fyzika a technika nízkých teplot nfpl168 zs 2009/2010 kfnt 1 · 22 teorie bcs. j. bardeen, l. n....
TRANSCRIPT
1
Supravodivost
Fyzika a technika nízkých teplotNFPL168 ZS 2009/2010
KFNT
2
Supravodivost1911 Heike
Kamerlingh
-
Onnes
supravodiče 1. druhu
první
měření
supravodivosti
3
1933 Meissnerův
–
Ochsenfeldův jev
supravodič
1. druhu-ideální
diamagnetikum
-levitace
magnetizace supravodiče 1. a 2. druhu
supravodivost v magnetickém poli
4
materiál Tc
(K) materiál Tc
(K)
Nb3
Sn 18,05 V3
Ga 16,5
Nb3
Ge 23,2 V3
Si 17,1
NB3
Al 17,5 Nb-Ti 9
NbN 16,0 Ti2
Co 3,44
(SN)x 0,26 La3
In 10,4
Supravodiče 2. druhu
supravodiče 2. druhu–
smíšený stavmagnetické
pole pronikádo supravodiče podél vírů
supravodiče 2. druhu v magnetickém poli
5
1957 Bardeenova
–
Cooperova
–
Schriefferova
teorie
párování
elektronů
prostřednictvím výměny virtuálního bozonu
(kmitů
mřížky)-
Cooperovy
páry –
základní
energetický stav
slabá
supravodivost -
Josephsonovy
jevyΦ0
= 2,05.10-15
Wb
SQUID –
Superconducting
Quantum
Interference Device
magnetické
pole srdce ~
5.10-11 Tmagnetické
pole mozku ~
10-12
T
6
Využití
slabé
supravodivosti
MEG -
magnetoencefalograf
model vysokofrekvenčního skvidu
jednotka skvidů
306 kanálů
–
102 jednotky (2 ortogonální
gradiometry
+ 1 magnetometr)64 kanálů
EEG
7
Využití
supravodivosti
MRI –
rezonanční
tomografie
CERN –
LHC 1296 dipólů
(Nb-Ti) B = 8,36 T; T = 1,9 K
supratekuté
LHe, chladicí
výkon 140 kW / 4,5 Kzásoba 700 m3
LHe
(87,5 t )
B = 0,5 –
1,5 T -
perzistentní
móduzavřený chladicí
okruh, autonomie ~
3 měsíce
8
Využití
supravodivosti- levitační
vlaky
2002 Šanghaj
-
komerční
trať
z letiště(450 km/h)
JR Maglev
Japonsko1996 zkušební
provoz v Mayazaki
1996 zkušební
provoz v Mayazakitrať
7 km v Yamanashi
u Tokya
rekord
581 km/h (2005)
9
Vysokoteplotní
supravodiče
1986 Müller, Bednorz, Chu
YBa3
Cu3
O7
90 KHgBa2
Ca2
Cu3
O8
134 K
10
Meissnerův
–
Ochsenfeldův jev
Uvnitř
supravodiče B
= 0 ve vnějším poli Ba
≠
0,pro nekonečně
dlouhý vzorek (bez demagnetizačního pole)
B
= Ba
+ μ0
M
= 0
→
M/Ba
= -
1 / μ0
-neplyne z nulovosti elektrického odporu-z Ohmova
zákona: E
= σj
→ je-li σ
= 0, je i E
= 0z Faradayova
indukčního zákona:rot E
= -δB / δtJe tedy δB / δt = 0 a nemůže dojít ke změně
magnetického indukčního tokupři přechodu do supravodivého stavu
Rovnice bratří
Londonů(1935 Fritz
a Heinz
Londonovi)
M. –
O. jev χ
= -1 nevysvětluje pronikání
magnetického pole do tenkých povrchových vrstevje třeba modifikovat Ohmův zákon Aj
L2
0
1λμ
−= BArot =
11
z Maxwellovy
rovnice jBrot 0μ= a aplikace operace rot 0=Bdiv
jrotBBrotrot 0μ=Δ−= plyne2L
BBλ
=Δ
v čistém supravodiči popisuje pole klesající
od povrchu dovnitř
vzorku,
řešením je rovnice
λL
–
Londonova hloubka vniku, typicky λL
~
50 nm
(z teorie BCS →
q –
náboj,n –
koncentracem –
hmotnost
v tenké
vrstvě
–
M. O. jev není
úplný-
kritické
pole Hc
je vysoké
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
L
xBxBλ
exp0 B(0)
x
2/1
2
2
4 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
nqmc
L πλ
B(x)
12
Měrná
tepelná
kapacita
fononový
