Fysiknoter1 1 af 13

Fysiknoter 1

I denne første forelæsning vil vi indledningsvis se på generelt på bølgefænomener (16

1,2,4), fortsætte med noget om lydbølger (17 1-4), og slutte med ultralyd, hvor vi skal

se på kapitel 1 og 2 i denne bog: http://www.crcnetbase.com/isbn/9780824740962.

Contents Fysiknoter 1 ................................................................................................................... 1 Bølgebevægelser ............................................................................................................ 1

Udbredelse af forstyrrelser ..................................................................................... 1 Bølgeligningen ....................................................................................................... 2 Refleksion og Transmission ................................................................................... 2

Sinusbølger ............................................................................................................ 3 Transverse og longitudinale bølger ........................................................................ 5

Lydbølger ....................................................................................................................... 6 Lydens fart ............................................................................................................. 6

Periodiske lydbølger .............................................................................................. 7 Trykændringen i en lydbølge; Eksempel 17.3 ....................................................... 8

Intensitet af en periodisk bølge .............................................................................. 9 dB-skalaen............................................................................................................ 10

Doppler effekten for lyd........................................................................................... 11 Ultralyd ........................................................................................................................ 12 Blood flow måling med ultralyd .................................................................................. 13

Bølgebevægelser

Udbredelse af forstyrrelser

Man kan tænke på bølgebevægelser som en overførsel af energi gennem et medie. For

at en mekanisk bælge kan bevæge sig skal det følgende forekomme:

En kilde til forstyrrelse (perturbation) Et medie som bølgen kan udbredes igennem En fysisk egenskab som gennem hvilken elementer i mediet kan vekselvirke.

Af velkendt bølgefænomener kan nævnes vandbølger, bølger i en kornmark, bølger på

en snor, lydbølger, og de mere kontroversielle elektromagnetiske bølger.

Elektromagnetiske (EM) bølger er noget anderledes. De behøver ikke et medie for at

udbredes, men kan udbredes gennem vakuum fx lys, radiobølger. Forstyrrelsen og

bølgeudbredningen sker gennem det elektromagnetiske felt.

Bemærk at bølgemediet vender tilbage til sin oprindelige position efter at bølgen har

passeret. Bølger er altså ikke en transport af mediet, men en udbredelse af energi

gennem mediet.

http://www.crcnetbase.com/isbn/9780824740962

Fysiknoter1 2 af 13

Bølgeligningen

En forstyrrelse som kan beskrives med funktionen ( )y f x . Hvis bølgen bevarer sin

form under udbredelsen siger man at den er ’ikke-dispersiv’. Udbredelsen af sådanne

bølger kan beskrives som:

( , ) ( )y x t f x vt . (0.1)

Hvor v er farten af udbredelsen. NB. Man skal lige holde styr på retnings-

konventionerne og fortegnet foran v (for v > 0 bevæger bølgen sig i x-aksens retning).

For at se hvordan ligning (0.1) virker kan vi se på en bølge som bevæger sig med

hastigheden v i x-aksens retning og har formen

( , 0) ( )y x t f x , (0.2)

klokken 0. Hvis vi ser på formen af bølgen til tiden 2 får vi:

( ,2) ( 2 )y x f x v , (0.3)

hvilket bare er en forskydning af f(x) med afstanden 2v fordi

( 2 , 2) ( , )y x v t y x t . (0.4)

Funktioner af formen beskrevet i ligning (0.1) opfylder netop differentialligningen

2 2

2 2 2

( , ) 1 ( , )u x t u x t

x v t

, (0.5)

som er kendt på bølgeligningen.

Refleksion og Transmission

Når en bølge møder en grænseflade mellem to medier vil en del af bølgen reflekteres

og den resterende del vil transmitteres. En snorbølge der reflekterer på en mur

inverteres, men hvis snorens ende kan bevæge sig frit inverteres den ikke.

figur 1. (venstre) Reflektionen af en bølge ved en fastgjorte ende af en stram snor. Den

reflekterede bølge er inverteret, men formen er ellers uændret. (højre) Reflektionen af en bølge

ved en løse ende af en stram snor. Bølgen er ikke inverteret.

