funÇÃo identidade 2 -...
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MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU
FUNÇÃO IDENTIDADE ............................................................... 2
FUNÇÃO LINEAR ........................................................................ 2
FUNÇÃO AFIM ............................................................................. 5
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU ......................................... 5
IMAGEM ..................................................................................... 14
COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM ......................................... 14
ZERO DA FUNÇÃO AFIM .......................................................... 18
FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES .................... 19
SINAL DE UMA FUNÇÃO .......................................................... 24
SINAL DA FUNÇÃO AFIM ......................................................... 25
INEQUAÇÕES ........................................................................... 29
SISTEMA DE INEQUAÇÕES ..................................................... 33
INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS ................................................. 34
INEQUAÇÕES-PRODUTO ........................................................ 39
INEQUAÇÃO-QUOCIENTE ....................................................... 48
RESPOSTAS ............................................................................. 61
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 68
No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1.
CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
FUNÇÃO IDENTIDADE
Uma função f de em recebe o nome de FUNÇÃO IDENTIDADE
quando associa a cada elemento x o próprio x, isto é:
f: f(x) = x
Desta forma, todos os pares ordenados que pertencem à função identidade são do tipo (a; a) e o gráfico que a representa contém as bissetrizes do 1º e 3º quadrantes.
A imagem da função identidade é
Im = .
1 Observe que se a = 0, teremos uma função constante y = 0 como vimos na apostila anterior.
FUNÇÃO LINEAR
Uma função f de em recebe o nome de FUNÇÃO LINEAR quando associa a cada elemento
x o elemento ax onde a 0 é o número real dado, isto é:
f:
f(x) = ax com a 0 (1)
É possível demonstrar que o gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem, mas veremos esta demonstração mais a frente, num caso mais geral. A imagem da função identidade é
Im = e isto pode ser percebido facilmente, veja:
a
yxxay
xayxa)x(f
MATEMÁTICA I 3 FUNÇÃO DO 1º GRAU
assim, 𝑥 =𝑦
𝑎∈ , a 0, tal que:
y)x(f
a
ya)x(f
xa)x(f
Ex.: 1 Vamos construir o gráfico da função y = 2x. Resolução: como já sabemos que o gráfico da função linear é uma reta e que dois pontos distintos determinam uma reta, basta que encontremos dois pontos para construir o gráfico. Por outro lado o gráfico da função linear passa sempre pela origem assim, já temos o ponto (0; 0) bastando encontrar apenas mais um ponto. Vamos, então, atribuir um valor não nulo a x e calcular o correspondente y = 2x.
x 2 • x y
1 2 •1 2 Agora devemos localizar, num sistema cartesiano, os pontos P(0; 0) e Q(1; 2) e traçar a reta PQ que será o gráfico procurado.
Note que Im(f) = . Veja o gráfico na coluna a seguir.
Ex.: 2 Construir o gráfico da função y = -2x. Resolução: Analogamente, temos:
x -2 • x Y
1 -2 •1 -2
Agora, P(0; 0) e Q(1; -2).
CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
1) Construa, num mesmo sistema cartesiano, os 4 gráfico de funções constantes a seguir. a) y = 2
b) y = 2 c) y = -3 d) y = 0
2) Construir, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções
f: a seguir. a) y = x b) y = 2x c) y = 3x
d) 2
xy
MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO DO 1º GRAU
3) Construir, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções
f: a seguir. a) y = -x b) y = -2x c) y = -3x
d) 2
xy
FUNÇÃO AFIM
Uma função f de em recebe o nome de FUNÇÃO AFIM quando associa a cada elemento
x o elemento ax + b onde a
0, isto é: f: f(x) = ax + b com
a 0
1.: y = 2x + 4 onde a = 2 e b = 4 2.: y = -3x + 5 onde a = -3 e b = 5 3.: y = x – 1 onde a = 1 e b = -1 4.: y = 3x onde a = 3 e b = 0 Observe este último exemplo. Note que, quando b = 0, a função y = ax + b assume a forma da função linear e, assim, podemos dizer que a função linear é um caso particular de uma função afim.
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
O gráfico da função do primeiro grau é uma reta e isto pode ser facilmente demonstrado. Demonstração:
CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Sejam A, B e C três pontos quaisquer distintos pertencentes ao gráfico cartesiano da função y = ax + b
com a 0 e (x1; y1), (x2; y2) e (x3, y3), respectivamente, as coordenadas cartesianas destes pontos.
Para provar que os pontos A, B e
C pertencem a uma mesma reta, vamos mostrar, em princípio, que os triângulos
ABD e BCE são semelhantes. Note que :
3baxyfy;x
2baxyfy;x
1baxyfy;x
3333
2222
1111
Fazendo 23 , temos:
4xxayy
baxy
baxy
2323
22
33
Fazendo 12 , temos:
5xxayy
baxy
baxy
1212
11
22
De 4 ,
12
12
1212
xx
yya
xxayy
De 5 ,
23
23
2323
xx
yya
xxayy
Assim, 23
23
12
12
xx
yy
xx
yya
Logo os triângulos ABD e BCE
são semelhantes e assim, os ângulos e
são iguais e, consequentemente A, B e C estão alinhados. Daí está provado que o gráfico da função afim é uma reta. Sabendo, agora, que o gráfico da função afim é uma reta e que para determinar uma reta precisamos apenas de dois pontos, vamos usar deste recurso para construir tais gráficos. Veja nos exemplos a seguir.
