fundamentos de processos dinâmicos
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Capıtulo III - Fundamentos de Processos Dinamicos
ANALISE LINEAR DE SISTEMAS
JOSE C. GEROMEL
DSCE / Faculdade de Engenharia Eletrica e de ComputacaoUNICAMP, CP 6101, 13083 - 970, Campinas, SP, Brasil,
Campinas, Novembro de 2006
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Capıtulo III - Fundamentos de Processos Dinamicos
NOTA AO LEITOR
Este material foi preparado como suporte as aulas e einteiramente baseado no livro texto :
Jose C. Geromel e Alvaro G. B. Palhares, Analise Linear de
Sistemas Dinamicos : Teoria, Ensaios Praticos e Exercıcios,ISBN 85-212-0335-7, Editora Edgard Blucher Ltda, Sao Paulo,SP, 2004.
onde o leitor podera encontrar maiores informacoes e detalhesa respeito dos topicos aqui abordados.
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Capıtulo III - Fundamentos de Processos Dinamicos
Conteudo
1 Capıtulo III - Fundamentos de Processos DinamicosModelagem de processos dinamicosMecanica translacionalMecanica rotacionalEletricidadeEletromagnetismo
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Capıtulo III - Fundamentos de Processos Dinamicos
Modelagem de processos dinamicos
Modelagem de processos dinamicos
A construcao de um modelo matematico normalmentebaseia-se em quatro atributos :
Leis basicasSimplicidadePrecisaoValidacao
Os tres primeiros podem ser adotados varias vezes natentativa de atender o ultimo. Note a dificuldade para atingiro paradigma caracterizado por maxima simplicidade e maximaprecisao. E claro que particular cautela deve ser adotada aoaplicar-se as leis basicas que regem o comportamento de umdeterminado fenomeno fısico. As hipoteses para aplicacao decada uma delas devem ser absolutamente observadas.
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Modelagem de processos dinamicos
Modelagem de processos dinamicos
Para ilustrar estas consideracoes a figura abaixo mostra omovimento de um corpo sob a acao da gravidade.
R
M
m
y
v0
em t = 0 o corpo menor, de massa m << M, encontra-se nasuperfıcie e parte com velocidade v0. Deseja-se obter omodelo matematico para o seu deslocamento vertical.
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Modelagem de processos dinamicos
Modelagem de processos dinamicos
A lei basica a ser aplicada e a Lei Universal da Gravitacao queestabelece que o corpo de massa m estara sob a acao de umaforca radial com intensidade
f (y) =MmG
(R + y)2= m
g
(1 + y/R)2
onde f (0) = mg e o seu peso em repouso na superfıcie docorpo maior. Invocando a Segunda Lei de Newton quesegundo a qual a variacao do momento linear do corpo menore, em todo instante de tempo, e igual a forca externa :
y(t) +g
(1 + y(t)/R)2= 0
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Modelagem de processos dinamicos
Modelagem de processos dinamicos
Trata-se de uma equacao diferencial nao linear cuja solucao, apartir das condicoes iniciais y(0) = 0 e y(0) = v0, nao e facilde ser determinada. Entretanto, para deslocamentos verticaistais que |y(t)| << R podemos adotar a aproximacao
y(t) + g = 0
que e uma equacao diferencial linear bastante simples de serresolvida. E importante saber decidir sob quais condicoes aaproximacao pode ser adotada. No presente caso, integrandoa equacao original obtemos a velocidade da massa m a umaaltura y :
v(y)2 = v20 − 2g
y
1 + y/R
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Modelagem de processos dinamicos
Modelagem de processos dinamicos
Notamos que a velocidade pode se anular desde quev0 ≤ ve :=
√2gR onde ve e denominada velocidade de escape
pois se v0 > ve o corpo de massa m escapa da acaogravitacional do corpo maior com massa M.
Com a equacao aproximada, a conclusao e diversa. Avelocidade em funcao da altura e dada por
v(y)2 = v20 − 2gy
e, portanto, para qualquer velocidade inicial v0 o corpo demassa m atinge uma certa altura em que a velocidade seanula. No modelo aproximado nao ha possibilidade de escapeda acao gravitacional. Em situacoes extremas os modelos saodiversos mas para |y | << R ambos fornecem resultados muitoparecidos.
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Modelagem de processos dinamicos
Modelagem de processos dinamicos
Em conclusao, para movimentos tais que |y(t)| << R , omodelo aproximado deve ser adotado. Porem, quando estahipotese nao se verifica e mandatorio considerar o modelooriginal.
Considere entao o modelo aproximado para descrever a quedado corpo de massa m de uma altura h0 << R com velocidadeinicial nula. Resolvendo a equacao diferencial obtemos
y(t) = h0 −1
2gt2 , v(t) = −gt
Portanto o corpo cai e atinge o solo com velocidade nomomento do impacto igual a vi = −
√2gh0 que aumenta
segundo a altura inicial aumenta. Se isto fosse verdade naohaveria nenhum paraquedista vivo !!!
