálne (priemerné) hodnoty

konštánt sú c1g = 17,4 a c2g = 52 K.

Pritom na základe predchádzajúcich vzťahov možno vyjadriť

f = 1/2,3 c1gc2g,


55

3.16

fg = 1/2,3c1g

Pri aplikácii univerzálnych hodnôt konštánt c1g a c2g dostaneme univerzálne hodnoty

f = 4,8 x 10-4 K a fg = 0,025. Pritom sa pozoruje dobrá zhoda f univerzálnej s

experimentálnymi hodnotami skutočne nameranými pre mnohé polyméry. Súčasne z

definície fg vyplýva, že pri Tg je voľný objem 2,5 % z celkového objemu telesa, čiže 97,5 %

je obsadených hmotou molekúl. Pri zvýšení teploty o 100 oC nad Tg nadobudne parameter fg

hodnotu 0,075, čiže voľný objem sa zvýši na 7,5 %.

Tento výsledok možno interpretovať i tak, že pod Tg je voľný objem prakticky

konštantný. V takom prípade meraná tepelná rozťažnosť materiálu v sklovitom stave bude

len mierou vlastnej rozťažnosti molekúl. Na základe úvah Simhu a Boyera možno objem

molekúl Vm pri absolútnej nule získať extrapoláciou z oblasti kvapaliny.

Ako už bolo povedané vyššie, Tg je formálne prechodom 2. poriadku. Z

termodynamického hľadiska však toto tvrdenie nie je celkom presné, pretože merania

termodynamických veličín v okolí Tg nie sú rovnovážne, ale úlohu hrá časový faktor

(rýchlosť zmeny teploty) a história vzorky (spôsob prípravy). Tg z tohto hľadiska nemožno

považovať za termodynamicky definovaný prechod. Dôsledkom je fakt, že experimentálne

stanovenie Tg konkrétneho polyméru závisí od použitej metódy a do istej miery od

podmienok experimentu. Preto sa v odbornej literatúre uvádzané hodnoty Tg líšia, niekedy i o

viac desiatok oC.

Termodynamická teória, ktorí prezentovali Gibbs a Di Marzio, hovorí, že rovnovážny

prechod skutočne existuje a leží v okolí Vogelovej teploty T. Prakticky sú však tieto

merania nerealizovateľné, pretože by vyžadovali nekonečne pomalé zmeny teploty. Pomerne

spoľahlivý obraz môžeme získať použitím mriežkového modelu, pomocou ktorého sa

vypočíta konformačná energia sústavy a konformačná entropia. S klesajúcou teplotou sa

zmenšuje počet realizovateľných makrokonformácií, pričom pochopiteľne prevládajú

energeticky chudobnejšie konformácie. Pri limitnej teplote absolútnej nuly v dokonale

zamrznutom stave by všetky makrokonformácie boli trans, počet možných stavov by bol 1 a

konformačná entropia nulová. Reálne sústavy zamrznú niekoľko desiatok stupňov nad touto

teplotou, keď je počet konformačných stavov malý a prechody zriedkavé.


56

3.2. Modely viskózne elastických materiálov

Začnime teraz problematiku viskóznych prostredí sledovať fenomenologicky. Pre

elastické prostredie platí, ako už vieme, Hookov zákon v symbolickom tvare

σ=Eε . 3.17

Newtonov zákon viskózneho tečenia môžeme napísať v tvare

σ = η ε’, 3.18

kde ε’ predstavuje rýchlosť deformácie.

Rovnica 3.18 nepopisuje deformácie spôsobujúce zmeny objemu pri deformácii prostredia,

ale popisuje len šmykové deformácie . Nič menej pri šírení sa elastických vĺn vo viskóznom

prostredí vznikajú za určitých podmienok aj deformácie objemu a z toho plynúci príspevok

k viskozite prostredia, nazývaný aj objemová viskozita η’.

Reálne prostredie, ako sme už povedali, má viskózne aj elastické vlastnosti. Nameranú

časovú závislosť šmykovej deformácie, tak ako je zobrazená na obrázku 3.6a, môžeme preto

rozložiť na tri zložky, a to pružnú, viskóznu a relaxačnú (obrázok 3.6b, c, d).

Predpokladajme, že napätie sa skladá z „pružného napätia“ σE a z „viskózneho napätia“

ση

'

ηE 'ηε+εE=σ+σ=σ 3.19

Táto rovnica sa nazýva aj Kelvinova rovnica.

Ak v čase t=0 na takéto prostredie pôsobíme pravouhlým impulzom mechanického napätia

T0, potom deformácia prostredia bude popísaná vzťahom

( )E

η=τ;e-1

E

σ=ε τ/t0

. 3.19


57

Obrázok 3.6. Experimentálna časová závislosť šmykovej deformácie (a). Rozklad

deformácie na pružnú (b), viskóznu (c) a relaxačnú zložku (d)

Za dostatočne dlhý čas sa teda v prostredí vytvorí časovo nezávislá konštantná

deformácia E

σ=ε

0

∞ a prostredie sa chová ako neviskózne. Reakcia prostredia na

priložené napätie nie je zrejme okamžitá, ale postupne dosiahne maximálnej hodnoty.

Podobne po prerušení pôsobenia napätia deformácia exponenciálne klesá k nule, pričom

relaxačný čas je určený vzťahom E

η=τ . Takýto typ deformácie nazývame oneskorená

deformácia.

Iný prístup k popisu viskózne elastických prostredí použil Maxwell, keď

predpokladal, že v prostredí pôsobia dva druhy deformácií, a to elastická a viskózna.

ε=εE+εη . 3.20

Po zderivovaní 3.6 podľa času a dosadení zo vzťahov 3.2 a 3.3 dostávame

η

σ+

E

σ=ε

'

'. 3.21

Z tejto rovnice vidíme, že deformácia sa skladá z deformácie úmernej napätiu a

z viskózneho tečenia.

Ak v čase t=0 začne v Maxwellovskom prostredí pôsobiť mechanické napätie

v tvare pravouhlého impulzu σ0, ktoré ostáva v čase nepremenné, potom riešenie rovnice

3.18 bude mať tvar


58

tη

σ+

E

σ=ε

00. 3.22

Rovnica 3.22 dobre popisuje vlastnosti mnohých vysokopolymérnych látok ako sú

napríklad kolofónia, asfalty a iné. Zo vzťahu 3.22 je vidieť, že ak je napäťový impulz

krátky, látka sa chová ako pružná (druhý člen v rovnici je zanedbateľný). Tečenie

materiálu nastáva len pri dostatočnej dĺžke pôsobenia napäťového impulzu.

Nech teraz v čase t=0 začne v takomto prostredí pôsobiť pravouhlý deformačný

impulz σ0, ktorý ostáva v čase nepremenný, potom napätie bude popísané vzťahom .

E

η=τ;eεE=σ τ/t-

0 . 3.23

Proces exponenciálneho poklesu mechanického napätia v závislosti od času nazývame

relaxáciou napätia a príslušný koeficient τ nazývame relaxačným časom.

Časové závislosti sily a deformácie pre obidva modely sú na obrázku 3.7

Obrázok 3.7. Časové závislosti sily a deformácie pre obidva modely(vľavo Kelvinov

model, vpravo Maxwellov model, symbol S korešponduje ε)

Stručne si teraz spomenieme mechanické modely vyššie uvedených prostredí, ktoré

umožňujú modelovanie reálnych materiálov. Pružné prostredie je v týchto modeloch

reprezentované pružinou a viskózne valcom pohybujúcim sa


59

piestom vo viskóznej kvapaline(obrázok 3.8 a, b). Toto sú základné prvky.

Obrázok 3.8. Model pružného prostredia (a), model viskózneho prostredia (b)

Kelvinovské prostredie sa dá modelovať paralelne spojenými základnými prvkami

s tým, že ich spojnica AB je nepohyblivá a spojnica CD sa pohybuje po vodítkach, ktoré

zabránia deformácii systému (obrázok 3.9). Vtedy zväčšenie oboch základných elementov

bude rovnaké a celková sila pôsobiaca na model bude rovná súčtu síl pôsobiacich na oba

elementy. Tak sa skladajú aj pružné a viskózne napätia v Kelvinovskom prostredí.

Z modelu vidíme, že okamžitá deformácia takéhoto modelu by vyžadovala nekonečne

veľkú silu, čo nie je možné. Pri postupnej deformácii konštantným napätím sa postupne

dosiahne konštantná hodnota deformácie.

Obrázok 3.9. Model Kelvinovského prostredia


60

Maxwellovské prostredie sa dá modelovať sériovým spojením základných prvkov tak,

ako je to vidieť na obrázku 3.10. V takom prípade tá istá sila pôsobí na oba elementy a ich

predĺženia sa skladajú.

Obrázok 3.10. Model Maxwellovho prostredia

Reálne viskózne elastické prostredia sa však správajú zložitejšie. Jedným z modelov je tzv.

Knezerov model zobrazený na obrázky 3.11.

Na obrázku 3.12 je zobrazená toková krivka gumárenskej zmesi, ktorá je kvalitatívne veľmi

podobná Knezerovmu modelu.

Na základe získaných poznatkov si teraz určíme komplexný Youngov modul, ktorý

je popísaný schematicky na obrázku 3.13 a z ktorého plynie, že viskózne vlastnosti

viskozne elastického modelu sú popísané imaginárnou časťou modulu a elastické

reálnou časťou modulu.

Obrázok 3.11. Knezerov model (vľavo schéma, vpravo časový priebeh sily a deformácie)


61

.

Obrázok 3.12. Toková krivka gumárenskej zmesi

Obrázok 3.13. Komplexný Youngov modul

Modul a aj viskozita sú teda frekvenčne závislé, čo je špecifikum viskózne

elastických materiálov.

Operátor efektívneho modulu bude mať v Maxwellovskom prostredí tvar

dt

dτ+1

dt

dη

=E . 3.24

Pre harmonický signál dostávame

i1

iE .

Ak rozložíme výraz pre efektívny modul na reálnu a imaginárnu časť, dostávame

2222

22

1i

1EE

. 3.25

Veličina


62

E

1

EERe

22

22

3.26

sa nazýva dynamický modul.

221EIm

1 3.27

sa nazýva dynamická viskozita.

Zo vzťahov 3.26 a 3.27 vidieť, že pri nízkych frekvenciách (ωτ<<1) sa Maxwellovské

prostredie chová ako viskózna kvapalina, lebo dynamický modul je veľmi malý a

dynamická viskozita je frekvenčne nezávislá. S rastom frekvencie dynamická viskozita

začína klesať, dynamický modul rastie a pre veľmi vysoké frekvencie (ωτ>>1) sa

Maxwellovské prostredie chová ako tuhá látka. Tento proces sa nazýva relaxáciou

viskozity.

V prípade Kelvinovského prostredia dynamický modul a dynamická viskozita sú

frekvenčne nezávislé.

3.3 Payneov efekt

Prídavok plniva do polymérnej matrice významne vplýva na priebehy jednotlivých

dynamických charakteristík v závislosti od zvyšujúceho sa stupňa dynamickej deformácie

a to s ohľadom na kvalitu interakcií vytvorených medzi samotnými časticami plniva

a časticami plniva a polymérnou matricou. Kvalita týchto interakcií sa dá posúdiť meraním

dynamickomechanických vlastností pripravených kompozitov pri rôznych amplitúdach

dynamickej deformácie.

Hodnoty elastického modulu (E') pre neplnené vulkanizáty sa pri zvyšovaní stupňa

dynamickej deformácie významne nemenia, v prípade plnených vulkanizátov však dochádza

k poklesu modulu, pričom tento efekt je pre vulkanizáty s vyšším obsahom plniva výraznejší.

Tento jav nazývame Payneov efekt. Keďže pri vysokých deformáciách je rozdiel hodnôt

modulov pre neplnený resp. plnený vulkanizát malý a pri nízkych deformáciách relatívne

veľký, Payneov efekt je vztiahnutý hlavne, ak nie výlučne, k sieti vytvorenej časticami plniva

v polymérnej matrici. Polymér zachytený v takejto sieti stráca svoju identitu a správa sa ako

plnivo. So zvyšovaním podielu plniva v systéme dochádza k zvyšovaniu efektívneho objemu

plniva a teda aj modulu. Ak aplikujeme vyšší stupeň deformácie, nastáva rozpad siete

vytvorenej časticami plniva, sprevádzaný uvoľňovaním polyméru, ktorý bol pôvodne viazaný


63

na plnivo. Znižuje sa tým efektívny objem plniva (ktorý predstavuje v dynamickom procese

skutočný objem plniva zväčšený o objem naviazaného imobilizovaného polyméru), uvoľnený

polymér nadobúda späť svoje pôvodné vlastnosti a dochádza k poklesu elastického modulu.

Z toho vyplýva, že Payneov efekt je možné využiť na charakterizovanie siete tvorenej

plnivom, ktorá pochádza z interakcií plnivo-plnivo a plnivo-polymér.

V prípade stratového modulu (E''), podobne ako modulu elastického, sa pozoruje nárast

jeho hodnôt so zvyšujúcim sa stupňom plnenia polyméru v celej škále dynamických

deformácií. V závislosti od nárastu deformácie však nedochádza k monotónnemu poklesu

hodnôt, ako v prípade elastického modulu, ale pozoruje sa maximum pri určitej deformácii,

charakteristickej pre danú dvojicu polymér-plnivo. Predpokladá sa, že priebeh stratového

modulu je kontrolovaný zánikom a znovuvytvorením siete z častíc plniva. Z toho vyplýva,

že stratový modul je závislý od rýchlosti zániku a obnovy siete. Rýchlosť zániku a obnovy

siete vychádza zo samotného javu dynamickej deformácie. Pri veľkej deformácii je zánik

siete výrazný, pričom k jej spätnej obnove prakticky nedochádza. Ak je deformácia

dostatočne veľká na to, aby sa sieť pri danej frekvencii znovu neobnovila, vplyv siete na

stratový modul bude eliminovaný.

