fundamentos da física - demonstrações especiais

Demonstraes especiais

Menu volume 1 Menu volume 2 Menu volume 3

1Os fundamentos da Fsica

1a) MDULO DA ACELERAO CENTRPETA

Considere um mvel descrevendo um movimento circular uniforme. Na figura repre-

sentamos as posies dos mveis em dois instantes t1 e t2.

Vamos representar o vetor v v2 v1. O ngulo entre v1 e v2 igual ao ngulo entre os raios.

R

O R

v1P1(t1)

P2(t2)

v2

Sendo o movimento circular uniforme podemos escrever:

v1 v2 v

A semelhana entre os tringulos destacados fornece:

v v v11 2 1 2

corda

corda R P P

vR P P

Considerando os instantes t1 e t2 muito prximos (t t2 t1 0), podemos suporque a corda P1P2 coincide com o arco P1P2. Este, por sua vez, igual ao produto v t.

Assim, para t 0, temos:

vR v t

v

v

2

tvR

acp2

vR

vv2

v1



F m vRP

2

F mP 2 R

F mT

RP 2

2

F mT

RP 4

2

2

Multiplicando ambos os membros por R2, vem:

F R mT

RP 4 2

2

23

De acordo com a 3a lei de Kepler, temos que RT

3

2 constante e portanto

4 2

32

TR

tambm constante, o que indicaremos por C1. Assim, vem:

F R C m F C mR

PP 2 1 1 2

Do princpio da ao e reao podemos escrever que a intensidade da fora que o

planeta exerce no Sol dada por:

F C mR

S 2 2

De e , vem:

C1 mP C2 mS

Cm

CmS P

1 2 constante

2a) DAS LEIS DE KEPLER LEI DA GRAVITAO UNIVERSAL

As excentricidades das rbitas elpticas, que os planetas descrevem em torno do Sol,

so muito pequenas. Por isso, podemos considerar o movimento orbital circular.

De acordo com a 2a lei de Kepler, esse movimento circular uniforme. De fato, ao

varrer reas iguais em intervalos de tempo iguais, o planeta descreve arcos iguais. Assim,

o mdulo da velocidade constante e a acelerao centrpeta. Sejam mP e mS as massas

do planeta e do Sol e R o raio da rbita.

t tS

C

D

B

A

AA

AB CD

RF

S

ms

F P

v



A constante indicada por G, resultando:

Cm

G C G mS

S1

1

Logo, substituindo-se em , vem:

F G m mR

S P 2

3a) A EQUAO DE BERNOULLI

O fluido existente entre as sees S1 e S2 estar entre S1 e S 2, aps um intervalo de

tempo t. como se a poro de fluido de massa m, entre S1 e S 1, subisse, ocupando aregio entre S2 e S 2.

Alm do peso P mg, agem na poro de fluido as foras de presso F1 p1 A1 e

F2 p2 A2. Essas foras so exercidas sobre o fluido existente entre S1 e S2 pelo restante

do fluido que escoa pela canalizao.

Pelo teorema da energia cintica, temos:

$P $F1 $F2 mv mv2

212

2

2

mg(h2 h1) F1 x1 F2 x2 mv mv2

212

2

2

mg(h2 h1) p1 A1 x1 p2 A2 x2 mv mv2

212

2

2

Sendo A1 x1 A2 x2 md

, vem:

mg(h2 h1) p1 md

p md

mv mv 2

22

22

12

dg(h2 h1) p1 p2 dv dv2

212

2

2

p1 dgh1 dv 1

2

2 p2 dgh2

dv22

2

h2

m

S1

x1

x2F1p1

v1

p2 p2v2A2F2

m

A1

S'1

S2 S'2

h1

11

2



4a) FRMULA DOS FABRICANTES DAS LENTES

Vamos inicialmente calcular o desvio angular que aluz sofre ao atravessar um prisma de ngulo de refringncia

A pequeno (at cerca de 10) e sob ngulo de incidncia i1tambm pequeno. Sendo A e i1 pequenos, resulta que r1, r2e i2 tambm so pequenos. Podemos, ento, aproximar os

senos dos ngulos aos prprios ngulos em radianos. Pela

lei de Snell-Descartes, temos:

n1 i1 n2 r1 n1 i2 n2 r2

Somando e , temos: n1(i1 i2) n2(r1 r2)

Mas r1 r2 A. Logo:

i i nn

A1 2 21

Porm, i1 i2 A. Portanto:

1 21

2

1

nn

A A nn

A

Na figura representamos um raio de luz atravessando uma lente esfrica. Traando

por I1 e I2 os planos tangentes s faces da lente, notamos que ela se comporta como um

prisma de ngulo de refringncia A. Sendo a lente delgada e os raios de luz para-axiais,

conclumos que o ngulo A, assim como os ngulos i1, r1, r2 e i2 so pequenos. Logo,

podemos escrever:

1 21

nn

A

A

r1 r2

i2 N2

N1

n1 n1

n2

i1

2 1 '

r1

i1I2

r2 A

A

R1R2

C'

C

I'2

n2 n1n1

O2

N1

N2

F'O1I'1

i2

I1



No tringulo O1CO2, temos: A 1 2. Logo:

1 ( )21

1 2 nn

Sendo a lente delgada, podemos considerar os pontos I1, I2 e C praticamente coinci-

dentes, assim como I 1, I 2 e C. Nessas condies, os ngulos e so iguais.Assim, temos:

Sendo os ngulos 1, 2 e muito pequenos temos:

Tringulo O2I2O: 2 sen 2 d

O IdR2 2

22

Tringulo O1I1O: 1 sen 1 d

O IdR1 1

11

Tringulo F CO: tg dOF

df

Substituindo-se , e em , vem:

df

nn

dR

dR

1 21 1 2

1 1 1 121 1 2f

nn R R

5a) LENTES JUSTAPOSTAS

Considere duas lentes delgadas L1 e L2 justapostas. A um ponto objeto P a lente L1conjuga um ponto imagem P 1. O ponto P 1 funciona como objeto virtual em relao

lente L2, a qual conjuga um ponto imagem P 2.

O

f

d

O1

R1R2

O2F'

I1 I2 C

12

O2O1

L1 L2

P P'1P'2



Como as lentes delgadas so justapostas, podemos considerar O1 e O2 coincidentes e

cham-los simplesmente de O.

Assim, sendo f1 e f2 as distncias focais de L1 e L2, respectivamente, podemos escrever:

Lente L1: 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 1f PO P O f p p

Lente L2: 1 1

1

1 1

1

2 1 2 2 2 2 1 2f P O P O f p p

As duas lentes dadas podem ser substitudas por uma s (lente equivalente) de modo

que a um ponto objeto P ela conjuga um ponto imagem P 2:

Sendo f a distncia focal da lente equivalente, vem:

1 1 1

1 1 12 2f PO P O f p p

Fazendo , vem:

1 1 1 11 2 2f f p p

Levando-se em conta , resulta:

1 1 1

1 2f f f

ou

D1 D2 D

Assim, demonstramos que a associao de duas lentes justapostas apresenta vergncia

D igual soma algbrica das vergncias D1 e D2 das lentes associadas.

6a) RELAO ENTRE EPRX. e ESUP.Considere um condutor eletrizado e em equilbrio eletrosttico. Seja Psup. um ponto da

superfcie e Pprx. um ponto externo e infinitamente prximo de Psup.. Demonstremos que

Eprx. 2 Esup.

OP P'2p'2p



Vamos dividir as cargas eltricas em excesso em duas partes:

1a parte: cargas eltricas que se situam no elemento de rea A e que contm Psup.2a parte: demais cargas eltricas.

O ponto Pint. interno e infinitamente prximo a Psup.

Campo devido primeira parte de cargas

Em Pprx. e em Pint. os campos diferem apenas em sentido.

Em Psup. o campo nulo, pois Psup. o centro desta pequena

distribuio de cargas.

Pprx.

APint.

Psup.

Campo devido segunda parte de cargas

Os pontos Pprx., Psup. e Pint. podem ser considerados coinci-

dentes, relativamente a esta segunda parte de cargas. Portan-

to, o campo produzido nos trs pontos o mesmo E2.

Pint.

Pprx.

Psup. E1

E1

Campo total

No ponto Pint., o campo nulo. Logo:

E1 E2 0 E1 E2

No ponto Psup., temos:

Esup. E2

No ponto Pprx., temos:

Eprx. E1 E2

Mas de , vem: Eprx. 2E2

De e : Eprx. 2Esup.

Em mdulo, temos: Eprx. 2Esup.

Pprx.

Pint.Psup.

E2

menu_1: menu_2: menu_3:

fundamentos da física - demonstrações especiais

Documents