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Modelagem de processos dinamicos
Modelagem de processos dinamicos
O modelo nao leva em conta a existencia de atrito viscosoentre o ar e o corpo de massa m. No ar, a aceleracao de umcorpo em queda nao e constante mas sim diminui conforme avelocidade aumenta. Este fenomeno e melhor descrito por
y(t) +
(b
m
)
y(t) + g = 0
onde b e denominado coeficiente de atrito viscoso. Parav(t) = y(t) obtemos
v(t) =mg
b
(
e−(b/m)t − 1)
A velocidade no impacto independe de h0 como observamosna pratica!!!
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Modelagem de processos dinamicos
Modelagem de processos dinamicos
Outro ponto fundamental em modelagem diz respeito ashipoteses que devemos observar para aplicar determinadas leisbasicas. Ilustramos este aspecto com a Segunda Lei deNewton e referenciais inerciais. A figura abaixo mostra umartista tentando equilibrar um pendulo de comprimento ℓ emassa m na posicao vertical (φ = 90o).
x
y
p
q
φ
mao
mg
Tm
ℓ
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Modelagem de processos dinamicos
Modelagem de processos dinamicos
O referencial (x , y) e inercial. Com a mao parada o mesmoocorre com o referencial (p, q). Em relacao a este referencialaplicamos a Segunda Lei de Newton para obter :
Na direcao horizontal
md2
dt2(ℓcos(φ)) − T cos(φ) = 0
Na direcao vertical
md2
dt2(ℓsen(φ)) − T sen(φ) + mg = 0
Eliminando T obtemos o modelo para o deslocamento angularφ(t) do pendulo na forma
ℓφ(t) + gcos(φ(t)) = 0
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Modelagem de processos dinamicos
Com a mao em movimento o referencial (p, q) deixa de serinercial e, portanto, a Segunda Lei de Newton deve seraplicada ao referencial (x , y). Considerando que a mao so sedesloca na horizontal em uma posicao x(t), temos
Na direcao horizontal
md2
dt2(x + ℓcos(φ)) − T cos(φ) = 0
Na direcao vertical
md2
dt2(ℓsen(φ)) − T sen(φ) + mg = 0
Eliminando T obtemos o modelo para o deslocamento angularφ(t) do pendulo na forma
ℓφ(t) + gcos(φ(t)) = sen(φ(t))x(t)
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Modelagem de processos dinamicos
Modelagem de processos dinamicos
O deslocamento angular do pendulo e descrito por umaequacao diferencial nao linear de 2a ordem.Para x(t) = 0 ela admite solucoes de equilıbrio φ(t) = φ0
para todo t ≥ 0 com φ0 = ±90o . Definindo θ(t) := φ(t) − φ0
podemos determinar modelos lineares aproximados, a saber :
Valido entorno a φ0 = +90o:
ℓθ(t) − gθ(t) = x(t)
Valido entorno a φ0 = −90o:
ℓθ(t) + gθ(t) = −x(t)
Na figura seguinte as trajetorias pontilhadas se referem aosmodelos linearizados obtidos acima.
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Modelagem de processos dinamicos
Modelagem de processos dinamicos
A figura mostra a simulacao do modelo para ℓ = 1 [m],g = 9.8 [m/s2] e condicoes iniciais φ(0) = 45o , φ(0) = 0.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−250
−200
−150
−100
−50
0
50
100
150
t [s]
Com a mao parada, o pendulo oscila em torno de φ = −90o .Com a mao em movimento e x(t) definida em funcao de(φ(t), φ(t)), o pendulo se equilibra em φ = 90o .
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Mecanica translacional
Mecanica translacional
As leis de Newton sao fundamentais para a modelagem desistemas mecanicos. O deslocamento de uma massa m sob aacao de uma forca externa F (t) obedece a equacao
p(t) = F (t)
onde p(t) := mr(t) e o momento linear e r(t) e o vetor quedefine a posicao da massa em um referencial inercial. Sendom constante obtem-se
mr(t) = F (t)
Deve ser enfatizado que esta equacao so e valida para umreferencial inercial. Este aspecto foi ilustrado anteriormentecom o problema do equilıbrio do pendulo.
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Mecanica translacional
Mecanica translacional
Quando estamos diante de um conjunto de partıculas oseguinte conceito e pertinente :
Definicao (Centro de massa)
O centro de massa rc de um conjunto de N massas mi , situadas
nas posicoes ri para i = 1, · · · ,N e dado por
rc :=1
m
N∑
i=1
mi ri
onde m =∑N
i=1 mi e a massa total.
Para um corpo com massa distribuıda
rc =1
m
∫
corpo
rdm , m =
∫
corpo
dm
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Mecanica translacional
Mecanica translacional
A importancia do centro de massa torna-se aparente quandoconsideramos o movimento de N partıculas, cada uma delascom massa mi , sob a acao de uma forca externa Fi(t) paratodo i = 1, · · · ,N. Temos entao
mrc(t) =
N∑
i=1
mi ri(t)
=N∑
i=1
Fi(t)
Ou seja, o calculo da resultante das forcas Fi(t), como se elasatuassem no centro de massa, permite obter a equacao quedescreve o seu movimento.