Podobne, ak je deformácia malá (alebo sieť je dostatočne pevná) na to, aby došlo k

zániku siete, stratový modul nebude závislý od danej deformácie, ale bude závisieť hlavne od

príspevku polymérnej matrice počas cyklickej dynamickej deformácie kompozitu.

Zmena každého z modulov (elastický a stratový) v závislosti od veľkosti dynamickej

deformácie vychádza z iného mechanizmu. Kým elastický modul závisí vo významnej miere

od prítomnosti fyzikálnej siete (jej postupného zániku pri zvyšovaní dynamickej

deformácie) tvorenej časticami plniva v polymérnej matrici, stratový modul je

ovplyvňovaný opakovaným procesom zániku a znovuvytvárania danej štruktúry pri

cyklickom namáhaní. Stratový faktor, ako ich pomer, bude teda odrážať kombináciu týchto

dvoch procesov. Pri zvyšovaní amplitúdy elastickej deformácie sa v prípade elastického

modulu pozoruje monotónny, i keď nie lineárny pokles, zatiaľ čo závislosť stratového

modulu prechádza cez maximum. Pri zvyšovaní amplitúdy dynamickej deformácie je preto

priebeh stratového faktora ako podielu stratového a elastického modulu v závislosti od stupňa

dynamickej deformácie pre plnené polyméry je oveľa viac ovplyvnený zmenami hodnôt

stratového modulu. V závislosti od nárastu deformácie sa pozoruje nárast hodnôt tan , ktoré

prechádzajú maximom s následným prudkým poklesom pri väčších amplitúdach deformácie.


64

Spôsob tvorby fyzikálnej siete závisí od viacerých faktorov, predovšetkým od typu

plniva a parametrov jeho povrchu a tvaru. V prípade plniva, ktoré má vyššiu afinitu k

uhľovodíkovému polyméru, sa tvorba siete dá popísať mechanizmom vzájomného

prestúpenia polymérnych obalov plnív.

Interakciou polymér- plnivo dochádza k adsorpcii polymérnych reťazcov na povrch

plniva, čím sa obmedzí pohyblivosť segmentov polyméru. Výsledkom je vytvorenie

polymérneho obalu na povrchu plniva, kde sa zvýši viskozita a modul polyméru. Veľmi

vysoký modul v blízkosti povrchu častice plniva v polymérnom obale bude s narastajúcou

vzdialenosťou od povrchu plniva klesať, až pri určitej vzdialenosti bude taký istý, ako modul

pre polymérnu matricu. Ak sú dve alebo viac častíc plniva alebo agregáty k sebe dostatočne

blízko, vytvoria aglomerát mechanizmom vzájomného prestúpenia polymérnych obalov

častíc plniva. Sieť vytvorená takýmto mechanizmom bude menej rigidná ako sieť vytvorená

priamym kontaktom medzi agregátmi. Takýto typ siete môže začať zanikať už pri relatívne

malých deformáciách.

V prípade siete tvorenej priamym kontaktom agregátov spôsobuje vyššiu stratu energie

proces opakovaného zániku a následnej obnovy siete. To poukazuje na to, že pri vysokých

teplotách je vnútorné trenie medzi agregátmi dominantným mechanizmom. Pri znižovaní

teploty sa polymér dostane do oblasti skleného prechodu, kde hlavný podiel na stratách

vkladanej mechanickej energie má polymérna matrica .

Ak je sieť tvorená vzájomným prestupením obalov častíc, mechanizmus príspevku k

stratám energie je odlišný ako pre sieť popísanú vyššie. Pri vyšších teplotách je polymérna

matrica v kaučukovitom stave, ale polymér adsorbovaný na povrch plniva je vo fáze

prechodovej. To vedie k tomu, že obal môže absorbovať viac energie. So zvyšujúcou sa

teplotou klesá hrúbka obalu, čím sa zvýši mobilita reťazcov, čo vedie k nižšej hysterézii.

Spätná reaglomerácia plniva počas cyklickej dynamickej deformácie prebieha do vyššieho

stupňa. Ak teplota klesá, podiel polyméru zahrnutého do obalu častice plniva narastá,

pohyblivosť segmentov sa zmenší a podiel strát energie v obale sa zvýši vzhľadom na straty

energie v polymérnej matrici. Ak je teplota nízka natoľko, že polymér v obale je v sklovitom

stave ale polymérna matrica stále v kaučukovitom stave prípadne v prechodovej fáze,

efektívny objemový zlomok plniva sa podstatne zvýši. Plnivo má silný stužujúci efekt a

polymér v obale, tak ako polymér zachytený v aglomerátoch neprispieva k stratám energie v

danom systéme.


65

Pre daný systém polymér - plnivo, majú oba typy mechanizmov (spôsob priameho

kontaktu a vzájomné prestúpenie polymérnych obalov častíc) dôležitú úlohu pri tvorbe siete z

častíc plniva. Avšak vzhľadom na vlastnosti polyméru a charakter povrchu plniva, ktoré

určujú interakcie polymér - plnivo a plnivo- plnivo sa môže jeden z mechanizmov

prejavovať v podstatne väčšej miere.

Najvýraznejší vplyv na zmenu dynamických vlastností plnených polymérov má

morfológia častíc plniva, konkrétne veľkosť častíc alebo ich špecifický povrch a štruktúra

častíc. S rastúcim špecifickým povrchom sadzí pri konštantnom plnení sa pozoruje

výraznejší pokles elastického modulu so zvyšujúcim sa stupňom dynamickej deformácie.

Nárast v Payneovom efekte naznačuje veľkú schopnosť aglomerácie malých častíc

(agregátov) sadzí v polymérnej matrici.

Z týchto úvah vyplýva, že merania Payneho efektu môžu významne prispieť

k charakterizácii interakcií medzi zložkami plneného vulkanizátu v dynamických

podmienkach.

Payneov efekt budeme sledovať na priebehoch dynamických charakteristík polymérov s

rôznym obsahom plniva v závislosti od stupňa dynamickej deformácie.

Porovnáme dva typy elastomérnej matrice (EPDM, SBR) a jedna termoplastická

matrica (LDPE). Ako plnivá sa použili sadze a rôzne typy SiO2. Všetky merania sa vzťhujú

na teplotu 130°C, aby sa umožnilo dosiahnutie dostatočne vysokej deformácie, ktorá je

potrebná na ovplyvnenie fyzikálnej siete. Pri nižších teplotách je polymérna matrica príliš

tuhá, pričom testovací prístroj nie je schopný vyvinúť silu, potrebnú na dosiahnutie väčšej

amplitúdy dynamickej deformácie, teda sa nedosiahne deformácia materiálu potrebná na

výrazný Payneov efekt. Tento prípad sa demonštruje napr. na závislosti elastického modulu

na obrázku 3.14, keď sa nepodarilo dosiahnuť vyššiu dynamickú deformáciu ako 8-10%.

Pri testovaní kompozitov s termoplastickou matricou je nevyhnutné merania uskutočniť

nad teplotou topenia polyetylénu, aby sa eliminoval vplyv kryštalinity, ako hlavného

stužujúceho prvku. Takýmto spôsobom na Payneov efekt vplýva len vytváranie a zánik

fyzikálnej siete, tvorenej časticami plniva, podobne ako pri elastoméroch. Samozrejme, pri

meraniach nad teplotou topenia je potrebné pracovať so zosieťovanou matricou a takto

zabezpečiť elastický charakter materiálu bez výraznej trvalej nevratnej deformácie.


66

1 10 1008

9

10

11

12

13

14E

', M

Pa

stupeň dynamickej deformácie, %

Obrázok 3.14. Závislosť modulu od stupňa dynamickej deformácie pre EPDM/40 hm.%

SA(109) pri teplote 70°C a frekvencii 1 Hz

Prídavok plniva do polymérnej matrice vo všeobecnosti vplýva na zvýšenie hodnôt

elastického modulu, čo je spôsobené charakterom plniva, ktoré sa správa ako Hookovské

teleso. Porovnaním hodnôt modulov pre danú teplotu, frekvenciu, amplitúdu deformácie a

zvolenú dvojicu polymérna matrica - plnivo zistíme, že so stupňom plnenia hodnoty modulu

rastú (obrázok 3.15).

Na obrázku 3.16 je porovnanie priebehov modulov pre kaučuk neplnený, resp. plnený

sadzami. Pre neplnený kaučuk sa hodnota modulu so zvyšujúcim sa stupňom deformácie

výrazne nemení, pričom jeho hodnota je približne 3 MPa. Pre kaučuk s obsahom 15 hm.%

sadzí sa pozoruje mierny pokles modulu pri dynamickej deformácii 10% a vyššej. Hodnoty

modulu pre túto vzorku sa pohybujú nad úrovňou 4 MPa. V prípade vzorky s 35 hm.% sadzí

sa v danej škále deformácií pozoruje výrazný pokles modulu, a to zo 7,3 MPa pri deformácii

0,7% na 4,5 MPa pri deformácii 20%. Pokles modulu v závislosti od deformácie je

spôsobený postupným zánikom siete, ktorá bola vytvorená z častíc plniva, teda dochádza k

zániku interakcií medzi agregátmi sadzí (rozpad aglomerátov) a taktiež medzi časticami

plniva a matricou. Pre tento systém je typické, že k poklesu modulu dochádza už pri nízkych

deformáciách a jeho pokles so zvyšujúcim sa stupňom dynamickej deformácie je viac-menej

monotónny. Tento jav sa dá popísať spôsobom tvorby siete pozostávajúcej z častíc plniva v


67

polymérnej matrici. V danom prípade pri dostatočne vysokej koncentrácii plniva dochádza

k vzájomnému prestúpeniu polymérnych obalov častíc (medzifáz).

So zvyšujúcim sa stupňom deformácie dochádza k uvoľňovaniu polymérnych reťazcov

z medzifázy, čím klesá jej hrúbka. Keďže vlastnosti medzifázy sa menia viac-menej plynule

od hodnôt pre plnivo po hodnoty typické pre polymérnu matricu, medzifáza prispieva k

vyššiemu modulu kompozitu, jej narušením dochádza k poklesu modulu. Pri danej frekvencii

a amplitúde deformácie pri cyklickej deformácii dôjde k opätovnej obnove siete vzájomným

prestúpením medzifáz len čiastočne, alebo vôbec nie. Miera narušenia fyzikálnej siete

a stupeň jej obnovenia bude, samozrejme, závisieť od amplitúdy a v menšej miere i od

frekvencie. Rozdiel medzi hodnotami modulov pre plnený a neplnený kaučuk teda bude pri

určitom zjednodušení zodpovedať hustote fyzikálnej siete vytvorenej v polymérnej matrici.

Podobnú závislosť zmeny modulu od stupňa cyklickej dynamickej deformácie vykazuje

aj SBR plnený sadzami, ako vidno na obrázku 3.15. Takýto systém (kombinácia kaučuk

sadze) je v literatúre pomerne podrobne popísaný. Porovnaním údajov v literatúre bola

zistená dobrá zhoda s uvedenými výsledkami čo sa týka priebehu modulov v závislosti od

nárastu dynamickej deformácie a hodnôt modulov pri rovnakom obsahu plniva v polymérnej

matrici, čo poukazuje na správnosť meraní a umožňuje považovať ďalšie merania za

relevantné.

1 10 1000

2

4

6

8EPDM/sadze

0 hm.%

15 hm.%

35 hm.%

E', M

Pa


Obrázok 3.15. Závislosť modulu od stupňa dynamickej deformácie pre EPDM s rôznym

obsahom sadzí pri teplote 130°C a frekvencii 1 Hz


68

1 10 1000

2

4

6

8SBR/sadze

0 hm.%

20 hm.%

40 hm.%

E', M

Pa


Obrázok 3.16. Závislosť modulu od stupňa dynamickej deformácie pre SBR s rôznym

obsahom sadzí pri teplote 130°C a frekvencii 1 Hz

Na obrázkoch 3.17 a 3.18 sú vynesené závislosti modulov E a G pre behúňovú zmes.

Vidieť, že aj pri statickom meraní elastických modulov sa prejavuje Payneov efekt poklesom

hodnoty oboch modulov.

Obrázok 3.17. Závislosť Youngovho modulu od kolmo pôsobiaceho tlaku


69

Obrázok 3.18. Závislosť šmykového modulu od kolmo pôsobiaceho tlaku

Z praktického hľadiska sú pre zisťovanie viskózne elastických vlastností pneumatík

určené dva základné parametre, vyznačené na obrázku 3.19. Sú to adhézia za mokra a valivý

odpor. Adhézia za mokra, ktorá určuje adhéziu pneumatiky k vozovke a valivý odpor

ovplyvňuje spotrebu paliva.

Obrázok 3.19. Definícia adhézie za mokra a valivého odporu


70

Vidieť, že tzv. silika (SiO2) zvyšuje adhéziu za mokra a znižuje valivý odpor

pneumatiky v porovnaní so sadzovým plnivom. Na obrázku 3.20 je priebeh tgδ pre rôzne

kaučuky a plnivá.

Obrázok 3.20. Teplotná závislosť tgδ pre rôzne kaučuky a plnivá

Záverom sa budeme venovať problematike lomu polymérnych materiálov.

Lom nastáva pri veľkých deformačných napätiach a energia potrebná na jeho realizáciu sa dá

rozdeliť na tri časti:

1. Časť energie sa spotrebuje na porušenie hlavných a vedľajších väzieb a nového

voľného povrchu .

2. Najviac z tejto energie sa využije na procesy toku v blízkosti lomovej plochy.

3. Akumulovaná pružná energia sa v deformovanom telese absorbuje vo forme

zvukovej, a teda i tepelnej energie.

Lomový dej môžeme charakterizovať nasledovnými procesmi:

a. Existencia submikroskopických trhlín a vrubov.

b. Vytvorenie maxima napätia spolu s dokonale pružnou deformáciou. Tieto maximá

napätia vznikajú na koncoch mikroskopických trhlín vo vruboch s malým polomerom, na

nehomogenitách, prípadne na povrchu.

c. Vznik molekulárnych preskokov v namáhanej oblasti, ktoré umožňujú pokles

kritických napätí a zahladzovanie mikroskopických trhlín.


