fungsi dan grafik diferensial dan integral · pdf file2 sudaryatno sudirham, fungsi dan...
TRANSCRIPT
1
Sudaryatno Sudirham
Darpublic
Studi Mandiri
Fungsi dan Grafik
Diferensial dan Integral
2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Hak cipta pada penulis, 2010
SUDIRHAM, SUDARYATNO
Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Oleh: Sudaryatmo Sudirham
Darpublic, Bandung
fdg-1110
edisi Juli 2011
http://www.ee-cafe.org
Alamat pos: Kanayakan D-30, Bandung, 40135.
Fax: (62) (22) 2534117
3
BAB 6
Fungsi Trigonometri
6.1. Peubah Bebas Bersatuan Derajat
Berikut ini adalah fungsi-fungsi trigonometri dengan sudut θ sebagai peubah-bebas.
.sin
1csc ;
cos
1sec
sin
coscot ;
cos
sintan
cos ;sin
65
43
21
θ=θ=
θ=θ=
θ
θ=θ=
θ
θ=θ=
θ=θ=
yy
yy
yy
(6.1)
Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-
satuan, yaitu lingkaran berjari-jari satu. Bentuk lingkaran ini
diperlihatkan pada Gb.6.1. Kita menggunakan referensi arah positif
berlawanan dengan arah jarum jam; artinya sudut θ makin besar jika jari-jari r berputar berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.
Gb.6.1. Lingkaran berjari-jari 1.
O
P
Q
θ
-1
1
-1 [0,0] 1 x
y
r
P’
-θ
4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Fungsi sinus. Dengan membuat jari-jari r = OP = 1, maka
PQPQ
sin ==θr
(6.2)
PQ = 0 pada waktu θ = 0o, dan membesar jika θ membesar sampai mencapai maksimum PQ = 1 pada waktu θ = 90o. Kemudian PQ menurun lagi dan mencapai PQ = 0 pada waktu θ = 180o. Sesudah itu PQ menjadi negatif (arah ke bawah) dan mencapai minimum PQ = −1 pada waktu θ = 270o, kemudian meningkat lagi mencapai PQ = 0 pada waktu θ = 360o. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutnya terjadi pada waktu θ = 720o. Kejadian berulang lagi dan demikian seterusnya. Kejadian satu siklus kita sebut satu perioda. Secara singkat
kita memperoleh
0360sin ;1270sin
;0180sin ;190sin ;00sin
oo
ooo
=−=
===
Fungsi Cosinus. Karena telah ditetapkan r = 1, maka
OQOQ
cos ==θr
(6.3)
OQ = 1 pada waktu θ = 0, dan mengecil jika θ membesar sampai mencapai minimum OQ = 0 pada waktu θ = π/2. Kemudian OQ meningkat lagi tetapi negatif dan mencapai OQ = −1 pada waktu θ = π. Sesudah itu OQ mengecil dan tetap negatif dan mencapai minimum OQ
= 0 pada waktu θ = 1,5π, kemudian meningkat lagi mencapai OQ = 1 pada waktu θ = 2π. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutnya terjadi pada waktu θ = 4π. Kejadian berulang lagi dan demikian seterusnya. Secara singkat
1360cos ;0270cos
;1180cos ;090cos ;10cos
oo
ooo
==
−===
Pada Gb.6.1, jika sin(θ) = PQ dan cos(θ) = OQ, sedangkan dalil Pitagoras memberikan PQ
2 + OQ
2 = OP
2 =1, maka
1)(cos)(sin 22 =θ+θ (6.4.a)
Dari Gb.6.1. dapat kita peroleh juga
5
θ−=−
=′
=θ− sinPQQP
)sin(rr
(6.4.b)
θ==θ− cosOQ
)cos(r
(6.4.c)
Pada segitiga siku-siku OPQ maupun OP’Q sisi tegak selalu lebih kecil
dari sisi miring. Oleh karena itulah sinθ maupun cosθ akan bernilai antara −1 dan +1.
Fungsi Tangent.
OQ
PQtan =θ (6.4.d)
θ−=−
=′
=θ− tanOQ
PQ
OQ
QP)tan( (6.4.e)
Nilai tanθ akan menjadi 0 jika θ = 0o, dan akan menuju +∞ jika θ menuju 90
o karena pada waktu itu PQ juga ∞ dan tan(−θ) akan menuju −∞ pada
waktu θ menuju −90o. Jadi tanθ bernilai antara −∞ sampai +∞.
