fsts theories des mecanismes diap-2014-2015
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Thorie des mcanismes
FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES DE SETTAT UNIVERSITE HASSAN 1er
2014 - 2015
Mounir LOTFI
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Hypothses :
HYPOTHSES:
Dans toute cette squence, nous considrerons que : Les pices sont indformables,
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Hypothses :
HYPOTHSES:
Dans toute cette squence, nous considrerons que : Les pices sont indformables,
Les liaisons mcaniques entre les solides sont considres comme
parfaites (sans jeu et sans frottement). Les contacts sont mainte-nus,
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Hypothses :
HYPOTHSES:
Dans toute cette squence, nous considrerons que : Les pices sont indformables,
Les liaisons mcaniques entre les solides sont considres comme
parfaites (sans jeu et sans frottement). Les contacts sont mainte-nus,
Les effets dynamiques sur lensemble des pices sont ngligs,de telle sorte que le principe fondamental de la statique puisse
sappliquer.
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Graphe de structure dun mcanisme
Sommaire
1 Graphe de structure dun mcanisme
RappelNombre cyclomatiqueDiffrents types de chanes de solides
2 Approche cinmatique
3 Approche statique
4 Liaisons quivalentes :
5 Dualit entre les relations cinmatiques et statiques
6 Utilisation pratique de la thorie des mcanismes
7 Cas des problmes plans
G h d d i R l
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Graphe de structure dun mcanisme Rappel
Rappel
Graphe de structure dun mcanisme A toute pice (ou classe dquivalence cinmatique), on associeun sommet :pest le nombre de sommets
A toute liaison, on associe un arc :NLest le nombre darcs
G h d t t d i R l
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Graphe de structure dun mcanisme Rappel
Rappel
Graphe de structure dun mcanisme A toute pice (ou classe dquivalence cinmatique), on associeun sommet :pest le nombre de sommets
A toute liaison, on associe un arc :NLest le nombre darcs
EXEMPLE:Robot SCARA(Selective Compliant Articulated Robot Arm)
Graphe de structure dun mcanisme Rappel
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Graphe de structure d un mcanisme Rappel
Rappel
Graphe de structure dun mcanisme A toute pice (ou classe dquivalence cinmatique), on associeun sommet :pest le nombre de sommets
A toute liaison, on associe un arc :NLest le nombre darcs
EXEMPLE:Robot SCARA(Selective Compliant Articulated Robot Arm)
Graphe de structure dun mcanisme Rappel
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Graphe de structure d un mcanisme Rappel
Rappel
Graphe de structure dun mcanisme A toute pice (ou classe dquivalence cinmatique), on associeun sommet :pest le nombre de sommets
A toute liaison, on associe un arc :NLest le nombre darcs
EXEMPLE:Robot SCARA(Selective Compliant Articulated Robot Arm)
Graphe de structure dun mcanisme Rappel
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Graphe de structure d un mcanisme Rappel
Graphe de structure dun mcanisme
Graphe de structure dun mcanisme Rappel
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Graphe de structure d un mcanisme Rappel
Graphe de structure dun mcanisme
0
2 3 4
1p=5
n=6
Graphe de structure dun mcanisme Nombre cyclomatique
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Graphe de structure d un mcanisme Nombre cyclomatique
Nombre cyclomatique
A partir dun graphe de structure, il est possible de dgager diffrentes
boucles utiles pour une tude gomtrique et cinmatique.
Graphe de structure dun mcanisme Nombre cyclomatique
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G ap e de st uctu e d u ca s e o b e cyc o at que
Nombre cyclomatique
A partir dun graphe de structure, il est possible de dgager diffrentes
boucles utiles pour une tude gomtrique et cinmatique.
Le nombre de boucles indpendantes prendre en considration estdtermin par le nombre cyclomatique . On peut montrer que cenombre cyclomatique vaut :
Graphe de structure dun mcanisme Nombre cyclomatique
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p y q
Nombre cyclomatique
A partir dun graphe de structure, il est possible de dgager diffrentes
boucles utiles pour une tude gomtrique et cinmatique.
