fundamentos del álgebra lineal. sistemas de ecuaciones ... · trabajar con los conjuntos y los...

Tema 1

Fundamentos del álgebralineal. Sistemas deecuaciones lineales

© Universidad Internacional de La Rioja (U

NIR)

Índice

Esquema 3

Ideas clave 4

1.1. Introducción y objetivos 4

1.2. Nociones matemáticas básicas 5

1.3. Álgebra lineal 14

1.4. Sistemas de ecuaciones lineales 23

1.5. Actividades resueltas para practicar 24

1.6. Referencias bibliográficas 30

A fondo 31

Test 33

Tema 1. Esquema 3


NIR)

Esquema

FUNDAMEN

TOS DE ÁLG

EBRA LINEA

L

ÁLGEBRA LIN

EAL

NOCIO

NES M

ATEMÁTIC

AS

BÁSIC

AS

▶Notación matemática

▶Números reales

▶Teoría de conjuntos

Sistem

a de ecuaciones lineales:

▶Compatibles

▶Incompatibles: determ

inados e

indeterminados

Vectores:

▶Operativa: suma, diferencia,

productor por un escalar, etc.

▶Propiedades: distancia y

ortogonalidad

Tema 1. Ideas clave 4


NIR)

Ideas clave

1.1. Introducción y objetivos

ste primer tema aprovecharemos para revisar unas nociones básicas

matemáticas que serán de utilidad, no solo en la asignatura de Matemáticas

Empresariales, sino en diferentes asignaturas que se cursarán en este

grado.

Lo primero que debes saber de las matemáticas es que estas tienen su propio

lenguaje, es a lo que nos referimos con notación matemática, y aprenderlo te será

útil para poder simplificar cálculos y enunciados de los problemas a resolver. Por otro

lado, debes recordar que lo números con los que trabajamos forman parte de un

conjunto al que denominamos conjunto de los números reales. Al comprender esto

estarás preparado para comenzar a operar y, por tanto, a trabajar con este conjunto

de números.

Los números en la esfera empresarial se relacionarán con datos, posiblemente el

registro de observaciones sobre tu propia empresa (unidades vendidas, registros de

salarios…). Es fundamental que relaciones ambos conceptos: el cálculo numérico con

el tipo de números (datos) que vas utilizar en tu día a día y, para ello, trataremos de

mostrarte ejemplos de datos o valores numéricos que te serán familiares.

En este tema, comprendidas las nociones básicas de matemáticas que acabamos de

comentar, vamos a utilizar una parte concreta de la denominada álgebra para

ayudarte a ordenar y operar con dichos valores numéricos. Nos referimos a los

vectores, matrices y sistemas de ecuaciones, los cuales te servirán no solo para

ordenar la información numérica de la que dispones, sino también para poder operar

con dicha información, pudiendo así resolver de modo sencillo determinados

problemas de relaciones de datos.

E



NIR)

Así, utilizando terminología matemática, estructuramos el tema del siguiente modo:

Nociones matemáticas básicas.

Álgebra lineal. Vectores.

Sistemas de ecuaciones.

Los objetivos que se pretenden conseguir en este tema son:

Entender los símbolos matemáticos.

Trabajar con los conjuntos y los elementos que pertenecen a un conjunto.

Saber operar con los vectores.

Conocer las propiedades de los vectores.

1.2. Nociones matemáticas básicas

n estas nociones trataremos la notación matemática, el conjunto de los

números reales y una revisión de la teoría de conjuntos.

En este apartado se revisarán algunos conceptos matemáticos básicos y necesarios,

aunque no suficientes, para una asimilación adecuada de los diferentes conceptos

matemáticos que se tratarán en los diferentes temas de esta asignatura.

E



NIR)

Notación matemática

Las matemáticas poseen un lenguaje específico propio para determinar de forma

exacta su información para evitar ambigüedades que lleven a error y/o confusión. El

lenguaje matemático tiene como objetivo simplificar y clarificar la comunicación

mediante una notación y estructura precisa y determinada para evitar así posibles

errores y/o equívocos.

Cuando hablamos de lenguaje matemático no sólo nos referimos a los símbolos, sino

también a su estructura y metodología de representación de sus contenidos.

