ftn zbirka za prijemni -matematika

8/13/2019 FTN Zbirka Za Prijemni -matematika

1/87

UNIVERZITET U NOVOM SADU

FAKULTET TEHNIKIH NAUKA

NOVI SAD

ZBIRKA ZADATAKA

SA PRIJEMNIH ISPITANA FAKULTETU TEHNIKIH NAUKA

(MATEMATIKA)

NOVI SAD, 201.


2/87


3/87

1

OPTE INFORMACIJE O PRIJEMNOM ISPITU

1. Prijemni ispit

1a.Prijemni ispit iz Matematikepolau kandidati koji ele da upiu sledee oblasti:- Elektrotehnika i raunarstvo(kandidati se upisuju na jedan od sledea dva studijska programa:

Energetika, elektronika i telekomunikacije; Raunarstvo i automatika).

- Saobraaj (kandidati se upisuju na jedan od sledea dva studijska programa: Saobraaj i transport;Potanski saobraaj i telekomunikacije).

- Graevinarstvo(kandidati se upisuju na studijski program: Graevinarstvo).- Mehatronika(kandidati se upisuju na studijski program: Mehatronika).- Geodezija(kandidati se upisuju na studijski program: Geodezija i geomatika).- Raunarska grafika (kandidati se upisuju na studijski program: Animacije u inenjerstvu).

1b. Prijemni ispit iz Matematike sa proverom sklonosti za studije odgovarajue oblasti polaukandidati koji ele da upiu sledee oblasti:

- Mainstvo Matematika sa proverom sklonosti za studije mainstva (kandidati se upisuju na jedan odsledea etiri studijsk program: Proizvodno mainstvo; Mehanizacija i konstrukciono mainstvo;

Energetika i procesna tehnika; Tehnika mehanika i dizajn u tehnici).

- Industrijsko inenjerstvo i inenjerski menadment Matematika sa proverom sklonosti za studijeindustrijskog inenjerstva i inenjerskog menadmenta (kandidati se upisuju na jedan od sledea dvastudijskprogram: Industrijsko inenjerstvo; Inenjerski menadment).

- Grafiko inenjerstvo i dizajn Matematika sa proverom sklonosti za studije grafikog inenjerstva idizajna (kandidati se upisuju na jedan studijski program: Grafiko inenjerstvo i dizajn).

- Inenjerstvo zatite ivotne sredine i zatite na radu Matematika sa proverom sklonosti za studijeinenjerstva zatite ivotne sredine (kandidati se upisuju na jedan od sledea dva studijska programa:

Inenjerstvo zatite ivotne sredine; Inenjerstvo zastite na radu).

1c. Prijemni ispit iz Geometrije sa arhitektonskom i optom kulturom; Slobodoruno crtanje iProstorna kompozicija polau kandidati koji ele da upiu sledeu struku (oblast):

- Arhitektura(kandidati se upisuju na studijski program: Arhitektura i urbanizam).2. Nain bodovanja

Ukupan broj bodova na osnovu kojeg se vri rangiranje kandidata za upis na Fakultet formira se kao zbir

bodova ostvarenih po sledeem kriterijumu:

1. Opti uspeh u srednjem obrazovanju - podrazumeva zbir prosenih ocena iz svih predmeta u I, II, III i IVrazredu, pomnoen sa brojem 2 (dva). Po ovom osnovu kandidat moe stei najmanje 16, a najvie 40

bodova. Opti uspeh u srednjem obrazovanju rauna se zaokruivanjem na dve decimale.

2. Kandidat je poloio prijemni ispit (i time stekao pravo na rangiranje radi upisa) ukoliko na prijemnomispitu osvoji najmanje:

- 14 bodova iz matematike za kandidate koji polau samo matematiku,- 7 bodova iz matematike i 7 bodova iz testa provere sklonosti za kandidate koji polau matematiku sa

proverom sklonostiza studije odgovarajue oblasti.- 6 bodova iz geometrije sa arhitektonskom i optom kulturom, 4 boda iz prostorne kompozicije i 4

boda iz slobodorunog crtanja za kandidate koji polau prijemni ispit za Arhitekturu.

3. Uspeh na prijemnom ispitu iz matematike za upis na Elektrotehniku i raunarstvo, Mehatroniku iRaunarsku grafiku boduje se od 0 do 60 bodova.

4. Uspeh na prijemnom ispitu iz matematike za upis na Graevinarstvo, Saobraaj i Geodeziju i geomatikuboduje se od 0 do 60 bodova.

5. Uspeh na prijemnom ispitu iz matematike sa proverom sklonosti za studije odgovarajue oblastiza upis na Mainstvo, Industrijsko inenjerstvo i inenjerski menadment, Grafiko inenjerstvo i dizajn i

Inenjerstvo zatite ivotne sredine i zatite na radu boduje se od 0 do 60 bodova:

a) Matematika se boduje od 0 do 30 bodova,b) Provera sklonosti za studije odgovarajue oblasti se boduje od 0 do 30 bodova.


4/87

2

6. Uspeh na prijemnom ispitu za upis na Arhitekturu i urbanizam boduje se od 0 do 60 bodova:a) Geometrija sa arhitektonskom i optom kulturom boduje se od 0 do 30 bodova,b) Prostorna kompozicija boduje se od 0 do 15 boda,c) Slobodoruno crtanje boduje se od 0 do 15 boda.

Maksimalan broj bodova je 100.

Priprema za polaganje prijemnog ispita za upis arhitekture se izvodi na Fakultetu tokom cele godine.Informacije se mogu dobiti na telefon: 021 / 6350 293 021 / 485 2223.

Informacije za pripremnu nastavu iz matematike se mogu dobiti na telefon : 021/6350-770

PROGRAM PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE ZA UPIS ELEKTROTEHNIKE IRAUNARSTVA; GRAEVINARSTVA; SAOBRAAJA; MEHATRONIKE; GEODEZIJE I

GEOMATIKE; RA

UNARSKE GRAFIKE

Na ispitu iz matematike polae se gradivo predvieno nastavnim planom i programom za srednje

obrazovanje.

1. Osnovne logike operacije, pojam funkcije.2. Brojevi (prirodni, celi, racionalni, iracionalni, realni, kompleksni).3. Proporcionalnost veliina i primene.4. Racionalni algebarski izrazi. Polinomi.5. Linearna funkcija. Linearne jednaine i nejednaine, sistemi linearnih jednaina i nejednaina.6. Stepenovanje i korenovanje.7. Kvadratna funkcija. Kvadratne jednaine i nejednaine. Sistemi kvadratnih jednaina.8. Algebarske i iracionalne jednaine i nejednaine.9. Pojam logaritma. Logaritamska i eksponencijalna funkcija. Logaritamske i eksponencijalne

jednaine i nejednaine.

10.Trigonometrijske funkcije. Identiteti, jednaine i nejednaine. Primena trigonometrije.11.Matematika indukcija i nizovi. Aritmetika i geometrijska progresija.12.Kombinatorika i binomni obrazac.13.Planimetrija (prvenstveno geometrija trougla, etvorougla i kruga).14.Stereometrija (prizma, piramida, zarubljena piramida, valjak, kupa, zarubljena kupa, sfera i delovi

sfere).

15.Vektori.16.Analitika geometrija u ravni (prava, krunica, elipsa, hiperbola i parabola).17.Granine vrednosti nizova i funkcija. Izvod i primenaLiteratura

1. Srednjokolski udbenici iz matematike2. Zbirka zadataka sa prijemnih ispita, FTN, 2010.


5/87

3

PROGRAM PRIJEMNOG ISPITA ZA UPIS ARHITEKTURE

Prijemni ispit za upis Arhitektonske struke sastoji se od 3 (tri ) dela i to:

- Slobodoruno crtanje,- Prostorna kompozicija,- Geometrija sa arhitektonskom i optom kulturom.

Program prijemnog ispita iz Sloborunog crtanja

Predviene su etiri teme i likovna podruja od kojih e kandidati raditi na dan ispita SAMO JEDNU.

Odabir teme bie poznat samo i jedino rukovodiocu ispita i to neposredno pred ispit.

Teme:1) gradski prostor(trg, ulica, tvrava, grupa kua ili neki drugi urbani ambijent Novog Sada).2) enterijer nekog objekta(javna zgrada, banka, hram itd.).3) scenografska postavka (plastina i artikulisana pozorina scena ili televizijski dekor sa mnotvom

elemenata).4) prostorna kompozicijakoja se postavlja uoi ispita a ine je geometrijska tela, tkanina, drveni tapovi,

skulptorski modeli i raznoliki predmeti svakodnevne upotrebe, kao i bilo koji drugi motivi mrtve

prirode.

Program prijemnog ispita iz Prostorne kompozicije

Ovaj deo ispita za kandidate treba da pokae njihovo oseanje zaprostor, sposobnost slobodorunogoblikovanja na osnovu zadatih elemenata i da otkrije njihovo oseanje za meru, potujui matu i vrsto

vezivanje za logiku materijala i oblika. Oseanje prostora, likovni izraz, radost kontrolisane igre i stvaralaki

dar treba da budu u osnovi ovoga ispita, koji se u tom smislu niti u i niti moe nauiti. Organizatori prijemnogispita nee do poslednjeg dana odrediti ni materijale ni elemente od kojih e ova ispitna kompozicija biti

pravljena. Meutim, kompozicija e svakako biti raena na bazi papira, kartona, drvenih lajsni, tekstila, ica,

kanapa ili bilo kog drugog materijala ili upotrebnog predmeta za koji e se komisija odluiti.

Program prijemnog ispita iz Geometrije sa arhitektonskom i optom kulturom

Ispit se sastoji od 18 pitanja na koje je potrebno dati kratke odgovore. Pitanja su iz oblasti geometrije,

arhitekture, knjievnosti, muzike, likovne umetnosti, pozorita, filma, istorije, drutva.

Literatura:

Arhitektonska kultura:

1. Ranko Radovi, Nova anatologija kua, 23 primera arhitekture i urbanizma sveta, Graevinska knjiga,Beograd, 2001.

2. Milan P. Rakoevi, Uvod u arhitektonsko projektovanje, Arhitektonski fakultet Univerziteta u Beogradu,1998. (24 asa arhitekture naslov novog izdanja)

3. Jirgen Jedike (Jrgen Joedicke), Oblik i prostor u arhitekturi, Orion art, Beograd, 2009.4. Zbirka zadataka sa prijemnih ispita na Fakultetu tehnikih nauka, FTN, 2010.

Opta kultura:

1. Lj. Nikoli, B. Mili, itanka sa knjievno teoretskim pojmovima za III razred srednje kole, Zavod zaudbenike i nastavna sredstva, Beograd, 2000.

2. Lj. Nikoli, B. Mili, itanka sa knjievno teoretskim pojmovima za IV razred srednje kole, Zavod zaudbenike i nastavna sredstva, Beograd, 1999.

3. V. Galovi, B. Karadi, Likovna kultura, za gimnaziju i strednje strune kole, Zavod za udbenike inastavna sredstva, Beograd, 2000.

4. S. Marinkovi, Muzika kultura za gimnaziju i strune kole, Zavod za udbenike i nastavna sredstva,Beograd, 2000.

5. K. Bogdanovi, B. Buri, Teorija forme Zavod za udbenike i nastavna sredstva, Beograd, 1999.6. Zbirka zadataka sa prijemnih ispita na Fakultetu tehnikih nauka, FTN, 2010.

Geometrija:

1. Srednjokolski udbenici iz Matematike i Nacrtne geometrije.2. Zbirka zadataka sa prijemnih ispita na Fakultetu tehnikih nauka, FTN, 2010.


