FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA

LA ECONOMÍA

Manuel Úbeda Flores

Fundamentos matemáticos para la Economía

© Manuel Úbeda Flores

ISBN: 978-84-9948-495-2Depósito legal: A-770-2011

Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: 96 567 61 33C/ Decano, 4 – 03690 San Vicente (Alicante)www.ecu.fmecu@ecu.fm

Printed in SpainImprime: Imprenta Gamma. Telf.: 965 67 19 87C/ Cottolengo, 25 – 03690 San Vicente (Alicante)www.gamma.fmgamma@gamma.fm

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

Índice general

1. Funciones reales de variable real. Límites y continuidad 91.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Primeras definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1. Función real de variable real . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2. Monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3. Acotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.4. Extremos de una función . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3. Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5. Límites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1. Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6. Teoremas sobre funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . 241.7. Funciones económicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. Derivación de funciones reales de variable real 312.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2. Definición e interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . 322.3. Primeras derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.1. Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.2. Derivadas de algunas funciones elementales . . . . . . 34

2.4. Tasas de variación: marginalidad . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6. Teoremas fundamentales sobre derivación . . . . . . . . . . . 372.7. Crecimiento, extremos y concavidad . . . . . . . . . . . . . . 402.8. Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.9. La elasticidad de la demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.10. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

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3. Integración de funciones reales de variable real 513.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2. Primitivas de una función. Integral indefinida . . . . . . . . . . 513.3. Métodos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3.1. Integración inmediata: tabla de primitivas . . . . . . . 523.3.2. Integración por cambio de variable . . . . . . . . . . . 553.3.3. Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4. Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.1. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.2. Cálculo de integrales definidas . . . . . . . . . . . . . 58

3.5. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.6. Aplicaciones de las integrales (I): cálculo de áreas . . . . . . . 62

3.6.1. Área determinada por la gráfica de una función y eleje OX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.6.2. Área limitada por la gráfica de dos funciones . . . . . 623.7. Aplicaciones de las integrales (II): superávit de los consumi-

dores y de los productores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4. Series geométricas 714.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.3. Series geométricas. Cálculo de su suma . . . . . . . . . . . . 724.4. Ejemplos con aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5. Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales 755.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2.2. Tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2.3. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . 775.2.4. Inversa de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . 805.2.5. Traspuesta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2.6. Potencia entera de una matriz cuadrada . . . . . . . . 81

5.3. Transformaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.4. Determinantes de matrices cuadradas . . . . . . . . . . . . . . 83

5.4.1. Definición y cálculo de determinantes . . . . . . . . . 835.4.2. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . 84

4

5.5. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.5.1. Definiciones y discusión de sistemas . . . . . . . . . . 865.5.2. Métodos de resolución de sistemas . . . . . . . . . . . 88

5.6. Modelo input-output de Leontief . . . . . . . . . . . . . . . . 925.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6. Diagonalización de matrices cuadradas 1016.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.2. Definiciones y primeros resultados . . . . . . . . . . . . . . . 1016.3. Aplicaciones de la diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.3.1. Cálculo de potencias de matrices . . . . . . . . . . . . 1056.3.2. Sistemas dinámicos a lo largo del tiempo . . . . . . . 106

6.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7. Funciones reales de varias variables reales 1117.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.2. Primeras definiciones. Curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . 1117.3. Límites y continuidad en funciones de varias variables . . . . 1137.4. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.4.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.4.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.5. Extremos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.5.1. Extremos sin condicionamiento . . . . . . . . . . . . 1207.5.2. Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.6. Funciones homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.6.1. Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.6.2. Función de producción Cobb-Douglas . . . . . . . . . 123

7.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8. Bibliografía básica 129