Le nombre de boucles indpendantes prendre en considration estdtermin par le nombre cyclomatique . On peut montrer que cenombre cyclomatique vaut :
= NL
nombre de liaisons p
nombre de pices+1
Graphe de structure dun mcanisme Nombre cyclomatique
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p y q
Nombre cyclomatique
A partir dun graphe de structure, il est possible de dgager diffrentes
boucles utiles pour une tude gomtrique et cinmatique.
Le nombre de boucles indpendantes prendre en considration estdtermin par le nombre cyclomatique . On peut montrer que cenombre cyclomatique vaut :
= NL
nombre de liaisons p
nombre de pices+1
EXEMPLE:Robot SCARA :
=6 5 +1=2
Graphe de structure dun mcanisme Nombre cyclomatique
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Le mcanisme comporte donc 2 boucles indpendantes. Par exemple :
Graphe de structure dun mcanisme Nombre cyclomatique
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Le mcanisme comporte donc 2 boucles indpendantes. Par exemple :
0
2
Boucle 1
Graphe de structure dun mcanisme Nombre cyclomatique
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Le mcanisme comporte donc 2 boucles indpendantes. Par exemple :
0
2
Boucle 1
0
2
1
Boucle 2
Graphe de structure dun mcanisme Nombre cyclomatique
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Le mcanisme comporte donc 2 boucles indpendantes. Par exemple :
0
2
Boucle 1
0
2
1
Boucle 2
0
2
1
Combinaison des deux autresboucles
Graphe de structure dun mcanisme Diffrents types de chanes de solides
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Mcanisme en chane ouverte
DFINITION: Chane ouverte
On appelle chane ouverte une chane de n+ 1solides assembls parn liaisons en srie.
Graphe de structure dun mcanisme Diffrents types de chanes de solides
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Mcanisme en chane ouverte
DFINITION: Chane ouverte
On appelle chane ouverte une chane de n+ 1solides assembls parn liaisons en srie.
REMARQUE:Il ny a pas de cycle : =NL p+ 1=n (n+ 1) + 1=0
Graphe de structure dun mcanisme Diffrents types de chanes de solides
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Mcanisme en chane ouverte
DFINITION: Chane ouverte
On appelle chane ouverte une chane de n+ 1solides assembls parn liaisons en srie.
REMARQUE:Il ny a pas de cycle : =NL p+ 1=n (n+ 1) + 1=0
Graphe de structure dun mcanisme Diffrents types de chanes de solides
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Mcanisme en chane ouverte
DFINITION: Chane ouverte
On appelle chane ouverte une chane de n+ 1solides assembls parn liaisons en srie.
REMARQUE:Il ny a pas de cycle : =NL p+ 1=n (n+ 1) + 1=0
L10: Pivot(O1, #
z0)L21: Pivot(O1,
#z0)
L32: Pivot(O2, #z0)
L43: Pivot(O3, #z0)
L54: Pivot(O3, #z0)
p=6NL=5=0
Graphe de structure dun mcanisme Diffrents types de chanes de solides
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Mcanisme en chane ouverte
DFINITION: Chane ouverte
On appelle chane ouverte une chane de n+ 1solides assembls parn liaisons en srie.
REMARQUE:Il ny a pas de cycle : =NL p+ 1=n (n+ 1) + 1=0
L10: Pivot(O1, #
z0)L21: Pivot(O1,
#z0)
L32: Pivot(O2, #z0)
L43: Pivot(O3, #z0)
L54: Pivot(O3, #z0)
p=6NL=5=0
0
1
2 3
4
5
Graphe de structure dun mcanisme Diffrents types de chanes de solides
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Mcanisme en chane ferme simple
DFINITION: Chane fermeOn appelle chane ferme une chane ouverte dont les deux solidesextrmes ont une liaison entre eux. Les n+1solides sont donc relispar n+1liaisons.
Graphe de structure dun mcanisme Diffrents types de chanes de solides
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Mcanisme en chane ferme simple
DFINITION: Chane fermeOn appelle chane ferme une chane ouverte dont les deux solidesextrmes ont une liaison entre eux. Les n+1solides sont donc relispar n+1liaisons.
REMARQUE:Une chane ferme forme 1 cycle :=NL p+1=n+1 (n+1) +1=1
Graphe de structure dun mcanisme Diffrents types de chanes de solides
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Mcanisme en chane ferme simple
DFINITION: Chane fermeOn appelle chane ferme une chane ouverte dont les deux solidesextrmes ont une liaison entre eux. Les n+1solides sont donc relispar n+1liaisons.