6/87

4

PROGRAM PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE SA PROVEROM SKLONOSTI ZASTUDIJE ODGOVARAJUE OBLASTI ZA UPIS: MAINSTVA; INDUSTRIJSKOGINENJERSTVA I INENJERSKOG MENADMENTA; GRAFIKOGINENJERSTVA I DIZAJNA; INENJERSTVA ZATITE IVOTNE SREDINE IZATITE NA RADU

Ispit se sastoji iz dva dela i to:

- Matematika (pet zadataka)- Provera sklonosti za studije odgovarajue struke (deset pitanja).

Program dela prijemnog ispita: Matematika

1. Osnovne logike operacije, pojam funkcije.2. Brojevi (prirodni, celi, racionalni, iracionalni, realni), stepenovanje i korenovanje, racionalni

algebarski izrazi i polinomi.

3. Proporcionalnost veliina i primene.4. Linearna funkcija. Linearne jednaine i nejednaine, sistemi linearnih jednaina i nejednaina.5. Kvadratna funkcija. Kvadratne jednaine i nejednaine.

Sistemi kvadratnih jednaina.

6. Algebarske i iracionalne jednaine i nejednaine.7. Pojam logaritma. Logaritamska i eksponencijalna funkcija. Logaritamske i eksponencijalne

jednaine i nejednaine.

8. Trigonometrijske funkcije. Identiteti, jednaine i nejednaine. Primena trigonometrije.9. Matematika indukcija i binomni obrazac.10.Vektori.

Literatura

1. Srednjokolski udbenik iz matematike2. Zbirka zadataka sa prijemnih ispita, FTN, 2010


7/87

5

jul 2001. godineELEKTROTEHNIKA I RAUNARSTVO, SAOBRAAJ I GRAEVINARSTVO

(prijemni ispit u julu 2001 i septembru 2001. i 2002. godine je bio isti za ove tri struke)

1. U skupu realnih brojeva nai skup reenja nejednaine

36

1622

+

x

xx.

2. Nai m tako da zbir korena (reenja) jednaine

( )2 2 22 0x m m x m+ + + = bude jednak 0 , a da proizvod bude jednak 4 .

3. Dokazati da za svaki prirodan broj vai jednakost

( ).

2

121

2

333

+=+++ nnn

4. Zbir prva tri lana geometrijskog niza je 91. Ako se zbir prvog i treeg lana pomnoi sa61

30,

dobija se drugi lan niza. Odrediti prva tri lana niza.

5. U skupu realnih brojeva reiti jednainu

( ) .24142log2

4 xx

=+

6. U skupu realnih brojeva reiti jednainu

.02sinsincos322 = xxx

7. Stranica romba je 5=a , a zbir dijagonala .1421 =+ dd Izraunati povrinu romba.8. Koliko se petocifrenih brojeva moe napisati od cifara 9,,1,0 , ako se cifre

a. mogu ponavljati;b. ne mogu ponavljati.

9. Data je prava 0122 =+yx i parabola xy 42 = . Nai jednainu tangente na parabolu u

presenoj taki ( )0 0 0, , 0,M x y y < prave i parabole.

10. Visina i izvodnica kupe odnose sa kao 1: 2 , a njena zapremina je .1000 3cm Izraunati povrinu

kupe.Svaki zadatak nosi 6 bodova.

REENJA:1. ( ] [ ).6,12, x

2. Na osnovu Vietovih formula, iz ( ) 02 221 =+=+ mmxx i 4221 ==mxx sledi da je .2=m 3. Da data jednakost vai za svaki prirodan broj ndokazaemo koristei princip matematike indukcije.

Za 1n = data jednakost vai, jer je

( ).

2

1111

2

3

+=

Pretpostavimo da data jednakost vai za kn= , tj.

( ).

2

121

2

333

+=+++ kkk

Dokazaemo da data jednakost vai i za 1+=kn

( ) ( ) ( )( )

.2

21)1(

2

1121

2

3

2

3333

++=++

+=+++++ kk

kkk

kk

Dakle, na osnovu principa matematike indukcije data jednakost vai za svaki prirodan broj n.


8/87

6

4. Oznaimo sa 1b , 2b i 3b prva tri lana geometrijskog niza. Iz

( ) 23132161

30,91 bbbbbb =+=++ , sledi da je 302=b i .6131 =+ bb

Iz 6131 =+ bb i 90031 = bb sledi da je ( ) ( ) ( ){ }.25,30,36,36,30,25,, 321 bbb

5. Iz ( ) xx 24142log 24 =+ sledi da je ( ) 01642

=x , tj. da je reenje date jednaine realan broj.2=x

6. Deljenjem date jednaine sa xcos ( 0cos x ) dobija se jednaina 23 2 0tg x tgx = sareenjima 1tgx= ili 3.tgx=

Iz 1tgx = sledi da je skup reenja ove jednaine .:4

11

+= ZkkA

Iz 3=tgx sledi da je

skup reenja ove jednaine { }2 23 : .B arctg k k= + Z

Skup svih reenja date jednaine je skup BAC U= .

7. Iz 1421 =+dd i 5=a sledi da je .4821 = dd Kako je povrina romba 2121

ddP = to je povrina

traenog romba .24=P

8. a) .109101044510

4105 == VV

b) .9876 210410

5 = VV

9. Iz 122 =+yx i xy 42 = sledi da je ( ) ( ), 4,4x y = ili ( ) ( ), 9, 6x y = . Dakle, traena taka je

( )9, 6 .M Jednaina tangente u datoj taki M na parabolu je prava .33

1= xy

10. Kako je 2:1: =sH , to je .2Hs= Iz 222 Hsr = sledi da je .3Hr= Iz

32 100031 cmHrV == sledi da je 10H cm= , pa je .20,310 cmscmr == Dakle, traena

povrina kupe je ( ) .323100 22 cmsrrP +=+=


9/87

7

ELEKTROTEHNIKA I RAUNARSTVO, SAOBRAAJ I GRAEVINARSTVOseptembar 2001

1. Izraunati

22

3 3 3 3.

2 2

x x x x +

2. Reiti nejednainu

2 20.

3

x x

x

+

3. Dokazati da za svaki prirodan broj nvai( )1

1 2 .2

n nn

++ + + =

4. U jednaini ( ) ( ) 02222 =+++ kxkx odredi realan parametar k tako da jedan koren (nula)jednaine bude dva puta vei od drugog korena.

5. Ako je zbir prva tri lana aritmetikog niza 21, a zbir prvih est lanova 78, nai zbir prvih devet

lanova.

6. U skupu realnih brojeva reiti jednainu .932491 = xx

7. U skupu realnih brojeva reiti jednainu2sin cos 1 0.x x+ + =

8. U pravouglom trouglu date su katete cma 3= i .4cmb= Odredi visinu koja odgovarahipotenuzi.

9. Odrediti presene take krunice 04622 =++ yxyx i prave 4 0.x y + =

10. Pravougli trougao ije su katete cma 3= i cmb 4= rotira oko katete b. Nai zapreminunastalog rotacionog tela.

Svaki zadatak nosi 6 bodova.

REENJA:

1)

2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 2 31.

2 2 2 2 2 2 2 2

x x x x x x x x x x x x x x + + + + = + = =

2)( )( )

( ] [ )2 2 12

0 0 , 2 1,33 3

x xx xx

x x

+ +

3) 1:n=1 2

12

= ;

Pretpostavka da tvrenje vai za :kn=

( )11 .2

k k

k

+

+ + =L Dokaz da tvrenje vai za 1:n k= +

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 2 1 1 2

1 1 1 .2 2 2

k k k k k k k k k k

+ + + + + ++ + + + = + + = =L

4) 21 2xx = 3

22

+=

kx

221 +=+ kxx 3

421

+=

kx 92=+k

( )1 2 2 2x x k = + 2 2 4

2 43 3

k kk

+ + = + 7=k


10/87

8

5) 3 21S = ( ) 21222

378 16 =+= daS ( )1

62 5 78

2a d+ =

Reavanjem sistema jednaina 1 7a d+ = 12 5 26a d+ = dobijamo 31=a i 4d= tako da je

( )1010

2 3 9 4 2102

S = + =

6) ( )2

3 8 3 9 0x x = , 3xt= , 2 8 9 0t t = , 1/28 64 36

2t +=

1 9t = , 2 1t = , 3 9x = , 3 1x = ; 3 9 2x x= = 3 1x = nema reenja.

Dakle, reenje je samo realan broj 2=x

7)2 2sin cos 1 0 1 cos cos 1 0x x x x+ + = + + =

2cos cos 2 0 cos 1x x x = = ( )1 2x k = + , Zk

2cos =x nema reenje

8)

2 2

5c a b= + = 3 4

5c ca b c h h

= = 2.4ch cm=

9) ( ) ( )2 24 6 4 4 0y y y y + + = 4x y=

4 0y x= = ( )0,4A

1 5y x= = ( )5, 1B

10)1

3V B H= , 2 9B r = =

4H b cm= =

1

9 43V = 3r a cm= = 312V cm=


11/87

9

ELEKTROTEHNIKA I RAUNARSTVO, MEHATRONIKA, SAOBRAAJ IGRAEVINARSTVO septembar 20021. Nai interval najmanje duine kojem pripada realan broj k tako da reenja 1 2,x x kvadratne

jednaine ( ) ( ) ( )21 5 2 0k x k x k + + = zadovoljava uslov .211

21

>+xx

2. Cena nekog proizvoda poveana je za 40%. Za koliko procenata treba menjati dobijenu cenu,

da bi se dobila prosena cena?

3. Zbir tri uzastopna lana aritmetike progresije je 54. Ako je najvei od njih dva puta vei od

najmanjeg, nai proizvod ta tri broja.

4. Ako je ,0,sinsin,coscos =+=+ abyxayx pokazati da je .2

yxtg

a

b += Nai

( )yx +cos kao funkciju od ai b.

5. Reiti jednainu 058loglog22 =+ xx .

6. Nai jednainu krunice koja spolja dodiruje krunicu 05422 =+ xyx a centar joj je u

taki ( )5, 4 .C

7. Dijagonale jednakokrakog trapeza su uzajamno normalne. Izraunati njegovu povrinu ako je

krak 52=c , a odnos osnovica 3:1 .

8. Osnova prave pravilne estostrane piramide je upisana u osnovu valjka a njen vrh lei u centru

gornje osnove valjka. Ako je visina piramideH=6 cm, a njena zapremina ,3123

cmV= naipovrinu valjka.

9. Nai reenje jednaine 450343221 = + xx .

10. Koeficijent etvrtog i estog lana u razvijenom obliku binoma1

n

aa

+

odnose se kao 5:18. Nai vrednost lana koji ne sadri a.


REENJA:

1.

( )

1 2

1 2 1 2

5

1 1 912 2 2 02 2

19, 2 .

k

x x kkkx x x x k

kk

+ ++ > > > i 6 5 0x > tj. za

)5

6,1()1,0( x . Za 1x> logaritam je monotono rastua funkcija pa je

),1()6,(065562)56(log 22 >+


16/87

14

ELEKTROTEHNIKA I RAUNARSTVO; MEHATRONIKA jul 20031. U skupu realnih brojeva uprostiti izraz:

,11

11

xx

xx

++

+za

1

22 +

=

tg

tgx

a)

4

,4

b) , , .

2 4 4 2

(8

bodova)2. U skupu realnih brojeva reiti nejednainu

13

9

65

72

+ +

+

+ > + <

+

[ )

( ]( ) [ )

,

2,1 4, .

x

x

Dakle, domen funkcije je ( ] [ )2,1 4, . Za jeD x D=

( )

{ }

22 2

2

log 5 50 =0 5 5 1

2

5 4 0 1,4

x xf x x

x

x x x D

+= + =

+ + =

Dakle, funkcijaf ima dve nule: 1 21 i 4x x= = .

