Bachiller:

Bustamante G. Jesús M

ITS Sistema SAIA

Barcelona, 2.014

FUNCIONES TRIGONOMETRICASUna función trigonométrica,

también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas, se pueden resaltar las siguientes:

Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la función tangente es p.

Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).

Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada. Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.

FUNCIONES TRIGONOMETRICASLA FUNCIÓN SENO: Se denomina función seno, y se denota

por f (x) 5 sen x, a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.

LA FUNCIÓN COSECANTE puede calcularse como la inversa de la función seno expresada en radianes.

Gráfica de la Función Seno

FUNCIONES TRIGONOMETRICASEJERCICIO DE FUNCIÓN SENO

Dada la siguiente función y = sen (5x), estudia todas sus características. Representa su gráfica.

1) Dominio: Dom(f) = R2) Recorrido: Im(f) = [-1 , 1]3) Periodicidad:Como la función seno es periódica de período 2π, la función f(x) = sen (5x) es periódica

de período:2π = 5x ⇔ x = 2π/5

Es periódica de período 2π/5 .

También podemos hallar el período de la función así:f(x) = sen(5x) = sen(5x + 2π) = sen[ 5 (x + 2π/5) ] = f(x + 2π/5)

También podemos calcular el periodo de forma más fácil aplicando directamente la siguiente fórmula:

Periodo = 2π/5

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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS…/EJERCICIO DE FUNCIÓN SENO

4) Puntos de corte:Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función.Puntos de corte con el eje Y:Si x = 0 ⇒ y = sen 0 ⇒ y = 0 ⇒ (0 , 0)Puntos de corte con el eje X:Si y = 0 ⇒ 0 = sen (5x) ⇒ 5x = 0 ó 5x = π ⇒ x = 0 ó x = π/5 ⇒ (0 , 0) , (π/5 , 0)5) Máximos y mínimos:Calculamos los máximos y mínimos que se encuentran dentro del primer período de la función.Los puntos máximos de la función vendrán dados por la ecuación:

1 = sen (5x) ⇒ 5x = π/2 ⇒ x = π/10 ⇒ (π/10 , 1)Los puntos mínimos de la función vendrán dados por la ecuación:

-1 = sen (5x) ⇒ 5x = 3π/2 ⇒ x = 3π/10 ⇒ (3π/10 , -1)GRÁFICA:

FUNCIONES TRIGONOMETRICASLA FUNCIÓN COSENO: La función coseno, que se denota por

f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. Esta función es periódica, acotada y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales.

LA FUNCIÓN SECANTE se determina como la inversa de la función coseno para un ángulo dado expresado en radianes.

Gráfica de la Función Coseno

FUNCIONES TRIGONOMETRICASEJERCICIO DE FUNCIÓN COSENO

Dada la siguiente función y = 2 cos(x), estudia todas sus características. Representa su gráfica.

1) Dominio: Dom(f) = R2) Recorrido: Im(f) = [-2 , 2]3) Periodicidad:Como la función coseno es periódica de período 2π , la función f(x) = 2 cos(x) tiene el

mismo período: 2π

También podemos sacar el período de la función así:f(x) = 2 cos(x) = 2 cos(x + 2π) = f(x + 2π)

4) Puntos de corte:Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función.Puntos de corte con el eje Y:Si x = 0 ⇒ y = 2 cos 0 ⇒ y = 2 ⇒ (0 , 2)Puntos de corte con el eje X:Si y = 0 ⇒ 0 = 2 cos(x) ⇒ cos(x) = 0 ⇒ x = π/2 ó x = 3π/2Luego los puntos de corte con el eje X son: (π/2 , 0) , (3π/2 , 0)

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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS…/EJERCICIO DE FUNCIÓN COSENO

5) Máximos y mínimos:

Calculamos los máximos y mínimos que se encuentran dentro del primer período de la función.

Los puntos máximos de la función vendrán dados por la ecuación:

2 = 2 cos(x) ⇒ 1 = cos(x) ⇒ x = 0 ó x = 2π ⇒ (0 , 2) , (2π , 2)

Los puntos mínimos de la función vendrán dados por la ecuación:

-2 = 2 cos(x) ⇒ -1 = cos(x) ⇒ x = π ⇒ (π , -2)

GRÁFICA:

FUNCIONES TRIGONOMETRICASLA FUNCIÓN TANGENTE: Se define función tangente de una

variable numérica real a la que resulta de aplicar la razón trigonométrica tangente a los distintos valores de dicha variable. Esta función se expresa genéricamente como f (x) = tg x, siendo x la variable independiente expresada en radianes.