71

d. Vznik nového povrchu, pričom sa trhajú molekuly, ale aj vedľajšie väzby.

e. Zotrvačná hmotnosť v blízkosti namáhaného miesta zamedzuje šíreniu sa veľkých

napätí na väčšie vzdialenosti.

f. Premena časti pružnej energie v mieste lomu na elastické vlny, šíriace sa rýchlosťou

zvuku, ktoré podporujú šírenie sa lomu.

g. Vznik húževnatých (tiež deformačných) lomov v amorfných oblastiach a krehkých

lomov v kryštalických oblastiach. Rozlišujeme sklzy v smere šmykových napätí od trhlín,

ktoré sú kolmé k smeru pôsobiaceho napätia.

V prvom prípade dôjde k toku v blízkosti lomovej plochy, kde je možné pozorovať

vznik charakteristických útvarov typických pre húževnatý lom. V prípade krehkého lomu sa

žiaden tok nevyskytuje. Pre druh lomu je charakteristická rýchlosť deformácie a možnosť

zacelenia molekulárnych trhlín.

Pri lomových skúškach hovoríme o tzv. rázovej húževnatosti. Rázová húževnatosť je

definovaná ako práca potrebná na prerazenie skúšobného telesa prepočítaná na jednotku

plochy. Ak pri meraní rázovej húževnatosti sa vytvorením vrubov zamedzí vzniku pružného

napätia vo veľkej oblasti materiálu a vo vrube vzniká vysoká akumulácia napätia, potom

hovoríme o vrubovej húževnatosti.

Pevnosť materiálu závisí aj na teplote a dĺžke skúšky. Dlhodobé skúšky dávajú nižšie

hodnoty pevnosti materiálu. Pri opakovaných skúškach dochádza k únavovým lomom.

Zvýšenie pevnosti materiálu môžeme dosiahnuť napríklad plnením, dĺžením, pridaním

zmäkčovadiel, čím sa teplota zoskelnatenia posúva k nižším teplotám.

Ak maximálne napätie prekročí molekulárnu pevnosť, trhlina postupuje. Teória vrubov

vysvetľuje nižšie namerané hodnoty pevnosti len čiastočne.

Hlavnou príčinou týchto rozdielov je vplyv štatistickej polohy molekúl na

nerovnomernom rozdelení napätí na jednotlivé väzby. Nedá sa hovoriť o žiadnych stredných

hodnotách napätí pre jednotlivé molekuly. Molekulárnymi preskokmi dochádza pred

samotným roztrhnutím k predĺženiu materiálu, čo spôsobuje jeho spevnenie. Rázová

húževnatosť ako funkcia teploty má u plastov výrazné maximum (pozri obrázok 3.21), ktoré

sa pri zvýšení rýchlosti rázu posúva k vyšším teplotám.


72

Správanie polymérnych materiálov pri trhacích skúškach sa líši od podobných javov

v anorganických sklách a kryštalických látkach, najmä pôsobením hlavných a vedľajších

väzieb. Záverom teda môžeme zhrnúť o lomoch nasledovné.

Pri nízkych teplotách nastáva pretrhnutie krehkým lomom vznikajúcim z náhodných

trhlín. S rastúcou teplotou alebo pozvoľnejším pôsobením napätia nastáva tok a reorientácia

molekúl, čo spotrebuje značnú časť energie rázu. Preto je rázová húževnatosť pri vyšších

rýchlostiach rázu a nízkych teplotách menšia.

Pri opracovávaní výrobkov z plastu je potrebné pracovať s vysokými reznými rýchlosťami,

aby sa zabránilo toku.

Poznámka:

Vo fyzike tuhých látok sa často hovorí o vnútornom trení, ktoré súvisí s pohybmi atómov a

molekúl látky vyvolanými vonkajším pôsobením (napríklad dislokačné tečenie kovov).

Problematika vnútorného trenia spojená so všeobecnými pohybmi molekúl sa však nedá

popisovať vyššie uvedenými vzťahmi platnými pre šmykové deformácie pri zanedbaní

objemovej deformácie.

Obrázok 3.21. Závislosť rázovej húževnatosti od teploty pre rôzne rýchlosti rázu

Zhrnutie pojmov kapitoly

Charakteristiky viskóznych a viskózne elastických prostredí, charakteristika tokov materiálov,

fyzikálne stavy polymérov, semiempirické rovnice skleného stavu, modely vikózne elastických

materiálov, komplexný Youngov modul, Payneov efekt, lomové vlastnosti polymérov.


73


1.Definujte Newtonovské kvapaliny.

2. Kvalitatívne popíšte tok materiálu z mikroskopického pohľadu.

3. Čo je to entropická pružnosť?

4. Opíšte podmienky skleného stavu.

5. Aké rovnice popisujú sklený prechod v polyméroch?

6. Vysvetlite Kelvinov model.

7. Vysvetlite Maxwellov model.

8. Vysvetlite Knezerov model.

9. Vysvetlite podstatu komplexného Youngovho modelu.

10. Vysvetlite Payneov jav.

11. Popíšte procesy pri lome polymérov.


74

4. Tepelné vlastnosti tuhých látok

Čas na štúdium: 4 hodiny


budete oboznámení s popisom kmitov atomov

naučíte sa vyjadriť tepelné kapacity pre rôzne modely

zoznámite sa s kvantovomechanickým popisom kmitov atómov

naučíte sa chápať vzťah medzi štruktúrou materiálu a jej matematickým

opisom

pochopíte fenomenologické vzťahy pre teplotnú a tepelnú vodivosť

Výklad

4.1. Knity kryštalickej mriežky

Štúdium tejto problematiky začneme

analýzovvzájomnéhopôsobeniamedzidvomiatomami. Prvý atom je fixovaný v počitku

súradníc a druhý sa pohybuje po osi x (obrázok 4.1).

Obrázok 4.1. Priebeh potenciálnej energie dvoch atómov

Potenciálnaenergia atomu sa dá rozvinut do Taylorovho radu v tvare

...d

d

6

1

d

d

2

1

d

d 3

03

32

02

2

00

000

RR

R

URR

R

URR

R

URURU

RRR

4.1


75

Pre 0RR

sa xRRU 0dd

0

druhú deriváciu v Taylorovom rozvoji označíme ako

kladné číslo β a tretiu deriváciu ako -2γ,

., 000 xRRRRU

Potom môžme vzťah 4.1 prepísať do tvaru

.3

312

21

0 xγxβUxU 4.2

Ďalej platí

.d

d 2xγxβx

UF 4.3

S ohľadom na fakt, že v tuhej látke pôsobia ako príťažlivé tak aj odpudivé sily, môžme

tento fakt kvalitatívne popísať vzťahom

.nm R

B

R

ARU 4.4

Kde exponent m reprezentuje odpudivé sily a n príťažlivé. Pre rovnovážnu polohu

atómov na obrázku 4.1 potom dostávame vzťah

.

1

0

nmnBmAR

4.5

Pristúpme teraz ku kvantitatívnym odhadom síl pôsobiacich medzi atómami. Za týmto

účelom skúmajme deformáciu molekuly na obrázku 4.2 pod vplyvom vonkajšej sily na

jednoduchom klasickom modeli kmitajúcich atómov.

Obrázok 4.2. Silové pôsobenie na atómy v molekule sa prejaví deformáciou Δa.

Pre frekvenciu kmitajúcich atómov platí vzťah, ktorý poznáme z kmitov harmonického

oscilátora v tvare


76

,2π

1

m

Kν

4.6

kde K je pružinová konštanta (pevnosť väzby) a m je hmotnosť. Hookov zákon môžme potom

vyjadriť pomocou obrázku 4.3 ak A je plocha.

Zrejme potom platia vzťahy

,1Δ

0 A

F

Ya

a 4.7

,ΔaKF 2

00

Δ1Δ

a

aK

Ya

a ,

odkiaľ môžeme vypočítať „pružinovú konštantu

.0YaK 4.8

Pre hliník, kde a0 sa rovná 2,86.10-10 m a Y(E) je rovné 7.1010 Pa

K=20N/m. Odpovedajúca frekvencia kmitov je 3,4.1012

Hz, čo sa rádovo zhoduje

s experimentálnymi údajmi (6,4.1012

Hz).

2

00

11Δ

a

F

YA

F

Ya

a .

Obrázok 4.3. Hookov zákon


77

Pre strednú hodnotu amplitúdy kmitov platí vzťah

.2

K

kTA 4.9

Po dosadení za príslušnékonštantydostávame

,A20,0m10.0,2N/m20

deg300.degJ10.38,1.22 11123

K

kTA

4.10

čo je hodnota o niečo väčšia ako sme vypočítali, ale rádovo sa zhoduje s realitou.

Poznámka

Vlastnosti jednotlivých typov väzieb sú uvedené v nasledovnej tabuľke

Zaoberajme sa ďalej zložitejším problémom, a to popisom kmitov atómov modelom

spriahnutých oscilátorov. Predpokladajme, že sila pôsobiaca na rovinu s, ktorá je spôsobená


78

výchylkou roviny s+p je úmerná rozdielu výchyliek us+p – u s . Pohubová rovnica bude mať

v takomto prípade tvar

p

spsps uuC

t

uM

2

2

d

d 4.11

Cp je silová (pružinová) závislá na smere namáhania.

Riešenie tejto diferenciálnej rovnice pre susedné roviny má tvar

.cos12 12 KaM

Cω 4.12

K je vlnový vektor. Riešenie 4.10 je graficky zobrazené na obrázku 4.4, kde sme využili

trigonometrických vzťahov

;sin4

21212 Ka

M

Cω .

2sin

4 2

1

1 Ka

M

Cω

Vidíme ,že pre hodnoty vlnového vektora K z oblasti tzv. prvej Brillouinovej zóny platí

.ππ

aK

a

4.13

V týchto hraničných bodoch je grupová rýchlosť vlny nulová (dotyčnica ku krivke v

maxime) a vlna sa správa ako stojatá(pozri obrázok4.5).

Obrázok 4.4. Grafické zobrazenie rovnice 4.10


79

Obrázok 4.5. Priebeh grupovej rýchlosti v prvej Brillouinovej zóne

V prípade, že kryštál je zložený z dvoch druhou atomov o hmotnostiach M1> M2budú mať

pohybové rovnice tvar

,2d

d12

2

1 ssss uvvC

t

uM

.2d

d12

2

2 ssss vuuC

t

vM

4.14

Graficky je riešenie rovnice 4.12 zobrazené na obrázku 4.6. Z obrázku je vidieť, že na hranici

Brillouinovej zóny existujú zakázané frekvencie.

Obrázok 4.6.Riešenie rovnice 4.12

Na obrázku 4.7 je zobrazené ako kmitajú atómy v optickej (dá sa vybudiť len optickými, teda

veľmi vysokými frekvenciami) a akustickej vetvy.


80

Obrázok 4.7.Kmity atómy v optickej a akustickej vetve

Okrem toho, že na hraniciach Brillouinovej zóny sú zakázané frekvencie sú elastické

vlny v kryštáloch tvorené fonónmi ako kvantami s energiou

,21 ωnE 4.15

4.2. Teplotná rozťažnosť

Rozvinieme si poznatkyz úvodu tejto kapitolya vyjadríme si silu a potenciálnu energiuv tvare

2

d

dxγxβ

x

UF

3

312

21 xγxβU 4.16

Potom pravdepodobnosť, že výchylka atómu z rovnovážnej polohy bude x sa dá na

základe poznatkov zo štatistickej fyziky ( pozri kapitolu 2) vyjadriť vzťahom

.3

1exp0

32/

0

02

Tk

xγAe

Tk

UAxf

Tkxβ 4.17

S ohľadom na fakt, že atóm musí existovať platí normovacia podmienka v tvare

.1d3

1d0

32/ 0

2

x

Tk

xγeAxxf

Tkxβ 4.18

Pre strednú hodnotu výchylky dostávame po úpravách vzťah

2

0

0

421

0

d3

eπ2

d 02

β

Tkγx

Tk

xγx

Tk

βxxfxx

Tkxβ

4.19

Pre koeficient teplotnej rozťažnosti potom po úpravách získame vzťah


81

,2

0

βa

kγ

aT

xα 4.20

kde a je medziatomová vzdialenosť a k je Boltzmannova konštanta.

Zo vzťahov 4.17 a 4.18 vidieť, že keby neexistoval anharmonizmus kmitov,

reprezentovaný koeficientom γ bola by teplotná rozťažnosť látok nulová.

4.3. Tepelná vodivosť

V tejto časti sa budeme venovať kvalitatívnemu prístupu k popisu tepelnej vodivosti.

Koeficient tepelnej vodivosti je pri vysokých teplotách nepriamo úmerný absolútnej teplote

a priamo úmerný volnej dráhe fonónu, ktorá je zas nepriamo úmerná koeficientu

anharmoničnosti Koeficient anharmoničnosti a aj koeficient tepelnej vodivosti sú tak

nepriamo úmerné γ2 a teda platí

,12Tγ

x

4.21

Celkový vzťah pre koeficient tepelnej vodivosti pri vysokých teplotách sa dá zapísať

v tvare

.konst28

7

0

3

Tγa

νMx 4.22

M je hmotnosť atomuv0 je rýchlosť zvuku a a je medziatomová vzdialenosť. Opäť vidíme, že

keby neexistoval anharmonizmus, tepelná vodivosť by bola nekonečne veľká.

Pozrime sa ale na problematiku tepelnej vodivosti z pohľadu fonónových interakcií.Pierls

ukázal, že z hľadiska tepelnej vodivosti materiálu nie sú dôležité procesy pre ktoré platí

,321 KKK 4.23

ale tzv. U-procesy(umklappen=skolopiť, preklopiť), v ktorých figuruje aj vktorGreciprokej

mriežky, čo je symbolicky zobrazené na obrázku 4.8.