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Prefacio

Este libro de texto está enfocado, fundamentalmente, como material do-cente de la asignatura de Matemáticas para los alumnos de los primeroscursos de los grados en: Administración y Dirección de Empresas; Eco-nomía; Finanzas y Contabilidad; y Marketing e Investigación de Mer-cados. El libro supone una buena herramienta de estudio encaminadaal aprendizaje de las Matemáticas y algunas de sus aplicaciones enla Economía, proporcionando problemas resueltos relacionados con lamateria. La obra está enfocada a la práctica, si bien aborda la teoríanecesaria para resolver los ejercicios; de hecho, no se proporcionan de-mostraciones teóricas de los principales resultados. Se recogen desdeproblemas básicos que sirven de introducción y comprensión de laslecciones teóricas, hasta ejercicios de mayor complejidad y profundidadaplicados, en muchas ocasiones, a situaciones reales. De esta manera, serecurre frecuentemente a enunciados de tipo económico y empresarialque muestran al lector la relación entre ambas ciencias. Se desarrollantemas clásicos del Análisis Matemático —funciones reales de variablereal, derivación e integración de funciones reales de variable real, seriesgeométricas y funciones reales de varias variables reales— y del Álge-bra Lineal —matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones linealesy diagonalización—. Al final de cada capítulo se proponen una serie deejercicios relacionados con el tema.

El autorAlmería, septiembre de 2011

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Capítulo 1

Funciones reales de variable real.Límites y continuidad

1.1. Introducción

Son muchos los ejemplos en los que el uso de funciones describe situa-ciones cotidianas: la función de posición de un móvil, su velocidad y ace-leración, etc. También puede ser interesante conocer el valor en torno al quetiende a estabilizarse en el límite una función de beneficios o de costes, unadeterminada población de animales, etc. El siguiente problema muestra la uti-lidad del estudio detallado de las funciones de una variable.

Problema 1 Un agricultor desea adquirir cierto tipo de abono para sus planta-ciones. La industria que lo vende tiene la siguiente política de precios: paralos primeros 100 kg, el precio es de 0,30 euros el kg; a partir de 100 kg elprecio baja a 0,26 euros; a partir de 1000 kg el precio desciende a 0,20 euros.

a) Determinar la función de coste C(x) que a un número x de kg le aso-cia la cantidad que el agricultor debe pagar por ella C(x) (en una solacompra).

b) ¿Cuánto le costaría al agricultor comprar 990 kg?

c) Si el agricultor quiere comprar tantos kg como pueda, y dispone de 800euros, ¿cuántos kg de abono comprará?

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1.2. Primeras definiciones

1.2.1. Función real de variable realDefinición 1 Una función real de variable real f : A −→ R es una apli-cación que asigna a cada punto x ∈ A ⊆ R el valor f(x) ∈ R. A la variablex se le denomina variable independiente, mientras que a la y se le llamavariable dependiente.

Definición 2 Se define el dominio de una función real de variable real f co-mo el conjunto

Dom(f) = {x ∈ A : existe f(x)}.

Ejemplo 1 Determine el dominio de la función f(x) =x− 1

x2 + x− 2.

El dominio de la función f es el conjunto formado por todos los númerosreales que no anulan el denominador. Como las dos raíces (reales) de laecuación x2 + x − 2 = 0 son x = 1 y x = −2, tenemos que Dom(f) =R− {−2, 1}.

Definición 3 Se define la imagen de una función real de variable real f comoel conjunto

Im(f) = {y ∈ R : existe x ∈ A, con f(x) = y}.Ejemplo 2 Dada la función g(x) = x2, al ser el cuadrado de cualquiernúmero un valor positivo (incluido el cero), se tiene que Im(g) = [0, +∞).

Definición 4 La gráfica de una función real de variable real f es el conjunto

Graf(f) = {(x, y) ∈ R2 : y = f(x)}.(Véase figura 1.1).

1.2.2. MonotoníaDefinición 5 Una función f : A −→ R es monótona creciente (decreciente)en el intervalo (a, b) ⊆ A si para todo x1 y x2 de (a, b) tales que x1 < x2,entonces f(x1) ≤ f(x2) (f(x1) ≥ f(x2)). La función es estrictamentecreciente (decreciente) cuando se produce la desigualdad estricta, esto es,f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).

En la figura 1.2 vemos un ejemplo sobre los intervalos de crecimiento ydecrecimiento de una función.

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Eje de ordenadas

Eje de abscisas

f(x)

(a,b)

a

b=f(a)

X

Y

Figura 1.1: Gráfica de una función

a b c

decreciente creciente

Figura 1.2: Ejemplo de crecimiento y decrecimiento de una función

1.2.3. Acotación

Definición 6 Una función f : A −→ R está acotada superiormente (infe-riormente) si existe M ∈ R (m ∈ R) tal que f(x) ≤ M (f(x) ≥ m) paratodo x ∈ A. La función f está acotada si lo está superior e inferiormente.