Nilai tanθ = 1 bila θ = 45o karena pada waktu itu PQ = OQ; tan(−θ) = −1 jika θ = −45o. Lihat pula kurva pada Gb.6.5.
Fungsi Cotangent.
PQ
OQcot =θ (6.4.f)
θ−=−
=′
=θ− cotPQ
OQ
QP
OQ)cot( (6.4.g)
Nilai cotθ akan menuju +∞ jika θ menuju 0o karena PQ akan menuju 0 walau OQ menuju 0; cotθ = 0 jika θ = 90o karena OQ = 0.
Sebaliknya cotθ akan menuju −∞ jika θ menuju −0 karena P’Q akan menuju −0; cotθ = 0 jika θ = −90o karena P’Q menuju −∞. Lihat pula kurva Gb.6.6.
6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Fungsi Secan dan Cosecan
OQcos
1sec
r=
θ=θ (6.4.h)
PQsin
1csc
r=
θ=θ (6.4.i)
Nilai secθ menuju ∞ jika θ menuju 90o karena OQ menuju 0 dan secθ = 1 pada waktu θ = 0o karena pada waktu itu OQ = r atau cosθ = 1. Sementara itu cscθ akan menuju ∞ jika θ menuju 0 karena sinθ menuju 0. Lihat pula Gb.6.7.
Relasi-Relasi. Relasi-relasi yang lain dapat kita turunkan dengan
mengunakan Gb.6.2., yaitu
Gb.6.2. Relasi-relasi
βα−βα=β+α
βα+βα=β+α
sinsincoscos)cos(
sincoscossin)sin( (6.5)
Karena β−=β− sin)sin( dan β=β− cos)cos( maka kita peroleh pula
βα+βα=β−α
βα−βα=β−α
sinsincoscos)cos(
sincoscossin)sin( (6.6)
sinα
α
-1
1
-1 [0,0] 1 x
y
β
cosα
cosα cosβ
cosα sinβ
β
sinα sinβ
sinα cosβ
7
6.2. Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y
Bilangan-nyata dengan desimal yang tidak terbatas,
π, digunakan untuk menyatakan besar sudut dengan satuan radian. Jumlah radian dalam sudut θ didefinisikan dengan persamaan
θ==θ rsr
s , (6.7)
Jika θ = 360o maka s menjadi penuh satu keliling lingkaran, atau s = 2πr . Jadi jumlah radian dalam sudut 360
o adalah 2π. Dengan demikian maka
ukuran sudut
rad. adalah 180 o1 π=θ
rad. 0,5adalah 90 o2 π=θ
rad. )180/(adalah 1 o3 π=θ dst.
Fungsi Sinus. Dengan menggunakan satuan radian, fungsi trigonometri
akan kita gambarkan pada sistem koordinat x-y, yang kita ketahui bahwa
sumbu-x adalah sumbu bilangan-nyata, termasuk π. Bentuk kurva fungsi sinus
)sin(xy = (6.8)
terlihat pada Gb.6.3. yang dibuat untuk nilai x dari −2π sampai +2π.
Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = π/2 atau θ = 90o, mencapai nilai nol pada x = π atau θ = 180o, mencapai minimum −1 (arah negatif) pada x = 1,5π atau θ = 270o, kembali nol pada x = 2π atau θ = 360
o; inilah satu perioda.
Gb.6.3. Kurva fungsi sinus dalam dua perioda.
x
y
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0−π π 2π −2π
θ s r
8 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Fungsi Cosinus. Kurva fungsi cosinus
)cos(xy = (6.9)
terlihat pada Gb.6.4. Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = 0
atau θ = 0o, mencapai nilai nol pada x = π/2 atau θ = 90o, mencapai minimum −1 (arah negatif) pada x = π atau θ = 180o, kembali nol pada x = 1,5π atau θ = 270o, dan ke nilai maksimum +1 lagi setelah satu perioda, 2π.
Gb.6.4. Kurva fungsi cosinus.