příspěvekDebyeova
teorie:
Debyeova
teplota
pVxTQ
mc
xx ,,1
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ΔΔ
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ=
TNkDcl 3 ( )∫
Θ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Θ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Θ T
x
x
dxe
exTT
D0 2
43
13 Debyeova
funkce
VN
kv
kD
26πω==Θ −v rychlost zvuku
pro T »
Θ(Dulongova-Petitova
limita)
pro T «
Θ
11253 −−≈= molJKNkcmoll
32
215
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Θ
=TRc
moll π
elektronový příspěvekplyn vodivostních
elektronů, silně
degenerovaný
pro T «
TF
(TF
(Cu) = 7.104
K) TZME
kNTcF
el
22πγ ==
úhrnná
měrná
tepelná
kapacita c/T = γ
+ AT2
13
Schottkyho
příspěvekkvantová
soustava (diskrétní
konečné
spektrum energetických hladin)
volná
energie ∑=i
iinU ε Boltzmannovo
rozdělení∑ −
−
=
j
kT
kT
i j
i
eNen /
/
ε
ε
E
např. 2 hladiny –E/2, +E/2
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+
−−= −
−
kTENEtgh
ee
eeENU kTEkTE
kTEkTE
2212
2/2/
2/2/
měrná
tepelná
kapacita⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
kTEh
kTENk
TUc
ESh 2
sec2
22
δδ
pro T «
E/2k kTESh e
kTENkc 2/
2
2−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛≅
pro T »
E/2k2
2
kTNEcSh =
maximum pro E/2kT = 2,4 (cSh
)mol
= 3,64 J/mol.K
(dvouhladinové
energetické
systémy v amorfních látkách)
14
jaderná
měrná
tepelná
kapacitaSchottkyho
anomálie –
hyperjemné
interakce –
jaderná
měrná
tepelná
kapacita
vliv nezaplněných slupek atomů
přechodových prvků
feromagnetická
anomálie
systém magnetických momentů
–
v magnetickém poli B0zcela uspořádaných při T = 0 Kve vyšších teplotách -
tepelné
excitace –
spinové
vlny, magnony
energie spinové
Blochovy
vlny ħω
= α(2JSa2)k2
J –
výměnný integrál, S –
spin, a –
mřížková
konstanta, k = 2π
/ λ,λ
–
vlnová
délka magnonu
střední
energie harmonického oscilátoru
hustota stavů
v intervalu (k, k + dk) →
4πVk2dk
( )( ) 11/exp −−= kTωωε
( ) ( )∫ ∫∞ ∞−
−=
−=
0 0
42/32/322
/ 124
14 2xkT e
dxxkTJSaVdkke
VU απωπ ω2/3T
TUcmag ηδδ
==
15
Měrná
tepelná
kapacita supravodiče
přechod do supravodivého stavu –
fázový přechod 2. druhu (nulové
latentní
teplo)supravodivý stav je více uspořádaný –
nižší
entropie
entropie hliníku volná
energie hliníku
elektronový příspěvekv supravodivém stavu Ces
~
exp (-1/T)
16
Tepelná
vodivost
dxdTQ λ−= tok tepelné
energie jednotkovou plochou
eL λλλ += fononová
a elektronová
vodivost
podle kinetické
teorie plynů lvcρλ31
= c –
měrná
tepelná
kapacita,ρ
–
hustota, -
střední
rychlostnositelů
energie, l –
střední
volná
dráhav
fononová
vodivost
-
fonon
–
fononový
rozptyl → U procesy, energie řádu kΘ/2při snižování
teploty → střední
volná
dráha srovnatelná
s rozměry krystalů,l –
konstantní, c ~
T3
λLff
~ T3
-rozptyl fononů
na příměsích a poruchách
λLp
~ T-3/2
17
-
rozptyl na dislokacích λLd
~ T2/D
-
rozptyl na dvouhladinových
systémech (amorfní) λLTLS
~ T2
-rozptyl na vodivostních
elektronech-počet elektronů
~ kT/EF
→ l ~
1/T λLe
~ T2/E E = 0,2R∞
ne2Θ2
R∞
-
vysokoteplotní
tepelný odpor
elektronová
vodivost
v nízkých teplotách -