2. Za reenja 1x i 2 kvadratne jednaine J:2 0x px q+ + = vae Vietove formule

[ ] 1 21 :V x x p+ = [ ] 1 22 : .V x x q=

Iz [ ] 1 21 12 : x xU q+ = sledi da mora biti 1 0x i 2 0x , te je I[ ]2

1 2 0.

V

q x x= Pri tome je[ ] [ ]

1 2

1 2 1 2

1 , 2

1 1

V Vx x

x x x x

pq

q

+ = + = = , odakle sledi [ ]2 0 * .p q=

Dalje je

[ ] ( )( )

( ) ( )( ) ( )

2 22 2 3 31 2 1 1 2 21 2 1 2

2 1 1 2

22 2 21 2 1 21 1 2 2 1 2

32 3 3

1 :

,

x x x x x xx x x x

x x x x q

p x x x xx x x x x x p p q

q q q

U p + ++

+ + +

= + = = =

= = =

odakle sledi

[ ]2 4

*3 3 3 3 31 3 2 2,

q p q q

q q q q q

= = = = =

a uvrtavanjem zadnje jednakosti u [ ]* dobijamo 3 4.p= Dakle, zadatak ima jedno reenje:3 34 2p q= = .


23/87

21

3. Kako je ( )2

25 5x x= , smenom 5xt= dobijamo da je jednaina ekvivalentna sa

( ) { }( )( )

2 6 101,2 2

5

5 6 16 0 5 2,8

5 2 5 8 log 8.

x x

x x

t t t t t

x

= = = = =

= = =

4.Funkcije tgx i ctg su definisane za svako ( )20,x

i svako ( )2 ,x .

(a)Na intervalu ( )20,

su pozitivne obe funkcije tgx i ctgx , te je na ( )20,

pozitivna i funkcija

tg + ctg . Stoga je za ( )20,x jednaina ekvivalentna sa

2

2

1 4 3 4 3/ 1 0

3 3

4 31 0

3

33

3

33

3

0 , 0 , .3 2 6 2

t g x c t g x t g x t g xt g x

t t g x t t

t t g x t t

t g x t g x

x x

+ = + =

= + =

= = =

= =

= =

(b)Na intervalu ( )2 , su negativne obe funkcije tgx i ctgx , te je na ( )2 , negativna i funkcijatg + ctgx . Stoga je za ( )2 ,x

jednainaJekvivalentna sa

2 2

1 1 4 3/

3

4 3 4 31 0 1 0

3 3

33

3

33

3

2 5, , .

3 2 6 2

tg x t g x c tg xtg x c tg x

tg x t g x t t g x t t

t t g x t t

tg x t g x

x x

+ = =

+ + = = + + =

= = =

= =

= =

5. a) Po definiciji vektorskog proizvoda, povrina paralelograma je

( ) ( )

( )( )

3 2 2 3 6

0 2 3 6 0 5 5 sin ,

20 sin 10 3 .3

a b p q p q p p p q q p q q

p q p q p q p q p q

= + = + =

= + + = = =

= =

r r ur r ur r ur ur ur r r ur r r

r ur r ur r r ur r ur r ur r

b)

( ) ( )

( )( )2 2

3 3 3 3 9

6 9 40 6 cos , 40 24 cos3

40 12 2 7.

a a a a a p q p q p p pq q p q q

p pq q p q p q

= = = = + =

= + = = =

= =

r r r r r ur r ur r ur ur ur r r ur r r

ur ur r r ur r ur r


24/87

22

c) Kako je

( ) ( )

( )( )

2 2

3 2 2 3 6 6

4 cos , 24 22 0,

a b p q p q p p p q p q q q p p q q

p q p q

= + = + = =

= =

r r ur r ur r ur ur ur r ur r r r ur ur r r

ur r ur r

sledi da vektori ar

i br

nisu ortogonalni.

6. Dijagonale romba se seku pod pravim uglom, te na osnovu Pitagorine teoreme sledi2 2

21 2 812 2

d da

+ = =

2

1 2 2 2

1 1 2 22 2

2 21 21 2

2 /2 4

324812 2

d dd d d d

d dd d

= + =

+ =+ =

te uvrtavanjem druge jednakosti u prvu dobijamo

1 22 320d d = , odakle sledi da je povrina romba1 2 802

d dP= = .

7. Za kompleksne brojeve 1z i= + i 3w i= izraunatia) 3 1z w+ =

b) ( )1 3 1 3z w i = + +

c)1 3 1 3

4 4 4 4

zi

w

= + +

d)3

arg( )4

z

=

e) 2z=

f)

3 11 3 5

4 4 4 48 8 8 8

2 , 2 2 , 2

i i i i

z e e e e

= =

8. a) Binomni koeficijenti 1,0 1

n nn

= =

i

( 1)

2 2

n n n =

obrazuju tri uzastopna lana nekog

aritmetikog niza ako i samo ako je srednji jednak aritmetikoj sredini prvog i treeg:

22

( 1)1

22 5 2 02 4

5 17 5 17

2 2

n nn n

n n n

n n

+ +

= = + =

+ = =

to znai da ne postoji takav prirodan broj n.

b)

2323 1 1

2 4

4

1x x x

x

+ = + =

231 1 23 323 23

2 4 2 4

0 0

23 23k k

k

k k

x x xk k

= =

= =

pri emu je

23 342 4

23 34 10

2 4

k

x x k k

= = =


25/87

23

Dakle, radi se o binomnom koeficijentu23

10

. Polazei od

23 231 1 1 123

2 4 2 4

0

23 k k

k

x x x xk

=

+ =

se na isti nain dobija binomni koeficijent

23 23

13 10

=

.

9. Ukupno, razliitih 5-cifrenih brojeva ima4

9 10 90000 = (prva cifra ne moe biti 0).Razliitih 5-cifrenih brojeva koji meu svojim ciframa ne sadreni jednu cifru 1 ima 48 9 52488 = (prva cifra ne moe biti ni 0 ni 1, a ostale su razliite od 1).

Prema tome, razliitih 5-cifrenih brojeva koji meu svojim ciframa sadre bar jednu

cifru 1 ima 90000 52488 37512 = .

10. (a) Iz 1(1) 1f e e= = sledi 0y e= .

(b) Na isti nain kao pod (a) se proverava da (0,0)O pripada grafiku date funkcije. Iz2 2 2 2'( ) 2 (2 1)x x xf x e xe x e x= + = + sledi '(0) 1 (0 1) 1f = + = , te je koeficijent pravca

tangente u taki O jednak 1, odnosno tangenta u taki O je oblika y x n= + . Kakotangenta treba da prolazi kroz koordinatni poetak O , sledi 0n= , te traena tangenta ima

jednainu y x= .

(c) Za svako x je2

0xe > i2

2 1 0xe + > , te je '( ) 0f x > za svako x .To znai da jefunkcija strogo monotono rastua na celom skupu i nema ni taku minimuma ni taku

maksimuma


26/87

24

ELEKTROTEHNIKA I RAUNARSTVO; MEHATRONIKA jul 2006. godine

1.Ako su 1 i 2 koreni (reenja) kvadratne jednaine

2 0x px q+ + = , za koje vai jednakost

1 2 1 2x x x x+ = , odrediti skup ureenih parova realnih brojeva (p,q)za koje su koreni datejednaine realni brojevi.

2. a) Reiti poxjednainu 9 8 3 9x x = .

b) Odrediti oblast definisanosti funkcije

2

1

3

1( ) log3

xy f xx

+= = +.

3. a) Odrediti sva reenja jednaine sin sin 2 sin 3 0.x x x+ + =

b) Reiti nejednainu 3 sin cos 0x x+ < .

4.Date su funkcije 1 2( ) 2 logf x x= ,

2

2 2( ) logf x x= , 3 2( ) 2logf x x= , 42

( )log 2x

f x = .

Ako meu datim funkcijama ima jednakih, napisati koje su jednake. Odgovore obrazloiti.

5.a) Dat je pravilan estougaoABCDEFstranice a sa centrom u taki O. Ako je O m=

uuur uri

AB n=uuur r

, izraziti vektore ACuuur

, BCuuur

, AEuuur

preko vektora mur

i nr

.

b) Ako je 3 , 2a p q b p q= + = r ur r r ur r , gde je 2, 3, ( , )6

p q p q = = =ur r ur r ,

(1) odrediti povrinu paralelograma konstruisanog nad vektorima ar

i br

.

(2) proveriti da li su vektori ar

i br

normalni.

6.Povrina romba je 18rP= , a jedan od njegovih uglova je

6

= . Izraunati povrinu

omotaa tela koje nastaje rotacijom romba oko njegove stranice.

7. Odrediti sve vrednosti za:

a) 4 1 u skupu realnih brojeva,

b) 4 1 u skupu kompleksnih brojeva,

c) reenja jednaine 4 1 0x = u skupu realnih brojeva,d) reenja jednaine

4 1 0x = u skupu kompleksnih brojeva,

e) reenja jednaine

4 10

1

x

x

=

u skupu realnih brojeva,

f) reenja jednaine

4 10

1

x

x

=

u skupu kompleksnih brojeva.

8. a) Izraunati ( )2lim 2n

n n n

+ .

b) Dokazati da za binomne koeficijente (iz binomnog obrasca) za svaki prirodan broj nvai

jednakost: 2

0 1 2

nn n n n

n

+ + + + =

L .

9. Data je funkcija3( ) 3 1y f x x x= = .

a) Odrediti ekstremne vrednosti funkcijef(x).

b) Neka jesseica koja prolazi kroz take 1( 1, )A y i 2(2, )B y grafika funkcijef. Odreditijednainu tangente tgrafika funkcijefparalelne sa seicoms. Odrediti jednainu normale nudodirnoj taki tangente t.

10.Koliko ima razliitih 7-cifrenih brojeva ije su prve 3 cifre razliiti neparni brojevi, a poslednje 4cifre su parni brojevi?


27/87

REENJA:

1.Na osnovu Vietovih pravila je 1 2x q = i 1 2x x p+ = , te iz jednakosti 1 2 1 2x x x x+ = sledi

q p= . Da bi reenja kvadratne jednaine bila realna, diskriminanta te jednaine mora biti

nenegativna:

( ] [ )2 24 0 4 0 ( 4) 0 ( 4 0 ) , 4 0,p q p p p p p p p + +

Zakljuak: reenja kvadratne jednaine su realni brojevi za ( ] [ ){ }( , ) ( , ) | , 4 0, .p q t t t=

2. a) Kako je 29 3x x= , uvoenjem smene 3xt= dobijamo kvadratnu jednainu 2 8 9 0t t = , ijasu reenja { }1,2

8 64 361,9

2t

+= = . Vraanjem smene dobijamo da jednaina 3 1x =

nema reenja, a reenje jednaine23 9 3x = = je 2x= .

Zakljuak: reenje jednaine je 2x= .

b) Oblast definisanosti funkcijefsu oni Rx za koje je2 2

1

3

1 13 0 log 0,

3 3

x xx

x x+ + >

+ +

odnosno2 21 1

3 0 1.3 3

x xx

x x

+ + >

+ +

- Kvadratna funkcija2 1x + je pozitivna za svexte je

2 10 3 0 3.

3

xx x

x

+> + > >

+

- Kako je

2 21 21 0

3 3

x x x

x x

+

+ +, a nule kvadratne funkcije

2 2x su 1x= i

2x= , sledi da je

te je [ ]2 2

0 ( , 3) 1, 2 .3

x xx

x

+

Zakljuak: oblast definisanosti funkcijefsu take

[ ]1, 2 .x

3. a) Primenom trigonometrijskih identiteta sin sin 2sin cos2 2

+ + = i

cos( ) cos = na prvi i trei sabirak dobijamo

sin sin 2 sin 3 0 sin 2 2sin 2 cos 0 sin 2 (1 2cos ) 0

1 2(sin 2 0 cos ) (2 , 2 , ).