Når en snorbølge møder en grænseflade mellem en tynd og en tyk snor, vil den

reflekterede del blive inverteret, hvis overgangen sker fra en tynd til en tyk snor.

Fysiknoter1 3 af 13

figur 2. (venstre) En bølge bevæger sig på en tynd snor som er sat sammen med en tyk snor. Den

reflekterede bliver inverteret. Den resterende del transmitteres til gennem den tykke snor.

(højre) En bølge bevæger sig på en tyk snor som er sat sammen med en tynd snor. Den

reflekterede del er ikke inverteret, den resterende del transmitteres gennem den tynde snor.

Udbredelsesfarten af en snorbølge er givet ved

v

, (0.6)

hvor er snorspændingen,[] = N, og µ er massefylden pr. længde enhed, [ ] kgm

.

v er således højest i den tynde snor, og reglen, om at den reflekterede bølge inverteres,

hvis overgangen sker fra et medium med en højere udbredelsesfart til et medium med

en laver udbredelsesfart gælder generelt for alle bølger, også elektromagnetiske

bølger.

Sinusbølger

Sinusfunktionen er nok den simpleste bølge man kan forestille sig. Mere

komplicerede bølger kan beskrives med en superposition af sinusbølger. At sinus

bølgen bevæger sig i x-aksens retning betyder ikke at materialet bevæger sig i x-

aksens retning.

Her kommer lige lidt definitioner (se figur 1):

Bølgelængden, er afstanden mellem to toppe. Perioden, T er tiden mellem to toppe.

Frekvensen, f, [f] = s-1

= Hz er givet ved 1

fT

Fysiknoter1 4 af 13

Amplitude, A er forskellen mellem ligevægt og det maksimale udsving.

figur 3. Grafisk beskrivelse af bølgeudsving. (a) Et øjebliksbillede af bølgen til

tiden t = t0, : Bølgelængden er afstanden mellem to toppe, A: Amplituden er den maksimale forskydning fra ligevægt. (b) Den tidslige udvikling i punktet x = x0.

T: Perioden er tidsintervallet som det tager at bølgen at rejse en bølgelængde.

Man kan vise at én løsning til bølgeligningen er:

2

( , ) sin ( )y x t A x vt

. (0.7)

Dette er formelen for en sinus bølge, der bevæger sig i x-aksens positive retning.

Sinus bølger kaldes harmoniske bølger netop fordi de opfylder ligningen for

harmoniske bevægelser. Læg mærke til at ligningen har formen f(x - vt).

Per definition bevæger en bølge sig afstanden på tiden T derfor er bølgens fart givet

ved vT

. Og så lige lidt mere slang

Bølgetallet, k er givet ved 2

k

Den angulære frekvens, er givet ved 2

T

.

Ligningen (0.7) antager at bølgen er 0 til tiden t = 0 i x = 0. Det betyder at den

generelle ligning er givet ved

( , ) siny x t A kx t (0.8)

Fysiknoter1 5 af 13

Hvor vi har indsat noget bølgelære slang og fasekonstanten.

Fase

kx t kaldes bølgens fase og angiver hvor langt bølgen er nået i sit udsving. er

fasekonstanten eller mere sigende kaldes den ofte begyndelses fasen, altså den der

definerer værdien y værdien til t = 0 og x = 0.

Bølgen i ligning (0.8) bevæger sig i x-aksens positive retning. Hvis for bølger der

bevæger sig i x-aksens negative retning skal et enkelt fortegn ændres sådan at

forskriften bliver.

( , ) siny x t A kx t (0.9) Cosinus

Man kunne lige så vel have brugt cosinus funktionen til at beskrive sinus bølgerne.

Ud over at det ville have været forvirrende med navnet, kan man vise at en cosinus

funktion også ville kunne opfylde bølgeligningen, desuden vil det være de samme

løsninger fordi

1 1 22sin cos coskx t kx t kx t

hvor 2 1 2 . Altså skulle fasekonstanten drejes en kvart omgang.