l nezávisí
na teplotě
(rozptyl na příměsích)
λep
~ T/β β = r0
/L r0
–
zbytkový měrný elektrický odpor, L –
Lorentzovo
číslo
-rozptyl na fononech
l nepřímo úměrná
počtu fononů-pro T «
Θ
nf
~ T3
ce
~ T
- λef
~
αT-2
-tepelný odpor kovů
pro T «
Θ
R = Ref
+ Rep
= α´T2
+ β/T (zanedbání
fononové
vodivosti)-ve slitinách i fononový
příspěvek
18
Termodynamika supravodivého přechodu
termodynamicky vratný přechod Bc
(T)supravodič
1. typu –
úplný M.-O. jev
BBc
J
Bc
–
kvalitativně
–
rozdíl mezi SV a N stavemstabilizační
energie SV stavu –
z rozdílu měrnétepelné
kapacity
B = 0
Bex J
SV
Bex
< Bc
J
= -1/μ0
Bex
Bex
Bex
= Bc
v rovnováze
práce vykonaná
na SV při přenesení
z ∞
do místa s Bex
∫∞
−=exB
BdJW v jednotce objemu
19
exBdJTdSdU −= pro SV exexSV BdBTdSdU0
1μ
+=
pro T = 0 je TdS
= 0 → ( ) ( )0
2
20
μex
SVexSVBUBU =−
-
v normálním kovu J
= 0, vnitřní
energie nezávisí
na Bex
→
UN
(Bex
) = UN
(0)
- stabilizační
energie SV pro T = 0 ( ) ( ) ( )0
2
20
μc
SVcSVcNBUBUBU +==
- změna vnitřní
energie ( ) ( )0
2
200
μc
SVNBUUU =−=Δ
pro Al: Bc
(T = 0) = 1,05.10-2
T → ΔU = 43,9 J/m3
z experimentu ΔU ~
43 J/m3
při T >
O jsou v rovnováze volné
energie F = U -
TS
20
Energetická
mezera
z elektronového příspěvku k měrné
tepelné
kapacitě
SV-
existence energetické
mezery Eg
-z měření
absorpce mikrovlnného záření:-pro T <
Tc
-
ostrý zlom hodnoty impedance povrchu supravodiče,je-li hν
~ Eg (0,1 –
1 THz) →
0,1 –
1 meV-pro hν
> Eg je impedance SV blízká
impedanci normálního kovu
21
Izotopický jev
experimentálně
zjištěná
změna kritické
teploty SVs izotopickým složením atomů
SV
Hg: Tc
: 4,185 K →
4,1460KM : 199,5 →
203,4
odvozená
závislost konstTM c =α
experimentálně
stanovené
hodnoty α
Zn 0,45 ±
0,05 Ru 0 ±
0,05
Cd 0,32 ±
0,07 Os 0,15 ±
0,05
Sn 0,47 ±
0,02 Mo 0,33
Hg 0,50 ±
0,03 Nb3
Sn 0,08 ±
0,02
Pb 0,49 ±
0,02 Mo3
Ir 0,33 ±
0,03
Tl 0,61 ±
0,10 Zr 0,0 ±
0,05
anomální
hodnoty –
vliv pásové
strukturyz teorie BCS →
Tc
~ M-1/2
22
Teorie BCSJ. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schrieffer
1957
-
z izotopického jevu -
přitažlivá
interakce mezi elektrony zprostředkovanáintermediálním fononem
(Frölich)kritické
pole, tepelné
vlastnosti →
základní
stav oddělený energetickou mezerou od excitovaných stavů
rovnice Londonů, Meissnerův jev →
vysvětlení
hloubky vniku a koherenční
délky
→
výpočet kritické
teploty
( )FDc EUD
T 1exp14,1 −Θ= ( ) cg kTE 52,302 =⇒
D(EF
) –
hustota stavů
elektronů
na Fermiho
mezi, U –
parametr interakce elektronů
s mřížkou,ΘD
–
Debyeova
teplota
Cooperův
pár Boseho
kvazičástice
(kuperon)(2me
, 2e)
základní
stav SV –
makroskopický početsilně
se překrývajících kuperonů(délka ~
10-6
m, uvnitř
~ 106
kuperonů)
23
komplexní
makroskopická
vlnová
funkce φρ ie2/1´=Ψ ρ
–
hustota kuperonů
Schrödingerova
rovnice jednočásticového
problému
( ) Ψ+Ψ−∇=∂Ψ∂ ϕeAei
mti
e
2241 2
φ, A
-
potenciály
hustota supravodivého proudu ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=t
jdiv pρ
ρϕ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −∇== Ae
mejej
epSV
2222
platí
