f(x)- h g f(x) - altervistammarras.altervista.org/lezione4_limiti.pdf · 15/10/2015 6 def. sia f(x)...
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1
Limiti di funzioni
lim𝑥→0
𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥
C.E.=𝑅\ 0
x f(x)
0,1 0,998
0,001 ….
0,999 …..
Def.
sia f(x) definita in 𝐴 ∈ 𝑅, 𝑒 𝑠𝑖𝑎 x0 un punto di
accumulazione per A. Si dice che f(x) ha limite
per x che tende a x0 , se
Limiti di funzioni
εf(x)ε
f(x)-
εε δxx- δx 00
|| 0xxcioè
escluso al più x0
: 0 0
),( 0 xIx
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In simboli
)(lim0
xfxx
)( 0
xxxf
Limiti di funzioni
y
O x0
l
V
x
f(x)
0x0x
U
Limiti di funzioni
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Def.
si definisce limite destro di f(x) per x che
tende a x0+:
se
-f(x) 1 : 0 0
11)(lim
0
xfxx
),( 00 xxx
Limiti di funzioni
Def.
si definisce limite sinistro di f(x) per x che
tende a x0-:
se
2 εf(x)- : 0 0
2)(lim0
xfxx
2
),( 00 xxx
Limiti di funzioni
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Teorema (unicità del limite)
se unicoèxfxx
)(lim0
Dimostrazione. Per assurdo:
supponiamo che con
: , 2121 ),,(in )(lim 101
0
xIxfxx
),(in )(lim 2020
xIxfxx
Limiti di funzioni
Limiti di funzioni
Fissato
2
|| 21
)()(||2 2121 xfxf
2)()( 21 xfxf
),min( ),,(in 210 xI
Assurdo! 21
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Limiti di funzioni
Es.
∄ 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒
x
xy C.E.=𝑅\ 0
1lim0
x
x
x
1lim0
x
x
x
Def.
Sia f(x) definita in 𝐴 ∈ 𝑅, 𝑒 𝑠𝑖𝑎 x0 un punto di
accumulazione per A.
Si dice che f(x) ha limite +∞ per x che tende a x0 ,
se
Mf(x)
),( : 0 ,0 0 MM xIxM
)(lim0
xfxx
Limiti di funzioni
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Def.
Sia f(x) definita in 𝐴 ∈ 𝑅, 𝑒 𝑠𝑖𝑎 x0 un punto di
accumulazione per A.
Si dice che f(x) ha limite -∞ per x che tende a x0 ,
se
M f(x)
),( : 0 ,0 0 MM xIxM
risulta
)(lim0
xfxx
Limiti di funzioni
Limiti di funzioni
Def. Asintoto verticale
Se
Allora la retta verticale
si chiama Asintoto verticale
)(lim0
xfxx
0xx
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Limiti di funzioni
20x
1lim
x verticaleasintoto
0x
Def.
Sia f(x) definita in 𝐴 ∈ 𝑅, si dice che f(x) ha
limite , per x che tende a + , se:
ε||f(x)-
),( : 0 ,0 KIxK
risulta
)(lim xfx
Limiti di funzioni
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Limiti di funzioni
Def. Asintoto orizzontale
Se
Allora la retta orizzontale
si chiama Asintoto orizzontale
)(lim xfx
y
Limiti di funzioni
orizz. asintoto
2
y2
limx
arctgx
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Def.
Sia f(x) definita in 𝐴 ∈ 𝑅,
si dice che f(x) ha limite +, per x che tende a +
se:
),( Mf(x)
),( : 0 ,0 MM KxKM
risulta
)(lim xfx
Limiti di funzioni
Teorema (algebra dei limiti)
Se:
1)(lim0
xfxx
2)(lim0
xgxx
21)()(lim0
xgxfxx
21)()(lim0
xgxfxx
0),( ,)(
)(lim 2
2
1
0
xg
xg
xf
xx
Limiti di funzioni
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Convenzioni con
aa ,0
)( ,0
)( ,0
bb
aa
)()(
)()(
Limiti di funzioni
Convenzioni con
0
a
0
a
, ,0 ,
,
0
0
Forme Indeterminate
Limiti di funzioni
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Limiti di funzioni
10
1
,0
,
a
aa
10
1 ,
,0
a
aa
Limiti di funzioni
Teorema del confronto
Siano f(x), f1(x), f2(x) tre funzioni definite in
sia un punto di accumulazione per A e
Se
Allora
RA
0x
)(lim)(lim 2100
xfxfxxxx
)()()( 21 xfxfxf
)(lim0
xfxx
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Limiti di funzioni
Dimostrazione
Se allora per definizione di limite:
)(lim)(lim 2100
xfxfxxxx
)( : 11 xf ),( 10 xIx
)( : 22 xf ),( 20 xIx
)()()( 21 xfxfxf
),min( ),,( 210 xIx
Casi particolari di
Teorema
Se ;
per x I(x0,)
0)(lim0
xfxx
Mxg |)(|
)()(lim0
xgxfxx
0)()(lim0
xgxfxx
Limiti di funzioni
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Dimostrazione.
Per il teorema del confronto
Es.
0|)(|lim|)()(|lim00
xfMxgxfxxxx
Limiti di funzioni
0sinlim 1
0
x
xx
Limite di funzione composta
Siano g:A B e f :B R :
e
con = f(y0) (se f è continua)
0)(lim0
yxgxx
)(lim0
yfyy
))((lim0
xgfxx
Limiti di funzioni
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Limiti Notevoli
1lim0
x
sen(x)
x
1lim0
x
tg(x)
x
2
1cos(1lim
20
x
x)
x
Limiti di funzioni
ex
x
x
11lim
ex
xa
a
xlog
)1(loglim
0
ax
ae
x
xlog
1lim
0
Es.
Limiti di funzioni
2
1lim
2
1
)cos1(
)cos1)(cos1(lim
cos1lim
.lim
.0lim
2020
0
0
1
1
arctgxx
xx
xx
x
x
exe
exe
x
xx
x
x
x
x
x
x
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Limiti di funzioni
x=misura dell’arco PA in
radianti
PH=sinx
QA=tgx
)()()( QOAareaPOAareaPOAarea
222
sin tgxxx
1sin
cos x
xx
1sin
lim0
x
x
x
tgx
sinx
x