Ex. 1: Construir o gráfico da função y = 2x + 1. Resolução;
Sabendo que este gráfico é uma reta, vamos encontrar dois de seus pontos, localiza-los no plano cartesiano e, em seguida traçar a reta.
MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO DO 1º GRAU
x 2x+1 y
0 2 • 0 + 1 1
1 2 • 1 + 1 3
O gráfico da função, então, é uma
reta que passa pelos pontos (0; 1) e (1; 3).
É facilmente perceptível, pelo gráfico, que tanto o domínio quanto a imagem desta função são formados por todos os números reais, assim:
D(f) =
Im(f) = Ex. 2: Construir o gráfico da função y = -x + 3 Resolução: De modo análogo, temos:
x -x + 3 y
0 -0 + 3 3
2 -2 + 3 1
Assim, o gráfico da função, então, é a reta que passa pelos pontos (0; 3) e (2; 1).
D(f) = e Im(f) =
4) Construa nos planos cartesianos a seguir, o gráfico da cada uma das 8 funções apresentadas. (Dica: em cada situação siga os exemplos fazendo, inclusive, a tabela afim de que a construção fique organizada)
CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
a) y = 2x – 1
x y
b) y = x+2
x y
c) y = 3x+2
x y
d) 2
3x2y
x y
MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO DO 1º GRAU
e) y = –3x – 4
x y
f) y = –x – 1
x y
g) y = –2x + 3
x y
h) 2
x34y
x y
CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
5) Resolver analiticamente e graficamente o sistema de equações do 1º grau:
4y3x2
3yx
(A resolução desta questão pode ser vista na secção de Respostas)
6) Resolva analiticamente e graficamente os sistemas de equações do 1º grau:
a)
1yx
5yx
MATEMÁTICA I 11 FUNÇÃO DO 1º GRAU
b)
8y3x2
14y2x3
c)
4y4x2
2y2x
CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
7) Resolva os sistemas:
a)
4
1
yx
1
yx
1
4
3
yx
1
yx
1
Sugestão: faça byx
1ea
yx
1
b)
13yx2
3
1yx
2
12
5
3yx2
2
1yx
3
MATEMÁTICA I 13 FUNÇÃO DO 1º GRAU
8) Obter a equação da reta que passa pelos pontos: a) (1; 2) e (3; -2). (A resolução deste item a) pode ser vista na secção de Respostas) b) (2; 3) e (3; 5)
c) (3; -2) e (2; -3) d) (1; -1) e (-1; 2)
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 153 e 154– Exercícios 02 a 04
______________________
CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
IMAGEM
O conjunto imagem de uma função
afim f: definida por
f(x) = ax + b com a 0 é .
De fato, qualquer que seja y ,
existe a
byx
tal que
yba
bya
a
byfxf
.
COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM
O coeficiente a da função f(x) = ax + b é denominado coeficiente angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano. O coeficiente b da função y = ax + b é denominado coeficiente linear. Os coeficientes a e b tem influência sensível no gráfico da função afim. Veja os exemplos a seguir onde são mostradas variações independentes em cada coeficiente.
Ex.1: Veja a construção, num mesmo plano cartesiano, de gráficos de 6 funções. Note que em todos os casos, o coeficiente b não muda. A única variação é no coeficiente a.
Observe que a variação do coeficiente a faz variar a declividade da reta que representa o gráfico da função. Ex.2: Agora você pode observar construções de funções que possuem o mesmo coeficiente angular variando, apenas, o coeficiente linear.
Vejam neste caso, que a variação do coeficiente b faz variar o ponto em que a reta do gráfico da função toca o eixo OY.
MATEMÁTICA I 15 FUNÇÃO DO 1º GRAU
9) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (1; 3) e tem coeficiente angular igual a 2. (A resolução desta questão pode ser vista na secção de Respostas) 10) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2; 4) e tem coeficiente angular igual a -3.
11) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-3; 1) e tem coeficiente
angular igual a 2
1 .
12) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2; 1) e tem coeficiente angular igual a 4.
CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
13) Obter a equação da reta que tem coeficiente angular igual a -3 e passa pelo ponto (-3; -2)
14) Dados os gráficos das funções de
em , obter a lei de correspondência dessas funções. Para tal considere cada quadradinho como referência de uma unidade. a)
MATEMÁTICA I 17 FUNÇÃO DO 1º GRAU
b)
c)
CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
d)
ZERO DA FUNÇÃO AFIM
Zero ou raiz de uma função é todo número x cuja imagem é nula, isto é, f(x) = 0.
x é zero de y = f(x) f(x) = 0 Assim, para determinar o zero de uma função afim, basta resolver a equação do 1º grau
ax + b = 0
que apresenta uma única solução
a
bx .
Ex.1: Qual o zero da função f(x) = 2x – 1?
2
1x
1x2
01x2
Logo, a raiz da função é 2
1.
Ex. 2: Podemos interpretar o zero da
função afim como sendo a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo OX.