,321 GKKK 4.24


82

Obrázok 4.8. vektorový diagram normálneho rozptylu (vľavo) a U-procees( vpravo)

4.4. Tepelné kapacity- klasický model

V tejto časti sa budeme zaoberať modelmi tepelnej kapacity. Stredná hodnota energie

klasického harmonického oscilátora modelujúceho tepelné kmity atómov mriežky s tromi

stupňami voľnosti sa dá v mriežke s N0(Avogadrovo číslo) atómami vyjadriť vzťahom

,33 0 RTkTNU

4.25

Merná tepelná kapacita za konštantného objemu je definovaná vzťahom

,γ

VT

Uc

4.26

a po dosadení dostávame Dulong Petitov zákon v tvare

.degkmolkcal97,53 Rcγ

4.27

Na obrázku 4.9 vidieť, že pri vysokých teplotách sa tepelné kapacity približujú k hodnote

určenej Dulong Petitovým zákonom, ale tento zákon nie je schopný vysvetliť teplotnú

závislosť mernej tepelnej kapacity.


83

Obrázok 4.9. Teplotná závislosť mernej tepelnej kapacity

4.5. Tepelné kapacity- Einsteinov model

Einstein predpokladal, že energia oscilátorov musí byť kvantovaná a dá sa vyjadriť vzťahom

,

1exp

kThv

hvE 4.28

kde podobným myšlienkovým postupom ako v predchádzajúcom prípade vyjadríme energiu

oscilátorov v tvare

1exp

33 0

0

kThv

hvNENU . 4.29

A následne vypočítame mernú tepelnú kapacitu za konštantného objemu v tvare

.1exp

exp3

2

2

kThv

kThv

kT

νhR

T

Uc

v

v 4.30

Einsteinov model zjavne popisuje teplotnú závislosť mernej tepelnej kapacity, ale Einstein

neuvažoval interakciu medzi jednotlivými oscilátormi a tak jej priebeh sa líši pri nízkych

teplotách od experimentálnych dát, ako je to vidieť na obrázku 4.10.


84

Obrázok 4.10. Teplotná závislosť mernej tepelnej kapacity podľa Einsteinovho modelu.

4.6. Tepelné kapacity- Debyeov model

Debye uvažoval o materiáli nie ako o súbore nezávislych oscilátorov, ale ako o kontinuu

v ktorom sa môžu šíriť dve priečne vlny a jedna pozdĺžna. Počet takýchto vĺn danom

frekvenčnom intervale je rovný

.d21

π4d 2

33νν

ννννn

tl

4.31

Merná tepelná kapacita za konštantného objemu má tvar

.

1exp

1

1exp

d49

0

33

Tθ

V

VTθT

θ

x

xx

θ

TR

T

Uc

4.32

kde

.k

νhθ m 4.33

je Debyeova teplota zlomu na teplotnej závislosti mernej tepelnej kapacity za konštantného

objemu ako to vidieť na obrázku 4.11.


85

Obrázok 4.11. Debyeova teplota

4.7. Tepelné kapacity- elektrónová merná tepelná kapacita

U kovov pristupuje k mriežkovému príspevku k mernej tepelnej kapacite aj príspevok

od elektrónového plynu, ktorý je úmerný absolútnej teplote a má tvar

.π2

1 2 Ru

kTc

F

Ve

4.34

Pri nízkych teplotách je tento príspevok dobre rozlíšiteľný od mriežkového príspevku, ktorý

je úmerný tretej mocnine absolútnej teploty.


Kmity atómov, kmity jednorozmerného reťazca s jedným a dvomi druhmi atómov,

pojem Brillouinovej zóny, optické a akustické módy, tepelná vodivosť a teplotná

rozťažnosť,fonóny, Klasický model mernej tepelnej kapacity, Einsteinov model mernej

tepelnej kapacity, Debyeov model mernej tepelnej kapacity, Debyeova teplota, merná

tepelná kapacita elektrónového plynu.


1.Vysvetlite klasický popis kmitov atómov.

2.Čo určuje Brillouinova zóna pri kmitoch atómov?

3.Vysvetlite pojem akustická a optická vetva.

4.Aká by bola teplotná rozťažnosť materiálov bez anharmonického člena?

5.Aká by bola tepelná vodivosť materiálov bez anharmonického člena?


86

6.Čo je to fonón?

7. Ako fonónové procesy ovplyvňujú tepelnú vodivosť?

8. Vysvetlite modely pre mernú tepelnú kapacitu?


87

5.Dielektrické vlastnosti tuhých látok



budete oboznámení s typmi polarizácie dielektrík v statickom

i premenlivom elektrickom poli

zoznámite sa s mikroštrukturálnym výkladom polarizácie

naučíte sa chápať vzťah medzi štruktúrou materiálu a optickými

vlastnosťami materiálov

pochopíte vzťahy medzi elektrickými a optickými vlastnosťami

zvládnete tenzorový popis optických javov

osvojíte si poznatky o rôznych typoch dielektrík

Výklad

5.1.Polarizácia dielektrika v statickom a striedavom elektrickom poli

V úvode si heslovite zopakujeme poznatky z elektrostatiky. Začneme s pojmom dipólu

a jeho interakciou s elektrickým polom.

Elektrický dipól je sústava dvoch rovnako veľkých nábojov opačného znamienka,

umiestnených veľmi blízko pri sebe (obrázek 5.1).

Dipólový moment je IQ=p

, 5.1

kde l je vzdialenosť nábojov a Q je elektrický náboj. Dielektrikum v elektrickom poli si

predstavujeme ako súbor dipólov.

Popri vonkajšom elektrickom poli, do ktorého sme vložili dielektrikum, nachádza sa v

jeho vnútri vždy od nuly rôzne vnútorné (lokálne, interné) elektrické pole. Tieto javy

nazývame dielektrickou polarizáciou (obrázok 5.2).Ak je v elektrickom poli kov, polarizácia

nenastáva. Tento jav je podstatou tzv. Faradayovej klietky (obrázok 5.3).

Venujme sa teraz analýze jednotlivých typov polarizácie.


88

Elektrónová polarizácia je jav kedy pod vplyvom vonkajšieho elektrického pola

dochádza k deformácii elektrónového obalu. Napríklad pri intenzite elektrického poľa

E=109Vm-1 zmena polohy elektrónov príp. iónov z rovnovážnej polohy neprevyšuje

vzdialenosť10-12-10-14m. Elektrónová polarizácia je teplotne nezávislá. Po odstránení

dielektrika z elektrického poľa sa systém nosičov nábojov vráti za veľmi krátky čas 10-12

s(obrázky 5.4 a 5.5).

Obrázok 5.1. Model elektrického dipólu.

Obrázok 5.2. Elektrické pole v dielektriku


89

Obrázok 5.3. Elektrické pole v kove

Obrázok 5.4. Atóm bez elektrického poľa

Popri procesoch polarizácie, ktoré sú spojené so vznikom indukovaného dipólového

momentu v látke, poznáme aj také procesy, ktoré súvisia s orientáciou už existujúcich

permanentných dipólových momentov. Ide o orientačnú polarizáciu.

Molekula H2O tvorí dipól, lebo ťažisko + náboja a ťažisko - náboja sú navzájom posunuté.

Poznáme aj také dielektriká, v ktorých sa v určitom intervale teplôt objavuje výrazná

závislosť ich relatívnej permitivity od teploty. Uvedená osobitosť je obyčajne spojená s

približovaním sa ich teploty k teplote fázového prechodu.


90

Elektrické pole mení výšku potenciálových bariér, čo vedie k presunu nosičov náboja do

energeticky výhodnejších polôh, a tým k nesymetrickému rozloženiu nábojov – vzniká

relaxačná polarizácia.

Takáto polarizácia je teplotne závislá a relaxačný čas je v intervale 10-10

-10-2

s a posun

častíc je v intervale 10-10

-10-11

.

Je charakteristická pre polyméry ale aj materiály s nedostatočne pevnou iontovou väzbou.

Obrázok 5.5. Atóm v elektrickom poli

V makroskopicky nehomogénnych dielektrikách sa stretávame s migračnou

polarizáciou, t. j. nahromadenie nosičov náboja na hraniciach nehomogenít.

V elektretoch sa vhodným tepelným spracovaním pri súčasnom pôsobení elektrického

poľa alebo svetla vytvára polarizačný náboj. Elektret vytvára vo svojom okolí permanentné

elektrické pole. V textúrach elektretov nie je stred symetrie, a preto sa vyznačujú aj

piezoelektrickými vlastnosťami.

V dielelktrikách, v ktorých sa nachádzajú veľké polárne skupiny, pri zmene intentzity

elektrického poľa dochádza k zmene ich usporiadania alebo zmene orientácie. Steny domén

vo feroelektrikách pritom migrujú na významné vzdialenosti.

Nutnou kryštalografickou vlastnosťou pyroelektrík je prítomnosť polárnej osi, pričom

v kryštáli nie je stret symetrie, takže ľuboboľné pyroelektrikum sa vyznačuje aj

piezoefektom.


91

Spontánna polarizácia pyroelektrika je spravidla kompenzovaná nábojmi

nachádzajúcimi sa na jeho povrchu. Pri jeho ohreve alebo ochladení dochádza k zmene

hustoty týchto nábojov.

V lineárnych pyroelektrikách sa veľkosť polarizácie mení iba so zmenou ich teploty.

Feroelektriká ako skupina nelineárnych pyroelektrík sa vyznačujú tým, že pri nich môžeme

zmeniť smer vektora spontánnej polarizácie priložením dostatočne silného elektrického poľa.

Preto sa vo feroelektrikách objavuje dielektická hysterézia pri sledovaní závislosti P od E.

Ďalej si zhrnieme z elektrostatiky známe fenomenologické vzťahy kvantifikujíce procesy

polarizácie.

p0S E+E=E

0

p

p ε

σ=E

5.1

Pε

1E=E

0

0S

-

S0Eεκ=P

Z mikroskopického pohľadu polarizáciu popisuje Clausiusova Mosottiho rovnica v tvare

0

e

r

r

ε3

αN=

2+ε

1-ε. 5.2

Pretože platí εμ=n

Dostávame CM rovnicu aj pre index lomu a vidíme, že optické vlastnosti materiálov sú

určené ich dielektrickými vlastnosťami a teda platí

0

e

2

2

ε3

αN=

2+n

1-n. 5.3

κ+1=εr

S0Eεκ=P

r

0

S ε

E=E

Pε

1=E

0

p

Pε

1E=E

0

0S

Pε

1E=E

0

0S

κ+1=ε r


92

Ep - polarizované pole (vytvorené polarizačným nábojom)

E0 - pole vo vákuu (bez látky)

ES - skutočné (výsledné) pole v látke

P je vektor polarizácie

κ je dielektrická susceptibilita

rε je tenzor dielektrckej permitivity

σ je merná elektrická konduktivita

Merné elektrické konduktivity súvisia s ich dielektrickými konštantami vzťahom

5.4

Doterajšie poznatky môžeme zhrnúť nasledovne:

Za makroskopické veličiny v statickom elektrickom poli považujeme relatívnu

permitivitu látky a dipólový moment jednotky objemu dielektrika.

V striedavom elektrickom poli sa medzi vektorom P a E objaví fázový posun, čo

vedie ku vzniku dielektrických strát.

Permitivita sa javí v tomto prípade ako komplexná veličina a je tiež makroskopickou

charakteristikou.

2

2

1

1

σ

ε=

σ

ε


93

Hodnoty permitivít

Vákuum1

Sklo 5-10

Drevo 2,5-8

Lieh 28,4

Voda 81

V striedavom elektrickom poli sa medzi vektorom P a E objaví fázový posun, čo vedie

ku vzniku dielektrických strát.

Permitivita sa javí v tomto prípade ako komplexná veličina a je tiež makroskopickou

charakteristikou.

Premenlivé elektrické napätie môžeme zapísať v komplexnom tvare ako

tωi

meU=U , 5.5

kde Um je maximálna hodnota napätia a ω kruhová frekvencia

D(t) sa mení tiež sínusovo s časom, ale fázovo sa oneskoruje za E(t) o určitý uhol δ. Toto

oneskorenie, ako sme už naznačili vyššie, je spôsobené najmä tým, že v dôsledku zotrvačnosti

a vzájomnej interakcie častíc sa stacionárna hodnota P(E) ustanovuje s určitým oneskorením.

Merné dielektrické straty, ktoré sa prejavujú generovaním tepla určíme pomocou vzťahu (

nasledujúci vzťah vyjadruje aj podstatu mikrovlnného ohrevu)

2

r0 Eδωtgεε=dtdt

dD.E=p ∫ , 5.6

kde

tgδ=σ/ω ε0.εreál,

εimag=σ/ωε0,


94

εimag= ε0real .tgδ.

Frekvenčná závislosť jednotlivých zložiek je na obrázku 5.6.

Obrázok 5.6. Frekvenčná závislosti reálnej, imaginárnej zložky permitivity a tgδ

Na záver tejto rekapitulácie ešte uvádzame na nasledujúcom obrázku 5.7 frekvenčnú

závislost jednotlivých typov polarizácie.

Obrázok 5.7. Frekvenčná závislosť jednotlivých typov permitivít


95

5.2.Optické vlastnosti tuhých látok

Zo základného kurzu fyziky vieme, že svetlo sa v anizotropnom prostredí šíri inak ako v

prostredí izotropnom. Napríklad pri šírení sa svetla v kryštáli CaCO3 dochádza k takzvanému

dvojlomu, kedy sa dopadajúci lúč „štiepi“ na dva lúče so vzájomne ortogonálnou polarizáciou

(orientáciou kmitov vo vzťahu k smeru šírenia sa vlny).

Dvojlom však môže vznikať aj v izotropných prostrediach, ak v nich pôsobia „vonkajšie

sily“, a tak za prítomnosti vonkajšieho elektrického poľa vzniká elektrooptický jav alebo za

prítomnosti vonkajšieho mechanického napätia vzniká elastooptický jav, ktorý bude

predmetom našej pozornosti v tejto časti.

Vieme, že rýchlosť svetla v izotropnom prostredí je definovaná vzťahom

n

cc111v

rrrr00

, 5.7

kde r , r , c sú postupne relatívna permitivita, relatívna permeabilita prostredia a rýchlosť

svetla vo vákuu. Je tiež známe, že platí n = r lebo pre priehľadné materiály je 1=μr .

