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5/11/2018 FUNCIONES - slidepdf.com

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FUNCIONES Definición 1 Sean los conjuntos A y B, se llama función a toda relación de A X B donde a cada elemento conjunto A se lo relaciona con uno y sólo un elemento del conjunto B.- Toda función se la denota con las siguientes letras: f, g, h, F, G, H, etc.

Teniendo en cuenta la definición, podemos asegurar que si f es una función, entonces f AXB , y

denota: f: A B se lee “f es una función o aplicación del conjunto A en el B”

Por conveniencia, al conjunto A se lo denomina conjunto de partida , y al B conjunto de llegadacodominio.- Ahora como la función es una relación donde todos los elementos de A tienen imagen única,entonces el dominio de la función es el conjunto A, y la imagen de la función está incluida en elconjunto B. O sea: A: conjunto de partida B: conjunto de llegada o codominio.- D(f)=A “dominio de la función f”

I(f) B “Imagen de la función f”

Utilizando los diagramas de Venn se puede representar una función de la siguiente forma:

Analizando la anterior definición, podemos formular la siguiente:

Definición 2 La relación f AXB es una función si cumple con las siguientes condiciones de existencia y unicidadExistencia Todo elemento de A se relaciona con algún elemento de B

xA,yB/(x,y)f Unicidad Los elementos de A tienen una sola imagen en B

(x,y)f (x,z)f y = z Definición 3

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Se llama función a toda relación entre dos variables, en la que a todo valor de la primera, lo relaciocon uno y solo un valor de la segunda. A la primera variable se la denomina "variable independienty a la segunda "variable dependiente" Si la función es y = f(x), la variable "x" es la independiente y la "y" es la dependiente (los valores de"y" dependen de los valores de "x").- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES

Toda función, al ser una relación especial, se la puede representar gráficamente en un sistema deejes coordenados cartesianos. Pero para ello se debe tener en cuenta fundamentalmente los

conjuntos numéricos donde están definidas y el método a usar para su gráfica.- El método de la tabla de valores Este método se lo usa para graficar cualquier tipo de funciones, aunque en algunos casos no espreciso. Por ejemplo: Graficar las siguientes funciones:

Armamos una tabla con valores tentativos y centrales de las abscisas, y de la siguiente forma: x f(x)= 2x – 1 Punto

-2 f(-2)=2.(-2).2-1 = -5 P 1(-2,-5)

-1 f(-3)=2.(-1)-1= -3 P 2 (-1,-3) 0 f(0)=2.0-1=-1 P 3 (0, -1)

1 f(1)=2.1-1=1 P 4 (1, 1)

2 f(2)=2.2-1=3 P 5 (2, 3)

1. El método de los puntos:

Este método tiene distintas formas de trabajarlo según el tipo de función: Para la función lineal Se basa fundamentalmente en ubicar la pendiente de la función. Para ello se utiliza su concepto. Pejemplo: Sea la función:

Como se observa, la pendiente es , y como se sabe que ésta está dada por , entonces se concluque el cateto opuesto es 3 y el cateto adyacente es 4. Por otro lado también se sabe que –1 es la



ordenada al origen, lo que lo marcamos, ahora, a partir de allí se debe correr 4 lugares hacia laderecha (cateto adyacente), y como 3 es positivo subimos estos lugares (cateto opuesto), este es eúltimo punto, y como dos puntos pertenecen a una y sólo una recta, entonces, por estos se la trazao sea:

Ahora si la pendiente fuera negativa, la tangente también lo sería, por lo tanto el cateto opuesto setrazaría hacia abajo.- Para la función cuadrática La función cuadrática tiene la forma:

Donde se llama término cuadrático, “a” coeficiente cuadrático, término lineal, “b” coeficientlineal y c término independiente u ordenada al origen.-

La gráfica de una función cuadrática es una parábola simétrica respecto al eje paralelo a lasordenadas y que pasa por el vértice.- Para poderla graficarla se deben trazar tres puntos. Este es principalmente el vértice que lodenotaremos V(x v , y v ), lo que se reduce el problema en determinar x v primero y luego reemplazarlen la función para el y v .- Usando la fórmula para determinar las raíces de una ecuación de segundo grado, o sea:

Haciendo un razonamiento básico, concluimos que:

Como ya se dijo, basta reemplazar este valor en la función para obtener la otra coordenada.- Teniendo en cuenta que es simétrica, y sabiendo que la parábola corta a las ordenadas en “ c” ,entonces otro de los puntos es P 1(0,c), el otro punto será P 2 (2.x v , c).- Si la función tiene la ordenada al origen nula, se deben tomar dos valores cualesquiera de lasabscisas para calcular las ordenadas correspondientes.- Por ejemplo:

Determinamos primero el vértice, o sea:



Reemplazamos este valor en la función para obtener la otra coordenada, o sea:

Lo que significa que:

Ahora, el punto P 1(0,1) por ser 1 la ordenada al origen, y el otro será:

Ahora con estos tres puntos se puede graficar:

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

Analizando la definición de funciones, se puede llegar a concluir que para clasificarlas a las mismase debe tener en cuenta el codominio, así tenemos: FUNCIÓN INYECTIVA

f:A B es inyectiva si y sólo si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas. O sea:

Ahora, por implicaciones contrarrecíprocas se tiene:

Esto significa que para poder probar que una función es inyectiva, basta igualar la ecuación de lamisma para x 1 y x 2 y a través de procedimientos, el que sea necesario, llegar a la igualdad de ellosEjemplo: Sea la función:

Hacemos:

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y cancelando, queda:

y simplificando queda:

Esta función es inyectiva. FUNCIÓN SOBREYECTIVA O SURYECTIVA

f:A B es sobreyectiva si y sólo si todos los elementos del Codominio tienen preimagen. O sea:

Esto significa que para determinar si una función es sobreyectiva se deben estudiar los elementosdel dominio en lo que respecta al conjunto, despejando de la función dada x y valuando luego en lafunción para determinar si realmente f(x)=y .- Por ejemplo sea:

Esta función es lo mismo que:

Ahora: ¿este valor es un número real? Sí ya que y es un real y los otros números también lo son, plo tanto x , entonces:

Todo esto es aplicando la propiedad cancelativa y reemplazando “x” . Esta función es SobreyectivaFUNCIÓN BIYECTIVA

Una función es biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva.

CONCLUSIÓN: Haciendo un análisis sobre la clasificación de las funciones, podemos concluir que: 1. Una función puede ser inyectiva, solamente 2. Una función puede ser sobreyectiva, solamente 3. Una función puede ser inyectiva y sobreyectiva (biyectiva) 4. Una función puede no ser inyectiva ni sobreyectiva FUNCIÓN CRECIENTE

La función y=f(x) es creciente en el intervalo (a, b), si para valores mayores del intervalo, la funcióntoma valores mayores.

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http://algebramoderna.webatu.com/Unidad_4/Unidad4.htm#FUNCI%C3%93N_SOBREYECTIVA_O_SURYECTIVA















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FUNCIÓN DECRECIENTE

La función y=f(x) es decreciente en el intervalo (a, b), si para valores mayores del intervalo, la functoma valores menores.



MÁXIMO DE UNA FUNCIÓN

La función y=f(x) presenta un máximo en x0(a,b), si la función en x0 es mayor que la función encualquier otro valor de dicho intervalo.

MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN

La función y=f(x) presenta un mínimo en x0(a,b), si la función en x0 es menor que la función encualquier otro valor de dicho intervalo.

FUNCIÓN CÓNCAVA

Una función y=f(x) es cóncava en el intervalo (a,b) si los puntos de la misma están por arriba de lospuntos de la tangente a curva en un punto interior de dicho intervalo.



FUNCIÓN CONVEXA

Una función y=f(x) es convexa en el intervalo (a,b) si los puntos de la misma están por debajo de lopuntos de la tangente a la curva en un punto cualquiera de dicho intervalo.

PUNTO DE INFLEXIÓN DE UNA FUNCIÓN

Una función y=f(x) presenta un punto de inflexión en x0 (a,b) si la función en ese punto cambia laconcavidad.



