UNIVERSIDAD DE ORIENTE – NUCLEO BOLIVAR

FUNCIONES NOCIONES GENERALES

Prof. DANILO BOLIVAR

Guía de estudio para estudiantes de la asignatura básica Matemática I.

1

FUNCIONES Se espera que esta guía de estudio, se constituya en una herramienta que permita facilitar significativamente el aprendizaje de esta Unidad. Se trata el tema de funciones considerando los aspectos generales más importantes, relacionados con el programa vigente de matemática I, de la UNIVERSIDAD DE ORIENTE. Posteriormente en otras guías, se estudiarán con mayor detalle los diferentes tipos de funciones y sus características principales.

Antes de entrar en el tema, conviene recordar qué es una RELACIÓN desde el punto de vista matemático. Al respecto existen diferentes definiciones, unas más sencillas que otras, pero todas persiguen transmitir una misma idea. Veamos algunas. RELACIÓN:

a) Es una asociación entre elementos de dos conjuntos. b) Es un conjunto de pares ordenados donde para cada uno se cumple

que sus componentes están vinculados entre sí, según una propiedad o ley de correspondencia definida.

c) Es una regla que a elementos de un conjunto asocia elementos de otro conjunto.

d) Dados dos conjuntos X y Y se llama relación de X en Y a toda propiedad o ley de correspondencia que permite vincular elementos del conjunto X, con elementos del conjunto Y.1

Las siguientes palabras o frases, son eventualmente utilizadas como sinónimos de Relación: “Ley de correspondencia, regla, expresión, propiedad, ecuación”. Qué produce una Relación?

“Un vínculo, una conexión, una asociación, una correspondencia, un enlace”.

Veamos dos ejemplos de relaciones, utilizando para ello, diagramas sagitales: Ejemplo 1

Y 2 = X

X Y

1 Se entiende que X es el conjunto de partida y Y el de llegada.

4 0 9

-3 -2 0 2 3

Observe que la ley de correspondencia

Y 2 = X permite vincular los elementos

del conjunto X con los de Y. Particularmente a 4 lo vincula con –2 y con 2, a 0 con 0 y a 9 lo asocia con –3 y con 3. Este enlace de elementos permite que se generen los siguientes pares ordenados: (0,0), (4,-4), (4,2), (9,-3) y (9,3).

Nota: recuerde que si Y2 = X entonces, equivalentemente, Y = ± x

2

Ejemplo 2 Y = X + 1 X Y

Para iniciar un análisis comparativo entre estos dos ejemplos se tomará como base la definición de relación indicada en el literal d, página 1, cito:

“Dados dos conjuntos X y Y se llama relación de X en Y a toda propiedad o ley de correspondencia que permite vincular elementos del conjunto X, con elementos del conjunto Y”.

Comparación:

a) Como se puede observar, en los ejemplos 1 y 2, en ambos existen propiedades o leyes de correspondencia, éstas son:

Ejemplo 1: Y 2 = X

Ejemplo 2: Y = X + 1

b) Ambas leyes de correspondencia permiten vincular elementos del

conjunto ( X ) con elementos del conjunto ( Y ). TABLA 1 TABLA 2

Según estos resultados ambas leyes de correspondencia cumplen con la

definición d) (página 1), por lo que ambas, son Relaciones. Sin embargo entre ellas existe una diferencia que es fundamental. Nótese en el ejemplo 1, cómo la ley de correspondencia permite que a algunos elementos del conjunto de partida, se le vinculen MÁS DE UN ELEMENTO del conjunto de llegada. Mientras que en el ejemplo

0 1 2 3 4

1 2 3 4 5

En este caso la ley de correspondencia Y = X + 1 también vincula a los elementos del conjunto X con los de Y. Particularmente a 0 lo vincula con 1, a 1 con 2, a 2 con 3, a 3 con 4 y a 4 con 5. Se generan así, los siguientes pares ordenados (0,1), (1,2), (2,3), (3,4) y (4,5).

Ejemplo 1

0 con 0 4 con -2 4 con 2 9 con -3 9 con 3

Ejemplo 2

0 con 1 1 con 2 2 con 3 3 con 4 4 con 5

3

2, la ley de correspondencia permite que a cada elemento del conjunto de partida, se le asocie UNO Y SÓLO UN elemento del conjunto de llegada. Esta diferencia determina que sólo una de las dos relaciones anteriores, sea una Función, por lo que ya se puede escribir una definición de Función.

