fysikk for lˆrerutdanningen - web01.usn.noknielsen/kompendier/mekanikk... · 2020. 8. 4. · 1.1....

Fysikk for lærerutdanningen

Kjetil Liestøl Nielsen

Innhold

1 Fysiske størrelser 7

1.1 Standardform og prefikser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Skalarer og vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Fysiske system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Bevegelse 13

2.1 Posisjon og forflytning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Strekning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Fart og hastighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Hastighet eller fart? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.2 Posisjonsgraf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.3 Momentanfart og momentanhastighet . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.4 Konstant fart og konstant hastighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Akselerasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.1 Bevegelseslikninger ved konstant akselerasjon . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.2 Galileis fallov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.3 Dekomponere bevegelse med konstant akselerasjon . . . . . . . . . . 38

2.4 Relativitetsteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4.1 Einsteins spesielle relativitetsteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Krefter 49

3.1 Newtons første lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2 Newtons andre lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3 Tyngdekraften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4 Newtons tredje lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5 Friksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.6 Hooks lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.7 Newtons gravitasjonslov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.7.1 Eksempel: Tiltrekkende personer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.7.2 Eksempel: Utlede tyngdeakselerasjonen . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3

4 INNHOLD

4 Energi 71

4.1 Arbeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2 Kinetisk og potensiell energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2.1 Kinetisk energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2.2 Potensiell energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3 Bevaring av energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4 Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.4.1 Virkningsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.5 Energi og masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5 Elektrisitet 87

5.1 Elektrisk ladning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2 Elektriske krefter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.3 Statisk elektrisitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.3.1 Vannmolekylet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.4 Elektriske kretser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.4.1 Elektrisk spenning og strøm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.4.2 Kirchoffs lover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.4.3 Elektrisk motstand og Ohms lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.4.4 Seriekoblinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.4.5 Parallellkoblinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6 Magnetisme 111

6.1 Magnetisk felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.2 Magnetisk kraft pa ladning i bevegelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.3 Magnetfelt fra en strømførende ledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.4 Induksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.5 Magnetisme som et relavistisk fenomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

A Matematisk grunnlag 119

A.1 Regning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

A.1.1 De fire regnearter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

A.1.2 Regne med bokstaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

A.1.3 Regneregler for addisjon og multiplikasjon . . . . . . . . . . . . . . . 121

A.1.4 Ulike typer tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

A.1.5 Potensregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

A.2 Løse likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

A.2.1 Likninger med en ukjent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

A.2.2 Likninger med flere ukjente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

A.3 Funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

A.3.1 Grafen til en funksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

INNHOLD 5

A.3.2 Lineære funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132A.3.3 Kvadratiske funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

A.4 Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132A.5 Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

A.5.1 Vektoraddisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134A.5.2 Dekomponering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135A.5.3 Multiplikasjon med skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136A.5.4 Vektormultiplikasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

B Utledninger 141B.1 Bevegelseslikninger ved konstant akselerasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . 141B.2 Tidsdilatasjon og lengdekontraksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142B.3 Vegvesenets fartskampanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145B.4 Kinetisk energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148B.5 Hydrostatisk trykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149B.6 Oppdrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6 INNHOLD

Kapittel 1

Fysiske størrelser

Fysiske størrelser er alt som kan kvantiseres gjennom maling. En fysisk størrelse bestar aven verdi og en enhet, der enheten sier noe om hva slag type fysisk størrelse vi har med agjøre. I tillegg bruker vi symboler til a representere fysiske størrelser. Her spiller det ingenrolle hva slag symbol man bruker, men det er ofte noen som gar igjen i fysikken. Vi brukerofte t for tid, m for masse og V for volum, f.eks:

t = 5.0 s

m = 13 kg

V = 2 m3

I eksemplet over hadde tiden t, enheten s, som star for sekund, mens masse m, haddeenheten kg (kilogram). Nar man far flere enheter av samme type, kan man enten skille demved a bruke forskjellige bokstaver, f.eks. b for bredde og h for høyde, som begge er mal forlengde. Et annet alternativ er a bruke “subscripts”, f.eks. ta og tb. Her er det lettere a se atbade ta og tb er mal for tid siden begge bruker bokstaven t. Hvilken konvensjon man brukervil avhenge hva som føles mest naturlig fra oppgave til oppgave. Den fysiske størrelsen forvolum V i eksemplet over, har det vi kaller for en sammensatt enhet. Den bestod av trelengdeenheter (m for meter) multiplisert sammen sammen. For a kunne beskrive et volum,trenger vi lengdemal i tre dimensjoner; lengde, bredde og dybde. Vi kan lettere se hvorfordisse enhetene ma ganges sammen ved a regne ut volumet til en kloss med lengde l = 1.0m, bredde b = 2.0 m og dybde d = 3.0 m. Volumet blir da:

V = l · b · d = 1.0 m · 2.0 m · 3.0 m = 1.0 · 2.0 · 3.0 ·m ·m ·m = 6.0 m3

Enheter følger samme multiplikasjonsregler som tall, sa i eksemplet over har vi rett og slettfatt meter ganger meter ganger meter som blir meter i tredje.

7

8 KAPITTEL 1. FYSISKE STØRRELSER

Det finnes flere enheter for samme fysiske størrelse. Istedenfor sekund, kunne vi malttid i minutt eller timer. Nar man gjør utregninger i fysikken, derimot, bruker man vanligvisSI-enhetene. Dette er enheter vi er vant med, f.eks. kg (kilogram) som enhet for masse, m(meter) som enhet for lengde og s (sekund) som enhet for tid. For temperatur bruker vienheten K (Kelvin). Sammenhengen mellom Kelvin og Celsius blir beskrevet senere i dettedokumentet. Dersom vi har oppgaver der fysiske størrelser er oppgitt i andre enheter ennSI-enheter, f.eks. cm (centimeter), g (gram) eller h (timer), ma vi ofte gjøre om enhetenetil SI-enheter for at vi skal fa riktig svar. Selv om det i noen oppgaver ikke vil være strengtnødvendig a gjøre om til SI-enhetene, er dette en god praksis for a unnga feil i utregninger.

Tabell 1.1: Oversikt over SI-enhetene.

Størrelse Enhet Enhetsnavn

Lengde m meterMasse kg kilogramTid s sekundElektrisk strøm A ampereTemperatur K kelvinStoffmengde mol molLysstyrke cd candela

1.1 Standardform og prefikser

I fysikken kommer man ofte over fysiske størrelser som er svært store eller svært sma, f.eks.massen til et elektron

me = 0.0000000000000000000000000000009109 kg

eller massen til solen

mE ≈ 19890000000000000000000000000000 kg

Det er tungvindt a skrive disse tallene pa vanlig form, sa man bruker ofte standardformeller prefikser for a forkorte notasjonen. Standardform vil si at man skriver tallet pa formen

k · 10n

hvor k er et reelt tall mellom null og 10, og n er et heltall. Pa standardform kan vi skrivemassen til elektronet og jorden som

1.1. STANDARDFORM OG PREFIKSER 9

me = 9.106 · 10−31

mE = 1.989 · 1030

som er lettere a jobbe med. Det er ogsa vanlig a bruke prefikser. Anta at vi har to fysiskestørrelser der den ene, s, representerer en lengde og P representerer en effekt. Istendenfora skrive

s = 10000 m

P = 1210000000 W

kunne vi skrevet

s = 10 km

P = 1.21 GW

Her har vi ’komprimert’ 1000-tallet inn i bokstaven k. Denne star for ’kilo’ slik at 10000meter leses som 10 kilometer. I den andre størrelsen har vi brukt symbolet G som tilsvarer109. I stendenfor a si 1.21 milliarder watt, ville vi sagt 1.21 Gigawatt. Tabellen under viservanlige prefikser:

Tabell 1.2: Liste over SI-prefikser

Navn Symbol Verdi

piko p 10−12

nano n 10−9

mikro µ 10−6

milli m 10−3

centi c 10−2

deci d 10−1

deca da 101

hekto h 102

kilo k 103

mega M 106

giga G 109

tera T 1012


Eksempel

Det er viktig a kunne skrive om fysiske størrelser fra en prefiks til en annen. Det mestkjente er nok a gjøre om km/h (kilometer per time) om til m/s (meter per sekund).

a) Gjør om 90 km/h til m/s.

b) Gjør om 15 m/s til km/h.

c) Gjør om 5.0 kg/m3 til g/cm3.

Løsning:

a) Vi gjør om hver enhet hver for seg. Siden k = 1000, kan vi skrive km som 1000 m. Itillegg er det 60 minutter i en time og 60 sekunder i et minutt. I en time er det derfor60 · 60 = 3600 sekund. Dette gir oss:

90km/h = 90km

h= 90

1000 m

3600 s= 90

1

3.6m/s =

90

3.6m/s = 25 m/s

b) En meter er en tusendels kilometer m= 11000 km. I tillegg er et sekund 1/3600 del av en

time s= 13600 h. Setter vi dette inn, far vi:

15m/s = 15m

s= 15

11000 km

13600 h

= 153600 km

1000 h= 15 · 3.6 km/h = 54 km/h

Fra oppgave a) og b), ser vi at vi kan dele pa 3.6 for a gjøre om fra km/h til m/s oggange med 3.6 for omgjøre fra m/s til km/h.

c) Vi bruker samme fremgangsmate som oppgavene over. I et kilogram er det 1000 gram,kg = 1000 g, og det er 100 cm i en meter, m = 100 cm. Nar vi setter dette inn i uttrykket,er det en fordel a sette en parantes rundt meteren lar hele parantesen være opphøyd itredje.

5.0 kg/m3 = 5.0kg

(m)3 = 5.01000 g

(100 cm)3 = 5.0102 g

(102 cm)3

= 5.0103 g

106 · cm3= 5.0 · 10−3 g/cm3

1.2. SKALARER OG VEKTORER 11

1.2 Skalarer og vektorer

Fysiske størrelser forekommer i to varianter, skalarer og vektorer. En skalar er en fysiskstørrelse som har en verdi og en enhet, f.eks. masse, volum, lengde, temperatur, energiog arbeid. Vektorer, derimot, har i tillegg til størrelse og enhet, en retning assosiert medseg. Eksempler pa vektorstørrelser er forflytning, hastighet, akselerasjon og kraft. Det erviktig a presisere her at med retning, sa mener vi som regel en romlig retning. Sa selvom man kan si at tiden har en retning (fremover og bakover), sa tenker vi ikke pa dettesom en vektorstørrelse. Det gir ikke mening a si at tiden gar mot nordøst. I fysikken ogmatematikken er det ulike notasjoner for en vektor. Dersom vi skal presisere at den fysiskstørrelse, u, er en vektor, gjør vi dette vanligvis ved a enten bruke fet skrift u, eller a skriveen pil over symbolet, ~u.

u = ~u

I denne boken vil fet skrift bli brukt nar vektorer blir brukt i hovedteksten, mens i tegningervil pil over symbolet bli brukt. Vektorer visualiseres i tegninger ved a tegne en linje medpil i retningen vektoren peker, der lengden av linjen sier noe om størrelsen pa vektoren(se figuren under). Egenskaper til vektorer kommer til a bli viktig a store deler av denneboken. For mer informasjon om vektorer, se kapittel A.5.

Figur 1.1: Vektorer visualiseres som piler.

1.3 Fysiske system

A beskrive situasjoner nøyaktig i fysikken kan fort bli svært komblisert. I et saltkorn erdet ca. 1.2 · 1018 atomer, og det sier seg selv at det er praksik umulig a kunne beskrivetilstanden til alle atomene i et eple. Men det er heller ikke nødvendig i alle situasjoner.Dersom vi ønsker a beskrive hvordan et eple beveger seg gjennom luften nar det blir kastet,er det unødvendig a beskrive alle atomene i eplet for a beskrive bevegelsen. Alle atomenei eplet blir f.eks. dratt ned mot jorden pga. tyngdekraften. Men istedenfor a beskrivetyngdekreftene pa hvert enkelt atom, kan vi heller se pa eplet som ett legeme som blirpavirket av en tyngdekraft som virker i massesenteret til eplet. Vi har valgt a set pa epletsom et system: dvs. en avgrenset del av universet som vi ønsker a undersøke. Alt som ikke


er en del av systemet, dvs. alt utenom eplet, kaller vi omgivelsene. I denne situasjonen blirsystemet pavirket av en tyngdekraft fra omgivelsene. Dersom et system ikke blir pavirketeller har noen pavirkning pa omgivelsene, sier vi at systemet er lukket.

Figur 1.2: Vi kan se pa eplet som ett objekt som blir pavirket av en tyngdekraft, selv om tynge-kraften egentlig virker pa alle atomene i eplet individuelt.

Kapittel 2

Bevegelse

Alt i universet er i stadig bevegelse og en beskrivelse av bevegelsen til legemer er derforviktig for a kunne forsta verden rundt oss. Selv om bevegelse er et stort tema, kan detforenkles til a kunne beskrive tre fysiske størrelser; posision, hastighet og akselerasjon. Serman pa mange av de fysiske lovene vi har, ser man etterhvert at de fleste handler om abeskrive disse tre fysiske størrelsene, eller andre fysiske størrelser nært tilknyttet disse.

2.1 Posisjon og forflytning

Vi tar for oss følgende eksempel:

Ola kjører fra Drammen til Oslo. Turen tar 40 minutter. Etter a ha vært i Osloen time, bruker han 36 minutter pa a kjøre til Gardermoen for a hente foreldrasine som bur i Vestfossen. Ola er pa Gardermoen i 2 timer før han kjører motVestfossen. Turen fra flyplassen til Vestfossen tar 1 time og 34 minutter.

Vi ønsker a undersøke denne turen nærmere. Hvor langt har han reist og hvor fort har hankjørt under turen? Det første vi kan prøve a beskrive, er hvor langt Ola har reist pa deulike destinasjonene. Selv om veien mellom de ulike destinasjonene ikke danner en perfektrett linje, kan vi likevel fa mye informasjon ut av reisen ved a forenkle turen til a ha værtlangs en rett linje. Vi kan plassere alle destinasjonene i et endimensjonalt koordinatsystem(dvs. en tallinje) der x-aksen representerer avstanden de ulike stedene har fra Drammen,malt i km.Vi sier at hver av stedene har en posisjon i koordinatsystemet. Posisjon er en vektor-størrelse, dvs. en fysisk størrelse med verdi og retning. Verdien blir avstanden fra Drammen,mens retningen blir om vi ma kjøre til venstre eller høyre for Drammen i koordinatsys-temet. La oss kalle posisjonsvektoren til Vestfossen, Oslo og Gardermoen for henholdsvissv, so og sg. Siden vi har et endimensjonalt koordinatsystem, vil alle vektorene kun ha enkomponent (i x-retning). La oss kalle disse komponentene for sv, so og sg. Disse blir da:

13

14 KAPITTEL 2. BEVEGELSE

Figur 2.1: Turen fra Drammen til Gardermoen og tilbake, og videre forbi Drammen til Vestfossen,kan forenkles til en rettlinjet bevegelse.

sg = 91 km

so = 43 km

sv = −23 km

I tillegg har ogsa Drammen en posisjon i koordinatsystemet. Dersom vi kaller posisjons-vektoren til Drammen for sd, far vi

sd = 0 km

Figur 2.2: Posisjon er en vektor som viser avstand og retning fra origo. Her har vi plassert Drammeni origo.

Siden aksen representerer avstanden fra Drammen, far posisjonsvektoren til Drammenverdien null. I vart koordinatsystem, har vi plassert Drammen i nullpunktet til aksen.Dette punktet kaller vi for koordinatsystemets origo. Alle posisjoner blir da malt relativttil origo. Vi kunne ogsa definert origo til a være i Oslo. All posisjonsvektorer ville da blittrelativt til dette nye origo, dvs.

2.1. POSISJON OG FORFLYTNING 15

sg = 48 km

so = 0 km

sv = −66 km

sd = −43 km

Figur 2.3: Posisjonsvektorene nar Oslo er plassert i origo.

Nar Ola er i Oslo for sa a kjøre videre til Gardermoen, endrer han sin posisjon. En endringi posisjon kaller vi for forflytning. I dette eksemplet endrer Ola sin posisjon fra so til sg.Dette er en forflytning pa 48 km mot høyre i koordinatsystemet. Vi trenger et symbol fordenne forflytningen. Siden forflytning innebærer en endring i posisjon, er det vanlig a brukeDelta-symbolet, ∆. Siden vi har brukt symbolet s for a representere de ulike posisjonene,kan vi representere en endring i s ved a bruke symbolet ∆s. I vart eksempel er denne gittved

∆s = sg − so

dvs. vi tar differansen mellom sluttposisjonen og startposisjonen i forflytningen. Vi kan dasette opp en definisjon pa forflytning:

Definisjon pa forflytning

Anta at et legeme endrer sin posisjon fra s0 til s1. Legemet har da gjennomgatt enforflytning, ∆s gitt ved

∆s = s1 − s0


Her er det noen ting som er verdt a legge merke til. For det første sa er forflytningenuavhengig av hvor vi har plassert origo. Vi antar fortsatt en endimensjonal bevegelse. Laoss kalle den ene komponenten til ∆s for ∆s. Dersom vi bruker koordinatsystemet medDrammen i origo, far vi

∆s = sg − so = 91 km− 43 km = 48 km.

Nar Oslo er plassert i origo, far vi akkurat det samme

∆s = sg − so = 48 km− 0 km = 48 km.

Det andre som er verdt a legge merke til, er at forflytning er en vektorstørrelse. Vi kanforflytte oss mot høyre eller venstre i koordinatsystemet. Nar Ola forflytter seg fra Garder-moen til Vestfossen, har Ola gjennomgatt en forflytning gitt ved:

∆s = sv − sg = −23 km− 91 km = −114 km.

Minustegnet viser at dette er en forflytning mot venstre i koordinatsystemet. At forflyt-ning mot høyre er positivt mens venstre er negativt, er bare en konvensjon vi har valgt ossbasert pa hvordan vi plasserte koordinatsystemet. Vi kunne like godt tegnet koordinatak-sen slik at positiv retning var mot venstre. Det kan være situasjoner hvor det er gunstig aplassere aksene pa en bestemt mate, men i denne situasjonen spilte det liten rolle. Dersomikke noe annet er spesifisert, er det underforstatt at positiv retning er retningen koordinat-aksene vanligvis peker. For et todimensjonalt koordinatsystem med en horisontal x-akse ogen vertikal y-akse, vil positiv x-retning være mot høyre, mens positiv y-retning er oppover.

Figur 2.4: Forflytning er en vektor.

En tredje ting som er verdt a legge merke til, er at dersom forflytningen starter i origo,vil forflytningsvektoren bli lik posisjonsvektoren til sluttposisjonen. Bruker vi den generelledefinisjonen av forflytning, har vi s0 = 0. Dersom vi da kaller sluttposisjonen for s, far vi

2.1. POSISJON OG FORFLYTNING 17

∆s = s− s0 = s

Dersom forflytningen starter i origo, er det derfor vanlig a droppe ∆-tegnet og bare brukesymbolet til sluttposisjonen for a forenkle notasjonen, dvs. skrive s istendenfor ∆s.

La oss ta det innledende eksemplet et steg videre. Fra Vestfossen kjører Ola en litentur til Gullhaug før han kjører tilbake til Drammen. Turen til Gullhaug tar han gjennomEidsfoss, som er den korteste veien i retning sørøst, mens han kjører rett nord gjennomSande nar han kjører tilbake til Drammen. I dette eksemplet blir det problematisk a plasserealle steder langs samme rette linje siden han kjører en annen rute tilbake til Drammen fraGullhaug. Vestfossen ligger vest for Drammen mens Gullhaug sør for Drammen. Her blirdet mer praktisk a plassere stedene i et todimensjonalt koordinatsystem.

Figur 2.5: Vestfossen, Drammen og Gullhaug plassert i et forenklet todimensjonalt koordinatsys-tem.

I figuren over har vi plassert Drammen i origo, Vestfossen 23 km direkte vest for Drammenog Gullhaug 33 km direkte sør for Drammen. Pa et kart vil man se at dette er en forenklingav virkeligheten, men det er likevel en mer korrekt beskrivelse enn a ha alt liggende langssamme rette linje. Posisjonsvektorene til Vestfossen, sv og Gullhaug, sh blir da

sv = [−23, 0] km

sh = [0,−33] km

Forflytningen fra Vestfossen til Gullhaug blir dermed


∆s = sh − sv = [0,−33] km− [−23, 0] km = [23,−33] km

Dette er en vektor som peker 23 km vestover og 33 km sørover. Dersom vi plasserer dennevektoren i posisjonen til Vestfossen, ser vi at det passer med forflytningen fra Vestfossentil Gullhaug.

Figur 2.6: Posisjonsvektorene og forflytningsvektoren fra Vestfossen til Gullhaug.

Vi kan finne hvor langt Ola har kjørt ved a regne ut lengden av vektoren ∆s (se kap. A.5for lengde av en vektor):

|∆s| =√

232 + (−33)2 km =√

1618 km ≈ 40 km

Apner vi opp et kart, ser vi at dette stemmer godt overens med den faktiske kjøreavstandenmellom Vestfossen og Gullhaug.

2.1.1 Strekning

I eksemplet over antok vi at Ola kjørte direkte til Gullhaug fra Vestfossen. Ola kjørteda en strekning pa 40 km, samme som lengden av forflytningsvektoren. Strekningen, ellerveilengden, som Ola tilbakelegger nar han kjører fra Vestfossen til Gullhaug, trenger der-imot ikke nødvendigvis være lik lengden av forflytningen. Dersom Ola hadde først kjørt tilDrammen, for sa a svinge sørover og kjøre mot Gullhaug, har Ola tilbakelagt en strekninglik strekningen til Drammen pluss strekningen til Gullhaug fra Drammen, dvs strekningend er:

2.2. FART OG HASTIGHET 19

d = 23 km + 33 km = 56 km

Forflytningen blir derimot den sammen i dette tilfellet, dvs. 40 km mot sørvest. Forflytningsier bare hvor mye Ola har forflyttet seg fra startposisjonen til sluttposisjonen, men den sieringenting om hvordan Ola kom seg fra start til slutt. Han kunne kjørt i en rett linje ellertatt en veldig stor omvei. Forflytningen er den samme, men den tilbakelagte strekningen erforskjellig. I motsetning til posisjon og forflytning, er strekning en skalar størrelse. Vi kantenke pa tilbakelagt strekning som tallet som vises pa tripptelleren i bilen.

I eksemplet over brukte vi symbolet d for strekning. Dette kommer fra det engelskeordet ’distance’. Vi kunne ogsa brukt ordet ’avstand’ for strekning, men da er det viktig avære presis med hva man mener. Avstand er definert som lengden mellom to punkter. Vikunne sagt at tilbakelagt strekning er lik avstanden mellom Drammen og Vestfoss plussavstanden mellom Drammen og Gullhaug. Ordet avstand blir derimot ogsa ofte brukt somsynonym til posisjon. Anta at vi kaster en stein rett opp. Steinens avstand fra bakken vil daøke mens steinen er pa vei oppover. Etterhvert vil steinen derimot falle nedover igjen slik atavstanden, eller posisjonen, i forhold til bakken avtar. Strekningen steinen tilbakelegger paturen sin, derimot, er en størrelse som kun øker etterhvert som tiden gar. Nar steinen liggerpa bakken igjen, har den en avstand fra bakken pa 0, men den tilbakelagte strekningen er2 ganger høyden steinen nadde (en for veien opp og en for veien ned).

2.2 Fart og hastighet

Ola brukte 40 minutter pa a kjøre fra Drammen til Oslo, og 36 minutter a kjøre fra Oslotil Gardermoen. Selv om det er en lengre avstand mellom Oslo og Gardermoen enn mellomDrammen og Oslo, brukte Ola mindre tid pa a kjøre til Gardermoen. Det ma bety at Olatilbakela mer strekning per tid nar man kjørte mot Gardermoen enn nar han kjørte motOslo. Vi sier at Ola kjørte med en større fart nar han kjørte mot Gardermoen. Vi brukerofte symbolet v for fart. Pa turen fra Oslo til Gardermoen kjørte Ola 48 km pa 36 minuttereller 0.60 h (h = time). Han kjørte da med en fart pa

v =48 km

0.60h= 80 km/h

Grunnen til at vi gjorde om tiden fra minutter til time, var for at vi da far sluttsvaret ienheten km/h istedenfor km/minutt. Skulle vi brukt SI-enheter, noe som vanligvis anbefalesnar man regner oppgaver, ville enheten til fart blitt m/s (meter per sekund). Pa sin tur tilOslo fra Drammen, kjørte Ola kjørte en strekning pa 43 km. Han brukte 40 minutter eller2/3 h pa denne turen. Dette gir oss en fart pa


v =43 km

23h

= 64.5 km/h ≈ 65 km/h

Det er derimot noe som ikke helt stemmer med disse tallene vi har fatt. Det virker merkeligat Ola har kjørt med farten 80 km/h under hele strekningen fra Oslo til Gardermoen. InniOslo er det flere steder med en fartsgrense pa 60 km/h, og utenfor Oslo er det steder medfartsgrenser pa 110 km/h. Det er derfor liten sannsynlighet at Ola kjørte i 80 km/h underhele turen. Utifra den informasjonen vi har, kan vi derimot ikke si noe om hvor fort Olakjørte under de ulike delene av strekningen mellom Oslo og Gardermoen. Det eneste vi vet,er tiden han brukte pa hele strekningen. Det blir derfor ikke helt riktig a si at Ola kjørtemed en fart pa 80 km/h, men at han kjørte med en gjennomsnittsfart pa 80 km/h. Dersomvi hadde sett pa alle de ulike fartene Ola kjørte med under turen og tatt gjennomsnittetav disse, ville dette gjennomsnittet blitt 80 km/h.

For a symbolisere at det er snakk om et gjennomsnitt, er det vanlig a legge til en strekover symbolet, v 1. Vi burde derfor heller brukt denne notasjonen nar vi beskrev farten tilOla nar han kjørte fra Oslo til Gardermoen:

v = 80 km/h

Definisjon pa gjennomsnittsfart

Anta at et legeme tilbakelegger strekningen, d, pa tiden t. Legemet har da hatt engjennomsnittfart, v, gitt ved:

v =d

t(2.1)

2.2.1 Hastighet eller fart?

Ordene hastighet og fart blir ofte brukt om hverandre i dagligtalen. I fysikken er det derimoten ganske tydelig forskjell. Fart er en skalar størrelse, mens hastighet er en vektor. Mensfart er tilbakelagt strekning per tid, er hastighet forflytning per tid. Siden forflytning er envektor, vil forflytning per tid ogsa bli en vektor. Slik som med fart, sa vet vi ikke hvordanOla kjørte under en bestemt forflytning, bare den totale forflytningen og tiden ha brukte.Vi kan da regne ut en gjennomsnitthastighet, v, gitt ved

v =∆s

t1pass pa a ikke forveksle gjennomsnittsnotasjonen v med vektorpilnotasjonen ~v.