Note o gráfico da função f(x) = 2x – 1, podemos perceber que o gráfico intercepta o eixo das abscissas
em 2
1x , isto é, no ponto
0;
2
1.
MATEMÁTICA I 19 FUNÇÃO DO 1º GRAU
FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES
Uma função f: A B definida por y = f(x) é CRESCENTE no conjunto
A1 A se, para dois valores quaisquer x1 e x2 pertencentes a A1, com x1 < x2, tivermos f(x1) < f(x2). Em termos técnicos, f é crescente quando:
( x1, x2) (x1 < x2 f(x1) < f(x2))
Esta expressão acima também pode ser escrita desta forma:
( x1, x2) (x1 x2
0xx
xfxf
21
21
)
Em termos não técnicos, podemos dizer que uma função é crescente num certo intervalo quando se, ao aumentar o x, o valor de y também aumenta.
Veja, agora, no gráfico, a caracterização de uma função crescente.
Uma função f: A B definida por y = f(x) é DECRESCENTE no conjunto A1
A se, para dois valores quaisquer x1 e x2 pertencentes a A1, com x1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2). Em termos técnicos, f é crescente quando:
( x1, x2) (x1 < x2 f(x1) > f(x2))
Esta expressão acima também pode ser escrita desta forma:
( x1, x2) (x1 x2
0xx
xfxf
21
21
)
Em termos não técnicos, podemos
dizer que uma função é decrescente num certo intervalo quando se, ao aumentar o x, o valor de y diminui.
CÁSSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Veja, agora, no gráfico, a caracterização de uma função decrescente.
Ex.1: A função f(x) = 2x – 1 é crescente pois tomados dois valores de x distintos x1 e x2 com x1 < x2, temos:
1x21x2xx 2121
Ex.2: A função f(x) = -3x + 2 é decrescente pois tomados dois valores de x distintos x1 e x2 com x1 < x2, temos:
2x32x3xx 2121
Notemos que uma função y = f(x) pode assumir comportamentos variados (crescente ou decrescente) em todo o seu domínio.
É bastante comum que, inclusive,
que a função seja crescente em alguns intervalos e decrescentes em outros.
Veja o exemplo abaixo. A função é
decrescente em - e crescente em +.
15) Com base nos gráficos a seguir, de funções de domínio e contradomínio reais, especificar onde a função é crescente e onde a função é decrescente. a)
MATEMÁTICA I 21 FUNÇÃO DO 1º GRAU
b)
c)
O estudo do comportamento quanto a crescimento ou decrescimento de uma função afim é feito em relação ao coeficiente angular. A função afim é crescente se, e somente se, o coeficiente angular for positivo.
Dada a função f(x) = ax + b, Se a > 0 então f é crescente.
DEMONSTRAÇÃO
crescente é baxxf
)xx(0xx
xfxf21
21
21
0xx
baxbax
21
21
0xx
baxbax
21
21
0a
0xx
xxa
21
21
Assim, podemos observar que
f(x) = ax + b é crescente a > 0
CÁSSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
16) Demonstre que f(x) = ax + b se, e somente se, a < 0.
17) Especificar se cada uma das funções abaixo é crescente ou decrescente. a) y = 2x + 8 b) y = 3x – 9 c) y = -4x + 6 d) y = -2x – 6
e) 15
xy
f) 2
1x2y
MATEMÁTICA I 23 FUNÇÃO DO 1º GRAU
g) 2
x1y
h) 2
x31y
18) Para quais valores de k a função f(x) = (k + 5)x – 7 é crescente?
19) Estudar, segundo os valores do parâmetro k, a variação (crescente, decrescente ou constante) das funções abaixo. a) y = (k – 1)x + 2 (A resolução deste item a) pode ser vista na secção de Respostas) b) y = (k + 5)x – 7
CÁSSIO VIDIGAL 24 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
c) y = (4 – k)x + 2 d) y = k(x + 3) – 5
SINAL DE UMA FUNÇÃO
Seja a função f: A B definida por y = f(x). Estudar o sinal da função é determinar para que valores de x temos y maior, menor ou igual a zero. Graficamente, isto pode ser feito observando os intervalos em que o gráfico está acima ou abaixo do eixo x. Note que o que realmente interessa é o comportamento do gráfico em relação ao eixo OX não importando a posição do eixo OY.
Estudar o sinal da função y = f(x) cujo gráfico está representado na figura a seguir.
Como foi dito, não importa a posição do eixo das ordenadas, então vamos retira-lo e preparar um aspecto prático.
Conclusão: f(x) = 0 para x = -3 ou x = 1 ou x = 4 ou x = 8 f(x) > 0 para -3 < x < 1 ou 1 < x < 4 ou x > 8 f(x) < 0 para x < -3 ou 4 < x < 8
MATEMÁTICA I 25 FUNÇÃO DO 1º GRAU
20) Estudar o sinal das funções cujos gráficos estão representados a seguir. a)
b)
c)
SINAL DA FUNÇÃO AFIM
Como vimos, estudar o sinal De
uma função y = f(x) significa estabelecer,
para cada valor de x D(f), qual das sentenças é verdadeira:
y > 0 y = 0 y < 0 Para a função afim y = ax + b, temos com dois casos a considerar: 1º caso: a > 0 Neste caso a função é crescente. Como
para a
bx temos 0
a
bfy , vem:
0
0
xfa
bfxf
a
bx
xfa
bfxf
a
bx
Considerando os valores de x
sobre um eixo, o sinal da função da função y = ax + b com a > 0, é:
Entende-se, com esta notação,
que para valores de x à direita de a
b , a
função retorna um valor positivo ( + ) e
para valores à esquerda de a
b , a função
retorna valores negativos ( - ). Um outro processo de analisarmos a variação do sinal da função afim é construir o gráfico cartesiano.