Fungsi sinus maupun fungsi cosinus adalah fungsi periodik dengan
perioda sama sebesar 2π, dengan nilai maksimum dan minimum yang sama yaitu +1 dan −1. Perbedaan antara keduanya terlihat, yaitu
)cos()cos( sedangkan )sin()sin( xxxx −=−−= (6.10)
Fungsi sinus simetris terhadap titik-asal [0,0], dan disebut memiliki
simetri ganjil. Fungsi cosinus simetris terhadap sumbu-y dan disebut
memiliki simetri genap.
Dengan memperbandingkan Gb.6.3. dan Gb.6.4 kita lihat bahwa fungsi
sinus dapat dipandang sebagai fungsi cosinus yang tergeser sejajar
sumbu-x sebesar π/2. Oleh karena itu fungsi sinus dapat kita nyatakan dalam cosinus
)2/cos()sin( π−== xxy (6.11)
Fungsi Tangent. Selanjutnya kita lihat fungsi
)cos(
)sin()tan(
x
xxy == (6.12)
perioda
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 x
y
2π π −π
9
Karena cos(x) = 0 pada x = +π/2 dan −π/2, maka tan(x) bernilai tak hingga pada x = +π/2 dan −π/2.
Fungsi Cotangent. Fungsi ini adalah kebalikan dari fungsi tangent.
)tan(
1
)sin(
)cos()cot(
xx
xxy === (6.13)
Karena sin(x) = 0 pada x = 0, maka cot(x) bernilai tak hingga pada x = 0.
Lihat Gb.6.6.
Gb.6.6. Kurva y = cot (x)
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π
y
Gb.6.5. Kurva )tan(xy ====
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π
10 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Fungsi Secan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi cosinus.
)cos(
1)sec(
xxy == (6.14.a)
Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.a. Perhatikan bahwa sec(x) bernilai
1 pada x = 0 karena pada nilai x itu cos(x) juga bernilai 1.
Fungsi Cosecan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi sinus.
)sin(
1)csc(
xxy == (6.14.b)
Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.b. csc(x) bernilai ∞ pada x = 0 kara pada nilai x ini sin(x) bernilai 0.
(a) y = sec(x)
(b) y = csc(x)
Gb.6.7. Kurva y = sec(x) dan y = csc(x)
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π
11
Soal-Soal: Skets kurva fungsi-fungsi berikut:
xy sin2= ; xy 2sin3= ; xy 3cos2= ;
)4/2cos(3 π+= xy ; )3/tan(2 xy =
6.3. Fungsi Trigonometri Inversi
Sinus Inversi. Jika fungsi sinus kita tuliskan )sin(xy = , maka fungsi
sinus inversi dituliskan sebagai
xyxy 1sinatau arcsin −== (6.15)
Perhatikan bahwa sin−1x bukan berarti 1/sinx, melainkan inversi sinus x
yang bisa kita baca sebagai: y adalah sudut yang sinusnya sama dengan
x.
Karena fungsi sinus adalah periodik dari −∞ sampai +∞ maka fungsi
xy 1sin−= tidaklah bernilai tunggal. Kurva fungsi ini terlihat pada
Gb.6.8.a.
Ia akan terlihat bernilai tunggal jika kita membatasi nilai y; kita hanya
meninjau fungsi sinus inversi pada 22
π≤≤
π− y . Dengan pembatasan ini
maka kita hanya terlibat dengan nilai-nilai utama dari sin−1x. Jadi nilai
utama xy 1sin−= terletak pada 2
sin2
1 π≤≤
π− −
x . Kurva fungsi
xy 1sin−= yang dibatasi ini terlihat pada Gb.6.8.b.
Perhatikanlah bahwa pada x = 0, y = sin−1x = 0 karena pada y = 0 sin(y) =
0 = x. Pada x = 1, y = sin−1x = π/2 karena sin(y) = sin(π/2) = 1 = x.
Contoh: π== − 5,0)1(sin 1y ;
π−=−= − 5,0)1(sin 1y
6)5,0(sin 1 π== −y ;
6)5,0(sin 1 π
−=−= −y
12 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
a) b)
Gb.6.8. Kurva y = sin−1x
Jika kita bandingkan Gb.6.8. (fungsi sinus inversi) dengan Gb.6.3.
(fungsi sinus) terlihat bahwa jika sumbu-y pada Gb.6.8. kita gambarkan
horizontal sedangkan sumbu-x kita gambarkan vertikal, maka kita akan
memperoleh bentuk kurva fungsi sinus pada Gb.6.3. pada rentang
22
π≤≤
π− y , yaitu rentang di mana kita membatasi nilai y pada fungsi
sinus inversi, atau rentang nilai utama fungsi sinus inversi.