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Mecanica translacional
Mecanica translacional
Algumas forcas e seus modelos :Forca peso : Forca produzida pela acao gravitacional
fp(t) = mg
onde g = 9.8 [m/s2] e a aceleracao da gravidade.Forca de deformacao : Forca produzida por molas de extensao
fκ(t) = κd(t)
onde κ [N/m] e o coeficiente de elasticidade e d(t) adeformacao.Forca de atrito viscoso : Forca produzida pelo contato docorpo com fluidos, com efeitos analogos aos dos amortecedores
fb(t) = bv(t)
onde b [Ns/m] e o coeficiente de atrito viscoso e v(t) avelocidade relativa entre o corpo e o meio viscoso.
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Mecanica translacional
Mecanica translacional
A elaboracao de um modelo torna-se mais simples se :
O sistema for decomposto em partes, identificando asinteracoes entre elas (forcas e momentos).As forcas externas forem identificadas e modeladas.As forcas produzidas pelos dispositivos basicos (molas eamortecedores) forem consideradas dissipativas segundo osreferenciais inerciais adotados.O Princıpio de D’Alembert for adotado :
Fato (Princıpio de D’Alembert)
Em cada instante de tempo, incluıda a forca de inercia com intensidade
mrc(t) como dissipativa, a resultante das forcas que agem no centro de
massa e nula.
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Mecanica translacional
Exemplos
No sistema abaixo uma forca externa com intensidade F eaplicada na massa M. Deseja-se determinar o deslocamentoda massa m a partir do repouso.
x y
κ1κ2
b m M
F
Com o procedimento anterior obtemos :
m : mx + bx + κ1x + κ2(x − y) = 0
M : My + κ2(y − x) = F
Duas equacoes diferenciais lineares de 2a ordem acopladas.21 / 71
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Mecanica translacional
Exemplos
No sistema abaixo deseja-se determinar a posicao horizontaldo pendulo de comprimento ℓ que se encontra no interior deum carro de massa M.
x
y
κ
θb
mg
T F
Em relacao ao referencial inercial, sendo x a posicao do carro,a posicao do pendulo sera (x + ℓsen(θ), ℓcos(θ)).
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Mecanica translacional
Exemplos
Com o procedimento anterior obtemos as equacoes domovimento :
Carro :Mx + bx + κx = T sen(θ) + F
Pendulo - horizontal :
md2
dt2(x + ℓsen(θ)) + T sen(θ) = 0
Pendulo - vertical :
md2
dt2(ℓcos(θ)) + T cos(θ) = mg
Se nao tivermos interesse em determinar a forca de tracao T ,estas equacoes podem ser simplificadas.
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Mecanica translacional
Exemplos
Explicitando as derivadas indicadas obtemos :
Com as duas primeiras equacoes :
(M + m)x + bx + κx + mℓcos(θ)θ − mℓsen(θ)θ2 = F
Com as duas ultimas equacoes :
cos(θ)x + ℓθ + gsen(θ) = 0
Estas equacoes podem ser linearizadas considerando-sepequenos deslocamentos em torno de (θ, θ) = (0, 0) :
(M + m)x + mℓθ + bx + κx = F
x + ℓθ + gθ = 0
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Mecanica translacional
Exemplos
Vale a pena obter a representacao de estado do sistemalinearizado a partir da definicao das variaveis de estadoξ1 = x , ξ2 = θ, ξ3 = x e ξ4 = θ, de entrada F e de saıda
y = x + ℓsen(θ) ≈[
1 ℓ 0 0]
︸ ︷︷ ︸
C
ξ
⇓
1 0 0 00 1 0 00 0 (M + m) mℓ0 0 1 ℓ
︸ ︷︷ ︸
E
ξ =
0 0 1 00 0 0 1−κ 0 −b 00 −g 0 0
︸ ︷︷ ︸
A0
ξ+
0010
︸ ︷︷ ︸
B0
F
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Mecanica translacional
Exemplos
Como E e sempre uma matriz nao singular, podemos obter arepresentacao de estado na forma padrao ja estudada, isto e(A,B ,C ,D) com A = E−1A0, B = E−1B0 e D = 0.
Com M = 10 [Kg], m = 1 [Kg], g = 9.8 [m/s2], ℓ = 1 [m],κ = 10 [N/m] e b = 4 [Ns/m] determinamos a funcao detransferencia entre y(s) e F (s) como sendo
H(s) =0.98
s4 + 0.4s3 + 11.78s2 + 3.92s + 9.8
e com perıodo de amostragem 0.5 [s] a funcao de transferenciapulsada com um segurador de ordem zero na entrada
R(z) = 10−2 0.22z3 + 1.99z2 + 1.91z + 0.20
z4 − 1.48z3 + 1.57z2 − 1.47z + 0.82
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Mecanica translacional
Exemplos
A figura abaixo mostra a posicao horizontal do pendulo emrelacao ao referencial inercial adotado, a partir do repouso,com F = 10 [N].
0 5 10 15 20 250
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t, kT [s]
Observe a perfeita concordancia entre os modelos a tempocontınuo e a tempo discreto.