2 3

x x x x x x x

x x x k k x k k

+ + = + = + =

= = = =

Zakljuak: reenja jednaine su

2 2| 2 | 2 | .2 3 3

x k k k k k k +


28/87

b) Prvi nain: Za cos 0x= tj. 2 ,

2x k k

= + uvrtavanjem dobijamo da 2 ,

2x k k

= +

nisu, a 2 ,2

x k k

= + jesu reenja nejednaine.

Za cos 0x> , tj. 2 , 2 ,2 2x k k k

+ + , deljenjem nejednaine sa cosx

dobijamo1 3

3 sin cos 0 3 1 033

x x tgx tgx+ < + < < = ,

a za 2 , 2 ,2 2

x k k k

+ +

je poslednja nejednakost tana kada

2 , 2 ,2 6

x k k k

+ +

.

Za cos 0x< , tj. 32 , 2 ,2 2

x k k k

+ +

, deljenjem nejednaine sa cosx

dobijamo1 3

3 sin cos 0 3 1 033

x x tgx tgx+ < + < < = ,

a za3

2 , 2 ,2 2

x k k k

+ +

je poslednja nejednakost tana kada

5 32 , 2 ,

6 2x k k k

+ +

, odnosno

72 , 2 ,

6 2x k k k

+ +

.

Zakljuak:reenja nejednaine su7

2 , 2 ,6 6

x k k k

+ +

(to je isto to i5 11

2 , 2 ,6 6

x k k k

+ +

).

Drugi nain:3 1

3 sin cos 0 sin cos 0 sin( ) 02 2 6

x x x x x

+ < + < + <

( )7

2 , 2 2 , 2 , .6 6 6

x k k x k k k

+ + + +

4. Ako domene funkcijaf1,f2,f3,f4obeleimo redom sa 1 2 3 4( ), ( ), ( ), ( )D f D f D f D f , tada je

1( ) (0, )D f

+= = , { }2( ) \ 0 ( ,0) (0, )D f

= = ,

{ }3( ) \ 0 ( ,0) (0, )D f = = , { }4( ) \ 1 (0,1) (1, )D f += = .

Stoga, eventualno mogu biti jednake samo funkcijef2if3. Kako za 0x> vai2 2

2 2 2 2log 2log log 2 logx x x= = i kako su funkcijef2if3parne, sledi da su i jednake.

Zakljuak: Od datih funkcija, jednake su samof2if3.

5. a) AC AO OC AO AB m n= + = + = + ,BC AO m= =

,

2 2 2AE AD DE AO ED AO AB m n= + = = =

.

Zakljuak: , , 2AC m n BC m AE m n= + = =

.


29/87

b)1. Po definiciji vektorskog proizvoda, povrina paralelograma konstruisanog nad

vektorima a

i b

je jednaka intenzitetu vektorskog proizvoda vektora a

i b

, te koristei

definiciju i osobine vektorskog proizvoda dobijamo

(3 ) (2 ) 6 3 2

60 3 2 0 5

a b p q p q p p p q q p q q

p q p q p q

= + = + =

= =

,

15 5 5 sin( ( , )) 5 2 3 15

2a b p q p q p q p q = = = = =

.

Zakljuak:povrina paralelograma je 15.

2. Vektori su normalni ako i samo ako je njihov skalarni proizvod 0. Korienjemdefinicije i osobina skalarnog proizvoda dobijamo

2 2

(3 )(2 ) 6 3 2 6 24 9

315 sin( ( , )) 15 6 15 3 3 0.

2

ab p q p q p p pq q p qq p pq q pq

p q p q

= + = + = = =

= = =

Zakljuak:Vektori a i b nisu normalni.

Ako je astranica romba i hvisina romba koja je naspramna otrom uglu, tada je1

sin2

h

a= = ,

te je1

2h a= . Iz 2

118

2rP h a a= = = dobijamo 6a= .

6.

PovrinaPobrtnog tela sastoji se od povrine OVP omotaa valjka visine a i poluprenika osnove h, i

dve povrine OKP omotaa prave kupe sa izvodnicom ai poluprenikom osnove h:

2(2 ) 36OV

P a h a = = = , 21

182OK

P h a a = = = ,

Zakljuak: 2 72OV OK P P P = + = .

7. a) 1,b) 1, 1, i, i,c) 1, 1,d) 1, 1, i, i,e) 1,f) 1, i, i.

8.

a) ( ) ( )2 2 2

2 2

2 2

2 2

lim 2 lim 2 lim2 2n n n

n n n n n n

n n n n n n n n n n n n

+ + +

+ = + = = + + + + .

2 2

2

1 12 lim 2 lim 2 lim

22 21 11

n n n

n

n n n n n

nn

= = = = + + + + ++

12 1

1 0 1 =

+ +

b) Korienjem binomnog obrasca dobijamo0 1 1 2 2 02 (1 1) 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 2 0 1 2

n n n n n nn n n n n n n n

n n

= + = + + + + = + + + +


30/87

9. a) Stacionarne take (take meu kojima se nalaze take ekstremnih vrednosti) su nule prvogizvoda:

' 2

1 2( ) 3 3 3( 1)( 1) 0 ( 1 1)f x x x x x x= = + = = = .

Kako je''( ) 6f x x= i ''( 1) 6 0f = < i ''(1) 6 0f = > , sledi da u taki 1 1x = funkcijaf ima

lokalni maksimum, a u taki 2 1x = lokalni minimum.

b) IzA f i B f sledi da je 1 ( 1) 1y f= = i 2 (2) 1y f= = . Kako tangenta treba da jeparalelna seici koja sadriAi B, sledi da je koeficijent pravcak traene tangente :t y kx m= + jednak koeficijentu pravca praveAB, dakle

1 10

2 ( 1)k

= =

, tj. tangenta treba da je paralelna sax-osom. Koeficijent pravca tangente u

dodirnoj taki 0 0( , )x y je vrednost prvog izvoda' 2( ) 3 3f x x= funkcijef u taki

0, te iz

' 2

0 0( ) 3 3 0f x x= = dobijamo 0 1x = ili 0 1x = (postoje dve takve tangente). Za 0 1x = je

0 0( ) 3y f x= = , te uvrtavanjem (1, 3)M u jednainu tangente dobijamo 3 m = , odnosno

tangentu : 3t y= .Normala grafika funkcije u taki (1, 3)M je prava koja je normalna na

tangentu u toj taki. Kako je tangenta paralelna sax-osom, normala je paralelna say-osom, te jenjena jednaina 1x= .Na isti nain za 0 1x = iodgovorajue 0 1y = dobijamo tangentu 1y=

i njenu normalu 1x= .

Zakljuak: Jednaine traenih tangenti su redom 1 : 3t y= i 2 : 1t y= , a traene normale su

redom 1 : 1n x= i 2 : 1n x= .

10.Neparnih cifara ima5 (1, 3, 5, 7 i 9), kao i parnih(0, 2, 4, 6 i 8), te ke traeni broj je

( ) ( )5 4 3 5 5 5 5 37500 =

Svaki zadatak nosi 6 bodova


31/87

29


1.Neka je KP povrina kO obim krugaKi neka je ABC jednostranian trougao upisan u krugK.

Ako je kolinik 10k

k

P

O= , nai: a)poluprenik r kruga K, b) obim trougla ABC , c)povrinu

trougla ABC

2. Neka je :f definisana sa ( ) ( )( )

3 2 28 5 14 7 2 .f x x x x x x x= + + = Nai:

a) nule funkcijef,b) ekstremne vrednosti funkcijef,

c) interval u kome funkcijafopada,

d) taku ( )1 1,A x y grafika funkcije f sa celobrojnim koordinatama u kojoj je tangenta

grafika paralelna sa pravom 16y x= .

3. Neka je :f funkcija definisana sa ( )2

31 2

4

2log .

12

x xf x

x x

=

+

a) Reiti jednainu ( )f x = 0,b) Odrediti oblast definisanosti funkcijef,

c) Ako je ( ) 2 ,x

g x = odrediti funkciju ( ) ( ) ( )( )f g x f g x=o .

4. Neka je ( ) ( )1, 4, 8 i 8, 4,1 .a b= = v v

a) Da li se taka ( ) ( )1,4, 8 i 8,4,1A B= nalaze u istom oktantu? Odgovor obrazloiti

b) Izraunati intenzitete vektora ia bv v

i ugao izmeu njih,

c) Izraunati povrinu paralelograma konstruisanog nad vektorima ia bv v

,

d) Izraunaj intenzitet vektora xa bv v

,

e) Izraunati ugao izmeu vektora ia b

p q b a a ba b

= + =

v vuv v v v v v

v v .

5. Neka je :f funkcija definisana sa ( ) 22 4 3x xf x = .

a) Reiti jednainu ( ) 0f x =

b) Nai skup svih reenja nejednaine ( ) 0.f x >

c) Reiti jednainu ( ) 24

2 35 33

x

xf x =

6. a) Nad intervalom [ ] ( )0, reiti nejednainu 2cos 2 2.x >

b) Nad intervalom [ ] ( )0, reiti jednainu 2sin sin cos 1x x x + =

7. Dokazati da je ( )

2

3 3 3 3

11 2 3 ... za svaki prirodan broj .

2

n nn n

++ + + + =

8. Sve bone ivice prave, pravilne, trostrane piramide jednake 1 i neka su i uglovi izmeu svake dve

bone ivice jednaki2

.

a) Izraunati zapreminu i povrinu piramide.b) Izraunati visinu piramide.


32/87

30

9.Ako je 1 2

1 3 1 3i

2 2 2 2z i z i= + = , odrediti:

a) 1

2

z

z, b)Skup{ } { }2007 1 2, ako je 1, , .z z A A z z =

10. a) Na koliko naina se mogu smestiti 3 kuglice razliite teine u 5 kutija razliite veliine,

tako da je u svakoj kutiji najvie jedna kuglica i da za svake dve kuglice vai da je tea

kuglica u veoj kutiji?

b) Na koliko naina se mogu smestiti k kuglice razliite teine u n k kutija razliiteveliine, tako da je u svakoj kutiji najvie jedna kuglica i da za svake dve kuglice vai da je

traenakuglica u veoj kutiji?


REENJA:

1. Iz

2

7 10

2

K

K

P r

O r

= = sledi 20r= . Zatim iz2

20

3

h r= = i3

2

ah= sledi 20 3a= , pa je obim

trouglaABCjednak 60 3 . Povrina trouglaABCje2 3

300 34

a= .

a) Nule polinoma2 2x su 1 i 2, te su 1, 2, 7 sve nule funkcijef.

b)2 1'( ) 3 16 5 0 ,5

3f x x x x

= + =

. Kako je ''( ) 6 16f x x= i1

''( ) 14 03

f = < ,

''(5) 14 0f = > , to je maksimum u taki1 400

( , )3 27

M , a minimum u taki (5, 36)N .

c) Funkcija opada u intervalu1

( ,5)3 .

2.

d) Koeficijent pravca tangente je 216 '( ) 3 16 5f x x x = = + tj.

2 73 16 21 0 ,3

3x x x

+ =

. Dakle, zbog uslova zadataka zadovoljava samo taka

(3, 16)A .

3. a)2 2

2 2

1 2 2

4

2 2( ) 0 log 0 1 2 12

12 12

2 10 5

x x x xf x x x x x

x x x x

x x

= = = = +

+ +

= =

b)

2

2

2 ( 1)( 2)0 0

12 ( 4)( 3)

x x x x

x x x x

+ > >

+ +

Dakle, oblast definisanosti funkcijefje ( , 4) ( 1,2) (3, ) U U .

c)

2

3 31 12

4 4

2 2 2 4 2 2( )( ) log log

2 2 12 4 2 12

x x x x

x x x xf g x

= =

+ + o


33/87

31

a) Take se nalaze u istom oktantu ako su im sve odgovarajue koordinate istog znaka. Kako su kodtaaka A i B veprve koordinate razliitog znaka, sledi da take A i B nisu u istom oktantu.

b)2 2 2 2 2 21 4 ( 8) ( 8) 4 1 9a b= = + + = + + =

r ri ugao izmedju njih je

2

zbog 0ab=

r r.

c) Kako je taj paralelogram kvadrat stranice 9, to je traena povrina 81.

d) Kako je intenzitet vektora a br r

jednak povrini paralelograma konstruisanog nad vektorima ar

i

br

to je traeni intenzitet jednak 81a b =r r

.

