KALKULUS: DIFERENSIASI

1

Oleh:

Adhi Setiawan

Program Studi Teknik Kimia

Fakultas Teknik

Universitas Negeri Semarang

Garis singgung dan Laju Perubahan

Banyak fenomena fisis yang melibatkan

perubahan besaran seperti laju suatu roket,

inflasi nilai tukar, jumlah bakteri, jumlah

bakteri dalam jaringan, intensitas guncangan,

tegangan listrik dan sebagainya. Pada bagian

ini akan dijelaskan konsep dasar matematika

yang menghubungkan antara masalah garis

singgung dan laju perubahan tersebut

2

Kemiringan Garis Singgung

3

Misalkan, titik A berkoordinat (a, f(a)) maka titik B berkoordinat

(a+x,f(a+x)). Garis yang melalui A dan B mempunyai

gradien (kemiringan):

4

Kemiringan Garis Singgung

Jika titik B bergerak sepanjang kurva y=f(x) mendekati

Titik A maka nilai x semakin kecil. Jika nilai x

mendekati nol maka titik B akan berimpit dengan titik A.

Akibatnya, garis singgung (jika tidak tegak lurus pada

sumbu-x)adalah garis yang melalui A(a,f( f a)) dengan

gradien

5

Kecepatan sesaat

Laju Perubahan Rata-Rata dan Sesaat

6

sesaat

Contoh Soal

Misalkan y= x2 + 1

a)Dapatkan laju perubahan rata-rata y terhadap

x pada selang [3,5]

b)Laju perubahan sesaat dari y terhadap x di

titik x=-4

c)Dapatkan laju perubahan sesaat dari y

terhadap x pada titik x=xo

7

Turunan fungsi

8

Contoh soal

Tentukan

a)Turunan terhadap x untuk f(x)=x

b) Kemiringan garis singgung pada grafik y=x

di x=9

c) Laju perubahan sesaat untuk y=x terhadap

x di x=5

9

Existensi Turunan

Turunan suatu fungsi dikatakan ada di xo apabila

f(x) dapat diturunkan di xo atau f mempunyai

turunan di xo. Jika untuk setiap x (a,b), f ada

maka dapat dikatakan f dapat diturunkan pada

selang terbuka (a,b). Pada titik dimana f tidak dapat

diturunkan dikatakan turunan f tidak ada

Klasifikasi titik-tik dimana f tidak dapat diturunkan:

titik yang memuat sudut tajam, titik yang memuat

garis singgung vertikal, dan titik-titik diskontinyu

Jika f dapat diturunkan di suatu titik xo, maka f juga

kontinyu di xo

10

Contoh soal

Fungsi f(x)= |x| kontinyu di semua x

a)Tunjukkan bahwa f(x)= |x| tak dapat

diturunkan di x=0

b) Dapatkan f (x)

11

TEKNIK DIFERENSIASI

Jika f suatu fungsi konstan, sebut f(x) = c untuk setiap x,

maka f(x) = 0; yaitu,

=

(Aturan pangkat). Jika n bilangan bulat positif, maka

=

Jika c suatu konstanta dan f fungsi terdiferensial maka c.f(x)

juga fungsi terdiferensial dengan

=

[ ]

12

Jika f dan g terdiferensial di x, maka f + g juga terdiferensial

di x sehingga

+ =

+

[ ]

(Aturan perkalian). Jika f dan g terdiferensial di x, maka f.g

juga terdiferensial di x

=

+

[ ]

Aturan pembagian

=

.()

[()]

13

TEKNIK DIFERENSIASI

Contoh

14

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

BERIKUT INI BENTUK TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI YANG

UMUM DIGUNAKAN:

1.

[ ] = 6.

[ ] =

2.

[ ] =

3.

[ ] =

4.

[ ] =

5.