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Mecanica rotacional
Mecanica rotacional
Considere uma massa m sob a acao de uma forca externaF (t). A grandeza H(t) := r(t) × p(t) onde p(t) = mr(t) er(t) e o vetor posicao da massa em um referencial inercial edenominada momento angular relativo a origem O do sistemade referencia adotado. A partir de
H(t) = r(t) × p(t) + r(t) × p(t)
= r(t) × F (t)
obtemos a relacao fundamental
H(t) = τ(t)
indicando que a variacao do momento angular e igual aotorque τ(t) := r(t) × F (t) produzido pela forca externa.
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Mecanica rotacional
Mecanica rotacional
Para um sistema constituıdo por N massas, obtemos
H(t) =
N∑
i=1
ri (t) × pi(t)
=
N∑
i=1
τi(t)
ou seja, a variacao do momento angular total e igual a somados torques produzidos pelas forcas externas. Portanto, eessencial individualizar as forcas aplicadas em cada massa mi
para calcular o torque total. Apenas em casos especiais, adeterminacao da forca resultante aplicada no centro de massae relevante para o calculo do torque total.
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Mecanica rotacional
Mecanica rotacional
Este e precisamente o caso da forca peso. A forca peso queage em uma massa dm e −gdmj , portanto para um corpocom massa total m temos
τ =
∫
corpo
r × (−gdmj)
=
(∫
corpo
rdm
)
× (−gj)
= mrcm × (−gj)
= rcm × (−mgj)
ou seja, o torque devido a forca peso pode ser calculado comose toda a massa do corpo estivesse concentrada no seu centrode massa.
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Mecanica rotacional
Mecanica rotacional
A figura abaixo mostra o movimento circular de uma massa m
em um plano.
i
j
k
mr(t)φ
O
No referencial indicado r(t) = ℓcos(φ)i + ℓsen(φ)j e portantoo vetor velocidade e dado por
r = −ℓφsen(φ)i + ℓφcos(φ)j
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Mecanica rotacional
Mecanica rotacional
O qual permite calcular o momento angular relativo ao centrode rotacao O :
H = r × mr
= mℓ2φ det
i j k
cos(φ) sen(φ) 0−sen(φ) cos(φ) 0
= mℓ2φ k
como sendo um vetor ortogonal ao plano do movimento comintensidade proporcional a velocidade angular. O coeficientede proporcionalidade J = mℓ2 ou, para sistemas com massadistribuıda
J =
∫
corpo
r2dm
e denominado momento de inercia.32 / 71
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Mecanica rotacional
Mecanica rotacional
Com os resultados anteriores, chegamos entao a equacaobasica que permite modelar sistemas rotacionais :
Jφ(t) = τ(t)
Os seguintes aspectos sao relevantes :A equacao acima tem importancia equivalente a da equacaomr(t) = F (t) para a translacao.Nao ha dificuldades para enunciar o Princıpio de D’ Alembertpara a rotacao : Em cada instante de tempo, incluıdo o torquede inercia com intensidade Jφ como dissipativo, o torqueresultante relativo ao centro de rotacao e nulo.Para corpos rıgidos o calculo de J e bastante simplificado pelochamado teorema dos eixos paralelos : Os momentos deinercia relativos a dois eixos paralelos, distantes d e, com umdeles passando pelo centro de massa se relacionam por :
J = Jcm + md2
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Mecanica rotacional
Mecanica rotacional
A equacao fundamental da translacao mr(t) = F (t) so evalida para um referencial inercial. A equacao fundamental darotacao Jφ(t) = τ(t) tambem so se aplica para um centro derotacao que e fixo em relacao a um referencial inercial, comuma notavel excecao : o centro de massa. Ou seja, apenaspara o centro de massa vale a equacao
Hcm = τcm
e por conseguinte Jcmφ(t) = τcm(t) independentemente dofato do centro de massa estar ou nao em movimento emrelacao ao referencial inercial.
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Mecanica rotacional
Mecanica rotacional
Alguns torques e seus modelos :
Torque de deformacao : Torque dissipativo produzido pelareacao a um deslocamento angular θ(t) com intensidade
τκ(t) = κθ(t)
que ocorre na direcao do eixo de rotacao, onde κ [Nm/rad] eo coeficiente de elasticidade torcional.Torque de atrito viscoso : Torque dissipativo devido aomovimento de rotacao em meio viscoso - fluido.
τb(t) = bθ(t)
que ocorre na direcao do eixo de rotacao, onde b [Nms/rad] eo coeficiente de atrito viscoso torcional.
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Mecanica rotacional
Exemplos
A figura abaixo mostra um cilindro com momento de inerciaJc e raio c que se move quando a massa m cai. A corda passapor uma roldana com momento de inercia Jr e raio r .Deseja-se determinar o modelo para a rotacao do cilindro.
φ
θ
y
f
F
b
Parte do cilindro esta imerso em um lıquido que produz umatrito viscoso torcional com coeficiente b.
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Mecanica rotacional
Exemplos
As equacoes dos movimentos dos quatro corpos sao :Cilindro :
Jc φ + bφ = fc
Roldana :Jr θ + fr = Fr
Massa :my + F = mg
Corda : considerada inextensıvel leva a
cφ = rθ = y
Eliminado as variaveis f , F , θ e y obtemos o modelo para odeslocamento angular do cilindro :
(
Jc +c2
r2Jr + mc2
)
φ + bφ = mgc
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Mecanica rotacional
Exemplos
A figura abaixo mostra dois pendulos, como o mesmocomprimento ℓ, que estao acoplados atraves de uma mola. Amola esta presa na metade do comprimento de cada penduloe, durante o movimento, permanece na horizontal.
