funtzioak i (zient-teknol.).pdf

7/25/2019 Funtzioak I (Zient-Teknol.).pdf

1/50

OINARRIZKO

FUNTZIOAK (I)

ARRASATE BHI (ARRASATE)

Batxilergo Zientifko-Teknikoa

1. maila


2/50

Funtzioak zer diren

Funtzio batek bi aldagai erlazionatzen ditu:Dei telefoniko baten kostuadeiaren iraupenarenaraberakoa da

Etxebizitzarenprezioaetxearen azalerarenfuntziopean dago

Esfera baten bolumenabere erradioarenmenpekoa da

........

Bi aldagai erlazionatzen dira, bat independentea(x) eta bestea dependenteaedo menpekoa (y).

Funtzioakf, g, h...letrez adierazten oidira.

!f(") idazkerak esan nai du !y" aldagaia !x" ren menpe dagoela.


3/50

#rafikoa

Funtzioak koordenatu$ardatzetan irudikatzen dira.

%bzisa$ardatzeanx$ren balioen multzoa adieraziko dugu, eta

ordenatu$ardatzeany = f(x)funtzioaren balioen multzoa.

#"$%ren &a'io &akoitzari #$ &akarra dagokio.

(x,y) bikoteak funtzioaren marraren puntuak dira.

&

'

x

y(x,y)


4/50

Ezkerrekoa funtzioa da, eskuinekoa ez


5/50

y=x(Funtzioa da

i funtzio diraEz dafuntzioa

Ez dafuntzioa

1 4 9

-3

-2

-1

1

2

3

y=x

y )*x


6/50

"$k ar ditzakeen balioen multzoari

funtzioaren e"itentzia%eremuaesaten

zaio. *(f)eran adierazten da.

y = x2 funtzioan xaldagaiari edozein balio emanday$ren balioa lortzen

da. Funtzio oriRosoan definituta dagoela esango dugu edo bereexistentzia$eremuaR edo dela.( ,)

Baina funtzioan, berriz, xaldagaiari ezin dizkiogu balio

negatiborik eman. Funtzio orren existentzia$eremua da.

y= x

[+,)

y=(

xR{, }

-odu berean, funtzioan, x$ri ezin diogu balioa

eman. Funtzio orren existentzia$eremua da.

+"itentzia%eremua


7/50

y=x+ funtzioaren

eremua [ $,)da .

y=2x+1 funtzioareneremua R da


8/50

Funtzioen irudi multzoa (Ibiltartea)

rudi diren zenbaki errealen

multzoari f funtzioaren i&i'tartea

esaten zaio.

f(x)/

0/1Funtzio bornatua da, bai

goitik eta beetik.

f(x) $x*2

#oitik bornatua3 beetik ez.( ,2 ]

f(x )={x(+( , x+ bada

, x>+ denean

Beetik bornatua3 goitik ez.

{,} [(,)


9/50

Zein da untzio bakoitzaren eremuaeta irudi multzoa (ibiltartea)?

y=

x(

y=2x

Eremua: R-{2}

Irudi multzoa: R-{0}

Ez dago bornatua, ez goitik ez behetik.

Eremua:

Irudi multzoa:

Behetik bornatua dago; goitik ez.

(, 2 )

(+,)


10/50

. 4aukizuzen baten perimetroa + 5m$koa da. %dieraz

ezazu laukizuzenaren azaleraxaldearen funtzioan

Ariketak

. 4or itzazu ondoko funtzioen existentzia$eremua.

y=/

x( ++; y =

x( ++/

; y =/

x( + ++; y =x( 6

y= 6x( ; y=x

(+(x 2 ; y=2 (x x( ; y=x

x( 7x+/

y= (x( ; y= x+(x ; y= x(x+2 ; y =x2 8x

y =x( ; y= +x8 ; y= x


11/50

!"%- funtzioaren grafikoa

0

2

-4

0

x y

Aki da ondoko &i puntuak ezagutzea

Non mozten du /0 ardatza1 !/ "! 2 A(,/)+ta /3 ardatza1 "!/ !%- 2 (/,%-)

!a", zuzenaren malda da

b=0denean, zuzena (0,0)puntutik pasatzen da

y= kzuzena, orizontala da3 x= k, ordea, bertikala

. mailako !untzio "olinomikoak: # $a%&b 'zuzenak(

-1 1 2 3x

-6

-4

-2

2

f x

Zuzenaren ma'da

y=y

(y

x(x

=+(8 )

(+=

8

(= (


12/50

)uzenak 'Adibide gra!ikoak(! " % 4 x y

+ $2

2 +

! 4%"x y

+ 2

2 +

! 4

! -"x y

+ +

8

" ! %5/

-10


13/50

Ariketa e&atzia Zein da irudiko zuzenaren adierazpen ana'itikoa1

I)yax*b forma du.