Cosinus Inversi. Fungsi cosinus inversi kita peroleh melalui hubungan
xxy11
sin2
cos−− −
π== (6.16)
Hubungan ini berasal dari relasi segitiga siku-siku. Jika sudut lancip
segitiga siku-siku adalah α dan β, maka α−π=β 2/ dan β=α cossin .
Oleh karena itu jika x=αsin maka x=βcos sehingga
xx 11 sin2/2/cos −− −π=α−π=β=
x
y
-1 0
10
−π
π
2π
−2π -0,5π
-0,25π
0
0,25π
0,5π
-1 -0,5 0 0,5 1x
y
13
Karena dengan pembatasan 22
π≤≤
π− y pada fungsi sinus inversi
memberikan 2
sin2
1 π≤≤
π− −
x maka nilai-nilai utama dari x1cos− akan
terletak pada π≤≤ − x1cos0 . Gb.6.9.b. memperlihatkan kurva fungsi
cosinus inversi pada nilai utama.
Perhatikan bahwa jika sumbu-x digambar vertikal sedang sumbu-y
digambar horizontal, kita dapatkan fungsi cosinus seperti pada Gb.6.4.
dalam rentang π≤≤ x0 .
a) b)
Gb.6.9. Kurva xy 1cos−=
Tangent Inversi. Fungsi tangent inversi adalah
xy 1tan−= (6.17)
dengan nilai utama 2
tan2
1 π<<
π− − x
Untuk fungsi ini, nilai )2/(π±=y tidak kita masukkan pada
pembatasan untuk y karena nilai tangent akan menjadi tak hingga pada
nilai y tersebut. Gb.6.10.a. memperlihatkan kurva xy 1tan−= lengkap
sedangkan Gb.6.10.b. dibatasi pada nilai π<<π− 5.05,0 y .
x
y
-1 0
10
−π
π
0
0,25π
0,5π
0,75π
1π
-1 -0,5 0 0,5 1x
y
14 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
a) b)
Gb.6.10. Kurva xy 1tan−=
Jika kita mempertukarkan posisi sumbu-x dan sumbu-y pada Gb.6.10.b
ini, kita akan memperoleh kurva pada Gb.6.5. yaitu kurva fungsi tangent,
dalam rentang
2tan
2
1 π<<
π− −
x
Inilah batas nilai-nilai utama fungsi tangent inversi.
Cotangent inversi. Fungsi ini diperoleh melalui hubungan
xxy11
tan2
cot−− −
π== (6.18)
dengan nilai utama π<< − x1cot0
0 dan π tidak masuk dalam pembatasan y karena pada nilai tersebut y menjadi tak hingga.
Hubungan (6.18) diperoleh dari segitiga siku-siku. Jika sudut lancip
segitiga siku-siku adalah α dan β, maka α−π=β 2/ dan β=α cottan .
Oleh karena itu jika x=αtan maka x=βcot sehingga
xx 11 tan2/2/cot −− −π=α−π=β=
Kurva fungsi cotangent inversi terlihat pada Gb.6.11.
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1,5π
-π
-0,5π
0
0,5π
π
1,5π
y
x
-0,5π
-0,25π
0
0,25π
0,5π
-10 -5 0 5 10x
y
15
Gb.6.11. Kurva xy 1cot−=
Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y Gb.6.11. ini akan memberikan
bentuk kurva fungsi cotangent pada Gb.6.6.
Fungsi Secan Inversi. Selanjutnya kita memperoleh fungsi secan inversi
xxy
1cossec 11 −− == (6.19)
dengan nilai utama π≤≤ − x1sec0 .
Gb.6.12. Kurva xy 1sec−=
Fungsi Cosecan Inversi.
xx
1sincsc 11 −− = (6.20)
dengan nilai utama 2
csc2
1 π≤≤
π− −
x
0
0,5π
1π
-10 -5 0 5 10
y
x
0
0,25
0,5π
0,75π
π
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
16 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y pada gambar kurva kedua fungsi
terakhir ini juga akan memberikan bentuk kurva fungsi non-konversinya.