FUNCION:

“Dados dos conjuntos X y Y se llama Función de X en Y a toda propiedad o ley de correspondencia que permite vincular a cada elemento del conjunto X, UNO Y SÓLO UN elemento del conjunto Y”.

Por lo tanto, aun cuando ambas leyes de correspondencia, Y 2 = X y Y

= X + 1, son relaciones, sólo Y = X + 1 es Función. De esta manera se puede concluir que: “Toda Función es una Relación, pero no toda Relación es una Función”.

Para establecer en la práctica una diferencia cómoda se puede hacer referencia

a Y 2 = X como una, “relación no funcional”, y a Y = X + 1, como una “relación

funcional” o simplemente una “función”. Es importante señalar, que también en el caso de las funciones existen múltiples

definiciones, por lo que podemos citar al menos una, un tanto rigurosa. “Es una colección de pares ordenados tal que si (a,b) y (a,c) pertenecen a esa colección, entonces b = c” .2 Significa que de existir los pares (a,b) y (a,c) en una función, entonces, “b” debe

ser igual a “c”, lo que obliga a que ambos, sean un mismo y único par. Esta definición plantea que en una función no pueden existir dos pares ordenados diferentes que tengan el mismo primer elemento.

La restricción de que dos pares ordenados distintos no puedan tener el mismo primer elemento asegura que “y” es único para un valor específico de “x”. 3

Se puede observar que esta definición, se aplica para los pares ordenados del ejemplo 2 (ver tabla 2, pag. 2), mientras que en el ejemplo 1 (tabla 1), los pares (4,-2) y (4,2), tienen los primeros componentes iguales y los segundos diferentes. Esto contradice la definición de función, situación que también se presenta con los pares (9,-3) y (9,3). En consecuencia se confirma que la relación del ejemplo 1, no es función.

Se puede hacer énfasis en que una función es un ente matemático triple pues consta de un conjunto de partida A, un conjunto de llegada B y una regla de asignación de elementos de A con elementos de B (sea conocida, desconocida o imposible de conocer).

2 Spivak, Calculus Cálculo Infinitesimal. Pag. 58. 3 Leithold, Cálculo Cienc. Adm. Biol. y Soc. pag. 26. Hasser N. Análisis. Pag. 124.

4

NOTACIÓN Simbólicamente existen diversas notaciones para una función:4 Y se leen, “la función f definida sobre el conjunto X y con valores en el conjunto

Y”. Al conjunto X se le llama dominio y al conjunto Y se le llama, rango, recorrido, contra dominio, codominio o ámbito.

La ley correspondencia definida como función se denota generalmente con las

letras minúsculas f, g, h,..., o bien las letras griegas ,, ...y en ocasiones se usan

letras mayúsculas F, G, H,...etc. 5 Existe otra notación que desde el punto de vista del análisis matemático

riguroso, no indica adecuadamente lo que es una función (se debe señalar que no es objetivo de este trabajo discutir los aspectos filosóficos que fundamentan esta afirmación), sin embargo esta notación es ampliamente utilizada en los textos de Cálculo; la misma es:

Donde “y” representa la variable dependiente y “x” la variable independiente. Por

otra parte f representa las operaciones que han de efectuarse sobre un elemento cualquiera “x”, del conjunto de partida, para obtener su imagen “y” en el conjunto de llegada. Se dice entonces que la función está descrita por una fórmula matemática.

Así, si la expresión de la función y = f(x) es X3, se puede escribir:

Y = f(x) = X 3 ; f(x) = X 3 ó simplemente Y = X 3

Se establece que todos los elementos del conjunto de partida deben elevarse al cubo para obtener las imágenes correspondientes en el conjunto de llegada. Esta notación permite ahorrar palabras, por ejemplo; en lugar de preguntar “¿Cuál es el valor de “y” que corresponde a x = 3?” se puede preguntar, “¿Cuánto vale f (3)? “.6

En general una función queda definida si se dan tres elementos: ley de

correspondencia, dominio y rango. Veamos algunas definiciones de dominio y rango.

4 Leibniz G. Fue el primero en usar el término función en 1694. Larson H. Cálculo. Vol. I. Pag.25. 5 Tomo I , Matemática I, Universidad Nacional Abierta. Pag. 161. 6 Larson. Cálculo. Vol. I. Pag.25.

y = f ( x ) y se lee “y es función de x” ó “ye es igual a efe de equis”

X f

Y f : X Y

5

DOMINIO

1. “Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de partida que participan en la relación. 7

2. “Es el conjunto de los valores que toma la variable independiente tal que la relación sea, real”.