%(+,) puntua zuzenean dago3 ots,

5!a(/)6&

Berdin (,+) puntua: /!a()6&.

Beraz, b eta a$9.

uzenaren ekuazioa: ! %"7 6 5

a=malda=+(+

=

(

II);(x,y

) puntu bat eta mmalda ezagutuz,

zuzenaren ekuazioay - y1= m(x - x

1)da.

;untua: %(+,) eta m $9 . Beraz,

y$ $9(x$+)3 y $x9 *

%(+,) eta B(,+)

puntuetatik pasatzen da.i eratan egingo dugu


14/50

eintzu dira


15/50

BA*I+ AB+*A/

y=|x|=

x ; x+ x ; x


16/50

)eintzu diraA, B eta "untuak1

! " 2 ! 4 8 " 2 ! ("%-)

. mai'ako funtzio po'inomikoak ! a"6&" 69 (para&o'ak)

Demagun gorputz bat m!"eg-ko abiadurarekin pa"atzen dela #atorritik 10km-ra dagoen puntu batetik. $ne %orretan azelerazioa kon"tantea bada&e"aterako ' m!"eg'-koa& gorputzaren po"izioa (") eta denbora (t)erlazionatzen duen untzioa& " (t)& %auxe da s = 1 + !t + " #2t2

-2 -1 1 2x

1

2

3

4f(x)=x2

-1 1 x

1

2

3f (x)=3-x2

A B 2 4 6 8 x

f(x)=(x-4)2

D


17/50

4. mai'ako funtzio po'inomikoak

-2 -1 1 2 x

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

f (x)=x3

-2 -1 1 2 x

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

f (x)-x3

-3 -2 -1 1x

-2

-1

1

2

3

4

fx)=x3+3x2

! "4 2 ! %"4 2 ! "46 4"


18/50

-. mai'ako funtzio po'inomikoak

-2 -1 1 2x

f(x)=x4

-1.5 -1 1 1.5x

f(x)=-x4

-1 1 2x

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

f(x)=x4-x2

! "

-

2 ! % "

-

2 ! "

-

% "


19/50

5. mai'ako funtzio irraziona'ak

x y

+ +

$

$8

+"itentzia% eremua ( f) ={x+ }

y=+ x

x y

+

7

2

y= +x(( f) ={x ( }+"itentzia% eremua

-9 -4 -1

1

2

3

y=+ x

2 6 11

1

2

3

OY

y=+x (


20/50

Ariketa 4

Zein da funtzio hauen adierazpen ana'itikoa1

-2 -1 1 2x

1

2

3

4

5

6

(2,5)

-2 -1 1

-1

-4

1

4

(-'&*)

(-1&1)


21/50

Ariketa -. Zein da funtzio hauen adierazpen ana'itikoa1

-2 -1 1 2x

-4

-3

-'

-1

1

f(x)

-2 -1 1 2 x

-1

1

2

3

4

f (x)

1 4 9OX

1

2

3

OY

(4,2)


22/50

Ariketa :

y $x 3 y x*2 3 y *x2

y=|x+2| y=,xy=|2x|

Adierazi grafikoki ondoko funtzioak


23/50

A'derantziz proportziona'ak diren funtzioak

" +, +,+ 8 $ $+

+ ++ +,/ $ $+,

" +, +,+ 8 $ ...

$+ $++ $ $+,/ ...

+"itentzia%eremua: I ! R 8 ; /< y= ,x

+"itentzia%eremuaR 8 ; /


24/50

Funtzio esponentzialak: y 2! eta y ("#2)!

Txanpon bat+ n+ aldiz botatzen dugu airera.. Zenbat emaitza po"ibledaude?

,e%enego #aurtiketan 'Bigarren '.' /irugarrenean '.'.' *,augarrenean '.'.'.' 1

n #aurtiketa egin ondoren& emaitza guztiak adierazten duen untzioa y= 2n da.dieraz ditzagun grafkoki bi untzio %auek y = 2x eta y = (1$2)x

y = 2%x y =2x

$5 %,%&"25 &2

$4 %,%'25 "'

$& %,"25 (

$2 %,25 4

$" %,5 2

% " "

" 2 %,5

2 4 %,25

& ( %,"25

4 "' %,%'25

5 &2 %,%&"25

x 'x '-x

Existentzia$eremua:R

Funtzioaren balioak (?') beti dira positiboak. biltartea: (+,)


25/50

Oinarritzat #e$ zen&akia (,=55>>...)

duen funtzio eponentzia'a ! e"

x y

+

e,@...

e @,2A6...