[ ] =

15

soal

Dapatkan f (x) jika f(x)=x2 tan x

Dapatkan f (x) jika y=sin

1+

Misalkan suatu sinar matahari terbit mengenai gedung

yang tingginya 100 kaki secara langsung dan misalkan

adalahsudut elevasi matahari. Berapakah laju

perubahan panjang bayangan gedung x terhadap

ketika = 45o. Nyatakan jawaban dalam satuan

kaki/derajat 16

TURUNAN TINGKAT TINGGI

17

ATURAN RANTAI

Turunan Komposisi

Diberikan fungsi-fungsi terdiferensial f dan g,

dengan komposisi

y= (f o g)(x) = f (g(x))

Jika u= g(x) maka y= f(u) dengan turunan-

turunannya adalah

dy/du= f(u) dan du/dx= g(x)

Bagaimana menentukan dy/dx bila diketahui

dy/du dan du/dx? 18

(Aturan rantai) jika g terdiferensial di titik x dan f

terdiferensial di titik g(x), maka komposisi f o g (x)

terdiferensial di titik x dengan:

=

19

ATURAN RANTAI

Contoh

20

DIFENSIASI IMPLISIT

Seringkali peubah tak bebas dan peubah bebas tak dapat

dipisahkan sehingga hanya dapat dinyatakan sebagai

bentuk f(x,y)=0. Fungsi yang demikian disebut dengan

fungsi implisit. Untuk fungsi implisit, diferensiasi

dilakukan pada kedua sisi dengan memandang y sebagai

fungsi dari x

Contoh dapatkan dy/dx dari 6y3 + cos y = x3

Dapatkan garis singgung di titik (4,0) dari kurva

7y4+x3y+x=4

21

Latihan soal Dapatkan f(x) dari:

1. f(x)= (x3+2x)37

2. f(x)= (x3-7/x)-2

3. f(x)= (4+3x)

4. f(x)= sin (1/x2)

5. f(x)= cos(cosx)

6. f(x)= (2x+3)3/(4x2-1)8

7. f(x)= cos3 (sin 2x)

22

Soal latihan

Dapatkan persamaan garis singgung pada titik

1. Y=xcos 3x, x=

2. Y= sin(1 + X3), x=-3

Dapatkan diferensial implisit dari

1. 3xy=(x3 + y2)3/2

2. x4-y3= 6xy

3. x2 = cot y/ (1+ csc y)

23

APLIKASI TURUNAN

Dalam aplikasinya masalah turunan banyak

diterapkan dalam problem yang berhubungan

dengan laju-laju perubahan yang berkaitan,

yaitu akan ditentukan laju besaran tertentu

yang berhubungan dengan besaran lain yang

laju perubahannya diketahui

24

TAHAP-TAHAP PENYELESAIAN

1. Gambarlah dan beri label besaran yang berubah

2. Identifikasi laju-laju yang perubahannya diketahui

dan laju yang dicari perubahannya

3. Tentukan persamaan yang mengaikan kuantitas

yang laju perubahannya dicari dengan kuantitas

yang laju perubahannya diketahui

4. Turunkan dua sisi persamaan terhadap waktu

5. Evaluasi turunan pada titik yang dimadsud 25

Contoh

Diasumsikan minyak tumpah yang berasal dari tangker yang

pecah dan menyebar dalam bentuk lingkaran yang jari-jarinya

bertambah dengan konstan 2 m/s. seberapa cepatkah laju

daerah tumpahan bertambah jika jari-jari pancaran 60 m?

26

r

minyak

Tangga yang panjangnya 5 m bersandar pada dinding

tergelincir sedemikian hingga bagian bawahnya bergerak

menjauhi dinding dengan kecepatan 2 m/s ketika bagian

bawah berjarak 4 m dari dinding. Berapa cepat bagian atas

turun ke bawah?

27

Contoh

x

y

Tangga 5 m

2 m/s

Suatu cairan pembersih sedimen dituangkan melalui filter

berbentuk kerucut. Diasumsikan ketinggian kerucut 16 cm

dan jari-jari dasar kerucut 4 cm. jika cairan keluar dari kerucut

dengan laju 2 cm3/menit, ketika ketinggian 8 cm seberapa

cepatkah kedalaman cairan berubah saat itu?