Ola brukte 1 time og 34 minutter, eller 1.567 h pa a kjøre fra Gardermoen til Vestfossen.Vi har tidligere sett at dette tilsvarer en forflytning pa

∆s = sv − sg = −114 km

Siden vi har en endimensjonal, rettlinjet bevegelse, har hastighetsvektoren bare en kom-ponent i x-retning. Siden vi brukte symbolet v for gjennomsnittfart, ma vi bruke et an-net symbol for x-komponenten til gjennomsnitthastigheten v siden fart og hastighet ikkenødvendigvis er lik, selv i rettlinjet bevegelse. En vesentlig forskjell er at fart alltid er po-sitivt siden strekning alltid er positivt, mens komponentene til en hastighet kan være badepositiv og negativ avhengig om den peker i positiv eller negativ retning pa koordinataksen.Vi bruker derfor heller symbolet vx som x-komponenten til gjennomsnitthastigheten. Vifar da:

vx =∆s

t=−144 km

1.567 h= −91.895 km/h ≈ −92 km/h

Hastigheten har en lengde pa 92 km/h og retning mot venstre i koordinatsystemet. Istenden-for a fa oppgitt tiden Ola brukte pa a forflytte seg fra Gardermoen til Vestfossen, kunne viogsa tenke oss at vi fikk oppgitt tidspunktene nar Ola var pa de ulike stedene. Anta at vihar en stoppeklokke og setter den pa idet Ola begynte pa turen sin fra Drammen. Legger visammen tidene Ola brukte pa de ulike delene av turen, far vi at Ola reiser fra Gardermoenved tiden tg = 4.267 h etter at han startet turen fra Drammen. Ved tiden tv = 5.834 h erhan fremme ved Vestfossen. Tiden han brukte fra Gardermoen til Vestfossen, blir da diffe-ransen mellom sluttiden og startiden. Siden vi ser pa en endring i tid, bruker vi symbolet∆t:

∆t = tv − tg = 5.834 h− 4.267 h = 1.567 h

Vi ville da skrevet gjennomsnitthastigheten som

v =∆s

∆t

Det kan virke overflødig a introdusere denne ekstra notasjonen for gjennomsnittshastig-heten, det kommer til a bli nyttig a bruke denne notasjonen som definisjon pa gjennom-snittshastighet nar vi skal definere absolutt hastighet og absolutt fart. Denne notasjonenkan derimot ofte forenkles dersom vi antar at forflytningen starter i origo og ved tiden 0.Dersom vi da kaller sluttposisjonen for s og sluttidspunktet for t, blir uttrykket reduserttil:

v =∆s

∆t=

s− 0

t− 0=

s

t


Figur 2.7: Ola passerer s0 ved tiden t0 og s1 ved tiden t1.

som er en litt mer ryddig notasjon a forholde seg til.

Definisjon pa gjennomsnittshastighet

Anta at et legeme har posisjonene s0 og s1 ved henholdsvis tidene t0 og t1, hvort1 > t0. Legemet har da hatt en gjennomsnitthastighet gitt ved

v =∆s

∆t=

s1 − s0

t1 − t0(2.2)

eller

v =s

t(2.3)

dersom vi starter i origo ved tiden 0 og lar s være posisjonen ved tiden t.

Lengden pa 144 km/h tilsvarer ogsa strekningen Ola kjørte fra Gardermoen til Vestfossenslik at vi far samtidig at Ola kjørte med en gjennomsnittsfart pa:

v =d

t=

144 km

1.567 h≈ 92 km/h

Utifra eksemplet over, kan det være fristende a pasta at gjennomsnittfarten til et legeme erlik lengden av gjennomsnitthastigheten, men dette er ikke alltid tilfelle. Dersom man haren endimensjonal, eller rettlinjet, bevegelse, vil dette stemme dersom man alltid bevegerseg i samme retning, slik som i eksemplet over. Dersom bevegelsen endrer retning underveisi turen, vil gjennomsnittfarten og gjennomsnitthastigheten kunne bli forskjellig. Anta atOla kjørte fra Drammen til Oslo pa 40 minutter, for sa a kjøre rett tilbake til Drammenpa 50 minutter. Avstanden mellom Oslo og Drammen er 43 km, sa Ola har da tilbakelagten strekning pa


d = 43 km + 43 km = 86 km

Denne strekningen brukte han 90 minutter (40 + 50) eller 1.5 h. Gjennomsnittfarten harda vært:

v =d

t=

86 km

1.5 h= 57.333 km/h ≈ 57 km/h

Siden bade startposisjonen og sluttposisjonen er i Drammen, vil forflytningen til Ola være:

∆s = sd − sd = 0

som betyr at gjennomsnittshastigheten blir

vx =∆s

t= 0

noe som er ganske forskjellig fra gjennomsnittsfarten.

2.2.2 Posisjonsgraf

For a fa et visuelt bedre inntrykk av en bevegelse, kan det være gunstig a tegne bevegelseni en graf. Vi ska holde oss til rettlinjede eller endimensjonale bevegelser nar vi lager slikegrafer. Da kan vi tegne hele bevegelsen inn i et todimensjonalt koordinatsystem der vi larførsteaksen være tid og andreaksen være posisjon. Figuren under viser et eksempel pa enbevegelse:

Figur 2.8: Eksempel pa en posisjonsgraf.


Personen starter i origo. Personen bruker sa 1 sekund pa a ga 2 meter. Det neste sekundeter grafen helt horisontal. Tiden gar, men posisjonen endrer ikke verdi. Da star personenstille. Personen bruker sa ytterligere 1 sekund pa a ga to meter slik at personen er 4 meterfra hvor han startet. Sa begynner verdien til posisjonen a minke. Da har personen snudd ogbegynner a ga motsatt veg. Han fortsetter a ga forbi hvor han startet helt til han kommer2 meter bak stedet hvor han startet.

2.2.3 Momentanfart og momentanhastighet

Frem til na har vi kun sett pa gjennomsnittfart og gjennomsnitthastighet. Men nar vi serpa speedometeret i bilen, viser ikke den en gjennomsnittfart, men hvilken fart vi har panøyaktig det tidspunktet vi ser pa speedometeret. Det blir en slags ’fart i øyeblikket’, ellermomentanfart. Vi kan ogsa tenke pa en momentanhastighet som ’hastigheten i øyeblikket’.Det store spørsmalet blir hvordan vi skal definere disse størrelsene siden vare definsjonerav fart og hastighet baserer seg pa a male en strekning eller forflytning over et tidsintervall.Kan det da gi mening a snakke om hastigheten pa et bestemt tidspunkt siden vi da ikkehar en endring i tid?

For a utlede en definisjon pa momentanfart og momentanhastighet, skal vi se pa enrettlinjet eller endimensjonal bevegelse. Hastighetsvektoren har da kun en komponent, vx.Anta at vi skulle male denne hastigheten i praksis. Vi kunne da plassert en person vedposisjon s0 med en klokke. Akkurat idet Ola passerer s0, maler vi tiden t0. Litt lengreborte, ved posisjon s1, star det en annen person som noterer tiden t1 nar Ola passerer s1.Vi kunne da regnet ut gjennomsnitthastigheten ved a regne ut hvor lang tid Ola brukte paa forflytte seg fra s0 til s1

vx =∆s

∆t=s1 − s0

t1 − t0Anta at vi ønsker a finne hastigheten til Ola akkurat nar han passerte s0. For a fa etbedre bilde av hastigheten i nærheten av s0, maler vi hastigheten over et sa lite som muligtidsintervall. Dersom ∆t er liten, vil ogsa ∆s være liten siden Ola ikke kommer sa langt paet lite tidsintervall. Det vil si at s0 og s1 vil ligge nærme hverandre. Det er lite sannsynligat Ola har rukket a endre hastigheten sin nevneverdig over dette intervallet, sa var maltehastighet vil gi et bedre bilde av bevegelsen til Ola i nærheten av s0.Men selv om hastigheten vi malte gir et bedre bilde av hastigheten til Ola idet han passertes0, er det fortsatt en gjennomsnitthastighet vi har malt. Vi kan derimot definere momen-tanhastigheten i s0 som gjennomsnitthastigheten vi maler nar vi lar ∆t bli uendelig liten.I matematikken sier vi at vi lar ∆t ga mot null. Den matematiske notasjonen for dette erlim

∆t→0. Dersom vi kaller momentanhastigheten for vx, far vi:

vx = lim∆t→0

∆s

∆t


Figur 2.9: Ola passerer s0 ved tiden t0 og s1 ved tiden t1. I situasjon 2 er ∆t mindre. Da blir ogsa∆s mindre

Dette kan virke som en litt kunstig definisjon siden det er praktisk umulig a male etuendelig lite intervall, men det finnes matematiske verktøy som gjør det mulig a regne utslike grenseverdier dersom vi vet hvordan posisjonen endrer seg med tiden. I denne bokenskal vi ikke ga inn pa denne matematikken, sa vi lar bare dette sta som en formell definisjonpa hva vi mener med momentanhastighet.

Denne grenseverdien har derimot en geometrisk betydning som vi skal undersøke nær-mere. La oss tegne en tenkt bevegelse i en posisjonsgraf hvor vi markerer to (t0, s0) og(t1, s1), og tegner en rett linje gjennom punktene, Stigningstallet til denne linjen, m, væregitt ved

m =∆s

∆t=s1 − s0

t1 − t0

Stigningstallet til denne linjen er rett og slett gjennomsnitthastigheten til Ola. Dersom vilar ∆t ga mot null, vil punktene vi tegner linjen mellom ga mot hverandre slik at linjen garmot en linje som tangerer grafen i punktet (t0, s0). Dersom vi har tegnet grafen til posisjonsom funksjon av tid, slik som over, sa vil momentanhastigheten i et bestemt punkt værelik stigningstallet til linjen som tangerer grafer til s i punktet vi er interessert i. Vi sier athastigheten er den deriverte av forflytningen med hensyn pa tiden. For store hastighetervil tangenten være en bratt linje, mens den ligger mer horisontalt for lave hastigheter.Nar vi snakker om hastigheten til et legeme, mener vi som regel momentanhastigheten ogikke gjennomsnitthastigheten. Vi kommer derfor som regel bare til a bruke ordet hastig-het nar vi mener momentanhastighet. I eksemplet over hadde vi en rettlinjet bevegelse.


Figur 2.10: Gjennomsnitthastigheten er stigningstallet til en rett linje fra startpunktet til slutt-punktet.

Definisjonen pa hastighet blir derimot det samme for flerdimensjonal bevegelse, bare at vibruker vektornotasjon:

v = lim∆t→0

∆s

∆t

Denne notasjonen kan være litt omstendig, sa det finnes mer kompakte notasjoner. Denmest brukte er Leibniz-notasjonen. Nar ∆t gar mot 0, vil bade ∆t og ∆s bli uendelige sma.Nar vi har uendelig sma størrelser (men som er større enn null), er det vanlig a bruke distendenfor ∆, slik at vi kunne skrevet hastigheten som

v = lim∆t→0

∆s

∆t=ds

dt.

I fysikken er ogsa Newtons notasjon mye brukt. For a beskrive at vi ser pa hvordan enfysiske størrelse endrer seg med tiden, kan vi putte en liten prikk over symbolet dvs.

v =ds

dt= s

Alle disse notasjonene er bare forskjellige mater a skrive det samme; hastigheten er et malfor hvordan posisjonen endrer seg med tiden. Nar vi har definert hastighet, kan vi ogsadefinere momentanfart, eller bare farten, til et legeme i et bestemt punkt. Vi har tidligeresett at farten kun er absoluttverdien av gjennomsnitthastigheten dersom legemet bevegeri en dimensjon, dvs. en rett linje. Nar ∆s blir uendelig liten, blir ogsa endringen i retning


Figur 2.11: Nar ∆t→ 0, vil linja gjennom (t0, s0) og (t1, s1) ga mot tangenten til grafen i punktet(t0, s0).

uendelig liten. Uansett hvor mange dimensjoner bevegelsen foregar i, vil den bli tilnærmetrettlinjet siden ∆s er uendelig liten. Vi kan dermed definere farten, v, som lengden avhastighetsvektoren pa lik linje som vi kunne gjøre for gjennomsnittfart og gjennomsnitt-hastighet for rettlinjet bevegelse.

Momentanfart og momentanhastighet

Anta at et legeme tilbakelegger strekningen ∆s pa tiden ∆t. Momentanhastigheten,eller bare hastigheten, til legemet v er da definert som:

v = lim∆t→0

∆s

∆t=ds

dt= s (2.4)

Momentanfarten, eller bare farten, til legemet er definert som lengden av hastighets-vektoren.


2.2.4 Konstant fart og konstant hastighet

Anta at Ola kjører fra Drammen til Oslo uten at ferdien pa speedometeret endrer seg. Visier da at Ola har kjørt med konstant fart under hele turen, dvs. at verdien til farten ikkehar endret seg. Dersom Ola kjører i en rett linje uten a endre fart, vil han ogsa ha kjørtmed konstant hastighet. Hverken verdien til hastigheten eller retningen endrer seg. Antaat Ola kjører med konstant hastighet, v, langs en rett linje. Vi antar at Ola starter i origoog at han har posisjonen s etter tiden t. Siden hastigheten aldri endrer verdi eller retning,vil gjennomsnitthastigheten bli lik den konstante hastigheten. Vi far da at

v =∆s

∆t=s− 0

t− 0=s

t

Vi kan skrive om uttykket over til a fa en uttrykk for posisjonen som funksjon av tid vedkonstant fart:

s = vt

Dersom s hadde representert strekning og v fart, ville vi fatt samme formel som over. Deter derfor vanlig a bruke symbolet s ogsa som symbolet for strekning. I formelen over harvi antatt at Ola starter i origo ved tiden t = 0. Dersom vi ser pa s som en funksjon avt, vil grafen til s(t) danne en rett linje. Uansett hvilket punkt vi velger, vil tangenten tilgrafen i punktet ligge sammen med grafen selv. Verdien til hastigheten er den samme foralle tidspunkter. Hastighten er konstant.

Figur 2.12: Posisjonsgrafen til et legeme som beveger seg med konstant hastighet, er en rett linje.

Dersom vi antar at Ola kan bevege seg i flere dimensjoner, far vi samme formel, baremed vektortegn for posisjon og hastighet:

s = vt


Siden en konstant vektor betyr at den hverken endrer verdi eller retning, vil forflytningenfortsatt ga i en rett linje nar hastigheten er konstant, selv om vi har en flerdimensjonalbevegelse.

Bevegelse med konstant hastighet

Posisjonen s til et legeme med konstant hastighet v er gitt ved

s = vt

dersom legemet starter i origo og t er tiden fra vi starter a male. Dersom s er strekningog v farten til legemet, far vi:

s = vt

Dette blir ogsa uttrykket for posisjonen til et legeme som beveger seg langs en rettlinje med hastighet v.

Eksempel: tordenvær

Lyd er en trykkbølge som kan bevege seg i et materiale. I luft beveger lyden seg med fartenv = 343 m/s. Anta at vi star og ser pa et tordenvær og ser lynet sla ned i det fjerne. Ettert = 3.0 s hører vi tordenet. Hvor langt unna var lynnedslaget?

Løsning: Dersom vi antar at lyden beveger seg med konstant fart, kan vi bruke formelenover og vi far:

s = vt = 343 m/s · 3.0 s = 1029 m ≈ 1.0 km

En god tommelfingerregel er at lynet er en km unna for hvert tredje sekund vi teller.

Eksempel: tordenvær - del 2

I den forrige oppgaven har vi egentlig gjort en liten forenkling. Siden lyset beveger seg medfarten c = 3.0 · 108 m/s, vil det ta litt tid før lyset fra lynet nar oss. Idet vi ser lynet,har lyden derfor allerede beveget seg et lite stykke. Hva blir avstanden til tordenværet narhørte lyden 3.0 sekunder etter at du sa lynnedslaget, men der vi tar hensyn til lysfarten?


Løsning La oss kalle tiden lyset bruker pa a na oss for tc, og tiden lyden bruker pa ana oss for tl. Nar vi ser lynet, har lyden allerede beveget seg med tiden tc. Siden vi hørerlyden t = 3.0 s etter at vi ser lynet, far vi at

tl = t+ tc

Avstanden lyden har tilbakelagt er dermed

s = vtl = v(t+ tc)

Siden lyset gar med konstant fart c, vil avstanden til lynet ogsa være gitt ved

s = ctc

Vi kan skrive om dette slik at vi far tc = s/c. Setter vi det inn for tc i likningen over, farvi:

s = v(t+

s

c

)s = vt+

v

cs

s− v

cs = vt

s(

1− v

c

)= vt

s =vt

1− v

c

=343 m/s · 3.0 s

1− 343 m/s

3.0 · 108 m/s

= 1029.001176 m ≈ 1.0 km

Ved a se bort ifra lysfarten, far vi kun en feil pa ca. en centimeter. Siden lynet var ca. enkilometer unna, er en feil pa en centimeter en mer enn akseptabel forenkling.

2.3 Akselerasjon

Nar Ola begynner pa turen sin fra Drammen, star bilen i ro før han øker farten til bilenopp til fartsgrensen. Dersom vi sitter i bilen, vil det oppleves svært forskjell om han bruker

2.3. AKSELERASJON 31

lang tid pa a øke farten enn om han presser gasspedalen i bunn og øker farten pa korttid. I det siste eksemplet sier vi at bilen har hatt en stor endring i fart per tid, dvs. bilenhar hatt en stor akselerasjon. Teknisk sett er akselerasjon endring i hastighet per tid ogikke fart per tid. Akselerasjon er derfor en vektorstørrelse. Dersom Ola har en endring ihastighet, ∆v over et tidsrom pa ∆t, vil han ha hatt en gjennomsnittakselerasjon pa

a =∆v

∆t

Anta at vi ser pa den turen til Ola som en rettlinja bevegelse slik at alle vektorer kun har enkomponent langs x-aksen. Dersom Ola starter med hastigheten v0 = 0, for sa a bruke ∆t =5.0 s pa a øke farten til v1 = 90 km/h = 25 m/s, har han hatt en gjennomsnittakselerasjonpa:

a =∆v

∆t=v1 − v0

∆t=

25 m/s− 0

5.0 s= 5.0 m/s2

Fra eksemplet over fikk vi ogsa enheten til akselerasjon. Siden enheten til telleren er m/sog enheten til nevneren er s, vil den totale enheten til akselerasjon blir m/s/s eller m/s2.Anta sa at Ola plutselig ser en hindring slik at han ma brabremse, og at bilen bruker 3.0sekunder pa a ga fra v0 = 25 m/s til v1 = 0. Han har da hatt en gjennomsnittakselerasjonpa

a =∆v

∆t=v1 − v0

∆t=

0− 25 m/s

3.0 s= −8.3333 m/s2 ≈ −8.3 m/s2

Det negative fortegnet viser at akselerasjonen gikk motsatt vei som bevegelsen, dvs. ak-selerasjonen gjørde at hastigheten avtok, dvs. vi bremser. For a fa et uttrykk for mo-mentanakselerasjonen, altsa akselerasjonen pa et bestemt tidspunkt, gjør vi det sammesom for hastighet og lar tidsintervallet ga mot null. Momentanakselerasjonen, eller bareakselerasjonen, blir da:

a = lim∆t→0

∆v

∆t=dv

dt= v

Dersom vi ser pa en rettlinjet begevelse der vi tegner grafen til hastigheten v som funksjonenav tiden t, vil akselerasjonen i et punkt, være lik stigningstallet til linjet som tangerer grafentil v i dette punktet.Det er viktig a huske pa at vi kan fortsatt ha en akselerasjon selv om farten er konstant.Et godt eksempel pa dette er ved sirkelbevegelse. Anta at et legeme beveger seg i enperfekt sirkel med konstant fart. Selv om farten og hastigheten ikke endrer verdi, sa endrer


Figur 2.13: Akselerasjonen er stigningstallet til tangenten til en hastighetsgraf. Pa tidspunktet t1peker tangenten oppover, dvs. at hastigheten øker, dvs positiv akselerasjon. Pa t2 peker tangen-ten nedover, sa her minker hastigheten. Akselerasjonen er negativ. Pa t3 er tangenten horisontal.Hastigheten holder seg konstant og akselerasjonen er null.

Figur 2.14: Et legeme som beveger seg i en sirkel med konstant fart, har en akselerasjon som pekerinn mot sentrum av sirkelen.

hastigheten retning hele tiden. Da har vi en akselerasjon. Denne akselerasjonen vil virkeinn mot sentrum av sirkelenVerdien til denne akselerasjonen er gitt ved uttrykket

a =v2

r

hvor r er radiusen i sirkelen og v er banefarten, dvs. den konstante farten til legemet mensden beveger seg rundt sirkelen. Dersom r minker, minker nevneren i uttrykket over ogbrøken som helhet blir større. Dvs. at akselerasjonen er større for en mindre sirkel. Dettepasser godt med vare daglige erfaringer, siden vi kjenner akselerasjonen best i en svingdersom svingen er skarp.


Akselerasjon i en sving

Anta at et legeme beveger seg med konstant fart v i en sirkel med radius r. Det virkerda en akselerasjon inn mot sentrum av sirkelen. Størrelsen pa denne akselerasjonener gitt ved:

a =v2

r(2.5)

Eksempel: Akselerasjon fra jordens bevegelse rundt solen

Jorden gar i en bane rundt solen. Siden vi følger jordens bevegelse, er alle mennesker pajorden utsatt for en akselerasjon. Hvorfor merker vi noe til denne akselerasjonen?

Løsning Jorden bruker ca. 356.26 dager eller t = 31558464 sekunder pa a bevege segrundt solen. La oss anta at jorden beveger seg i en sirkel rundt solen (i virkeligheten erbanen litt elliptisk). Avstanden fra jorden til solen er 149.6 millioner km, som blir radiuseni sirkelen. Omkretsen til denne sirkelen, s, er dermed:

s = 2πr

Slik at farten til jorden blir

v =s

t=

2πr

t

Akselerasjonen til jorden pga. dens bevegelse rundt solen er dermed:

a =v2

r=

(2πr

t

)2

r

=4π2r

t2=

4π2 · 1.496 · 1011 m

(31558464 m)2=

= 5.830 · 10−3 m/s2

Dette er en akselerasjon som er ca. 1653 ganger sa liten som akselerasjonen til et eple somfaller fra et tre! Akselerasjonen er sapass liten at vi ikke merker noe til den.


2.3.1 Bevegelseslikninger ved konstant akselerasjon

Dersom akselerasjonen ikke endrer verdi eller retning, sier vi at akselerasjonen er konstant.Bevegelse ved konstant akselerasjon er en veldig viktig del av fysikken da det er flere situa-sjoner hvor vi enten far konstant akselerasjon eller tilnærmet konstant akselerasjon. Detmest kjente eksemplet er akselerasjonen til legemer i fritt fall. En kloss som sklir bortover etgulv, blir bremset opp av en akselerasjon som er tilnærmet konstant. Som vi snart skal se,er det spesielt viktig a kunne finne beskrivelser av rettlinjet, eller endimensjonel, bevegelsemed konstant akselerasjon.

Anta at vi har en rettlinjet bevegelse og ser pa hastigheten til et legeme med konstantakselerasjon. Siden akselerasjonen, a, er konstant, vil det si at legemets hastighet øker medsamme rate hele tiden. Dersom legemet har hastigheten v ved tiden t og hastigheten v0

ved tiden t = 0, vil akselerasjonen til legemet bli

a =∆v

∆t=v − v0

t

som vi kan skrive om til

v = v0 + at

Likningen over danner den første av fire kjente bevegelseslikninger ved konstant aksele-rasjon2. Likningen over viser hvordan farten endrer seg med konstant akselerasjon, menslikningen

s = v0t+1

2at2

beskriver hvordan posisjonen endrer seg med konstant akselerasjon. Av bevegeleslikningene,er det disse to vi kommer til a bruke mest i denne boken. Dersom man ønsker a løse ulikepraktiske problem hvor man har rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon, er ogsalikningen

s =v + v0

2t

og

2as = v2 − v20

2Se kap. B.1 for utledning av alle disse bevegeleseslikningene


mye brukt. Disse likningene viser ulike sammenhenger mellom s, a, v, v0 og t. Hvilke likningman skal bruke, avhenger av hvilket problem man har og hvilke opplysninger man har tilradighet. I denne boken kommer vi som sagt til a fokusere pa de to første likningene.Dersom vi ser pa v som en funksjon av t i den første likningen og s som en funksjon av t iden andre, vil grafen til v(t) bli en rett linje.

Figur 2.15: Grafen til v = v0 + at blir en rett linje.

Vi ser av grafen at den krysser andreaksen (v-aksen) i v0. Funksjonen s(t) kjenner vi igjensom en annengradsfunksjon. Denne har dermed en parabel som graf. Grafen under kanf.eks. vise hvordan høyden til en stein som blir kastet rett opp avhenger av tiden.

Figur 2.16: Grafen til s = v0t + 12at

2 blir en parabel. Figuren til høyre viser en situasjon medkonstant akselerasjon. Variabelen s er her da høyden over handa som funksjon av tiden.


Bevegelseslikninger ved konstant akselerasjon

Et legeme som beveger seg med rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon, opp-fyller likningene

v = v0 + at (2.6)

s = v0t+1

2at2 (2.7)

hvor s og v er henholdsvis posisjonen og hastigheten ved tiden t, v0 er hastighetenved tiden t = 0 og a er legemets akselerasjon.

2.3.2 Galileis fallov

Før Galilei undersøkte bevegelsen til fallende legemer, mente man at hvor fort et legemefalt pga. tyngdekraften, avhengte av hvor stor masse et legeme hadde. Man sa jo at ei lettfjær falt mye saktere enn en tung stein. Galilei undersøkte bevegelsen til fallende legemerved a la dem trille ned et skraplan. Dette gjorde det mulig a undersøke bevegelsen mye mernøyaktig enn tidligere siden kulene trillet sakte nok til a gjøre nøyaktige malinger. En avde store oppdagelsene Galilei gjorde var a vise at fallbevegelsen til kulene var uavhengigav massen til kulene. En tung kule trillet like fort som en lett kule! Og slapp han kulenefra samme høyde, traff de bakken samtidig selv om de hadde forskjellige masser.

Figur 2.17: I fravær av luftmotstand, faller alle legemer pa jordens overflate ned mot jorden medsamme akselerasjon, g, uavhengig av masse.

Dersom kulenes fallbevegelse ikke var avhengig av massen, hvorfor faller da fjæren sak-tere enn steinen? Svaret ligger i at bade steinen og fjæren er omringet av luft mens de faller.Nar fjæren faller, ma den dytte vekk luftmolekyler som er i veien. Det samme ma steinen,men pga. at steinen har større masse, er det lettere for steinen a dytte vekk luftmolekylene(mer om dette i kapitlet om krefter). Resultatet er at fallbevegelsen til fjæren blir bremsetmer enn bevegelsen til steinen pga. motstand mot luften. Dersom vi hadde sett bort ifradenne luftmotstanden, f.eks. ved at fjæren og steinen falt i et lufttomt rom, ville bade


steinen og fjæren falle med samme akselerasjon mot jorden. Dette er Galileis fallov:

Galileis fallov

Alle legemer pa jordens overflate faller mot jorden med samme akselerasjon, g ≈ 9.8m/s2 dersom man ser bort ifra luftmotstanden og at det kun er tyngdekraften sombidrar til bevegelsen. Et legeme som kun blir pavirket av tyngdekraften, sier man eri fritt fall.