3. “Es el conjunto de todos los “a” para los que existe algún “b” tal que (a,b) está en la relación”.

4. “Es el conjunto de todos los “a” para los que existe algún “b” tal que (a,b) está en la relación y “b”, designado como f(a), es único”. 8

Las tres primeras definiciones corresponden al dominio de una relación en

general, mientras que la última particularmente, define el dominio de una función. Si el dominio de una función no se restringe explícitamente se sobrentiende

formado por todos los números reales para los que la definición tiene sentido.

Por ejemplo en la función ɪ) y = x se puede “intuir” basados en la definición

número dos, que el dominio es el conjunto de todos los valores de x positivos y el cero, pues para estos valores la función es real (si “x” fuese un número negativo p. Ej. x = -2

entonces “y” tomaría el valor 2 el cual no es un número real). El dominio se puede

escribir como:

x ℝ / 0 ≤ x < +

Significa que el dominio de la función es el conjunto de números reales (ℝ) que

pertenecen al intervalo [0, + ), este dominio recibe el nombre de “dominio de definición” o simplemente “dominio”.

El dominio de definición puede darse por sobreentendido si es el que se

considera para el estudio de algún caso en particular, pero si por alguna razón el investigador ó el autor de algún texto de matemática, decide restringir el dominio de definición a un intervalo (a,b), contenido en el dominio de definición, entonces el dominio de la función es ahora el intervalo (a,b), el cual no es el dominio de definición. El intervalo (a,b) es más bien un dominio restringido explícitamente.

Tomando en cuenta estas consideraciones, la función es ahora ɪɪ) y =

x , y su dominio se escribirá:

x ℝ / a < x < b

7 Figuera Júpiter. Matemática. Pag.1. 8 Spivak. Cálculo Infinitesimal. Pag. 58.

6

Veamos el siguiente cuadro resumen:

Función

Dominio de definición “Dominio implícito”

Dominio restringido “Dominio explícito”

ɪ) y = x

x ℝ / 0 ≤ x < +

ɪɪ) y = x

x ℝ / a < x < b

En las figuras 1 y 2 se pueden ver las gráficas de las dos funciones:

ɪ) y = x ɪɪ) y = x

Dominio Dominio

Figura 1

Figura 2

Observación: Aun cuando la fórmula que representa las funciones ɪ y ɪɪ es la misma, estas funciones se consideran diferentes pues tienen distintos dominios. 9

RANGO

1. “Conjunto de imágenes correspondientes a los elementos del dominio”

2. “Es el subconjunto formado por todos los elementos en el conjunto de llegada que están en correspondencia con todos los elementos del dominio”

Para la función ɪ) y = x , el rango es el conjunto de valores de “y” que

pertenecen al intervalo [0, + ) (ver figura 3), y se puede escribir como:

y ℝ / 0 ≤ y < +

9 El cálculo analítico del dominio y rango se tratará en otras guías.

7

pero en el caso de la función ɪɪ que presenta un dominio restringido al intervalo (a,b), el rango queda determinado en el intervalo (c,d). Ver figura 4.

ɪ) y = x ɪɪ) y = x

Figura 3 Figura 4 En el segundo caso en particular, el rango puede escribirse como:

y ℝ / c < y < d

Los conceptos de función, dominio y rango, quedan muy bien precisados en el contexto de la definición de función, propuesta por Norman Haaser et al; en su trabajo titulado “Análisis Matemático”, ésta es: “Una función es un conjunto de pares ordenados de elementos tales que ningunos dos pares distintos tienen el mismo primer elemento. El conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados se llama dominio de la función, y el conjunto de los segundos elementos, rango de la función”. 8

Si el número “X0” es un elemento del dominio de una función real, entonces el

número Yo = F(X0) es el correspondiente elemento del rango de la función y recibe el nombre de “imagen” de X0. Por esta razón algunos autores llaman a “X0” contraimagen (también llamado preimagen) del número F(X0).