4.

e)2 2

( )( ) ( )(9 9 ) ( )( ) 09 9

a b a bpq b a a b a b a b a b a b

a b= + = + = + = =

r r r rur r r r r r r r r r r r

r r ,

pa je ( , )2

p q =

uruur .

5. a)

2 2

2 2 2 2 22 4 3 0/ : 3 0 23 3 3 3

x x

x x xx

= = = =

.

b)

2 2

2 2 2 2 22 4 3 0/ : 3 0 0 2

3 3 3 3

x x

x x xx

> > > > =

.

c)2 2 1 2 2 24 42(2 4 3 ) 35 3 2 8 3 35 3 / :3

3 3

x x

x x x x x x x + = =

21 2 2

2 2 2 2

2 32

2

3

2 2 2 2 2 28 35 18 8 9 35 0 9 18 27

3 3 3 3 3 3

2 2 22 3 0 1 3 3 log 3

3 3 3

x x

x xx x x x

x x x x

x x xt

t t x

+

=

= = =

= = = = =

.

a)

22cos 2 2 cos 2 2 ( 2 , 2 )2 4 4

7 9( , ) ( , ) ( , ) ( , )

8 8 8 8 8 8 8 8

k

k

x x x k k

x k k x

> > + +

+ +

K U U U UK

U

U

Presek ove unije intervala svih reenja, sa skupom [ ]0, , je traeni skup svih reenja

70, ,

8 8

U

6.

b)

2sin (sin cos ) 1 2sin 2sin cos 1 (1 cos 2 ) sin 2 1 sin 2

cos 2 2 | |4 8 2

x x x x x x x x x

x x k k x k k

+ = + = + = =

+ +

to u preseku sa [ ]0, daje5

,8 8

x

.


34/87

32

7. Dokaz izvodimo matematikom indukcijom. Direktnom proverom utvrdjujemo da je jednakost tana

za 1n= . Pretpostavimo da je tana za:2

3 3 3 3 ( 1)1 2 32

k kk

+ + + + + =

K . Sledi dokaz za 1k+ :

2 2 2 33 3 3 3 3 3

22 2 2 2 2 2

( 1) ( 1) 4( 1)1 2 3 ( 1) ( 1)

2 4

( 1) ( 4( 1)) ( 1) ( 2) ( 1) (( 1) 1) ( 1)(( 1) 1)

4 4 4 2

k k k k k k k k

k k k k k k k k k

+ + + + + + + + + + = + + =

+ + + + + + + + + + + = = = =

K

8. a) Ako bonu stranu piramide uzmemo za osnovu, tada je to piramida ija osnova je pravougli

trougao ije katete su jednake 1, a visina piramide je takodje 1, pa je zapremina jednaka

1 1 11

3 2 6 = . Povrina se sastoji od povrine tri pravougla trougla i povrine jednog

jednakostraninog trougla stranice 2 , pa je povrina jednaka21 ( 2) 3 1

3 (3 3)2 4 2

+ = + .

b) Ako sada uzmemo da je osnova piramide jednakostranini trougao stranice 2 , tada je

zapremina piramide jednaka

2

1 ( 2) 3 13 4 6

H = , odakle je 1 333

H= = .

a) 1

2

1 3 1 3 1 3 2 2 3 1 3

4 2 21 3 1 3 1 3

z i i i ii

z i i i

+ + + = = = =

+

9.

b) *20071 1=

*2007 2007

1

2 2 2 2(cos sin ) cos(2007 ) sin(2007 )

3 3 3 3

cos1338 sin1338 1

z i i

i

= + = + =

+ =

* analogno dobijamo

2007

2 1z = .Dakle, { } { }2007 | 1z z A = .

10.a) Neka je {1, 2, 3} skup od tri kuglice od kojih su svake dve razliite teine i neka je {1, 2, 3, 4, 5}

skup od 5 kutija od kojih su svake dve razliite veliine. Ako sada u prvoj vrsti napiemo

kuglice po teini, a u drugoj vrsti ispod svake kuglice napiemo kutiju u koju je smetena, tada

e zbog uslova zadatka da je tea kuglica u veoj kutiji slediti da u drugoj vrsti su brojevi(kutije) poredjani po veliini tj. svi naini su:

123 123 123 123 123 123 123 123 123 123

123 124 125 134 135 145 234 235 245 345

Primetimo da su to sve rastue funkcije trolanog skupa {1, 2, 3} u skup

{1, 2, 3, 4, 5}, a takodje druga vrsta predstavlja sve trolane podskupove petolanog skupa {1,2, 3, 4, 5}, a to jesu sve mogue KOMBINACIJE BEZ PONAVLJANJA OD 5 ELEMENATA

TREE KLASE, kojih ima5

103

=

b) Na osnovu reenja pod a) sledi da je reenjen

k

.


35/87


36/87

34

REENJA:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.


37/87

35


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.



38/87

36

REENJA:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.


39/87

37

9.

10.


40/87

38

ELEKTROTEHNIKA I RAUNARSTVO; MEHATRONIKAjul 2010. godine

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.


41/87

39

REENJA:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.


42/87

4040


43/87

41

SAOBRAAJ I GRAEVINARSTVO jul 2002. godine

1. Reiti nejednainu:5

2

65

212

= xxx

x.

5. Reiti jednainu xx 2cos)2

cos(32 =+

.

6. Date su takeA(3,1); B(5,5). Odrediti taku Cu kojoj simetrala duiABseeyosu, a zatim napisati

jednainu krunice sa centrom u taki Ckoja prolazi kroz takeAiB.

7. Oko kruga poluprenika 2cm opisan je jednakokraki trapez povrine220cm . Nai stranice tog

trapeza.

8. Data je kocka 1111 DCBABCDA zapremine2

64cm . Ako je S sredina ivice 11DA odrediti povrinu

piramideABCDS.

9. Peti lan aritmetikog niza je 14, a razlika osmog i treeg lana je 15. Odrediti prvi lan niza irazliku. Koliko lanova ovog niza treba sabrati da bi zbir iznosio 26?

10. U razvoju binoma

n

xx

+2

2, zbir binomnih koeficijenata prva tri lana je 29. Odrediti n i

izraunati drugi lan u razvoju binoma.


REENJA:

1. Data nejednaina je definisana za 3x ;

++

+

03

932823

3

282 222

x

xxxxx

x

xx

( ] [ )3,21,x03x

2xx 2

2. Neka su 1x i 2x reenja date jednaine.2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 2x x x x x x x x x x+ = + + = +

=+=++ 1,2

1m01mm2)1m(2)2m4(2)1m(4 22

.

3. .02736)3(03329211 == xxxx Ako stavimo tx =3 dobijamo kvadratnu

jednainu 02762 = tt sa reenjima .9,3 21 == tt Jednaina 33 =x

nema reenja.

293 == xx . Dakle, skup reenja date jednaine je { }2 .

4. == 2log4log

132log481log3 939

92

3 xx

xx

2log4log

12log4

log2

13

13

93

9

93

9

==

xx

x

x

. Ako stavimo tx=9log dobijamo

kvadratnu jednainu 0122 = tt sa reenjima .1,

2

121 == tt

91log;3

1

2

1log 99 ==== xxxx . Dakle, skup reenja date jednaine je

9,3

1.


48/87

46

5. =+=+ xxxx 2cossin322cos)2

cos(32

.01sin3sin2sin21sin32 22 =++=+ xxxx Ako stavimo sinx t= dobijamo

kvadratnu jednainu 01t3t2 2 =++ sa reenjima

.1,2

121 == tt

+

+= ZllZkkxx :2

6

5:2

62

1sin

.

+= Zmmxx :2

2

31sin .

Dakle, skup reenja date jednaine je

+

+ ZllZkk :2

6

5:2

6

+ Zmm :2

2

3

.

6. Oznaimo sa 1k i 2k koeficijente pravca prave AB i simetrale s dui AB, respektivno. Tada je

235

151

=k i

2

11

1

2 ==k

k . Sredina SduiABima koordinate S(4,3). Jednaina simetrales je

prava1

3 ( 4)

2

y x = , odnosno prava1

5

2

y x= + . Kako taka ),0( 0yC pripada simetralis

sledi da je 50=y , odnosno (0,5)C . Kako je 5)15()30( 22 =+== ACr poluprenik date

krunice, sledi da je jednaina traene krunice 25)5(22 =+ yx .

7. Iz 42,202

===+

= rhhba

P sledi da je .10=+ ba Kako je etvorougao tangentni to je

52 ==+ ccba . Iz2

22

2

+= ba

hc sledi da je 6= ba . Sada iz 10=+ ba i 6a b =

sledi da je a=8i b=2.

8. 16;46423 ===== BaBaaV . 8

24 11 ====

ahPah ADS .

542

ahP52

2

aaASh 2ABS

2

22 ===

+==

282

ahP24BASSh 3BCS113 =====

)253(8PP2PBP BCSABSADS ++=+++=

9. ==++==+= 15d5)d2a()d7a(aa;14d4aa 113815 .2d414a;3d 1 ===

4n052nn324)d)1n(a2(2

nS 21n ==+=+=

10.729

2

)1(1

210==

++=

+

+

n

nnn

nnn.

( ) 223

2

112

6

17

2244827

2

1

7 +

==

= xxx

xT .


49/87

47


1. Dat je racionalni algebarski izraz: ( ) .3,,23

3

3

3

155

273

+

++

= nNnn

n

n

n

n

nnR

a) Uprostiti dati izraz,

b) Nai ( )nRn

lim

2. Reiti nejednaine: 31

922

++x

xx .

3. Reiti jednainu: 253521 = xx .

4. Reiti sistem jednaina: ( ) 41

log5log,23log

2)5log( 9

2

4

3 =++=++y

xxy

.

5. Reiti jednainu: 0sin2cos32 = xx .

6. Dokazati da za svako vaiNn ( ) ( )( )1 4 1

1 1 2 3 ... n 2n-16

n n n+ + + + =

7. Brojevi a


50/87

48

2. Polazna nejednakost je ekvivalentna sa

( ) ( )( )

01

320

1

6503

1

92 22

++

=

+++

++

x

xxxf

x

xx

x

xx

Poslednju nejednakost reavamo pomou tabele i dobijama da je ( ] [ )1,23, x

3. Uvoenjem smene 0t,5 >=tx eksponencijalna jednaina se svodi na je dnainu ,21

755

1 =

tt

tj. na 0,375102 = tt ija su reenja .1525 21 == tt Zbog t>0 reenje 2t se odbacuje, a iz

polaznereenjejedino2jedasledi5525 21 ==== xt x

jednaine.

4. Reenje mora da zadovolji uslov 1,0,05 >>+ yyx . Sistem se primenom pravilalogaritmovanja svodi na ekvivalentni sistem

( ) ,2log25log3 32 =++ yx ( ) ,4log2

15log 32 =+ yx

koja se smenama ( ) sytx ==+ 32 log,5log svodi na sistem linearnih jednina

,42

1223 ==+ stst

ije je reenje :Dakle).4,2(),( =st

( ) ,811

3log4log4,12525log24

33

2

2 ======+=+=

yysxxxt

pa je konano reenje sistema ( )

=81

1,1,yx .