Selv om luftmotstanden er relevant for alle legemer som faller pa jorden, vil den i mangetilfeller være neglisjerbar, f.eks. hvis legemet ikke har for stor overflate og ikke faller medfor stor fart. En stein faller med større akselerasjon enn et horisontalt A4-ark. Arket haren stor overflate og kolliderer derfor meg mange luftmolekyler under fallbevegelsen. Krøllerman sammen papiret, blir overflateareaet mye mindre og arket faller med tilnærmet likakselerasjon som steinen. I denne situasjonen kan man regne pa fallbevegelsen som omluftmotstanden ikke er der. Luftmotstanden er neglisjerbar. Siden matematikken i fysiskeproblemstillinger blir fort mye mer komplisert nar vi inkluderer luftmotstanden, kommervi til a som regel se bort ifra luftmotstanden i eksempler og oppgaver. Dersom ikke noeannet er spesifisert, kan du anta at eksemplet ser bort ifra luftmotstanden.

Eksempel: Fallende eple

Et eple henger fra en gren som er 2.0 m over bakken. Dersom eplet faller, hvor lang tid tardet før eplet treffer bakken?

Løsning: Vi antar at eplet faller langs en rett linje, slik at vi kan bruke bevegelsesliknin-gen

s = v0t+1

2at2

der s representerer høyden over bakken. Vi antar at eplet er i ro nar det begynner a falle,slik at v0 = 0. Samtidig har vi at akselerasjonen til legemet er a = g. Dette gir oss


s =1

2gt2

t2 =2s

g

t =

√2 · 2.0 m

9.8 m/s2

= 0.638877 s ≈ 0.64 s

2.3.3 Dekomponere bevegelse med konstant akselerasjon

Vi tar for oss følgende spørsmal:

I den ene handen holder vi en pistol, mens vi holder en stein i den andre handen.Mens vi holder pistolen horisontalt, avfyrer vi et skudd samtidig som vi slippersteinen i den andre handen. Selv om kulen hadde en utgangsfart pa 400 m/s,treffer begge kuler bakken samtidig. Hvorfor treffer de bakken samtidig?

Svaret pa dette spørsmalet ligger i en av de viktigste egenskapene til vektorer. Bade posi-sjonen, hastigheten og akselerasjonen til kula og steinen er vektorer. Nar vi legger sammenvektorer, legger vi sammen tilhørende komponenter3. Dersom vi deler opp all bevegelse i enhorisontal og vertikal del, vil vi kunne regne pa alle bevegelse i vertikal og horisontal retninguavhengig av hverandre. Etter at kula har forlatt pistolen og steinen har forlatt handen,har begge den samme akselerasjonen, g, som peker rett nedover. Siden akselerasjonen kunvirker i vertikal retning eller y-retning, vil den kun pavirke den vertikale bevegelsen til kulaog steinen. I vertikal retning har bade kula og steinen samme hastighet. Steinen starter iro, mens kula har en horisontal hastighet. Bade steinen og kula begynner sa a fa sammevertikal bevegelse pga. den vertikale akselerasjonen, og de treffer derfor bakken samtidig.

Vi kan ogsa vise dette matematisk. La v være hastigeten til steinen. Siden den bevegerseg i en rett linje, kan vi bruke bevegelseslikningen

v = v0 + at

Siden steinen starter i ro, har vi v0 = 0. Dersom vi lar positiv retning være oppover, vilakselerasjonen bli a = −g og vi far:

3Se kap. A.5.1


Figur 2.18: En kule, a, blir skutt rett frem samtidig som en stein b blir sluppet fra samme høyde.Bildene er avbildet ved pa ulike tidspunkt i fallet. Det er gatt like mye tid mellom hver avbilding.Legg merke til at vx er konstant, mens lengden av vb we lik vy.

v = −gt

Kula, derimot, beveger seg i et plan (vertikalt og horisontalt, eller x- og y-retning), sa davil bevegelseslikningen var bli pa vektorform

v = v0 + at

Starthastightene til kula virker i horisontal retning. Dvs. at den kun har en x-komponent,slik at vi kan skrive den som

v = [v0, 0]

Akselerasjonen, derimot, virker kun i negativ y-retning, sa den kan skrives pa formen:

a = [0,−g]


Dersom vi skriver hastigheten som v = [vx, vy], vil vx representere den horisontale has-tigheten, altsa hvor fort kula beveger seg ’bortover’, mens vy representerer hvor mye denbeveger seg ’oppover’ eller ’nedover’. Setter vi inn i bevegeleslikningen, far vi:

[vx, vy] = [v0, 0] + [0,−g]t

For a regne ut denne addisjonen, bruker vi regler for vektoraddisjon4. Nar to vektorer ad-deres, kan vi legge sammen tilhørende komponenter, dvs. x-komponent med x-komponent,og y-komponent med y-komponent. Vi bruker ogsa regelen som sier at dersom vi ganger ettall med en vektor, sa kan vi gange tallet med hver av komponentene. Dette gir oss

[vx, vy] = [v0,−gt]

Nar vi sammenlikner x-komponenten og y-komponenten pa hver side av likheten, ser vi at

vx = v0

og

vy = −gt

Dette viser oss to ting. For det første ser vi at den vertikale hastigheten, vy, har identiskuttrykk som hastigheten til steinen. Bade steinen og kula faller med samme vertikale has-tighet, og vil derfor ogsa treffe bakken samtidig. Vi ser ogsa at den horisontale hastighetentil kula bare er lik v0 under hele turen. Siden det ikke virker akselerasjon i horisontalretning, vil kula bevege seg horisontalt med konstant hastighet.Vi kan gjøre en slik oppdeling av bevegelsen for for bade bevegelseslikningen

v = v0 + at

og

s = v0t+1

2at2

som vi skal se eksempel pa under.

4Se kap. A.5.1


Dekomponere bevegelse

Nar et legeme beveger seg med konstant akselerasjon i flere dimensjoner, kan vi dekom-ponere bevegelsen og regne pa bevegelsen i hver dimensjon som rettlinjede bevegelsermed konstant akselerasjon uavhengig av hverandre.

Eksempel: Skyte eple

Løpet til en pistol peker rett mot et eple i et tre et stykke unna. Akkurat idet pistolenavfyrer en kule mot eplet, begynner eplet tilfeldigvis a falle mot bakken. Kommer kula tila treffe eplet?

Figur 2.19: Løpet til en pistol peker rett mot et eple. Vil kula treffe eplet dersom eplet begynnera falle nøyaktig samtidig som kula blir avfyrt?

Løsning Ja, kula kommer til a treffe (gitt at pistolen er nærme nok til at kula rekkera komme bort til treet før eplet treffer bakken). Siden bade kula og eplet blir pavirket avsamme akselerasjon nedover, vil begge ’falle’ like mye fra hvor de ville vært dersom detikke hadde vært noen tyngdeakselerasjon. Hadde det ikke vært for tyngdeakselersjonen,ville kula vært i samme høyde som eplet nar den kommer til treet. Siden de har sammeakselerasjon og ’faller’ like mye, kommer kula og eplet til a ha samme høyde nar kulakommer bort til treet, og kula treffer fortsatt eplet selv om det faller.

Vi kan ogsa vise dette matematisk. Siden det ikke er spesifisert hverken avstand tiltreet, hvor høyt eplet sitter, eller farten til kula, ma vi regne det ut mer generelt. Vi kalleravstanden til treet for s og den opprinnelige høyden til eplet for h. Anta at kula kommertil treet etter tiden t. Eplet har da høyden he og kula høyden hk. Vi ma vise at disse erlike. Vi dekomponerer farten til kula i en en x- og y-komponent, vx og vy. Siden det kunvirker en akselerasjon i negativ y-retning, far vi for kula:


s = vxt

hk = vyt−1

2gt2

og for eplet har vi at høyden til eplet etter tiden t er gitt ved den opprinnelige høydenminus strekningen det har falt pga. tyngdeakselerasjonen:

he = h− 1

2gt2

Fra tegningen under ser vi at trekanten med vy og vx som kateter, er formlik som trekantenmed s og h som kateter. Da vil forholdet mellom katene være lik for begge trekantene, dvs.

vyvx

=h

s

Figur 2.20: Kule som blir skutt rett mot eplet.

Dersom vi skriver om likningen s = vxt til t = s/vx, kan vi settte dette inn i det førsteleddet i uttrykket for hk samt utnytte formlikheten av trekantene. Vi far da

2.4. RELATIVITETSTEORI 43

hk = vyt−1

2gt2

hk = vys

vx− 1

2gt2

hk =vyvxs− 1

2gt2

hk =h

ss− 1

2gt2

hk = h− 1

2gt2

hk = he

som var det vi skulle vise.

2.4 Relativitetsteori

Vi har sett at posisjonen til et legeme er en relativ størrelse. Hva posisjonen til et legeme er,avhenger av hvor vi har definert origo. Vi sier at legemet har en bestemt posisjon relativttil origo. Hastighet og fart er ogsa relativt størrelser.

Figur 2.21: Hastighet og fart er relative størrelser.

Anta at en person en person gar i midtgangen i et tog med fart pa 1.4 m/s. Alle somsitter inni toget vil være enige om at personen beveger seg med denne farten. Anta attoget passerer en stasjon med farten 25 m/s. En person som star pa perrongen pa sta-sjonen, vil ikke si at personen i toget beveger seg med 1.4 m/s. Han ser jo personen fyke


forbi inni toget, sa fra hans stasted beveger personen inni toget seg med gafarten plussfarten til toget, dvs. 26.4 m/s. Fart er en relativ størrelse og ma alltid males relativt til etreferansesystem. En person inni toget maler alle hastigheter relativt til toget. Toget er dapersonens referansesystem. Personen utenfor maler farten til personen inni toget relativttil stasjonen. Stasjonen blir da brukt som referansesystem.

Eksempel: Kaste eple i bil

Ola er passasjer i en bil som kjører med konstant hastighet pa 60 km/h. Dersom Ola kasteret eple rett opp inni bilen (vi antar at eplet ikke treffer taket), beskriv bevegelsen til epletsett fra Olas stasted, samt hvordan bevegelsen ser ut for en person som star ved veikantenog ser pa.

Figur 2.22: Fra Olas stasted (A), ser det ut som at eplet beveger seg rett opp og ned. Fra noensom star utenfor bilen (B), ser det ut som at eplet beveger seg i en parabel siden bilen beveger segmed farten v.

Løsning Siden bilen kjører med 60 km/h, vil bade Ola og eplet ha en horisontal has-tighet pa 60 km/h idet eplet forlater handa. I tillegg vil eplet ha en vertikal hastightenlik hastigheten Ola kaster eplet opp med. Siden det kun virker en akselerasjon i negativretning, tyngdeakselerasjonen, vil eplet ikke endre sin horisontale hastighet. Den bevegerseg bortover veien med en hastighet pa 60 km/h. Det samme gjør bade bilen og Ola, sasett fra Olas stasted vil eplet bare bevege seg rett opp og ned igjen, akkurat som om hanhadde vært i ro nar han kastet eplet. En person som ser bevegelsen fra veien, derimot, ser


eplet bevege seg med bade en horisontal og vertikal hastighet. Sett fra denne personensstasted, ser det ut som at eplet følger en parabel.

2.4.1 Einsteins spesielle relativitetsteori

Et av de store oppdagelsene i forrige arhundre, var farten til lys i vakum. Lys er en elekt-romagnetisk bølge som beveger seg med farten c = 299792458 m/s ≈ 3.00 · 108 m/s. Detmest interessante med denne farten, er ikke selve verdien, men hvordan den oppfører seg iforskjellige referansesystem. Vi tar for oss togeksemplet over. Anta at en person inni togetlyser med en lommelykt. Dersom personen inni toget har utstyr far a male farten til lys, vilhan male en fart tilnærmet lik verdien over (lyset gar littegrann saktere i luft enn i vakum).Det store spørsmalet blir da; hvilken verdi for lysfarten vil personen utenfor male? Vil per-sonen utenfor oppleve hastigheten til lyset til a være lysfarten i vakum pluss hastighetentil toget? Hva hvis toget beveger seg nær lysets hastighet og i tillegg beveger seg bort fraperrongen? Legger vi sammen hastighetene til lyset og toget, far vi da en hastighet nærnull. Vil lyset fra toget sta nesten stille sett fra personen pa perrongen?

Det oppsiktsvekkende svaret pa denne problemstillingen er at bade personen inni togetog personen pa perrongen maler samme lysfart, c = 3.00 · 108 m/s! Bade personen utenforog inni toget opplever lysfarten likt. Eller sagt pa en annen mate: Lysfarten er den sammeuansett hvilket referansesystem vi bruker. Egentlig er dette bare en halvvegs sannhet. Enmer presis formulering er at lysfarten er den samme i alle treghetssystem. Et treghetssys-tem er et referansesystem som ikke er under akselerasjon. Slike systemer er viktige fordialle fysiske lover oppfører seg likt i alle treghetssystem. Anta at toget beskrevet tidligerebeveger seg med konstant fart. Dersom toget ikke hadde vindu eller laget lyd, sa ville enperson inni toget ikke vært i stand til a avgjøre om toget var i bevegelse eller om det starstille, uansett hvilke fysikkforsøk denne personen kunne komme pa a utføre. I eksempletmed bilen som kjørte med konstant hastighet, sa vi at Ola opplevde bevegelsen til eplet pasamme mate som om han hadde statt i ro utenfor bilen. At alle fysiske lover oppfører seglikt i alle treghetssystem, og at lysfarten er identisk i alle treghetssystem, danner grunnla-get for Einsteins spesielle relativitetsteori.

Einsteins postulater om den spesielle relativitetsteorien

Einstein postulerte at:

1. Alle lover i fysikken oppfører seg likt i alle treghetssystem.

2. Lysfarten, c, i vakum er identisk i alle treghetssystem.

At lysfarten er konstant i alle treghetssystem, kan ved første øyekast virke som ikke noe


spesielt, men det har drastiske konsekvenser for hvordan tid, lengde og masse oppførerseg. Anta at bade en person inni toget og personen pa perrongen star med hver sin klokke.Mens personen inni toget opplever sin klokke ga med vanlig takt, vil personen pa perringenoppleve at klokken til personen inni toget gar saktere enn sin egen klokke! Og dette er ikkeen illusjon. Sett fra perrongen, gar tiden saktere inni toget i bevegelse enn utenfor. Tid erogsa en relativ størrelse. Anta at toget beskrevet over beveger seg med farten v relativttil stasjonen. Dersom en person inni toget maler tiden, t, vil en person utenfor male tideninni toget, t′, til a være:

t′ =t√

1− v2

c2

(2.8)

Se kap ?? for utledning av dette uttrykket. Siden farten, v, er mindre enn lysfarten, c, blirnevneren i uttrykket mindre enn 1, som vil si at faktoren

1√1− v2

c2

blir større enn 1 og vi far at t′ > t.

Eksempel

Anta at vi kjører i 60 km/h i en time (t = 1.0 h). Hvor lang tid har det gatt inni bilen settfra en person som star stille utenfor bilen?

t′ =1.0 h√

1− [(60/3.6) m/s]2

(3.0 · 108 m/s)2

= 1.00000000000000154321 h

Dette er en forsvinnende liten forskjell, og i hvertfall ikke noe vi ville merket i dagliglivet.Men forskjellen er ikke lik null. Tiden gar faktisk forskjellig inni og utenfor bilen. For allepraktiske formal, derimot, kan vi regne som om tiden inni bilen er lik tiden utenfor bilen.Nar vi begynner a nærme oss lyshastigheten, derimot, blir situasjonen en annen. Anta atet romskip beveger i verdensrommet seg med 90 % av lysfarten relativt til jorden i en time.Sett fra en person pa jorda, vil det da ha gatt

t′ =1.0 h√

1− (0.90c)2

c2

= 2.2952 h ≈ 2.3 h


inni romskipet. Tiden inni romskipet har gatt over dobbelt sa sakte som tiden pa jorda!Her blir det svært viktig a regne relativistisk. En tommelfingerregel er at man ma begynnea regne relativistisk dersom hastigheten er ca. 10 % av lysfarten.

Det er ikke bare tiden som er relativ, ogsa lengde er relativt. Personen inni toget vil ogsamale en andre lengder enn personen i ro utenfor toget. Anta at toget kjører fra punkt Atil punkt B ved farten v og at en person i ro pa stasjonen maler avstaden mellom A og Btil a være s0. Sett fra personen inni toget, er det punktene A og B som beveger seg. Sidenpersonen inni toget opplever en saktere tid enn personen utenfor toget, sett fra personenutenfor toget, vil personen inni toget male at avstanden mellom A og B er kortere ennhva personen utenfor toget maler. Dersom personen utenfor toget maler avstanden s0 vilpersonen inni toget male avstanden

s =s0

γ= s0

√1− v2

c2

Sett fra personen utenfor toget, er det toget som beveger seg. Han vil da pasta at lengdenav toget er kortere enn hva personen inni toget ville malt. Lengde er relativt. Merk at dettegjelder kun i retninger parallellt til bevegelsen til toget. Bade personen i toget og personenpa stasjonen maler samme høyde og bredde for toget, men forskjellige lengder.

Kapittel 3

Krefter

I forrige kapitel beskrev vi hvordan akselerasjon kan endre hastigheten og bevegelsen til etlegeme, men vi forklarte aldri hva som ma til for a gi et legeme en akselerasjon. Dersom enboks star i ro pa et gulv, og vi ønsker a gi den en hastighet, ma vi dytte pa boksen. Vi har daen pavirkning pa boksen som medfører at boksen far en akselerasjon. Denne pavirkningenkaller vi for krefter. Akselerasjonen til et legeme i fritt fall, g, kommer ogsa fra en kraft;tyngdekraften. Dette er en kraft som virker mellom to legemer som har masse. En annentype kraft er den elektriske kraften. Dersom vi plasserer to elektrisk ladde legemer nærhverandre, kan vi se at de enten frastøter hverandre dersom de har lik ladning eller tiltrekkerhverandre dersom de har motsatte ladninger. Krefter som virker mellom legemer som er ikontakt, kaller vi kontaktkrefter. Tyngdekraften og den elektriske krafter er eksempler pakrefter som ikke er kontaktkrefter. De virker uten at legemene ma være i fysisk kontakt.

Figur 3.1: Forskjellige typer krefter. A) Dyttkraft, B) Tyngdekraft, C) Elektriske krefter.

I dette kapitlet skal vi studere hvordan krefter pavirker bevegelsen til legemer. Vi startermed en tydelig definisjon pa hva vi mener med en kraft:

49

50 KAPITTEL 3. KREFTER

Definisjon: Krefter

En kraft er en interaksjon mellom to legemer i form av en tiltrekking eller frastøtingsom kan enten endre formen eller bevegelsen til legemene. En kraft er en vektor-størrelse som males i Newton (N).

Dersom vi dytter boksen mot høyre, vil den fa en akselerasjon mot høyre. Dytter vi denmot venstre, vil akselerasjonen virke mot venstre. Kraft er dermed en vektorstørrelse.Kraft følger ogsa superposisjonsprinsippet. Dersom vi pavirker et legeme med flere krefter,vil legeme forflytte seg som om det ble pavirket av en kraft som er lik summen av kreftenevi dyttet med. Dette kommer til a bli viktig for beskrivelsen av hvordan krefter pavirkerbevegelsen til legemer.

Figur 3.2: Krefter er vektorer som følger superposisjonprinsippet, et legemets bevegelse blirpavirket av to krefter pa samme mate som om det var en kraft lik summen av kreftene.

Nar vi tegner pa kreftvektorer pa en figur, er det vanlig a plassere pilen slik at den starteri punktet hvor kraften virker. Dette har vi gjort i figuren over. Vi kaller dette punktetangrepspunktet til kraften.

Fra definisjonen papeker vi ogsa at krefter ikke bare kan endre bevegelse, men ogsaformen til et legeme. Anta at boksen vi dyttet pa var laget av papp. Dersom vi dytter forhardt, kan det hende at vi klemmer sammen boksen istedenfor a bevege den. I det flesteeksempler i denne boken kommer vil til a anta at vi har harde legemer, dvs. legemer somikke endrer form.

3.1 Newtons første lov

Alle legemer har en treghet pga. sin masse, altsa en tendens til a motsette seg endring avsin bevegelse. Handlevognen er et godt daglidags eksempel pa dette. En full handlevogn iro kan være tung a sette i bevegelse, men har vi først fatt vognen opp i en fart, trengervi ikke anstrenge oss mye for a opprettholde denne bevegelsen. Vi ma derimot anstrengeoss dersom vi ønsker a bremse vognen eller svinge rundt et hjørne. Vi trenger krefter for aendre hastigheten til et legeme, men ikke for a opprettholde hastigheten til et legeme. Dette

3.1. NEWTONS FØRSTE LOV 51

kan virke til a stride mot hverdagslige erfaringer. Sender vi en kloss borter en gulv, vil dentil slutt stoppe opp. Men det vi ikke ser, er at klossen blir pavirket av krefter mens den sklirbortover gulvet. Blant annet virker det en friksjonskraft mellom klossen og underlaget sombremser opp bevegelsen. Vi kan sammenlikne den situasjonen med at vi sender en klossbortover en veldig glatt is. Klossen vil da bevege seg mye lengre. Og hadde det ikke værtnoen form for luftmotstand eller friksjon mellom isen og klossen, ville klossen fortsette abevege seg helt til den treffer et objekt.

Dette er essensen i Newtons første lov ; i fravær av krefter vil et legeme bevege med segkonstant hastighet, dvs. at den beveger seg i en rett linje med konstant fart. Pga. super-posisjonsprinsippet kan vi dra dette enda lengre. Anta at noen dytter pa en kloss med enkraft pa 100 N, mens en annen person dytter i motsatt retning med samme kraft. Summenav disse to kraftvektorene, vil bli en vektor med lengde 0. Pga. superposisjonsprinsippetblir det da det samme om det er ingen krefter som virker pa klossen, eller om det er flerekrefter som virker pa klosse hvor summen av disse er lik null.

Newtons første lov

Dersom summen av kreftene som virker pa et legeme er lik null, ligger legemet enteni ro eller beveger seg med konstant hastighet.∑

F = 0 ⇔ v = konstant (3.1)

Eksempel: tyngdekraft og normalkraft

En kloss ligger i ro pa et bord. Gjør rede for kreftene som virker pa klossen.

Løsning Vi vet at det virker en kraft, tyngdekraften Fg, som virker pa klossen. Dennepeker rett nedover mot bakken. Siden klossen ligger i ro, gjelder Newtons første lov. Detma da ogsa virke en annen kraft pa klossen, FN . Dersom vi setter inn i Newtons første lov,far vi

∑F = 0 = Fg + FN

FN = −Fg

Det ma altsa virke en kraft som er like stor som tyngdekraften, men som virker i motsattretning. Hvor kommer denne kraften fra? Denne kommer fra bordet og vi kaller den nor-malkraften siden den star normalt, dvs. vinkelrett pa underlaget. Dette er kraften som gjørat vi kan sta pa bakken eller sitte pa stolen uten a falle gjennom.


Figur 3.3: Normalkraften gjør at klossen ikke faller gjennom underlaget. Normalkraften virkeralltid vinkelrett fra underlaget.

Eksempel: dekomponering av krefter

Figur 3.4: Krefter kan dekomponeres i en vertikal og horisontal del, y- og x-retning. Kraftkompo-nenter i x-retning pavirker ikke akselerasjon i y-retning og omvendt.

Siden krefter er vektorer, kan vi dele de opp i en horisontal og vertikal del pa lik linje somvi kunne gjøre for bevegelse. Dvs. at vi kan se pa Newtons lover i y- og x-retning hverfor seg. La oss ta for oss et eksempel med en kule som blir skutt ut horisontalt. Vi hartidligere sett at en slik kule far en akselerasjon i vertikal retning, mens den beveger segmed konstant fart i horisontal retning. Vi kan dele opp Newtons lover og se pa summen avkreftene i y- og x-retning hver for seg. Tyngdekraften Fg virker rett nedover, far vi:

∑Fy = −Fg

i y-retning, mens vi har

∑Fx = 0

3.2. NEWTONS ANDRE LOV 53

i x-retning. Kreftene som virker i vertikal retning, pavirker ikke legemets horisontale akse-lerasjon og motsatt. Nar vi bruker Newtons lover, er det derfor fordel om vi kan dele oppproblemet i en vertikal og horisontal del.

Eksempel: Bil i sving

Anta at en bil kommer rundt en sving slik figuren under viser. Midt i svingen mister bilenplutselig all veigrep, dvs. ingen krefter i horisontal retning. Bilen har da hastigheten v.Hvilken av pilene viser retningen bilen kommer til a bevege seg etter den mister veigrepet?

Figur 3.5: En bil har hastigheten v idet den mister all veigrep. Hvilken av retningene, A, B, C, Deller E, vil bilen da bevege seg?

Løsning Svaret er C. Idet bilen mister veigrep, er det ingen krefter som virker pa bileni horisontal retning. Bilen vil da bevege seg i med konstant hastighet, dvs. langs en rettlinje med konstant fart. Siden bilen har hastigheten v i retningen som C peker, vil bilenfortsette i denne retningen nar summen av kreftene i bevegelsesretningen er lik null.

3.2 Newtons andre lov

Dersom et legeme ikke beveger seg i en rett linje med konstant fart, har legemet en akse-lerasjon. Det ma da virke en netto kraft pa legemet, dvs. summen av kreftene som virkerpa legemet ma være ulik null. Handlevognen beskrevet tidligere er et godt dagligdags ek-sempel pa dette. Det er lett a trille vognen dersom den beveger seg med konsant fart, mendersom vi prøver a øke farten, bremse vognen eller svinge, kjenner vi at vi ma bruke mer


krefter. Hvor stor kraft vi ma bruke for a akselerere et legeme, avhenger bade av hvor storakselerasjon legemet far og hvor stor masse legemet har. En dobbelt sa stor akselerasjonkrever en dobbelt sa stor kraft. Samtidig vil en dobling av massen, medføre at vi ma doblekraften for a fa legemet opp i samme akselerasjon. Denne sammenhengen mellom kraft,masse og akselerasjon, beskrives av Newtons andre lov.

Newtons andre lov

Summen av kreftene som virker pa et legeme er lik massen til legemet multiplisertmed akselerasjonen til legemet. ∑

F = ma (3.2)

Merk at siden bade F og a er vektorer, sier likheten i Newtons andre lov at retningen tilakselerasjonen peker i samme retning som summen av kreftene. Dytter vi en boks med enkraft mot høyre, vil boksen fa en akselerasjon mot høyre.

Eksempel

En far og sønn dytter pa en boks med en masse pa m = 50 kg. Far mens far dytter med enkraft, Ff pa 400 N, dytter sønnen med en kraft, Fs, pa 100 N i samme retning. Samtidigvirker det en friksjonskraft, Fr, mellom underlaget og klossen pa 300 N som virker motsattav bevegelsesretningen. Hva blir akselerasjonen til klossen?

Figur 3.6: Kreftene som virker pa klossen i horisontal retning nar far og sønn dytter pa klossen.