REMARQUE:Une chane ferme forme 1 cycle :=NL p+1=n+1 (n+1) +1=1
Le schma cinmatique ci-aprs reprsente une ponceuse vibrantelectro-portative.
Graphe de structure dun mcanisme Diffrents types de chanes de solides
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Graphe de structure dun mcanisme Diffrents types de chanes de solides
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p=4
NL=4
=1
Graphe de structure dun mcanisme Diffrents types de chanes de solides
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p=4
NL=4
=1
L21: Pivot (K, #x1)
L32: Pivot glissant (B, #x1)
L43: Pivot glissant (B, #x1)
L41: Pivot (C, #z1)
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Graphe de structure dun mcanisme Diffrents types de chanes de solides
M i h l
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Mcanisme en chane complexe
DFINITION: Chane ferme complexe
Une chane complexe est une chane cinmatique constitue de plu-sieurs chanes fermes imbriques
Graphe de structure dun mcanisme Diffrents types de chanes de solides
M i h l
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Mcanisme en chane complexe
DFINITION: Chane ferme complexe
Une chane complexe est une chane cinmatique constitue de plu-sieurs chanes fermes imbriques
Graphe de structure dun mcanisme Diffrents types de chanes de solides
M i h l
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Mcanisme en chane complexe
DFINITION: Chane ferme complexe
Une chane complexe est une chane cinmatique constitue de plu-sieurs chanes fermes imbriques
L10: Pivot (O1, #z)
L21: Hlicodale (O2, #
z)L30: Hlicodale (O3,
#z)
L20: Pivot glissant (N2, #z)
L32: Pivot (O1, #z)
L43: Ponctuelle de normale (I, #z)
L54: Hlicodale (O5, #z)
L52: Pivot glissant (N5, #z)
L42: Pivot (O4, #z)
Graphe de structure dun mcanisme Diffrents types de chanes de solides
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Graphe de structure dun mcanisme Diffrents types de chanes de solides
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p=6NL=9
=4
Graphe de structure dun mcanisme Diffrents types de chanes de solides
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p=6
NL=9
=4
0 L30
3 L43
4L54
5L52
2L21
1
L10 L20 L32 L42
Graphe de structure dun mcanisme Diffrents types de chanes de solides
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p=
6
NL=9
=4
0 L30
3 L43
4L54
5L52
2L21
1
L10 L20 L32 L42
REMARQUE:Dans la suite de ce cours, les mcanismes tudis seronten chane ferme simple ou complexe.
Approche cinmatique
Sommaire
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Sommaire
1 Graphe de structure dun mcanisme
2 Approche cinmatiqueFermetures cinmatiquesMobilit cinmatique
3 Approche statique
4 Liaisons quivalentes :
5 Dualit entre les relations cinmatiques et statiques
6 Utilisation pratique de la thorie des mcanismes
7 Cas des problmes plans
Approche cinmatique Fermetures cinmatiques
Fermetures cinmatiques
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Fermetures cinmatiquesConsidrons un mcanisme com-portant :
psolides
Icinconnues cinmatiquesde liaisons
boucles indpendantes
Ic(i)nombre dinconnuescinmatiques de la liaisoni
Approche cinmatique Fermetures cinmatiques
Fermetures cinmatiques
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Fermetures cinmatiquesConsidrons un mcanisme com-portant :
psolides
Icinconnues cinmatiquesde liaisons
boucles indpendantes
Ic(i)nombre dinconnuescinmatiques de la liaisoni
Ic=
NLi=1
Ic(i)
Approche cinmatique Fermetures cinmatiques
Fermetures cinmatiques
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Fermetures cinmatiquesConsidrons un mcanisme com-portant :
psolides
Icinconnues cinmatiquesde liaisons
boucles indpendantes
Ic(i)nombre dinconnuescinmatiques de la liaisoni
Ic=
NLi=1
Ic(i)
La fermeture cinmatique associe chaque boucle indpendantefournit au maximum 6 quations par boucle :
Approche cinmatique Fermetures cinmatiques
Fermetures cinmatiques
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Fermetures cinmatiquesConsidrons un mcanisme com-portant :
psolides
Icinconnues cinmatiquesde liaisons
boucles indpendantes
Ic(i)nombre dinconnuescinmatiques de la liaisoni
Ic=
NLi=1
Ic(i)