Vi skal senere se at sinusbølger er et meget brugbart redskab i beskrivelsen i mere

komplicerede bølger.

Transverse og longitudinale bølger

En bølge med den specielle egenskab at den, at dens udsving er enten vinkelret på

eller parallelt med bølgens udbredelses retning kaldes hhv. en transversal og en

longitudinal bølge.

En snorbølge er en transversal bølge, og en lydbølge er en longitudinal. Vandbølger er

hverken eller (eller måske begge dele), idet vandmolekylerne (mediet) bevæger sig i

en cirkulær bevægelse (figur 4). Når bølgen kommer på lavt vand hindres den

cirkulære bevægelse og bølgen rejser sig og kammer over.

Fysiknoter1 6 af 13

Jordskælv udsendes som både transversale og longitudinal bølger, der udbreder sig

med forskellig fart. Jordskælvets epicenter kan derfor bestemmes ved at sammenligne

tidsrummet mellem den transversale og den longitudinale bølge.

figur 4. Bølger på et dybt hav er en blanding af transverse og longitudinale

bevægelser. Den resulterende bevægelse af vandmolekylerne i overfladen er en

cirkulær bevægelse.

Lydbølger En lydbølge er kendetegnet ved, at forstyrrelsen sker i form af ændringer i mediets

tryk og massetæthed.

Lydbølger kan således skabes ved at vibrationer i stemmebåndet, en guitarstreng eller

et trommeskind overføres til luftens molekyler.

Lydbølger i gasser (fx luft) og væsker er longitudinale, hvorimod bølger i fastestoffer

indeholder både transversale og longitudinale komponenter pga. de stærke kræfter

mellem molekyler og atomer i faste stoffer.

Lydbølger inddeles i 3 kategorier efter frekvens.

o Hørbar lyd (20 Hz – 20 kHz), som opfattes af det menneskelige øre. o Infralyd (< 20 Hz)

o Bruges angiveligt af elefanter til at kommunikere over lange afstande. o Nogle mennesker generes af infralyde fra fx trafik eller vejarbejde. Det

er formegentligt øret der er det væsentlige organ til at opfange infralyd.

o Ultralyd (> 20 kHz) o Bruges bl.a. til hundefløjter. Flagermus og delfiner bruger ultralyd som

sonar til at orientere sig med.

o Ultralyd bruges også til scanning af fx fostre, hvor de reflekterede lydbølger bruges til billeddannelse.

Lydens fart

Lydens fart er givet ved

,/ i

B Pv B

V V

, (0.10)

hvor , 3[ ]kg

m , er massefylden, og det såkaldte bulk modulus B, 2[ ]

N

mB , angiver

hvor svært det er at sammenpresse det pågældende medium. Bemærk ligheden med

hastigheden for en snorbølge ligning (0.6). B og er begge udtryk elastiske

egenskaber, og og µ angiver begge massefylden.

Fysiknoter1 7 af 13

Da væskers mindre sammenpresselighed overgår deres større massefylde i forhold til

gasser, er lydens fart større i vand (1482 m/s ved 20 ˚C) end i luft (343 m/s ved 20

˚C). I et fast stof som træ er lydens fart 4100 m/s ved 20 ˚C.

Da både lydens B og afhænger af temperaturen gør lydens fart det også. For luft er sammenhængen

273331 1CT

C Cv T

, [TC] = ˚C (0.11)

Et lynnedslag fører til en meget kraftig opvarmning af en luftsøjle, og den

efterfølgende udvidelse af luften skaber en trykbølge som vi opfatter som et

tordenskrald. Afstanden i km til et lynnedslag kan findes ved at dele antallet af

sekunder mellem lysglimtet og lydbølgen med 3. I teorien er det ikke præcis 3 man

skal dele med, men i praksis virker det. Man kan også beregne hvor varmt det skal

være for at man kun skal dele med 2 for at finde afstanden. Det er alle tiders

underholdning de lange vinteraftner.