Løsning Dersom vi velger positiv retning i retningen far og sønn dytter, far vi fra New-tons andre lov (i horisontal retning):

3.3. TYNGDEKRAFTEN 55

∑F = ma = Ff + Fs − Fr

a =Ff + Fs − Fr

m=

400 N + 100 N− 300 N

50 kg= 4.0 m/s2

3.3 Tyngdekraften

Vi har sett at alle legemer pa jorden blir pavirket av en tyngdekraft, Fg, som virker rettnedover. Vi kan bruke Gallileos fallow til a beregne størrelsen til denne kraften. Gallileosfallov sier at alle legemer faller med samme akselerasjon, g. Newtons andre lov sier da attyngdekraften ma peke i samme retningen som denne akselerasjonen.

Figur 3.7: Tyngdekraften virker rett ned.

I tegningen over har vi antatt at legemet er i fritt fall, dvs. at det ikke virker andre krefterpa legemet enn tyngdekraften. Bruker vi Newtons andre lov i vertikal retning, far vi:

∑Fy = ma = Fg

Her har vi antatt at positiv retning er nedover. Akselerasjonen, a, er i vart eksempel liktyngdeakselerasjonen, g. Dette gir oss verdien til tyngdekraften:

Fg = mg (3.3)

Tyngdekraften

Alle legemer pa jordens overflate blir pavirket av en tyngdekraft pga. jordens masse.

Fg = mg (3.4)

hvor g ≈ 9.8 m/ss er tyngdeakselerasjonen.


Desto større masse vi har, desto større blir tyngdekraften. Vi kan derfor se pa masse som toting: 1) som et mal for hvor stor kraft vi ma bruke for a endre hastigheten til et legeme, og2) hvor stor tendens legemet har til a bli pavirket av en tyngdekraft eller gravitasjonskraftfra et annet legeme med masse.

Eksempel: Vekten av en person

En person med en masse pa 80 kg opplever en tiltrekkende kraft mot jorden pa

Fg = mg = 80 kg · 9.8 m/s2 = 784 N ≈ 7.8× 10 N. (3.5)

En liten stein pa 8.0 g, derimot, blir kun pavirket av en tyngdekraft pa

Fg = 8.0× 10−3 kg · 9.8 m/s2 = 0.0784 N ≈ 7.8× 10−2 N. (3.6)

Det kan virke merkelig at personen pa 80 kg faller like fort som steinen pa 8.0 g sidenpersonen blir dratt mot jorden med en vesentlig større kraft. Selv om personen blir pavirketav en større kraft, sa kreves det ogsa en større kraft for a akselerere personen i henhold tilNewtons andre lov. Disse balanserer seg slik at begge far samme akselerasjon.

Eksempel: Baderomsvekt

Anta at vi star pa en baderomsvekt. Hva er det egentlig denne baderomsvekten maler?Det er fristende a si massen m, men dette er ikke helt korrekt, selv om baderomsvektenviser oss et tall med samme enhet som masse. Baderomsvekten maler var vekt pa jordensoverflate, dvs. hvor stor kraft tyngdekraften presser oss ned med, eller enda mer korrekt,kraften vi presser ned pa baderomsvekten med. I delkapitlet om Newtons tredje lov skal vise at kraften vi presser ned pa vekta, er like stor og motsatt rettet som normalkraften somvektet presser opp pa føttene vare. For a forenkle litt notasjonsbruken, kommer vi derfortil a anta at baderomsvekten maler denne normalkraften fra vekten pa føttene vare, FN .Baderomsvekten maler denne kraften ved at det er en elastisk fjær (mer om dette senere idette kapitlet). Nar vi presser ned pa baderomsvekten, blir fjæren sammenpresset. Ved amale hvor langt fjæren blir presset sammen, maler vi samtidig hvor stor kraft som virkerpa fjæren.

Nar vi star i ro, vil den malte normalkraften være like stor som tyngdekraften, dvs. atden har størrelsen:

FN = Fg = mg

3.3. TYNGDEKRAFTEN 57

Figur 3.8: En baderomsvekt maler kraften vi presser ned pa vekten med ved a male hvor myeen elastisk fjær inni baderomsvekten blir presset. Kraften vi presser ned pa med, er like stor somnormalkraften, FN , som virker pa føttene.

Men baderomsvekten viser oss ikke denne kraften malt i Newton, den viser det vi fardersom vi deler pa tyngdeakselerasjonen, g:

m =Fng

Pa denne maten konverterer baderomsvekten den malte kraften til hvilken masse dettetilsvarer. Kan vi ikke da si at baderomsvekten egentlig maler masse? Svaret er fortsattnei, fordi verdien av g er tilpasset jordoverflaten. Anta at vi plasserer baderomsvekten pamanen. Siden manen har mindre masse enn jorden, er tyngdekraften pa manen svakereenn pa jorden. Da vil ogsa tyngdeakselerasjonen pa manen være mindre. Pa manen ertyngdeakselerasjonen bare gm = 1.622 m/s2. En person pa 80 kg vil da bli pavirket av entyngdekraft Fgm pa

Fgm = mgn = 80kg · 1.622 m/s2 = 129.76 N

Siden vi star i ro, vil normalkraften FN ogsa fa denne verdien pa manen. Baderomsvektenvar viser da

m =Fng

=129.76 N

9.8 m/s2 ≈ 13 kg

Men selv om baderomsvekten viser 13 kg, sa er det ikke masse var som er blitt 13 kg. Vihar fortsatt den samme massen pa manen som pa jorden, men vi har en annen vekt. Narvekta viser 13 kg, sa sier den egentlig at vi har en vekt tilsvarende hva en gjenstand pa 13kg ville hatt pa jordens overflate.


Eksempel: Baderomsvekt i heis

Anta at en person pa 70 kg star pa en baderomsvekt i en heis. Hva viser vekta nar heisen

a) har en akselerasjon pa 2.0 m/s2 oppover?

b) har en akselerasjon pa 2.0 m/s2 nedover?

c) er i fritt fall?

Løsning

a) Nar heisen star i ro eller beveger seg med konstant fart, viser baderomsvekten 70 kgsiden normalkraften, FN , blir like stor som tyngdekraften, Fg, fra Newtons første lov.

∑F = ma = FN − Fg

FN = Fg +ma = mg +ma

= 70 kg · 9.8 m/s2 + 70 kg · 2 m/s2)

= 826 N

Vi kan bruke samme formel som i forrige eksempel for hva baderomsvekta vil vise.Baderomsvekta viser da en masse, m′ pa

m′ =Fng

=826 N

9.8 m/s2 ≈ 84 kg

Vi har her brukt symbolet m′ for a papeke at m′ ikke er var virkelige masse, men barehva baderomsvekten viser. Baderomvekta viser mer enn det vi veier, dvs. at vi føler osstyngde nar heisen akselererer oppover.

b) Heisen har na en akselerasjon pa a i negativ retning. Newtons andre lov gir oss da:

∑F = m(−a) = FN − Fg

−ma = FN − FgFN = Fg −ma

= mg −ma= 70 kg · 9.8 m/s2 − 70 kg · 2 m/s2

= 546 N

3.4. NEWTONS TREDJE LOV 59

Baderomsvekten viser dermed:

m′ =Fng

=546 N

9.8 m/s2 ≈ 56 kg

Vi føler oss lettere nar heisen har en akselerasjon nedover.

c) Nar heisen er i fritt fall, har den en akselerasjon pa g nedover.

∑F = m(−g) = FN − Fg

−mg = FN − FgFN = Fg −mg = mg −mg = 0

Siden det ikke virker noen normalkraft fra baderomsvekten, viser vekten 0 kg. Personenopplever vektløshet og svever rundt inni heisen.

Figur 3.9: Kreftene a en person i en heis nar heisen har forskjellige akselerasjoner.

3.4 Newtons tredje lov

Mens Newtons første og andre lov beskriver krefter som virker pa ett spesifikt legeme, be-skriver Newtons tredje lov krefter som virker mellom to legemer. Anta at vi slar neven i enplanke. Neven yter da en kraft pa planken som virker i samme retning som slagbevegelsen.


Vi ser dette av at planken bøyer seg i samme retning som vi slo. Samtidig yter plankenen kraft tilbake pa handen. Planken bremser og evt. stopper slagbevegelsen, sa kraften fraplanken ma virke mot slagbevegelsen. Denne reaksjon-motreaksjonen mellom handen ogplanken, er beskrevet av Newtons tredje lov. Loven sier ogsa at, i tillegg til a være motsattrettet, sa er kraften vi virker pa planken like stor som kraften planken virker tilbake pahanden.

Newtons tredje lov

Nar legeme A virker pa legeme B med en kraft, FAB virker legeme B tilbake pa legemeA med en kraft, FBA, som er like stor og motsatt rettet.

FAB = −FBA (3.7)

Eksempel: Hvordan kommer baten seg fremover?

Nar vi siter i en robat, lager vi fremdrift ved a presse vannet bakover med arene. Newtonstredje lov sier da at nar vi dytter vannet bakover, vil vannet dytte pa arene med en kraftsom er like stor og motsatt rettet. Det er dermed kraften fra vannet som dytter arene, ogdermed ogsa baten, fremover.

Figur 3.10: Arene i en robat dytter vannet bakover med kraften Fbv. Vannet dytter da tilbakemed en kraft Fvb, som virker motsatt veg. Det er denne som fører baten fremover i vannet.

Det samme prinsippet gjelder for hvordan vi klarer a skape fremdrift ved a ga. Vi prøvera presse veien bakover med føttene, og veien ’svarer’ med a presse føttene, og dermed oss,med en kraft som er like stor og virker fremover.

3.4. NEWTONS TREDJE LOV 61

Eksempel: Rakett

En rakett skaper fremdrift ved a antenne drivstoff slik at det dannes gasser som fyker utbak raketten. Nar raketten ’kaster’ gassen, virker gassen tilbake pa raketten med en kraftsom er like stor, men motsatt rettet. Denne kraften gjør at raketten far en akselerasjonfremover.

Eksempel: Tyngdekraftens motkraft

Ifølge Newtons tredje lov har alle krefter medføre en motkraft som virker i motsatt retning.Hva er motkraften til tyngdekraften som virker pa oss pa jorden?

Løsning: Det kan være fristende a si normalkraften, men dette er ikke korrekt. Badenormalkraften og tyngdekraften virker pa samme legeme, men Newtons tredje lov beskriverkrefter som virker mellom to forskjellige legemer. Motkraften til tyngdekraften er derimoten kraft som virker pa et annet legeme, det legemet som er arsaken til tyngdekraftensom virker pa vart legeme. Dette ma være jorden. Siden vi ogsa har masse, vil jorden blipavirket av en egen tyngdekraft fra pga. var masse. Dvs. at nar jorden pavirker oss med entyngdekraft, Fg, virker vi tilbake pa jorden med en egen gravitasjonskraft, F ′g, som er likestor, bare motsatt rettet. Siden jordens masse er ekstremt stor, far den en ekstremt litenakselerasjon fra denne kraften.

Figur 3.11: Nar jorden virker pa et legeme med en tyngdekraft, Fg, virker legemet tilbake pajorden med en egen gravitasjonskraft, F ′

g

. Disse er like store, men motsatt rettet.


3.5 Friksjon

En kloss ligger pa et underlag av asfalt. Nar vi begynner a dytte pa klossen, blir den fortsattliggende i ro. Dette er pga. at det virker en friksjonskraft mellom underlaget og klossen.Sa lenge klossen ligger i ro, kan vi konkludere med at friksjonskraften er like stor somkraften vi dytter med, bare at den virker i motsatt retning. Man kan spørre seg hvor dennekraften kommer fra. Selv om det for vart øye kan se ut som at det ikke er noen ujevnheteri overflaten til klossen og underlaget, vil det være mange mikroskopiske ujevnheter dersomvi gar nærme nok. Dette gjør at overflateujevnhetene i klossen og underlaget dytter mothverandre slik at vi far en kraft som virker i motsatt retning av retningen vi dytter.

Figur 3.12: Selv om overlfatene til en kloss og underlaget kan virke glatte, vil det være ganskeujevne overflater dersom vi zoomer langt nok inn.

Siden dette er en friksjon som virker pa klossen uten at den beveger seg, kaller vi detfor statisk friksjon. Dersom vi fortsetter a øke kraften vil dytter med, vil klossen pa ettidspunkt begynne a gli. Dersom vi lager en graf med var dyttkraft, Fd, pa førsteaksen(x-aksen) og friksjonskraften, Fr, pa andreaksen (y-aksen), far vi noe ala figuren under.

Friksjonskraften er identisk lik dyttkraften helt opp til et bestemt punkt. Dette erpunktet hvor klossen begynner a gli. Nar klossen har begynt a bli, holder friksjonskraftenseg tilnærmet konstant, selv om vi øker dyttkraften. Friksjonskraften har gatt over tila være en statisk friksjon til a bli en glidefriksjon. Dersom vi gjør malinger pa dennefriksjonskraften, Fr, far vi som resultat at den er proporsjonal med normalkraften, FN ,som virker fra underlaget.

Fr = µFN

Konstanten µ kaller vi for friksjonskonstanten eller friksjonstallet. Dette er et tall somavhenger av materialet til klossen og underlaget. Dersom klossen er laget av gummi ogunderlaget er tørr asfalt, har vi µ ≈ 0.9. For vinterdekk uten pigger pa is, derimot, blirµ ≈ 0.15. I tillegg ser vi at friksjonskraften avhenger av tyngden av klossen. En tung kloss

3.5. FRIKSJON 63

Figur 3.13: Dytter vi hardt nok, vil en kloss begynne a gli. Nar klossen glir, er friksjonen tilnærmetkonstant.

vil resultere i en stor normalkraft, og dermed ogsa en stor friksjonskraft.

Glidefriksjon

Anta at et legeme glir langs et underlag. Det vil da virke en friksjonskraft, Fr, imotsatt retning av bevegelsen med størrelse

Fr = µFN

hvor FN er normalkraften fra underlaget pa legemet, og µ er friksjonskonstanten ellerfriksjonstallet. Verdien av µ avhenger av materialet til bade legemet og underlaget.

Eksempel: Finne friksjonstallet

I et tidligere eksempel sa vi at en far og sønn dyttet pa en klosse med masse m = 50 kg.Det virket da en friksjonskraft Fr = 300 N pa klossen. Hva er friksjonstallet mellom klossenog underlaget?

Løsning: Friksjonskraften er gitt ved

Fr = µFN

µ =FrFN


For a finne FN , ser vi pa kreftene i vertikal retning. Her virker det to krefter, tyngdekraftenFg og normalkraften FN . Siden det ikke er noen bevegelse i vertikal retning, ma summenav kreftene være lik null:

∑Fy = FN − Fg = 0

FN = Fg = mg

Setter vi dette inn i uttrykket over, far vi

µ =FrFN

=Frmg

=300 N

50 kg · 9.8 m/s2 = 0.612245 ≈ 0.61

Eksempel: bremselengde og masse

Anta at en bil som kjører pa tørr asfalt, plutselig begynner a bremse slik at hjulene glirbortover asfalten. Hvordan pavirker massen til bilen bremselengden til bilen?

Løsning: For a finne ut hvordan bremselengden blir pavirket av masse, kan vi prøve afinne akselerasjonen til bilen under nedbremsingen. I bevegelsesretningen er det kun enkraft som virker pa hjulene til bilen, friksjonskraften, Fr. Newtons andre lov gir oss da:

Figur 3.14: Kreftene som virker pa en bil som bremser slik at hjule star stille og glir bortovervegen (det virker normalkrefter og friksjonskrefter pa alle hjul, men for a gjøre tegningen enklere,tegnet vi alle kreftene pa det ene hjulet).

3.6. HOOKS LOV 65

∑Fx = ma = −Fr = −µFN

a = −µFNm

Pa lik linje som i forrige eksempel, er det ingen bevegelse i y-retning, slik at normalkraftenfra underlaget er lik tyngdekraften

∑Fy = FN − Fg = 0

FN = Fg = mg

Dette kan vi sette inn i uttrykket for akselerasjonen for a fa:

a = −µFNm

= −µmgm

= −µg

Fra uttrykket over ser vi at akselerasjonen til nedbremsingen er uavhengig av massen tilbilen. En tung bil far en like stor bremseakselerasjon som en lett bil, og dermed den sammebremselengden. Vi kunne tatt dette eksemplet videre og funnet den faktiske bremselengdentil bilen. Dette kunne vi gjort ved a bruke bevegelseslikningene. Vi hadde da kommet fremtil at bremselengden til bilen er gitt ved uttrykket

s =v2

2µg

hvor v er farten til bilen idet den begynner a bremse. Denne blir utledet i kapittel B.3,som ogsa utforsker en av vegvesenets fartskampanjer der de kommer pastand om at ’detman klarer a stoppe for i 80 km/h, vil man med bare 10 mer pa speedometeret, treffe i 50km/h’.

3.6 Hooks lov

Anta at vi har en elastisk fjær hvor den ene enden er festet til en vegg. Dersom vi strekkerut fjæren og slipper, vil fjæren ga tilbake til sin opprinnelige lengde. Vi merker ogsa at destolengre vi strekker ut fjæren, desto større kraft ma vi bruke. Det samme gjelder dersom viprøver a presse sammen fjæra. Anta at vi kaller denne utsrekkingen eller sammenpressingenfor x. Vi kjenner da en kraft fra fjæra som er proporsjonal med utstrekningen


Figur 3.15: Dersom vi strekker ut eller presser sammen en elastisk fjær, virker det en kraft imotsatt retning av forlengelsen/sammenpressingen.

F = −kx

Konstanten k kaller vi for fjærkonstanten eller fjærstivheten. En stiv fjær har stor k. Frauttrykket over far vi at en dobeblt sa lang utstrekning eller sammenpressing, krever endobbelt sa stor kraft. Minustegnet er der for a papeke at kraften fra fjæra virker i motsattretning av utstrekningen eller sammenpressingen. Trekker vi fjæra ut mot høyre, virker deten kraft mot venstre som prøver a fa fjæra til a ga tilbake til den opprinnelige tilstanden.Samtidig vil en sammenpressing mot høyre, medføre en kraft mot venstre. Dersom vi kuner interesserte i verdien til denne kraften, far vi

F = −kx

Vi sier at x er utstrekningen fra likevektspunktet, altsa det punktet hvor det ikke virkernoen krefter fra fjæra. Uttrykket som viser kraften fra fjæra, kaller vi for Hookes lov.

Hooks lov

Anta at vi har strukket ut eller sammenpresset en elastisk fjær en strekning x. Detvirker da en kraft F gitt ved:

F = −kx (3.8)

hvor k er en konstant med enheter [k] = N/m. Vi kaller denne konstanten for fjær-konstanten eller fjærstivheten.

3.6. HOOKS LOV 67

Eksempel: Vektmaler

En elastisk fjær har en krok i begge ender. Anta at vi holder i den ene kroken samtidig somvi fester pa blylodd i den andre enden. Nar vi fester pa et lodd pa 100 g, strekker fjæra seg5.0 cm.

a) Finn fjærstivheten, k, til fjæra.

b) Anta at vi fester et annet lodd slik at fjæra strekker seg ut 12 cm. Hvor stor masse hardette loddet?

Figur 3.16: En elastisk fjær uten lodd (til venstre) og med et lodd hengende i den ene enden (tilhøyre).

Løsning

a) Siden loddet er i ro, vet vi fra Newtons første lov at summen av kreftene som virkerpa loddet er lik null. Det virker kun krefter i vertikal retning, tyngdekraften Fg ogfjærkraften Fk. Disse ma være like for at loddet skal henge i ro. Dette gir oss:

Fk = Fg

kx = mg

k =mg

x=

0.100 kg · 9.8 m/s2

0.05 m= 19.6 N/m ≈ 20 N/m


b) Nar det nye loddet henger i fjæra, vil fortsatt kraften fra fjære være lik tyngdekraften.Vi far da at:

Fk = Fg

kx = mg

m =kx

g=

19.6 N/m · 0.12 cm

9.8 · m/s2

= 0.24 kg = 240 g

3.7 Newtons gravitasjonslov

Uttrykket for tyngdekraftne, eller gravitasjonskraftne, Fg = mg er bare et uttrykk somfungerer pa overflaten av jorden (eller en annen planet) hvor g er tilnærmet konstant. Ivirkeligheten avtar gravitasjonskraften mot jorden desto lengre vekk fra jorden vi befinneross. Uttrykket over tar heller ikke hensyn til massen til jorden. Vi har sett at vi oppleveren mindre gravitasjonskraft pa manen enn pa jorden pga. at jordens masse er større ennmassen til manen. For a fa et mer korrekt uttrykk, kan vi ga til Newtons gravitasjonslovsom sier at:

Figur 3.17: To legemer med masse tilrekker hverandre med en gravitasjonskraft.

Newtons gravitasjonslov

Dersom to legemer med masse m1 og m2 er i en avstand r fra hverandre, vil det virkeen tiltrekkende gravitasjonskraft, Fg, pa begge legemer med størrelse:

Fg = Gm1m2

r2(3.9)

hvor G = 6.674 · 10−11 m3kg−1s−2 er Newtons gravitasjonskonstant.

3.7. NEWTONS GRAVITASJONSLOV 69

Siden avstanden r er i nevneren i uttrykket over, vil uttrykket som helhet bli mindrenar r blir større. Siden r er kvadrert, vil gravitasjonskraften vil fire ganger sa lav dersomvi dobler avstanden mellom legemene. Loven ogsa sier at det ikke er kun mellom planeterdet virker gravitasjonskrefter. Alle legemer som har masse, vil tilrekke hverandre med enkraft.

3.7.1 Eksempel: Tiltrekkende personer

Anta to personer pa m = 70 kg star r = 2.0 m fra hverandre. De opplever da en tiltrekkendegravitasjonskraft pa

Fg = Gm2

r2= 6.674 · 10−11 m3kg−1 · (70 kg)2

(2.0 m)2= 8.17565 · 10−8 N ≈ 8.2 · 10−8 N

Dette er en forsvinnende liten kraft, for liten til at vi merker noe til den i hverdagensammenliknet med tyngdekraften.

3.7.2 Eksempel: Utlede tyngdeakselerasjonen

Vi kan bruke Newtons gravitasjonslov til a utlede størrelsen pa tyngdeakselerasjonen, g.Jorden har en gjennomsnittlig radius pa r = 6.371×106 m og en masse pa M = 5.972×1024

kg. La oss anta at det er kun tyngdekraften Fg som virker pa personen. Newtons andre lovgir oss da:

∑F = ma = Fg = G

mM

r2

a = GM

r2= 6.674× 10−11 5.972× 1024

(6.371× 106)2m/s2

= 9.819532 m/s2

Gravitasjonskonstanten er med andre ca. lik 9.8 m/s2.

Kapittel 4

Energi

I fysikken kommer man ofte over malbare størrelser som ikke endrer seg i et fysisk systemover tid. Dette gir opphav til fysiske lover som hjelper oss a gi forklaringer til fenomenervi ser rundt oss og gir oss mulighet til a forutsi fremtidige hendelser. Av disse er kanskjebevaring av energi den mest kjente bevaringsloven. Energi kan ikke oppsta av ingenting ogheller ikke forsvinne til ingenting, den kan bare endre form. Energi far ofte i dagligtalendefinisjonen ‘det som far ting til a skje’. Kjemisk energi i bensin kan overføres til mekaniskenergi i en motor som far bilen til a bevege seg, og for a fa elektriske aparater til a fungere,trenger vi elektrisk energi. Den dagligtaledefinisjonen av energi er derimot litt vag sidenden ikke definerer hva vi mener med ’ting’, og hva som menes med at noe ’skjer’ kan tolkesforskjellig. I fysikken har energi derimot en mer tydelig definisjon.

Definisjon pa energi

Et systems energi er et mal for systemets evne til a utføre arbeid.

Den fysiske definisjonen av energi introduserer begrepet arbeid, en annen fysisk størrelsehvor den dagligtale definisjonen ikke alltid passer med den man bruker i fysikken. For abeskrive energi, trenger vi først en beskrivelse av arbeid.

4.1 Arbeid

Anta at vi dytter en kloss langs et underlag med en kraft, F . Dersom boksen forflytterseg en strekning s, er arbeidet, W , vi har gjort pa klossen definert som kraften vi bruktemultiplisert med strekningen vi brukte kraften over.

W = Fs

71

72 KAPITTEL 4. ENERGI

Dette er derimot bare en definisjon som fungerer nar kraften virker i samme retning somforflytningen. Anta at klossen ligger pa et friksjonsfritt underlag og vi kan dytte fra allemulige vinkler med den samme kraften. Dersom vi dytter rett ned, vil ikke klossen begynnea bevege seg, men den vil det dersom vi endrer vinkelen litt slik at vi dytter litt paskra. Desto mer vi øker vinkelen, desto høyere blir akselerasjonen. Dette er fordi nar viøker vinkelen, øker ogsa den delen, eller komponenten, av kraften som virker i retningenklossen kan bevege seg. Det er kun denne delen av kraften som bidrar til bevegelsen tilklossen, og dermed ogsa til forflytningen. Vi definerer derfor heller arbeidet som strekningenmultiplisert med den delen av av kraften som virker i bevegelsesretningen. Dersom vi ser pakraften og forflytningen som en vektor, far vi denne definisjonen for arbeid ved a definererarbeidet som skalarproduktet1 av kraften og forflytningen

W = F · s

Dersom klossen var beveger seg i x-retning, og vi kan dele opp kraften i en x-komponent,Fx, og en y-komponent, Fy, blir arbeidet gitt ved

W = Fx · s

Figur 4.1: Klossen beveger seg i x-retning pa friksjonsfritt underlag. Det er kun x-komponentenav F som bidrar til arbeidet.

1Se kap. A.5.4

4.1. ARBEID 73

Definisjon pa arbeid

Dersom en kraft F virker pa et legeme over en forflytning s, utfører kraften et arbeidpa legemet gitt ved skalarproduktet av kraften og forflytningen:

W = F · s

Enheten for arbeid er Joule (J).

Eksempel

Anta at vi drar en kloss med en kraft F = 100 N langs et flatt underlag over en strekningpa s = 4.0 m. Hvor stort arbeid utfører vi pa klossen dersom kraften vi drar med virker:

a) samme retning som forflytningen?

b) 60 relativt til underlaget.

c) motsatt retning som forflytningen?

Figur 4.2: Kraft pa kloss i forskjellige vinkler.

Løsning:

a) Siden arbeidet er definert med skalarproduktet mellom kraftvektoren og forflytnings-vektoren, ma kun multiplisere forflytningen med komponenten av kraften som virker iforflytningsretningen. Siden bade F og s virker langs underlaget, la oss si i x-retning,far vi:

W = F · s = Fs = 100 N · 4.0 m = 400 J ≈ 0.40 kJ


b) I en rettvinkla trekant der en av vinklene er 60, vil hypotenusen være dobbelt sa langsom den hosliggende kateten. Dermed vil x-komponenten av F være Fx = 1

2F .

W = F · s = Fxs =1

2F · s =

1

2100 N · 4.0 m = 200 J ≈ 0.20 kJ

Siden vi drar med en vinkel, vil bare en liten del av kraften bidra til forflytningen avklossen. Vi ma derfor bruke en større kraft dersom vi ønsker a fa utført det sammearbeidet som i forrige oppgave.

c) La oss anta at s peker i positiv retning x-retning, mens F peker i negativ retning. Vifar da Fx = −F og arbeidet blir:

W = F · s = Fxs = −Fs = −100 N · 4.0 m = −400 J ≈ −0.40 kJ

Siden kraften virket motsatt av bevegelsesretningen, vil det i praksis si at vi prøver abremse opp bevegelsen til klossen. Et negativt arbeid betyr derfor at vi fjerner energifra klossen istedenfor a tilføre energi.