Los símbolos se representan por caracteres gráficos únicos (∃, ∈, ∅, ∞, ≈, ∀, ∄, ∆,

R, Q, N, ∪, ∧, ∪, ∩, ≠, ≱, ∉, ⊂, ⊃, ∑, ∫, ∏, ∘, …) denominados logogramas. Estos

símbolos poseen un significado único y concreto careciendo de sinónimos, salvo

en muy contadas excepciones.

Los contenidos matemáticos se representan mediante expresiones formales

denominadas Definición, Proposición, Teorema, Corolario, Lema, Demostración…

Entre los logogramas básicos utilizados durante al desarrollo de la presente

asignatura tenemos las siguientes:

LOGOGRAMA SIGNIFICADO

Conjunto de los números naturales

Conjunto de los números enteros

ℚ Conjunto de los números racionales

Conjunto de los números reales

Conjunto de los números complejos



NIR)

Igual a…

Mayor que…

Mayor o igual que…

Menor que…

Menor o igual que…

Aproximado a…

Distinto de…

∞ Infinito

∅ Conjunto vacío

| | Valor absoluto de

Conjunto de elementos…

, Intervalo abierto entre y : excluye ambos extremos

, Intervalo cerrado entre y : incluye ambos

extremos

∈ Pertenece a…, es miembro de…

∉ No pertenece a…, no es miembro de…

∪ Unión de…

∩ Intersección de…

∖ Diferencia de conjuntos

⊂ Subconjunto de…

⊃ Supraconjunto de…

⟹ Implicación: por lo tanto…

⟺ Doble implicación: si, y sólo si…

∧ Y lógico



NIR)

∨ O lógico

∀ Para todo…

∃ Existe al menos uno…

∃! Existe y es único…

∄ No existe

| Tal que…

: Tal que…

Función de una variable real: ∈

, Función de dos variables reales: , ∈

, , … , Función de variables reales: , , … , ∈

! Factorial

Sumatorio

Productorio

⟶ Tiende a…

→ Límite de una función , cuando tiende a

∆ Incremento

Derivada de la función real

Derivada segunda de la función real

Derivada de una función real

, , … Derivada parcial de la función real , , …

∙ Integral de la función real con respecto a la

variable

Épsilon: valor infinitesimal independiente

Delta: valor infinitesimal dependiente



NIR)

⋮ Vector columna de dimensiones

, , … , Vector fila de dimensiones

…

…

…

… ……

…

…

Matriz de elementos: filas por columnas

…

…

…

… ……

…

…

Determinante de elementos

… Elipsis horizontal

⋮ Elipsis vertical

Nota: en el vídeo sobre operadores matemáticos encontrarás ejemplos de la simbología

del lenguaje matemático que te ayudarán a entender los operadores.

Accede al vídeo a través del aula virtual

Sistemas de los números reales

Durante la presente asignatura, nos centraremos en el desarrollo de operaciones

matemáticas, cálculo y álgebra, dentro de lo que denominamos conjunto de los

números reales .



NIR)

Simplificando su concepto, podríamos decir que los números reales son todos

aquellos que se pueden representar físicamente sobre un espacio unidimensional,

o lo que es lo mismo, a lo largo de una línea recta, que denominaremos Recta Real.

Figura 1. Recta Real

En la figura anterior comprobamos cómo se representar valores numéricos sobre la

Recta Real.

Como subconjuntos de los números reales , nos encontramos con los siguientes

conjuntos:

Números naturales : conjunto de los números enteros positivos:

, , , , …

Números enteros : conjunto de los números enteros:

… , , , , , , , , …

Números racionales ℚ : conjunto de los números que pueden representarte

mediante un cociente de números enteros :

ℚ … , , … , , … , , … , , … , , , … , , …

Adicionalmente a los conjuntos anteriores, los números reales incluyen todas

aquellas fracciones decimales arbitrarias existentes entre dos números racionales

ℚ cualesquiera, por ejemplo, los números , , √ , o cualquier otro que

pudiéramos definir según nuestro libre albedrío.



NIR)

Al conjunto de los números reales positivos lo representaremos como .

