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Funções de Green
Prof. Rodrigo M. S. de Oliveira UFPA / PPGEE
Funções de Green
2
Suponha que queremos resolver a equação não-homogênea
no intervalo a ≤ x ≤ b, onde f (x) é uma função conhecida. As condições satisfeitas por y
são as mesmas satisfeitas pelas autofunções yn, relativas aos problemas de Sturm-Liouville
quando considerada a equação
Observar que
Como visto anteriormente, é conveniente trabalhar com autofunções normalizadas. Dessa
forma, podemos definir
de forma que
Como é um conjunto ortonormal, y(x) pode ser expressa em termos de
fn, ou seja,
Funções de Green
teríamos
Substituindo esta equação na equação diferencial não-homogênea, temos
Como
então
Multiplicando ambos os lados por e integrando (para usar ortogonalidade), temos
Funções de Green
Dada a ortogonalidade das funções f, temos, portanto, apenas uma parcela para a soma, ou
seja
a qual pode ser reescrita da seguinte forma
Portanto, a solução y(x) é dada por:
Como a função f(x) é conhecida, podemos calcular y(x) usando a expressão acima. Porém,
podemos introduzir agora uma função conceitualmente importante escrevendo a equação
acima de uma forma um pouco diferente: como a integral e o somatório podem ser
reposicionados, podemos escrever
Funções de Green
que podemos escrever assim:
Define-se então
que é conhecida por função de Green.
Significado da função de Green
Para entendermos o significado da função de Green, vamos substituí-la na equação diferencial
não-homogênea e verificar que, quando , temos
A função , chamada função Delta de Dirac, é definida pela relação
Funções de Green
Realizando a substituição da função de Green na equação diferencial, temos
Fazendo a expansão da função de Dirac, temos
Com:
Então:
Notar que:
entã
o
Funções de Green
A função de Green pode ser entendida da seguinte forma:
- Uma equação linear pode ser usada para representar um sistema físico. A função f(x)
representa a “força” ou a “fonte” aplicada ao sistema (entrada do sistema). A solução y(x)
representa a saída ou resposta do sistema a f(x).
-A função de Green G(x’,x) descreve a resposta do sistema físico à função delta de Dirac,
que representa um impulso aplicado no ponto x’ (magnitude unitária).
- Podemos representar a entrada f(x) pela soma de um conjunto de entradas.
Matematicamente, temos
- O valor de f(x’) é simplesmente a amplitude da função delta em x’. Como G(x’,x) é a
resposta a um delta unitário, se a amplitude da função delta é f(x’) vezes maior, a resposta
do sistema será f(x’) vezes amplificada, dada a linearidade da equação. Então a resposta
será f(x’)G(x’,x). Como o sistema é linear, podemos somar as respostas obtidas em cada
ponto. Assim, temos
Funções de Green
Exemplo: (a) determine a expansão em autofunções da função de Green G(x’,x) para o problema
(b) Encontre também a solução y(x) da equação não-homogênea dada. Utilize a relação
Inicialmente, vamos tratar do problema de autovalores de Sturm-Liouville relativo ao nosso
caso. O problema é dado por
que é um problema regular de Sturm-Liouville, pois
A solução da equação
é
A condição de contorno requer que de forma que
Solução:
Funções de Green
Então os autovalores são
E as autofunções são
As autofunções normalizadas são dadas por:
Portanto, a função de Green é dada por
(b) A solução y(x) é dada por Então, temos
Como
Funções de Green
Temos:
Exemplo: Resolva o problema dado no exemplo anterior usando a função de Green,
sabendo que ela é a resposta do sistema a uma entrada dada pela função Delta de Dirac
unitária.
Solução: como a função de Green é resposta do sistema a uma função Delta de Dirac
unitária, a mesma precisa ser limitada e contínua no intervalo de interesse. Para x ≠ x’,
considerando-se o presente problema, a função de Green satisfaz a equação
Funções de Green
cuja solução é dada por
Aqui, x é a variável independente e A(x’) e B(x’) são constantes arbitrárias, de forma que
estas constantes não necessariamente assumem valores iguais para x < x’ e x > x’ . Então,
podemos escrever
Como em , e como x’ > 0, então, para o primeiro caso, temos
Considerando o caso , de forma que
Então:
Funções de Green
Realizando as devidas substituições, para o caso em que temos portanto
Dessa forma, temos duas constantes a serem determinadas, mesmo após a aplicação das
condições de contorno.