4.2 Kinetisk og potensiell energi

Selv om energi kommer i mange former, f.eks. kjemisk, elektrisk og atomenergi, kan manforenkle alle typer energi ned til to former; energi pga. bevegelse og energi pga. stilling ellerposisjon. En kloss som beveger seg bortover et underlag har energi. Dersom klossen trefferet annet legeme, vil det dytte legemet med en kraft over en strekning helt til klossen star iro. Det blir da utført et arbeid sa klossen matte ha en energi. Holder vi en stein en meterover bakken, har den ogsa en form for energi. Slipper vi steinen, vil tyngdekraften dra dennedover mot jorden. Det virker da en kraft over en strekning, og vi har utført et arbeid.

4.2.1 Kinetisk energi

Energi et legeme har pga. sin bevegelse, kaller vi for bevegelsesenergi eller kinetisk energi.Anta at et legeme beveger seg med en fart v. Hvor stor energi har da legemet pga. fartenv? Siden den kinetiske energien betyr at legemet kan utføre et arbeid helt til det star stille,sa ma størrelsen pa denne verdien det arbeidet som trengs for a øke farten til et legeme iro til farten v. Bruker vi Newtons andre lov og bevegelseslikningene (se kap. B.4), ender viopp med at dette arbeidet er lik 1

2mv2.

4.2. KINETISK OG POTENSIELL ENERGI 75

Kinetisk energi

Den kinetiske energien til et legeme med masse m og fart v, er gitt ved:

Ek =1

2mv2

Eksempel

Anta at en bil med masse 1200 kg kjører i 30 km/h. Den har da en kinetisk energi pa

Ek =1

2mv2 =

1

2(1200 kg)(30 · 1

3.6m/s)2 = 41666.7 J ≈ 4.2 · 104 J.

Øker vi farten til 60 km/h, øker energien til

Ek =1

2mv2 =

1

2(1200 kg)(60 · 1

3.6m/s)2 = 166666.7 J ≈ 1.7 · 105 J.

Dette er en firedobling av energien vi hadde ved halve farten! Dersom vi antar at bilenkan bremse med samme kraft uavhengig av fart, far vi en derfor en fire ganger sa langbremselengde dersom bilen kjører dobbelt sa fort.

4.2.2 Potensiell energi

Energien et legeme har pga. sin stilling, kaller vi potensiell energi. Denne kommer i mangeformer. Holder to elektriske ladninger ved siden av hverandre, vil de kunne fa en bevegelsepga. elektriske krefter. Ladningene har da elektrisk potensiell energi. Pilen i en spent buehar ogsa potensiell energi da den kan fa en stor fart dersom vi slipper. I denne seksjonen skalvi derimot fokusere pa potensiell energi i tyngdefelt. Anta at vi holder en stein en høydeh over bakken. Pa lik linje med at den kinetiske energien er lik det arbeidet som trengsfor a fa legemet opp hastigheten v, blir den potensielle energien til legemet det arbeidetsom trengs for a løfte legemet opp til høyden h. Dersom vi løfter klossen med en kraft F ,ma denne motvirke tyngdekraften Fg for at vi skal klare a løfte klossen. Denne kraften mada være minst like stor som tyngdekraften. Siden bade F og strekningen s peker i sammeretning (oppover), far vi:

W = F · s = Fg · h = mgh

som er hvor mye potensiell energi legemet har i en høyde h.


Figur 4.3: For a løfte en kloss, ma vi løfte med en kraft minst like stor som tyngdekraften.

Potensiell energi i tyngdefelt

Den potensielle energien til et legeme med masse m i et tyngdefelt er gitt ved:

Ep = mgh

hvor g er tyngdeakselerasjonen og h er høyden over et valgt nullniva.

Eksempel

Legg merke til at definisjonen spesifiserer at h er en høyde relativt til et valgt nullniva.Anta at vi holder en stein med masse m = 2.0 kg i en høyde h = 1.5 m over et bord.Arbeidet som trengs for a løfte steinen fra bordet til høyden h er da:

W = F · s = mgh = 2.0 kg · 9.8 m/s2 · 1.5 m = 29.4 J ≈ 29 J.

Dette er da dem potensielle energien til steinen. Anta at steinen ligger igjen ligger pabordet, men at vi na løfter den ned fra bordet med konstant fart til den ligger pa gulvet.Hvor stor potensiell energi har steinen der nar den ligger pa gulvet? Vi ma fortsatt løftemed en kraft like stor som tyngdekraften for at steinen skal bevege seg med konstant fart.Forflytningen s peker na i motsatt retning som kraften F . Dersom vi antar at høyden frabordet til gulvet er fortsatt h = 1.5 m, far vi:

W = F · s = mg(−h) = 2.0 kg · 9.8 m/s2 · (−1.5 m) = −29.4 J ≈ −29 J.

Steinen har altsa en negativ potensiell energi nar den ligger pa gulvet. Dette kan virkemerkelig, men det kommer av at vi valgte nullnivaet til a være bordhøyden. Potensiell

4.3. BEVARING AV ENERGI 77

energi er ikke en absolutt størrelse, men en relativ størrelse. Vi velger selv hvor vi velgerat vi har null potensiell energi, og den potensielle energien blir positiv og negativ relativttil dette valgte nullnivaet. Nar steinen har en energi pa -29 J pa gulvet relativt til bordet,sa betyr det bare at den har 29 J mindre energi enn det den ville hatt dersom den haddeligget pa bordet. Og siden den har 29 J i en høyde pa 1.5 m over bordet relativt til bordet,sa burde jo det bety at den har en energi pa

29.4 J + 29.4 J = 58.8 J ≈ 59 J

relativt til gulvet. Vi kan teste dette ved a velge nullnivaet til a være pa gulvet. Høydenblir da h = 1.5 m + 1.5 m = 3.0 m og den potensielle energien blir:

Ep = mgh = 2.0 kg · 9.8 m/s2 · 3.0 m = 58.8 J ≈ 59 J.

som er det vi forventet.

4.3 Bevaring av energi

Nar steinen faller mister den høyde og dermed ogsa potensiell energi. Samtidig som atsteinen mister høyde, far den større og større fart idet den faller lengre og lengre. Steinenmister potensiell energi, men far kinetisk energi. Dersom det ikke var noe luftmotstand idetsteinen falt, er den kinetiske energien akkurat like stor som den potensielle energien steinenhar mistet. Energien til steinen er bevart under fallet. Dersom det hadde vært luft underfallet, ville noe av den potensielle energien gatt til a dytte mot luftmolekylene som er iveien. Dersom man hadde satt opp et regnestykke der man ser pa den potensielle energien,kinetiske energien og arbeidet som steinen utfører pa luftmolekylene, far man at den totaleenergien hele tiden er det samme. Energien i systemet stein + luft er bevart. Dette er en avde store lovene i fysikken. Energi kan ikke forsvinne eller oppsta fra intet. Dersom man haret lukket system, altsa et system som ikke blir pavirket av omgivelsene, sa vil den totaleenergien i dette systemet alltid være bevart.

Bevaring av energi

Den totale energien i et lukket system er alltid bevart.

Energien i et lukket system kan fint endre form. I eksemplet over gikk den potensielleenergien i steinen gradvis over til kinetisk energi. Den totale energien til steinen er heletiden bevart, sa dersom det ikke virker noen luftmotstand som kan utføre et arbeid pa


Figur 4.4: I situasjon 1 har steinen kun potensiell energi. I situasjon 2 har noe av steinens poten-sielle energi gatt over til kinetisk energi. I situasjon 3, som er rett før steinen treffer bakken, er allpotensiell energi gatt over til kinetisk energi.

steinen og ’stjele’ noe energi underveis, vil all potensiell energi ga over til kinetisk energi.Anta at vi følger energien til en stein i fall. Akkurat idet vi slipper steinen en høyde h overbakken, har den null fart og dermed kun potensiell energi. Energien til steinen er derforgitt ved:

Ep = mgh

Steinen øker fart etterhvert som den faller. Dersom vi antar at steinen har farten v rett førden treffer bakken, vil den da ha energien

Ek =1

2mv2

Siden steinen ikke har mistet noe energi underveis, far vi at

Ep = Ek

mgh =1

2mv2

Hva med underveis i fallet? Nar klossen er midt i fallet, vil den bade ha potensiell og kinetiskenergi. For at energien skal være bevart, ma summen av disse alltid bli det samme. Dvs.,anta at steinen har farten v1 i en høyde h1 og v2 i en annen høyde h2. Vi far da:


Ep1 + Ek1 = Ep2 + Ek2

mgh1 +1

2mv2

1 = mgh2 +1

2mv2

2

Eksempel

En stein pa 5.0 kg blir sluppet fra en høyde pa 2.0 m. Bruk bevaring av energi til a finnefarten til steinen rett før den treffer bakken.

Løsning: Rett før steinen treffer bakken, har all potensiell energi gatt over til kinetisk.Dvs. at den kinetiske energien ved bakken Ek, ma være lik den potensielle energien patoppen Ep

Ek = Ep1

2mv2 = mgh

1

2v2 = gh

v =√

2gh =

√2 · 9.8 m/s2 · 2.0 m = 6.261 m/s ≈ 6.3 m/s

Legg merke til at massen ikke spilte inn pa sluttresultatet. Dette er som forventet, sidenalle legemer faller med samme akselerasjon uavhengi av masse.

Eksempel

Anta at en kloss pa 3.0 kg star pa toppen av en bakke. Vi gir steinen et lite dytt slik atden far en fart pa v1 = 10 m/s. Vi antar at klossen glir ned bakken uten friksjon.

a) Hva blir farten i bunn av bakken dersom bakken er h1 = 4.0 m høy?

b) Steinen fortsetter sa opp en mindre bakke med høyde pa h3 = 2.0 m. Hva blir fartenher?


Figur 4.5: Kloss som glir ned en bakke.

Løsning

a) Pa toppen av bakken har klossen potensiell energi siden den kan begynne a skli. Herer det praktisk a velge nullniva i bunn av bakken. I posisjon 1 (se figur), har steinenda kun potensiell energi, Ep1, mens den har kun har kinetisk energi, Ek2, i bunn avbakken. Bevaring av energi gir oss da farten i bunn av bakken, v2:

Ek2 = Ep11

2mv2

2 = mgh1

1

2v2

2 = gh1

v2 =√

2gh1

v2 =

√2 · 9.8 m/s2 · 4.0 m

= 8.854 m/s ≈ 8.9 m/s

Legg merke til at svaret ikke avhenger av massen.

b) Dersom vi fortsatt lar nullnivaet være pa bakken, vil klossen ha bade potensiell ogkinetisk energi i posisjon 3. Summen av disse to ma være like stor som den totaleenergien i posisjon 1 eller 2. Bruker vi posisjon 1 i regnestykket, far vi:


Ek3 + Ep3 = Ep11

2mv2

3 +mgh3 = mgh1

1

2mv2

3 = mgh1 −mgh3

1

2mv2

3 = mg(h1 − h3)

v23 = 2g(h1 − h3)

v3 =√

2g(h1 − h3)

=

√2 · 9.8 m/s2 · 2.0 m

= 6.261 m/s ≈ 6.3 m/2

Vi kunne ogsa valgt nullniva i posisjon 3. Da ville klossen kun hatt kinetisk energi iposisjon 3, som vi kunne sammenliknet med den potensielle energien i posisjon 1. Denpotensielle energien i posisjon 1 hadde da vært relativt til posisjon 3, sa vi matte brukthøydeforskjellen mellom posisjon 1 og 3, h1 − h3 som høyde Bevaring av energi gir ossda:

Ek3 = Ep11

2mv2

3 = mg(h1 − h3)

Men dette er jo bare det samme som linje 4 i regnestykket over, som viser at vi haddefatt akkurat det samme svaret.

Noen vil kanskje undre pa hvordan vi kan bruke bevaring av energi i denne situasjonensiden det virker en normalkraft pa klossen mens den glir nedover bakken. Burde ikkedenne pavirke energien til klossen idet den glir nedover bakken? Svaret er at normal-kraften ikke pavirker energien siden normalkraften alltid er vinkelrett pa bevegelsesret-ningen. Det er dermed ingen komponent som virker i samme retning som forflytningenog arbeidet som utføres av FN er dermed

WN = FN · s = 0

Siden det ikke utføres noe arbeid, vil heller ikke energien bli pavirket.


Figur 4.6: Normalkraften star vinkelrett pa bevegelsesretningen og utfører derfor inten arbeid.

4.4 Effekt

Vi tar for oss følgende eksempel:

Ola og Kari trener styrke. Begge to løfter en vekt pa 75 kg opp til en høyde pa1.0 m over bakken. Vekten blir løftet med konstant fart, men mens Ola bruker1.0 s pa a løfte vekten, bruker Kari 1.5 s.

Siden begge løfter med konstant fart, ma begge løfte med en kraft tilsvarende tyngdekraf-ten. Begge to utfører derfor det samme arbeidet under løftet, men det er likevel en vesentligforskjell pa de to utførelsene. Ola utførte arbeidet pa kortere tid enn Kari. Vi sier da atOla hadde en større effekt enn Kari. Vi definerer effekt pa følgende mate:

Definisjon pa effekt

Effekten, P , er utført arbeid W , per tid

P =W

t

Effekt males i Watt (W).

Eksempel

Regn ut hvor stor effekt Kari og Ola hadde da de løftet vekten.

Løsning: Bade Kari og Ola løftet med en kraft tilsvarende tyngdekraften. Arbeidet debruker blir dermed lik den potensielle energien vekten har nar den er 1.0 m over bakken.

4.5. ENERGI OG MASSE 83

W = mgh = 75 kg · 9.8 m/s2 · 1.0 m = 735 J

Siden Kari brukte 1.5 s, hadde hun en effekt pa

Pk =W

t=

735 J

1.5 s= 490 W

Ola, derimot, hadde en effekt pa

Po =W

t=

735 J

1.0 s= 735 W

Effekten til Ola er ogsa definisjonen pa hvor mye en hestekraft er (1 hk), dvs. hvor myeeffekt som trengs for a løfte en vekt pa 75 kg en høyde pa 1.0 meter pa 1.0 sekund.

4.4.1 Virkningsgrad

Nar vi kobler en lyspære til et batteri, konverterer vi elektrisk energi i batteriet, til lysenergii lyspæren. Det er derimot ikke all energien i batteriet som vi far ut som lysenergi. Faktiskvil omtrent bare 5% av den elektriske energien bli omgjort til nyttig lysenergi. Resten avenergien gar over til andre former som f.eks. temperaturøkning i lyspæra. I alle maskinervil vi kun fa utnyttet deler av energien i energikilden. Det vil alltid være noe energi somgar tapt i form av varme, lyd og liknende. Hvor mye nyttig energi vi far ut fra energikil-den i en maskin, kaller vi for maskinens virkningsgrad. Vi definerer denne pa følgende mate:

Definisjon pa virkningsgrad

Virkningsgrad er forholdet mellom hvor mye effekt vi far utnyttet og hvor mye effektvi bruker

η =Pinn

Put

Siden vi kun bruker 5% av den elektriske energien i en lyspære til produksjon av lys, somer det vi er interessert i, vil virkningsgraden i en lyspære være 0.05.

4.5 Energi og masse

En av verdens kanskje mest kjente fysiske formel, er Einsteins E = mc2. Formelen sierat energi er lik masse multiplisert med lysfarten kvadrert. Hva betyr det? Det er mange


tolkninger av dette, f.eks. at masse er en form for energi, at masse er kondensert energi ellerat masse kan bli konvertert til energi. Dette er energien som vi utnytter i f.eks. atomkraft.Uran er et veldig stort atom, som ogsa er veldig ustabilt. Ved a bombarere uranatomermed nøytroner, vil uranet blir sapass ustabilt at det blir splittet i to mindre atomer. Naratomet blir splittet, fyker de to mindre avgarde med en voldsom fart. Atomene har da enstor kinetisk energi. Hvor kom denne energien fra? Dersom man maler vekten av uranatometfør splittingen, og sammenlikner det med den samlede vekten av de mindre atomene ettersplittingen, veier disse mindre til sammen enn uranatomet. Noe av massen har blitt borte.Dersom vi ser pa energien som blir utløst i reaksjonen, far vi at den passer til formelenE = mc2, hvor m er den massen som mangler etter reaksjonen. Vi har omgjort masse tilenergi.

Figur 4.7: Spalting av Uran. Summen av massene til Uranet og nøytronet, er større enn summenav massene til Kryptonatomet, Bariumatomet og de tre nøytronene. Noe masse har forsvunnet.

For a fa et mer nyansert bilde av hva E = mc2 betyr, kan vi starte med Einsteinsoriginale artikkel fra 1905. I tittelen til artikklen, stiller Einstein følgende spørsmal:

Avhenger tregheten til et legeme av dets energi?

Ved a bruke konsepter fra relativitetsteori, viser Einstein at dersom et legeme senderut lys med energi, E, minker massen til legeme med størrelsen pa denne energien delt palysfarten kvadrert, c2, dvs. m = E/c2 eller E = mc2. Nar legemet mister energi, her i formav utsendt lys, viser matematikken fra relativitetsteorien at massen til legemet ma minke.Har legemet mistet noen atomer eller elektroner hvor massen til disse ble til energien tillyset? Det ville vært en logisk konklusjon dersom masse blir konvertert til lys. Men det erikke tilfelle her. Det er like mange atomer og elektroner i legemet etter at lyset ble sendtut. Sa hvor kom denne massen vi mistet fra? Svaret ligger i hva masse egentlig er. Vi tenker

4.5. ENERGI OG MASSE 85

ofte pa masse som et mal pa hvor mye ’stoff’ vi har. Masse er derimot egentlig ikke et malfor hvor mye stoff vi har, selv om mer ’stoff’ som regel betyr mer masse, men det er et malfor hvor mye treghet vi har, dvs. hvor ’vanskelig’ det er a endre bevegelsen til legemet. Deter altsa ikke hvor mye ’stoff’ som minker nar et legeme mister masse pga. utsendt energi,men hvor mye treghet legemet har. Einstein viser at treghet avhenger av hvor mye energiet legeme har. Nar et legeme far mer energi, far det mer treghet. Det er vanskeligere aendre bevegelsen til et legeme som har mye energi.

Det vil ogsa si at et legeme veier mer nar det har mye energi. La oss ga tilbake tiluranatomet, som veide mer enn summen av smaatomene etter spaltingen. Disse hadde enenorm fart etter spaltingen. Hvor kom denne energien fra? Den kom fra bindingsenergieni uranatomet, som holder atomet samlet til ett atom. Nar vi sier at uranatomet veide merenn smaatomene, sa mener vi egentlig at det veier mer enn det smaatomene veier nar deer i ro. Dersom vi hadde kunnet male tregheten til atomene nar vi tar hensyn til hvor myetregheten øker pga. den kinetiske energien, ville vi malt den samme verdien før og etterspaltingen2. At energi medfører treghet, ser vi ogsa i molekylbindinger. Figuren under viserden potensielle energien til to hydrogenatomer som funskjon av avstanden mellom atomene.

Figur 4.8: Energien til to hydrogenatomer som funksjon av avstanden mellom dem. Nar to hydro-genatomer danner et H2-molekyl, blir minker den totale massen med Eb/c

2

.

Naturen prøver hele tiden a ga mot minst mulig energi. Hadde figuren over vist en bakkesett fra siden, sa ville ballen havnet i bunnen av bakken etter lang tid dersom vi slapp denfra høyre. Nar hydrogenatomene danner et molekyl, vil avstanden mellom atomene være likavstanden hvor energikurven viser en bunn, siden denne viser den mest stabile avstanden.Fra grafen, ser vi ogsa at atomene har mer energi potensiell energi nar de er adskilt. Dersomvi veier et hydrogenmolekyl, far vi at det veier litt mindre enn summen av at to adskiltehydrogenatomer siden hydrogenmolekylet har mindre potensiell energi. Dette er essenseni Einsteins formel E = mc2. Tregheten til et legeme avhenger av dets energi.

2Dette er ikke helt korrekt, siden spaltingen ogsa kan resultere i utsending av elektromagnetisk stralingsom fjerner noe av energien til atomene, og dermed ogsa tregheten.

Kapittel 5

Elektrisitet

5.1 Elektrisk ladning

Elektrisk ladning er en egenskap til legemer og partikler som gir opphav til elektriskekrefter. Nar det lyner i et tordenvær, er dette pga. elektriske krefter mellom skyene ogbakken. Ladning forekommer i to varianter, positiv og negativ. Et atom er bygd opp avpositive og negative ladede partikler. Innerst i atomet er kjernen. Den bestar av positivtladde protoner og elektrisk nøytrale (dvs. ingen ladning) nøytroner. Rundt atomkjernenvirrer de elektrisk negativt ladde elektronene rundt. All elektrisk ladning vi kommer overi hverdagen kommer fra et overskudd av enten protoner eller elektroner. Vi kan ogsa tenkepa overskudd av protoner som et underskudd av elektroner. Siden elektrisk strøm kommerfra elektroner i bevegelse, er det ofte mer praktisk a kun tenke pa elektronene. Elektriskladning males i Coulomb (C) og man bruker som regel symbolet Q eller q for a representereladning. Ladningen til et proton, qp, og elektron, qe, er

qp = 1.6 · 10−19 C

qe = −1.6 · 10−19 C

Protonet og elektronet har like mye ladning, bare med forskjellig fortegn. Siden all ladningkommer fra overskudd eller underskudd av elektroner, finner vi ikke mindre ladning enndisse to verdiene. Vi kaller derfor denne ladningen for elementærladningen. Denne ladningenhar symbolet e, slik at vi kunne skrevet

qp = e

qe = −e

Hvor mye ladning et legeme har, avhenger av hvor stort overskudd eller underskudd avelektroner vi har. Et system bestaende av tre elektroner, har ladning

87

88 KAPITTEL 5. ELEKTRISITET

q = −3e = −3 · 1.6 · 10−19 C = −4.8 · 10−19 C

Dersom vi vet ladningen til et legeme, kan vi ogsa avgjøre hvor stort overskuddet/underskuddetav elektroner er. Anta at et legeme har en ladning pa

q = 3.1 nC = 3.1 · 10−9 C

Siden ladningen er positiv, vet vi at legemet har et underskudd av elektroner. Ladningen mada være lik et helt antall ladningen til et proton. La n være antall elektroner i underskudd.Vi har da

ne = q

n =q

e=

3.1 · 10−9 C

1.6 · 10−19= 1.9 · 1010

Det er altsa et underskudd av ca. 1.9 · 1010 elektroner.

5.2 Elektriske krefter

Dersom to elektriske ladninger kommer nær hverandre, vil de pavirke hverandre med elekt-riske krefter. I motsetning til gravitasjonskrefter, som kun er tiltrekkende, vil elektriskekrefter mellom ladede partikler være frastøtende dersom ladningene er like og tiltrekkendedersom ladningene er ulike.

Figur 5.1: Motsatte ladninger tiltrekker hverandre med en elektrisk kraft, mens like ladningerfrastøter hverandre.

Hvor stor denne kraften er blir beskrevet av Coulombs lov:

5.2. ELEKTRISKE KREFTER 89

Coulombs lov

Anta at vi plasserer to ladninger, q1 og q2, i en avstand r fra hverandre. Det virkerda en elektrisk kraft Fe pa hver av ladningene gitt ved:

Fe = keq1q2

r2r

hvor kE = 8.99 · 109 N m2C−2 er Coulombs konstant og r er en vektor med lengde 1som peker fra den ene ladningen mot ladningen som kraften F virker pa.

Legg merke til at siden avstanden r er i telleren i uttrykket over, vil den elektriske kraftenavta desto lengre ladningene er fra hverandre.

Eksempel

Finn de elektriske kreftene som virker mellom et elektron og en heliumkjerne, og mellomet proton og en heliumkjerne nar avstanden mellom heliumkjernen og protonet/elektroneter 1.0 cm.

Løsning: Protonet har ladning qp = e, mens elektronet har ladning qe = −e. En helium-kjerne bestar av to protoner og to nøytroner. Nøytronene har ingen ladninge, sa ladningenetil heliumkjernen er qα = 2e. Kraften som virker pa elektronet, er dermed:

Fe = keqeqαr2

r

= 8.99 · 109Nm2C−2−1.6 · 10−19 C · 2 · 1.6 · 10−19 C

0.001 mr

= −4.6 · 10−25 N r

Kraften har en størrelse pa 4.6 · 10−25 N. Minustegnet betyr at kraften virker i motstattretning av vektoren r. Siden vi ser pa kraften som virker pa elektronet, er r en vektor sompeker fra heliumkjernen mot elektronet. Kraften virker i motsatt retning, dvs. at kraftenvirker mot heliumkjernen. Hadde vi sett pa kraften som virker pa heliumkjernen, far visamme størrelse pa kraften, bare at kraften virker mot elektronet. De elektriske kreftenemellom et elektron og heliumkjerne er tiltrekkende.Bytter vi ut elektronet med et proton, far vi samme størrelse for de elektriske kreftene,men uten minustegnet:

Fe = 4.6 · 10−25 N r


Figur 5.2: Eksempel pa Coulombs lov. Kraften pa elektronet blir i motsatt retning av retnings-vektoren r, dvs. mot heliumkjernen. For protonet, virker den elektriske kraften i samme retningsom r, dvs. vekk fra heliumkjernen.

Dette betyr at kraften virker i samme retning som vektoren r. For protonet betyr detteat kraften virker fra protonet vekk fra heliumkjernen siden r peker fra heliumkjernen motprotonet nar vi ser pa kreftene som virker pa protonet. Kreftene som virker pa protonetog heliumkjerner er frastøtende. Dette stemmer med det vi sa innledningsvis; to like typeladninger frastøter hverandre, mens to utyper ladninger tiltrekker hverandre.

5.3 Statisk elektrisitet

Dersom man gnir en oppblast ballong mot et materiale som f.eks. ull, vil noen elektroneri overflaten til ullen bli overført til ballongen pga. arbeidet vi utfører. Ballongen blir danegativt ladet. Dersom vi lar ballongen være i fred, vil elektronene forbli i ballongen.Dette kaller vi statisk elektrisitet. Vi kan demonstrere ladningen til ballongen ved a føreballongen nær en vegg. Elektronene i ballongen vil da frastøte elektroner i veggen. Det er daet undertall av elektroner i veggen nær overflaten, slik at vi far en tiltrekkende kraft mellomveggen og ballongen. Det blir ogsa en frastøtende kraft fra de frastøtte elektronene, mensiden elektrisk kraft avtar med avstand, vil den frastøtende kraften være mindre enn dentiltrekkende kraften. Dersom vi overførte nok elektroner til ballongen, kan den tiltrekkendekraften bli sapass stor at ballongen henger fast i veggen.

5.3.1 Vannmolekylet

Et vannmolekyl bestar av et oksygenatom som er bundet til to hydrogenatomer. Denkjemiske betegnelsen pa vann er derfor H2O. Atomene er strukturert pa en slik mate athydrogenatomene danner en vinkel pa rundt 105.

