Funciones Trigonometricas Inversas

IntroducciónRecordemos que para que una función admita función inversa es necesario y suficiente que ésta sea inyectiva y suryectiva. En el caso de funciones reales a valores reales, si la función es estrictamente monótona, la inyectividad queda garantizada y sólo resta verificar la suryectividad. Para que la función sea suryectiva basta que dado un número real y en el codominio de la función, exista al menos un x en el dominio de la función tal que

Dada una función f, su inversa se denota por . Seguiremos esta notación con relación a las funciones trigonométricas.

Las Funciones Trigonométricas InversasEn trigonometría, con frecuencia nos encontramos con expresiones como

en donde se nos pide determinar el valor de x, o sea encontrar la solución de la ecuación

planteada. Si , las únicas soluciones de la ecuación son Como

la función coseno tiene periodo el conjunto solución es por lo tanto,

Queda claro, que existe una infinitud de soluciones para una expresión tan simple como la considerada.

Restringiendo el dominio de la función coseno es posible obtener soluciones únicas y en consecuencia definir una función inversa para la función coseno. Veamos.

Si es tal que la ecuación admite infinitas soluciones, por lo cual la función coseno es suryectiva. En cuanto a la inyectividad, supongamos que

. Recordemos que si dos arcos generan al mismo coseno entonces los ángulos centrales asociados o son congruentes o son opuestos. Si restringimos x, y al

intervalo entonces . Por lo tanto, si restringimos el dominio del coseno al

subconjunto de su dominio, garantizamos inyectividad y suryectividad y esta

función coseno de dominio restringido al intervalo en consideración, admita función inversa.

En conclusion, dada la función podemos definir una función inversa cuyo dominio es el intervalo [-1, 1] y de codominio el intervalo .

-3 -2 -1 1 2 3x

-3

-2

-1

1

2

3y

cosy x

-1 -0.5 0.5 1x

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y

GráficasPara obtener la gráfica de la función coseno inverso recuerde que la grafica de dos funciones, una inversa de la otra son las reflexiones de cada una con respecto a la recta y = x. En la figura aparecen las gráficas de las funciones coseno (verde y de dominio restringido a ), coseno inverso (rojo) y la recta y = x (azul).

El Resto de las Funciones Trigonométricas InversasAnálogamente, pueden definirse las funciones inversas Para el seno inverso su dominio es el intervalo [-1, 1] y su codominio el intervalo

. En el caso de la tangente inversa el dominio es el conjunto de los números

reales y el codominio el intervalo abierto . En cuanto a la cotangente, su

dominio es el conjunto de los números reales y el codominio el intervalo abierto .

Para la secante inversa el dominio es el conjunto y su codominio es

. Finalmente, la cosecante tiene como dominio al conjunto

y como codominio a .

NotaAlgunos autores definen el codominio de las funciones secante inversa y cosecante

inversa diferente. Para la secante se tiene como codominio al conjunto

mientras que la cosecante al conjunto .

Vale aclarar que las funciones inversas definidas no son las únicas que puede asociarse a las funciones trigonométricas, pero por razones históricas y prácticas los dominios y

codominios son los generalmente aceptados para definir funciones inversas asociadas a las trigonométricas. Se le denomina funciones de valor principal de la función inversa correspondiente.

RelacionesEn general, dada una función trigonométrica, no es posible asociarle una función inversa sin restringir el dominio adecuadamente. Lo que siempre podemos asociarle es su relación inversa. A estas las denotaremos usando el prefijo “arc” delante de la función trigonométrica correspondiente. Así por ejemplo, denota la relación inversa asociada a la función tangente.

Primeras Propiedades de la Funciones Trigonométricas Inversas

Relaciones 1.

2.

3. 4. 5.

6.

7.

8.

9.

Nota: denota la función parte entera. Se le conoce también como “floor function”

Las expresiones arriba nos proporcionan todos los valores de para el dado. Esto es, representan la forma general de un

elemento por las relaciones consideradas. Cuando tomamos restringimos las relaciones al “valor principal”, o sea a cada se le hace corresponder un único .

Ejemplo

Calcule

Solución: Como y está en el intervalo , tenemos que

.

Ecuaciones Trigonométricas Básicas si y sólo si si y sólo si si y sólo si

Identidades

Obsérvese que en cada una de las identidades la x ésta en el dominio de la función considerada.

Establezcamos la primera de estas identidades. Sea Por

definición, y . Sumando,

Pero,

CB

A

sen-1x

cos -1x

x

1

Como esta en el intervalo , la única solución de la ecuación

es , quedando así establecido el resultado.

La interpretación geométrica del resultado es sencilla. Consideremos un triángulo rectángulo de hipotenusa de longitud 1 y lado de longitud x. Sea v la medida del ángulo en B que tiene como coseno a x. Análogamente, sea u la medida del ángulo en A que tiene como seno a x. Como los ángulos agudos de un triangulo rectángulo son complementarios,

Propiedades

A continuación establecemos algunas de estas propiedades.

a)

Sea . Entonces, . Por lo tanto,

Combinando lo anterior en una expresión se obtiene

Tomando , ya que si

b)

Sea o equivalentemente . Entonces,

1

1-x2

x

y

Pero, , por lo cual debido a que

Por lo anterior sólo podemos tomar la raíz positiva y

También es posible establecer este resultado geométricamente. Si

es que y podemos considerar a y como la medida

de un ángulo en radianes tal que . Ver ilustración. Con referencia al triángulo,

.

Otras propiedades

Estableceremos la primera de estas propiedades. Supongamos que y que

. (1)

Como , tenemos que , o sea Sustituyendo t por

x en (1) obtenemos que

. (2)

Pero, y al sumar a cada miembro obtenemos que:

,

e invirtiendo

De (2), de la desigualdad anterior y por definición, es que