Para determinar b e c, lembramos da condição de continuidade G(x’,x) em x = x’. Então
Então
Funções de Green
Substituindo a função de Green na equação , e integrando em um
pequeno intervalo, temos
A integral do lado direito é unitária por definição. Na medida em que
Esta integral é aproximadamente 2e vezes o valor de G(x’,x) em x = x’. Como G é
limitada, a integral se anula quando .
Para a outra integral, temos
Logo:
Funções de Green
então
ou
Como
Então
e a função de Green é dada por
Como ,
Cálculo de y
Funções de Green
Como
Então
Funções de Green
Notar que
.
Isto pode ser mostrado utilizando a série de Fourier.
Fica o exercício!
Funções de Green – Forma integral
Sabe-se que a equação
é relacionada a valores discretos de autovalores l. Em certos problemas, os autovalores de
um dado problema são separados por um infinitésimo (caso contínuo). No limite, a soma
dada acima se torna uma integral.
Considere a equação de Helmholtz para o espaço aberto,
sujeita às condições de contorno (radiação)
O conjunto ortonormal completo de autofunções é obtido a partir de
.
Como temos um problema de radiação de ondas, usamos a solução de ondas propagantes, ou seja
( x → ∞ ) ( x → – ∞ )
.
Considerando que o sinal de interesse se propaga para na direção +x, temos
em que representa a amplitude da referida onda.
A função de Green associada pode ser representada pela integral de Fourier
onde
Funções de Green – Forma integral
.
A transformada do impulso é
Então, o impulso pode ser escrito da seguinte forma
Funções de Green – Forma integral
Substituindo as equações
e
em
temos
Dessa forma, temos
e
Então:
Isto é uma integral complexa com singularidade em b = b0 !
Revisão – Cálculo de Integrais complexas com singularidades através de resíduos
1. Considere que C é um contorno fechado e que é analítica em C e na região interna a C.
Nestas condições, pode-se mostrar que
que é conhecido como teorema de Cauchy.
2. Considere a situação ilustrada pelas figuras abaixo. Temos
z0 é um ponto de singularidade do integrando.
Revisão – Cálculo de Integrais complexas com singularidades através de resíduos
Em C0, temos
Então
Como
Temos
Então
Fazendo
z
Revisão – Cálculo de Integrais complexas com singularidades através de resíduos
Portanto
Integral de Cauchy.
Diferenciação
Exemplo:
Então é fácil ver que
Revisão – Cálculo de Integrais complexas com singularidades através de resíduos
Exemplo: calcule a integral
em torno do círculo
O ponto de singularidade z0 = ½ está contido no círculo. Então
Exemplo: repetir o problema acima para a integral
O ponto de singularidade z0 = 2 não está contido no círculo | z | = 1. Então, é imediato que
Exemplo: calcule a integral
em torno do círculo .
O ponto de singularidade z0 = 2 está contido no círculo. Então, usando a regra da diferenciação
onde:
Logo
Ilustração para os dois últimos exemplos.
Revisão – Cálculo de Integrais complexas com singularidades através de resíduos
Regra da diferenciação:
e
Revisão – Cálculo de Integrais complexas com singularidades através de resíduos
Série Geométrica Elementar
Considere
Multiplicando por z
Subtraindo
Isolando S:
Quando e , então
Para
Revisão – Cálculo de Integrais complexas com singularidades através de resíduos
Série de Laurent
Considere o cálculo da integral
fechada considerando o caminho
estabelecido na Fig. (b). A idéia é
criar uma série válida no anel
indicado na Fig. (a). Assim:
Anel
onde t está na linha C’ e z está na região interna a C’. Deixe agora o “gap” entre C2 e C4
ir a zero. Então as integrais ao longo de C2 e C4 se cancelam, devido às orientações
opostas. Nesta situação, C1 se torna C0 e C3 é idêntico a Ci (invertendo-se a orientação).