Periodiske lydbølger

Lydbølger kan beskrives som en sammenpresning af fx luft. Forestiller man sig en

cylinder indeholdende luft og med et stempel kan en lydbølge genereres hed at flytte

stemplet hurtigt (figur 5 øverst). Umiddelbart foran stemplet vel trykket øges. Det

øgede tryk vil propagere gemmen gassen (figur 5 næst øverst). Bemærk at lydbølgens

fart ikke er den samme som stemplets fart.

Fysiknoter1 8 af 13

figur 5. En longitidunal bølge propagerer gennem et gasfyldt rør. Den mørke

farve illustrerer et højere tryk. Kilden til bølgen er det oscillerende stempel til

venstre.

Man kan betragte en lydbølge på to måder, enten som en trykændring, P, som vist i

figur 5, eller som en forskydning af molekylernes ligevægts position, s. Man kan

beskrive denne forskydning af molekylernes position som

max( , ) cos( )s x t s kx t , (0.12)

hvor smax er den maksimale forskydning af et element i forhold til dets ligevægt. Det

kaldes ofte for forskydningsamplituden.

Trykændringen i en lydbølge; Eksempel 17.3

Lad os prøve at finde formelen for trykændringen, ΔP, som beskrivelse af en

lydbølge.

Hvis vi forestiller os en gas i en cylinder som i figur 5. En tynd ’skive’ af gassen et

sted foran stemplet vil have tykkelsen Δx og tværsnits arealet A. Hvis stemplet er

stille, vil skiven have volumen Vi = A* Δx. Når stemplet bevæger sig og en lydbølge

passerer, vil de to endeflader af skiven bevæge sig forskellige afstande. Forskellen

betegnes Δs. Ændringen i volumen vil være ΔV = A* Δs. Som beskrevet i ligning

(3.1) er Bulk modulussen defineret som ændringen i trykket delt med ændringen i

volumen.

/ i i

P B V A s sB P B B

V V V A x x

Hvis vi nu lader skiven blive uendelig tynd dvs. Δx går mod dx, og Δs går mod ds.

Fysiknoter1 9 af 13

max maxcos( ) sin( )ds

dP B Bs kx t Bs k kx tdx x

Lydens fart er givet ved

2Bv B v

og kv

,

så den maksimale trykændring vil være den højeste værdi af konstanterne ’foran’

sinusfunktionen. Altså

2

max max max maxP Bs k v s v sv

Derfor kan variationen i gastrykket, P, beskrives om en oscillation omkring sin

ligevægt. For en periodisk bølge som den er vist i figur 5, der opfylder forskydningen

givet i ligning (0.12) kan man vise at

max sin( )P P kx t , (0.13)

hvor trykamplituden Pmax, som er den maksimale trykændring er givet ved

max maxP v s . (0.14)

Læg mærke til at trykbølgen og forskydningsbølgen er ude af fase med 90˚.

Intensitet af en periodisk bølge

Vi vil i dette afsnit se på intensiteten af lydbølger ved at gøre nogle energi

overvejelser omkring et lille element af gas.

Lad os igen se på et stempel i en gasfyldt cylinder som (figur 6). Betragt et element af

gassen med bredden x og massen m foran stempelet. Stemplet oscillerer med

frekvensen .

figur 6. Et oscillerende stempel overfører energi til en gas i en cylinder, hvilket

får et element af gas med bredden x og massen m til at oscillere med en

amplitude på smax.

Lad os først se på ændringerne af den kinetiske energi som gaselementet besidder til

et givet tidspunkt t = t0. Den kinetiske energi er jo givet ned 21

2K mv . Så lad os

finde farten, som jo er den første afledte af positionen, af elementet.

max max( , ) ( , ) cos( ) sin( )v x t s x t s kx t s kx tt t

(0.15)

Fysiknoter1 10 af 13

Og den kinetiske energi til tiden t0 = 0 er

2 21 1

max max2 2

2 21max2

sin( ) sin( )

sin

K m s kx A x s kx

A x s kx

(0.16)

Hvis vi ser på den kinetiske energi over en hel bølgelængde og lader elementet blive

meget mindre vil x → dx og

2 22 21 1max max2 20 0

2 21 1 1

max max2 2 4

sin sinK dK A s kx dx A s kx dx

A s A s

(0.17)

Man kan vise på en lignende måde at den potentielle energi for en bølgelængde er den

samme som den kinetiske energi, så den totale mekaniske energi er

2

1max2

E A s (0.18)

Den energi som passerer et givet punkt er

2

12max2 1

max2

A sEEAv s

t T T

(0.19)

Vi definerer intensiteten, I, af en bølge til at være den rate hvormed energi overføres

gennem enhedsareal, A.