Diferencia entre relación funcional y relación no funcional Las diferencias desde el punto de vista de la definición se trataron al principio de este capítulo. Sin embargo existen diferencias significativas desde el punto de vista de la gráfica de una relación, que permiten distinguir si ésta corresponde a una relación funcional, o no funcional. En otras palabras, si la gráfica corresponde a una función o

8 Hasser Norman et al. Análisis Matemático. Pag. 124.

Ra n g o

Ra n g o

8

no. Para ello observe la gráfica (figuras 5 y 6) de los pares ordenados de los ejemplos 1 y 2. Nota.. Estos ejemplos se trataron en las páginas 1 y 2. Ejemplo 1: X = Y2 Ejemplo 2: Y = X + 1

Figura 5 Figura 6. En el ejemplo 1 noten que los pares (4,-2) y (4,2) tienen las primeras componentes iguales y las segundas componentes diferentes, al representar estos pares en el plano, su gráfica son dos puntos que tienen igual abscisa y diferente ordenada, por lo que se ubicarán uno sobre el otro en la misma vertical. Igual situación sucede con los pares (9,-3) y (9,3), también éstos quedan ubicados sobre una misma vertical (Este hecho determinará un criterio para identificar a partir de la gráfica de una relación, si ésta corresponde a una función o nó). Del ejemplo 2 se puede comentar que, dado que no hay pares que tengan primeras componentes iguales, su ubicación en el plano determinará que no ocurra más de un punto de la gráfica, sobre una misma línea recta vertical. Si en el ejemplo 1 consideramos a X como el conjunto de los números reales

que pertenecen a [0,+∞) y a Y, en (-∞,∞), entonces la gráfica de Y2 = X se representará como un trazado continuo. Ver figura 7. Por otra parte si en el ejemplo 2

los conjuntos X y Y estuvieran conformados por los números reales en (-∞,∞), la gráfica de Y = X + 1 sería una recta de longitud infinita. Ver figura 8.

.

Pares (0,0) (4,-2) (4,2) (9,-3) (9,-3)

Pares (0,1) (1,2) (2,3) (3,4) (4,5)

v

v

v

v

v

9

Y2 = X Y = X + 1

Figura 7 Figura 8 Observe ahora que si trazamos una recta vertical en alguna región de manera que intercepte a la gráfica de Y2 = X, excepto en X = 0, lo hará en más de un punto (puntos que tienen la misma abscisa pero diferente ordenada por lo que se ubican uno sobre otro), mientras que si las rectas verticales se trazan en la gráfica de Y = X + 1 , solo la cortarán en un único punto. Ver figuras 9 y 10. Y2 = X Y = X + 1

Figura 9 Figura 10 Esta situación nos permite señalar una regla práctica para determinar si la gráfica de una relación es función o no. En otras palabras, si la gráfica de una relación corresponde a una “relación funcional” o a una “relación no funcional”. Esta es.. “Si la gráfica de una relación es cortada en más de un punto, por una recta vertical trazada en alguna zona, se dice que la gráfica corresponde a una relación no funcional (figura 9); si la recta vertical trazada en cualquier zona, corta a la gráfica de la relación a lo más en un punto, se puede decir que la gráfica corresponde a una “relación funcional” o simplemente a una “función” (figura 10).

.

10

Dominio y rango a partir de la gráfica de una función. El dominio y el rango de una relación se pueden determinar a partir de su gráfica, si en ella se presentan las coordenadas de algunos “puntos necesarios”. Puntos estos, que van a permitir precisar los extremos de los intervalos del dominio y

del rango, salvo cuando la gráfica se extienda en ±∞. Al ser el dominio, el conjunto de las abscisas de todos los puntos de la gráfica, éste, se puede “percibir”, “proyectando” verticalmente los puntos de la gráfica, hacia el eje de las abscisas. Ejm: Y Y = F(x)

a X +∞ Se puede observar que la primera componente (abscisa), del punto más a la izquierda de la gráfica de F(X) es “a”, por lo que el dominio se inicia en el número “a”. Las proyecciones sucesivas, de puntos sucesivos de la gráfica, generarán una secuencia también sucesiva, de abscisas que se extenderán infinitamente. Por lo tanto

el dominio quedará determinado por el intervalo [a,+∞) y se puede escribir como:

x ℝ / a ≤ x < +

Por otra parte como el rango es el conjunto de las segundas componentes (ordenadas), de cada punto de la relación, éste se puede “percibir”, “proyectando” horizontalmente los puntos de la gráfica hacia el eje de las ordenadas. Ejm. Y

+∞ Y = F(x) c X

a +∞ El rango se puede escribir como:

y ℝ / c ≤ y < + .