Igualmente, el conjunto de los números reales negativos lo representaremos

como .

Teoría de conjuntos

Denominamos conjunto matemático a un grupo y/o colección de elementos

perfectamente definidos y que representan una o varias propiedades en común.

Entender la teoría de conjuntos es fundamental para el desarrollo de las aplicaciones

matemáticas. De manera intuitiva es fácilmente representable cuando manejamos

espacios de hasta tres variables. Sin embargo, la teoría matemática los estudia

multidimensionalmente, siendo n el número de variables teórico habitual. En este

apartado trataremos únicamente las principales características de pertenencia y

operatividad de conjuntos.

Pertenencia a un conjunto

Supongamos el conjunto de los ingresos y gastos de una empresa, , y definamos sus

ingresos como y sus gastos como , en donde definimos y como números

naturales que representan el orden de los distintos tipos de ingresos y gastos

respectivamente. El conjunto de ingresos y gastos de la empresa se define como:

, , . . , , , . .

O lo que es lo mismo:

, ∶ , ∈



NIR)

Para definir los elementos de un conjunto se utiliza la notación y para indicar la

pertenencia de un elemento al conjunto utilizaremos la siguiente expresión:

∈

En el caso que un elemento no pertenezca al conjunto se notará como:

∉

En el ejemplo anterior, definiremos dos nuevos conjuntos en función de su

característica como ingreso o gasto, de la siguiente forma:

∶ ∈ y ∶ ∈

De donde podemos deducir las siguientes relaciones de pertenencia:

∈

∈

∉

∉

Subconjuntos

Siguiendo con el ejemplo del apartado anterior, podemos identificar a y a

como subconjuntos de que representaremos como:

⊂ y ⊂



NIR)

Como regla general, diremos que un conjunto A es subconjunto de otro B si se verifica

que cualquier elemento del conjunto A es también elemento del conjunto B. Lo que

representaremos como:

⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈

Podemos verificar fácilmente como en nuestro ejemplo particular cualquier

elemento de y de están incluidos en , con lo que ambos conjuntos

cumplen con la condición de ser subconjuntos de .

Operaciones con conjuntos

Aunque se podrían combinar diferentes conjuntos de maneras muy variadas,

plantearemos solo tres operaciones básicas: la unión, la intersección y la diferencia.

Estas operaciones se definen respectivamente como:

∪ ∶ ∈ ∨ ∈

∩ ∶ ∈ ∧ ∈

∖ ∶ ∈ ∧ ∉

Aplicando dichas definiciones a nuestro ejemplo obtenemos los siguientes

resultados:

∪ y ∩ ∅

La intersección de nuestros conjuntos da como resultado el conjunto vacío debido a

la definición de ambos que hicimos inicialmente.

Ejemplo

Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, B = {2, 4, 6, 8, 10}, C = {1, 2, 3, 4,5}

y D = {1, 3, 5, 7, 9}.



NIR)

∪ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10

∩ 2, 4

∖ 6, 7, 8, 9, 10

∪ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

1.3. Álgebra lineal

a mayoría de los modelos matemáticos se fundamentan en ecuaciones

lineales, a veces muy complejas, que habrá que resolver para extraer

conclusiones y decisiones. Los fundamentos matemáticos para estos cálculos

son tratados en una parte del álgebra matemática. Es por eso que en este apartado

trataremos algunas nociones básicas del álgebra lineal. En particular nos centraremos

en el estudio de los vectores, las matrices y los determinantes.

Nota: en el recurso titulado Álgebra lineal y sus aplicaciones encontrarás explicadas

las aplicaciones del álgebra lineal a la economía y la empresa.

Vectores

Denominaremos vector a un conjunto ordenado de elementos reales y lo

representaremos con una flecha sobre el nombre del vector:

Los vectores los podremos representar indistintamente en forma de fila; vector fila:

, , , … ,

L



NIR)

También se puede representar en forma de columna; vector columna:

⋮

Los elementos de un vector se denominan componentes o coordenadas y

denominaremos dimensión al número de componentes del vector. Como ejemplo,

los términos independientes del sistema de ecuaciones lineales anterior constituyen

un vector de dimensión .