φ
OM Om
θmg
Mg
κ
Supondo que os pendulos estejam imersos em um ambientedesprovido de atrito, deseja-se determinar os seusdeslocamentos angulares segundo os referenciais adotados.
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Mecanica rotacional
Exemplos
Os momentos de inercia das massas M e m em relacao a OM
e Om sao dados por Mℓ2 e mℓ2, respectivamente. A forcaproduzida pela mola e ±κ((ℓ/2)sen(φ) − (ℓ/2)sen(θ)) e, porconseguinte, a equacao dos momentos fornece :
Pendulo M :
Mℓ2φ + κℓ2
4cos(φ)(sen(φ) − sen(θ)) + Mgℓsen(φ) = 0
Pendulo m :
mℓ2θ + κℓ2
4cos(θ)(sen(θ) − sen(φ)) + mgℓsen(θ) = 0
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Mecanica rotacional
Exemplos
Nao ha dificuldades para linearizar estas equacoes em tornodos pontos de equilıbrio (φ, φ) = (0, 0) e (θ, θ) = (0, 0) :
Mℓ2φ + κℓ2
4(φ − θ) + Mgℓφ = 0
mℓ2θ + κℓ2
4(θ − φ) + mgℓθ = 0
e determinar a sua representacao de estado a partir dasvariaveis x1 = φ, x2 = φ, x3 = θ e x4 = θ :
x =
0 1 0 0−κ/4M − g/ℓ 0 κ/4M 0
0 0 0 1κ/4m 0 −κ/4m − g/ℓ 0
︸ ︷︷ ︸
A
x
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Mecanica rotacional
Exemplos
Na figura abaixo vemos uma simulacao dos dois pendulosacoplados com ℓ = 10 [m], M = 10 [Kg], m = 3 [Kg],κ = 15 [N/m] e g = 9.8 [m/s2]. Os pendulos partem dorepouso nas posicoes −φ(0) = θ(0) = 30o . Para comparacao,note nos mesmos graficos os pendulos oscilando semacoplamento (κ = 0).
−50
0
50
0 5 10 15 20 25 30−100
−50
0
50
100
t [s]41 / 71
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Mecanica rotacional
Exemplos
A figura abaixo mostra uma haste rıgida com duas massas nassuas extremidades. O pendulo esta imerso em um meio queproduz em cada massa uma forca de atrito viscoso comcoeficiente de atrito b.
θ
mg
Mg
p
q
O
ij
Deseja-se determinar o modelo matematico que descreve odeslocamento angular do pendulo.
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Mecanica rotacional
Exemplos
Para usar a equacao de equilıbrio de momentos e precisocalcular o torque produzido pela forca de atrito. Para a massaM a sua posicao e dada por rM = psen(θ)i − pcos(θ)j . Comoforca de atrito e dada por brM , o torque por ela produzido emO sera :
τM = rM × brM
= bp2θk
A posicao da massa m e rm = −qsen(θ)i + qcos(θ)j e, porconseguinte, τm = bq2θk. O torque total produzido pela forcade atrito em ambas as massas, que e dissipativo, temintensidade
τatr = b(p2 + q2)θ
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Mecanica rotacional
Exemplos
Aplicando a equacao de equilıbrio de momentos chega-se a
(Mp2 + mq2)θ + b(p2 + q2)θ + (Mp − mq)gsen(θ) = 0
A figura abaixo mostra duas simulacoes a partir de condicoesiniciais θ(0) = 0 e θ(0) > θ(0).
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−2
0
2
4
6
8
10
t [s]
Observe o fenomeno nao linear : Na segunda situacao opendulo da uma volta completa antes de parar!!!
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Eletricidade
Eletricidade
O modelamento de circuitos eletricos planares aqui propostobaseia-se na determinacao de uma base para o espaco nulo :
Espaco nulo : Seja A ∈ Rn×m com m > n. Determina-se uma
matriz T ∈ Rm×r tal que AT = 0 e T ′T = I . A dimensao
r ≥ m − n faz com que todas as solucoes de Ax = 0 comx ∈ R
m sejam expressas na forma
x = T ξ , ξ ∈ Rr
Considere os seguintes exemplos ilustrativos :
A =
[1 2 11 2 1
]
=⇒ T =
0.9129 0−0.3651 −0.4472−0.1826 0.8944
A =
[1 2 11 1 1
]
=⇒ T =
−0.7071−0.0000
0.7071
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Eletricidade
Eletricidade
E a determinacao da decomposicao de uma matriz em valoressingulares :
Valores singulares : Seja A ∈ Rn×n. Esta matriz pode ser
escrita na forma A = RZS ′ onde R , S ∈ Rn×n sao matrizes
unitarias (RR ′ = I , SS ′ = I ) e Z = diag(σ1, . . . , σn) comσi ≥ σi+1 ≥ 0 para todo i = 1, . . . , n − 1. Se σi = 0 parai = r + 1 . . . , n temos :
Z =
[
Z1/2+ 00 I
] [Ir×r 00 0
]
︸ ︷︷ ︸
Σ
[
Z1/2+ 00 I
]
com Z+ = diag(σ1, . . . , σr ). Portanto podemos fatorar
A = VΣU
onde V e U sao matrizes nao singulares.