CÁSSIO VIDIGAL 26 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Já vimos que o gráfico cartesiano da função f(x) = ax + b é uma reta e se o coeficiente angular a é positivo, a função é crescente. Construindo o gráfico de f(x) = ax + b com a > 0 e lembrando o que está sendo dito na página 24, que a posição do eixo y não importa, temos:
2º caso: a < 0 Neste caso a função é de crescente.
Também para a
bx temos
0
a
bfy , vem:
0
0
xfa
bfxf
a
bx
xfa
bfxf
a
bx
Considerando os valores de x
sobre um eixo, o sinal da função da função y = ax + b com a < 0, é:
Entende-se, com esta notação,
que para valores de x à direita de a
b , a
função retorna um valor negativo ( - ) e
para valores à esquerda de a
b , a função
retorna valores positivo ( + ). Também podemos analisar com a construção do gráfico lembrando que para a > 0, a função é decrescente.
Podemos fazer um resumo do estudo do sinal da função afim como está no quadro em destaque na coluna ao lado. Observe:
Quando a > 0,
a
bxsexf
a
bxsexf
a
bxsexf
0
0
0
MATEMÁTICA I 27 FUNÇÃO DO 1º GRAU
Quando a < 0,
a
bxsexf
a
bxsexf
a
bxsexf
0
0
0
Ex.1: Estudar o sinal da função f(x) = 2x + 1.
2
1120120 xxxxf
Como a > 0 (a = 2), temos que f é
crescente, assim:
02
1
02
1
02
1
yx
yx
yx
Note que, de fato, quando procuramos, pela função acima, a imagem de um número qualquer maior
que 2
1 , encontraremos um valor
positivo. A imagem de 2
1 é zero e a
imagem de qualquer valor menor que
2
1 é um número negativo
Só para exemplificar, vamos
encontrar os valores de f(3) (3 > 2
1 ) e
de f(-5) (-5 < 2
1 )
731323 ff
951525 ff
Ex.2: Estudar o sinal da função f(x) = -2x + 3.
2
3320320 xxxxf
Como a < 0 (a = -2), temos que a função f é decrescente, assim:
02
3
02
3
02
3
yx
yx
yx
Mais uma vez vamos verificar a resposta com um valor maior que a raiz ( 5 ) e outro menor que a raiz ( 1 ).
113121 ff
713525 ff
CÁSSIO VIDIGAL 28 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
21) Estudar os sinais das seguintes
funções definidas em : a) f(x) = 2x + 3 b) f(x) = -3x + 2 c) f(x) = 4 – x
d) f(x) = 5 + x
e) 2
3x
xf
f) 2
3
3
xxf
MATEMÁTICA I 29 FUNÇÃO DO 1º GRAU
g) 3
42 xxf
h) f(x) = -x
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 163 – Exercícios 18 a 20
______________________
22) Seja f: a função definida por f(x) = 4x – 5. Determine os valores do domínio para os quais a função produz imagem maior que 0 (zero).
INEQUAÇÕES
O último exercício apresentado (22) é um exemplo de inequação. Vamos agora resolver outras inequações.
Ex.: Seja f: a função definida por f(x) = 4x – 5. Determine os valores do domínio para os quais a função produz imagem maior que 3. Note que este exemplo é bem parecido com o último exercício. Para encontrar a solução, basta resolver a inequação
4x – 5 > 3 4x > 8 x > 2
Logo a solução é S = {x | x > 2} Ex.2: Considerando as funções f(x) = 4x – 1 e g(x) = -x + 3, determine os valores de x para os quais temos
f(x) g(x). Vamos resolver a inequação:
5
4
45
134
314
x
x
xx
xx
Solução:
5
4x|xS
Esta solução pode ser verificada de fato quando você substitui em ambas as funções valores iguais. Vamos testar completando a tabela abaixo. Os dois primeiros valores são menores
que 5
4 e os dois últimos são maiores.
CÁSSIO VIDIGAL 30 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
x f(x) g(x) Qual é maior?
-1
3
1
5
4
1
4
Este mesmo exemplo pode ter
uma solução gráfica. No plano cartesiano abaixo, você
pode ver os gráficos das duas funções.
Note que em x = 5
4, as funções
são iguais (é o ponto onde elas se
cruzam). Para valores menores que 5
4, a
função f é menor que a função g e isto pode ser verificado pois à esquerda de
x = 5
4 o gráfico de f está abaixo do gráfico
de g. Esta situação se inverte à direito de
x = 5
4.
23) Para que valores reais de x a função
23
2 xxf é negativa?