En la figura 1.3 se ven algunos ejemplos de gráficas de funciones acotadasen sus distintos tipos.

1.2.4. Extremos de una función

Definición 7 Una función f tiene un mínimo local o relativo en el punto x0

si existe un δ > 0 tal que f(x0) ≤ f(x) para todo x ∈ (x0 − δ, x0 + δ); es

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Función acotada

superiormenteinferiormente

Función acotada Función acotada

Figura 1.3: Ejemplos de funciones acotadas

decir, en x0 la función pasa de decreciente a creciente.

Definición 8 Una función f tiene un máximo local o relativo en el punto x0

si existe un δ > 0 tal que f(x0) ≥ f(x) para todo x ∈ (x0 − δ, x0 + δ); esdecir, en x0 la función pasa de creciente a decreciente.

Definición 9 Una función f(x) tiene en el punto x0 un mínimo absoluto oglobal si se verifica que f(x0) ≤ f(x) para todos los valores x del dominiode la función.

Definición 10 Una función f(x) tiene en el punto x0 un máximo absoluto oglobal si se verifica que f(x0) ≥ f(x) para todos los valores x del dominiode la función.

En la figura 1.4 se aportan algunas gráficas con distintos máximos o mí-nimos.

máximo

mínimo

nirelativo

x1 2

globalni

máximo

mínimo

mínimo

relativo

x

Figura 1.4: Ejemplos de existencia de máximos y mínimos

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1.3. Funciones elementales• Función polinómica:

f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0,

donde ai ∈ R, n ∈ IN.

• Función racional:f(x) =

p(x)

q(x),

donde p(x) y q(x) son funciones polinómicas.

• Funciones trigonométricas:

f(x) = sen(x), g(x) = cos(x), h(x) = tg(x)

j(x) = cosec(x), k(x) = sec(x), l(x) = cotg(x)

m(x) = arcsen(x), n(x) = arc cos(x), n(x) = arctg(x), etc.

• Función exponencial:f(x) = ax,

donde a > 0. En particular, si a = e ≈ 2,71 entonces f(x) = ex.

• Función logarítmica:f(x) = loga(x),

siendo el dominio A ⊆ R+ − {0}, y a > 0 con a 6= 1. En particular, sia = e entonces f(x) = ln(x) (función logaritmo neperiano).

• Función irracional:

f(x) = n√

xp = xp/n,

siendo n y p dos números naturales.

• Función valor absoluto:

|x| ={

x si x ≥ 0

−x si x < 0.

• Funciones definidas a trozos: Son funciones definidas con distintas ex-presiones según el intervalo considerado. Por ejemplo, la función valorabsoluto.

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1.4. Operaciones con funcionesDefinición 11 Dadas dos funciones f y g con dominio común D, y c ∈ R, sedefine:

? Suma de f y g: (f + g)(x) = f(x) + g(x).

? Producto de f por un escalar: (c ·f)(x) = c ·f(x).

? Producto de f y g: (f ·g)(x) = f(x)·g(x).

? Cociente de f y g:(

f

g

)(x) =

f(x)

g(x), siempre que g(x) 6= 0.

Definición 12 Dadas dos funciones f : A −→ R y g : B −→ R tales queIm(f) ⊆ Dom(g), se define la composición de f y g, y se denota (g ◦ f),como la función definida por

(g ◦ f)(x) = g(f(x)).

I En general, la composición de funciones no es conmutativa.

Ejemplo 3 Dadas las funciones f(x) = x + 1 y g(x) = x2, se tiene:

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)2

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = x2 + 1.

1.5. Límites y continuidad

1.5.1. Límites

Definición 13 Dada una función f definida en un intervalo [a, b] y un puntox0 ∈ (a, b), se dice que la función f tiene límite L ∈ R en el punto x0, y sedenota

lımx→x0

f(x) = L,

si para todo ε > 0, existe δ(ε) > 0 tal que si 0 < |x − x0| < δ, entonces|f(x)− L| < ε.

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