28

Contoh

16 cm

x cm

4 cm

y cm

SELANG NAIK DAN SELANG TURUN; KECEKUNGAN

FUNGSI

Fungsi Naik dan Fungsi Turun Istilah naik, turun, dan konstan digunakan untuk

menggambarkan sifat fungsi pada suatu selang dari kiri ke

kanan sepanjang grafik.

29 x2 x1

f(x) naik f(x) turun

x1 x2 x2 x1

konstan

FUNGSI NAIK DAN TURUN

Dimisalkan f suatu fungsi kontinyu pada selang tertutup [a,b]

dan dapat diturunkan pada selang terbuka (a,b).

Jika f(x)>0 untuk setiap x dalam (a,b) f naik pada [a,b]

Jika f(x)

KECEKUNGAN GRAFIK

Misal f dapat diturunkan pada suatu selang.

f disebut cekung ke atas pada suatu selang jika f naik

f disebut cekung ke atas pada suatu selang jika f turun

31

CEKUNG KE

BAWAH

CEKUNG KE

ATAS

TEORI KECEKUNGAN

Jika f (x) > 0 pada suatu selang terbuka (a,b)

maka f cekung ke atas pada (a,b)

Jika f (x) < 0 pada selang terbuka (a,b) maka

f cekung ke bawah pada (a,b)

32

tentukan selang yang menyebabkan fungsi-fungsi berikut

naik serta turun, serta definisikan kapan cekung ke atas

atau cekung ke bawah?

a. f(x) = x2 -4x+3

b. f(x) = x3

MAKSIMUM DAN MINIMUM RELATIF

Suatu fungsi dikatakan memiliki maksimum relatif di xo, jika

f(xo) f(x) untuk semua x dalam selang terbuka yang memuat

xo

33

Suatu fungsi dikatakan memiliki minimum relatif di xo, jika

f(xo) f(x) untuk semua x dalam selang terbuka yang memuat

xo

Suatu fungsi dikatakan memiliki ekstrem relatif di xo, jika

fungsi tersebut memiliki maksimum atau minimum relatif

TITIK KRITIS

TITIK KRITIS

Ekstrem relatif dapat dipandang sebagai transisi yang

memisahkan daerah yang grafiknya menaik dan menurun.

Titik ekstrem relatif dari suatu fungsi f terjadi baik pada titik

dimana grafik f mempunyai garis singgung datar atau titik

dimana f tidak dapat diturunkan

Teorema titik kritis: titik kritis suatu fungsi adalah nilai x dalam

domain f dimana f (x) = 0 atau dimana f tidak dapat

diturunkan: titik kritis dimana f (x)= 0 disebut titik stasioner

34

UJI TURUNAN PERTAMA

Misalkan f kontinyu di titik kritis xo:

Jika f(x)>0 pada selang terbuka di sebelah kiri dari xo dan

f(x)

Tentukan ekstrem relatif dari f(x) = 3x5/3-15x2/3

Tentukan dan gambarkan ekstrem relatif f (x) = x4-2x2

36

Uji turunan kedua. Misalkan f dapat diturunkan dua kali di titik

stasioner xo.

a.) jika f (xo) > 0 maka f mempunyai minimum realtif di xo

b.) jika f (xo) < 0 maka f mempunyai maksimum relatif di xo

UJI TURUNAN KEDUA

Contoh:

GRAFIK POLINOMIAL

Polinomial adalah fungsi-fungsi yang mudah untuk dibuat

grafiknya, fungsinya kontinyu, sehingga grafiknya tidak ada

yang patah atau berlubang dan fungsinya dapat diturunkan

sehingga tidak mempunyai sudut yang tajam

Langkah membuat grafik polinomial P(x):

a. Hitung P (x) dan P (x)

b. Dari P (x) tentukan titik stasioner dan selang di mana P naik

dan turun

c. Dari P (x) tentukan titik belok dan selang dimana P cekung

ke atas dan bawah

d. Plot irisan dengan sumbu Y, titik stasioner, titik belok dan jika

mungkin irisan dengan sumbu x

37

contoh

Buatlah sketsa grafik y= x3 3x +2

Buatlah grafik dari fungsi rasional:

1. f (x) =

2

2. f (x) =228

216

3. f (x) =21

3

38