⋮

Ejemplo

Dado el vector 1, 2, 3, 1 es un vector fila de dimensión 4. También podemos

expresarlo en forma de columna:

1231

Operaciones con vectores

Igualdad:

Diremos que dos vectores y son iguales si poseen idéntica dimensión y los

valores cada uno de sus componentes son idénticos para las mismas posiciones:

⟺ ∀ ∈ ∧ ∀ ∈ ,



NIR)

⋮ ⋮⟺ , ∀ …

Suma:

La suma de vectores se realiza sumando los valores de sus componentes, o

coordenadas, para cada posición correspondiente:

⟺ ∀ ∈ ∧ ∀ ∈ ∃ ∈ | ∀ …

⋮ ⋮ ⋮

Ejemplo

Sean dos vectores 1, 2, 3, 1 1, 4, 0, 3 la suma resulta:

1, 2, 3, 1 1, 4, 0, 3 0, 2, 3, 2

Diferencia:

De forma análoga a la suma, la sustracción de vectores se realiza restando los

valores de sus componentes, o coordenadas, para cada posición correspondiente:

⟺ ∀ ∈ ∧ ∀ ∈ ∃ ∈ | ∀ …

⋮ ⋮ ⋮



NIR)

La diferencia de dos vectores idénticos nos dará como resultado el vector nulo:

⟺ ∀ ∈ ∧ ∀ ∈ , ∀ …

⋮ ⋮ ⋮⟺ , ∀ ,… ,

Ejemplo

Sean dos vectores 1, 2, 3, 1 1, 4, 0, 3 la diferencia resulta:

1, 2, 3, 1 1, 4, 0, 3 2, 6, 3, 4

Producto por un escalar:

El producto de un número real por un vector se realiza multiplicando cada

componente del vector por dicho número real:

∙ ⟺ ∀ ∈ ∧ ∈ ∃ ∈ | ∙ ∀ …

∙⋮

∙∙∙⋮∙

Se denomina producto por un escalar debido a que el vector se redimensiona o

escala en función del factor señalado por el número real.



NIR)

Ejemplo

Sean un escalar 3 el vector 1, 2, 3, 1 el producto del vector por

un escalar resulta:

3 1, 2, 3, 1 3,6, 9, 3

Producto escalar:

La suma, la diferencia y el producto por un escalar de vectores nos proporciona un

nuevo vector de la misma dimensión. Sin embargo, el producto escalar de vectores

de idéntica dimensión nos va a proporcionar un número real, no un nuevo vector.

Definimos el producto escalar de vectores de la misma dimensión como la suma de

los productos de cada uno de los componentes de una misma posición:

∙ ⟺ ∀ ∈ ∧ ∀ ∈ ∃ ∈ | ∙ , ∀ …

⋮∙

⋮∙

Ejemplo

Sean dos vectores 1, 2, 3, 1 1, 4, 0, 3 el producto escalar de

los vectores es:

1, 2, 3, 1 1, 4, 0, 3

1 1 2 4 3 0 1 3 1 8 0 3 12



NIR)

Propiedades de los vectores

Norma de un vector:

Se define norma o longitud de un vector , y lo representamos por ‖ ‖, a la raíz

cuadrada de su propio producto escalar:

‖ ‖ ∙ ∙

Ejemplo

Sea el vector 1, 2, 3, 1 la norma del vector es:

‖ ‖ ∙ 1, 2, 3, 1 1, 2, 3, 1 √1 4 9 1 √15

Distancia euclídea:

El valor de la distancia entre dos vectores, también llamada distancia euclídea, se

define por la norma de su diferencia:

∙



NIR)

Ejemplo

Sean dos vectores 1, 2, 3, 1 1, 4, 0, 3 calculamos la distancia

euclídea:

1, 2, 3, 1 1, 4, 0, 3 2, 6,3, 4

√4 36 9 16 √65

Ortogonalidad:

Dos vectores son ortogonales, forman un ángulo de 90° entre sí, cuando su

producto escalar es nulo:

⟺ ∙

Ejemplo

Sean dos vectores 1, 2, 1 2, 1, 0 vamos a comprobar la

ortogonalidad:

1, 2, 1 2, 1, 0 2 2 0 0

Los vectores son ortogonales.