Takzvaná optická indikatrix definovaná pre izotropné prostredie vzťahom

1n

xxxx2

2

i

r

2

3

2

2

2

1

5.8

alebo skrátene v tvare 1xB 2

i , kde B = 1 / r predstavuje guľovú plochu.

Dielektrické vlastnosti anizotropných materiálov sú popísané piezooptickým tenzorom

ij alebo inverzným tenzorom B ij, ktorý tiež nazývame tenzorom optickej nepriepustnosti.

Optickú indikatrix môžeme vyjadriť aj v tvare B ij xi x j= 1.

Ak použijeme známeho vzťahu pre vektor elektrickej indukcie v tvare Di = 0 ij Ej

a riešime sústavu Maxwellových rovníc, zistíme, že v danom smere sa môžu vo vybraných

materiáloch šíriť dve elektromagnetické vlny s navzájom ortogonálnou polarizáciou, ktoré

majú rôzne rýchlosti šírenia sa. Smer a polarizáciu vĺn môžeme nájsť z optickej

indikatrix. Smery týchto dvoch vĺn reprezentované vektormi D (1)

a D (2)

nájdeme ako

priesečník rovníkovej roviny indikatrix s rovinou kolmou na vlnový vektor k a oba vektory

majú smer hlavných osí elipsy (indikatrix), čo je vidieť názorne na obrázku 5.8


96

Obrázok 5.8. Optická indikatrix a optický dvojlom

Z obrázku 5.8 vidieť, že indexy lomu pre obe vlny sú totožné s dĺžkou hlavných poloosí

indikatrix, ktorej rovnica má všeobecný tvar

1n

x

n

x

n

x2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1 , 5.9

kde ni = i. Podrobnejšia analýza problému symetrie optických vlastností ukazuje, že

kryštály môžeme rozdeliť do troch grúp.

U dvojosových kryštálov chýbajú symetrie vyššieho poriadku ako dva. Patria sem

kryštály z trojklonnej, monoklinickej a rombickej sústavy. Tri hlavné osi elipsoidu sú zároveň

osami druhého poriadku. V trojklonnom kryštáli orientácia optickej indikatrix nie je zviazaná

so symetriou kryštálu.

Elipsoid má dva kruhové ekvatoriálne rezy symetrické voči dvom hlavným osiam a

obsahujúce tretiu os. Normály k týmto rezom sa nazývajú optické osi. Ak sa vlny šíria v

smere optických osí, potom existuje len jeden index lomu, ktorého veľkosť je rovná polomeru

príslušnej kružnice. Pri šírení sa svetla v smere optických osí teda neexistuje dvojlom a

materiály sa správajú ako izotropné.

Pre jednoosové kryštály máme os symetrie Aa, kde n 2. Jedna z hlavných osí elipsoidu

je jeho rotačnou osou. Ak sa vlna šíri v smere tejto osi, potom jej čelo vlny presekáva

indikatrix v tvare kružnice, existuje len jeden index lomu a polarizácia je

ľubovoľná. Optická indikatrix jednoosových kryštálov je určená dvomi indexami lomu n0 a

ne , kde n0 je index lomu riadneho lúča a ne je index lomu mimoriadneho lúča, ktorý

zodpovedá smeru An.


97

Rovnica indikatrix pre jednoosový kryštál má tvar

1n

x

n

xx2

e

2

e

2

0

2

2

2

1

. 5.10

Ak platí, že n0 ne (napríklad pre kremeň), potom kryštál sa nazýva kladne jednoosový, ak

platí obrátená nerovnosť, teda n0 ne, potom kryštál sa nazýva záporne jednoosový. Ak sa

jednoosovým kryštálom šíria dve vlny so vzájomne ortogonálnou polarizáciou, potom index

lomu pre jednu z nich nezávisí od smeru šírenia sa vlny a má vždy hodnotu n0, zakiaľ pre

druhú vlnu sa index lomu mení v hraniciach od n0 do ne .

Pre izotropné materiály, ktoré majú niekoľko osí vyššieho poriadku ako dva, má optická

indikatrix niekoľko osí rotácie, to znamená, že degeneruje na guľovú plochu, a teda jednu

hodnotu indexu lomu. V kubických kryštáloch (4A3) alebo v skle a kvapalinách sa v

ľubovoľnom smere svetelná vlna šíri s tou istou rýchlosťou a polarizáciou.

Pri riešení praktických úloh z oblasti šírenia sa elektromagnetických vĺn je užitočné

zaviesť pojem plocha indexov lomu. Ako sme uviedli vyššie, rádius - vektor

indikatrix je úmerný indexu lomu vlny. Je potrebné si uvedomiť, že index lomu je nepriamo

úmerný rýchlosti šírenia sa vlny. Plocha indexov lomu je dvojplocha, pretože v každom smere

sa môžu šíriť dve vlny so vzájomne kolmými polarizáciami a rýchlosťami. Skladá sa z gule a

elipsoidu (obrázok 5.9), ktoré sa dotýkajú v dvoch bodoch na optickej osi. Dĺžka druhej

poloosi je rovná ne a polomer gule je rovný n0. Smer prenosu energie je kolmý na plochu

indexov lomu. U elipsoidu môže tento smer šírenia sa vlny zvierať s normálou k eliptickej osi

určitý uhol . Tento uhol je nulový v prípade šírenia sa vlny v smere hlavných osí.

Záverom pripomenieme ešte niektoré závažné skutočnosti. Z kvantitatívneho hľadiska

sú rozdiely medzi n0 a ne malé a optická indikatrix je

Obrázok 5.9. Rovina indexov lomu kladného jednoosého kryštálu, ne n0


98

veľmi blízka guľovej ploche (pre kryštál kremeňa n0 = 1.54 a ne = 1.55). Je známe, že

dielektrická permitivita je frekvenčne závislá a každému frekvenčnému pásmu odpovedá iná

indikatrix.

5.3.Optoelastické vlastnosti tuhých látok

Pri deformácii kryštálu pod vplyvom mechanického napätia môže dochádzať k

deformácii optickej indikatrix, a teda k zmenám podmienok šírenia sa elektromagnetických

vĺn v takomto deformovanom materiáli. Tohoto javu sa v technickej praxi využíva vo

fotoelasticimetrii na diagnostikovanie napäťových stavov v tuhých látkach. U

piezoelektrických materiálov sa navyše objavuje príspevok k zmene indikatrix spôsobený

elektrooptickým javom, o ktorom budeme hovoriť neskôr.

Budeme sa teraz zaoberať Pokkelsovým popisom statickej deformácie izotropného

nepiezoelektrického materiálu (napríklad kubické kryštály).

Tenzor optickej nepriepustnosti potom môžeme vyjadriť pomocou tenzora deformácie v

tvare

klijklij Sp=BΔ . 5.11

klS je tenzor deformácie a bezrozmerné komponenty pijkl tvoria tzv. fotoelastický tenzor.

Podobne môžeme tenzor optickej nepriepustnosti vyjadriť aj pomocou tenzora napätia v

tvare

klijklij TB , 5.12

kde tenzor ijkl sa nazýva piezooptickým tenzorom. Ak použijeme vzťah pre zovšeobecnený

Hookov zákon v tvare

mnklmnkl ScT , 5.13

dostávame vzťah medzi vyššie definovanými tenzormi v tvare

pijmn = ijkl cklmn 5.14


99

5.4.Elektrooptické vlastnosti tuhých látok

Zmeny optickej indikatrix môžu byť spôsobené i v dôsledku pôsobenia elektrického

poľa privedeného na kryštál. Takýto jav sa nazýva elektrooptický jav.

Tak ako v predchádzajúcom prípade môžeme tenzor optickej nepriepustnosti vyjadriť v

tvare

pijpij ErB , kde pE je intenzita elektrického poľa. 5.15

Podobne ako piezoelektrický tenzor, aj elektrooptický tenzor rijp je tenzorom tretieho poriadku

a je nulový pre stredovo symetrické kryštály.

V piezoelektrických materiáloch je šírenie sa elastickej vlny sprevádzané vznikom

pozdĺžneho elektrického poľa. Toto elektrické pole v dôsledku existencie optoelektrického

javu spôsobuje zmeny hodnôt dielektrickej permitivity, preto ako doplnok k už popísanému

priamemu elektrooptickému javu existuje v piezoelektrikách aj nepriamy elektrooptický jav.

Poznámka:

Okrem prirodzeného dvojlomu existuje aj umelý dvojlom vyvolaný vonkajšími poliami

pôsobiacimi na prostredie, kde prebieha štiepenie lúča. Ak je príčinou anizotropie prostredia

elektrické pole, potom hovoríme o Kerrovom jave. Napríklad, ak nitrobenzén umiestnime do

elektrického poľa, vzniká dvojlom. Relaxačný čas anizotropie je 10-9

-10-10

Hz. Kerrov jav

v tomto materiáli sa využíva na rýchlu moduláciu svetla.

Cottonov – Moutonov jav vzniká pri vložení vhodného prostredia do magnetického

poľa a je analogický Kerrovmu javu. Na jeho realizáciu však treba veľmi silné magnety

s hodnotou intenzity magnetického poľa .Am10H 17

5.4.Feroelektriká

Feroelektrické materiály predstavujú pomerne širokú triedu materiálov s veľmi

významnými hi-tech aplikáciami. Vo feroelektrickom stave sa ťažisko kladných nábojov v

kryštále nezhoduje s ťažiskom záporných nábojov.

Feroelektrický kryštál v normálnom dielektrickom stave obvykle nevykazuje značnú

hysteréziu, pokiaľ sa elektrické pole zväčšuje a obracia smer pomaly.


100

V niektorých kryštáloch nie je feroelektrický dipólový moment zmeniť ani elektrickým

polom o maximálnej použiteľnej intenzite, ktorá ešte nevedie k elektrickému prierazu

kryštálu.

Feroelektrický stav sa obvykle stráca nad určitou teplotou, označovanou ako teplota

fázového prechodu. Kryštal je potom v tzv. paraelektrickom stavu.

Tepelný pohyb smeruje ku zrušeniu feroelektrického usporiadnia. Niektoré kryštály

zostávajú feroelektrické až do teploty topenia, a nemají teda Curieův bod ( TC) (prechod

feroelektrikum-paraelektrikum).

Feroelektrické kryštály môžme rozdeliť do dvoch hlavných skupín.

1.Trieda feroelektrik s prechodom usporidanie-neusporidanie obsahuje kryštály s

vodíkovými väzbami tak ako sú uvedené na obrázku 5.10.

Obrázok 5.10. Feroelektrické kryštály typu usporiadanie-neusporiadanie

2. Trieda feroelektrík posuvného typu zahrňuje iontové kryštály so štruktúrou

príbuznou štrukture perovskitu a ilmenitu je zobrazená na obrázku 5.11.


101

Obrázok 5.11. Posun nábojov v kryštály Ba Ti O3.

Z hľadiska štruktúry feroelektický kryštál sa obvykle skladá z domén, tj. oblastí, v

ktorých má polarizácia rovnaký smer, zakiaľ smer polarizácie v susedných doménach je

rôzny. Pokiaľ sú objemy s opačne orientovanými polarizáciami rovnako veľké, kryštál sa ako

celok chová rovnako, ako keby nebol polarizovaný, čo ukazujú meranie náboja na

elektródach pokrývajúcich jeho konce. Reálny obraz feroelektrických domén je na obrázku

5.12.

Obrázok 5.12. Reálny vzhľad feroelektrických domén

Pri tzv. Curieho bode feroelektrická látka prechádza do paraelektrického stavu a na

obrázku 5.13 je uvedený vzťah pre Curieho zákon aj s jeho experimentálnou verifikáciou.


102

Permitivita Permitivita

Obrázok 5.13. Curieho zákon a jeho experimentálna verifikácia

5.5. Piezoelektrické materiály

Fyzikálna podstata tohto javu spočíva v tom, že pri mechanickom deformovaní

niektorých kryštálov vzniká na ich povrchu polarizačný náboj (priamy piezoelektrický jav)

alebo opačne, ak vhodne orientované platničky vyhotovené z takýchto kryštálov

umiestnime do vysokofrekvenčného poľa, tieto začnú mechanicky kmitať s jeho frekvenciou.

Tento jav objavili v roku 1880 Pierre a Jacques Curie. Pierre Curie sformuloval dva

princípy v súvislosti s objavom piezoelektriny.

Prvý princíp hovorí: Jav má všetky elementy symetrie, ktoré majú príčiny vedúce k

tomuto javu.

Druhý princíp hovorí: Asymetria javu je predurčená asymetriou jeho príčin.

Piezoelektrický jav je schematicky zobrazený na obrázku 5.14.


103

PiezoelektrickPiezoelektrickéé lláátkytky

Obrázok 5.14. Popis priameho piezoelektrického javu. a/ nedeformovaný krystal, b/

polarizácia pre deformácii v smere Y, c/ polarizácia při deformácii v smere X

Pre kremeň platí pre plošnú hustotu polarizačného náboja vzťah S

Fk , kde F je sila, S je

plocha doštičky a k = 2,3.10-12

C/N pre kremeň.

Poznáme priamy piezoelektrický jav, pri ktorom pod vplyvom mechanickej deformácie

dochádza k polarizácii kryštálu, pričom platí

jkijkjiji SeED ,

i

jk

ijkE

Te , 5.16

kde e sú piezoelektrické konštanty, S je deformácia a T je mechanické napätie, ε je

dielektrický tenzor.

Nepriamy piezoelektrický jav spočíva v tom, že jako na piezoelektrický krystal privedieme

elektrické pole tento sa mechanicky deformuje a platí

iijklm

E

jklmjk EeScT

i

jk

ijkE

Te . 5.11


104

Pretože platí Sjk = Skj, piezoelektrický tenzor eijk je symetrický podľa dvoch posledných

indexov, a teda platí eijk = eikj . Ako dôsledok spomínanej symetrie sa celkový počet

komponentov tenzora tretieho poriadku, akým je piezoelektrický tenzor, redukuje na 27.