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Eletricidade
Eletricidade
Os seguintes exemplos ilustram a decomposicao em valoressingulares :
Exemplo 1 : A matriz A =
[1 21 2
]
e fatorada na forma
A =
[−1.2574 −0.7071−1.2574 0.7071
]
︸ ︷︷ ︸
V
[1 00 0
]
︸ ︷︷ ︸
Σ
[−0.7953 −1.5905−0.8944 0.4472
]
︸ ︷︷ ︸
U
Exemplo 2 : A matriz A =
[1 22 2
]
e fatorada na forma
A =
[−1.1614 −0.5907−1.4875 0.4612
]
︸ ︷︷ ︸
V
[1 00 1
]
︸ ︷︷ ︸
Σ
[−1.1614 −1.4875
0.5907 −0.4612
]
︸ ︷︷ ︸
U
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Eletricidade
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Considere um conjunto de b bipolos, cada um deles definidopor uma relacao entre corrente ik(t) e tensao vk(t) para todok = 1, · · · , b e uma fonte externa g(t). Definindo os vetoresde corrente e tensao
i(t) :=
i1(t)...
ib(t)
, v(t) :=
v1(t)...
vb(t)
e considerando a convencao gerador para as fontes e receptorpara os elementos passivos tais como resistores, indutores ecapacitores, as equacoes dos b bipolos se escrevem na forma
Cdv
dt(t) − Gv(t) + L
di
dt(t) − Ri(t) = Fg(t)
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Eletricidade
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Onde e importante notar que :
As matrizes C , G , L e R tem dimensoes b × b e geralmentesao diagonais.O vetor F tem dimensao b × 1.
Um circuito planar especıfico com n nos, construıdo com os b
bipolos ja modelados, e definido atraves das equacoes
Ni(t) = 0 , Mv(t) = 0
onde :
N ∈ R(n−1)×b e denominada matriz de incidencia e expressa a
lei das correntes em n − 1 nos.M ∈ R
b−(n−1)×b e denominada matriz de malha e expressa alei das malhas em b − (n − 1) malhas.
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Eletricidade
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O objetivo e determinar as tensoes e correntes em todos osbipolos para todo t ≥ 0 a partir de condicoes iniciais dadas.Sabemos calcular, atraves da determinacao do espaco nulo,todas as solucoes do sistema com b equacoes e 2b incognitas :
[N 00 M
] [i(t)v(t)
]
=
[00
]
na forma [i(t)v(t)
]
= T ξ(t) =
[Ti
Tv
]
ξ(t)
onde T ∈ R2b×b, Ti ∈ R
b×b, Tv ∈ Rb×b e ξ ∈ R
b
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Eletricidade
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Com a equacao diferencial anterior obtemos
(CTv + LTi )ξ(t) = (GTv + RTi)ξ(t) + Fg(t)
A dificuldade e que a matriz CTv + LTi geralmente naoadmite inversa. Basta existir um resistor no circuito e istoacontece ! Aplicando a decomposicao em valores singularesestabelecemos CTv + LTi = V ΣU com V e U nao singulares e
Σ =
[I 00 0
]
Observe que a dimensao da matriz indentidade e determinadapela propria decomposicao em valores singulares.
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Eletricidade
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Multiplicando a equacao diferencial anterior a esquerda porV−1 e definindo x(t) := Uξ(t) temos
Σx(t) = Φx(t) + Γg(t)
ondeΦ := V−1(GTv + RTi)U
−1 , Γ := V−1F
que pode ser escrita na forma particionada
[x1(t)
0
]
=
[Φ11 Φ12
Φ21 Φ22
] [x1(t)x2(t)
]
+
[Γ1
Γ2
]
g(t)
Fica claro que a segunda equacao acima nao e diferencial massim algebrica (de fato, linear) e pode ser resolvida desde queΦ22 seja nao singular !
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Eletricidade
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Φ22 e uma matriz nao singular. Verifica-se que esta hipotesenao e satisfeita apenas em casos considerados patologicos.Com
x2(t) = −Φ−122 Φ21x1(t) − Φ−1
22 Γ2g(t)
a equacao do circuito assume a forma final
x1(t) = A1x1(t) + B1g(t)
onde
A1 := Φ11 − Φ12Φ−122 Φ21 , B1 = Γ1 − Φ12Φ
−122 Γ2
Mais uma vez e imperativo observar que as dimensoes dasmatrizes A1 e B1 sao determinadas pela decomposicao emvalores singulares.