Assim,
com C0 e Ci possuindo a mesma orientação (daí o sinal de menos).
Revisão – Cálculo de Integrais complexas com singularidades através de resíduos
Z0 pode ser introduzido na primeira integral se fizermos
onde ( veja a Figura (a) ):
Podemos então expandir em termos da série geométrica elementar. Assim
Para t em C0
2 3 4
Para a segunda integral, onde z está entre C0 e Ci , temos
Como , podemos novamente usar a série elementar. Assim, temos
Dessa forma, temos , onde
Uma forma alternativa da série (mais compacta) é
e
Então, podemos ver como a soma das seguintes séries:
com
onde
Revisão – Cálculo de Integrais complexas com singularidades através de resíduos
Definição de resíduo
Viu-se que
Se integrarmos ambos os lados da equação acima em um contorno circular, temos
Utilizando-se a forma polar dos números complexos, temos
Realizando as seguintes substituições, verifica-se que:
Então , por ser o único termo não nulo, é chamado resíduo de z0.
Exemplo:
Determinar o resíduo de relativo a .
A função já está na forma da série de Laurent. Observe que
com
Dessa forma,
Exemplo:
,
Para
.
, determinar: e
Exemplo:
Neste caso, devemos observar o seguinte. Como
então multiplicando ambos os lados por , temos
Aproximando de , temos que o resíduo de é
.
Então
e
Uso da derivada do denominador:
Se p(z) e q(z) são funções analíticas, e q(z) tem um zero simples em z0, e p(z0) ≠ 0, então:
tem um pólo simples em z = z0. Como q(z) é analítico, pode ser expresso em termos da
série de Taylor em torno de z0. Dessa forma,
Como q(z0) = 0, temos
Além disso, como f(z) tem um pólo simples em z0, seu resíduo em z0 é
Exemplo:
Levando o denominador a zero, temos
Cujas raízes são
Então, temos
Integrais impróprias: fechando o contorno com um semi-círculo no infinito.
Considere a integral imprópria
Sob certas condições, tal integral pode ser calculada com o teorema dos resíduos. A idéia
é fechar o contorno de integração utilizando linhas nas quais a integral é zero (ou um
múltiplo da integral original ao longo do eixo real).
Se f(x) é uma relação entre dois polinômios, sem singularidades no eixo real e
então pode ser mostrado que a integral ao longo do eixo real (de -∞ a +∞) é igual a
integral calculada no caminho, ilustrado na figura abaixo (de –R a R e no contorno CR).
Observe que se fizermos
então
Integrais impróprias: fechando o contorno com um semi-círculo no infinito.
Isto ocorre porque ou seja a função f não tem contribuição
no infinito).
Segue-se que
Obs: u.h.p = upper half plane.
Quando R → ∞, todos os poloz de f(z) estarão contidos no semi-plano superior. (u.h.p).
Então,
. (soma dos resíduos de f(z) no u.h.p.).
(soma dos resíduos de f(z) no l.h.p.).
Obs: l.h.p = lower half plane.
Podemos fechar o caminho usando o semi-plano inferior (l.h.f). Assim:
Exemplo: Calcule a integral
Como
Então podemos calcular a integral dada da seguinte forma:
Como os pólos da função dada são +i e –i, então nota-se que +i é o pólo que está
contido no u.h.p. Dessa forma,
Se fecharmos o caminho pelo l.h.p., temos (usando o pólo –i ):
Exemplo: Mostrar que
Os pontos singulares de são
Apenas os pontos estão no u.h.p. Então
Como
então
Funções de Green – Forma Fechada – Método Geral de Solução
Considere a equação diferencial
que pode ser posta da seguinte forma:
Sabe-se que
e que a função de Green G é solução de
Em um ponto x ≠ x’, sabe-se que d (x,x’) = 0. Assim, tem-se que:
.