Por analogía con los razonamientos del caso anterior, se puede deducir que el rango, es el conjunto de los valores de “y” que se encuentran en

el intervalo [c,+∞).

11

Representación de funciones Las funciones, por lo general se representan en forma tabular, por puntos o en forma gráfica. Tabular:

Algunas veces una función se puede representar mediante una tabla de datos. Esta consiste en una fila de entradas (valores de la variable independiente) y una fila de salida (valores de la variable dependiente). Por ejemplo, Y = 5/9 (X – 32) es una función que a todo valor de X (entrada), le resta 32 unidades y luego multiplica el resultado por 5/9 para obtener así los valores de Y (salida) y según un intervalo útil de trabajo se puede representar tabularmente. Ejemplo:

X 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Y 10,0 12,8 15,6 18,3 21,1 23,9 26,7 29,4 32,2 35,0 37,8

Ventaja del diagrama tabular: útil para usos prácticos puntuales. Desventajas: es muy limitado. Mediante puntos: También es posible representar una función mediante la gráfica de algunos pares ordenados (Figura 11). Tomando los datos tabulados anteriormente se puede hacer una representación: Figura 11 Ventaja: permite observar tendencias de los datos.

Desventaja: presenta como limitante, intervalos de trabajo reducidos.

Analítica

ºC

ºF

12

Consiste en someter la función a un riguroso análisis matemático que permita comprender su comportamiento en general y precisar exactamente cómo es su gráfica. Definición de gráfica:

Podemos citar las siguientes definiciones:

“sea f una función tal que los elementos de entrada “x” y sus valores de salida f(x) son números, se llama gráfica de una función al conjunto de todos los puntos de la forma (x , f(x) )” 10 “Es el conjunto de todos los puntos en R2 cuyas coordenadas son los puntos que satisfacen la ecuación” 11

Considerando la definición de gráfica, el análisis matemático va a permitir precisar la ubicación de todos los puntos (x , f(x) ) y conocer las tendencias generales de la función. El análisis es un estudio integral que generalmente consiste en determinar su dominio, rango, simetría, intersecciones con los ejes, asíntotas, crecimientos, decrecimientos, concavidades, puntos extremos, puntos de inflexión, evaluar su continuidad, etc... Estos análisis ejecutados en funciones como la de la figura siguiente permiten determinar su gráfica. Figura 12.

10 Stein S. Cálculo con Geometría Analítica. Pag. 19. 11 Leithold L. Matemáticas Previas al Cálculo. Pag. 114.

23 2

1

xXY

13

Algunas Consideraciones Respecto a Las Funciones a) Terminología

En ocasiones una función también recibe el nombre de “ecuación”12.

Así respecto a la relación funcional Y = X + 1, algunos autores hacen referencia como sigue:

“La ecuación Y = X + 1 tiene como solución los pares de valores de X e Y

que la satisfacen.........” “Función explícita........”, cuando se refieren a una relación funcional donde

la variable “Y” está despejada, ejemplo Y = X + 1. “Función implícita.........”, cuando hacen referencia a una relación funcional

contenida en una ecuación donde la variable “Y” no se encuentra despejada, ejemplo la ecuación Y – X = 1 ó Y – X – 1 = 0. En términos generales se representa como F(x,y) = 0. En importante ser cuidadoso en los casos de ecuaciones donde la variable “y” no está despejada pues ésta podría representar una relación no funcional, y esta a su vez podría contener varias funciones implícitas, ejemplo la relación x2 + y2 = 4.

b) Causalidad Una función explica el comportamiento de una variable (dependiente), respecto a otra variable (independiente), sólo eso, y no debe darse por cierto el efecto de causalidad. Esto significa que no necesariamente un cambio en el valor de una variable, provoca un cambio en el valor de la otra; por ejemplo, la temperatura “Y” de un fluido está en función de la pérdida o ganancia de energía “X”, por lo que una disminución de energía desde X2 hasta X1,

provocará un descenso en la temperatura desde Y2 hasta Y1, pero un incremento de la temperatura hasta desde Y1 hasta Y2, no necesariamente provoca un incremento del nivel de energía desde X1 hasta X2. Pues podrían intervenir otras variables. Sin embargo, puede haber casos de relaciones proporcionales fijas entre dos variables, en condiciones controladas, mas no es la generalidad.