24) Para que valores do domínio da
função de em definida por
2
13
xxf a imagem é menor que 4?
MATEMÁTICA I 31 FUNÇÃO DO 1º GRAU
25) Dadas as funções f(x) = 2x + 3,
g(x) = 2 – 3x e
2
14
xxh
, definidas em
, para que valores reais de x tem-se: a) f(x) > g(x) b) g(x) < h(x)
c) f(x) h(x) 26)
Dados os gráficos das funções f, g e h
definidas em e considerando cada quadrinho como uma unidade, determine
os valores de x , tais que: a) f(x) > g(x)
CÁSSIO VIDIGAL 32 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
b) g(x) h(x)
c) f(x) h(x) d) g(x) > 4
e) f(x) 0
27) Dado um número real k, a função
f: definida por 𝑓(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑥 é chamada de função linear (pág. 2). a) Prove que o gráfico da função linear passa pela origem do sistema de ordenadas. b) Prove que se f é linear então
f(a + b) = f(a) + f(b) x .
MATEMÁTICA I 33 FUNÇÃO DO 1º GRAU
28) Uma grandeza y é diretamente proporcional a uma grandeza x quando y é uma função linear de x. Se y é diretamente proporcional a x e quando x = 4 temos y = 10. Então, para x = 10, qual é o valor de y?
SISTEMA DE INEQUAÇÕES
Um sistema de inequações é um conjunto de duas ou mais inequações consideradas simultaneamente o que equivale a inequações em x separadas pelo conectivo e, O conjunto solução do sistema de inequações é a INTERSECÇÃO dos conjuntos-solução das diversas inequações que a formam.
Ex.1: Resolver o sistema de inequações
2513
1123
x
x.
Resolução:
De 1 ,
1
22
123
x
x
x
De 2 ,
2
63
513
x
x
x
Vamos, agora, fazer a interseção entre as soluções:
Logo, a solução é:
S = { x | 1 x 2}
CÁSSIO VIDIGAL 34 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Ex.2: Resolver o sistema
203
21
142
1
3
1
x
xx
De 1 ,
2929
245243322
46
13124
2
1
3
1
xx
xxx
xxxx
De 2 ,
11
233
210
3
21
xx
xxx
S = { x | x -29}
INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
Uma dupla desigualdade
f(x) < g(x) < h(x) pode ser decomposta em duas desigualdades simultâneas, isto é, equivale a uma sistema de duas inequações em x separadas pelo
conectivo e, aquele mesmo da intersecção entre conjuntos que estudamos na primeira apostila.
Por isso, para resolver uma
situação com inequações simultâneas, devemos gerar um sistema de duas (ou mais) inequações e fazer a intersecção entre as soluções de cada inequação. Assim:
xhxg
xgxfxhxgxf
Indicando por S1 o conjunto solução da primeira inequação e por S2 o conjunto solução da segunda inequação, o conjunto solução das inequações simultâneas é:
S = S1 S2
Ex.: Resolver 4323 xxx
243
1323
xx
xx
De 1 , De 2 ,
4
1
14
323
x
x
xx
x
x
xx
2
1
21
43
MATEMÁTICA I 35 FUNÇÃO DO 1º GRAU
A intersecção desses dois conjuntos é
S = { x | 4
1
2
1 x }
29) Resolver os sistemas a seguir:
a)
0123
033
x
x
b)
4826
2315
xx
xx
CÁSSIO VIDIGAL 36 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
c)
0225
01212
xx
xx
d)
xxx
xx
71136
152231
MATEMÁTICA I 37 FUNÇÃO DO 1º GRAU
30) Resolver as inequações em : a) -2 < 3x – 1 < 4
b) -4 < 4 – 2x 3
c) -3 < 3x – 2 < x
d) 12
371 x
xx
CÁSSIO VIDIGAL 38 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
e) 3x + 4 < 5 <6 – 2x f) 2 – x < 3x + 2 < 4x + 1
31) Com base nos gráficos das funções f,
g e h definidas em , determinar os
valores de x , tais que:
a) f(x) < g(x) h(x)
MATEMÁTICA I 39 FUNÇÃO DO 1º GRAU
b) g(x) f(x) h(x)
c) h(x) f(x) < g(x)
INEQUAÇÕES-PRODUTO
Sendo f(x) e g(x) duas funções na
variável x, as inequações
f(x) g(x) > 0 f(x) g(x) < 0
f(x) g(x) 0 f(x) g(x) 0
são denominadas inequações-produto. Vejamos, por exemplo, como determinamos o conjunto solução S de
uma inequação do tipo f(x) g(x) > 0. De acordo com a regra dos sinais do produto de números reais, um número x0 é solução da inequação
f(x) g(x) > 0 se, e somente se, f(x) e g(x), não nulos, têm o mesmo sinal. Assim, são possíveis dois casos: 1º: f(x) > 0 e g(x) > 0 Se S1 e S2 são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas
inequações, então S1 S2 é o conjunto solução do sistema. 2º: f(x) < 0 e g(x) < 0 Se S3 e S4 são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas
inequações, então S3 S4 é o conjunto solução do sistema.