Gb.6.12. Kurva xy 1csc−=
Hubungan Fungsi-Fungsi Inversi. Hubungan antara fungsi inversi
dengan fungsi-fungsi non-inversi dapat kita cari dengan menggunakan
gambar segitiga siku-siku.
1). Dari fungsi xy 1sin−= , yaitu sudut y yang sinus-nya adalah x
dapat kita gambarkan segitiga siku-siku dengan sisi miring sama
dengan 1 seperti terlihat di bawah ini.
Dari gambar ini selain fungsi xy 1sin−= dan xy =sin , kita
dapat peroleh
21cos xy −= , 2
1
tan
x
xy
−= , dst.
2). Dari fungsi cosinus inversi xy 1cos−= dapat kita gambarkan
segitiga siku-siku seperti di bawah ini.
x 1
21 x−
y
y
-0,5π
-0,25π
0
0,25π
0,5π
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x
17
Selain xy =cos dari gambar ini kita dapatkan
21sin xy −= , x
xy
21tan
−= , dst.
3). Dari fungsi xy 1tan−= , kita gambarkan segitiga seperti di
bawah ini.
Selain xy =tan , kita peroleh
21
sin
x
xy
+= ,
21
1cos
x
y
+= , dst
4). Dari fungsi xy 1sec−= kita gambarkan
Dari gambar ini kita peroleh
21tan xy −= , x
xy
1sin
2 −= , dst.
x 12 −x
y
1
x
1
21 x+
y
x
1 21 x−y
18 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Soal-Soal:
1) Dari fungsi xy 1cot−= tentukan ysin dan ycos
2) Dari fungsi xy 1csc−= tentukan ytan dan ycos
19
BAB 7
Gabungan Fungsi Sinus
7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus
Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalnya
gelombang cahaya, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan
listrik sistem tenaga, dsb. Peristiwa-peristiwa itu merupakan fungsi
waktu, sehingga kita akan melihatnya dengan menggunakan waktu
sebagai peubah bebas, dengan simbol t, satuan detik.
Dalam peristiwa sinusoidal, jumlah siklus yang terjadi setiap detik
disebut frekuensi siklus, dengan simbol f , dengan satuan Hertz (1 Hz = 1
siklus per detik). Jadi jika fungsi sinus memiliki perioda T0 maka
00
1
Tf = (7.1)
Sebagaimana dikemukakan di bab sebelumnya, kita menggunakan
jumlah radian untuk menyatakan sudut. Karena satu siklus perubahan
sudut bersesuaian dengan perubahan sebesar 2π radian, maka f siklus per detik bersesuaian dengan 2πf radian per detik. Jadi di samping frekuensi siklus f kita memiliki frekuensi sudut dengan simbol ω, dengan satuan radian per detik. Relasi antara frekuensi siklus (f) dengan frekuensi sudut
(ω), dan juga dengan perioda (T0), adalah
00
22
Tf
π=π=ω (7.2)
Suatu fungsi cosinus yang memiliki amplitudo (nilai puncak) A
dituliskan sebagai
π=ω=
0
2coscos
T
tAtAy (7.3)
Catatan: Sebelum kita lanjutkan pembahasan kita, ada sedikit catatan
yang perlu dicermati. Di bab sebelum ini kita menyatakan fungsi
sinus )sin(xy = atau fungsi cosinus )cos(xy = dengan x sebagai
peubah bebas dengan satuan radian. Pada (7.3) kita menyatakan
fungsi cosinus ty ω= cos dengan t sebagai peubah bebas dengan
satuan detik. Faktor ω-lah yang membuat satuan detik menjadi radian; ω disebut frekuensi susut, satuan rad/detik.
20 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Gb.7.1. memperlihatkan kurva fungsi cosinus. Jika fungsi cosinus ini kita
geser ke arah positif sebesar ¼ perioda kita akan mendapatkan fungsi
sinus. Gb.7.2.
π=ω=
π−ω=
0
2sinsin
2cos
T
tAtAtAy (7.4)
Gb.7.1. Fungsi cosinus
π=ω=
0
2coscos
T
tAtAy
Gb.7.2. Fungsi sinus
π−ω=
π=ω=
2cos
2sinsin
0
tAT
tAtAy
Pergeseran fungsi cosinus sebesar Ts diperlihatkan pada Gb.7.3.