IA

(0.20)

I afsnittet om snorbølger sprang vi let og elegant over alle energibetragtninger, men

de foregår på ca. samme måde som diskussionen om intensiteten af lydbølger.

dB-skalaen

For nemheds skyld bruger jeg i dette afsnit P i stedet for det håndskreven P til at

betegne effekten, pas på ikke at forveksle effekten med trykket.

Da de lydintensiteter, det menneskelige øre kan opfange, varierer over 12

størrelsesordner (altså faktor 1012

) er det partisk at indføre en logaritmisk skal til at

beskrive lyd niveauer. Dette er også gjort af psyko-fysiologiske årsager. Det er nemlig

sådan at hvis man beder forsøgspersoner at beskrive en lyd der er dobbelt så høj, eller

dobbelt så lav vil det passe med en fordobling hhv. halvering i dB-skalaen ikke i

intensitetsskalaen.

100

10log ,I

dBI

, (0.21)

hvor reference intensiteten I0 er valgt som gennemsnitsmenneskets nedre høre grænse,

som er vedtaget til 212

0 10W

mI .

En forskel på 10 dB svarer altså på en faktor 10 i lydintensiteten. Høregrænsen er altså

10 dB mens den øvre grænse eller smerte grænsen er ca. 120 dB.

Decibel kommer af deci som betyder en tiende del og bel som stammer fra Abraham

Bell, som jo opfandt telefonen.

Fysiknoter1 11 af 13

Doppler effekten for lyd

Dopplereffekten

Frekvensen af bølger, der rammer et skibsskrog, vil øges i takt med skibets fart mod

bølgerne øges. At bølgernes frekvens, periode og bølgelængde afhænger af

observatørens relative fart i forhold til bølgekildens, er kendt som Dopplereffekten.

Det er således Dopplereffekten, som forklarer frekvensen af sirenerne fra en

passerende ambulance.

figur 7. Dopplereffekten. En lydkilde, K, bevæger sig med farten, vK, mod en

observatør, O, som bevæger sig mod lydkilden med farten, vO. Lydkilden

udsender lyd med en bølgelængde på K i forhold til observatøren.

Betragt en lydkilde K og en observatør O, som bevæger sig mod hinanden med farter

på hhv. vK og vO målt i forhold til luftens (eller mere generelt bølgemediets) fart.

Observatøren oplever en bølgelængde, O, en smule kortere end da de blev udsendt.

Bølgerne er blevet Δ kortere.

O K , (0.22)

K bevæger sige netop vKT i løbet af en periode, og det er netop den afstand O forkortes med, så

K K KO K K Kv v v vv

v Tf f f f

(0.23)

hvor vi først har indsat den inverse frekvens i stedet for perioden, og senere farten delt

med frekvensen i stedet for bølgelængden.

Da observatøren bevæger sig mod kilden vil han møde bølgerne hurtigere end deres

hastighed i mediet ( Ov v ) og frekvensen som han opfatter, fO, vil være højere end

den udsendte.

OOO

v vf

(0.24)

Men vi kender jo allerede O fra ligning (0.23), så den indsætter vi bare.

OOK

v vf f

v v

(0.25)

Dette er det generelle udtryk for Dopplereffekten.

Fysiknoter1 12 af 13

Vær opmærksom på at formlen er udledt med en observatør og en kilde, der bevæger

sig mod hinanden. Hvis det ikke er tilfældet skal man være opmærksom på

fortegnene.