LA FUNCIÓN COTANGENTE es la inversa de la tangente, para cualquier ángulo indicado en radianes.

Gráfica de la Función Tangente

FUNCIONES TRIGONOMETRICASEJERCICIO DE FUNCIÓN TANGENTE

Dada la siguiente función y = tg(x/4), estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.

1) Dominio:

La función tangente no está definida en: (2k + 1)π/2 , k ∈ Z

Por tanto, nuestra función tampoco estará definida en:

x/4 = (2k + 1)π/2 k ∈ Z ⇔ x = 2(2k + 1)π , k ∈ Z

Luego: Dom(f) = R - { 2(2k + 1)π | k ∈ Z }

2) Recorrido: Im(f) = R

3) Periodicidad:

Como la función tangente es periódica de período π , la función f(x) = tg (x/4) es periódica de período:

x/4 = π ⇔ x = 4π

Es periódica de período 4π .

También podemos sacar el período de la función así:

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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS…/EJERCICIO DE FUNCIÓN TANGENTE

También podemos calcular el periodo de forma más fácil aplicando directamente la siguiente fórmula:

4) Puntos de corte:Puntos de corte con el eje Y:

x = 0 ⇒ y = tg(x/4) ⇒ y = tg(0) ⇒ y = 0 ⇒ (0 , 0)Sabemos que la función tangente corta al eje X en: 0 = tg(x) ⇔ x = 0 ó x = πEn nuestro caso: 0 = tg(x/4) ⇔ x = 0 ó x/4 = π ⇔ x = 0 ó x = 4πComo el período de nuestra función es 4π , los puntos de corte con el eje X en el primer

período son: (0 , 0) , (4π , 0)5) Máximos y mínimos:La función tangente no tiene máximos ni mínimos, por tanto, f(x) = tg(x/4) tampoco los

tiene.GRÁFICA:

FUNCIONES TRIGONOMETRICASEJERCICIO DE FUNCIÓN SECANTE

Dada la siguiente función y = 3 sec(x), estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.

1) Dominio:

La función cos(x) es cero en:

tanto, el dominio de nuestra función vendrá dado por:

2) Recorrido:Sabemos que el recorrido de la función coseno es [-1 , 1] . Es decir: - 1 ≤ cos(x) ≤ 1Separamos las dos desigualdades y, operando, tratamos de "conseguir" nuestra función:

Luego: - 3 ≥ f(x) , que representa el intervalo (-∞ , - 3]

Luego: f(x) ≥ 3 , que representa el intervalo [3 , ∞)Por tanto, el recorrido o imagen de nuestra función es: Im(f) = (-∞ , - 3] ∪ [3 , ∞)3) Periodicidad:Como la función secante es periódica de período π , la función f(x) = 3 sec(x) tiene el mismo

período: π .También podemos sacar el período de la función así: f(x) = 3 sec(x) = 3 sec(x + π) = f(x + π)

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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS…/EJERCICIO DE FUNCIÓN SECANTE

4) Puntos de corte:

Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función.

Puntos de corte con el eje Y:

Si x = 0 ⇒ y = 3 sec 0 ⇒ y = 3·1 = 3 ⇒ (0 , 3)

No tiene puntos de corte con el eje X, puesto que: y = 0 ∉ Im(f) = (-∞ , - 3] ∪ [3 , ∞)

5) Máximos y mínimos:

La función sec(x) no tiene ni máximos ni mínimos absolutos, por tanto, la función f(x) = 3 sec(x) tampoco.

GRÁFICA:

FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTOLa definición del valor

absoluto surge de nociones geométricas, y se relaciona con los conceptos de longitud y distancia. Tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x.

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTOEJERCICIOS FUNCIÓN DE VALOR ABSOLUTO

Representa la función valor absoluto: f(x) = |x − 2|

f(x) = |x − 2|

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FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTOEJERCICIOS FUNCIÓN DE VALOR ABSOLUTO

Representa las función valor absoluto e indica su dominio: f(x) = |x − 3|

D =

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FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTOEJERCICIOS FUNCIÓN DE VALOR ABSOLUTO

Representa las función valor absoluto e indica su dominio:

D =

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FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTOEJERCICIOS FUNCIÓN DE VALOR ABSOLUTO

Representa la función valor absoluto:

f(x) = |x| − x

x = 0

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FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTOEJERCICIOS FUNCIÓN DE VALOR ABSOLUTO

Representa la función valor absoluto:

f(x) = |x| / x

x = 0