CÁSSIO VIDIGAL 40 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Daí concluímos que o conjunto-solução da inequação produto
f(x) g(x) > 0 é:
S = (S1 S2 ) (S3 S4 ) Um raciocínio análogo poderia ser
feito para f(x) g(x) < 0 porém buscando intervalos onde as funções possuem sinais diferentes.
Também no caso de f(x) g(x) 0
ou f(x) g(x) 0, podemos agir da mesma forma sendo possível, neste caso, marcar os pontos que anulam cada função.
Ex.1: Resolver em , a inequação
0122 xx .
Resolução
Como estamos procurando
valores para x que tornem o produto
122 xx positivo, então sabemos
que 2x e 12 x devem ter o mesmo
sinal. A forma mais prática de encontrar
os intervalos onde isto acontece é fazer um estudo dos sinais de cada parte e montar num quadro como você verá.
f(x) = x + 2
x + 2 = 0 x = -2 Como a função é crescente,
2
1012
12
xx
xxg
Esta função também é crescente, então,
Vamos agora montar um quadro para o estudo do sinal da inequação produto:
Assim temos a solução:
S = { x | 2x ou 2
1x }
MATEMÁTICA I 41 FUNÇÃO DO 1º GRAU
Ex.2:
Resolver em a inequação
03123 xxx
Resolução:
3
2023
23
xx
xxf
101
1
xx
xxg
303
3
xx
xxh
O próximo passo é montar o quadro de sinais onde a linha S é a solução obtida de
xhxgxf
E temos a solução:
S = { x | 3
21 x ou 3x }
_______________________________
Quando uma inequação-produto
apresenta ou , devemos lembrar que as raízes de cada uma das funções que formam a inequação-produto zeram toda a inequação e, desta forma, devem fazer parte da solução. Veja no exemplo.
Ex.1: Resolver em , a inequação
0122 xx .
f(x) = x + 2
x + 2 = 0 x = -2
2
1012
12
xx
xxg
Assim temos a solução:
S = { x | 2x ou 2
1x }
CÁSSIO VIDIGAL 42 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Dentre as inequações-produto, são importantes as inequações do tipo:
00
00
nn
nn
xfxf
xfxf
Para resolver estas inequações, vamos lembrar duas propriedades das potências de base real e expoente inteiro:
“toda potência de base real e expoente par é um número real não negativo”, isto é:
Nn,a,a n 02
“toda potência de base real e expoente ímpar conserva o sinal da base”, ou seja:
Nnaa
aa
aa
n
n
n
00
00
00
12
12
12
Assim sendo, temos as seguintes equivalências:
parénsexf
ímparénsexfxf
n
0
00
parénsex
ímparénsexfxf
n 00
parénsefDx
ímparénsexfxf
n 00
parénsexf
ímparénsexfxf
n
0
00
Ex.1:
3
2023023
3x|xSxx
Ex.2:
4
3034034
6x|xSxx
Ex.3:
2
1512012
5x|xSxx
Ex.4:
Sx 024
Ex.5:
40280287
x|xSxx
Ex.6:
Sx 0132
Ex.7:
40480484
Sxx
MATEMÁTICA I 43 FUNÇÃO DO 1º GRAU
32) Resolver em as inequações a seguir:
a) 03533 xx
b) 02524 xx
c) 034225 xxx
d) 064323 xxx
CÁSSIO VIDIGAL 44 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
e) 07216 xx
f) 02725 xx
g) 0351423 xxx
h) 0412735 xxx
MATEMÁTICA I 45 FUNÇÃO DO 1º GRAU
33) Resolver em as inequações a seguir:
a) 034x
b) 0833x
c) 0546 x
d) 0715 x
e) 0532x
f) 0153x
g) 0344 x
h) 0835x
CÁSSIO VIDIGAL 46 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
34) Resolver em a inequação
032365 xx
(Esta questão está resolvida na seção de Respostas)
35) Resolver em as inequações:
a) 0274534 xx
MATEMÁTICA I 47 FUNÇÃO DO 1º GRAU
b) 045213853 xxx c) 054266
1047 xxx
CÁSSIO VIDIGAL 48 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
d) 064621568 xxx
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 164– Ver R.7
______________________
INEQUAÇÃO-QUOCIENTE
Sendo f(x) e g(x) duas funções de
variável real x, as inequações do tipo
0xg
xf
0xg
xf
0xg
xf
0xg
xf
são denominadas inequações-quociente. Considerando que regras de sinais do produto e do quociente de números reais são análogas, podemos, então, construir o quadro-quociente de modo análogo ao quadro-produto observando o fato de que o denominador de uma fração nunca pode ser nulo.
Ex.: Resolver em a inequação
21
43
x
x.
Resolução: Inicialmente devemos transformar a desigualdade de forma a compará-la a 0 (zero).