Vector unitario:

Un determinado vector será unitario si su norma vale 1:

⟺ ‖ ‖



NIR)

Cualquier vector de norma no nula podrá convertirse en unitario si lo dividimos

por su norma:

⟹‖ ‖

Ejemplo

Sea el vector 1, 2, 3, 1 la norma del vector es:

‖ ‖ ∙ 1, 2, 3, 1 1, 2, 3, 1 √1 4 9 1 √15

Para obtener el vector unitario del vector a hacemos:

‖ ‖1, 2, 3, 1

√15

1

√15,

2

√15,√15

,1

√15

Comprobamos que se trata de un vector unitario:

‖ ‖ ‖ ‖∙‖ ‖

1

√15,

2

√15,3

√15,

1

√15

1

√15,

2

√15,3

√15,

1

√15

115

415

915

115

1515

1

Desigualdad de Cauchy‐Schwartz:

Se puede verificar que para cada par de vectores y se cumple:

∙ ‖ ‖ ∙



NIR)

Ejemplo

Sean dos vectores 1, 2, 1 2, 1, 0 vamos a comprobar la

desigualdad de Cauchy‐Schwartz:

∙ ‖ ‖ ∙ ⇒ | 1, 2, 1 2, 1, 0 | ‖ 1, 2, 1 ‖ ∙ ‖ 2, 1, 0 ‖ ⇒

0 √6 √5 √30

Se cumple la desigualdad.

Triángulo de Minkowsky:

Como consecuencia de la desigualdad de Cauchy‐Schwartz se puede verificar que

para cada par de vectores y se cumple:

‖ ‖

Ejemplo

Con los mismos vectores del ejercicio anterior vamos a comprobar la desigualdad

del Triángulo de Minkowsky:

‖ ‖

⇒ ‖ 1, 2, 1 2, 1, 0 ‖ ‖ 1, 2, 1 ‖ ‖ 2, 1, 0 ‖ ⇒

‖ 3, 3,1 ‖ ‖ 1, 2, 1 ‖ ‖ 2, 1, 0 ‖

√19 √6 √5 √30

Se cumple la desigualdad.

Nota: en el recurso titulado Operaciones con vectores encontrarás varios ejercicios

resueltos de las operaciones con vectores que hemos desarrollado en este apartado.



NIR)

1.4. Sistemas de ecuaciones lineales

enominaremos ecuación lineal con incógnitas a una expresión

matemática del tipo:

∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙

En donde los valores , con , representan los coeficientes de las incógnitas

y al valor representa el término independiente de la ecuación lineal.

Diremos que una colección de términos , , , … , , es solución de la

ecuación lineal anterior si se verifica la igualdad: ∙ ∙ ∙ ⋯

∙ ∙

Si el término independiente es nulo, se dice que la ecuación lineal es homogénea.

En caso contrario se dirá que es no homogénea.

Un sistema de ecuaciones lineales se suele expresar como un conjunto de

ecuaciones con incógnitas cada una, que implica la existencia de

coeficientes reales y de términos independientes :

∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙

∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙

∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙

⋮

∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙

∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙

Todos y cada uno de los coeficientes está perfectamente ordenado, ya que

pertenece exclusivamente a la ‐ésima incógnita ( ) de la ‐ésima ecuación.

D



NIR)

Se dice que un conjunto ordenado , , , … , , es una solución al sistema

si se verifica que sustituyendo , , , … , ∧

en todas las ecuaciones simultáneamente, se verifican todas las igualdades del

sistema. Si el sistema posee solución se le denomina sistema compatible. En caso

contrario, se le denomina sistema incompatible.

A los sistemas compatibles con solución única les denominaremos sistemas

compatibles determinados mientras que a los que posean infinitas soluciones les

denominaremos sistemas compatibles indeterminados.

Un sistema de ecuaciones lineales se denominará homogéneo si todos sus términos

independientes son nulos , ∀ … . En caso contrario el sistema será no

homogéneo.

Una vez se hayan estudiado matrices y determinantes, analizaremos algunos

métodos para resolver los sistemas de ecuaciones lineales.