5.3. STATISK ELEKTRISITET 91

Figur 5.3: Ved a gni en ballong mot har eller ull, overfører man elektroner til ballongen. Ved aplassere ballongen ved en vegg, kan det skape elektriske tiltrekninger mellom veggen og ballongen.

Figur 5.4: Illustrasjon av et vannmolekyl. Oksygenatomet drar hardere pa elektronene slik atdenne delen blir elektrisk nøytral mens hydrogensiden blir elektrisk positiv.

Selv om vannmolekylet som helhet er elektrisk nøytralt (det inneholder like mange positiveprotoner som negative elektroner), vil oksygenet trekker mer pa elektronene enn hydro-genatomene. Resultatet blir at vannmolekylet oppfører seg som en elektrisk dipol (litt somen stavmagnet, bare med elektrisk ladning istedenfor magnetisme). Ved oksygensiden avmolekylet vil være negativt ladd mens hydrogensiden vil være positivt ladd.

I en mengde vann vil vannmolekylene ha en tilfeldig orientering slik at vannet somhelhet virker elektrisk nøytralt. Vi kan likevel illustrere dipol-egenskapene til vann veda gjøre et enkelt forsøk: dra en plastikkam gjennom haret ditt i rundt 10 sekunder. Førsa kammen bort til en tynn strale med vann. Du vil da se at vannetstralen bøyer seg ogblir tiltrekt kammen (se figur ??). Hva skjer? Nar du drar kammen gjennom haret, vil duløsrive elektroner fra haret ditt. Disse blir overført til kammen, som blir elektrisk negativtladet. Nar kammen kommer nær vannet, vil den positive delen av molekylene bli tiltrukketkammen, mens den negative delen blir frastøtt (motsatte ladninger tiltrekker, mens likefrastøter). Vannmolekylene, som fra før hadde en tilfeldig orientering, far na en mer ordnetorientering slik at den positive delen peker mot kammen.

Siden størrelsen pa elektriske krefter avtar med avstanden mellom ladningene, vil dentiltrekkende kraften fra hydrogenatomene være større enn den frastøtende kraften pa ok-


Figur 5.5: En tynn strale med vann blir bøyd mot en elektrisk ladd kam.

sygenatomet. Resultatet blir en netto tiltrekkende kraft og vannet blir tiltrukket kammen.

5.4 Elektriske kretser

I noen materialer vil de ytterste elektronene i atomene være sapass løst bundet at derelativt lett kan løsrive seg fra et atom og ’vandre’ over til naboatomet. Dette er spesieltfremtredende i metaller, hvor elektronene mer eller mindre kan vandre fritt pa overflatenav materialet. Dersom vi har en langt metalltrad, hvor det er et overskudd av positiveladninger i den ene enden, og et overskudd av negative ladninger i den andre enden, vilelektronene i metallet kjenne en netto kraft fra den positive enden til den negative, og deløse elektronene vil begynne a strømme mot den ene enden. Vi kaller dette for en elektriskstrøm. Siden det skulle lite til a fa en elektrisk strøm i et metall, sier vi at et metall ergode til a lede elektrisk strøm. Dersom det skal svært mye til a skape en elektrisk strøm iet materiale, kaller vi materialet for en isolator. Plast og gummi er eksempel pa materialersom er darlige til a lede elektrisk strøm.

Figur 5.6: I en ledning av metal, kan de ytterste elektronene i metallatomene bevege seg relativtfritt langs metalloverflaten.

Elektrisk strøm har mange bruksomrader, f.eks. til a skape lys i form av glødelamper,skape varme eller som energikilde i elektriske aparater. En glødelampe skaper lys ved atman leder den elektriske strømmen inn i en tynn strad. Traden er laget slik at elektronenemøter mer motstand, men ikke nok til a stoppe opp den elektriske strømmen. Vi kan tenke

5.4. ELEKTRISKE KRETSER 93

pa denne motstanden som en friksjon i traden. Nar elektronene møter mer motstand, vildet øke temperaturen i traden, litt pa samme mate som at temperaturen i hendene vareøker pga. friksjon nar vi gnir de sammen. Temperaturen i traden blir til slutt sa stor attraden begynner a gløde. Traden gir dermed fra seg lys, og vi har laget en lyspære.

Figur 5.7: Prinsippet for en glødepære.

Siden elektronene i en strømledning blir utsatt for elektriske krefter, vil de ha en poten-siell energi siden det kreves et arbeid for a flytte pa elektronene. Dette elektriske potensielleenergien kan vi skape ved hjelp av et elektrisk batteri. Et batteri har to tilkoblingspunkereller poler hvor man kan lage en kontakt med strømledninger. Inne i bateriet er det kje-miske prosesser som gjør at den far en positivt ladet pol, katoden, og en negativt ladetpol, anoden. Dersom vi kobler en strømledning fra den ene polen til den andre polen, harvi laget en lukket elektrisk krets hvor det kan ga strøm.

Figur 5.8: Eksempel pa en lukket krets bestaende av et batteri og en lyspære.

5.4.1 Elektrisk spenning og strøm

I en strømledning gar det milliarder av elektroner. Det blir derfor praktisk hapløst a be-skrive strømmen ved a beskrive den elektrisk potensielle energien og kreftene som virkerpa hvert enkelt elektron. I bruker derfor istedenfor størrelsen elektrisk spenning nar vi skalbeskrive energien i en elektrisk krets. Nar vi flytter ladning fra et punkt A til et annet


punkt B, ma vi utføre et arbeid. Dette arbeidet er proporsjonalt med hvor mye ladningsom blir flyttet. Anta at det kreves arbeidet W for a flytte en ladning q. Dersom vi ønskera flytte to ladninger, 2q, kreves dobbelt sa stort arbeid, 2W . Legg merke til at dersom vitar det totale arbeidet delt pa antall ladning som ble flyttet, sa far vi alltid samme verdi.Kaller vi dette forholdet for U , far vi:

U =2w

2q=w

q

Figur 5.9: Spenningen mellom A og B, er lik det arbeidet som trengs for a flytte en ladning fra Atil B per ladning.

Dersom

Dette forholdet kaller vi for elektrisk spenning, eller den elektriske spenningen mellompunktet A og B. Siden vi kan bruke et batteri til a skape elektrisk potensiell energi, ellerelektrisk spenning, kaller vi batteriet for en spenningskilde. Anta at har en elektrisk kretshvor et batteri er koblet til flere elektriske komponenter. Nar elektriske ladninger bevegerseg gjennom en komponent, vil de oppleve en lavere elektrisk potensiell energi siden ladnin-gene har kortere vei til enden av kretsen. Vi sier da at vi har hatt et spenningsfall over denelektriske komponenten og at spenningen over komponenten er lik dette spenningsfallet.Dersom vi ønsker a male et slikt spenningsfall, bruker vi et voltmeter. Dette ma vi kobletil slik at den ene enden av voltmeteret er koblet til før komponenten, mens den andreenden er koblet til etter komponenten. En slik kobling kaller vi en parallellkobling mellomkomponenten og voltmeteret. Figuren under viser en krets hvor et voltmeter er koblet tilfor a male spenningen over en komponent. Nar vi tegner kretser, er det mer gunstig a brukesymboler istendenfor a prøve a lage en virkelighetstro tegning av kretsen. Istedenfor a tegneet batteri, har vi tegnet to linjer der den ene er litt kortere enn den andre. Voltmeteretrepresenterer vi ogsa bare som en sirkel med V i seg.


Figur 5.10: Vi kan bruke et voltmeter til a male spenning. Dette ma kobles i parallell til kompo-nenten (rektangelet) vi ønsker a male spenningen over.

Elektrisk spenning

Den elektriske spenningen, U , mellom to punkter A og B, er definert som det arbeidetsom kreves for a føre en ladet partikkel fra A til B, W , per ladning.

U =W

q

Elektrisk spenning maltes i Volt (V).

Pa lik linje med at elektrisk spenning er et mer overordnet begret for elektrisk energi, sakan vi ogsa lage et liknende begrep for hvor mye ladning som beveger seg i en ledning.Anta at vi tenker oss et tverrsnitt i en ledning og ser pa hvor mye ladning, q, som passerertverrsnittet per tid, t. Dette forholdet kaller vi for elektrisk strøm.

I =q

t

Figur 5.11: Den elektriske strømmen pa et punkt i en ledning, er hvor mye ladning som passereret tverrsnitt av ledningen per tid.

I en elektrisk krets tegner vi retningen til strømmen som retningen en positivt ladetpartikkel ville tatt, dvs. fra negativ til positiv pol pa et batteri. Dette kan bakvendt sidendet ikke positivt ladede partikler som bidrar til strøm, men negative elektroner. Ladningenei en strømledning gar med andre ord motsatt vei av retningen til strømmen. Dette er


av historiske grunner siden man først tenkte at strømmen i en ledning var fra positivtladede partikler. Siden det ville kreve omskriving av mange fagbøker dersom de skulleendre retningen pa elektrisk strøm, bare det enklere a bare definere retningen til strømmentil a ga fra positiv til negativ pol.

Figur 5.12: Vi tegner strømretningen slik at den gar fra positiv pol til negativ pol, men elektronenegar motsatt veg.

Elektrisk strøm

Den elektriske strømmen, I, i en ledning er definert som hvor mye ladning, Q, sompasserer et tverrsnitt i ledningen per tid.

I =q

t

Elektrisk strøm males i Ampere (A). Retningen for den elektriske strømmen er ret-ningen positivt ladede partikler vil bevege seg.

For a male elektrisk strøm, bruker vi et amperemeter. Dersom vi ønsker a male hvor myeladning som gar gjennom en komponent, kan vi koble pa amperemeteret som en egenkomponent i kretsen like før eller like etter komponenten. En slik kobling kaller vi enseriekobling. Elektrisk ladning er en fysisk størrelse som er bevart, sa det ma ga like myestrøm gjennom amperemeteret som den elektriske kretsen (ellers sa matte det ha forsvunnetladning et sted).

Figur 5.13: Vi kan male strøm ved a bruke et amperemeter. Dette ma kobles i serie.


Eksempel

En 60 W lyspære er koblet til en stikkontakt som skaper en spenning pa 230 V over lyspæra.Hvor mye strøm gar gjennom lyspæren?

Løsning: Vi har oppgitt effekten til lyspæren. Effekt er gitt som arbeid per tid

P =W

t

Vi kan skrive om uttrykket for elektrisk spenning for finne et uttrykk for hvor mye ladningsom gar gjennom lyspæren:

U =W

q

q =W

U

Dette kan vi sette inn i uttrykket for elektrisk strøm:

I =q

t=W

Ut=

1

U

W

t=

1

UP =

P

U=

60 W

223 V= 0.26 A

Vekselstrøm og likestrøm

Nar strømmen alltid gar i samme retning, sier vi at vi har likestrøm. Dette er strøm vi farfra en krets koblet til et batteri. Hvilken pol som er negativ og positiv holder seg konstantslik at strømmen gar i samme retning. Dersom vi har en krets der spenningen endrerretning, sier vi at vi har vekselspenning og vekselstrøm. Dette far vi f.eks. nar vi brukermagneter til a generere strøm. Vekselspenning har mange nyttige egenskaper som gjør atdette er strømmen vi bruker nar vi generer og overfører elektrisk energi i et kraftverk. Idenne boken kommer vi derimot til a holde oss til en beskrivelse av likestrøm, da dette ermatematisk enklere.

5.4.2 Kirchoffs lover

For a kunne regne pa strømkretser, er det viktig a vite hvordan strøm og spenning oppførerseg i en krets. De første lovene vi skal bruke er Kirchoffs to lover. Den første loven er somfølger:


Kirchhoffs første lov

Summen av strømmen som gar inn i et forgreiningspunkt, er lik summen av strømmensom gar ut av et forgreiningspunkt.

Kirchhoffs andre lov

I en lukket elektrisk krets, er summen av spenningsfallene over alle komponentene likpolspenningen.

Den første loven kommer av at i en ledning er all ladning bevart. Et forgreiningspunkt er etpunkt hvor en ledning deler seg i flere deler. Dvs. et slags veikryss for strømmen. All strømsom gar inn mot veikrysser, ma være lik all strøm som gar ut av veikrysset, ellers sa villevi ha mistet ladning et sted. Den andre loven baserer seg pa bevaring av energi. Et batteriskaper en spenning i en krets, eller potensiell energi om vi vil. Nar strømmen har kommetrundt hele kretsen, har ikke ladningene mer elektrisk potensiell energi, sa spenningen er null.Dersom vi legger sammen alle spenningsfall eller all den potensielle energien ladningenehar mistet under rundturen i kretsen, vil dette være lik den potensielle energien de fikk istarten av kretsen pga. batteriet.

Figur 5.14: All som strøm inn i et forgreiningspunkt, ma være lik all strøm ut av et forgreinings-punkt, dvs. I1 + I2 = I3 + I4 + I5.

Eksempel

Anta at I1, I2, I3 og I4 i figuren over var lik henholdsvis 4.0 A, 3.0 A, 2.5 A og 1.0 A. FinnI5.

Løsning: Siden all ladning ma være bevart, ma all strøm som gar inn i forgreiningspunk-tet, være lik all strøm som gar ut av forgreiningspunktet. Dette gir oss:


I1 + I2 = I3 + I4 + I5

I5 = I1 + I2 − I3 − I4

I5 = 4.0 A + 3.0 A− 2.0 A− 1.0 A = 3.5 A

Eksempel

Et 12 volts batteri er koblet til tre elektriske komponenter. Spenningen over komponent 1og 3, U1 og U3 er henholdsvis 3 V og 5 V. Hva er spenningsfallet over komponent 2?

Løsning: Kirchoffs andre lov sier at summen av spenningsfallene er lik polspenningen,U . Dette gir oss:

U = U1 + U2 + U3

U2 = U − U1 − U2 = 12 V− 3 V− 5 V = 4 V

5.4.3 Elektrisk motstand og Ohms lov

Nar elektronene kan bevege seg relativt fritt i en elektrisk leder, sier vi at elektronenemøter lite elektrisk motstand pa sin vei. Anta at vi har komponent hvor spenningsfalletover komponenten er U og strømmen som gar gjennom den er I. Desto høyere motstanddet er i komponenten, desto mindre blir strømmen I som gar gjennom den. Vi kan der-imot øke strømmen gjennom komponenten ved a øke spenningen. Dersom vi vet hvor myestrøm som gar gjennom en komponent og hvor stor spenning vi matte bruke for a fa dennestrømmen, definerer vi den elektriske motstanden, R, til a være forholdet mellom spennin-gen og strømmen:

R =U

I

Et annet ord for elektrisk motstand, er elektrisk resistans.


Definisjon pa resistans

En elektrisk komponents motstand eller resistans, er definert som forholdet mellomspenningen over komponenten og strømmen som gar gjennom

R =U

I

Elektrisk motstand, eller resistans, males i Ohm (Ω).

Eksempel

Grafen under viser hvordan spenningen avhenger av strømmen i en tenkt elektrisk kompo-nent. Beskriv hvordan resistansen i komponenten endrer seg med strømmen.

Figur 5.15: Spenning som funksjon av strøm for en tenkt elektrisk komponent.

Løsning: Nar det er lav spenning over komponenten, ser vi at kurven er tilnærmet li-neær. Da vil forholdet mellom spenning og strøm være konstant, dvs. at motstanden ikomponenten er konstant. Etterhvert som spenningen øker, ser vi at spenningen øker for-trere enn strømmen. Da blir forholdet mellom spenning og strøm større enn tidligere ogmotstanden øker. En naturlig arsak til dette, kan være at nar det gar mer strøm gjennomkomponenten, vil noe av den elektriske energien føre til økt temperatur i komponenten.Nar temperaturen er større, er det større bevegelse i atomene i komponenten, noe som


kan gjøre det vanskeligere for elektronene a strømme like fritt som vanlig. Motstanden ikomponenten øker.

For lave strømmer og spenninger, sa vi at motstanden i den elektriske komponenten overikke endret seg slik at vi fikk en lineær kurve. Spenningen er da proporsjonal med strømmenhvor motstanden er proporsjonalitetskonstanten. For mange elektriske komponenter vil detvære en god tilnærmelse a anta at vi har denne lineære sammenhengen. Dette kalles forOhms lov. I denne boken kommer vi til a anta at vi alltid har ideelle komponenter somfølger Ohms lov.

Ohms lov

I en ideell elektrisk komponent, er spenningen over komponenten proporsjonal medstrømmen gjennom komponten:

U = IR (5.1)

hvor proporsjonalitetskonstanten R er resistansen i den elektriske komponenten.

Eksempel

En elektrisk komponent har en motstand pa R = 10 Ω. Hvor mye strøm gar det gjennommotstanden dersom spenningen over den er 12 V?

Løsning: Vi antar at komponenten følger Ohms lov. Dette gir oss:

U =R

I

I =U

R=

12 V

10 Ω= 1.2 A

Det kan virke som at elektrisk motstand er noe vi alltid vil ha minst mulig av. Det kanderimot være noen komponenter som enten ikke taler en viss strøm gjennom seg, ellersom trenger en bestemt strøm for a fungere som den skal. Ved a ha komponenter meden viss motstand, kan vi lettere kontrollere hvor stor strøm som gar gjennom forskjelligekomponenter. A bruke elektrisk motstand til a kontrollere strøm, er sapass viktig at vibruker egne elektriske komponenter hvor den eneste egenskapen er a skape en viss motstandi kretsen. Slike komponenter kaller vi rett og slett for elektriske motstandere.


Figur 5.16: Elektriske motstandere tegnes ofte som et rektangel. Dette er ogsa symbolet vi brukerfor en generell elektrisk komponent.

5.4.4 Seriekoblinger

Elektriske kretser kan bli svært store og kompliserte, noe som gjør at det blir vanskelig aregne pa dem. Noen ganger er vi derimot bare interesserte i en liten del av en elektriskkrets. For a forenkle elektriske kretser, kan vi ofte kondensere flere komponenter i en kretsned til en tenkt komponent som er slik at resten av den elektriske kretsen oppfører seg likt.I bildet under har vi et tenkt slikt eksemper der vi kondenserer den kompliserte delen avkretsen ned til en komponent.

Figur 5.17: En stor del av en krets (inni sirkel) kondensert ned til en tenkt komponent.

For at resten av kretsen skal oppføre seg likt som før, ma denne tenkte komponenten ha enviss motstand. Denne kaller vi for resultantresistansen eller den totale motstanden i dennekomponenten. Hvordan man regner ut den totale motstanden i den del av en krets, avhengerav hvordan komponentene er koblet. Anta at vi har to motstandere R1 og R2 koblet i serie,som vi erstatter med en tenkt komponent med motstand R. Vi kaller spenningene over R1

og R2 for helholdsvis U1 og U2, mens spenningen over R kaller vi U .

For at kretsene skal oppføre seg likt, ma det totale spenningsfallet fra rett før R1 til rettetter R2 være lik spenningsfallet over R, dvs. vi ma ha

U = U1 + U2


Figur 5.18: En lukket krets med to komponenter koblet i serie.

Videre ma strømmen gjennom bade R1, R2 og R være like pga. bevaring av ladning. Dersomvi bruker Ohms lov pa alle komponentene, far vi:

U = IR

U1 = IR1

U2 = IR2

Dette kan vi sette inn i uttrykket for den totale spenningen, som gir oss:

U = U1 + U2

IR = IR1 + IR2

R = R1 +R2

Den totale resistansen er med andre ord summen av enkeltresistansene nar vi har en se-riekobling. Vi kunne tatt dette videre og tenkt at vi har n komponenter koblet i serie,R1, R2, ..., Rn. Vi kunne da vist at den totale motstanden i denne seriekoblingen, R, blirsummen av enkeltkomponentene:

R = R1 +R2 + ...+Rn

Resultantresistans for seriekoblinger

Anta at n elektriske komponenter med motstand R1, R2, ..., Rn er koblet i serie. Dentotale motstanden i seriekoblingen, R, er da lik

R = R1 +R2 + ...+Rn


Figur 5.19: En lukket krets med n komponenter koblet i serie.

5.4.5 Parallellkoblinger

Anta at vi har to komponenter R1 og R2 som er koblet i parallell, og vi ønsker a erstattedenne med en tenkt komponent med motstand R. Anta at vi kaller strømmen gjennom Rfor I. Dette er ogsa den strømmen som gar inn i parallellkoblingen. Nar denne strømmengar inn i parallellkoblingen, vil strømmen fordele seg i de to grenene. Vi kaller strømmensom gar gjennom R1 for I1 og strømmen som gar gjennom R2 for I2. Siden vi ma habevaring av ladning i kretsen, har vi at

I = I1 + I2

Figur 5.20: En lukket krets med 2 komponenter koblet i parallell.

For at vi skal ha samme spenning før og etter parallellkoblingen som før og etter den tenktekomponenten R, ma spenningen over R være lik spenningen over parallellkoblingen. Dvs. atspenningsfallet over hver av grene ma være like, ellers sa ville vi ikke hatt samme spenningetter parallellkoblingen. Dersom vi kaller spenningen over R1 for U1 og spenningen over R2

for U2, sa har vi:


U1 = U2 = U

Fra Ohms lov, far vi da:

I1R1 = U

I2R2 = U

IR = U

eller hvis vi skriver om:

I1 =U

R1

I2 =U

R2

I =U

R

Vi kan sette inn dette i uttrykket for strømmen over for a finne en sammenheng mellomden totale motstanden R og enkeltmotstanderne R1 og R2:

I = I1 + I2

U

R=

U

R1+

U

R2

1

R=

1

R1+

1

R2

Dersom vi hadde koblet til n komponenter i serie, ville uttrykket tatt formen:

1

R=

1

R1+

1

R2+ ...+

1

Rn

Resultantresistans for parallellkoblinger

Anta at n elektriske komponenter med motstand R1, R2, ..., Rn er koblet i parallell.Den totale motstanden i seriekoblingen, R, følger da likningen

1

R=

1

R1+

1

R2+ ...+

1

Rn


Figur 5.21: En lukket krets med n komponenter koblet i parallell.

Eksempel

Anta at vi har flere lyspærer koblet sammen i en krets. Desto mer strøm som gar gjennomlyspærene, desto sterkere lyser pærene. Vi lager to kretser, en der to lyspærer er koblet iserie og en der to er koblet i parallell. Vis at

a) alle lyspærene i seriekoblingen begynner a lys svakere dersom vi kobler til en ekstralyspære i serie.

b) alle lyspærene i parallellkoblingen lyser like sterkt som før selv om vi kobler til en ekstralyspære i parallell.

Figur 5.22: Lukket krets med to lyspærer (sirkler) koblet i serie (til venstre) og to koblet i parallell(til høyre).

Løsning:

a) Dersom lyspærene lyser svakere, ma det ga en mindre strøm gjennom dem. Siden allelyspærene er koblet i serie, gar det samme strøm gjennom dem pga. bevaring av ladning.Anta at kretsen drives av et batteri med spenning, U . Dersom vi erstatter alle lampenemed en tenkt komponent med motstand Rs, har vi


Figur 5.23: Alle lyspærene lyser svakere nar vi kobler til en ekstra lyspære i serie.

U = RI

I =U

Rs

hvor I er strømmen gjennom komponenten. Dersom hver av lampene har en motstandpa R, far vi

Rs = R+R = 2R

nar det er to lamper koblet i serie. Dette gir oss en strøm pa

U = RI

I =U

2R

Nar vi har tre lamper i serie, far vi Rs = 3R. Dersom vi kaller strømmen gjennomkomponentene da for I ′, far vi

I ′ =U

3R< I

Strømmen blir altsa mindre nar vi kobler til en ny lampe i serie. Lampene lyser svakere.

b) Nar strømmen i kretsen, I, deler seg i forgreiningen, vil det ga like mye strøm i hver avgreinene dersom lampene er identiske. Anta at vi kaller strømmen i greinene for Ig. Narvi har to lamper, far vi

I = Ig + Ig = 2Ig

Ig =1

2I


Figur 5.24: Alle lyspærene lyser like sterkt selv om vi kobler til en ny lyspære i parallell.

Dersom vi gjør samme som i sted og erstatter parallellkoblingen med en tenkt kompo-nent med motstand, Rp, far vi

U = IRp

I =U

Rp

Nar vi har to lamper, far vi

1

Rp=

1

R+

1

R=

2

R

Rp =1

2R

Insatt i likningene over, far vi:

I = Ig + Ig = 2Ig

Ig =1

2I =

1

2

U

Rp=

1

2

U12R

=U

R

Dersom vi kobler til en ekstra lampe i parallell, far vi

I = Ig + Ig + Ig = 3Ig

Ig =1

3I

og


1

Rp=

1

R+

1

R+

1

R=

3

R

Rp =1

3R

Nar vi setter inn, far vi:

Ig =1

3I =

1

3

U

Rp=

1

3

U13R

=U

R

som er akkurat det samme vi fikk nar vi hadde to lamper i parallell. Lampene lyser likesterkt som før.

Kapittel 6

Magnetisme

Nar vi plasserer en kjøleskapmagnet pa kjøleskapet, henger den fast. Dersom vi førerkjøleskapmagneten mot en nal, vil nalen henge pa magneten, men den har ingen pavirkningpa papir. Det virker med andre ord krefter mellom en magnet og noen materialer, mensandre blir upavirket. Dette er den magnetiske kraften. Som vi skal se senere, er magnetiskekrefter svært nært knyttet til elektriske krefter. I tillegg til at det virker magnetiske kreftermellom en magnet og visse materialer, virker det magnetiske krefter mellom to magneter.Alle magneter kan deles opp i en sørpol og en nordpol. De magnetiske kreftene mellomto magneter er frastøtende dersom to nordpoler er vendt mot hverandre, og tiltrekkendedersom ulike poler er vendt mot hverandre.

Figur 6.1: En magnet har alltid en nordpol og en sørpol. To magneter frastøter like poler ogtiltrekker motstatte poler.

Polene til en magnet har fatt navnet sitt pga. den magnetiserte nalen i et kompass. Narvi holder et kompass ved jordens overflate, vil en bestemt side av kompassnalen peke mot

111

112 KAPITTEL 6. MAGNETISME

jordens nordpol. Vi kaller derfor denne delen av den magnetiserte kompassnalen for magne-tens nordpol. Grunnen til at kompassnalen peker mot nord, er fordi det virker magnetiskekrefter pa kompassnalen fra jordkloden, som oppfører seg som en stor stavmagnet. Sidenmotsatte poler tiltrekker hverandre, vil dette si at det er en magnetisk sørpol ved jordensnordpol. Den magnetiske sørpolen ligger ikke direkte over den geometriske nordpolen, mendet er nærme nok til at vi kan bruke kompass til a vise retningen mot nord.

Figur 6.2: Jordkloden fungerer som en stor stavmagnet. Nalen i en kompassnal er magnetisert slikat nordpolen pa magnetnalen peker mot jordens geometriske nordpol. Jordens geometriske nordpoler derfor dens magnetiske sørpol.

Grunnen til at en stavmagnet kan skape magnetiske krefter mot visse materialer, er fordidette materialet selv vil bli magnetisk nar det kommer nær stavmagneten. Dersom vi f.eks.plasserer en jernspiker i nærheten av en magnetisk nordpol, vil dette gjore spikeren til enmagnet hvor sørpolen til jernmagneten peker mot nordpolen til stavlmagneten. Resultatetblir en tilrekkende kraft mellom jernspikeren og stavmagneten.

