fungsi transenden - d4logistikbisnis.files.wordpress.com · jika a dab b bilangan-bilangan positif...
TRANSCRIPT
Fungsi Transenden
Fungsi Transenden
Fungsi Transenden
Invers suatu fungsi dan turunannya
Fungsi logaritma asli
Fungsi eksponen asli
Fungsi eksponen dan logaritma umum
Pertumbuhan dan peluruhan eksponen
Fungsi Transenden
Fungsi satu-ke-satu
Fungsi dikatakan satu-ke-satu jika untuk setiap
u, v Є Df berlaku u ≠ v, f (u) ≠ f (v). (atau f (u) = f (v)
maka u = v, untuk setiap u,v Є )
: f ff D R
fD
Contoh:
fD
Fungsi f: , f (x) = x3 satu-ke-satu karena
Fungsi bukan satu-ke-satu
dengan 2 ≠ 2 tetapi f (-2) = f (2) = 4.
dengan demikian 3 3( ) ( ) maka f u f v u v 3 3 2 3-v 0 atau ( )( ) 0, maka u u v u uv v u v
2: [0, ), ( )f f x x
karena -2, 2
f
f -1
x
x
f (x)
Misalkan x berada pada suatu daerah asal dan f fungsi
satu-satu;
Kemudian x kita kenakan pada f, akan menghasilkan f(x)
pada daerah hasil;
Selanjutnya kita kenakan f(x) pada fungsi invers atau
balikannya; yang hasilnya adalah x itu sendiri.
Atau dengan kata lain dapat dinotasikan dengan
dan
xxff 1 yyff 1
Invers Fungsi & Turunannya
Fungsi Transenden
Notasi Fungsi Invers
Andaikan f memiliki balikan atau invers, maka
1x f y y f x
Akibatnya y=f(x) dan f invers y menentukan pasangan bilangan
(x,y) yang sama, sehingga memiliki grafik-grafik yang identik.
x
y
y=x
( 4, 2 )
( 2, 4 )
y = f(x)
y = f -1 (x)
Fungsi Transenden
Fungsi Transenden
Jika f monoton murni pada daerah asalnya,
maka f memiliki fungsi invers
Teorema Eksistensi
Fungsi Invers
125 xxxf
025 4 xxf
Contoh Soal
f memiliki invers pada daerah asalnya, yaitu bilangan real.
Fungsi Transenden
Prosedur Menentukan Bentuk Invers Fungsi Langkah 1 : Selesaikan persamaan y = f(x) untuk x dalam bentuk y. Misalkan:
y
yxyyx
yxyxxxyy
xyxx
xy
11
11
Langkah 2 : Gunakan f-1 (y) untuk untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam y.
y
yyf
1
1
Langkah 3 : Gantilah y dengan x untuk mendapatkan rumus untuk f-1(x).
x
xxf
1
1
Fungsi Transenden
Teorema Turunan Fungsi Invers
Contoh
f(x)=2x+cos x, tentukan (f – 1)’(1). Perhatikan bahwa f’(x) = 2 – sin x > 0, akan dicari f – 1(1); f(0)=1 akibatnya f – 1(f(0)) =0= f – 1(1) Jadi (f – 1)’(1) =1/(f ’ (f – 1(1))) = 1/(f ’ (0)) = ½
Fungsi Transenden
Jika f adalah suatu fungsi yang memiliki invers, dengan
g = f - 1 dan f’(g(a)) ≠ 0,
maka g dapat diturunkan di a dan
g’ (a)=1/f ’(g(a)).
Fungsi Logaritma Asli Perhatikan turunan2 fungsi berikut ini.
12
2
2
22
2
xxD
xxD
xx
D
x
x
x
Kemudian adakah fungsi yang turunannya adalah 1/x?
x
Dx
1????
Fungsi Transenden
Definisi Logaritma Fungsi logaritma asli dinyatakan dalam ln, didefinisikan sebagai
0,1
ln1
xdtt
x
x
Daerah asalnya adalah himpunan real positip.
Secara Geometri y
3x
1
Luas = ln 3
3
1
1ln 3dt
t
y = 1/x
Fungsi Transenden
Turunan Fungsi Logaritma
.0,11
ln1
x
xdt
tDxD
x
xx
Dengan demikian bila kita akan mencari anti turunan dari fungsi 1/x kita dapatkan
Fungsi Transenden
.0,11
ln1
x
xdt
tDxD
x
xx
Penyelesaian Soal
0,1
ln
,1
????
xx
xD
xD
x
x
Fungsi Transenden
Dari rumusan ini kita dapat menjawab pertanyaan yang muncul pada awal sub bab ini
yakni ln(x)
Teorema A Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi logaritma asli adalah;
Jika a dab b bilangan-bilangan positif dan r sebarang bilangan rasional, maka
araiv
bab
aiii
baabii
i
r lnln)(
lnlnln)(
lnlnln)(
01ln).(
Fungsi Transenden
Contoh Soal Tentukan turunan dari 3ln x
Jawabannya :
.3
1
3
1.
1.
1ln 3
2
3
1
3
1
3
1
3
xx
x
xD
x
xD xx
Fungsi Transenden
Fungsi Eksponen Asli Invers dari fungsi logaritma asli disebut fungsi eksponen asli
dan dinyatakan oleh lambang e atau exp; yakni
xyyx lnexp
kata exp dikenal dengan lambang e,
yg menyatakan bilangan real positip
sedemikian rupa sehingga ln e = 1.