rovněž ρvejSV 2= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −∇=⇒ Ae
mv
e
22
ϕ rychlost těžiště
korelovanésoustavy kuperonů
vlnová
funkce BCS ( )∏ ++=k
kkk bvuBCS 0
b+k
–
operátor zrodu kuperonu,uk
– úměrný pravsti
obsazení
páru (k↑, -k↓)vk
–
úměrný pravsti
neobsazení
páru (k↑, -k↓) ( )∏ +=⇒k
k SuBCS 0ˆexp ∑+
+ =k k
kk
ubv
S
analogie koherentních stavů
–
kvantová
optika, HeII
24
představa o vzniku kuperonuprostřednictvím virtuálního fononu
( )( )
2/12
10 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=Δ
ΔcT
TTteplotní
závislost šířky zakázaného pásu
obsazení
elektronových stavův normálním kovu a v supravodiči
25
Koherenční
délka
-míra vzdálenosti, na níž
se šířka energetické
mezery nemůže v prostorově
proměnném magnetickém poli významně
měnit→ míra minimální
tloušťky přechodové
vrstvy mezi normálním kovem a supravodičem
při T = 0 porovnání
rovinné
vlny
se silně
modulovanou vlnovou funkcí
( ) xkiex =ψ
( ) ( )[ ]xkixqki eex += +
21ϕ
rovinná
vlna: hustota pravděpodobnosti –
v prostoru homogenní
1* == − xkixki eeψψ kinetická
energie mkE
2
22
=
modulovaná
vlna: ( )[ ] ( )[ ] ( ) qxeeeeee qxiqxilxxqkiikxxqki cos1221
21* +=++=++= −+−+−ϕϕ
→ kinetická
energie ( )[ ]∫ +≈++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− kq
mk
mkqk
mdxd
mdx
22221
2
22
222
2
2
22* ϕϕ pro q <<
k
→
přírůstek energie spojený s modulací kqm2
2
je-li větší
než
šířka energetické
mezery Eg
,supravodivost bude potlačena
26
→
kritická
hodnota q0
vlnového vektoru modulace gF Eqk
m=0
2
2
definice vlastní
koherenční
délky 0
01q
=ξ
g
F
g
F
Ev
Ek
m 22
2
0 ==ξ→ VF
–
rychlost elektronů
na Fermiho
mezi
z teorie BCS →g
F
Ev
πξ 2
0 =
závislost na střední
volnédráze elektronů
l v normálním stavu
27
Ginzburgovy
–
Landauovy
rovnice
fenomenologická
teorie -
umožňuje popsat smíšený stav (supravodiče 2. druhu) 1950(teorie BCS –
předpokládá
energetickou mezeru konstantní
v prostoru)
-popis změny SV stavu v prostoru
-1959 Gorkov
dokázal, že GL rovnice jsou limitním případem teorie BCS
--
zavedení
parametru pořádku Ψ
--
efektivní
vlnová
funkce supravodivých elektronů
( ) ( )rnr SV=Ψ 2
Gibbsův
potenciál –
z Landauovy
teorie fázových přechodů
2. druhu 1937koeficienty α(T), β(T) –
analytické
funkce teploty
hustota Gibbsova
potenciálu ( ) ( ) ...2
42 +Ψ+Ψ+=TTgg nSV
βα
koeficienty splňují
podmínky:a)
α(T) <
0 pro T <
Tc
, α(Tc
) = 0. protože gSV
(Tc
) = gn
(Tc
)
b)
pro T → Tc
je dα(T)/dT
konečná
c)
pro minimum volné
energie β(T) >
0, β(T) ~
β(Tc
)
( ) ( )cT
c dTdTTT αα −= pro T <
Tc
28
ke Gibbsovu
potenciálu přidána kinetická
energie (pro změnu parametru pořádku v prostoru) Ψ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −Ψ
2**
*ˆˆ
21 Aepm
z BCS eemm 2,2 ** ==
provede se minimalizační
procedurana celkovou hustota Gibbsova
potenciálu.integrace přes celý prostor a minimalizacevzhledem k Ψ
a B
( ) ( )0
242
2ˆ2ˆ
41
2 μβα BAep
mTTgg nSV +−Ψ+Ψ+Ψ+=
okrajová
podmínka: složka proudu kolmá
k povrchu je nulová 0ˆ2ˆ =Ψ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
n
Aep
z existence minima δG = 0 vyplynou G –