Figur 6.3: En jernspiker blir magnetisk nar vi fører den nær en annen magnet.

Noen materialer mister sine magnetiske egenskaper nar vi fjerner stavmagneten. Dettekaller vi midlertidige magneter. Dersom et materiale beholder sine magnetiske egenskaperetter at vi har fjernet magneten, kaller vi det for en permanentmagnet.

6.1. MAGNETISK FELT 113

6.1 Magnetisk felt

Nar vi holder et kompass pa forskjellige steder rundt en stavmagnet, vil nordpolen pa kom-passnalen bli frastøtt fra nordpolen til stavmagneten og tiltrekt sørpolen til stavmagneten.For sørpolen pa kompassnalen for vi det motsatte. Resultatet blir at kompassnalen peker iretningene i figuren under. Det er nyttig a lage en visualisering av hvilken retning en kom-passnal vil peke rundt en magnet. Vi visualiserer vanligvis dette ved a lage kontinuerligelinjer med pil i retning til nordpolen pa et kompass. Disse linjene kaller vi et magnetfelt. Vibruker ofte symbolet B for a representere magnetisk felt. Fra tegningen under ser vi ogsa atavstanden mellom magnetfeltlinjene blir større desto lengre vekk fra magneten vi kommer.Dette er for a illustrere at de magnetiske kreftene pa kompassnalen fra stavmagneten blirsvakere desto lengre vekk fra stavmagneten kompasset befinner seg.

Figur 6.4: Et magnetfelt i et punkt, peker i den retningen nordpolen pa et kompass ville pekt.

Retning pa magnetfelt

Retningen til et magnetfelt i et punkt, er retningen nordpolen pa en kompassnal vilpeke dersom det blir plassert pa det aktuelle punktet.

6.2 Magnetisk kraft pa ladning i bevegelse

Dersom en ladet partikkel beveger seg i et magnetfelt, vil det virke en magnetisk kraft papartikkelen. Det virker derimot kun krefter dersom partikkelen er i bevegelse. Dersom en


ladning star i ro, vil det ikke virke noen krefter pa partikkelen. For a finne ut hvilken retningdenne magnetiske kraften, bruker vi høyrehandsregelen. Strekk ut fingrene pa høyre handog plasser handen slik at fingrene peker i retningen den positive ladningen beveger seg.Vri handen slik at du kan bøye fingrene mot retningen magnetfeltet peker. Dersom du dastrekker ut tommelen, peker den i retningen til den magnetiske kraften. Størrelsen pa denmagnetiske kraften avhenger av hvor mye ladning partikkelen har og hvor fort den bevegerseg, samt styrken pa magnetfeltet. I tillegg har vinkelen mellom magnetfeltet og hastighetenen stor pavirkning pa kraften. Kraften er størst dersom vinkelen mellom hastigheten ogmagnetfeltet er 90 grader og null dersom partikkelen beveger seg i samme retning sommagnetfeltet. Siden den magnetiske kraften i tillegg star 90 grader pa bade hastighetenog magnetfeltet, ma vi over i tre dimensjoner for a beskrive magnetiske krefter som virkerpa ladet partikkel i bevegelse. Anta at en partikkel beveger seg i et plan, f.eks. flatt pa etark. Tegningen kan fort bli uoversiktelig dersom vi prøver a tegne i tre dimensjoner. Ofteønsker vi a beskrive et magnetfelt som star vinkelrett pa bevegelsen til partikkelen. I dettetilfellet vil det si rett inn i arket, eller rett ut av arket. Vi bruker ofte en sirkel med prikkfor a illustrere at magnetfeltet peker rett ut av arket (tenk spissen pa en pil), mens vi oftetegner en sirkel med kryss for a illustrere at magnetfeltet gar rett inn i arket (tenk at duser bakenden av en pil).

Figur 6.5: Magnetisk kraft pa en positivt laded partikkel nar magnetfeltet peker ut av arket (a)og inn i arket (b). Retningen pa kraften følger høyrehandsregelen.

Magnetisk kraft pa ladet partikkel

De magnetiske kreftene pa en positiv ladning som beveger seg i et magnetfelt følgerhøyrehandsregelen. Pa matematisk form, kan vi skrive kraften som produktet avladningen med kryssproduktet mellom hastigheten og magnetfeltet:

Fm = qv ×B

hvor q er ladningen til partikkelen, v er hastigheten og B er magnetfeltet. De mag-netiske kreftene er null dersom v

6.3. MAGNETFELT FRA EN STRØMFØRENDE LEDNING 115

6.3 Magnetfelt fra en strømførende ledning

Hvorfor blir en ladning i bevegelse pavirket av en magnetisk kraft? Dersom vi ser pa mag-netiske krefter som krefter som virker mellom to magneter, ma det bety at ladningenedanner sitt eget magnetfelt nar den begynner a bevege seg. Dette ser vi veldig tydeligrundt en strømførende ledning. Dersom vi sender strøm gjennom ledningen, vil det bligeneret et magnetfelt som gar i en sirkel vinkelrett pa ledningen. Vi kan bruke en liknendehøyrehandsregel til a finne retningen til dette sirkulære magnetfeltet. Dersom vi lar tom-melen pa høyre hand peke i retningen til strømmen, vil magnetfeltet peke i retningen vikan krumme fingrene.

Figur 6.6: Magnetfelt rundt en strømførende ledning. I bilde b, ser vi ledningen forfra slik atstrømmen kommer ut av arket.

Magnetfelt fra strømførende ledning

Dersom vi sender strøm i en ledning, blir det dannet et sirkulært magnetisk felt rundtledningen.

6.4 Induksjon

Bevegelse er en relativ størrelse. Vi har sett at dersom en ladning beveger seg i et mag-netfelt, vil den bli pavirket av en magnetisk kraft. Men sett fra ladningens stasted er detmagnetfeltet som beveger seg og ladningen som star stille. Om det er magnetfeltet sombeveger seg, eller om det er ladningen som beveger seg, er egentlig urelevant. Det er denrelative bevegelsen mellom magnetfeltet og ladningen som teller. Det betyr at dersom enladning er i ro, og vi fører en stavmagnet mot ladningen, vil den bli pavirket av en magne-tisk kraft sa lenge vi beveger stavmagneten. Dette kan vi ta et steg videre og føre magneten


i nærheten av en ledning. Nar vi beveger magneten i nærheten av ledningen, vil det derforga en strøm i ledningen siden endringen i magnetfelt pavirker ladningene i ledningen meden kraft. Dette fenomenet kaller vi for induksjon. Dette kan vi utnytte i f.eks. induksjons-ovner, hvor vi har et varierende magnetfelt i steketoppen. Dette gjør at det blir indusert enstrøm i stekepannen. Elektronene i stekepannen møter mye motstand slik at temperaturenøker pga. friksjon.

Figur 6.7: Endring i magnetfelt induserer en strøm i en ledning, er i form av en spole

Induksjon

Dersom man endrer et magnetfelt i nærheten av en strømledning, vil det ga en strømgjennom ledningen.

6.5 Magnetisme som et relavistisk fenomen

Magnetiske krefter er nært knyttet til elektriske krefter. I dette delkapitlet skal vi vise atmagnetisme og elektrisitet faktisk er bare to sider av samme sak. Anta at vi har et elektronsom er plassert en lengde fra en ledning hvor det gar en strøm. I ledningen har vi da relativtstillestaende positive ladninger, samt negative ladninger i bevegelse. Nar elektronet er i ro,vil vi ikke male noen elektrisk kraft pa elektronet. Dette ma bety at tettheten av positiveog negative ladninger i ledningen ma være like. Hvis ikke ville elektronet blitt pavirket aven elektrisk kraft. Dersom elektronet beveger seg, f.eks. i samme retning som de negativeelektronene i ledningen, vil elektronet utenfor oppleve en tiltrekkende kraft mot ledningen.Fra et referansesystem i ro, vil vi konkludere med at denne kraften kommer pga. detmagnetiske feltet rundt ledningen.La oss na anta at vi heller ser situasjonen fra et elektronets stasted. Fra et referansesystemsom beveger sammen med elektronet, ser det ut som at elektronet star stille, og det virker

6.5. MAGNETISME SOM ET RELAVISTISK FENOMEN 117

Figur 6.8: Ladet partikkel i bevegelse utenfor en strømførende ledning sett fra 1) et stillestaendereferansesystem og 2) et referansesystem som følger bevegelsen til den ladede partikkelen.

da merkelig at det skulle bli pavirket av en magnetisk kraft. Men sett fra elektronets stastedvil det være de positive ladningene i ledningen som beveger seg. Fra relativitetsteorien vetvi at avstander blir kortere for legemer som beveger seg relativt til referansesystemet. Detbetyr at elektronet opplever avstanden mellom de positive ladningene som kortere enn hvaelektronet opplevde nar det star i ro. Det blir dermed en større tetthet av positive ladninger.Dersom vi samtidig antar at elektronet beveger seg i samme fart som de strømførendeelektronene, vil elektronet na oppleve avstanden mellom de strømførende elektronene somlengre siden det na ser ut som at de star stille. Resultatet blir at det fra elektronets stastedblir en ujevn fordeling av negative og positive ladninger i ledningen. Det er en større tetthetav positive ladninger, og elektronet blir pavirket av en tiltrekkende elektronisk kraft.

Dette er akkurat den samme kraften som tidligere. En person i ro vil si at dette eren magnetisk kraft som oppstar fordi elektronet beveger seg, mens en person som bevegerseg sammen med elektronet, vil si at dette er en elektrisk kraft pga. skjev fordeling avelektriske ladninger i ledningen. I virkeligheten er det samme kraften, sa magnetisme ogelektrisitet er to bare sider av samme sak.

Tillegg A

Matematisk grunnlag

Dette kapitlet gir en kort innføring i viktige matematiske tema. Mesteparten av dette til-svarer et niva omtrent lik ungdomskolen. Den matematiske notasjonen kan derimot noenganger være litt mer formell enn hva man vanligvis finner pa ungdomskolen. Et unn-tak er det siste avsnittet om vektorer, som er et matematisk tema man ofte først møterpa videregaende. Siden veldig mange fysiske størrelser er vektorer, er det viktig med littforstaelse for vektorer og hvordan de fungerer.

A.1 Regning

A.1.1 De fire regnearter

For a manipulere tall, bruker vi fire regnearter, addisjon, subtraksjon, multiplikasjon ogdivisjon. Addisjon betyr a legge sammen, f.eks.

1 + 2 = 3

Subtraksjon betyr a trekke fra, f.eks.

3− 1 = 2

Multiplikasjon betyr a gange og kan sees pa som en gjentatt addisjon, f.eks.

2 · 3 = 2 + 2 + 2 = 6

Mens subtraksjon betyr a dele og kan sees pa som en gjentatt subtraksjon, f.eks.

6÷ 2 = 3

119

120 TILLEGG A. MATEMATISK GRUNNLAG

siden vi ma trekke fra 2 tre ganger for a fa null

6− 2− 2− 2 = 0

Vi kan ogsa tenke divisjonen med at 6 skal deles likt pa 2 personer. Vi far da at hver personfar 3 hver. Divisjon kan ogsa skrives som en brøk, dvs.

6÷ 2 =6

2

A.1.2 Regne med bokstaver

I matematikken vil man ofte representere tall ved hjelp av bokstaver. Dette kan være nyttigdersom vi har regnestykker der tallene er svært store eller svært sma, eller der tallet erukjent. Nar vi regner med bokstaver, gjelder samme regler som nar vi regner med vanligtall. Anta at a er et tall, vi kan da bruke addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og divisjonpa vanlig mate, f.eks.

3 · a = a+ a+ a

Dersom det ikke star noe matematisk tegn mellom to bokstaver, eller et tall og bokstav,er det da et implisitt multiplikasjonstegn mellom dem. Istedenfor a skrive

3 · a

kunne vi skrevet

3a

Divisjon gjelder ogsa med bokstaver. F.eks. er

8a÷ 2 = 4a

siden

8a− 4a− 4a = 0

Vi kan ogsa la bokstaven være divisoren, f.eks. sa er

A.1. REGNING 121

4a÷ a = 4

siden

4a− a− a− a− a = 0

A.1.3 Regneregler for addisjon og multiplikasjon

Nar man utfører addisjon og multiplikasjon, har ikke rekkefølgen noen betydning, dvsdersom a og b er tall, gjelder:

a+ b = b+ a

og

a · b = b · a

Dersom vi har flere addisjoner eller multiplikasjoner, spiller det ingen rolle hvilken vi regnersammen først, dvs:

a+ b+ c = (a+ b) + c = a+ (b+ c)

og

a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)

eller forkortet til

abc = (ab)c = a(bc). (A.1)

Pa lik linje som at fravær av matematisk tegn mellom bokstaver impliserer en multiplika-sjon, vil det samme gjelde dersom det ikke star noe matematisk tegn foran eller etter enparantes. Parantesene over betyr at vi ser pa det inni parantesen som en enhet. Vi kanillustrere dette med et talleksempel

2 · 3 · 4 = 6 · 4 = 2 · 12


I andre steg brukte vi at 2 · 3 = 6, mens i tredje steg at 3 · 4 = 12. Bruk av paranteser erspesielt nyttig dersom vi blander addisjon og multiplikasjon, f.eks. sa er

2 · (3 + 4) = 2 · 8 = 14

forskjellig fra

2 · 3 + 4 = 6 + 4 = 10

I det første eksemplet, kunne vi ogsa skrevet

2 · (3 + 4) = 2 · 3 + 2 · 4 = 6 + 8 = 14

Dette kan vi skrive mer generelt som:

a · (b+ c) = a · b+ a · c (A.2)

A.1.4 Ulike typer tall

Tall kan grupperes i forskjellige typer. De mest grunnleggende tallene er de naturlige tallene.Dette er alle tall som representerer en helhet, f.eks. en blyant, to blyanter, tre blyanter osv.

0, 1, 2, 3, ...

I tallfølgen over har vi ogsa tatt med tallet 0 (ingen blyanter). Symbolet ... er en matematiskmate a si ’og sa videre’, dvs. at vi antar at listen med tall over bare fortsetter i det uendelige.Dersom vi ønsker a si at et tall er naturlig, bruker vi ofte symbolet N. Anta at vi har etukjent tall, x, som vi vet er et naturlig tall. Vi ville da skrevet:

x ∈ N

Dette kan vi lese som ’x er en del av N’, eller bare ’x er et naturlig tall’. Den neste naturligegrupperingen av tall, er alle heltall, bade positive og negative.

...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...

Tallmengden som bestar av alle heltall, kan representeres ved symbolet Z. Vi kan definereheltallene ut ifra addisjon og subtraksjon av de naturlige tallene. F.eks. kan tallet -1 seessom subtraksjonen av de naturlige tallene 0 og 1, 0-1.

A.1. REGNING 123

Videre har vi alle rasjonale tall, dvs. alle tall som kan skrives som en brøk av heltall,dvs.

m

n

der m og n ∈ Z. Eksempler pa dette er

−2,−1

3, 0,

1

2, 10,

99

128

Dersom vi i tillegg inkluderer alle irrasjonale tall, dvs. tall som ikke kan skrives som enbrøk av heltall, far vi alle de reelle tallene. Dette er alle tallene vi har pa en kontinuerligtallinje.

De reelle tallene representeres ved symbolet R.

A.1.5 Potensregler

Anta at vi har et tall x. Dersom vi skriver xn, der n ∈ N, betyr dette at vi skal gange xmed seg selv n ganger. F.eks.

26 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64

Vi kunne ogsa skrevet dette som

26 = 2 · (2 · 2) · (2 · 2 · 2) = 21 · 22 · 23 = 21+2+3

Vi kan skrive dette mer generelt. Dersom a, b og c er tall, vil

ab · ac = aa+b (A.3)

Vi kunne ogsa skrevet eksemplet vart pa enda en annen mate:

(2 · 2) · (2 · 2) · (2 · 2) = 4 · 4 · 4 = 43 = (4)3 = (22)3 = 22·3 = 26

Dette kan vi ogsa skrive mer generelt for a fa en ny potensregel. Dersom a, b og c er tall,vil

(ab)c

= ab·c (A.4)


Vi har ogsa viktige potensregler for divisjon. Da f.eks.

8

4= 2

Vi kunne ogsa skrevet dette som

23

22= 23−2 = 21 = 2

Mer generelt kan vi skrive dette som:

ab

ac= ab−c

Denne regelen gjør at vi ogsa kan gi mening til negative potenser. For a utlede den nesteregelen, trenger vi en regel for null potens. Vi ser pa følgende regnestykke:

a0 · ab = a0+b = ab

Vi ganger tallet ab med a0 og far igjen ab som svar. For at dette regnestykket skal ga opp,ma vi ha at

a0 = 1 (A.5)

Anta sa at a og b er positive tall.

1

ab=a0

ab= a0−b = a−b

som gir oss den generelle regelen

1

ab= a−b (A.6)

I eksemplet over har vi latt a, b og c være naturlige tall. De to potensreglene vi har skrevetopp, gjelder derimot for alle reelle tall, men da blir jo spørsmalet; hva betyr egentlig

ab

dersom b ikke er et positivt heltall?

A.2. LØSE LIKNINGER 125

A.2 Løse likninger

A.2.1 Likninger med en ukjent

Dersom man har en likning med en ukjent størrelse man ønsker a finne, løser man likningenved a manipulere uttrykkene slik at den ukjente kommer alene. Dersom man gjør en ma-tematisk operasjon pa uttrykket pa en side av likhetstegnet, f.eks. addisjon, subtraksjon,divisjon eller multiplikasjon, ma man ogsa gjøre samme operasjon pa uttrykket pa denandre siden av likheten for at hver side fortsatt skal være likt.

Addisjon og subtraksjon

Anta at vi har likningen;

x+ 2 = 3.

For at hver side av likheten skal være det samme, er det trivielt a se at x = 1. Vi kunneogsa vist dette ved a trekke fra 2 pa hver side av likheten:

x+ 2 = 3

x+ 2− 2 = 3− 2

x = 1

Vi trakk her fra 2 for a fjerne 2-tallet pa høyre side slik at x kommer alene. Vi fikk da 3-2pa andre siden av likheten. Dersom vi hadde skrevet opp likningen som

x+ 2 = 3

x = 3− 2,

kan det se ut som at vi har ’flyttet’ 2-tallet over pa andre siden av likhetstegnet. Vi ser daat det skiftet fortegn fra + til -. Det samme skjer selv om det er et negativt tall vi ønskera ’flytte’. Ta likningen under:

x− 5 = 3

Det eneste som mangler for a fa x alene, er a fa fjernet 5-tallet pa venstre side. Vi kangjøre dette ved a addere 5 pa hver side:

x− 5 = 3

x− 5 + 5 = 3 + 5

x = 3 + 5

x = 8


Dersom man ser bortifra det andre steget, kan det se ut som at vi har flyttet -5 over paandre siden av likheten og at det skiftet fortegn i prosessen.

Multiplikasjon og addisjon

I likningen

2x = 3

ma man fa fjernet 2-tallet foran x for a fa x alene. Vi kan gjøre dette ved a dele med 2 pahver side av likheten:

2x = 3

2x÷ 2 = 3÷ 2

x =3

2

Vi kunne ogsa løst denne likningen ved a multiplisere med 1/2, som er det samme som adividere med 2. At dette er det samme, kan vi se ved a bruke regelen som sier at dersomvi multipliserer to brøker a

b og cd , sa kan vi multiplisere disse sammen ved a multiplisere

teller med teller og nevner med nevner, altsa

a

b· cd

=ac

bd

Anta at vi skal regne ut a÷ b. Dersom vi skriver divisjonen som en brøk, far vi:

a

b=a · 11 · b

=a

1· 1

b= a · 1

b.

I det andre steget utnytter vi at et tall multiplisert med 1 er lik seg selv. Sammenlikningervi uttryket helt til høyre med uttrykket helt til venstre, ser vi at a dividere med b er detsamme som a multiplisere med 1/b.

Dersom vi multipliserer likheten var med 1/2 pa hver side, ender vi opp med:

2x = 3

2x · 1

2= 3 · 1

22x

2=

3

2

x =3

2


Sammensatte likninger

Som oftest møter man likninger hvor man ma gjøre flere operasjoner for a komme fremtil svaret. I tillegg har man ofte fysiske konstanter eller andre ukjente med i likningen. Taf.eks. likningen

a = b+c

d.

Anta at vi ønsker a finne d uttrykt ved variablene a, b og c. Vi ma da gjøre flere steg. Vikan starte med a flytte b over pa andre siden av likheten (dvs. vi trekker fra b pa hver side)slik at den skifter fortegn.

a = b+c

d

a− b =c

d

For a fa d opp fra nevneren, multipliserer vi hver side av likheten med d. Pa venstre side harvi da en felles faktor i teller og nevner, d, som vi kan forkorte. Samtidig far vi d multiplisertmed a og b pa andre siden av likheten.

a− b =c

d

(a− b) · d =c

d· d

(a− b)d = c

Pass pa at nar d multipliseres med uttrykket pa venstre side, ma vi multiplisere d medbade a og b. Dersom vi sa multipliserer hver side av likheten med 1/(a+ b), far vi d alenesiden vi far samme faktor i teller og nevner pa venstre side, som vi kan forkorte:

(a− b)d = c

(a− b)d · 1

(a+ b)= c · 1

(a+ b)

d =c

a+ b

Kvadratiske likninger

En kvadratisk likning er en likning pa formen:


ax2 + bx+ c = 0 (A.7)

hvor a, b og c er konstanter. Denne likningen kan løses ved fullstendige kvadraters metode.Dette er en metode vi ikke kommer til a fa bruk for i denne boken, sa vi gar derfor hellerrett til løsningen av likningen; den kjente ”abc-formelen”:

x =−b±

√b2 − 4ac

2a(A.8)

Symbolet ± betyr bare i praksis at vi har to løsninger, en der vi bruker + og en der vibruker -. F.eks. har likningen

2x2 + 5x+−3 = 0

løsningene

x1 =−5 +

√52 − 4 · 2 · −3

2 · 2=−5 + 7

4=

1

2

og

x2 =−5 +

√52 − 4 · 2 · −3

2 · 2=−5− 7

4= −3

A.2.2 Likninger med flere ukjente

Anta at vi har likningene

2x+ y = 1

x− y = 3

hvor bade x og y er ukjente vi er interesserte i a finne verdien av. Likningene over kaller viet likningsett eller sett av likninger. Løsningen av likningssettet over er alle verdier for x ogy som gjør at begge likninger er oppfylt samtidig. Vi kan løse slike likninger pa forskjelligemater. En av de mest vanlige er innsettingsmetoden, som gar ut pa at man manipulererden ene likningen for a fa en av de ukjente alene, f.eks. x i en av likningene over. Videre kanman sette inn uttrykket for x inn for x i den andre likningen slik at vi star igjen med enenkelt likning med en ukjent som vi kan løse pa vanlig mate. Vi kan f.eks. ta utgangspunkti den andrelikningen og finne et uttrykk for x:


x− y = 3

x = 3 + y

Vi erstatter sa alle x-er i andre likning med uttrykket vi fant for x og løser likningen for y.

2x+ y = 1

2(3 + y) + y = 1

6 + 2y + y = 1

6 + 3y = 1

3y = −5

y =−5

3

I det siste steget multipliserte vi hver side av likheten med -1. Nar vi har verdien for y,finner vi verdien til x ved a sette inn y i uttrykket vi fant for x:

x = 3 + y = 3 +−5

3=

9

3− 5

3=

4

3

Løsningen av likningen er altsa (x, y) = (43 ,−

53).

Uavhengige likninger

Dersom man generelt sett har n ukjente, sa trenger man n likninger for a kunne finne enentydig løsning av likningsettet. Eksemplet under viser et likningsett med tre ukjente ogtre likninger:

2x+ y − z = 3

−x− y + 4z = 2

x+ 2x− 3z = 3

Innsettingsmetoden fungere like bra selv om vi har flere ukjente. I eksemplet over kunnevi f.eks. først skrevet om den første likningen for a fa z alene. Uttrykket for z kunne vida satt inn for z i likning to og tre. De to siste likningene har da kun to ukjente, x og y,og kan dermed løses som et vanlig likningssett av to likninger og to ukjente. Nar man harfunnet en verdi for x og y, finner man z ved a sette inn verdiene for x og y i uttrykket forz.


Det eneste man ma være obs pa er at for at et likningsett med n ukjente og likningerskal kunne løses, sa ma alle likningene være uavhengige, dvs. at det ikke ma være mulig akunne fa en av likningene ved a skrive om eller kombinere de andre. I likningsettet under

2x− 4y = −1

−x+ 2y =1

2

har vi to likninger og to ukjente, men likningene er ikke uavhenige. Den andre likningenkan skrives om til a bli den første ved a multiplisere med -1 og 2 pa hver side av likheten:

−x+ 2y =1

2

x− 2y = −1

22x− 4y = −1

Prøver vi a løse likningsettet pa vanlig mate, ender vi opp med et 0 = 0-uttrykk som gjørat vi ikke finner en entydig løsning. Prøv selv a løse likningsettet.

A.3 Funksjoner

En funksjon fremkommer i mange former i matematikken, f.eks. grafer, tabeller eller ma-tematiske uttrykk. Den formelle definisjonen av en funksjon er at det er en sammehengmellom to tallmenger der man for hvert tall i den ene tallmengden, tilorder et tall i denandre. Ta uttrykket under:

y = x2

Man kan se pa dette som en likning med to ukjente, men vi kan ogsa se pa det som ensammenheng mellom to variabler, x og y. Dersom vi velger en verdi for x, sa far vi en verdifor y. Velger vi f.eks. x = 3, far vi:

y = x2 = 32 = 9

mens dersom vi har x = 4, far vi

y = x2 = 42 = 16

A.3. FUNKSJONER 131

For hver x vi velger, far vi en bestemt verdi for y. Vi sier at y avhenger av x. Dersom vikan velge x fritt, kan vi kalle x for en uavhengig variabel. Nar vi har valgt x, er verdien tily fastsatt av uttrykket over. Vi kaller derfor y for den avhengige variabelen og vi sier at yer en funksjon av x. Vi kunne skrevet dette som

y = f(x)

Symbolet f er navnet pa funksjonen. Parantesen bak (x) sier at dette er en funksjon der xer den uavhengige variabelen. I uttrykket

s = s(t) = v0t+1

2at2

Har vi s som avhengig variabel og t som uavhengig variabel. Her brukte vi samme symbolfor den uavhengige variabelen og funksjonsnavnet, s. De andre symbolene v0 og a kaller vifor konstanter.

A.3.1 Grafen til en funksjon

Det er flere mater a vise sammenhengen mellom den uavhengige og avhengige variabeleni en funksjon. I eksemplene over, brukte vi et matematisk uttrykk, men sammenhengenkan ogsa vises grafisk. Anta at vi har en funksjon y = f(x). Vi lager et koordinatsystemder førsteaksen representerer verdiene til x, mens andreaksen representerer til y. Vi defi-nerer grafen til funksjonen f(x) som alle punkter (x, y) eller i (x, f(x)) koordinatsystemet.Figuren under viser et eksempel pa en slik graf. Her har vi tegnet grafen til funksjoneny = x2. Grafen til en funksjon gir et raskt visuelt overblikk over funksjonen, og kan værenyttig i mange sammenhenger for a fa et bedre inntrykk av hvordan variablene avhengerav hverandre.