Fungsi Transenden
Sifat Fungsi Eksponensial Andaikan a dan b adalah sebarang bilangan real, maka
ba
b
a
baba
ee
eii
eeei
)(
).(
Fungsi Transenden
Turunan & Integral Fungsi Eksponen
Cedxe
eeD
xx
xx
x
Karena fungsi logaritma natural dan eksponensial asli adalah fungsi yang saling invers,
maka grafik dari kedua fungsi tersebut adalah sebagai berikut
y = ex
y = x
y = ln(x)
xy
exy
ey
ey
x
x
ln
lnln
lnln
Fungsi Transenden
Fungsi Eksponen & Logaritma Umum
Definisi
Fungsi eksponensial berbasis a didefinisikan sebagai berikut
Untuk a > 0 dan sebarang bilangan real x.
axx ea ln
Fungsi Transenden
Sifat Fungsi Eksponen & Logaritma Umum
Jika a > 0, b > 0, dan x,y adalah bilangan-bilangan real, maka
x
xx
xxx
xyyx
yx
y
x
yxyx
b
a
b
av
baabiv
aaiii
aa
aii
aaai
)(
)(
)(
)(
)(
dengan bentuk turunan dan integralnya adalah sebagai berikut;
ln
, 1ln
x xx
xx
D a a a
aa dx C a
a
Fungsi Transenden
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
1. Pertumbuhan Populasi dan Peluruhan Radioactive
Pertumbuhan & Peluruhan
EksponensialGreg Kelly, Hanford High School, Richland, Washington
Glacier National Park, MontanaPhoto by Vickie Kelly, 2004
Fungsi Transenden
Model Peluruhan & Pertumbuhan Eksponensial
Pertumbuhan suatu populasi dapat dinyatakan sebagai:
laju perubahan populasi relative terhadap populasi awalnya;
misalnya laju pertumbuhan tersebut konstan sebesar k;
maka dapat dinyatakan dalam formula berikut;
dyky
dt
Solusi Solusi
Fungsi Transenden
1 dy k dt
y
1 dy k dt
y
ln y kt C
ln y kt Ce e
C kty e e
C kty e e
kty Ae
0
0
ky Ae
Fungsi Transenden
Diperoleh:
0
kty y e
Bila k bernilai positif maka disebut sebagai pertumbuhan eksponensial;
dan bila k bernilai negatif disebut sebagai peluruhan eksponensial;
yang contohnya ada dalam peluruhan radioaktif.
Alpha
Beta -
+
Gamma
Peluruhan radioaktif dapat digambarkan dalam proses berikut :
Fungsi Transenden
2. Kegunaan pada bahan makanan adalah untuk pengawetan
Fungsi Transenden
Waktu Paruh Bahan Radioaktif
0 0
1
2
kty y e
1
ln ln2
kte
ln1 ln 2 kt 0
ln 2 kt
ln 2t
k
Fungsi Transenden
Pertumbuhan terbatas
Aplikasi: Penjualan produk
terbaru, depresiasi peralatan,
pertumbuhan perusahaan,
proses belajar, dan
sebagainya.
Laju pertumbuhan
sebanding dengan selisih
antara jumlah tertentu dan
populasinya.
Solusi:
Pertumbuhan logistik
Laju pertumbuhan sebanding
dengan perkalian populasinya
dengan selisih antara jumlah
tertentu dan populasinya.
Aplikasi: Pertumbuhan
populasi jangka panjang,
epidemi, penjualan produk baru,
penyebaran rumor (gosip),
pertumbuhan perusahaan, dan
sebagainya
1( ), , 0, (0) .
dy M
dt cky M y k t y
+= - > =
Solusi: 1 kM t
M
cey -+
=
( )dy
dtky M y= - ( )
M dy
y M ykM dt
-=
( )1 1
y M ydy kM dt
-+ =
( )1 1
y M ydy kM dt
-+ =ò ò
1lny
M ykMt c
-= +
12
kMt c kMty
M ye c e
+
-= =
23
1kM t
kMtM y
y c ec e--
= = 3kMtM y yc e-- =
3(1 )kMty c e M-+ =31 kM t
M
c ey -+
=
1(0)
M
cy
+=
31 1
M M
c c+ +=
1 kM t
M
cey -+
=
•Bukti: ubah menjadi
Membuat rasional sederhana:
sehingga c3 = c. Jadi solusinya adalah
Karena
atau
atau
atau
maka
Exercise (1)
Carbon 14, an isotope of carbon is
radioactive and decays at a rate proportional
to the amount present. Its half-life is 5730
years; that is, it takes 5730 years for a given
amount of carbon 14 to decay to one-half its
original size. If 10 grams was present
originally, how much will be left after 2000
years?
Fungsi Transenden
Answer The half-life of 5730 allows us to determine
k, since it implies that
(5730)11
2
ke
Or, after taking logarithms,
-0.000121t
ln 2 570
ln 20.000121
5730
Thus,
y=10e
k
k
At t = 2000, that gives
0.000121(2000)10 7.85gramsy e
Fungsi Transenden
Exercise (2)
The number of bacteria in a rapidly growing
culture was estimated to be 10,000 at noon
and 40,000 after 2 hours. Predict how many
bacteria there will be at 5 P.M.
Fungsi Transenden
Answer
We assume that the differential equation
dy/dt = ky is applicable, so
Now we have two conditions (y0=10,000 and y=40,000 at t=2), from which we conclude that
0
kty y e
Fungsi Transenden
(2)
2
(ln 2)
0.693(5)
40,000 10,000
4
Taking logarithms yields
ln 4 2
or
1ln 4 ln 4 ln 2
2
Thus,
10,000
and at t=5, this gives
10,000 320,000
k
k
t
e
e
k
k
y e
y e
Fungsi Transenden
Fungsi Transenden