Najznámejšie piezoelektrické materiály sú:

SiO2

LiNbO3

GaAs

ZnO

CdS

Se

Piezokeramika

Elektrety PVDF

5.6.Tekuté kryštály

Koncom minulého storočia (v roku 1888) boli po prvýkrát pripravené syntetické

kvapalné kryštály (Liguid Crystal, LC). Pri kolíske zrodu stáli Reinitzer, Lehmann, Ostwald a

ďalší. V prvých štádiách výskumu sa ich prekvapujúce vlastnosti dávali do súvisu so živou

prírodou.

Mezomorfný stav je intermediárny medzi tuhým a kvapalným skupenstvom a niekedy sa

považuje za štvrtý stav hmoty. Je charakterizovaný vysokým stupňom usporiadanosti

(poriadku) molekúl na veľkú vzdialenosť.

Mezomorfné zlúčeniny môžu mať v určitom teplotnom intervale viac stupňov prechodu

toho istého typu, alebo prechádzať prechodmi rôzneho typu. Také látky nazývame

polymezomorfné.

Zistilo sa, že zahrievaním priezračných kryštálov niektorých zlúčenín pri teplote topenia T1

dostaneme nepriesvitnú viskóznu kvapalinu alebo konzistenciu, ktorá má výnimočné

vlastnosti. Vlastnosti sú zachované až do teploty T2. Po jej prekročení sa látka stáva úplne

tekutou a izotropnou. V teplotnom intervale až sa svetlo v látke nešíri vo všetkých

smeroch rovnako, t.j. látka nemá rovnakú pohltivosť a rovnaký index lomu (optická

anizotropia).


105

Dnes pod pojem kvapalný kryštál zahŕňame tie látky, ktoré za presne definovaných

fyzikálnych podmienok majú niektoré vlastnosti kvapalín a iné, prislúchajúce konvenčným

kryštálom.

Látky prechádzajúce do mezofázy pod vplyvom teploty sa nazývajú termotropné.

Rovnaký efekt sa dosiahne rozpustením pôvodne kraštalickej látky vo vhodnom rozpúšťadle.

Látky tohto druhu sa nazývajú lyotropnými.

V roku 1968 sa prišlo na ďalšie fyzikálne skutočnosti, citlivosť na teplotu, tlak,

elektrické a magnetické pole, žiarenie, ktorá umožňuje transformovať najrozličnejšie

fyzikálne veličiny na svetelné signály. Súčiastky dovoľujú s extrémne malým aktivačným

príkonom získať zmenu farby, mutáciu priesvitnosti (transparencie) alebo pamäťové

vlastnosti.

Vzhľadom na chemické zloženie ide o organické zlúčeniny.

Kvapalné kryštály, sú zväčša aromatické, zriedkavo alifatické zlúčeniny a celkom

výnimočne iné látky. Aromatické zlúčeniny sú odvodené z benzénového uhľovodíkového

jadra, alifatické z necyklických jadier, najma metány.

Bolo konštatované, že zlúčeniny vyznačujúce sa lineárnosťou diméru alebo polyméru,

obsahujúce vo svojej konštitúcii dipolárne skupiny a polarizovateľné väzby, sú schopné tvoriť

mezomorfné stavy. Pri alifatickej kyseline je nutnou podmienkou výskyt dvoch dvojných

väzieb v molekule.

CentrCentráálnalna ((strednstrednáá) skupina X a koncov) skupina X a koncovéé

skupiny Y, Yskupiny Y, Y´́ rozhodujrozhodujúú o tom, o tom, čči i zlzlúúččeninaenina

bude bude aleboalebo nebude nebude mezomorfnmezomorfnáá..

Ak skupiny X, Y, Y´sú dipolárne, so silným dipólovým momentom, alebo

polarizovateľné, budú prejavovať náklonnosť k mezomorfizmu. Bočné skupiny, znižujúce

stupeň lineárnosti reťazca, paralyzujú schopnosť tvorenia mezofázy. Stredová (mostíková)

skupina X môže byť symetrická alebo nesymetrická.


106

Alifatické zlúčeniny s výrazne dlhým molekulovým reťazcom vytvárajú kvapalné

kryštály len zriedkavo. Zlúčeniny vyznačujúce sa permanentným dipólovým momentom, teda

lineárne a polarizovateľné molekuly, sú vhodné na tvorbu kvapalných kryštálov.

Po chemickej stránke týmto požiadavkám vyhovujú zlúčeniny s veľkým počtom

nenasýtených väzieb. Sú to predovšetkým aromatické jadrá, na ktoré sú napojené ďalšie

skupiny s násobnými väzbami.

Ako prvé si popíšeme smektické tekuté kryštály. Tento druh SLC sa vyznačuje

podlhovastými lineárnymi molekulami uloženými v rovnobežných vrstvách(vrstevnatá

textúra). Dlhšie osi molekúl majú vzhľadom na povrch kryštálu stálu orientáciu. Najčastejšie

sú na povrch kolmé.

Novšími výskumami sa objavili orientácie, pri ktorých osi molekúl zvierajú s povrchom

určitý uhol, závislý od teploty. Hrúbka vrstvy sa približne rovná dĺžke molekuly. Vo vnútri

vrstvy neexistuje ďaleký poriadok molekúl.

Orientácia osí v paralelných vrstvách je stála. Kryštál sa javí ako tuhý. Vyskytujú sa aj

iné textúry, o ktorých zatiaľ málo vieme, sú však intenzívne študované modernými

fyzikálnymi metódami.

Zistilo sa, že orientácie molekúl v jednotlivých vrstvách nemusia byť zhodné. Odlišnosť

sa môže vyskytnúť aj čo do usporiadania molekúl v tej istej vrstve. Konkrétne, smery dipólov

sú súhlasne alebo nesúhlasne rovnobežné. Možné typy štruktúry smektických kryštálov sú na

obrázku 5.15.

Obrázok 5.15. Typy smektických štruktúr

Smektiky majú najbližšie k tuhým látkam vďaka vysokej viskozite – vnútornému treniu

a vrstevnatej textúre. Pri bode tavenia dochádza k uvoľneniu laterálnych zväzkov medzi


107

jednotlivými vrstvami, ktoré v dôsledku nízkej vzájomnej adhézie môžu po sebe kĺzať bez

ujmy na usporiadanosti. Prechod kvapalný kryštál – izotropná kvapalina je charakterizovaný

porušením zoradenosti vo vrstve, spôsobený termickým procesom. Základnou požiadavkou

pre smektogénne zlúčeniny je vzájomná rovnobežnosť molekúl vo vrstve - zoradenosť.

Ďalším typom tekutých kryštálov sú nemantické tekuté kryštály. Molekuly nematických

kvapalných kryštálov – NLC nie sú usporiadané do konkrétnych vrstiev, ale ťažiská molekúl

sú rozdelené stochasticky ako v normálnej kvapaline. Ťažiská nie sú nehybné, ale posúvajú

sa chaoticky. Molekuly sú pretiahnuté-tyčinkovité a s dlhými osami vzájomne rovnobežné.

Rovnobežnosť zachovajú aj pri svojom pohybe, vyznačujúcom sa 4 stupňami voľnosti.

Molekuly vykonávajú translácie v smere osí a rotujú okolo dlhej osi (obrázok 5.16).

Obrázok 5.16. Nemantické typy struktur

Novšie bádania v oblasti nemantik ukázali, že okrem klasického usporiadania existujú

ďalšie pseudovrstvové textúry, ktoré sú prechodom medzi klasickou nematickou textúrou a

vrstevnatou smektickou textúrou. Röntgenová analýza ukázala, že budujú domény. V rámci

jednej domény majú orientácie osí molekúl odlišné. Pri samotných doménach badať náznak

vrstevnatosti. Základným postulátom pre nematogénnosť je kolineácia párnych a

nepárnych molekúl.

Poslednou skupinou tekutých kryštálov sú cholesterické tekuté kryštály. Kryštály CLC

dostali svoj názov od cholesterolu, z ktorého sa pôvodne získavali. Pretiahnuté molekuly sú


108

zoradené do rovnobežných vrstiev vzdialených od seba asi 200 nm, teda približne stonásobok

vzhľadom k smektikám. V každej vrstve ležia molekuly s dlhými osami v rovine vrstvy majúc

zhodnú orientáciu, ktorá sa však v jednotlivých vrstvách líši.

V dvoch susedných vrstvách sú osi molekúl voči sebe pootočené o konštantný uhol

Δφ. Tento uhol je pre rôzne materiály rôzny. Po 1000 vrstvách sú už osi molekúl

antiparalelné. Celková hrúbka vrstvy kvapálneho kryštálu k tomu potrebná je 200.10-9

m

(obrázok 5.17).

Pozdĺž osi kolmej na rovinu vrstiev molekuly pod sebou vytvárajú skrutkovú plochu –

cholesterickú špirálu s periódou L. Periodická textúra včítane jej porúch je pozorovateľná v

polarizačnom mikroskope.

Obrázok 5.17. Cholesterický tekutý kryštál

Niektoré kvapalné kryštály, ktoré sú v mezomorfnom stave, sa pôsobením teploty

sfarbujú (termická kolorácia).

Boli pripravené zmesi s mezomorfným intervalom širokým iba 0,01°C. To znamená, že

ak teplota prebehne tento interval, kolorácia prebehne celé farebné spektrum. Modrý odtieň

zodpovedá najvyššej, červený najnižšej teplote.

Nematické kvapalné kryštály s kladnou dielektrickou anizotorpiou (dipólový moment

má smer dlhšej osi molekuly), ku ktorým bolo pridané pleochroické farbivo, kolorujú pod

účinkom elektrického poľa.

Ak molekula farbiva je svojou dlhšou osou rovnobežná s elektrickou zložkou

elektromagnetickej vlny nastane absorpcia svetla farbivom a pozorovateľ vidí jeho doplnkovú

farbu.

Tekuté krystaly sa dnes používajú hlavne na konštrukciu zobrazovacích jednotiek

počítačov, televízorov a podobne.


109

Zobrazovacia bunka pozostáva z dvoch sklených rovnobežných sklíčok, ktoré majú na

vnútorných stenách vodivé elektródy z SnO2, Medzi elektródami sa nachádza vrstva

kvapalneho kryštálu 35 až 100 μm hrubá. Žiadaná vzdialenosť elektród a hermitizácia sa

realizujú distančnou vložkou 4 zo sľudy, nylaru, teflónu, PVC. Náročné požiadavky sa pri

výrobe kladú na takmer absolútnu planparalelnosť elektród a vysokú homogenitu materiálu

LC (obrázok 5.18).

Obrázok 5.18. Rez bunkou LC

Zobrazovacia bunka je pasívny element, svetlo negeneruje. Na vizualizáciu informácie

je potrebný pomocný zdroj svetla. Zviditeľnenie spôsobuje modulácia svetelného toku

budiacim napätím. V móde prechádzajúceho svetla TM musia byť obidve elektródy

priesvitné, aby svetlo mohlo systémom prechádzať zo strany zdroja na stranu pozorovateľa.

Zdroj je pred pozorovateľom skrytý. Pozorovateľ vidí bunkou rozptýlené svetlo, ktoré sa zdá

jasné na tmavom pozadí. Zväzok svetelných lúčov prechádza vrstvu LC jedenkrát (obrázok

5.19).

V móde odrazeného svetla RM zadná elektróda je nepriehľadná a pôsobí ako zrkadlo.

Najväčší odrazený kontrast sa dosahuje naparením Ni, Ag, Au, Ta, Cr na sklenené odrazené

platničky. Svetelný zdroj a pozorovateľ sa nachádzajú na tej istej strane vzhľadom na LC.

Zobrazovací lúč dva krát prestupuje médiom LC. Reflexná bunka môže fungovať iba pri

použití dopadajúceho svetla okolia. Každý z týchto módov môže byť priamy alebo nepriamy.

Pri priamom móde prepustený alebo odrazený svetelný tok je väčší v nevybudenom

stave LC, t.j. bez pripojeného vonkajšieho napätia.


110

Nepriamy mód sa vyznačuje tým, že svetelný tok je bez vonkajšieho napätia pohltený.

Pri zapojenom budiacom napätí sa pomery obrátia. V režime dynamického rozptylu TM je

priamy, RM nepriamy mód.

V TM sa zobrazovacia bunka stáva viditeľná bez pripojeného napätia a zháša sa

pripojením elektrického napätia. V RM elektrické napätie bunku zviditeľňuje. Ak sa napätie

odpojí alebo klesne na nulu, svetlo dopadajúce zo zdroja bunkou prechádza, nie je odrazené a

preto v RM je len veľmi slabo viditeľná.

Obrázek 5.19. Zobrazovacie mody bunky z LC


111


Typy polarizácie dielektrík, fenomenologický popis polarizácie, mikroštrukturálny

popis polarizácie, optické vlastnosti látok,feroelektriká, piezoelektriká, tekuté kryštály.


1.Popíšte jednotlivé typy polarizácie.

2. Aké makroskopické veličiny popisujú polarizačné javy?

3.Ako je definovaný vektor polarizácie?

4. Napíšte a vysvetlite Clausiusovú Mosottiho rovnicu?

5. Aké vlastnosti majú jednoosové a dvojosové kryštály?

6.Čo je to optická indikatrix ?

7. Klasifikujte typy feroelektrík.

8.Vysvetlite piezoelektrický jav.

9.Vysvetlite pyroelektrický jav

10. Vysvetlite optoelastický a optoelektrický jav.

11. Popíšte jednotlivé typy tekutých kryštálov.

12. Popíšte zobrazovanie a sfarbovanie tekutých kryštálov.


112

6.Elektrické vlastnosti tuhých látok

Čas na štúdium: 5hodin

Cíl Po preštudovaní tohto odstavca budete vedieť

definovať základné veličiny charakterizujúce tok elektrického prúdu

popísať modely elektrickej vodivosti v rôznych materiáloch

pochopiť rozdiely medzi vodičmi a dielektrikami

analyzovať namerané krivky závislostí elektrických parametrov

materiálov

pochopiť interakciu medzi elektromagnetickou vlnou a polovodičom

vysvetliť činnosť vybraných optoelektronických súčiastok

Výklad

6.1 Pásová teória elektrickej vodivosti Elektrická vodivosť materiálov je podmienená prítomnosťou pohyblivých elektricky

nabitých častíc vo vnútri látky, Vo väčšine látok sú nosičmi elektrického náboja elektróny,

avšak v polovodičoch a elektrolytoch, resp. iónových látkach sú nosičmi náboja kladné diery,

resp. kladné ióny.