Nota: en el recurso titulado Sistemas de ecuaciones. Aplicación empresarial y

financiera encontrarás muchos ejemplos prácticos de la resolución de sistemas de

ecuaciones en modelos empresariales y financieros.

1.5. Actividades resueltas para practicar

Actividad 1

Sean los vectores:

3, 1 , 2, 2



NIR)

12,32,

√52,√63

Calcular las siguientes sumas y restas:

, 2

,

La suma se calcula sumando coordenada a coordenada:

3, 1 2, 2

3 2, 1 2

1, 3

En la siguiente suma tenemos el producto de un vector por un escalar. El escalar pasa

multiplicando a las dos coordenadas del vector:

2 3, 1 212,32

3, 1 212, 2

32

3, 1 1,3

3 1, 1 3

4,2

La siguiente suma es:

3, 1√52,√63

3√52,√63

1



NIR)

Finalmente, tenemos que calcular una resta, pero podemos verla como una suma de

una vector y un vector multiplicado por el escalar ‐1:

1

12,32

2, 2

12,32

2,2

12

2,32

2

12,42,32,42

52,72

Actividad 2

Sean los vectores:

2, 5

1, 3

0, 1

1, 0

Calcular los siguientes productos escalares:

, ,

, ,

Recordamos que podemos calcular el producto escalar de dos vectores multiplicando

sus coordenadas:

, ,



NIR)

El primer producto es:

2, 5 1, 3

2 1 5 3

2 15 13

El segundo producto es:

2, 5 0, 1

2 0 5 1

5

El tercer producto es:

2, 5 1,0

2 1 5 0

2

El cuarto producto es:

1, 3 1, 3

1 1 3 3

2

El quinto producto es:

0, 1 1,0

0 1 1 0

0



NIR)

Por último, el sexto producto es:

0

Aquí hemos aplicado la propiedad conmutativa del producto escalar de vectores.

Actividad 3

Calcular el módulo de los siguientes vectores del plano:

0, 2 , 2, 0

2,0 , 0, 2

√2, √2

¿Un vector queda determinado por su módulo? Es decir, si dos vectores tienen el

mismo módulo, ¿son el mismo vector?

Calculamos el módulo del primer vector:

0, 2

| | 0 2

√4 2

Calculamos el módulo del segundo vector:

2, 0

| | 2 0

√4 2



NIR)

Calculamos el módulo del tercer vector:

2, 0

| | 2 0

√4 2

Calculamos el módulo del cuarto vector:

0, 2

0 2

√4 2

Calculamos el módulo del quinto vector:

√2, √2

| | √2 √2

√2 2

√4 2



NIR)

1.6. Referencias bibliográficas

Barbolla R. y Sanz P. (1998). Álgebra lineal y teoría de matrices. Madrid: Prentice Hall.

Ecobar, D. Introducción a la economía matemática. Bogotá: Universidad de los Andes.

Fraleigh, J. B. y Beauregard. (1995). Linear algebra. Boston: Addison Wesley.

Grossman, S. (1992). Álgebra lineal. Madrid: McGraw‐Hill.

Grossman, S. (2008). Álgebra lineal y aplicaciones. Madrid: McGraw‐Hill.

Haeussler, E. F. (2008). Matemáticas para administración y economía. México D. F.:

Pearson Prentice Hall.

Hill, R. (1997). Álgebra lineal elemental. México D. F.: Pearson Prentice Hall.

Kolman, B. (2005). Álgebra lineal con aplicaciones y Matlab. México D. F.: Prentice

Hall.

Weber, J. (1982). Matemáticas para administración y economía. México D. F.:

Ediciones Harla.

Tema 1. A fondo 31


NIR)

A fondo

Álgebra lineal y sus aplicaciones

Lay, D.C. (2007). Álgebra lineal y sus aplicaciones. México D.F.: Pearson Educación.

Lee el primer capítulo (1‐104) que trata de los fundamentos

teóricos y aplicación de los conceptos estudiados en el tema a

situaciones reales en el ámbito de la economía, la empresa y la

ingeniería.