Persamaan kurva cosinus tergeser ini adalah
( )
π−
π=−ω=
00
22coscos
T
T
T
tATtAy s
s
T0
-A
0
A
0 t
y
T0
-A
0
A
0 t
y
21
Gb.7.3. Fungsi cosinus tergeser
Kita perhatikan bahwa puncak pertama fungsi cosinus menunjukkan
pergeseran. Pada Gb.7.1. pergeseran adalah nol. Pada Gb.7.3. pergeseran
adalah Ts . Pada Gb.7.2. pergeseran adalah π/2 yang kemudian menjadi kurva fungsi sinus. Jadi akan sangat mudah menuliskan persamaan suatu
fungsi sinusoidal sembarang, yaitu dengan menuliskannya dalam bentuk
cosinus, dengan memasukkan pergeseran yang terjadi yaitu yang
ditunjukkan oleh posisi puncak yang pertama.
Untuk selanjutnya, peristiwa-peristiwa yang berubah secara sinusoidal
kita nyatakan dengan menggunakan fungsi cosinus, yang dianggap
sebagai bentuk normal
Perhatikanlah bahwa Ts adalah pergeseran waktu dalam detik, sehingga
fungsi sinusoidal dengan pergeseran Ts kita tuliskan (Gb.7.3)
( )sTtAy −ω= cos
yang dapat pula kita tuliskan
( )sTtAy ω−ω= cos
Pada penulisan terakhir ini, ωTs mempunyai satuan radian, sama dengan
satuan ωt. Selanjutnya
0
2
T
TT ss
π=ω=ϕ (7.5)
disebut sudut fasa dari fungsi cosinus dan menunjukkan posisi puncak
pertama dari fungsi cosinus. Fungsi cosinus dengan sudut fasa ϕ kita tuliskan
( )ϕ−ω= ty cos (7.6)
T0
-A
0
A
0 t
y
Ts
22 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Jika ϕ = π/2 maka kita mempunyai fungsi sinus. Jadi untuk mengubah fungsi sinus ke dalam format normal (menggunakan fungsi cosinus) kita
menambahkan pergeseran sebesar π/2 pada fungsi cosinus.
7.2. Kombinasi Fungsi Sinus.
Dalam tinjauan selanjutnya, jika disebut fungsi sinus, yang dimaksudkan
adalah fungsi sinus yang dinyatakan dalam bentuk normal, yaitu cosinus.
Fungsi sinus adalah fungsi periodik. Fungsi-fungsi periodik lain yang
bukan sinus, dapat dinyatakan sebagai jumlah dari fungsi-fungsi sinus.
Atau dengan kata lain suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi
jumlah dari beberapa komponen sinus, yang memiliki amplitudo, sudut
fasa, dan frekuensi yang berlainan satu sama lain. Dalam penguraian itu,
fungsi akan terdiri dari komponen-komponen yang berupa komponen
searah (nilai rata-rata dari fungsi), komponen sinus dengan frekuensi
dasar f0 , dan harmonisa yang memiliki frekuensi harmonisa nf0 .
Sebaliknya dapat juga dikatakan bahwa jumlah dari beberapa fungsi
sinus yang memiliki amplitudo, frekuensi, serta sudut fasa yang
berlainan, akan membentuk fungsi periodik, walaupun bukan berbentuk
sinus. Gb.7.4. memperlihatkan beberapa bentuk fungsi periodik; bentuk
fungsi-fungsi periodik ini tergantung macam komponen sinus yang
menyusunnya.
Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi yang merupakan kelipatan
bulat n dari frekuensi dasar f0. Frekuensi f0 kita sebut sebagai frekuensi
dasar karena frekuensi inilah yang menentukan perioda T0 = 1/f0 .
Frekuensi harmonisa dimulai dari harmonisa kedua (2fo), harmonisa
ketiga (3f0), dan seterusnya, yang secara umum kita katakan harmonisa
ke-n mempunyai frekuensi nf0 .
7.3. Spektrum Dan Lebar Pita.
Spektrum. Jika kita menghadapi suatu fungsi periodik, kita bisa
mempertanyakan bagaimana komponen-komponen sinusoidalnya.
Bagaimana penyebaran amplitudo dan sudut fasa setiap komponen, atau
dengan singkat bagaimana spektrum fungsi tersebut. Kita juga
mempertanyakan bagaimana sebaran frekuensi dari komponen-
komponen tersebut.
23
Gb.7.4. Beberapa fungsi periodik.