Podľa elektro-fyzikálnych vlastností môžeme všetky látky rozdeliť na tri základné

skupiny: vodiče, polovodiče a nevodiče. Najjednoduchšia je klasifikácia látok podľa mernej

rezistivity. Hodnoty tejto veličiny pre všetky tri skupiny látok sú uvedené v tabuľke 6.1.

Tabuľka 6.1. Merná rezistivita skupín látok pri izbovej teplote

Skupina látok Rezistivita [Ω.cm]

Vodiče 10-6

-10-4

Polovodiče 10-4

-1010

Nevodiče viac ako 1010


113

Elektrické vlastnosti tuhých látok sa vysvetľujú tzv. pásovou teóriou. Ak klesá

medzijadrová vzdialenosť, čiarové spektrum sa rozširuje na pás, tak ako je to vidieť na

obrázku 6.1.

Obrázok 6.1. Energetické hladiny sodíkových atomov

Pásy sa môžu a nemusia prekrývať a pokiaľ sa neprekrývajú sú oddelené pásom

zakázaných energií, tak ako je to pre sodík (vľavo) a diamant(vpravo) vidieť na obrázku 6.2.


114

Obrázok 6.2. Energetické pásy sodíka v pravo a diamantu vľavo.

Tzv. Kronnigov Penneyho model vychádzal z pohybu elektrónov v periodickom poli

mriežky.

Priebeh energie elektrónov je na obrázku 6.3. Hranice nespojitostí energie sú totožné

s hranicami Brillouinových zón.

Obrázok 6.3. Závislosť energie elektrónov od vlnového čísla

Ako vidieť na obrázku 6.4 vo vnútri Brillouinovej zóny rýchlosť elektrónov dosahuje

maximum, zakiaľ na jej hranici je nulová.

Obrázok 6.4. Závislosť energie a rýchlosti elektrónov od vlnového čísla


115

Interakcia elektrónov s mriežkou je analógiou ich Braggovského rozptylu na

kladných iónoch mriežky na hranici Brillouinovej zóny, tak ako je to zobrazené na obrázku

6.5. Bez prítomnosti elektrického poľa je stredná rýchlosť elektrónov v mriežke nulová.

Materiál sa správa ako vodič ak má nepárny počet elektrónov na štruktúrnu jednotku

a prekrývajúce sa energetické pásy.

Z hľadiska elektrických vlastností týchto látok je dôležitou vlastnosťou merná

konduktivita. Teplotná závislosť konduktivity pre olovo sa nachádza na obrázku 6.6.

Elektrický odpor kovov rastie v rozumnom rozsahu tepĺôt lineárne s teplotou

(konduktivita klesá) podľa vzťahu ( v skutočnosti je závislosť konduktivity od teploty

polynomiálna)

R=R0(1+αΔt), 6.1

kde α je teplotný koeficient odporu.

Takéto správanie sa elektrickej vodivosti je zapríčinené elektrón-fonónovou

interakciou 9 (rozptylom elektrónov na kmitajúcich atómoch).

Obrázok 6.5. Braggovský rozptyl elektrónov na iónoch mriežky


116

0 50 150100 200

0,2

0,1

0,3

T [K]

[ ]-1 cm

-1

10-6

Obrázok 6.6. Merná konduktivita olova v závislosti od teploty

Z mikroskopického hľadiska môžeme študovať pohyb elektrónu -e v mriežke pomocou

klasického modelu, ktorý je založený na Newtonovom pohybovom zákone v tvare

-eE=dt

dk=

dt

dvm=F 6.2

Jej riešením dostávame pre elektrickú vodivosť vzťah

m

τne=σ

2

, 6.3

kde n je koncentrácia elektrónov a τ je relaxačný čas, ktorý môžeme interpretovať ako strednú

dobu medzi dvomi po sebe nasledujúcimi interakciami elektrónov s kmitmi mriežky. Tento

klasický model kvalitatívne popisuje proces elektrickej vodivosti kovu, nie však kvantitatívne.

Predpokladáme tiež že množstvo elektrónového plynu je v rozumnom teplotnom intervale

konštantné.

Merná konduktivita kovov teda klesá s rastúcou teplotou, čo je spôsobené elektrón

fonónovou interakciou, ktorá je reprezentovaná koeficientom τ.

Merná rezistivita kovov spracovaných za studena sa znižuje žíhaním, lebo počet porúch

v materiály klesá. Väčšina zliatín obsahuje mnoho porúch, čoho dôsledkom je aj ich relatívne

vysoký odpor. V zásade platí, že čím je materiál čistejší, tým má menšiu mernú rezistivitu.

Ak by na vzorku pôsobili navzájom kolmé elektrické pole o intenzite E a magnetické

pole o indukcii B, pohybová rovnica by mala tvar

( )vxB +E-e=dt

dk=´

dt

dvm=F 6.4


117

a pohyb elektrónu v mriežke by bol zložitejší, ako to vidieť z obrázku 6.7. Elektróny

popri driftovom pohybe v elektrickom poli konajú aj špirálový pohyb spôsobený

prítomnosťou magnetického poľa. Tým dochádza k vytvoreniu dodatkového Hallovho poľa

medzi hornou a dolnou časťou vzorky.

Tento jav sa nazýva Hallov jav a tzv. Hallova konštanta umožňuje určiť znamienko

nosičov náboja (obrázok 6.7)

ne

1-=

Bi

E=R

x

y

H . 6.5

Záverom tejto časti si ešte vysvetlíme význam Fermiho energie v kove. Ako vyplýva

z obrázku 6.8, Fermiho-Diracova funkcia v kove určuje najvyššiu energetickú hladinu

obsadenú elektrónmi v kove.

Obrázok 6.7. Hallov jav

Obrázok 6.8. Fermiho Diracova funkcia pre elektróny


118

V prítomnosti elektrického pola sa mení aj hodnota μ a táto nová hodnota sa nazýva

elektrochemický potenciál. Termín chemický potenciál sa často používa pre elektrochemický

potenciál zmenšený o potenciálnu energiu častice spôsobenú vonkajším poľom.

Pre Fermiho energiu platí v kove je charakteristické, že nezávisí od rozmerov vzorky

ale len od hustoty voľných elektrónov.

Widemeanov-Francov zákon, ktorý hovorí, že při nie príliš vysokých teplotách u kovov

je pomer tepelnej vodivosti K a elektrickej konduktivity σ priamo úmerný absolútnej teplote a

hodnota koeficientu úmernosti nezávisí na materiále a platí vzťah

L=K/ σT, 6.6

kde tzv. Lorenzcovo číslo L= 2,45.10-8 WΩK-2.

Elektrická vodivosť polovodičov klesá s klesajúcou teplotou. Toto správanie je dané

rastom koncentrácie nosičov elektrického náboja s rastúcou teplotou, ktoré prevyšuje

„brzdiaci“ vplyv elektrón fonónovej interakcie. Pri priblížení teploty k absolútnej nule sa

za určitých podmienok polovodiče správajú ako izolanty. Teplotnú závislosť elektrickej

vodivosti polovodičov zachytáva obrázok 6.9.

1

10

10 3

0,001 0,002 0,003 -1

10 2

10 -3

10 -2

10 -1

10 -1

1/T [K ]

[ ]-1 cm

-1

Obrázok 6.9. Závislosť mernej elektrickej konduktivity polovodičov od teploty


119

Do skupiny polovodičov patria jednoduché chemické prvky (napr. bór, kremík,

germánium), ale aj mnohé zlúčeniny. Z binárnych zlúčenín sú to CuBr, CuO, Cu2O, CuS,

Cu2S, ZnS a iné.

Z literárnych zdrojov je známe, že na rozhraní kompozitného materiálu tvoreného

gumou a mosadzou dochádza pri vulkanizácii ku vzniku dvojvrstvového sulfidického filmu

na povrchu mosadze. Tento film je tvorený nestechiometrickým CuxS (na rozhraní sulfid –

guma) a ZnS (na rozhraní sulfid – kov). Táto vrstva zabezpečuje kontakt medzi gumárenskou

zmesou a mosadzou pokrytým oceľovým lankom v pneumatike.

V prípade polovodičov je charakter teplotnej vodivosti iný ako u kovov a môžeme ho

popísať nasledujúcim vzťahom (obrázok 6.9)

kT2

EΔ=

σ

σln

0

dc, 6.7

kde σ0 a EΔ sú kladné konštanty, k je Boltzmannova konštanta a T je absolútna teplota.

Ak si vynesieme prirodzený logaritmus mernej konduktivity ako funkciu reciprokej teploty

dostávame priamkovú závislosť (obrázok 6.9), ktorej smernica má hodnotu E/2k a z merania

teplotnej závislosti mernej konduktivity je možné určiť aktivačnú energiu príslušného

transportného mechanizmu.

Elektrické vlastnosti týchto látok úspešne vysvetľuje pásmová teória. Podľa tejto teórie

ako sme už spomenuli vyššie sa pôvodne diskrétne hladiny energií elektrónov v obale jadra

atómu rozštiepia a vytvoria pásma energii vtedy, keď atómy vytvoria spoločný kvantový

systém. Je to dôsledok Pauliho princípu, podľa ktorého v kvantovej sústave nemôžu

existovať 2 elektróny s rovnakými kvantovými číslami. O tom, či je látka vodič, alebo

nevodič rozhoduje štruktúra energetických pásiem (nie je dôsledkom periodicity mriežky).

Najvyššie pásmo možných (dovolených) energií elektrónov, ktoré je buď čiastočne obsadené

elektrónmi, alebo je prázdne, sa nazýva vodivostné pásmo, kde patria energie elektrónov

podieľajúcich sa na elektrickom transporte. Pod vodivostným pásmom sú neobsadený

zakázaný pás a úplne obsadený tzv. valenčný pás, ktorému patria energie všetkých

elektrónov, ktoré sa zúčastňujú väzieb. Schéma štruktúry pásiem je na obrázku 6.10.


120

Obrázok 6.10. Štruktúra pásiem

Rozoznávame tri typy elektrickéj vodivosti polovodičov. Základným typom je

polovodič vlastný, kedy dochádza k priamej excitácii nosičov z valenčného do vodivostného

pásu a vzniká elektrón a diera. S touto vodivosťou sa stretávame pri vyšších teplotách

(obrázok 6.11).

Obrázok 6.11. Vlastný typ vodivosti.

Obrázok 6.12. Donorový polovodič (a) a akceptorový polovodič (b)

Z praktického hradiska je dôležitejšia prímesová vodivosť. Ak do štvormocného prvku

pridáme päť mocný prímes dostávame donorový polovodič vyznačujúci sa prebytočným

elektrónom. Takéto donorové hladiny ležia pod vodivostným pásom (obrázok 6.12a).

Ak pridáme do štvormocného základného materiálu trojmocný prvok, ostáva jedna

väzba nesaturovaná a hovoríme vtedy o diere, alebo akceptore (obrázok 6.12b). Takéto

hladiny ležia v zakázanom páse nad vrcholom valenčného pásu.


121

Obrázek 6.13. Poloha Fermiho energie a akceptorovom polovodiči

Obrázek 6.14. Poloha Fermiho energie v donorovom polovodiči

Poloha Fermiho hladiny má u polovodičov inú interpretáciu ako u kovov. Poloha

Fermiho hladiny určuje znamienko elektrickej vodivosti.

U akceptorového polovodiča leží Fermiho hladina v polovici medzi vrcholom

valenčného pásu a akceptorovými hladinami a s rastúcou teplotou, ako sa akceptorové

hladiny naplnia prejde do stredu zakázaného pásu a charakterizuje vodivosť vlastnú

(obrázok 6.13).

U donorového polovodiča Fermiho hladina leží v polovici medzi dnom vodivostného

pásu a donorovými hladinami. Po vyprázdnení donorových hladin prejde Fermiho hladina

takisto do stredu zakázaného pásu (obrázok 6.14).

Ak v látke sú voľné nosiče elektrického náboja a ak v tejto látke vytvoríme elektrické

pole intenzity E potom sa náboje uvedú do pohybu. Kladné v smere E a záporné proti smeru

E.

V nasledujúcom budeme predpokladať, že v látke sú pohyblivé iba elektróny.

Pod vplyvom elektrického poľa sa elektróny začnú pohybovať tak, že ich priemerná rýchlosť

(driftová rýchlosť) v je orientovaná v smere opačnom než je smer E hodnota rýchlosti je

priamo úmerná intenzite poľa, Teda platí

μ=m

τe-

→v=Em

τe-

→vm=τeE- **

* v = - μ∙E, 6.8


122

kde μ je pohyblivosť a m* je tzv. efektívna hmotnosťnosiča prúdu τ je relaxačný čas

charakterizujúci interkciu nosičov s mriežkou. ( pozri ďalej). Ak predpokladáme, že

koncentrácia elektrónov je ne potom objemová hustota náboja je ρe = - e∙ne , kde e je

elementárny náboj. Pre hustotu elektrického prúdu dostaneme potom vzťah

i = ρe∙v = e ne μ E . 6.9

Vzťah (6.9) je tzv. Ohmov zákon v diferenciálnom tvare. Tento zákon zvykneme písať

v tvare *

i = σ∙E ,

kde σ = e ne μ je konduktivita . Prevrátená hodnota konduktivity σ -1= ρ je rezistivita .