CÓMO DETERMINAR EL DOMINIO REAL DE UNA FUNCIÓN REAL

A fin determinar el dominio de una función, se tienen en cuenta tres reglas denominadas “Reglasfundamentales del cálculo”. Estas son:

REGLA 1: Toda división por cero no es un número real

Esta regla es fundamental, dado que, pensando en el dominio perteneciente en los números realesla división por cero no tiene cociente real, es imaginario, por lo tanto, si un valor que pueda tomar lvariable diese un resultado dividido en cero, la función no tendría imagen en ese punto, lo que nosobligaría a exceptuarlo. Por ejemplo

Sea

Observamos que para esta función que para x=1 quedaría el denominador anulado, ese resultado es un número real, por lo que para que esta expresión sea función, el dominio no debe tener el 1dado que este valor no tiene imagen. O sea que:

REGLA 2: El logaritmo de un número menor o igual a cero no es un número real

Esta regla nace tiendo en cuenta el cálculo del logaritmo, es así que, si en una función el argument

del logaritmo tiene variable independiente, este argumento debe ser mayor que cero para la funciótenga imagen en ese valor. Por ejemplo:

Teniendo en cuenta lo expresado anteriormente, queda que 3x – 2>0, por lo que , con lo quetodos los valores inferiores a este, quedan fuera del dominio de esta función. O sea que:



REGLA 3: Toda raíz de índice par y radicando negativo, no es un número real

Como se sabe, esta regla es clara, por lo que cuando se tenga una función donde figure una raíz yen el radicando se encuentre la variable independiente, se debe tener en cuenta que el radicando n

debe ser negativo, dado que este valor no tendría una imagen real, con lo que se lo debe exceptuadel dominio. Por ejemplo:

Con esta función, tenemos que tener en cuenta que el radicando 3x - 1≥0, con lo que , lo quelos valores menores a este quedarían exceptuados del dominio ya que los mismos no tendríanimagen real. O sea que:

FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN CONSTANTE La función f:A B se llama constante si para todo elemento del dominio, le hace corresponder comimagen un único elemento “K” del codominio. O sea que:

Su gráfica será una recta que corta a las ordenadas en k y siempre paralela al eje de las abscisas.sea:

Trabajando con los números reales observamos que elementos distintos del conjunto de partida odominio tienen siempre la misma imagen k , por lo tanto no es inyectiva. Por otro lado, de todos loselementos del codominio, solamente k tiene preimagen, por lo tanto no es sobreyectiva.- Ahora, esta función puede tener otra forma, por ejemplo x=k , su gráfica cortará al eje de las abscisen k y será paralela a las ordenadas.- LA FUNCIÓN IDENTIDAD

La función identidad es aquella a la que a todo elemento del dominio le hace corresponder comoimagen ese mismo elemento, o sea:



Esta se lee “identidad de x”

O sea que si a A i(a)=a, y así para todos los valores de A. En diagrama de Venn será:

A

Haciendo un estudio de esta función se tiene que: La función es inyectiva ya que cada uno de los elementos del dominio es imagen de sí mismo, yellos son distintos. La función es sobreyectiva ya que todos los elementos del dominio también son imagen.- Como conclusión podemos decir que esta función es biyectiva.- LA FUNCIÓN PROYECCIÓN

Sea el conjunto R, sean los conjuntos AR y BR. Sea el producto cartesiano AxB, en donde unpunto cualquiera P(a,b) pueden determinarse dos funciones llamadas proyecciones de la siguientemanera:

Gráficamente:

LA FUNCIÓN CANÓNICA

Sea una relación de equivalencia “” definida en un conjunto A, por supuesto a partir de ella segeneran las clases de equivalencias y el conjunto cociente. Se llama función canónica a aquella definida desde el conjunto A hasta el conjunto cociente, de tal

manera que a cada elemento del conjunto A le hace corresponder la clase a la que pertenece. Osea:

Esta función es sobreyectiva, ya que todos los elementos del conjunto cociente (clases deequivalencias), tienen algún antecedente en el conjunto A, pero no es inyectiva ya que varioselementos de A tienen la misma imagen en el conjunto cociente.- COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

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http://algebramoderna.webatu.com/Unidad_3/Unidad3.htm#RELACI%C3%93N_DE_EQUIVALENCIA_





http://algebramoderna.webatu.com/Unidad_3/Unidad3.htm#CLASES_DE_EQUIVALENCIA_



http://algebramoderna.webatu.com/Unidad_3/Unidad3.htm#CONJUNTO_COCIENTE_

















Sean dos funciones, f:A B g:B C , se llama composición de las funciones f y g a la funcióngof:A C/gof(x)=g[f(x)], siempre que exista un elemento y B tal que y=f(x), y z=g(y), con z C y x o sea:

PROPIEDADES ASOCIATIVIDAD DE LAS COMPOSICIÓN DE FUNCIONES La composición de funciones es asociativa. H) Sean las funciones

T)D) Como la composición de funciones está definida sólo para tres conjuntos, o dos funciondebemos trabajar estas para poder aplicar dicha definición para las tres funciones. Para edesarrollamos ambos miembros de la igualdad de la tesis:

Esto es aplicado la definición de composición de funciones a gof, y luego a ho g[f(x)] Ahora:

Esto es aplicando la definición de composición en la operación principal y luego en la secundaria.- Ahora, de (a) y (b), y por transitividad se tiene:

ho(gof)=(hog)of COMPOSICIÓN DE FUNCIONES INYECTIVAS La composición de funciones inyectivas es inyectiva

H) Sea f:A B g:B C inyectivas

T) gof:A C es inyectiva D) Teniendo en cuenta que y=f(x) es inyectiva, entonces:

Pero por otro lado z=g(y) también es inyectiva, entonces:



























Ahora:

Pero por definición de composición se tiene:

Pero g es inyectiva, entonces las variables de g son iguales, entonces:

Pero f es inyectiva, entonces:

gof:A C es inyectiva (por definición de inyectividad).- COMPOSICIÓN DE FUNCIONES SOBREYECTIVAS La composición de funciones sobreyectivas, es sobreyectiva H) Sea f:A B g:B C sobreyectivas

T) gof:A C es sobreyectiva D) Como y=f(x) es sobreyectiva, entonces:

Además z=g(y) es sobreyectiva, entonces:

Ahora, teniendo en cuenta la composición de funciones y por hipótesis y por las aseveracionhechas anteriormente, tenemos:

Pero, por definición de composición de funciones, lo que se tiene queLuego gof:A C es sobreyectiva COMPOSICIÓN DE FUNCIONES BIYECTIVAS La composición de funciones biyectivas, es biyectiva H) Sea f:A B g:B C biyectivas

T) gof:A C es biyectiva D) Por definición, una función es biyectiva solamente si es inyectiva y sobreyectiva, y teniendo encuenta las demostraciones de composición de funciones inyectivas y composición de funcionessobreyectivas, se demuestra esta propiedad.- FUNCIÓN INVERSA Definición: Una función f: A B, admite inversa si y sólo si existe una función g:B A de modo que gof=if og=i B , y la función g es la inversa de la función f .- Si f es la función, la inversa de f se denota con f -1 .- Por ejemplo:

SeaComo y=f(x) entonces despejamos x , se tiene:

(1) Esta es la función inversa, que cambiando la variable x por f -1(x) e y por x queda:

Ahora, si ésta es la función inversa tiene que cumplir con las condiciones establecidas por ladefinición. Para ello partamos de la expresión (1), o sea:

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http://algebramoderna.webatu.com/Unidad_4/Unidad4.htm#COMPOSICI%C3%93N_DE_FUNCIONES_INYECTIVAS



http://algebramoderna.webatu.com/Unidad_4/Unidad4.htm#COMPOSICI%C3%93N_DE_FUNCIONES_SOBREYECTIVAS






http://algebramoderna.webatu.com/Unidad_4/Unidad4.htm#CLASIFICACI%C3%93N_DE_LAS_FUNCIONES




http://algebramoderna.webatu.com/Unidad_4/Unidad4.htm#Definici%C3%B3n































Reemplazando a f(x) se tiene:

Por otro lado se tiene:



Y reemplazando g(y) se tiene:

Lo que significa que la función inversa de f es:

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES INVERSAS Con este teorema se pretende simplificar la determinación si una función admite inversa, utilizandoclasificación de funciones.- TEOREMA Una función admite inversa si y sólo si es biyectiva

f:A B admite inversa es biyectiva Para demostrar este teorema, debemos desdoblar la doble implicación , o sea

H) f:A B admite inversa T) f es biyectiva D) Para poder demostrar esta parte del teorema, debemos hacerlo teniendo en cuenta que sifunción es biyectiva , entonces es inyectiva y sobreyectiva Por otro lado, como la función admite inversa (hipótesis), entonces: gof(x)=i A(x)=x además fog(y)=i B (y)=y Hacemos:

Pero como admite inversa , entonces:

Y por definición de identidad , se tiene:

Lo que significa que es INYECTIVA (2) Ahora:

Pero por la propiedad asociativa de la composición de funciones , queda:

Y aplicando la definición de composición , se tiene:

Pero f(x)=y, entonces:

Y por hipótesis esta última composición es la i B , lo que significa:

Esto demuestra que la función f es SOBREYECTIVA (3) Luego, de (2) y (3), la función f es BIYECTIVA (por definición de función biyectiva) Demostremos ahora la segunda parte: H) f:A B es biyectiva T) f admite inversa



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http://algebramoderna.webatu.com/Unidad_4/Unidad4.htm#LA_FUNCI%C3%93N_IDENTIDAD






http://algebramoderna.webatu.com/Unidad_4/Unidad4.htm#ASOCIATIVIDAD_DE_LAS_COMPOSICI%C3%93N_DE_FUNCIONES









































D) Para poder demostrar esta parte del teorema, debemos encontrar una función g:B A, siemp

que exista f:A B de tal forma que x=g(y), si y=f(x).- Ahora, para que g sea función debe cumplir con las condiciones de existencia y unicidad .- Bajo las condiciones descriptas anteriormente, como f es biyectiva , y en particular sobreyectientonces todos los elementos de B tienen antecedente en A por f, lo que significa que todos elementos de B tienen imagen en A por g ( existencia ). Por otro lado, como f es inyectiva , entonces distintos elementos de A tienen imagen distinta en B pf, lo que significa que por g, los elementos de B tienen una y sólo una imagen ( unicidad ).

Luego g:A B es función Ahora como f y g son funciones, podemos hacer la composición de ellas y obtener una conclusión:

Pero por lo dicho anteriormente y=f(x), entonces:

Por la misma razón que la anterior x=g(y), entonces

Por otro lado se tiene:

Pero por lo dicho anteriormente x=g(y), entonces:

Por la misma razón que la anterior y=f(x), entonces

Luego la función f admite inversa , y es la función g Habiendo demostrado estas dos partes, quedó demostrado el teorema.- Con este teorema, dada una función, con tan sólo estudiar si es que es biyectiva, sabremos qadmite inversa, por ejemplo:

Probemos que esta función es inyectiva, o sea:

Ahora probemos que es sobreyectiva:

Para demostrar, debemos despejar x de la función, o sea:

Aplicando la definición de función sobreyectiva, se tiene:

Hemos probado que esta función es biyectiva, por lo tanto admite inversa (atento al teorefundamental de las funciones inversas). Pero ahora debemos determinar esta función inversa, o seDe acuerdo a lo que se trabajó:

Siendo ésta la función inversa, o sea:






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FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES

Definición: Una función es ALGEBRAICA, si las operaciones de la expresión son algebraicas, caso contrariollaman TRASCENDENTES (trascienden el campo del álgebra) FUNCIONES ALGEBRAICAS

LA FUNCIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO La función f:AB es lineal o de primer grado, si su expresión algebraica de una sola variable es primer grado, y tiene la forma:

Donde: y se llama variable dependiente x se denomina variable independiente m se denomina pendiente mx se denomina término lineal b se denomina término independiente La gráfica de esta función es una recta que donde el punto P(0,b) pertenece a ella, por ello bdenomina también ordenada al origen. O sea:

De acuerdo a la gráfica de la función podemos concluir que

Lo que significa que la pendiente m es la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta cla horizontal o el eje de las abscisas, o sea:

m=tg

Ahora, haciendo un estudio de la tangente, observamos que ésta es positiva si el ángulo escomprendido en el primer cuadrante, o sea cuando la recta va desde el 3º al 1º cuadrante, o s

cuando los valores de la función crecen al crecer los valor de la variable. La tangente es negatcuando el ángulo es mayor que y menor que 2, que es en el caso en el que la gráfica defunción va desde el 2º al 4º cuadrante, o sea cuando los valores de que la función decrecen si creclos de la variable. Las siguientes gráficas corresponden a las funciones lineales.



Si se está trabajando con los números Reales, El dominio de esta función son los reales y la imagtambién los reales, o sea que la función lineal está definida de los reales a los reales:

D(f)=R I(f)=R Esta función es inyectiva, ya que para valores distinto del conjunto de los reales, la función tomvalores distintos, y es sobreyectiva ya que todos los números reales tienen preimágen por efunción, lo que significa que esta función es Biyectiva. Ahora, teniendo en cuenta el teorema fundamental de las funciones inversas, la función lineal adminversa, y se la determina despejando la variable x, o sea:

y cambiando las variables tenemos la forma de la función inversa de la lineal:

LA FUNCIÓN CUADRÁTICA O DE SEGUNDO GRADO Se llama función cuadrática a aquella cuya expresión algebraica en una sola variable es de gados. La función cuadrática tiene la forma:

Con a0








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Donde: y es la variable dependiente x la variable independiente a.x2 es el término cuadrático a es el coeficiente cuadrático b.x es el término lineal b es el coeficiente lineal c es el término independiente

Dado que el cuadrado de números opuestos es siempre positivo, la gráfica de esta función es uparábola, cuyas ramas estarán para el lado positivo del eje de las ordenadas si a es positivo, cacontrario si a es negativo.- O sea que:

Función positiva las ramas de la parábola hacia la parte positiva del eje de las ordenadaFunción negativa las ramas de la parábola hacia la parte negativa del eje de las ordenada

Supongamos que la gráfica de la función es la siguiente:

Ahora, los ceros de esta función, son los valores de “x” donde la función toma el valor cero, que sni más ni menos, que los puntos de corte entre la gráfica de la función y el eje de las abscisas, qen la gráfica las muestra con x 1 y x 2 . En definitiva, y en realidad, estos valores son las raíces de

ecuación cuadrática, las que cumplen con lo siguiente:

Para pode graficar la función cuadrática, es imprescindible determinar el vértice de la misma, queel punto donde cambiará el crecimiento la función y justamente esta vértice es punto del eje simetría y los ceros de la función son puntos simétricos axialmente con respecto al eje de simetría,que significa que:

Pero la semisuma del primer miembro es el valor de “x” que corresponde al vértice, entonces



La siguiente gráfica es de la función:

Ahora, el:

La recta roja es el “eje de simetría” que pasa por el xV, esto significa que los puntos de la parábque se encuentran a la misma altura y opuestos con respecto a este eje son simétricos axialmenteAhora, como el xv es punto del eje de simetría, observamos que el corrimiento de la parábola forma horizontal depende de los signos de loa valores de los coeficientes cuadrático y linesabiendo que si xv>0, la parábola se corre hacia la derecha con respecto a las ordenadas, si xv=0eje de simetría son las ordenadas, y si xv<0, la parábola se corre hacia la izquierda respecto al ejelas ordenadas. O sea: O sea que:

Eje y es el eje de simetría si x=0, solamente se da si b=0

Además la parábola corta a las ordenada en c, ya que P(0,c) pertenece a la parábola La gráfica de la función dada es la siguiente:

Los puntos de corte de la función con el eje de las abscisas son los denominados ceros defunción, o sea que es el valor que toma “x” para que y=0 Estudiemos ahora la función:

De antemano podemos asegurar que la parábola está corrida hacia la derecha, corta al eje de ordenadas en –2 y



Esto significa que V(1, -5) La gráfica de esta función es:

Ahora, el dominio de esta función son todos los reales, y la imagen son los reales partiendo deinclusive.- Ya que esta función no es biyectiva, entonces no admite inversa, solamente en algunos casos y balgunas condiciones.- DOS FUNCIONES TRASCENDENTES

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Se llama función exponencial a la función:

a>0 a1 Dada las condiciones anteriormente mencionadas, tenemos dos casos posibles: 1. Que a>1, por ejemplo f(x)=2x, cuya gráfica es la siguiente:

La característica de esta función es que es creciente , corta a las ordenadas en 1 y el eje de abscisas es asíntota a la curva. El dominio son los reales, y la imagen los reales positivos.- 2. Cuando 0<a<1, por ejemplo:

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Cuya gráfica es:

La función es decreciente , corta al eje de las ordenadas en 1, el eje de las abscisas es asíntota a lacurva, el Dominio son los reales y la Imagen lo reales positivos.- Si clasificamos la función exponencial observamos que bajo las condiciones planteadas ésta biyectiva ya que es inyectiva porque para valores distintos de los reales, la función tiene imágendistintas; y es sobreyectiva por que todos los elementos del conjunto de llegada, o sea los reapositivos, tienen preimágenes.- LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Como la función exponencial es biyectiva , entonces admite inversa.- Recordemos primero qué es el logaritmo de un número:

Lo que significa que calcular el logaritmo en base “a” de un número “b”, es encontrar el exponente a la que hay que elevar la base para obtener el argumento “b”.

Así por ejemplo, log 3 81= 4, ya que 3

4

=81.- Con esta idea, y partiendo de la función exponencial se tiene:

O sea que la función logarítmica está dada por:

Como esta función es la inversa de la exponencial y la base a es también la base de la exponencentonces se dan los siguientes casos: Para a>1, por ejemplo: f(x)=log2 x tiene la siguiente gráfica:

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Observamos que la gráfica es creciente , corta a las abscisas en 1 y el eje de las ordenadas asíntota de la curva. Por otro lado el dominio son los reales positivos y la imagen todos los reales.-Probemos para el caso de que 0<a<1, por ejemplo:

La gráfica de esta función es:

La función es decreciente , corta al eje de las abscisas en 1, y el eje de las ordenadas es asíntota la curva. Por otro lado, el dominio son los reales positivos y la imagen todos los reales.- Para el caso de que a=1 (base 1), no queda definida la función logarítmica.- COMPARACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA LOGARÍTMICA

Construiremos las gráficas de las siguientes funciones:

En estos casos, la gráfica azul es para la primera, y la verde para la segunda, lo que a simple visobservamos que son gráficas simétricas respecto a la diagonal que pasa por el origen coordenadas, lo que nos indica que estas son funciones inversas.-










Haremos el mismo razonamiento para el caso de:

TRABAJO PRÁCTICO Nº 4 1. Dada las siguientes funciones, graficarlas:



2. Sean los conjuntos A={1,2,3} y B={2,3}, representar y clasificar3. Dado A={1,2,3} y B={2,3}, definir por tabla y clasificar f:P(A) P(B)/f(X)=B – X. 4. En los siguientes casos, determinar gof :

5. Las funciones f:A B y g:B C son tales que gof es sobreyectiva. Demostrar que g sobreyectiva. 6. Clasificar las siguientes funciones:

7. Sean las funciones f:Z Q y g:Q Z , tales que:

y

Encontrar fog y gof y calcular gof(-2) y fog(-0,5)

8. Graficar las siguientes funciones realizando el estudio correspondiente:

9. Determinar el dominio dentro de los reales de las siguientes funciones:



10. Dada las gráficas de las siguientes funciones, determinar con que dominio son inyectivas:



11. Determinar la función inversa de cada de las siguientes funciones

funciones

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