Operaciones con vectores

Apuntes sobre álgebra lineal del profesor Alfredo Bautista Santa‐Cruz en la

Universidad Autónoma de Madrid.

Accede al documento a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web:

https://www.vitutor.com/geo/vec/b_2.html

Tema 1. A fondo 32


NIR)

Sistemas de ecuaciones. Aplicación empresarial y financiera

Canós, M. J., Ivorra, C. & Liern, V. (2001). Matemáticas para la economía y la empresa.

Universidad de Valencia.

Apuntes sobre modelos matemáticos asociados al planteamiento de sistemas en

modelos de economía y empresa. También encontrarás información sobre el álgebra

de matrices y determinantes, así como la resolución de sistemas matriciales que

veremos en los temas siguientes.

Accede al documento a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web:

https://www.uv.es/vbolos/docencia/mi/matematicas_para_la_economia_y_la_em

presa.pdf

Tema 1. Test 33


NIR)

Test

1. Indicar la expresión correcta para la expresión “para cualquier valor infinitesimal

positivo existe algún valor infinitesimal positivo tal que el valor absoluto de la

diferencia de dos puntos e del dominio de definición de una función es

menor que implica que el valor absoluto de la diferencia de sus imágenes es

inferior a ”:

A. ∀ 0 ∧ ∃ 0: | | ⟺ | | .

B. ∀ 0∃ 0: | | ⟹ | | .

C. ∀ 0∃ 0: | | ⟹ | | .

D. ∀ 0∃ 0: | | ⟺ | | .

2. Determinar qué conjunto números no son números racionales: ∃ ∈

,… | ∉ ℚ:

A. √9, 2, 1,1,2,3, √16 .

B. 2,4,6,8,10,12, … .

C. 5,0, 1 3 , 6, 3 .

D. 1, , 3,5,7,9 .

3. Dados tres conjuntos A, B y C definidos en el conjunto , determinar cuál de las

siguientes afirmaciones es falsa:

A. ⊂ ⟺ ∩ .

B. ∖ ∖ .

C. ∖ ∖ ∖ ∖ .

D. ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ .

Tema 1. Test 34


NIR)

4. En un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas, el término

representa:

A. El coeficiente de la incógnita en la ecuación .

B. El coeficiente de la ecuación en la incógnita .

C. El término independiente de la incógnita en la ecuación .

D. El término independiente del coeficiente en la ecuación .

5. Indicar cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera:

A. Los sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos son incompatibles.

B. Los sistemas de ecuaciones lineales determinados poseen infinitas

soluciones.

C. Los sistemas de ecuaciones lineales compatibles poseen solución única.

D. Los sistemas de ecuaciones lineales indeterminados son compatibles.

6. Indicar cuál de los siguientes conjuntos no representa un vector:

A. Incógnitas de un sistema de ecuaciones con incógnitas.

B. Términos independientes de un sistema de ecuaciones con incógnitas.

C. Coeficientes de un sistema de ecuaciones con incógnitas.

D. Conjunto ordenado de elementos reales.

7. Señala cuál de las siguientes afirmaciones es falsa:

A. Los elementos de los vectores unitarios son todos unitarios.

B. Los elementos de los vectores nulos son todos nulos.

C. Los vectores unitarios tienen longitud unitaria.

D. Cualquier vector no nulo puede convertirse en unitario.

Tema 1. Test 35


NIR)

8. Dados los vectores 2,1 , 1, 2 y 4, 3 , resolver el sistema de

ecuaciones lineales definido por ∙ ∙ :

A. 1 ∧ 2.

B. 2 ∧ 1.

C. 1 ∧ 2.

D. 1 ∧ 2.

9. Dados los vectores 1,2,5,3 y 2,1, 2, determinar cuál ha de ser el

valor del componente para que ambos vectores sean ortogonales:

A. 3.

B. 2.

C. 0.

D. 1.

10. Considerando los vectores y del ejercicio anterior, y asumiendo que el valor

del componente del vector es nulo, ¿cuál sería su distancia euclídea?

A. √52.

B. 8.

C. 2√15.

D. 7√2.

fundamentos del álgebra lineal. sistemas de ecuaciones ... · trabajar con los conjuntos y los...

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