Funções de Green – Forma Fechada – Método Geral de Solução
Integrando-se a penúltima equação em relação a x em torno de x’, temos
ou seja, integrando-se a primeira parcela e aplicando a definição de d (x,x’), tem-se
Dada a continuidade de q(x), r(x) e G(x,x’), verifica-se que a segunda parcela do lado
esquerdo se anula. Então
Funções de Green – Forma Fechada – Método Geral de Solução
Então, observa-se que a derivada de G é descontínua em x = x’ . Ou seja,
em um ponto x ≠ x’, sabe-se que d (x,x’) = 0. Assim, tem-se que:
Como
Considere que y1(x) é solução da equação homogênea acima e que ela satisfaz a condição de
contorno em x = a. Considere que y2(x) é solução da equação acima e satisfaz a condição
de contorno imposta em x = b. As soluções y1(x) e y2(x) são não triviais. Então
e
.
Funções de Green – Forma Fechada – Método Geral de Solução
Como a função de Green deve ser contínua em x = x’, temos:
Descontinuidade da derivada em x’
Resolvendo o sistema acima, tem-se:
onde
Então
Notar que y1 e y2
devem ser L.I.
(Wronskiano)
Funções de Green em problemas 2D
Considerar a equação de Poisson para o potencial elétrico V
sujeita às condições de contorno V = 0
(0,0)
(0,b) (a,b)
(a,0)
(V = 0 na borda da caixa)
,
x y
O objetivo aqui é calcular a função de Green G(x, y ; x’,y’) associada ao problema e,
posteriormente o potencial V. Então, neste caso, sabe-se que
onde
Obtida a função G(x, y ; x’,y’), o potencial será dado por
.
Forma fechada para G(x, y ; x’,y’).
Pode ser obtida a partir de funções que satisfazem as condições de contorno ao longo de
x=0 e x=a, ou ao longo de y=0 e y=b.
Considerando os contornos ao longo de x, podemos representar G em série de Fourier de
forma a satisfazer as condições de contorno para x=0 e x=a. Dessa forma,
.
Substituindo G na equação diferencial, temos
Multiplicando ambos os lados por e integrando em relação a x de 0 a a, temos
Notar que
Forma fechada para G(x, y ; x’,y’).
Equação homogênea:
para
para
Para a satisfazer a equação acima e as condições de contorno em y = 0 e em y = b, podemos
fazer a escolha
Então, o Wronskiano W = y1 y’2 – y2 y’1 fica da seguinte forma:
Forma fechada para G(x, y ; x’,y’).
Como:
então
Forma fechada para G(x, y ; x’,y’).
Como:
então
Há carga elétrica uniformemente distribuída ao longo de um fio condutor posicionado
em r = r , f = f . O fio é envolvido por um cilindro condutor de raio a, o qual possui
comprimento infinito e está aterrado (V = 0). Encontre a função de Green e a
distribuição de potencial. Considere que entre o fio e o cilindro há vácuo.
Parte-se da equação de Poisson (devido às cargas).
Devido ao cilindro metálico aterrado, tem-se a seguinte condição de contorno:
Como o fio e o cilindro têm comprimentos infinitos, V independe de z. Logo:
de forma que a função de Green G deve satisfazer à excitação impulsiva, ou seja
Vista superior
Exemplo
Exemplo Para se obter a função de Green em forma de série, o conjunto de autofunções {ym n(r, f)}
pode ser obtido considerando-se o seguinte problema:
com
Aplicando-se o método de separação de variáveis, tem-se que
Notar que:
Realizando as substituições, tem-se
e, dividindo-se a equação acima por fg, encontra-se
Exemplo Multiplicando-se a equação por r 2, chega-se a
Dessa forma, vê-se que se
então
e temos as seguintes soluções gerais para f e g :
Deve ser observado que B = 0, pois y = fg deve ser limitada ∀ r e que m = 0, 1, 2, 3 ....
Temos, portanto, duas possibilidades de solução:
Exemplo Aplicando-se a condição de contorno em r = a, os autovalores lmn podem obtidos.
Então, teríamos:
Portanto,
sendo os zeros da função de Bessel.
# Tabela 9-2 (Balanis) #
Exemplo O conjunto de autofunções deve ser normalizado se obter V. Então
ou
Como
e como
Então...
Exemplo Então temos
ou
onde
Dessa forma, o conjunto completo de autofunções pode ser escrito assim
ou assim
Considerando que
então, encontra-se por substituição direta:
Com
Exemplo
com
Por fim
e