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Eletricidade
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Com x1(t) e g(t) podemos determinar as correntes e tensoesem todos os bipolos :
[i(t)v(t)
]
= T
ξ(t)︷ ︸︸ ︷
U−1x(t)
= C1x1(t) + D1g(t)
onde
C1 := TU−1
[I
−Φ−122 Φ21
]
, D1 := TU−1
[0
−Φ−122 Γ2
]
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Eletricidade
Eletricidade
Para completar o modelo, e preciso impor as condicoesiniciais. Em t = 0 as correntes nos indutores e as tensoes noscapacitores sao conhecidas. Ou seja, o vetor c0 e a matriz E
que seleciona as correntes e tensoes sao conhecidos esatisfazem
c0 = E
[i(0)v(0)
]
Portantox1(0) = (EC1)
−1c0
Note que a validade das condicoes iniciais que se deseja imporrequer que a matriz EC1 seja quadrada e nao singular. Omodelo obtido tem representacao de estado (A1,B1,C1,D1) econdicao inicial x1(0).
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Eletricidade
Exemplo
A figura abaixo mostra uma fonte controlada alimentandouma carga indutiva RL. Deseja-se determinar o modelo para atensao y(t) = v9(t) no resistor R9, em funcao da tensao deentrada v1(t) = g(t).
g 2 3
4
5
67
8
y
+−
Sao indicados os numeros dos bipolos. O bipolo 4 e umafonte de tensao v4 = µ(v2 − v3). Note os pontos + e −.
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Eletricidade
Exemplo
Em um sistema de unidades coerentes os seguintes valoresforam adotados R2 = 1, R3 = 2, R5 = 1, C6 = 1, R7 = 1,L8 = 1, R9 = 1 e µ = 1.5. Com o procedimento discutidoanteriormente obtemos
A1 =
[−0.3333 0.6305
0.3525 −1.6667
]
, B1 =
[−1.8057−0.0000
]
C1 =[
0.0000 −0.7856]
, D1 =[
0.0000]
que corresponde a funcao de transferencia
H(s) =0.5
s2 + 2s + 0.3333
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Eletricidade
Exemplo
A figura abaixo mostra duas simulacoes em linhas tracejadaspara as entradas g(t) = 0.9 e g(t) = 0.5 para todo t ≥ 0,respectivamente. As simulacoes em linhas contınuascorrespondem a entradas chaveadas entre os nıveis0 ≤ g(t) ≤ 1 com fator de ocupacao de 90% e 50% e perıodode 2 e 5 segundos, respectivamente.
0 5 10 15 20 25 30 35−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t [s]
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Eletromagnetismo
Eletromagnetismo
A seguir ilustramos interacoes eletromagneticas. Em ambos oscasos um fio condutor de comprimento ℓ esta imerso em umcampo magnetico, sendo B o vetor inducao magnetica.
Fm
(a) (b)
ℓ
BB
v
+
−
i
Importante : Uma partıcula com carga eletrica q evelocidade v , imersa em um campo magnetico, sofre a acaode uma forca dada por F = qv × B .
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Eletromagnetismo
Eletromagnetismo
Acao motora (a) : Ao ser percorrido por uma correnteeletrica de intensidade i o fio condutor sofre a acao de umaforca Fm. Devido a corrente, a velocidade das cargas emmovimento e definida pelo fio que e ortogonal a B .Lembrando que idℓ = vdq entao
dFm = vdq × B = idℓ × B
Portanto, integrando entre 0 e ℓ obtemos a intensidade daforca como sendo
Fm = ℓB︸︷︷︸
K
i
Mantendo a ortogonalidade entre o condutor e o campomagnetico, a forca e maxima e e proporcional a corrente. Sobsua acao, o condutor se move !
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Eletromagnetismo
Eletromagnetismo
Acao geradora (b) : Ao movimentar o fio condutor emaberto, com velocidade v ortogonal ao campo magnetico, ascargas no seu interior sofrem a acao da forca Fm = qv × B .Um campo eletrico E se desenvolve de tal forma que a forcaeletrostatica Fe = qE se iguale a Fm. Isto e necessario paraque as cargas atinjam uma situacao de repouso e assimE = v × B . Como em um comprimento dℓ temos a diferencade potencial de = vBdℓ, integrando entre 0 e ℓ obtemos
e = ℓB︸︷︷︸
K
v
Mantendo a ortogonalidade entre o condutor e o campomagnetico, a diferenca de potencial entre os seus terminais emaxima e e proporcional a velocidade.
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Eletromagnetismo
Motor de corrente contınua
Um motor de corrente contınua e esquematizado abaixo. Oestator e fixo e produz um campo magnetico radial. O rotor emovel e e constituıdo por N espiras em serie com largura d ecomprimento ℓ. O comutador mantem os sentidos dascorrentes de forma apropriada a gerar um torque lıquido a seraplicado na carga com momento de inercia Jc e coeficiente deatrito viscoso torcional b.