Berikut ini kita akan melihat suatu contoh fungsi yang dinyatakan
dengan persamaan
( ) ( ) ( )tftftfy )4(2cos5,7)2(2sin152cos3010 000 π−π+π+=
Fungsi ini merupakan jumlah dari satu komponen konstan dan tiga
komponen sinus. Komponen konstan sering disebut komponen
berfrekuensi nol karena y(t) = A cos(2πft) = A jika f = 0. Komponen sinus yang pertama adalah komponen sinus dasar karena komponen
inilah yang mempunyai frekuensi paling rendah tetapi tidak nol. Suku
ketiga dan keempat adalah harmonisa ke-2 dan ke-4; harmonisa ke-3
tidak ada.
Fungsi ini dinyatakan dengan campuran fungsi sinus dan cosinus. Untuk
melihat bagaimana spektrum fungsi ini, kita harus menuliskan tiap suku
dengan bentuk yang sama yaitu bentuk normal (standar). Telah dikatakan
-4
1
-5 15
)4/)2(2cos(22cos31 00 πππ ++++−−−−++++==== tftfy
y
y = 1 + 3 cos 2f0t -4
0
4
-5 15 t
))2(2cos(22cos31 00 tftfy ππ −−−−++++====
y
t
- 4
0
4
- 5 15
y
y = 3 cos 2f0t -4
0
4
-5 15 t
24 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
di depan bahwa bentuk normal pernyataan fungsi sinusoidal adalah
menggunakan fungsi cosinus, yaitu )2cos( ϕ+π= ftAy .
Dengan menggunakan kesamaan
)2/2cos()2sin( π−π=π ftft dan )2cos()2cos( π+π=π− ftft
persamaan fungsi di atas dapat kita tulis
)42cos(5,7)2/22cos(15)2cos(3010 000 π+π+π−π+π+= tftftfy
Dalam pernyataan terakhir ini semua suku telah kita tuliskan dalam
bentuk standar, dan kita dapat melihat amplitudo dan sudut fasa dari tiap
komponen seperti dalam tabel berikut.
Frekuensi 0 f0 2 f0 4 f0
Amplitudo 10 30 15 7,5
Sudut fasa − 0 −π/2 π
Fungsi yang kita ambil sebagai cintoh mungkin merupakan pernyataan
suatu sinyal (dalam rangkaian listrik misalnya). Tabel ini menunjukkan
apa yang disebut sebagai spektrum dari sinyal yang diwakilinya. Suatu
spektrum sinyal menunjukkan bagaimana komposisi baik amplitudo
maupun sudut fasa dari semua komponen cosinus sebagai fungsi dari
frekuensi. Sinyal yang kita bahas ini berisi empat macam frekuensi, yaitu
: 0, f0 , 2f0 , dan 4f0. Amplitudo dari setiap frekuensi secara berturut-turut
adalah 10, 30, 15, dan 7,5 satuan (volt misalnya, jika ia adalah sinyal
tegangan). Sudut fasa dari komponen sinus yang berfrekuensi f0 , 2f0 dan
4f0 berturut turut adalah 0, −π/2, dan π radian.
Dari tabel tersebut di atas kita dapat menggambarkan dua grafik yaitu
grafik amplitudo dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagai fungsi
frekuensi. Grafik yang pertama kita sebut spektrum amplitudo (Gb.7.5.a)
dan grafik yang kedua kita sebut spektrum sudut fasa (Gb.7.5.b).
25
Gb.7.5.a. Spektrum Amplitudo
Gb.7.5.b. Spektrum sudut fasa.
Penguraian fungsi periodik menjadi penjumlahan harmonisa sinus, dapat
dilakukan untuk semua bentuk fungsi periodik dengan syarat tertentu.
Fungsi persegi misalnya, yang juga periodik, dapat diuraikan menjadi
jumlah harmonisa sinus. Empat suku pertama dari persamaan hasil uraian
fungsi persegi ini adalah sebagai berikut :
....)2/72cos(7
)2/52cos(5
+
)2/32cos(3
)2/2cos(
00
00
+π−π+π−π
π−π+π−π=
tfA
tfA
tfA
tfAy
Dari persamaan ini, terlihat bahwa semua harmonisa mempunyai sudut
fasa sama besar yaitu –π/2; amplitudonya menurun dengan meningkatnya frekuensi dengan faktor 1/n; tidak ada komponen konstan dan tidak ada
harmonisa genap. Tabel amplitudo dan sudut fasa adalah seperti berikut.