Zo vzťahu pre rezistivitu, resp. konduktivitu vidíme, že meraním odporu

a geometrických rozmerov vzorky získame hodnotu rezistivity, ktorá však obsahuje dve

veličiny: koncentráciu ne a pohyblivosť μ. Teda, ak chceme získať detailné informácie

o elektrických vlastnostiach materiálov, musíme urobiť ďalšie nezávislé elektrické meranie.

Pre určenie pohyblivosti je najvodnejšie vyšetriť tzv. Hallov jav. Keď z Hallovho javu určíme

pohyblivosť a poznáme konduktivitu materiálu, môžeme určiť koncentráciu nábojov a potom

robiť kvalifikované úvahy o mikroskopických vlastnostiach látky.

Keď sa dielektrikum nachádza v striedavom elektrickom poli E = E0 ejt

elektrické

náboje začnú kmitať uhlovou frekvenciou ω. Tento kmitavý pohyb je tlmený silami

vnútorného trenie, čo sa makroskopicky prejavuje v strate elektrickej energie (elektrická

energia sa mení na vnútornú energiu prostredia, čo sa prejaví v stúpaní jeho teploty), teda

dielektrikum sa vyznačuje tzv. dielektrickými stratami.

Vyššie uvedená úvaha sa týka iba „čistých“ dielektrík. Našu úvahu treba zovšeobecniť

pre prípad, že dielektrikum obsahuje voľné náboje .

Vedenie elektrického prúdu vysvetlil Maxwell, keď vo svojej 4.rovnici pre elektromagnetické

pole zaviedol tzv. posuvný prúd.

Štvrtá Maxwellova rovnica má tvar

rotH = i + D ⁄ t , 6.10

kde H je vektor intenzity magnetického poľa, i je vektor hustoty elektrického prúdu a D je

vektor elektrickej indukcie.

V tzv. mäkkých dielektrikách sú vektory i, E aj D rovnobežné a teda tak, ako sme

uviedli vyššie, nemusíme používať vektorovú symboliku. Celková hustota elektrického prúdu

je

iT = i + D ⁄ t . 6.11


123

Merné dielektrické straty spôsobené dipólmi sú určené rovnicou

2'

0 Eδωtgεε=Q . 6.12

Meranie teplotných a frekvenčných závislostí komplexného elektrického modulu

môže dať cenné poznatky o hamogenite vzoriek (modulárna spektroskopia). Komplexný

elektrický modul M* je definovaný ako prevrátená hodnota komplexnej permitivity

M* = 1

=

1

' ' 'i = M + i M ,

' '

2f

6.13

kde ‘ je reálna zložka komplexnej permitivity zhodná relatívnou permitivitou r a ‘‘ je

imaginárna zložka, úmerná dielektrickým stratám, je merná elektrická vodivosť , 0 je

permitivita vákua a f je frekvencia.

Závislosť imaginárnej zložky permitivity od reálnej určuje tzv. Coleho-Coleho diagram,

ktorý je v ideálnom prípade polkružnica (obrázok 6.15), ale pre väčšinu reálnych materiálov

má eliptický priebeh (obrázok 6.16) kde,

( )∞ε-ε

2

1=R r

6.14

Obrázok 6.15. Ideálny Coleho- Coleho diagram

Deformácia elipsy na nasledujúcich obrázkoch je spôsobená viac zložkovým

charakterom zmesi. CC diagramy tak môžeme použiť na sledovanie homogenity zmesí.


124

0 1 2 3 4 5

0

1

M'' x 102

M'x 102

a/

b/

1000 10000 1000000,0

0,5

1,0

1,5

M'' x 102

f [Hz]

Obrázok 6.16. Závislosti namerané na vzorke vulkanizovanej gumy pri 75 °C

a) Komplexné elektrické moduly M’’ vs M’ vzorky.

b) Frekvenčná závislosť imaginárnej zložky komplexného elektrického modulu M’’ .

Záverom tejto časti sa ešte venujme pojmu efektívna hmotnosť, ktorý súvisí s pohybom

lektrónuv silovom poli. Elektrón sa v silovom poli pohybuje tak ako by mal hmotnosť určenú

vzťahom pre efektívnu hmotnosť v tvare

22

2

*

k/E=m

∂∂

. 6.15

Hmotnosť elektrónu je kladná v spodnej časti pásu, kde zvýšenie energie je sprevádzané

rastom hybnosti a záporná v hornej časti pásu, kde zvýšenie energie je sprevádzané poklesom

hybnosti. Pre minimum závislosti E od k platí podmienka k/E∂ 22 ∂ je kladné a aj *m je

kladná. A naopak pre maximum platí podmienka k/E∂ 22 ∂ je záporné a aj *m je záporná.

Je zaujímavé si všimnúť, že elektróny s najväčsou enrgiou v takmer zaplnenom hornom páse

majú zápornú efektívnu hmotnosť a takéto látky predsa vedú elektrický prúd. Prúd tu však

vedú diery, ktoré akoby niesli elektrický nábok +e. Efektívna hmotnosť je teda nepriamo

úmerná zakriveniu energetických plôch v k-priestore (obrázok 6.17) .


125

Obrázok 6.17. Závislosť efektívnej hmotnosti elektrónu pohybujúceho sa v štvorcevej

mriežke od vlnového vektora k.

Smerom od okraja pásu sa závislosť E(k) odchyľuje od kvadratickej a na hranici

Brillouinovej zóny je k/E∂ 22 ∂ rovné nule a *m je nekonečne veľká.

6.2. Kontaktové javy

V tejto časti sa budeme zaoberať vplyvom kontaktu dvoch materiálov na ich vnútornú

redistribúciu elektrického náboja. Majme polovodič typu n a umiestnime ho do elektrického

pola. Pole spôsobí redistribúciu elektrónov v materiály, tak ako je to zobrazené na obrázkoch

6.18 a 6.19. Na obrázku 6.18 vidíme zmeny počtu nosičov, objemovej hustoty nábojov,

intenzity elektrického poľa, potenciálnej energie elektrónov a zakrivenia energetických pásov

donorového polovodiča vplyvom vonkajšieho elektrického pola.

Obrázok 6.18. Polovodič typu n v elektrickom poli


126

Obrázok 6.19. Zmeny počtu nosičov(a), objemovej hustoty nábojov(b), intenzity elektrického

poľa(c), potenciálnej energie elektrónov(d) a zakrivenia energetických pásov donorového

polovodiča (e) vplyvom vonkajšieho elektrického pola

Vidíme, že zakrivením pásov tu Fermiho energia vniká do vodivostného pásu a takýto

polovodič nazývame degenerovaný. Vidíme tiež, že v blízkosti kontaktu vzniká lokálne

elektrické pole.

Pri zmene polarizácie zdroja (obrázok 6.20) vonkajšieho napätia nastáva takisto

redistribúcia náboja.

Obrázok 6.20. Zmeny počtu nosičov(a), objemovej hustoty nábojov(b), intenzity elektrického

poľa(c), potenciálnej energie elektrónov(d) a zakrivenia energetických pásov donorového

polovodiča (e) vplyvom vonkajšieho elektrického pola opačne orientovaného ako

v predchádzajúcom prípade

Tu však vidíme, že valenčný pás sa priblížil v blízkosti kontaktu k Fermiho hladine, čo

má za následok zmenu typu vodivosti na p v blízkosti kontaktu. Všimnime si, že v odjeme


127

materiálu je Fermiho hladina bližšie k vodivostnému pásu, tak ako to má byť v polovodiči

typu n.

Ak uvedieme do kontaktu polovodič typu p a n vznikne redistribúcia nábojov ako je to

vidieť na obrázku 6.21. Vidíme, že pri ustanovovaní rovnovážneho stavu sa Fermiho hladiny

oboch materiálov „ohnú“ tak, že v príkontaktnej oblasti vznikne potenciálový rozdiel. Je

potrebné si všimnúť aj polohy Fermiho hladín v objeme jednotlivých materiálov.

Obrázok 6.21. Javy na rozhraní polovodiča typu p a n.

Ďalšou problematikou, ktorej sa budeme venovať je výstupná práca elektrónu z kovu.

Na prechod elektrónu do vákua je treba vynaložiť energiu E a . Na prechod elektrónu

z hladiny E c do vákua je potrebná výstupná práca, ktorú môžeme vyjadriť v tvare

ca E-E=Ρ .

Na rozhraní dvoch materiálov existuje teda bariéra brániaca toku elektrónov.

Obrázok 6.22. Kontakt dvoch kovov

Pri kontakte dvoch kovov, tak ako je to zobrazené na obrázku 6.22 vidíme, že elektróny

môžu prechádzať cez prechody A,B, alebo C. Takzvaný vonkajší rozdiel potenciálov medzi


128

bodmi A a B je daný vzťahom 21k Φ-Φ=eU sa rovná rozdielu výstupných prác z kovov.

Vnútorný potenciálový rozdiel v bode C je malý a je rovný asi 10-3 až 10-2 V.

Pri kontakte kovu a polovodiča dochádza opäť k zakriveniu pásov, tak ako sme to videli

vyššie, a to podľa veľkosti výstupných prác elektrónov z kovu a z polovodiča, tak ako je to

vidieť na obrázku 6.23 .

Obrázok 6.23. Kontakt kov vlastný polovodič ak kΦ je väčšie ako pΦ (a) kΦ je menšie

ako pΦ (b).

6.3. Interakcia svetla a polovodiča

Pri prechode svetla reálnym materiálnym prostredím dochádza k jeho útlmu a na

rozhraní k odrazu. Môžeme si zadefinovať koeficient odrazu ako pomer intenzity odrazeného

svetla IR ku intenzite dopadajúceho svetla I0 v tvare

0

R

I

I=R 6.16

Pre koeficient absorpcie platia vzťahy

( ) dα-

0

d

0

I

RI-I

eR-1I=I→dxα-=I

dI∫∫

00

6.17

Pri interakcii svetla s polovodičom musí byť zachovaný zákon kváziimpulzu a zákon

zachovania energie v tvare

ω+E=E′

η+p=p′

6.18

Absorpcia svetla v tuhej látke môže prebiehať niekoľkými spôsobmi.


129

Absorpcia svetla je definovaná tzv. absorpčnou hranou, ktorej poloha závisí od teploty

vzťahom

Tα-E=E 0gg , 6.19

kde 0gE je absorpčná hrana pri 0 K a α je kladná konštanta. Ten to fakt je dôsledkom

dilatácie materiálu a tým zmenenou interakciou elektrónov s mriežkou.

Podobne absorpčná hrana závisí aj od aplikovaného vonkajšieho mechanického tlaku

vzťahom

pγ+E=E 0=gpg , 6.20

kde 0=gpE je absorpčná hrana pri nulovom tlaku a γ je kladná konštanta (obrázok 6.24).


130

Obrázok 6.24. Teplotná závislost absorpčnej hrany polovodičov

V polovodičoch, ktoré sa nachádzajú vo vzbudenom stave dochádza k emisii

elektromagnetického žiarenia, ktoré nazývame luminiscencii. Pri fotoluminiscenci dochádza

k emisii žiarenia v dôsledku absorbovaného svetla. Svetielkovanie vzniká aj pri dopade

elektrónov a nazýva sa katodoluminiscenciou. Pri dopade tvrdších žiarení vzniká

rádioluminiscencia, pod vplyvom elektrického poľa elektroluminiscencia , pod vplyvom

tlaku triboluminiscencia a pri biochemických procesoch chemi alebo bioluminiscencia. Na

obrázku 6.25 sú zobrazené procesy žiarivej rekombinácie.

Obrázok 6.25. Procesy žiarivej rekombinácie. Priamej (a), cez záchytné centrá(b,c,d)

Ako príklad elektroluminiscencie uvádzame materiál SiC, tzv. karbidku, ktorej

elektroluminiscenčné spektrum je na obrázku 6.26. Tieto diódy svietia na žlto, prípadne pri

vysokých prúdových hustotách na modro.


131

Obrázok 6.26. Elektroluminiscenčné spektrum diod SiC.

Na záver si ešte vysvetlíme činnosť laseru (obrázok 6.27). Na obrázku 6.28 je bloková

schéma technickej realizácie laseru.

• 1. elektróny sa čerpajú z hladiny A do F, kde doba ich pobytu je 10-8 s.

• Padnú na hladinu E, kde doba ich pobytu je 10-3s.

• 2. prechod na základnú hladinu A ide cez dva prechody.

• 3.rubínový kryštál s prímesou Cr3+ je presne vyleštený a čelá sú pokovené, z toho

jedno polopriepustné.

Zosilnenie vzniká preto, lebo stimulované zväzky sa v prostredí zosilnia podľa zákona

, 6.21

pričom L= n λ/2, kde n je celé číslo

Lα

0eI=I


132

Činnost laseru je zobrazené na obrázkoch 6.27 a 6.28.

Obrázok 6.27. Hladinová schéma činnosti laseru

Obrázok 6.28. Schéma laseru


Rozdelenie látok podľa elektrickej vodivosti, pásová štruktúra, elektrická vodivosť

kovov, elektrická vodivosť polovodičov, Fermiho energia v kove a polovodiči,

kontaktové javy, interakcia elektromagnetickej vlny a polovodiča.

.


1.Popíšte jednotlivé typy nosičov elektrického náboja.

2. Aké makroskopické veličiny popisujú elektrický prúd?

3.Ako je definovaný ohmov zákon vo všeobecnom tvare?

4. Vysvetlite pásovú teóriu tuhých látok?

5. Aké vlastnosti majú polovodiče?

6.Čo je to pohyblivosť nosičov ?


133

7. Akými vzťahmi sú popísané elektrické konduktivity vodičov a polovodičov?

8.Vysvetlite Hallov jav.

9.Vysvetlite Coleho- Coleho diagramy.

10. Vysvetlite podstatu kontaktových javov.

11. Popíšte činnosť luminiscenčných optoelektronických súčiastok.

12. Popíšte činnosť laseru.

13. Vysvetlite závislosti optickej absorpčnej hrany od teploty a tlaku.

14.Vysvetlite pojem Fermiho energie v kove a polovodičí

fyzika pevnÝch lÁtekkatedry.fmmi.vsb.cz/modin_animace/opory/03_materialov... · 2014-11-17 · na...

Documents