$ 9e +,27@A...


biltartea: (+,)


26/50

Oinarritzat #e$ zen&akia (,=55>>...) duen funtzio 'ogaritmikoa.

x y

+

+,762

2 ,+66

+,/ $+,762

! 'n " +z dago zen&akinegati&oen

'ogaritmorik.+"itentzia% eremua: 0x+1


27/50

y=exy=(x

Ariketa ?

Irudikatu grafikoki ondoko funtzioak


28/50

So&uzioa'

-4 -2 2 4x

-20

-10

10

20

(",2)

($",2)


29/50

y =

x , baldin x$2

2 baldin $,< x


30/50

y =( ; x


31/50

, ; x+( x ; +< x


32/50

So&uzioa'

, ; x+

( x ; +< x


33/50

Ariketa >

y =,x baldin x+

x(

baldin x>+

{

y =x ; x


34/50

y =x ; x


35/50

Zein da untzio %auen adierazpenanalitikoa?

Ari'eta

-2 -1 1 2 3 4 5x

1

2

3

4

f(x)

(2,4)


36/50

Funtzio trigonometrikoak

x $6+C +C 2+C 6+C A+C @+C 27+C

y sin x $ + +./ + $ +

x $6+C +C 7+C 6+C A+C @+C 27+C

y 5os x + +./ + $ +

! in "


biltartea: $ ,

Funtzio periodikoa : sin x sin (x * k )

;eriodoa 27+C

#

! 9o "


biltartea: $ ,

Funtzio periodikoa: 5os x 5os (x * k )

;eriodoa 27+C

#


37/50

"intota bertikalakx =#

(,#

(,

2#

(, .. . puntuetan .

! tg "

@+C

......

+A+C

6+C

8/C

++

$$8/C

$6+C

! tg ""

Existentzia$eremua:R $ %-&0', &0', 20',*

biltartea:R

Funtzio periodikoa: tg x tg (x * k )

;eriodoa A+C

#

2tg x

-1

1

#

(#

#

8

2#

(

(##

(


38/50

imetria duten eraikinak eta irudia


39/50

imetria %* ardatzari be+ira

fsimetrikoa da # ardatzaribe+ira x

eta (x)$ek irudi berbera dutenean-

.ots,

!'%($ !'-%(denean/

Adibidez:

0(2) 4 eta 0($2) 4

0(") " eta 0($") "

1ota .orietako 0untzioak !untzio

bikoitiakdirela esaten da/-3 -2 -1 1 2 3

X

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

910

Y


40/50

imetria (%,%) puntuari be+ira

fsimetrikoa da (%,%) "untuari

be+ira xeta (!)$ek irudi aurkakoa

dutenean- .ots, !'%($- !'-%(denean 0(2) 0($2) $

1ota .orietako 0untzioak !untziobakoitiakdirela esaten da/

-4 -3 -2 1 1 2 3 4X

-32

-24

-16

-8

8

16

24

32Y

3imetria 4xi"tentzia eremua 5rudi


41/50

3imetria. 4xi"tentzia-eremua. 5rudimultzoa

Aukeratu erantzuna "/imetria

a/(%,%) puntuari be+ira

b/Funtzio bakoitia da

3/Funtzio bikoitia da

d/* ardatzari be+ira e/

2.E%itentzia- eremua

a/

a/

a/

3.Irudi multzoa

a.

a.a . ( ,6]

b . (,)a . ( ,6)

b . ( ,)


42/50

rantzuna: imetria, eremua, irudi$multzoa

"/imetria (3,d)

Funtzio bikoitia da

* ardatzari be+ira

a/ 2.E%itentzia-eremua(b)

a/

3.Irudi multzoa 'a(

a.

b . (,)

a . (, 6 ]


43/50

imetria, eremua, irudi$multzoa

"/imetria a/Funtzio bakoitia da

b/Funtzio bikoitia da

3/* ardatzari be+ira

d/(%,%) puntuari be+ira

e/

2.E%itentzia- eremua

&/

a)

a)

3.Irudi multzoa

a.