FmFm
B
V
R
L
J, bθ
i
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Eletromagnetismo
Motor de corrente contınua
Torque : A forca produzida em cada metade da espira eFm = ℓBi e, portanto, o torque total sera
Ttot = N
(
Fmd
2+ Fm
d
2
)
= NℓdB︸ ︷︷ ︸
K
i
Tensao : Em contra-partida, sendo θ a velocidade angular dorotor, a velocidade linear e v = (d/2)θ com o mesmo sentidoe direcao de Fm, fazendo com que a tensao produzida em cadametade da espira seja e = ℓBv e, portanto, a tensao total sera
etot = N (ℓBv + ℓBv) = NℓdB︸ ︷︷ ︸
K
θ
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Eletromagnetismo
Motor de corrente contınua
O modelo final do motor de corrente contınua com campoconstante (B) fica na forma :
Parte eletrica : As espiras do estator podem ser modeladascomo uma resistencia R em serie com uma indutancia L,alimentadas pela fonte de tensao V (t), ou seja
Ld
dti(t) + Ri(t) = V (t)−K
d
dtθ(t)
Observe a tensao etot produzida pelo movimento do rotor, emoposicao a tensao da fonte.Parte mecanica : Sendo J = Jc + Jr o momento de inercia dacarga e do rotor em relacao ao eixo de rotacao temos
Jd2
dt2θ(t) + b
d
dtθ(t) = Ki(t)
Observe o torque Ttot gerado para deslocar a carga e o rotor.
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Eletromagnetismo
Exemplo
O diagrama de blocos mostra o controle da velocidade angularν(t), em regime permanente, de um motor de correntecontınua com a fonte de tensao estudada anteriormente (Σ).Para o motor e a carga foram adotados, em um sistemacoerente de unidades, os seguintes valores numericos J = 10,b = 2, L = 3, R = 1 e k = 10.
ΣgV
R
L
J, b
ν
i
+
−
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Eletromagnetismo
Exemplo
Circuito Σ : Como se trata de um circuito linear, aplicandoLaplace vem
g(s) = Hgi (s)I (s) + Hgv (s)V (s)
O procedimento ja introduzido para a modelagem de circuitoseletricos se aplica :
Com I (s) = 0 obtemos
V (s) =0.50
s + 0.3333︸ ︷︷ ︸
Hgv (s)−1
g(s)
Com V (s) = 0 obtemos
I (s) =0.75
s︸︷︷︸
Hgi (s)−1
g(s)
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Eletromagnetismo
Exemplo
Motor : Lembrando que ν(t) = θ(t), com Laplace calculamos
[I (s)
V (s)
]
=
[s + 0.2
3.0s2 + 1.6s + 10.2
]
ν(s)
Com as relacoes anteriores determinamos a funcao detransferencia desejada
ν(s) =9.549
6s3 + 6.533s2 + 21.73s + 6.8︸ ︷︷ ︸
Hν(s)
g(s)
sendo Hν(s) expressa em [rpm/volt].
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Eletromagnetismo
Exemplo
Como Hν(s) e uma funcao de transferencia estavel, adotadog(t) como um degrau de amplitude Va [volts], em regimepermanente teremos
νperm(t) ≈ Hν(0)Va = 1.40Va
A figura a seguir mostra em linhas tracejadas a velocidade domotor ν(t) [rpm] para Va = 50, Va = 75 e Va = 95 volts.
A mesma figura mostra em linhas contınuas a velocidade domotor para a entrada chaveada (em volts)
g(t) =
{100 kT ≤ t ≤ (k + foc)T0 (k + foc)T < t < (k + 1)T
onde k ∈ N, T = 2 [s] e o perıodo de chaveamento efoc ∈ [0, 1] e o fator de ocupacao. Consideramos foc = 50%,foc = 75% e foc = 95%.
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Eletromagnetismo
Exemplo
E importante salientar que com uma fonte de tensao chaveadapodemos estudar a evolucao da velocidade do motor atravesde um modelo a tempo discreto. De fato, como g(t) econstante por partes para todo t ≥ 0, com a representacao deestado de Hν(s) definida pelas matrizes (A,B ,C ,D)determinamos
x((k + 1)T ) = Fx(kT ) + Jg(kT )
ν(kT ) = Cx(kT ) + Dg(kT )
valida para todo k ∈ N, onde
F = eAT , J =
∫ T
(1−foc )TeAτBdτ
podem ser calculadas com o procedimento baseado emexponenciais de matrizes aumentadas.
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Eletromagnetismo
Exemplo
Finalmente, aplicando a transformada Z obtemos a funcao detransferencia pulsada
ν(z) =(C (zI − F )−1J + D
)
︸ ︷︷ ︸
Hν(z)
g(z)
Com os dados numericos do motor determinamos a funcao detransferencia pulsada Hν(z) = Nν(z)/Dν(z) onde
Dν(z) = z3 + 0.3377z2 − 0.2107z − 0.1133
depende de T mas nao depende de foc e
foc = 50% =⇒ Nν(z) = 0.5113z2 + 0.2097z + 0.0334
foc = 75% =⇒ Nν(z) = 0.6568z2 + 0.3405z + 0.1043
foc = 95% =⇒ Nν(z) = 0.6844z2 + 0.4875z + 0.1853
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Eletromagnetismo
Exemplo
Na figura abaixo os pontos • correspondem a resposta deHν(z) para a entrada g(kT ) = 100 [volts] que sao asamostras da tensao de entrada da fonte g(t) em t = kT paratodo k ∈ N. Note a perfeita concordancia, mesmo durante otransitorio, entre os modelos a tempo contınuo e a tempodiscreto !
0 5 10 15 20 250
50
100
150
t, kT [s]
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