0
π/2
2π
0 1 2 3 4 5
Sudut Fasa
Frekuensi [×f0]
−π/2
−2π
0
10
20
30
40
0 1 2 3 4 5
Frekuensi [×f0]
Amplitudo
26 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Frekuensi: 0 f0 2f0 3f0 4f0 5f0 .. nf0
Amplitudo: 0 A 0 A/3 0 A/5 .. A/n
Sudut Fasa: - -π/2 - -π/2 - -π/2 .. -π/2
Gb.7.6. berikut ini memperlihatkan bagaimana fungsi persegi dibangun
dari harmonisa-harmonisanya.
a) b)
d)
c)
e)
Gb.7.10. Uraian fungsi persegi.
a). sinus dasar. b). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3.
c). harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5.
d). harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 +
harmonisa-7. e) hasil penjumlahan yang dilakukan sampai pada
harmonisa ke-21.
Lebar Pita. Dari contoh fungsi persegi di atas, terlihat bahwa dengan
menambahkan harmonisa-harmonisa pada sinus dasarnya kita akan
makin mendekati bentuk persegi. Penambahan ini dapat kita lakukan
terus sampai ke suatu harmonisa tinggi yang memberikan bentuk fungsi
yang kita anggap cukup memuaskan artinya cukup dekat dengan bentuk
yang kita inginkan.
Pada spektrum amplitudo, kita juga dapat melihat bahwa makin tinggi
frekuensi harmonisa akan makin rendah amplitudonya. Hal ini tidak
hanya berlaku untuk fungsi persegi saja melainkan berlaku secara umum.
Oleh karena itu secara umum kita dapat menetapkan suatu batas
27
frekuensi tertinggi dari suatu fungsi periodik, dengan menganggap
amplitudo harmonisa-harmonisa yang frekuensinya di atas frekuensi
tertinggi ini dapat diabaikan. Batas frekuensi tertinggi tersebut dapat kita
tetapkan, misalnya frekuensi harmonisa yang amplitudonya tinggal 2%
dari amplitudo sinus dasar.
Jika batas frekuensi tertinggi kita tetapkan, batas frekuensi terendah juga
perlu kita tetapkan. Batas frekuensi terendah adalah frekuensi sinus dasar
jika bentuk fungsi yang kita tinjau tidak mengandung komponen konstan.
Jika mengandung komponen konstan maka frekuensi terendah adalah
nol. Selisih dari frekuensi tertinggi dan terendah disebut lebar pita (band
width).
28 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Soal-Soal: Fungsi Sinus, Gabungan Sinus, Spektrum
1. Tentukan persamaan bentuk kurva fungsi sinus berikut ini
dalam format cosinus )cos( sxxAy −= :
a). Amplitudo 10, puncak pertama terjadi pada x = 0, frekuensi
siklus 10 siklus/skala.
b). Amplitudo 10, puncak pertama terjadi pada x = 0,02,
frekuensi siklus 10 siklus/skala.
c). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa 0o, frekuensi sudut 10
rad/skala.
d). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa +30o, frekuensi sudut
10 rad/skala.
2. Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungan
sinus berikut ini
80002sin2,0 40002cos220002sin54 ttty π+π−π+=
Dengan mengambil batas amplitudo harmonisa tertinggi 5%,
tentukan lebar pita fungsi ini.
3. Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut.
8000cos2 20002sin2-)6010002cos(3o
ttty π+π−π=
4. Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut.
5000cos02,01500cos2.0
500cos300cos2100cos10
tt
ttty
++
++=
5. Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut.
20002cos2,0 15002cos2
10002cos35002cos1010
tt
tty
π+π+
π+π+=
29
Referensi
1. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut
Teknologi Bandung, tahun 1963 – 1964, sebagai bahan utama tulisan
dalam buku ini.
2. George B Thomas, “Calculus And Analytic Geometry”, addison
Wesley, 1956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika
di ITB, tahun 1963 - 1964.
3. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB,
ISBN 979-9299-54-3, 2002.
4. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Elektrik”, e-book, 2010.
5. Sudaryatno Sudirham, “Mengenal Sifat Material 1”, e-book, 2010.