Introducción a la trigonometríay a las funciones trigonométricas

Un poquito de historia

Trigonometría es una palabra de etimología

griega, aunque no es una palabra griega. Se

compone de trigonon que significa triángulo

y metria que significa medición. Y se habla

de ella como matemática práctica.

La trigonometría resuelve el siguiente

problema: conocidos algunas de las

componentes de un triángulo, determinar las

restantes

La geometría (teórica) nos dice cuándo ciertos

datos determinan que salvo por posición un

triángulo de lados dados, la trigonometría

(práctica) nos dice cómo calcular los restantes.

Ángulos

• ÁNGULOS Y CUADRANTES

• Todas circunferencia al ser cortada por los ejes de coordenadas , quedadividida en cuatro partes iguales independientemente de la medida del radio.Cada una de dichas partes se llama CUADRANTE y se numeran en sentidoantihorario, al igual que los ángulos.

• El 1º Cuadrante iría de 0º a 90º (de 0 a Π/2 radianes)

• El 2º Cuadrante iría de 90º a 180º (de Π /2 a n radianes)

• El 3º Cuadrante iría de 180º a 270º (de Π a 3 Π /2 radianes)

• y El 4º Cuadrante iría de 270º a 360º (de Π n/2 a 2 Π radianes)

• A todos los efectos, si un ángulo o suma de ángulos pasara de 360º, se le restatantas veces 360º como sea necesario.

• Así, tener 370º es como tener 10º, tener 750º es como tener 30º.

El radian• EL RADIAN

• Un radian será aquel ángulo cuyo ARCO mide IGUAL que el RADIO que loforma. Esa medida es independiente del valor del radio. Una circunferencia tiene 2.nradianes.

• Un radian valdrá : 360º

• Π rad = ------ = 180º

• 2. Π

• SUMA DE ÁNGULOS

• En todo triángulo la suma de sus tres ángulos es siempre de 180º. El inconvenientede esta propiedad es que para conocer un ángulo es necesario saber la medida de losotros dos. Ese inconveniente se salva con la Trigonometría.

• TRIGONOMETRÍA.- Es la parte de las matemáticas que estudia la relaciónentre los ángulos y los lados de un triángulo.

a

cb

Si conocemos dos de los lados

del triángulo, como el Teorema

de Pitágoras afirma que

a2 + b2 = c2,

Comencemos con triángulos rectángulos.

conocemos el tercer lado.

Eso sí, debemos saber si los

lados que conocemos son catetos

o la hipotenusa.

Trigonometría

NOTEMOS que la hipotenusa pasa por los

puntos de la retícula. Los triángulo de las

esquinas tienen los mismos ángulos.

Dividimos los catetos en r partes iguales, y

formamos una retícula. Los catetos de los

triángulos de las esquinas miden a/r, b/r y

su hipotenusa será, por el Teorema de

Pitágoras igual a c/r.

Resolución de triángulos rectángulos.

Pero no tenemos ninguna información acerca de los

ángulos. A continuación comenzaremos a abordar este

problema.

Las observaciones anteriores permiten resolver el siguiente

¿ Cuál será la altura del árbol que proyecta una sombra de 4 m si se encuentra al lado de Alberto que mide 1.75 m y proyecta una sombra de 3.5 m ?

Problema

Sigamos con el problema de encontrar los ángulos en triángulos rectángulos.

Vamos a escoger triángulos “normalizados”, que representen a cada triángulo rectángulo.

Tomaremos triángulos con hipotenusa unitaria.

a2 + b2 = c2

c

a

b

a/c

b/c

(a/c)2 + (b/c)2 = 1

pasamos a

1

de 1

Construcción de triángulos de hipotenusa unitaria

Ángulos Notables

ángulo seno coseno tangente

60o1/2

30o1/2

45o1

2

3

2

3

3

3

1

2

2

2

2

Ángulos Notables

ángulo0° y

360°90° 180° 270°

sen0 1 0 -1

cos 1 0 -1 0

tan0 ∞ 0 -∞

La figura muestra las funciones trigonométricas asociadas a un ángulo agudo ubicado en una circunferencia

sen

cos

tan

cotan

cosec

sec

secante

cosecante

seno

coseno

Funciones Trigonométricas

P

l

en

cuadr.I II III IV

sen

csc + + - -

cos

sec + - - +

tan

cot + - + -

P

P

P

TodosSen

Csc

Tan

Cot

Cos

Sec

Funciones trigonométricas: seno de un ángulo agudo

c

a

hipotenusa

opuesto catetosen

a

b

cb/c

a/c1

Funciones trigonométricas: coseno de un ángulo agudo

c

b

hipotenusa

adyacente cateto cos

a

b

cb/c

a/c1

Funciones trigonométricas: tangente y cotangente de un ángulo agudo

a

b

c

b/c

a/c1

b

a

adyacente cateto

opuesto catetotan

a

b

opuesto cateto

adyacente catetocotan

Funciones trigonométricas: secante y cosecante de un ángulo agudo

a

b

c

b/c

a/c1

b

c

adyacente cateto

hipotenusa sec

a

c

opuesto cateto

hipotenusa cosec