MATEMÁTICA I 49 FUNÇÃO DO 1º GRAU
01
25
01
2243
01
12
1
43
021
432
1
43
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
5
2025
25
xx
xxf
101
1
xx
xxg
Fazendo o quadro-quociente para o estudo dos sinais, temos:
Solução:
S = { x | 5
2x ou 1x }
36) Resolver em as inequações:
a) 02
12
x
x
CÁSSIO VIDIGAL 50 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
b) 023
23
x
x
c) 018
43
x
x
d) 013
23
x
x
MATEMÁTICA I 51 FUNÇÃO DO 1º GRAU
37) Resolver em as inequações:
a) 143
35
x
x
b) 243
25
x
x
CÁSSIO VIDIGAL 52 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
c) 31
1
x
x
d) 142
53
x
x
MATEMÁTICA I 53 FUNÇÃO DO 1º GRAU
38) Resolver em as inequações:
a)
0
4
4321
x
xx
b)
0
3552
13
xx
x
CÁSSIO VIDIGAL 54 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
c)
0
45
1445
x
xx
d)
0
35
21
xx
x
MATEMÁTICA I 55 FUNÇÃO DO 1º GRAU
39) Resolver em as inequações:
a) 3
2
4
1
xx
b) 2
2
1
1
xx
CÁSSIO VIDIGAL 56 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
c) 4
3
2
1
x
x
x
x
d) 53
2
23
5
x
x
x
x
MATEMÁTICA I 57 FUNÇÃO DO 1º GRAU
e) 54
15
14
25
x
x
x
x
f) 03
3
2
2
1
1
xxx
CÁSSIO VIDIGAL 58 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
g) 1
1
1
1
13
2
xxx
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 168– Análise de Resolução
______________________
40) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaixo. f(x) = x g(x) = x + 3 h(x) = x - 3
MATEMÁTICA I 59 FUNÇÃO DO 1º GRAU
41) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaixo. f(x) = -x g(x) = -x + 3 h(x) = -x - 3
42) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaixo. f(x) = 2x - 4 g(x) = x - 4 h(x) = -x - 4
CÁSSIO VIDIGAL 60 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
43) Construa o gráfico da função:
163
12
xparax
xparaxxf
44) Construa o gráfico da função:
45
423
232
xparax
xparax
xparax
xf
MATEMÁTICA I 61 FUNÇÃO DO 1º GRAU
RESPOSTAS
1)
2)
3)
4) a)
b)
c)
d)
CÁSSIO VIDIGAL 62 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
e)
f)
g)
h)
5) Resolução:
SOLUÇÃO ANALÍTICA.
Existem diversas formas de se resolver analiticamente esta questão como, por exemplo, por substituição, por adição ou por comparação. Aqui vou resolver apenas por adição mas você pode [e deve] escolher outra forma.
1x
32x
3yx
2y
10y5
4y3x2
6y2x2
4y3x2
23yx
Solução: S = {(-1; 2)}
SOLUÇÃO GEOMÉTRICA O primeiro passo para resolver pelo método geométrico é escrever um sistema equivalente àquele dado porém isolando y em ambas as equações.
3
4x2y
3xy
4y3x2
3yx
Agora vamos construir os gráficos de cada umas das funções afins e o ponto de intersecção entre os dois gráficos será a solução do sistema.
x 3x y x 3
4x2 Y
0 30 3 2 3
422 0
-4 34
-1 -4
3
442 4
MATEMÁTICA I 63 FUNÇÃO DO 1º GRAU
Solução: S = {(-1; 2)}
6) a) S = {(3; 2)}
b) S = {(-2; 4)}
c) S = Ø
7) a) S = {(3; -1)} b) S = {(2; 1)}
8) Resolução Se estamos procurando uma
equação de reta, então esta equação assumirá a forma de uma função afim do tipo y = ax + b.
Desta forma, considerando que o ponto (1, 2) pertence à reta de equação y = ax + b, temos a sentença verdadeira
2 = a • 1 + b a + b = 2 Analogamente, para o ponto (3, -2) obtemos:
-2 = a • 3 + b 3a + b = -2 Resolvendo, agora, o sistema
2ba3
2ba
encontramos a = -2 e b = 4. Substituindo a e b em y = ax + b, encontramos a equação procurada que, neste caso, é: y = -2x + 4
b) y = 2x + 1 c) y = x – 5
d) 2
x31y
9) Resolução
A equação procurada é da forma y = ax + b. Se o coeficiente angular é 2, então a = 2. Substituindo x = 1, y = 3 e a = 2 em y = ax + b, vem:
3 = 2 • 1 + b b = 1 Logo, a equação procurada é
Y = 2x + 1
10) y = -3x – 2
11) 2
1
2
xy
12) 4x2
3y
CÁSSIO VIDIGAL 64 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
13) 33
xy
14) a) 3
1
3
xy
b) 42
xy
c) 3
1
3
x2y
d) y = 2x + 3
15) a) Crescente:
] - ; -7[, ]-6; -4[ e ]1; [ Decrescente: ]-7; -6[ e ]-4; 1[
b) Crescente: ] -1; 0[ e ]1; [
Decrescente: ] - ; -1[ e ]0; 1[ c) Crescente: ] - ; 0[ e ]0; [
16) Demonstração 17) Crescente: a, b, e, f, g.