5.2 2 23cos 2sin 0 3cos 2(1 cos ) 0 2cos 3cos 2 0

1 1 cos cos -2 cos 2 , .

2 2 3

x x x x x x

x x x x k k

= = + =

= = = = + Z


51/87

49

6. Oznaimo sa ( ) NnnT , dato tvrenje. Dokaz sprovodimo indukcijom. Za n=1je

( ) ( )( )

T+

=6

1141111121

Predpostavimo da je

( ) ( )( )

6

14112...3211:)(

+=+++

kkkkkkT

tano i dokaimo

( ) ( )( ) ( )( )( )

6

342112112...3211:)1(

+++=+++++++

kkkkkkkkT .

Dodavanjem (k+1)(2k+1) i levoj i desnoj strani jednakosti T(k),dobija se:

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )( )( ) ,6

3421

4

324

6

16114

6

1

126146

1121

6

14112112...3211

2 +++=

+++

=+++

=+++

=++++

=+++++

kkkkk

kkk

k

kkkk

kkkkk

kkkk

ime je tvrenje dokazano.

7. Brojevi a,b,csu uzastopni elementi aritmetikog niza, pa moemo napisati da je b=a+d ic=a+2d.Brojevi a+8, a+d ia+2d su uzastopni elementi geometrijskog niza, odakle sledi da je

( ) ( )( ),282 daada ++=+ a njihov zbir je 26, te imamo

addadadaa ==+=+++++ 618332628 Uvrtavanjem ovog rezultata u predhodnu jednainu dobija se:

( )( )2 26 12 2 8 4 60 0 10 6a a a a a a a= + + = = =

Reenje a=10odbacujemo budui da iz njega sledi da je d=-4, to protivrei uslovu da brojevi a,b

i cprestavljaju uzastopne elemente rastueg aritmetikog niza, tako da je jedino zadovoljavajue

reenje a=-6, d=12,odakle su traeni brojevi a=-6, b=6, c=18.

8. Trougao 11AA je jednakokrako pravougli, pa je HAA =1 te iz jednakokrakog trapeza 11AACC imamo

( )2

2

2

2222 ===+ baHabH

Popreni presek piramide je jednakokraki trapezPQRSije su osnovice a i b, krak visina bone

strane h, a visina jednakaH. Stoga je2

3

2

2

2

=+

= Hba

h

Povrina piramide je 35132

42221 +=+

++=++= hba

baMBBP


52/87

50

( ) ( )

1 1 1

1

1 1

1 1 1 1) sredina , ,1 sredina 1, ,

2 2 2 21 1 1 1 1 1

1 , , 1 ,0,2 2 2 2 2 2

1 0,0 0,0 1 1,0, 1

Dakle , 2MN, pa su i MN kolinearni.

Napome

a M AC M N BC N

MN

A B

A B A B

= =

= = =

uuuur

uuur

uuur uuuur uuur uuuur

1 1

1

1

na: Du je srednja linija trouglapa je ,

odnosno vektori A i kolinearni

MN C A BMN A B

B MNuuuur uuuuur

9.

( ) ( )

( )

1 11 1

2 2 2 2 2 21 1

1 0 0 1 1 1 1, arccos arccos arccos .

2 31 0 1 0 1 1

BA BCBA BC

BA BC

+ + = = = =

+ + + +

uuur uuuuruuur uuuur

10. I nain. Jednaina krunice se moe napisati u obliku ( ) 252 22 =++ yx iz kog se vidi da na krunici imamo dve take sax-koordinatom 4: (4,1) i (4,-5), od kojih samo prva

zadovoljava uslov .00

>y Dakle, jednainu tangente

( ) ( )0 0 0 0i normalet ny y k x x y y k x x = = traimo u taki ( ) ( ).4,1, 00 =yx

Eksplicitni oblik jednaine date krunice je2252 xy = . Prvi izvod je

225 x

xy

= pa

je ( )3

44 ==ykt . Prema tome jednaina tangente je

( )3

19

3

44

3

41 +== xyxy .

Kako je ,1

t

nk

k = jednaina normale je

( ) .2434

431 == xyxy

II nain. Jednaina prave koja prolazi kroz taku (4,1) je ( ) 14 += xky . Zameniviyu jednainukrunice dobijamo da je

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 016241686102114414 222222 =+++=++++ kkxkkxkxkxkx

Da bi posmatrana prava bila tangenta krunice dovoljno je da diskriminanta poslednje kvadratne

jednaine poxbude jednaka nuli, tj.

( ) ( )( ) ( )3

404301624161486

22222 ==+=+= kkkkkkkD

Dakle, jednaina traene tangente je

( )3

19

3

4143

4 +=+= xyxy

odnosno normale

( ) 24

314

4

3=+= xyxy


53/87

51


1. Dat je izraz aba

ba

ba

babaI +

=22

22

33

),(

a) Uprostiti dati izraz.

b) Izraunati vrednosti datog izraza za 1a i= , 2b= .

2.

Data je funkcija1

552)(

2

2

+=

x

xxxf

a) Reiti nejednainu .1)( xf

b) Nai ( )f x

3. Reiti nejednainu2 24 10 2 16 0.x x + >

4. Reiti sistem jednaina: 2 9log log 5x y+ = .

32

4log 4

log 3yx =

5. Ako je4

5tg= , izraunati 13sin 2

2

.

6. Date su take U(8,4), V(6,-10) i W(2,2).

a) Pokazati da su vektori WUuuuur

i WVuuur

ortogonalni

b) Napisati jednainu krunice iji je prenik du UVi jednainu njene tangente u taki U.

7. Odrediti tri uzastopna lana opadajue aritmetike progresije,ako je njihov zbir 15, a zbir njihovih

kubova 645.

8. Presek dijagonala jednakokrakog trapeza PQRSsa osnovicama PQ a= i RS b= je taka M .Ako

je ugao RMS jednak0120 , diagonala tog trapeza 6d= , a 5c= , izraunati povrinu trapeza

9. Neka je kocku 1 1 1 1ABCDA B C D stranice m upisana kupa ija je upisana u kvadrat ABCD , a vrh je

u sreditu kvadrata 1 1 1 1A B C D . Odrediti odnos :R r, gde je R poluprenik sfere opisane oko te kupe,

a rpoluprenik sfere upisane u kupu.

10. Ako se binomni koeficijent drugog lana prema binomnom koeficijentu treeg lana

u razvoju binoma2

1 n

xx

odnosi kao 2:17, odredi lan u razvoju koji ne zavisi od x .



54/87

52

REENJA:

1.a) Izraz je definisan za ba . Primenjujui obrasce za razliku kubova i razliku

kvadrata, i svoenjem na zajedniki imenilac dobijamo da je

.

)())((

))((

))((),(

2222

2222

ba

a

ba

babbaba

ababa

babaa

ba

baba

baba

babababaI

+=+++

=

+++

++=+

+

+

++=

b) Koristei uproenu formu izraza dobijenog pod a), uvrtavanjem vrednosti za a i b ,dobijamo da je

.5

3

5

1

10

26

3

3

3

2

3

21

21

)1()2,1(

22

ii

i

i

i

i

i

ii

i

iiI =

+=

++

=

+

=+

=

a) Prebacivanjem jedinice na levu stranu nejednaine i faktorisanjem polinoma u brojiocu iimeniocu, dobijamo da je

1)( xf 01

65

2

2

+

x

xx 0

)1)(1(

)3)(2(

+

xx

xx

Za odreivanje znaka poslednje nejednakosti koristimo sledeu tabelu

( 1, ) (-1,1) (1,2) (2,3) ),3( + (x-2)(x-3) + + + - +

(x-1)(x+1) + - + + +

)1)(1(

)3)(2(

+

xx

xx

+ - + - +

Koristei rezultate iz tabele i imajui u vidu da funkcija nije definisana za 1x= i 1x= ,zakljuujemo da je polazna nejednaina zadovoljena za svako [ ].3,2)1,1( x

2.

b)22

2

22

22

)1(

5145

)1(

)552(2)1)(54()(

+

=

+=

x

xx

x

xxxxxxf

3. Reenje nejednaine traimo za x -2 0 , tj. Za 2x . Uvoenjem smene 12 2 = xt polaznanejednaina se svodi na kvadratnu nejednainu

2 10 16 0t t + > iji je skup reenja( ,2) (8, )t . Dakle, [ ) ( ) ,82,1t . Vraanjem smene dobijamo

0 2 11 2 2 2 2 0 2 1 0 2 1 2 3xt x x x < < < < <

Analogno, 3 28 2 2 3 2 9 2 11xt x x x< < < < <

Dakle skup reenja poetne nejednaine je [ ) ( ) ,113,2x


55/87

53

4. Koristei osobine logaritma transformiemo system na sledei nain:

2 9 2 3

32 2 3

1log log 5 log log 5

2

4log 4 3log 4log 4

log 3

y

x y x y

x x y

+ = + =

= =

Zatim, prvu jednainu predhodno pomnoenu sa 3 dodajemo drugoj jednaini i dobijamo da je

2 3 3

3 2

1log log 5 log 2

2

11log 11 log 4

2

x y y

y x

+ = =

= =

Dakle, 23 9y= = i 42 16x= =

5.

Ako je

4

5tg= , izraunati13

sin 22

. Svoenjem na osnovni ugao i primenom adicioneformule sledi da je

213sin 2 sin 6 2 sin cos 2 cos 1 cos 2 0 cos 12 2 2 2

= + = =

Iz2 2 2 2

2 2

1 1 1 25sin cos 1 1 cos

16cos 1 411

25

tgtg

+ = + = = = =+ +

dobijamo13 25 9

sin 2 2 1

2 41 41

= =

6. a) Odredimo skalarni proizvod vektora WUuuuur

=(6,2) i WVuuur

=(4,-12).

( ) ( )6,2 4, 12 6 4 2 ( 12) 0WU WV = = + =uuuur uuur

, odnosno WU WV uuuur uuur

.

b) Sredina dui UV, ( )8 6 4 10

( , ) 7, 32 2

S +

= = je centar krunice. Poluprenik krunice je du

( ) ( )2 2

8 7 4 3 50SU= + + = . Jednaina traene krunice je ( ) ( )2 2

7 3 50x y + = .

Koeficijent pravca prave ( )p SU je 2 112 1

4 37

8 7

y yk

x x

+= = =

. Koeficijent pravca

tangente na krunicu u taki Uje1

1 1

7tk

k= = . Jednaina traene tangente kroz taku

( )8,4U je ( )4 8ty k x = , odnosno1 36

7 7y= + .


56/87

54

7. Traene lanove progresije moemo zapisati u obliku a + d, ai a d, gde je razlika progresije

0d> . Iz uslova da je njihov zbir 15, tada dobijamo

15 3 15 5a d a a d a a+ + + = = =

Uvrtavanjem u uslov da je zbir kubova 645, tada dobijamo

( ) ( )3

3 33 3 2 645 3 5645 3 6 645 36 5

a d a a d a ad d + + + = + = = =

Dakle traeni lanovi progresije su 8,5 i 2 .

8. Presek dijagonala jednakokrakog trapeza PQRSsa osnovicama PQ a= i RS b= je taka

M .Ako je ugao RMS jednak 0120 , diagonala tog trapeza 6d= , a 5c= , izraunati povrinutrapeza.