L rovnice
( ) ( ) 0ˆ2ˆ21 2
2 =Ψ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+ΨΨ+Ψ Aep
mTT βα
( )( ) 22
** 22
Ψ−ΨΨ∇−Ψ∇Ψ= Ame
miej
hustota supravodivého proudu jje součtem volných i povrchových proudů
G –
L rovnice mají
2 triviální
řešení
Ψ
= 0. což
je normální
stav
0,20 =−=Ψ A
βα
supravodivý stav s úplným M –
O jevem
a Ψ
= Ψ0
2. řešení
má
menší
volnou energii (α
<
0 pro T <
Tc
29
0
22
22 μβα cB
=→
rozdíl volných energií
je →
souvislost s kritickým polem Bc
ve slabých polích se parametr pořádku Ψ
mění
pomalu kolem rovnovážné
hodnoty Ψ0
z 2. G –
L rovnice plyne Amej 2
0
22Ψ−=
což
je rovnice bratří
Londonů 20
20
2
2 Ψ=
em
μλ
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=TT
TTc
c20
2 λλ
30
Kvantování
magnetického tokuv supravodivém prstenci
topologicky –
dvojnásobně
souvislá
oblast-
makroskopické
kvantové
jevy, existence makroskopické
vlnové
funkce
( )( ) 22
** 22
Ψ−ΨΨ∇−Ψ∇Ψ−= Ame
miej
( )( )riϕexp0Ψ=Ψ
2. G –
L rovnice
dosazení
a integrace po uzavřené
křivce uvnitř
supravodičemagnetický indukční
tok v dutině
∫ ∫∫ ∇=+ lde
ldjldA ϕλ2
22
02
0
2
2 Ψ=
em
μλkde
magnetický indukční
tok ∫=Φ ldA nemusí
být roven nule, jednoznačnost vlnové
funkce→
fáze vlnové
funkce se změní
o 2π
při oběhu po uzavřené
křivceintegrace uvnitř
SV, kde je stínící
proud j = 0→
kvantování
magnetického indukčního toku v otvoru Φ
= n ħ/2e = nΦ0
,
Φ0
= ħ/2e = 2,07.10-15
Wb
je elementární
kvantum magnetického indukčního toku
víry válcového tvaru v SV
2. druhu v poli B >
Bc1
fluxoid
31
Josephsonovy
jevyB. D. Josephson
1962
2 supravodiče oddělené
nesupravodivou bariérou (dielektrikum, můstek, jev blízkosti)
tunelování
kuperonů, překryv vlnových funkcí, vznik fázového rozdílu
A -
stejnosměrný J. jev
–
supravodivý proud bariérouB -
střídavý J. jev
– vznik střídavého proudu při vloženém napětí, elmag
vlna
vázané
Schrödingerovy
rovnice
pro slabě
interagující
SV, koeficient vazby K
1222
2111
Ψ+Ψ=∂Ψ∂
Ψ+Ψ=∂Ψ∂
KEt
i
KEt
i E1
, E2
-
energie základního stavu SV
( )2,12/1
2,12,1 exp ϕρ i=Ψ
A -
pro E1
= E2
, K ≠
0, V = 0, A
= 0 ϕρρρ∇=
∂∂
−=∂∂ sin221 K
tt21 ϕϕϕ −=∇
ϕϕρρ∇=∇=
∂∂
= sinsin42 01
cSVSV iveKt
evi
32
B –
E1
= E2
, K ≠
0, V = V0
. A
= o
( )
( ) 12022
21011
Ψ+Ψ−=∂Ψ∂
Ψ+Ψ+=∂Ψ∂
KeVEt
i
KeVEt
i→ 0
2 Vet
==∂∂∇ ωϕ
střídavý J. jev V0
= 1 μV → f = ω/2π
= 483,6 MHz
vyzáření
nebo pohlcení
fotonu s energií
ħω
= 2eV0
detektory, směšovače, generátory vf
signálu
-
napěťový etalon
33
SQUID –
Superconducting
Quantum
Interference Device
střídavý RF skvid
–
1 Josephsonův přechodstejnosměrný DC skvid
–
2 Josephsonovy
přechody
DC skvid
–
napětí
na skvidu
–
periodická
funkce magnetického toku v prstencizpětnovazební
obvod –
stabilizace pracovního bodu, modulace magnetického toku
Φ
U
34
RF skvid
–
induktivně
navázaný LC rezonanční
obvodmagnetický tok v prstenci
schodovitá
charakteristika Vvf
= f(Ivf
)trojúhelníková
charakteristika Vvf
= f(Φex
)- zpětná
vazba –
stabilizace
pracovního bodu
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
ΦΦ−Φ=Φ
02sin πcex LI
Φ
35
Některé
typy střídavých skvidů
Josephsonvy
přechody