c) Modelos Las fórmulas también son relaciones entre variables, por lo que en consecuencia también podrían ser funciones y como tales, tener gráfica. Por ejemplo:

12 Larson H. Cálculo. Vol. I. Pag. 25

14

Es fácil escribir una expresión que nos permita calcular el perímetro (P) de un cuadrado, pues se sabe que un cuadrado tiene cuatro lados (L) iguales, luego la expresión será:

P = L + L + L + L o equivalentemente P = 4 L

Se puede decir que el perímetro P es función de la medida o longitud de los lados, luego la expresión obtenida P = 4 L es una ley de correspondencia o una relación. Particularmente es una función, que también podría escribirse como:

P = f ( L ) o P = f ( L ) = 4 L o simplemente P = 4 L

La función P = 4 L representa un modelo matemático que explica esta situación particular, así, considerando a “P” la variable dependiente y “L” la variable independiente, se puede graficar la función P = 4 L (figura 13).

Por otra parte se sabe que la fórmula A = L2 permite calcular el área de un cuadrado conocida la longitud de sus lados. Dicha fórmula también representa una función donde el área está en función del lado, por lo que también se puede escribir como..

A = f ( L ) o A = f ( L ) = L2 o simplemente A = L 2

Así, considerando a “A” la variable dependiente y a “L” la independiente se puede graficar dicha función. (ver figura 14).

P = 4 L A = L2

Figura 13 Figura 14

Observe una situación interesante; está claro que A = L2 representa una relación funcional o simplemente una función. Sin embargo, si se despeja L se

.

P A

L

L

15

tiene equivalentemente que L = ± A , expresión esta que no es función y que

corresponde a una relación no funcional. Si consideramos a “L” la variable dependiente y a “A” la variable independiente, se observa que la gráfica obtenida (figura 13), no es función, por lo que sólo podemos decir que es una relación no funcional.

L = ± A

Figura 13

Conviene señalar que las funciones de uso más frecuente en cálculo son

aquellas en las cuales los conjuntos de partida y llegada están incluidos en

y se llaman “Funciones Reales de Variable Real”.

1.- Ejercicio:

Obtenga una función que relacione el perímetro de un cuadrado con su

área. Se pide una expresión donde el perímetro de un cuadrado sea función de

su área: Se sabe que: P = 4 L y que A = L2

Despejando L en A = L2 se tiene L = ± A

Sustituyendo en P = 4 L se tiene P = 4 ( ± A )

Puesto que una longitud es positiva, entonces: P = 4 ( A )

así: P = f ( A ) = 4 ( A )

Considerando a “P” como la variable dependiente y a “A” la independiente observe su gráfica en la figura 14.

L

A

16

Observación: el objetivo de presentar la gráfica es ilustrar el ejercicio, pues el enunciado de éste, no contempla que se elabore.

P = 4 ( A )

Figura 14

2.- Ejercicio:

Determine: a) si la representación gráfica dada (figura 15) corresponde a una función o nó y b) Diga cuál es el dominio y el rango. En caso de no ser posible escriba sus comentarios.

Figura 15 a) La gráfica corresponde a una función, pues se observa que cualquier recta

vertical que se trace interceptará a la curva, sólo una vez.

P

L

P

A

5

8,

5

7

5

8,

5

7

+∞

-∞

+∞

-∞

17

b) Dominio: Para determinar el dominio proyectamos verticalmente los puntos de la gráfica hacia el eje de las X. Las proyecciones sucesivas ocurren en el eje X desde -∞ hasta +∞ (ver figura 16), por lo que se puede decir que el dominio es el conjunto de todos los números reales. También se puede representar como el intervalo (-∞,+∞) y escribirse como:

x ℝ / - < x < +

Figura 16 Rango: Similarmente se determina el rango proyectando horizontalmente los puntos de la gráfica en dirección del eje Y (ver figura 17). Esto genera un conjunto de números reales comprendidos entre los valores –7/5 y 7/5 , inclusive ambos, por lo que se puede decir que el rango es el intervalo [-8/5 , 8/5], y escribirlo como:

Y ℝ / - 8/5 ≤ Y ≤ 8/5

+

-

5

8,

5

7

5

8,

5

7

+

Figura 17

18

Resumen: 1. Relación: “Dados dos conjuntos X e Y se llama relación de X en Y a toda

propiedad o ley de correspondencia que permite vincular elementos de un conjunto X con elementos del conjunto Y”.