Figur A.1: Grafen til y = x2.


A.3.2 Lineære funksjoner

En lineær funksjon er en funksjon pa formen

y = ax+ b

hvor a og b er konstanter. Grafen til en lineær funksjon er en rett linje.

A.3.3 Kvadratiske funksjoner

En kvadratisk funksjon er en funksjon pa formen

y = ax2 + bx+ c

hvor a, b og c er konstanter. Grafen til en kvadratisk funksjon er en parabel, f.eks. slik somgrafen til y = x2 vist tidligere. Dette er en kvadratisk funksjon med a = 1 og b = c = 0.

A.4 Trigonometri

Trekanter spiller en viktig rolle i fysikken da man ofte kan dele opp situasjoner i trekanterog studere hver av sidekantene i trekanten hver for seg. Egenskaper til trekanter blir derforsvært viktig.

c2 = a2 + b2

Figur A.2: I en rettvinkla trekant er c2 = a2 + b2.

A.5 Vektorer

Fysiske størrelser forekommer i to varianter, skalarer og vektorer. En skalar er en fysiskstørrelse som har en verdi og en enhet, f.eks. masse, volum, lengde, temperatur, energi

A.5. VEKTORER 133

og arbeid. Vektorer, derimot, har i tillegg til størrelse og enhet, en retning assosiert medseg. Eksempler pa vektorstørrelser er forflytning, hastighet, akselerasjon og kraft. Det erviktig a presisere her at med retning, sa mener vi som regel en romlig retning. Sa selvom man kan si at tiden har en retning (fremover og bakover), sa tenker vi ikke pa dettesom en vektorstørrelse. Det gir ikke mening a si at tiden gar mot nordøst. I fysikken ogmatematikken er det ulike notasjoner for en vektor. Dersom vi skal presisere at den fysiskstørrelse, u, er en vektor, gjør vi dette vanligvis ved a enten bruke fet skrift u, eller a skriveen pil over symbolet, ~u.

u = ~u

I denne boken bruker vi fet skrift nar vektorer blir brukt i hovedteksten, mens i tegningervil pil over symbolet bli brukt. Lengden eller størrelsen pa en vektor u kan skrives som |u|eller noen ganger ogsa med doble linjer ||u||.

Eksempel

Anta at vi forflytter oss 10 m i nordøst retning. Dersom vi tenker pa forflytningen som envektor, r, har vi da

|r| = 10 m

Vi kan visualisere en vektor ved a tegne en pil i retningen vektoren peker, der lengdenav pilen representerer størrelsen eller lengden pa vektoren. I tegningen under har vi trevektorer a, b og −b. Siden lengden av pilen til a er kortere enn b, vil det si at størrelsenpa a er mindre enn størrelsen pa b. Dersom a og b representerer forflytning i en retning,kunne vi tenke oss at |b| = 10 m og |a| = 7 m. Poenget er ikke at lengden av vektoreneskal være helt korrekte, men dersom vi har flere vektorer i samme tegning, burde vi fa etinntrykk av forholdet mellom størrelsene av vektorene ved a se pa lengden av pilene. Merkat dette gjelder ikke for pilen over symbolet, altsa ~a. Denne pilen er bare for a markere at~a er en vektor, pa samme mate som at fet skrift, a, ogsa er en mate a vise at det er snakkom en vektor.

I tegningen over har vi ogsa en negativ vektor, −b. Dette er en vektor som har sammelengde som b, men som peker i motsatt retning (vi kan tenke pa det som om vi flytterpiltegnet pa −b til andre enden av den rette linjen som representerer b). Vi kan ogsarepresentere vektorer algebraisk som et par av tall, f.eks. u = [3, 1]. Dersom vi haddeplassert vektoren u i et koordinatsystem slik at den starter i origo, ville dette tallparetrepresentere koordinatene til endepunktet til vektoren.


Figur A.3: Vektorer visualiseres som piler.

Figur A.4: En vektor kan representeres algebraisk som et tallpar.

Dersom vektoren hadde representert en forflytning, kunne vi sagt at vi forflytter oss 3 ix-retning og 1 i y-retning. Vektorlinjen, den vertikale stripla linjen og x-aksen danner enrettvinklet trekant, noe som gjør at vi finne den totale forflytningen ved a bruke Pythagoras.

|u|2 = 32 + 12 = 10

|u| =√

10

Det matematiske symbolet for lengden, eller størrelsen av en vektor er gitt ved to vertikalelinjer pa hver side av vektoren, ||u||, eller bare ved a skrive vektoren uten fet skrift eller pilover symbolet, u. Anta vi har en vektor u = [ux, uy]. Lengden, eller størrelsen pa vektorenblir da:

|u| =√u2x + u2

y

Tallene i en vektor kaller vi komponentene til vektoren. I eksemplet over ville vi kalt ux forx-komponentent il u mens uy kaller vi for y-komponenten.

A.5.1 Vektoraddisjon

Vektorer kan adderes pa lik linje med skalarer (dvs. tall). Dersom vi antar at vi har to vek-torer a og b, sa vil a+b bli en ny vektor der x-komponenten er summen av x-komponentene

A.5. VEKTORER 135

til a og b, y-komponenten er summen av y-komponentene osv. For todimensjonale vektorer,blir det altsa:

a + b = [ax, ay] + [bx, by] = [ax + bx, ay + by] (A.9)

Vi far tilsvarende med subtraksjon, a−b, bare at komponentene da blir ax−bx, ay−by osv.,istendenfor at vi legger de sammen. Vi kunne ogsa visualisere vektoraddisjon og subtraksjongrafisk. Nar vi plasserer to vektorer slik at de starter i felles punkt, man kan tenke pavektorlinjene som to av sidene i et parallellogram. Addisjonsvektoren blir da vektoren manfar nar man tegner en vektorlinje fra punktet hvor vi tegnet at begge vektorene startet, ogtil det motsatte hjørnet i parallellogrammet.

Figur A.5: Addisjon og subtraksjon av vektorer.

Vi kan ogsa tegne et parallellogram for subtraksjon hvis vi tenker pa det som en addisjonav en positiv og negativ vektor.

a− b = a + (−b)

Det er ogsa en annen mate a tenke pa addisjonen. I parallellogrammet over er vektoren blike lang som den motstaende siden. Vi kunne ogsa tenke oss at vi flytter vektoren over tildenne siden slik at den starter der a slutter. Addisjonsvektoren blir da vektoren vi far narvi tegner en pil fra hvor a starter til b slutter.

A.5.2 Dekomponering

Vi har sett tidligere at vi kan tolke tallparet i en vektor u = [ux, uy] som at vi gar enlengde ux i x-retning og en lengde uy i y-retning. Vi kunne tatt dette litt lengre og sett pakomponentene ux og uy som egne vektorer der summen av disse danner vektoren u


u = [ux, uy] = [ux, 0] + [0, uy] = ux + uy

A dele opp en vektor i to slike komponentvektorer kaller vi dekomponering. Dette er sværtviktig i fysikken, da det kan forenkle mange problemstillinger ved at man deler opp situa-sjonen og ser pa alt som gar horisontalt og vertikalt hver for seg. Mange lover i fysikkenfungerer nemlig slik at man kan se pa disse uavhengig av hverandre, noe som forenk-ler matematikken som trengs for a løse problemet. Merk at komponentene trenger ikkenødvendigvis være horisontale og vertikale vektorer. I figuren under har vi dekomponert envektor u i to komponenter, der vi til høyre har rotert koordinatsystemet 45. Dette endrerikke vektoren u, kun komponentene ux og uy. Man kan alltid dekomponere en vektor i tokomponentvektorer som star vinkelrett pa hverandre.

Figur A.6: En vektor kan dekomponeres i to komponentvektorer som star vinkelrett pa hverandre.

A.5.3 Multiplikasjon med skalar

Man kan multipliserer en vektor u med en skalar k, ved a multiplisere k med alle kompo-nentene til u.

ku = k · [ux, uy] = [kux, kuy]

Eksempel

Dersom vi multipliserer tallet 2 med vektoren u = [3, 5], far vi

2 · [3, 5] = [2 · 3, 2 · 5] = [6, 10]

A.5. VEKTORER 137

A.5.4 Vektormultiplikasjon

Det er to mater a multiplisere sammen vektorer; et skalarprodukt og kryssprodukt. I etskalarprodukt far vi en skalar som resultat nar vi multipliserer, derav navnet, mens i etkryssprodukt er resultatet en ny vektor. Notasjonen for skalarproduktet mellom to vektorera og b er

a · b (A.10)

mens vi bruker

a× b (A.11)

dersom det er snakk om et kryssprodukt. I fysikken møter vi først og fremst skalarprodukteti definisjonen pa arbeid, mens kryssproduktet dukker opp under rotasjonsbevegelsen ogmagnetisme.

Skalarprodukt

I et skalarprodukt multipliserer vi sammen tilhørende komponenter til de to vektorene ogadderer sammen resultatet, dvs.

a · b = axbx + ayby (A.12)

for en todimensjonal vektor. For en tredimensjonal vektor blir det tilsvarende, bare meden ekstra koordinat vi ma multiplisere sammen. Et skalarprodukt har en viktig geometrisktolkning som ikke er sa opplagt fra definisjonen. Anta at vi dekomponerer en av vektorene ien komponent som er parallell til og en som er vinkelrett ((dvs. 90) til den andre vektoren(se figuren under). Vi bruker notasjonen || for a spesifisere at noe er parallelt og ⊥ for atnoe star vinkelrett. Skalarproduktet blir da et produkt mellom lengden av en av vektoreneog lengden av komponenten til den andre vektoren som peker i samme retning dvs. erparallell til den første vektoren:

a · b = a|| · |b| = |a| · b|| (A.13)

Dette betyr at dersom to vektorer peker i samme retning, vil skalarproduktet bare blilengden av vektorene multiplisert sammen, dvs a · b = |a| · |b|. Dersom vektorene starvinkelrette pa hverandre, er det ingen komponent av noen av vektorene som er parallelletil den andre og skalarproduktet blir 0.


Figur A.7: Dekomponering av en vektor i en komponent parallell og vinkelrett pa en annen vektor.

Kryssprodukt

Den algebraiske fremgangsmaten for a kryssprodusere to vektorer er mer omstendig ennskalarprodukt og ikke noe vi skal bruke i denne boken. Den geometriske tolkningen avkryssproduktet er derimot viktig. Multiplikasjonen ender opp i en ny vektor som vil stavinkelrett pa begge vektorene vi multipliserer sammen. For a finne ut hvilken retning dennevektoren har, bruker vi høyrehandsregelen. Anta at vi har kryssproduktet

c = a× b

For a finne retningen til c kan du strekke ut høyrehanden (som om du skal handhilse) slikat fingrene peker i retning til a. Dersom du roterer handen slik at du kan krumme fingrenemot b, vil tommelen peke i retning til c dersom du strekker den ut. Du kan teste detteselv pa et papir. Anta at du tegner a til a peke rett oppover og b til peke horisontalt motvenstre. Den resulterende vektoren skal da peke rett ut av arket. Dersom a peker langsx-aksen og b peker langs y-aksen, vil c peke langs z-aksen (se figuren under). Dersom dubytter om rekkefølgen pa a og b, vil c fortsatt peke langs z-aksen, men da i negativ retning(nedover).Størrelsen, eller lengden, pa vektor c kan vi finne ved a dekomponere en av vektorene i enparallell og vinkelrett del, slik som for skalarproduktet. Den eneste forskjellen er at det naer komponenten vinkelrett pa vektoren som ma ganges sammen. Dvs.

|a× b| = a⊥ · |b| = |a| · b⊥

Dette betyr at lengden av denne vektoren er størst nar a og b star vinkelrett pa hver-andre. Da blir lengden bare produktet av |a| og |b|. Peker a og b i samme retning, blirkryssproduktet en vektor med lengde 0.

A.5. VEKTORER 139

Figur A.8: Kryssproduktet mellom en vektor som peker i x-retning og en vektor som peker iy-retning, blir en ny vektor som peker i z-retning.

Tillegg B

Utledninger

B.1 Bevegelseslikninger ved konstant akselerasjon

Anta at et legeme beveger seg med konstant akselerasjon langs en rett linje. Dersom legemetstarter med hastigheten v0 og har hastigheten v etter tiden t, vil akselerasjonen være gittved

a =∆v

∆t=v − v0

t

som vi kan skrive om til

v = v0 + at

Nar hastigheten øker med konstant rate (akselerasjon), blir gjennomsnitthastigheten detaritmetiske gjennomsnittet av startverdien og sluttverdien, dvs.

v =v + v0

2

Dersom vi maler en forflytning, ∆s over tiden ∆t har vi at

v =∆s

∆t

Dersomv i antar at legemet starter i origo ved tiden t = 0, og at s er posisjonen ved tident, far vi:

141

142 TILLEGG B. UTLEDNINGER

v =∆s

∆t=s

tv + v0

2=s

t

s =v + v0

2t

Dersom vi setter uttrykket for v, v = v0 + at, inn i uttrykket for posisjonen over, far vi:

s =v + v0

2t =

v0 + at+ v0

2t =

2v0t+ at2

2= v0t+

1

2at2

Vi kan skrive om den første bevegelseslikningen slik at vi far

v = v0 + at

t =v − v0

a

Dette kan vi sette inn i uttrykket for s som ikke inneholder a, slik at vi far:

s =v + v0

2t =

v + v0

2

v − v0

a

s =(v + v0)(v − v0)

2a2as = (v + v0)(v − v0)

2as = v2 + v0v − v0v − v20

2as = v2 − v20

B.2 Tidsdilatasjon og lengdekontraksjon

Anta at en person star i et tog med en lyskilde pa gulvet. I taket pa toget er det et speil somsender lyset tilbake til lyskilden, som ogsa fungerer som en lyssensor. Anta at avstandenmellom gulvet og taket er L. Dersom lyskilden sender ut et foton, vil det tilbakeleggestrekningen 2L før det nar lyssensoren. Siden lyset beveger seg med lysets hastighet,c, viltiden det tar for lyset a tilbakelegge turen, t, være gitt ved

t =2L

c.

B.2. TIDSDILATASJON OG LENGDEKONTRAKSJON 143

Figur B.1: En person inni toget ser lyset ga rett opp og ned (a). En person utenfor toget ser speiletbevege seg med farten v (b). Bilde 1, 2 og 3 viser lyskilden og speilet pa forskjellige tidspunkter.For en person som star utenfor toget, ser det ut som at lyset gar pa skra.

Anta at toget beveger seg med farten v. En person som star pa perrongen og ser toget kjøreforbi, vil se fotonet ga pa skra siden lyskilden og speilet beveger seg sammen med toget.

Dersom vi kaller den skra strekningen i tegninger over for D, vil en person pa perrongenpasta at lyset brukte tiden

t′ =2D

c

pa a tilbakelegge turen fra lyskilden og tilbake til sensoren. Samtidig vil han pasta at togethar beveget seg en strekning pa

s = vt′

mens fotonet var pa vei opp og ned. Fra figuren ser vi at vi far to rettvinklede trekanter.Bruker vi Pytagoras pa en av trekantene, far vi

D2 = L2 +

(1

2s

)2

Ved a skrive om uttrykkene for t og t′ over, finner vi at L = ct2 og D = ct′

2 . Vi setter inndisse i Pytagoras, sammen med uttrykket for s og far:


(ct′

2

)2

=

(ct

2

)2

+

(vt′

2

)2

c2(t′)2 = c2t2 + v2(t′)2

(t′)2 = t2 +v2

c2(t′)2

(t′)2

(1− v2

c2

)= t2

(t′)2 =t2

1− v2

c2

t′ =t√

1− v2

c2

= γt

Siden nevneren i brøken er mindre enn 1, vil t′ være større enn t. Personen inni togetopplever at tiden inni toget gar som normalt, mens personen pa perrongen opplever attiden inni toget gar saktere enn utenfor toget. Personen pa perrongen opplever ogsa attoget er kortere enn personen inni toget. Anta at toget kjører i en rett linje fra stasjon Atil stasjon B og at avstanden mellom A og B er gitt ved s0 sett fra personen pa perrongenog s sett fra personen inni toget. Personen pa perrongen ser toget bevege seg med fartenv. Dersom toget bruker tiden t malt fra personen pa perrongen, vil farten til toget væregitt ved

v =s0

t

En person inni toget, vil derimot pasta at det er toget som er i ro og at det er punktB som beveger seg mot toget med farten v. Anta at avstanden mellom A og B er s settfra personen inni toget, og t0 er tiden det tok før punktet B kom frem til toget malt frapersonen inni toget. Personen i toget vil da pasta at farten v er gitt ved:

v =s

t0

Bade personen inni toget og personen pa stasjonen vil være enige om at den relative fartenv er like for begge personer. Vi far da

s

t0=s0

t

B.3. VEGVESENETS FARTSKAMPANJE 145

Siden vi har vist at t = γt0, far vi:

s

t0=s0

t=

s0

γt0

s =s0

γ= s0

√1− v2

c2

Fra uttrykket over, ser vi at s < s0. Personen inni toget maler en kortere avstand mellomA og B enn personen utenfor toget nar den opplever punktene A og B til a bevege seg.Personen pa stasjonen oppleverer derimot toget til a bevege seg, sa han vil pasta at lengdenav toget er kortere enn lengden av toget malt fra personen som star i ro inni toget. Pass paat denne lengdeforkortelsen kun forekommer i bevegelsesretningen. Dvs. at personen innitoget og utenfor toget maler forskjellige lengder av toget, men begge maler toget til a hasamme bredde og høyde.

B.3 Vegvesenets fartskampanje

Vegvesenet hadde for en stund siden en fartskampanje for a fa folk til a holde fartsgrensen.I videoen ser man en familie pa biltur. Rett bak en sving møter bilen en hindring, menklarer akkurat i stoppe nar bilen kjørte i 80 km/h, som var fartsgrensen. Sa viser de sammesituasjon, men na kjører bilen i 90 km/h. Bilen treffer da naturligvis hindringen. Vegvesenetkommer sa med følgende pastand: ’det man klarer a stoppe for i 80, vil man med bare 10mer pa speedometeret, treffe i 50 km/h’.

For a undersøke om denne pastanden stemmer, trenger vi mer informasjon enn det somer oppgitt. Nar man møter en hindring, man ikke klare a reagere øyeblikkelig. Det vil ta entid, reaksjonstiden, før man klarer a reagere. Ofte regner man med en typisk reaksjontidpa 1 sekunder. Vi trenger ogsa friksjonskoeffisienten mellom hjulene og asfalten. Dersomvi antar at vi tørr, bar asfalt, er en friksjonskoeffisient pa µ = 0.9 typisk. Vi har oppgittat bilen klarte a stoppe nar den kjørte i 80. Vi ma da finne ut hvor langt bilen bruker pa astoppe fra en fart pa 80 km/h, for sa finne ut hva farten er etter denne strekningen dersomstartfarten var 90 km/h istedenfor 80 km/h. La oss starte med a finne akselerasjonen tilbilen idet den begynner a bremse. I horisontal retning er det kun friksjonskraften FR somvirker. Denne virker motsatt vei av bevegelsen. Newtons andre lov gir oss da:

∑F = ma = −FR = −FNµ = −mgµ

a = −gµ

Vi har her brukt at FN = Fg = mg siden summen av kreftene er null i y-retning, sanormalkraften ma være like stor som tyngdekraften. Legg merke til at massen til bilen ikke


er en del av uttrykket for akselerasjonen, som vil si at massen ikke pavirker bremselengden.For a finne selve bremselengden, sb, kan vi bruke bevegelseslikningen

2as = v2 − v20

I vart eksempel er sluttfarten, v lik null og startfarten v0 = 80 km/h. Vi skriver om og far:

sb = − v20

2a=

v20

2µg

Dersom vi antar at personen kjører i samme fart, v0, fra han ser hindringen til han begynnera bremse, vil reaksjonslengden, sr, være gitt ved

sr = v0tr

hvor tr er reaksjonstiden pa 1 sekund. Vi gjør om startfarten v0 = 80 km/h ≈ 22.222 m/sfør vi setter inn. Den totale stopplengden blir da:

s = sr + sb = v0tr +v2

0

2µg

= 22.222 m/s · 1 s +(22.222 m/s)2

2 · 0.9 · 9.8 m/s2

= 50.216 m

Anta at bilen na kjørte i 90 km/h (25 m/s). Reaksjonslengden blir da:

s′r = 25 m/s · 1 s = 25 m

Bilen har da en lengde

s′b = 50.216 m− 25 m = 25.216 m

pa a bremse. Bruker vi igjen bevegelseslikningen

2as = v2 − v20

med s = 25.216 m og a = −gµ og v0 = 25 m/s, far vi

B.3. VEGVESENETS FARTSKAMPANJE 147

v =√

2as+ v20

=√−2µgs+ v2

0

=

√−2 · 0.9 · 9.8 m/s2 · 25.216 m + (25m/s)2

=√

180.17(m/s)2 = 13.423 m/s

= 48.322 km/h ≈ 5 · 10 km/h

Vi ser at svaret stemmer nar vi tar med riktig antall gjeldende sifre (ett gjeldende siffer).

I eksemplet over antok vi at vi hadde tørr asfalt. Hvordan hadde situasjonenblitt dersomvi hadde isføre og man kjører uten piggdekk? Da er friksjonskoeffisienten bare µ = 0.15?Vil pastanden om 50 km/h fortsatt holde? Vi regner først ut stopplengden i 80 km/h veda bruke uttrykket vi fant bare at vi na bruker µ = 0.15:

s = sr + sb = v0tr +v2

0

2µg

= 22.222 m/s · 1 s +(22.222 m/s)2

2 · 0.15 · 9.8 m/s2

= 190.187 m

Vi regnet ut reaksjonslengden til bilen nar den kjører i 90 km/h til a være 25 m. Bilen harda sb = 190.187 m −25 m = 165.187 m. Sluttfarten blir da:

v =√−2µgs+ v2

0

=

√−2 · 0.15 · 9.8 m/s2 · 165.187 m + (25m/s)2

=√

139.35(m/s)2 = 11.805 m/s

= 42.4944 km/h ≈ 4 · 10 km/h

Vi far faktisk en lavere slutthastighet pa isføre enn tørr asfalt! Dette kan virke veldigmerkelig, men vi ma huske pa at pastanden tar utgangspunkt at vi klarte a stoppe narvi kjørte i 80 km/h. Stopplengden blir dermed mye lengre for is enn for tørr asfalt. Itillegg vil reaksjonslengden spille en lavere rolle for is enn tørr asfalt siden den bidrar tilmindre av den totale stopplengden pa isføre. La oss prøve a se pa situasjonen nar vi serhelt bort ifra reaksjonstiden. Hvordan vil sluttfarten da avhenge av friksjonskoeffisienten?Bremselengden nar man kjører i 80 km/h, blir da


sb =v2

0

2µg

som vi kan sette inn i uttrykket for sluttfarten nar vi kjører i 90 km/h. Anta at vi brukersymbolet v0 for 80 km/h og v1 for 90 km/h. Vi far da:

v =√−2µgsb + v2

1

=

√−2µg

v20

2µg+ v2

1

=√−v2

0 + v21 =

√−22.2222 + 252 m/s

=√

131.17 m/s = 11.453 m/s

= 41.23 km/h ≈ 41 km/h

Sluttfarten er faktisk uavhengig av bade friksjonskoeffisienten og størrelsen pa tyngdeakse-lerasjonen! Dette virker helt bak mal, men igjen ma vi huske pa at vi alltid tar utgangspunktat bilen klarer a stoppe nar den kjører i 80 km/h.

B.4 Kinetisk energi

Den kinetiske energien til et legeme med fart v, er definert som det arbeidet som kreves fora fa legemet fra a være i ro, til a bevege seg med farten v. Anta at alle krefter som virkerpa legemet kan uttrykkes ved kraften F og at denne virker i samme retning som legemetforflytter seg under akselerasjonen. Newtons andre lov sier da at vi far utført et arbeid lik

W = F · s = F · s = mas

Vi kan finne et uttrykk for as for a bruke bevegelseslikningen

2as = v2 − v20

as =v2 − v2

0

2.

Vi setter dette inn i uttrykket for W og far

W = mas = m

(v2 − v2

0

2

)=

1

2mv2 − 1

2mv2

0

B.5. HYDROSTATISK TRYKK 149

Siden legemet starter i ro, far vi v0 = 0 og vi star igjen med

W =1

2mv2

som er uttrykket for den kinetiske energien til legemet.

B.5 Hydrostatisk trykk

Anta at vi har en væske i ro med tetthet ρ. Vi lager oss en tenkt kuboide (boks) i vannetmed høyde h, og topp- og bunnflate med areal A (se figuren under). Anta at toppen avboksen er akkurat i overgangen mellom luft og væsken. Hvilke krefter virker pa væsken inniden tenkte boksen? Vi har en kraft som virker pa toppen av boksen, F0, en som virker pabunnen som er en høyde h under væskeoverflaten, Fh og tyngdekraften Fg. I tillegg har vikrefter pa sidene av boksen, men siden trykket er like stort i samme høyde under væsken,vil disse utlikne hverandre.Anta at trykket i overflaten er p0 (atmosfærestrykket) og at trykket er p i en høyde h undervannet. Siden væsken er i ro, ma summen av kreften være lik 0. Dette gir oss:

Fh − Fg − F0 = 0

pA−mg − p0A = 0

Massen til vannet inni boksen, m, finner vi ved a bruke at m = ρV , hvor V er volumet avboksen. Siden volumet er lik V = Ah far vi:

pA−mg − p0A = 0

pA− ρAhg − p0A = 0

p− ρhg − p0 = 0

p = p0 + ρgh

som er uttrykket for trykket i en høyde h under væskeoverflaten.

B.6 Oppdrift

Anta at et legeme er helt nedsunket i en væske med massetetthet ρv. For enkelhetsskyldantar vi at legemet er en rektangulær boks med høyde h og topp- og bunnflate med arealA. I y-retning virker det to krefter fra væsken rundt; kraften pa toppflaten, Ft, kraften pabunnflaten Fb. Det virker ogsa krefter pa sideflatene, men disse vil utlikne hverandre sidentrykket i væsken er lik i samme høyde.


Anta at toppen av boksen er en høyde ht under væskeoverflaten. Siden boksen har høydeh, vil bunnen av boksen være i en høyde ht + h under overflaten. Dersom vi kaller trykketved toppen for pt og trykket ved bunnen for pb, vil den totale kraften fra vannet pa boksen,FO, være gitt ved

FO = Fb − Ft= pbA− ptA= (p0 + ρv[ht + h]g)A− (p0 + ρvhtg)A

= p0A+ ρvhtgA+ ρvhgA− p0A− ρvhtgA= ρhgA = ρAh · g

Siden vi har en rektangulær boks, vil Ah være lik volumet av boksen. Nar vi ganger volumetmed tettheten til væsken ρv, vil ρvAg = ρvV være lik massen til en mengde av væskenmed samme volum som boksen. Vi har da

FO = ρAh · g = mvg

som er tyngden av en mengde væske med samme volum som boksen, dvs. Archimedes lov.

fysikk for lˆrerutdanningen - web01.usn.noknielsen/kompendier/mekanikk... · 2020. 8. 4. · 1.1....

Documents