Poto je trougao PMQ jednakokrako sa uglom od 0120 pri vrhu ,sledi da je 030RPQ= (slika 1).Neka je Npodnoje visine h iz temena R na osnovicu a . Iz pravouglog trougla

RNP imamo da je 0sin30 h

d= ,odnosno

63

2h= = . Iz pravouglih trouglova PNR i RNQ

na osnovu Pitagorine teoreme sledi da je2 2 36 9 3 3PN d h= = = , odnosno

2 2 25 9 4NQ c h= = = , respektivno.Osnovica 3 3 4a PN NQ= + = + . Poto je

2

a bNQ

= , drugu osnovicu moemo da dobijemo iz 3 3 4a= + i 4

2

a b= , pa sledi da je

3 3 4b= . Traena povrina trapeza je 9 32

a bP h

+= =

9. Neka je kocku 1 1 1 1ABCDA B C D stranice m upisana kupa ija je upisana u kvadrat ABCD , a vrh je

u sreditu kvadrata 1 1 1 1A B C D .Odrediti odnos :R r, gde je R poluprenik sfere opisane oko te

kupe, a rpoluprenik sfere upisane u kupu.Poluprenik sfere opisane (i upisane) oko kupe odgovara polupreniku krunice opisane (i upsiane)

oko njenog poprenog preseka, tj. Jednokakrog trougla1

MNO , ija je osnovica MN m= , a kraci

su

2

2

1 1

5

2 2

m mMO NO m

= = =

(slika 2).


57/87

55

Poluprenik upisane krunice nalazimo iz izraza

22 5 1 5 12

45 5 5 1 5 1

2 2

m mP m m

rO m m

m

= = = =+

+ +

.

Poluprenik upisane krunice dobijamo pomou sinusne teoreme

2sin

bR

= , gde je b proizvoljna

stranica trougla 1MNO , a je ugao koji se nalazi naspram te stranice.

Kako iz pravouglog trougla 1ONO sledi da je 12 5

sin55

2

mONO

m = = , primenom sinusne

teoreme na stranici 1MO i ugao kod temena Ndobijamo da je

552

82 52

5

mm

R= = .

( ) ( )

55 5 1

5885 1 2 5 1

4

m

Rr m

= = =

.

10. Ako se binomni koeficijent drugog lana prema binomnom koeficijentu treeg lana

u razvoju binoma2

1 n

xx

odnosi kao 2:17, odredi lan u razvoju koji ne zavisi od x .

Binimni koeficijent drugog i treeg lana se odnose kao 2:17, odnosno

( )( )

1: 2 :17 : 2 :17 17 1 18

1 2 2

n n n nn n n n n

= = = =

.

Znamo da je ( )1k+ -vi lan u razvoju binoma ( )182x x jednak

( ) ( )18 2 18 318 18

1k kk k

x x xk k

=

za 0,1,...,17k= .

Za lan koji ne sadri x mora da vai 18 3 0k = ,odnosno 6k= .Dakle, sedmi lan zavisi od x itaj lan je jednak

( )618 18

16 6

=

.


58/87

56


1.Izraunati vrednost izraza

3

3

32

32

13

2

3

+

2. Nai sve vrednosti mR tako da funkcija y = ( ) ( ) 25222 ++ xmxm ima minimum i dve

razliite realne nule.

3. Data je funkcija ( ) .52

192

+++

=x

xxxxf

a) Reiti nejednainu ( ) .1xf

b) Nai ( )xf '

4. Reiti sistem jednaina

1503223

133325

=+

=yx

yx

5. Reiti jednainu33 3

2 4 8 2log log 2logx x x + = .

6. Reiti jednainu22cos 7sin 5 0x x+ =

7. Dati su kompleksni brojevi 1 21 2 , 4 3b i b i= + = + i 3 11 2b i= + .

a) Nai kolinik 21

b

bq= .

b) Pokazati da brojevi 1b , 2b , 3b , tim redom, ine prva tri lana geometrijskog niza i nai zbir prvih

pet lanova ovog niza.

8. Ako jeA(-2, -2,0), ABuuur

= (6,-1,1) i ADuuur

=(2,3,1), odrediti temenaB,C iDi presek dijagonala T

paralelogramaABCD.

9. Oko krunice prenika 3cmje opisan pravougli trapez povrine 12cm2. Izraunati duine osnovica.

10. Prva pravilna etvorostrana piramida osnovne ivice 12 2a cm= i bone ivice 13s cm= preseenaje ravni koja je paralelna osnovi, a koja visinu deli na dva jednaka dela. Izraunati povrinu dobijene

zarubljene piramide.



59/87

57

REENJA:

1.

Na osnovu osobina parnog i neparnog korena i primenom formule za kub binoma, dati izraz se

transformie na sledei nain:

( ) 1132

1

2

333

2

13

2

33

2

13

2

3 333

3

3

32

==

+=

+=

+

2. Kvadratna funkcija ima minimum ako je 2 m> 0, a ima realne razliite nule ako je D > 0.

D = ( ) ( ) ( )2 22 22 5 4 2 2 4 20 25 16 8 4 12 9 2 3 ,m m m m m m m m = + + = + =

Pa je D > 0 m 3 3, , .2 2

U

Dakle,3 3 3 3

2 0 0 2 , , , , 2 .2 2 2 2

m D m m m > > <

U U

3. a) ( ) ( )2 2 22 5 19 2 5 2 24

1 1 0 0 0.2 5 2 5

x x x x x x xf x f x

x x

+ +

+ +

Kako je 4602422 ===+ xxxx i2

5052 ==+ xx , za reavanje

nejednaine koristimo tabelu

( )6, ( )25,6 ( )4,

25 ( )+,4

2422 + xx

+ - - +

52 +x - - + +2

2 242 5

x xx

+ +

- + - +

Koristei rezultate iz tabele i imajui u vidu da funkcija nije definisana za25=x , zakljuujemo da

je polazna nejednaina tana za svako [ ) [ )+ ,4,625 Ux

b) Iz ( )2 4 19

2 5x x

xf x +

+= je ( )

( )( ) ( )( ) ( )

22

2 2

2 4 2 5 2 4 19' 2 10 58

2 5 2 5

x x x xx x

x xf x

+ + + + +

+ += = .

4. Nakon uvoenja smenex2 = p i y3 = q, dobija se:

5 133 \ 2 5 133 32 32

3 2 150 13 416 5 - 133 27

.

p q p q p p

p q p q p q

= = = =

+ = = = =

Iz x2 = 52 i y3 = 33 sledi da je reenje (x,y) = (5,3).

5. Koristei osobinu ,loglog xx anmman = za x > 0, datu jednainu transformiemo na sledei nain:3

223

232

223

231

23

8

3

43

2 23logloglogloglog2loglog ===+=+

xxxxxxxx

6.( )

( )

2 2 2

12

2 1 sin 7sin 5 0 2sin 7sin 3 0 2 7 3 0 sin

3 sin

x x x t t t x

t t t x

+ = + = + = =

= = =

Zbog [ ]1,1t ostaje samo reenje za koje je 12sin ,x= tj.

{ } { }56 62 2 .x k k k k + + UZ Z


60/87

58

7.a)

22

21

4 3 1 2 4 3 8 6 10 51 2 1 2 51 4

2 .b i i i i i ib i i i

q i+ + +

= = = = =

b) Iz ( ) ( )2 32 4 3 11 2q b i i i b = + = + = sledi da brojevi 1b , 2b i 3b ine prva tri lanageometrijskog niza sa kolinikom q. etvrti i peti lan ovog niza dobijamo iz

( )( )4 3 11 2 2 24 7b b q i i i= = + = i ( )( )5 4 24 7 2 41 38 .b b q i i i= = = Zbir prvih pet

lanova ovog niza je 5 1 2 3 4 5 81 38 .S b b b b b i= + + + + =

8. Neka su kordinate traenih temena

B ( )1 1 1, ,x y z , C ( )2 2 2, ,x y z i D ( )3 3 3, ,x y z .

( ) ( ) ( ) ( )1 1 16, 1,1 2, 2, 6, 1,1 4, 3,1 .AB x y z B= + + = uuur

( ) ( ) ( ) ( )3 3 32,3,1 2, 2, 2,3,1 0,1,1 .AD x y z D= + + = uuur

( ) ( ) ( )2 2 2, 1, 1 6, 1,1 6,0, 2 .DC AB x y z C= = uuur uuur

Presek dijagonala Tje ujedno I sredite dui AC, pa su njegove koordinate( ) ( )2 6 2 0 0 22 2 2, , 2, 1,1 .T T

+ + +

9. Oigledno je da je visina trapeza h jednaka preniku

upisane krunice, tj. h=3. povrina trapeza2

a bP h+=

je na osnovu zadatka jednaka 12, tj.2

3 12a b+ = ,odakle sledi 8a b+ = . Iz uslova o tangentnometvorouglu, imamo da je a b c h+ = + , odnosno

3a b c+ = + . Iz dobijenih veza sledi da je 8 3c= + ,tj. 5c= . Primenjujui Pitagorinu teoremu upravouglom trouglu CTB dobijamo da je

( )22 2c h a b= + to zamenom ci hdaje 4a b = .

Sada, iz sistema jednaina 8a b+ = i 4a b = imamo da su osnovice trapeza a = 6 i b = 2.

10. Iz slinosti trouglova 1 1TT H i 2 2TT H sledi da je1

1 1 2 22 4aT H T H = = tj. 1 1 6 2A B = . Iz pravouglog trougla

2CTH sledi da je visina bone stranice

( )22

2 2169 36 2 97ah TH s= = = = , pa je iz slinosti

pomenutih trouglova971

1 2 22 2H H TH= = . Sada je:

( ) ( )2 2 976 2 12 2

1 2 2 26 2 12 2 4 360 18 194P B B M += + + = + + = +

A B

D C

A B

CD

h

T a

c

b


61/87

59

SAOBRAAJ, GRAEVINARSTVO I GEODEZIJA I GEOMATIKAjul 2008. godine

1.Odrediti realni parametar a tako da reenjax1ix2jednainex2+(a2)xa+1= 0 zadovoljavaju

uslov

2. Reiti nejednainu

3. Reiti jednainu .

4. Reiti jednainu

5. Reiti jednainu (1+tg2x)(2+sin2x) = 2.

6. Ako suB1= 8 iB2= 2 povrine osnova prave pravilnezarubljene etvorostrane piramide zapremine

V = 28, izraunati povrinu njenog omotaaM i duinu prostorne dijagonaleD.

7. Neka suA(2,1,2),B(4,0,1) i C(4,3,2) tri uzastopna temena paralelogramaABCD.Izraunati koordinate temenaD i povrinu paralelogramaABCD.

8. Duine stranica pravouglog trougla obrazuju aritmetiki niz. Ako je povrina trouglaP =izraunati duine stranica i poluprenik upisane krunice.

9. Odrediti jednainu tangente na paraboluy2=xu onoj presenoj taki sa pravomy = x+2koja se nalazi u I kvadrantu.

10. Data je funkcija

a)Izraunati vrednost funkcijefu takib)Izraunati f (4)c)Izraunati



62/87

60

REENJA:

1. Iz Vijetovih formula imamo:x1x2 = 1a,x1+x2= 2a. Odatle je

2.

Ispitivanjem znaka inilaca izraza sa leve strane dobijamox(,2)U(4,5).

3. Smenom 2x+1 = tdobijamo t215t16 = 0 t1= 1, t2= 16.

Prvo reenje odbacujemo zbog 2x+1 > 0, a iz drugog sledi 2x+1= 16 = 24 x = 3.

4.

5.

6.

7.


63/87

61

8.

9.

10.


64/87


65/87

63

REENJA:

1.

2.

3.

4.


66/87

64

5.

6.

7.

8.


67/87

65

9.

10.


68/87

66

GRAEVINARSTVO; SAOBRAAJ; GEODEZIJA I GEOMATIKAjul 2010. godine

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.


69/87

67

REENJA:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.


70/87

68

8.

9.

10.