2. Función: “Dados dos conjuntos X e Y se llama Función de X en Y a toda

propiedad o ley de correspondencia que permite vincular a cada elemento del conjunto X, UNO Y SÓLO UN elementos del conjunto Y”

3. Toda función es relación pero no toda relación es función.

4. La notación “tradicional” de función es Y = F(X), donde “X” representa la

variable independiente, “Y” la variable dependiente y “F” las operaciones que deben efectuarse con la variable “X” para obtener los valores de “Y”.

5. Dominio de una relación: Es el conjunto de todos los “a” del conjunto de

partida, para los que existe algún “b” del conjunto de llegada, tal que (a,b) está en la relación

6. Dominio de una función: Es el conjunto de todos los “a” del conjunto de

partida, para los que existe algún “b” del conjunto de llegada, tal que (a,b) está en la relación y “b”, designado como F(a) es único.

7. Rango: Es el conjunto de todos los elementos en el conjunto de llegada que

están en correspondencia con los elementos del dominio.

8. La representación gráfica de una relación corresponderá a una función, sólo si ésta es interceptada una sola vez en cada caso, por rectas verticales trazadas en cualquier lugar de la gráfica.

9. La representación gráfica de una relación no corresponderá a una función, si

es interceptada más de una vez, por alguna recta vertical trazada en cualquier lugar de su gráfica.

10. El dominio, a partir de la gráfica de una relación, se puede determinar

proyectando verticalmente los puntos de la gráfica hacia el eje X; en ocasiones se necesitan las abscisas de puntos “convenientes”.

11. El rango, a partir de la gráfica de una relación, se puede determinar

proyectando horizontalmente los puntos de la gráfica hacia el eje Y; en ocasiones se necesitan las ordenadas de puntos “convenientes”.

12. Las funciones se pueden representar tabularmente, por puntos y

analíticamente mediante su gráfica.

13. La relación de dependencia funcional entre dos variables no implica causalidad.

19

Ejercicios

1) Cada una de las siguientes gráficas representa una relación, en cada caso

determine:

a) Si corresponde a una relación funcional o no funcional. b) Dominio de la relación. c) Rango de la relación.

➀ ➁ ➂

➃ ➄ ➅

➆ ➇ ➈

20

2) Cuál de los siguientes conjuntos define una función.

a) A = (x,y) / y > x b) B = (x,y) / y = 5

c) C = (x,y) / y2 + x2 = 2 d) D = (x,y) / 2y +4x = 6

3) Para F(x) = x2 – 1, encuentre cada valor.

a) F (1) b) F (-2) c) F (2-x) d) F (c) e) F (1/2) f) F (2x) g) F (-3x) h) F (1/x) g) F (-t)

Resolución de g): 4) Para G(x) = x3 + x, encuentre cada valor.

a) G (-6) b) G (1/2) c) G (1,5)

d) G ( 3 ) e) G () f) G (1/2x)

5) Si x

xF1

)( , demuestre que hxx

hxFhxF

2)()(

6) En cada caso encuentre H(x) = h

aFhaF )()( y simplifique en caso de ser

posible.

a) F(x) = 6x - 9 c) F(x) = x2- 3x +1 c) F(x) = x3 d) F(x) = 5 / x

Resolución de a):

7) El conjunto de las posibles entradas para una función se llama _________ de

la función ; el conjunto de las salidas obtenidas se llama _________ de la función.

8) Diga si la siguiente afirmación es cierta “Si una función asigna el número 8 al número 2, entonces 8 es contra imagen de 2”.Cierto___ o Falso___.

2 2 2( ) 1 ( 3 ) ( 3 ) 1 ( 3 ) 9 1F x x F x x F x x

6( ) 9 (6 9) 6 6 9 6 9 6( ) 6

a h a a h a hH x

h h h

21

9) Exprese el área de un rectángulo como una función de la longitud de sus lados. Despeje longitud y diga si se obtiene una función. 10) Exprese el área de un círculo como una función de su perímetro. Despeje perímetro y diga si se tiene una función. 11) De una hoja cuadrada de cartón de 40 cm, de lado se ha de hacer una caja sin tapa, recortando un cuadrado idéntico, en cada una de las esquinas y luego doblando los bordes hacia arriba. Exprese el área de la base de la caja en función de la longitud “x” del lado del cuadrado recortado.