Aukeratu erantzuna

a . (, )b . (,)

b . (,)

a . (2,2)


44/50

3imetria& eremua& irudi-multzoaErantzuna'

"/imetria (a,d)

Funtzio bakoitia da

(%,%) puntuari be+ira

a/

a/

2.E%itentzia-eremua(b)

a/

3.Irudi multzoa 4

b . (,)

b . (,)


45/50

%riketa +

%zter ezazu ondoko funtzioen simetriak:

a ) y=x8

2

x

(

+,

; b ) y= x2

,

+ ) y=x2 x ; d ) y=,

x ; e ) y=

,

x(


46/50

untzioen'on*osizioa

Adiidea ,4man ditzagun eta g(x) x'- 1 untzioak. 6alkula ditzagun (g o f)(x)

eta (f o g)(x)untzio konpo"atuak. (g o f)(x) = g[f(x)] =

(f o g)(x) ka"uan& f untzioa g-ren emaitzari aplikatu be%ar zaio x g(x) f(g(x)). /au da& (f o g)(x) = f[g(x)] = f[x2-1] =

(f o -) eta (- o f) ez dira erdina'

f(x ) = x

,(x)= (x )( = x

x(

/ar ditzagun f(x) = x+3eta g(x) = x2-1untzioak eta zenbaki erreal bat& x 'adibidez.

,e%enik& ' balioaren f bidezko irudia kalkula dezakegu& eta %orrela f(2) = 5lortuko dugu& eta #arraian g bidezko irudia8 %au da g() g((')) '

' (') g((')) '

9ro %ar& feta guntzioak emanik&xbalioari -(f(x))balioa egokitzen dion

untzioari f%ren eta -%renfuntzio 'on*osatuaderitzo eta - o feran idaztenda.

x f(x) g(f(x)) = (g o f)(x)

Eragiketa onetan guntzio bat & f(x)be"te untzio baten emaitzaren gain aritzen da.


47/50

5. f(x) x* eta g(x) xizanik , kalkula itzazu f o g eta g o f

funtzio konposatuak . Betetzen al da trukatze propietatea>

4.Egiazta ezazu y (8x )+funtzioa funtzio konposatua dela. Gorretarako,

ar itzazu f(x)x+eta g(x)8x$ funtzioak eta kalkulatu (f o g)(").

-. Egizu gauza bera y sin 2x funtzioarekin. Gar itzazu f(x)sin x

eta g(x)2x funtzioak eta kalkulatu (f o g)(").

%riketak

. izanik , kalkula itzazu (f o g) () eta (g o f) ()f(x ) =(

x+ eta g(x) =x2

A'd i k f i k i i kik


48/50

A'derantzizko funtzioa konpoizioarekikoFuntzio batzuk, beste funtzio ezagun batzuren alderantzizko gisa sortu dira.

Esaterako, funtzioa (x) = x2$aren alderantzizkoa da.f(x)=x

4"ate baterako& balioaren irudiaf bidez ' balioa bada& orduan g-ren bidez ' balioari balioadagokio.

g(x) untzioari f%rena&derantziz'ofuntzioaderitzo

(f.1)

8': ;1 ...

f(x)=x (x) = x2; : 1...

5ku" dezakezunez& bi grafkoak

"imetrikoakdira 1. eta ;. koadranteenerdikariarekiko8 %au da 2 xzuzenarekiko.

/orren zergatia ondokoa da (a & b)puntua funtzioaren grafkokoa bada&(b & a) puntua f 1untzioaren grafkokoa

da.

[+, ) tartean:zter ditzagun eta f 1(x)= x2 untzioarengrafkoak

f(x) = x

1 2 3 4 9

1

2

3

4

9

y!

2

y!

y=x


49/50

No'a ka'ku'atu funtzio &aten a'derantzizkoa 1

x= y2

(

dibidez& %ar dezagun y = f(x) = 2x +3untzioa. lderantzizkountzioa lortzeko& ondoko prozedura erabiliko dugu

xaldagaia bakanduko dugu

yaldagaiaren ordezx#arriko dugu& eta alderantziz& zerennormalean aldagai independenteaxletraz adierazten baitaeta aldagai dependentea yletraz

y= x2

(

. adi&idea. Halkula dezagun y = x2- funtzioaren alderantzizkoa.

xaldagaia bakandu:

%ldagaiak trukatu:

x = y+2

y= x+2y=sin x , y=+os x eta y=t x funtzioen

alderantzizkoak y=ar+ sin x, y=ar+ +os x eta y=ar+

t xdira, urrenez urren.

Gori dela eta, ar+ sin 0,. = 0', ar+ +os(-1) = 1/0',

ar+ t 1 = 4.'Idira.


50/50

funtzioak i (zient-teknol.).pdf

Documents