71/87

69

MATEMATIKA za mainstvo, industrijsko inenjerstvo i inenjerski menadment, grafikoinenjerstvo i dizajn, inenjerstvo zatite ivotne sredine

jul 2001. godine

REENJA:

1. a) 12:3

2

3

22

2

2

3

=

b) 393

393:272

2

2

33

2

2

2 =++=++

a

aaa

aa

aaa

aa

2. ( )

,21,

1

3x

3. Neka je poetna cena x dinara. Po uslovu zadatka, konana cena je xx 96.08.02.1 = dinara.Dakle, cena je smanjena za %4

4. ( )2

13

sin

4530cos

sin

75cos 000 =

+=

00 4545

Iz 14

2sin2 =

+

x sledi da je2

1

42sin2 =

+

x te je skup reenja date jednaine

+

+ ZkkZkk 2211 :4:12

.

5. a) Iz 055425 = xx , sledi da je ( ) 05545 2 = xx , tj. da je reenje date jednaine 1=x ;

b) Data jednaina je definisana za .2

1>x Iz ( ) ( ) 112log1log

66 =+++ xx sledi da je

( ) ( ) 1121log6

=++ xx , tj. ( ) ( ) 6121 =+++ xx . Zbog oblasti definisanosti reenje date jednaineje samo realan broj 1=x .

1. a)Izraunati ;2:

3

2

3

22

2

2

3

2 boda)

b)Uprostiti izraz .0,93

:27

2

2

2

++

a

a

aa

aa (2 boda)

2. Reiti nejednainu( ) ( )

.023

122

22

+

++

xx

xx (6 bodova)

3. Cena jednog proizvoda uveana je za %20 , a potom je sniena za %20 . Za koliko procenatase krajnja cena razlikuje od prvobitne?

(4 boda)

4. a) Izraunati ;45sin

75cos0

0

(4 boda)

b) Reiti jednainu .14

2sin2 = +

x (6 bodova)

5. Reiti jednaine

a) 055425 = xx (4 boda)

b) ( ) ( ) .112log1log 66 =+++ xx (4 boda)


72/87

70

MATEMATIKA septembar 2001. godine

1. a) Izraunati3

48272 (2 boda)

b) Uprostiti izraz

,13

42

313

12

+

+

+

a

aa

a

a

3,3

1a . (2 boda)

2. Reiti nejednainu 02

12

+

x

x (2 boda)

3. Cena jedne koulje je 500dinara. Posle poskupljenja koulje za 5% dolo je do pojeftinjenja za 10%.

Kolika je nova cena koulje? (4 boda)

4. Izraunati

a)

cos4sin2

cossin

+ ako je

2

1=tg ; b)

4

81sin

(4 boda)

5. Reiti jednaine

a) 82 952

=+ xx ; b) ( ) 4log3loglog 666 =+ xx (4 boda)

REENJA:

1) a)3

48272 2

3

32

3

34332==

=

b)( ) ( ) 3

1

3

13

133

3

3

342

133

3331

3

42

313

1 222=

+

+=

+

+

++=

+

+

+

a

a

a

a

a

aa

a

aaa

a

aa

a

a

2)

+2,

2

10

2

12x

x

x.

3) 1: 500 din

2: 525500100

5500 =+ din

3: 5.472525100

10525 = din

4) a)2

1

42

12

12

1

42

1

cos4sin2

cossin=

+=

+=

+

tg

tg.

b)2

2

4sin20

4sin

4

81sin ==

+=

.

5) a) 82 952

=+ xx b) ( ) 4log3loglog 666 =+ xx 395 22

2

=+ xx ( ) 4log3log 66 =xx

{ }3,22

15

2

24255

065

395

2/1

2

2

=

=

=+

=+

x

x

xx

xx

( )

1,4

2

53

2

1693

043

43

2/1

2

==

=

+=

=

=

xx

x

xx

xx

Zbog definisanosti log. funkcije

reenje je samo x=4


73/87


74/87

72

MATEMATIKA septembar 2002

1. Izraunati 0,4

:16

))2

(4(

23

32 >

x

xx

x. (6 bodova)

2. Nai ( )0mm . za koje je jedan koren (nula) jednaine 04 32 =+ mmxx . (6 bodova)

3. Reiti jednainu 01cossin22 =+ xx . (6 bodova)

4. Reiti jednainu 0239 =+ xx . (6 bodova)

5. Koliko ljudi ivi u gradu u kome je godinji prirataj stanovnika 3,5%, odnosno 1330stanovnika.

(6 bodova)

REENJA:

1. Za x>0

xx

xx

x

xxxx

x4

16

4

16

444

4:

16))

2(4(

6

6

6

32

23

32 ==

=

.

2. Neka je 21 3xx = . Tada je ,44 221 mxxx ==+ 32

2213 mxxx == . Iz prve jednaine

dobijamo da je mx =2 i uvrtavajui u drugu jednainu dobijamo323 mm = . Kako je 0m

dobijamo da je m=3.

3. ,01coscos201cos)cos1(201cossin2 222 ==+=+ xxxxxx smena

,cosxt= ,100121

2 == ttt ,,21cos12

1

12Zkkxxtt ====

2 1

1 1 2cos 2

2 2 3t x x k

= = = + 24

2 ,3

x k

= + 1 2, .k k Z

4. ( ) .02330239 2 =+=+ xxxx Uveenjem smene xt 3= i dobije se kvadratnajednaina 022 =+ tt ija su reenja 21 =t i .12 =t Reenje 21 =t odbacujemo, pa

ostaje 013 == xx .

5. .380005,3

1001330100=

=

=

p

PG


75/87

73

MATEMATIKA jul 2003. godine

1. Reiti nejednainu xx

xx

+

3

12

. (6 bodova)

2. a) Reiti jednainu 8loglog 62

2

2 = xx ; (4 boda)

b) Reiti nejednainu .93

163

>

x

(2 boda)

3. Reiti sistem jednaina

2 2

sin cos

sin cos

2 1

16 4.

x y

x y

+

+

==

(6 bodova)

4. )2,2,1(),1,2,3( BA i )1,0,7(C su redom tri uzastopna temena paralelograma. Odrediti koordinateetvrtog temena Dparalelograma, koordinate take Spreseka njegovih dijagonala i duinu straniceAB .

( 6 bodova)5. a) Biciklista pree %10 razdaljine od mesta A do mesta B za 12 sati kreui se brzinom

hkm /25 . Za koliko bi vremena biciklista preao %30 razdaljine od mesta A do mesta B akobi se kretao brzinom hkm /20 ?

(3 boda)

b) Petru, Aci i Marku je za uraeni posao isplaeno 24420 dinara. Koliko novca e dobiti svaki odnjih ako je Aca radio 11 dana po 6 asova na dan, Petar je radio 8 dana po 9 asova na dan aMarko je radio 21 dan po 4 asa na dan (vrednost rada po asu je svakog od njih je ista)?

(3 boda)

REENJA:1. Data nejednaina je definisana za 3x

Za 1x vai [ )1,3

+

+x

x

xx

x

xxx

x

xx0

3

140

3

1

3

1 22

.

Za 1x< vai

+

+

+,1

2

1x

x

xx

x

xxx

x

xx0

3

120

3

1

3

1 22

.

Dakle, skup reenja polazne jednaine je skup1

,32

.

2. a) 08log6log8loglog2

2

2

6

2

2

2 =+= xxxx . Uzimajui da je

2log x t= dobija se kvadratna jednaina 0862 =+ tt sa reenjima .4;2

21 == tt Iz 2log

2 =x

sledi da je 4=x , a iz 4log2

=x sledi da je 16=x . Dakle, skup reenja date jednaine je { }16,4 .

b)

6

5236339

3

1 23663

>>>>

xxxx

.

3.

416

1222 cossin

cossin

=

=

+

+

yx

yx

1)cos(sin2

0cossin

22 =+

=+

yx

yx

4

1cos

cossin

2 =

=

y

yx

2

1cos

2

1sin

=

=

y

x

2

1cos

2

1sin

=

=

y

x

+

+ +

Zlly

Zkkx k

:23

:6

)1( 1

+

+

Zlly

Zkkx k

:23

2

:6

)1(

.


76/87

74

4. Obeleimo sa ),,( zyxD etvrto teme paralelograma. Iz

= CDBA sledi

)1,,7()3,0,4( zyx = odakle je 4 7 ; 0 ; 3 1x y z = = = odnosno

11; 0; 2.x y z= = = Dakle, etvrto teme paralelograma je )2,0,11( D .

Kako je )0,1,5()1,1,2()1,2,3(2

1=+=+=

ACOAOS , to je presek dijagonala taka )0,1,5(S .

5)21()22()13(222

=+++=

AB .

5. a) Neka je s razdaljina izmeu mestaA iB. Kako je kms 3001225%10 == to je kms 3000= ,odakle je .900%30 kms= Ako je t vreme za koje biciklista pree 30%s kreui se brzinom

hkmv /20= , nalazi se da je hv

st 45

20

900=== .

b) Kako je Aca radio 66sati, Petar 72 sata a Marko 84 sati to je ukupan broj utroenih sati 222.

Vrednost jednog sata je 110222

24420= dinara. Dakle, Aca je dobio 726011066 = dinara, Petar je

dobio 792011072 = dinara a Marko 924011084 = dinara.

MATEMATIKA jul 2004. godine

1. Reiti nejednainu 12

3

+

++

x

xx.

(6 bodova)

2. a) Reiti jednainu ;32log2log2 =+ xx

b) Reiti nejednainu 648

421

112

=

+

x

xx

.

(3 boda)

3. Reiti jednainu xxx sin3cossin222 +=+ .

(3 boda)

4. Zbir prva tri binomna koeficijenta u razvoju binoma

n

yy

x

+ je 46.

Odrediti lan koji ne sadriy.

(6 bodova)

5. a)U jednoj prodavnici artiklu od 12250 dinara cena je sniena za 40%.U drugoj prodavnici istomartiklu (sa istom cenom) cena je prvo sniena za 36%, a zatim je nova cena sniena za 4% . Za

koliko se razlikuju cene artikla u ovim prodavnicama?(4 boda)

b)Za 14 kilograma kajsija plaeno je 980 dinara. Koliko kilograma kajsija se moe kupiti za 4340dinara?

(2 boda)


77/87

75

REENJA:

1. Data nejednaina je definisana za 2x .

Za 3x vai +

+

+

++

+

++01

2

321

2

31

2

3

x

x

x

xx

x

xx

[ ) [ )+

+ ,12,30

2

1x

x

x;

Za 3x< vai [ )3,502

501

2

31

2

31

2

3

+

+

+

+

+

+

++x

x

x

xx

xx

x

xx;

Dakle, skup reenja polazne jednaine je skup [ ) [ )5, 2 1, .

2. a) Data jednaina je definisana za ( ) ( ) ,11,0x .

02log3log3log

12log32log2log 2

2

2

2

22 =+=+=+ xxx

xx x . Uzimajui da

je 2log x t= dobija se kvadratna jednaina 0232 =+ tt

sa reenjima .1t;2t 21 == Iz 2log 2x= sledi da je 4x= , a iz 1log2 =x sledi da je 2x= .

Dakle, skup reenja date jednaine je { }1,2 .

b) .26422

2264

8

42 633

2212

1

112

==+=

=

+

+

xxx

xx

x

xx

3. .01sin3sin2sin3cossin2222 =++=+ xxxx . Uzimajui da je sinx t= dobija se

kvadratna jednaina22 3 1 0t t + = sa reenjima

2

1,1 21 == tt . Iz sin 1x= sledi da je

Zkkx += ,22

, a iz2

1sin =x sledi da

+

+ ZmmZllx :26

5:2

6

.

Dakle, skup reenja date jednaine je

+ Zkk :22

.

+

+ ZmmZll :26

5:26

.

4. Iz uslova da je zbir prva tri binomna koeficijenta 46 sledi da je

.9462

)1(146

210==

++=

+

+

n

nnn

nnn Kako je

2

399

0

99

0

9

99 kk

k

k

k

k

yxk

yy

x

ky

y

x

=

=

=

=

+

ftn zbirka za prijemni -matematika

Documents