Decrescente: c, d, h. 18) k > -5 19) a) Crescente para
k – 1 > 0 k > 1 Constante para
k – 1 = 0 k = 1 Decrescente para
k – 1 < 0 k < 1 b) Cresc.: k > -5
Const.: k = -5 Decresc.: k < -5
c) Cresc.: k < 4 Const.: k = 4 Decresc.: k > 4
d) Cresc.: k > 0 Const.: k = 0 Decresc.: k < 0
20) a) f(x) = 0 para x = -1 ou x = 0 ou
x = 4 ou x = 7 f(x) > 0 para x < -1 ou 0 < x < 4 ou x > 7
f(x) < 0 para -1 < x < 0 ou 4 < x < 7
b) f(x) = 0 para x = -4 ou x = 1 ou x = 6 f(x) > 0 para -4 < x < 1 f(x) < 0 para x < -4 ou 1 < x < 6 ou x > 6
c) f(x) = 0 para x = -2 ou x = 0 ou x = 2 f(x) > 0 para x < -2 ou x > 2 f(x) < 0 para -2 < x < 0 ou 0 < x < 2
21) a)
2
30
2
30
2
30
xparay
xparay
xparay
b)
3
20
3
20
3
20
xparay
xparay
xparay
c)
40
40
40
xparay
xparay
xparay
d)
50
50
50
xparay
xparay
xparay
e)
60
60
60
xparay
xparay
xparay
MATEMÁTICA I 65 FUNÇÃO DO 1º GRAU
f)
2
90
2
90
2
90
xparay
xparay
xparay
g)
3
20
3
20
3
20
xparay
xparay
xparay
h)
00
00
00
xparay
xparay
xparay
22) 4
5x
23) 3
4x
24) x < 3
25) a) 5
1x
b) 2
1x
c) x 26) a) x > 2
b) x 0
c) x
d) x < -2
e) x 3
27) (Demonstração) 28) y = 25
29) a) S = { x | 42 x }
b) S = { x | 2
13 x }
c) S = { x | 3
4x }
d) S =
30) a) S = { x | 3
5
3
1 x }
b) S = { x | 42
1 x }
c) S = { x | 13
1 x }
d) S =
e) S = { x | 3
1x }
f) S = { x | 1x }
31) a) S = { x | 1 < x 4 }
b) S = { x | -3 x 1} c) S = 32) a)
S = { x | 1x ou 5
3x }
b) S = { x |
2
5x ou 2x
}
c) S = { x |
4
3x ou
25
2 x }
d) S = { x |
3
4
3
2 x ou
6x }
e) S = { x |
2
7x ou
6
1x
}
CÁSSIO VIDIGAL 66 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
f)
S = { x | 2
5
7
2 x }
g) S = { x |
5
3x ou
2
3
4
1 x }
h) S = { x |
3
5
4
1 x ou
2
7x }
33) a) S = { x | 3x }
b) S = { x | 3
8x }
c) S =
d) S = { x | 7
1x }
e) S =
f) S = { x | 5
1x }
g) S = { 3
4 }
h) S = { x | 3
8x }
34) Solução:
Estudaremos, separadamente, os sinais das funções f(x) = (x – 3)5 e g(x) = (2x + 3)6. Lembrando que potência de expoente ímpar e base real tem sinal da base então o sinal de (x – 3)5 é igual ao sinal de x – 3, isto é:
A potência de expoente par e base real não nula é sempre positiva, então (2x + 3)6 é positivo
se 2
3x e é nulo se
2
3x , isto
é:
Montando o quadro para estudo de sinais, temos:
Assim,
S = { x | 3x e 2
3x }
35) a) S = { x |
7
2x }
b) S = { x |
5
2
3
1 x }
c)
S={x | 6x ou 3
1x
ou 4
5x }
d) S = { x |
5
1x ou
3x }
36)
a)
S = { x | 2x ou
2
1x }
b) S = { x |
3
2x ou
2
3x
}
c) c) S = { x | 4
3
5
1 x }
d)
S = { x | 2
3x ou
3
1x }
MATEMÁTICA I 67 FUNÇÃO DO 1º GRAU
37)
a) S = { x |
8
7x ou
3
4x
} b) S = { x | 10x ou
3
4x }
c) S = { x | 12 x } d) S = { x | 21 x }
38) a) S = { x |
2
1
4
3 x ou
4x } b)
S = {x | 2
5x ou
3
1
5
3 x }
c) S = { x |
5
4x ou
4
5
4
1 x }
d) S = { x | 3
2
1 x ou
5x }
39) a) S = { x | -3 < x < 4 ou x > 11}
b) S = { x | 0 < x < 1 ou x > 2}
c) S = { x | -4 < x < -2} d)
S={x | 3
5x ou
3
2
24
29 x }
e) S = { x |
42
9
4
5 x
ou 4
1x }
f) S={x | 1x ou 2
2
3 x
ou 3x }
g) S = { x | 01 x ou
13
1 x ou 3x }
40)
41)
42)
CÁSSIO VIDIGAL 68 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
43)
44)
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
DANTE, Luiz Roberto;
Matemática. São Paulo, Ática, 2004
MACHADO, Antônio dos Santos;
Matemática, Temas e Metas. São Paulo,
Atual, 1988
IEZZI, Gelson e outros;
Fundamentos da Matemática Elementar,
Volume 1. São Paulo, Atual, 5ª edição
Links para as vídeos-aulas sugeridas
Pág. 07
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/
graficof1g/
Pág. 27
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/
estudosinalf1g
Pág. 42
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/
inequacao-produto/