Dopplereffekten forekommer ikke bare for lydbølger. Elektromagnetiske bølger bliver

også Doppler-forskudt. Man bruger bl.a. denne forskydning til at måle stjerners

afstand til jorden. Man kender de frekvenser som stjernerne udsender, men ser en

forskydning af disse mod en lavere frekvens. Det kalder man en rødforskydning, fordi

synligt lys bliver mere rødt. Jo mere rødforskudt spektret er set fra jorden, jo hurtigere

bevæger stjernen sig væk fra os. Man antager samtidigt at universet udvider sig lige

meget og lige hurtigt over det hele. Derfor vil stjerner der er langt væk stadig bevæge

sig hurtigere væk. Derfor er rødforskydningen, eller dopplerforskydningen af spektret,

et udtryk for hvor langt stjernen er væk.

Ultralyd Ultralydsscanning er en af de mange metoder der findes i medicinsk billeddannelse.

Det er ikke specielt avanceret, men til gengæld er det nemt at bruge.

En ultralydsscanner virker principielt ved at udsende højfrekvente (1 – 5 MHz)

lydpulse, som reflekteres i grænsefladerne mellem to vævstyper. Den reflekterede lyd

opfanges igen. Forsinkelsen af lyden indikerer afstanden til grænsefladen. Dygtige

Sundhedsteknologi ingeniører vil kunne generere billeder ud fra dette. Selve

billeddannelsen skal vi ikke se på i dette kursus, men lad os se lidt nærmere på

hvordan lyden reflekteres i kroppen.

Lad os først repetere hvordan lydens hastighed i forskellige medier afhænger af

mediets elastiske egenskaber og densiteten

B

v

(0.26)

hvor v er lydens hastighed, B er mediet bulk modulus og er mediets densitet. Den akustiske impedans, Z, beskriver lydens gennemtrængelighed gennem et medium og

er givet ved:

Z v (0.27)

Nå lydbølgen møder en grænseflade mellem to medier vil en del af den reflekteres og

den anden del vil transmitteres i det nye medie. Dette er en principiel egenskab ved

alle bølger også for lysbølger, som vi skal se på senere. Lad os forestille os at en

lydbølge med intensiteten, Ii, bevæger sig gennem et medium med en akustisk

impedans på Z1. Bølgen møder et andet medium med akustisk impedans på Z2.

Den reflekterede intensitet, Ir, er givet ved:

2

1 2

1 2

r i

Z ZI I

Z Z

(0.28)

Og intensiteten af den transmitterede bølge er givet ved

t i rI I I (0.29)

Bemærk at hvis Z1 = Z2 er Ir = 0, altså vil lyden ikke reflekteres med udelukkende

transmitteres videre.

Fysiknoter1 13 af 13

Frekvensen af ultralyden har betydning for størrelsen af den objekter der kan

reflektere bølgerne. Objekter, som er mindre end bølgelængden kan ikke detekteres.

Frekvensen betyder også noget for hvor meget af lydbølgens energi der absorberes.

Fx vil 50 % af intensiteten blive absorberet over 7 cm for lyd med f = 1 MHz. Højere

frekvenser absorberes hurtigere. Derfor er det et ’trade-off’ mellem opløsning og måle

dybde når man vælger frekvensen af sit ultralydsapparat.

Man kan også forestille sig at man måler på frekvensen af den reflekterede bølge.

Hvis grænsefladen, som reflekterer lyden, ikke bevæger sig vil den udsendte frekvens

være den samme som den reflekterede. Hvis grænsefladen derimod bevæger sig vil

man måle et Doppler skift af frekvensen. På den måde kan man måle fx

blodgennemstrømningen i arterierne, eller et fosters navlestreng.

Ultralyds elementer kan også arrangeres i array’s eller bevæges for at optage 3D

billeder.

Ultralyd bliver i vid udstrækning i medicin brugt til scanning, men kan også ved høje

intensiteter bruges som et kirurgisk instrument. Grænsen mellem terapeutisk og

kirurgisk brug er af størrelsesordenen 104 Wm

-2.

Blood flow måling med ultralyd http://www.crcnetbase.com/isbn/9780824740962

I dette kapitel er der et resumé om ultralyd, og nogle eksempler på måling af flow

med ultralyd.

http://www.crcnetbase.com/isbn/9780824740962