La fermeture cinmatique associe chaque boucle indpendantefournit au maximum 6 quations par boucle :
V0/p1
+
V
p1/p2
+. . .+
V
2/1
+
V
1/0
=0
Approche cinmatique Fermetures cinmatiques
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En crivant les fermetures cinmatiques, on obtient un systme
linaire homogne comportant 6.quations Icinconnues tel que :
Approche cinmatique Fermetures cinmatiques
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En crivant les fermetures cinmatiques, on obtient un systme
linaire homogne comportant 6.quations Icinconnues tel que :
0
0
0
0
0
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Approche cinmatique Fermetures cinmatiques
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En crivant les fermetures cinmatiques, on obtient un systme
linaire homogne comportant 6.quations Icinconnues tel que :
000000000
000000000
000000000000000000
000000000
0
0
00
0
Icinconnues
Approche cinmatique Fermetures cinmatiques
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En crivant les fermetures cinmatiques, on obtient un systme
linaire homogne comportant 6.quations Icinconnues tel que :Icinconnues
000000000
000000000
000000000000000000
000000000
0
0
00
0
Icinconnues
Approche cinmatique Fermetures cinmatiques
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En crivant les fermetures cinmatiques, on obtient un systme
linaire homogne comportant 6.quations Icinconnues tel que :
Icinconnues
000000000
000000000
000000000000000000
000000000
0
0
00
0
Icinconnues
Approche cinmatique Fermetures cinmatiques
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En crivant les fermetures cinmatiques, on obtient un systme
linaire homogne comportant 6.quations Icinconnues tel que :
6.quations
Icinconnues
000000000
000000000
000000000000000000
000000000
0
0
00
0
Icinconnues
Approche cinmatique Fermetures cinmatiques
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En crivant les fermetures cinmatiques, on obtient un systme
linaire homogne comportant 6.
quations Icinconnues tel que :
6.quations
Icinconnues
000000000
000000000
000000000000000000
000000000
0
0
00
0
Icinconnues
=
0
0
00
0
Approche cinmatique Mobilit cinmatique
Mobilit cinmatique
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DFINITION: Mobilit cinmatiquemcLa mobilit cinmatique correspond au nombre de paramtres cin-matiques imposer afin dobtenir une solution unique :
Approche cinmatique Mobilit cinmatique
Mobilit cinmatique
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DFINITION: Mobilit cinmatiquemcLa mobilit cinmatique correspond au nombre de paramtres cin-matiques imposer afin dobtenir une solution unique :
mc=Ic rc
Approche cinmatique Mobilit cinmatique
Mobilit cinmatique
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DFINITION: Mobilit cinmatiquemcLa mobilit cinmatique correspond au nombre de paramtres cin-matiques imposer afin dobtenir une solution unique :
mc=Ic rc
La mobilit cinmatique = nombre dinconnues cinmatiques -
rang du systme dquations
Approche cinmatique Mobilit cinmatique
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Indice de mobilit mc=0 : la seule solution au systme dquations est la solutiontriviale, toutes les inconnues cinmatiques sont nulles et la chaneest immobile. Elle ne transmet aucun mouvement.
Approche cinmatique Mobilit cinmatique
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Indice de mobilit mc=0 : la seule solution au systme dquations est la solutiontriviale, toutes les inconnues cinmatiques sont nulles et la chaneest immobile. Elle ne transmet aucun mouvement.
mc>0 : Il existe alors mcinconnues principales qui peuventprendre des valeurs arbitraires, on dit que le mcanisme est mcdegrs de libert. Cest--dire quil faut fixer les valeurs de mcparamtres pour connatre tout instant la configuration compltedu systme.
Approche cinmatique Mobilit cinmatique
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rc
quations
Ic
rcinconnues
mc
=
0
Approche cinmatique Mobilit cinmatique
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rc
quations
Ic
rcinconnues
mc
=
0
Le rang du systme dquations cinmatiquesrccorrespond au nombredquations indpendantes permettant de dterminer les inconnues ci-nmatiques de liaisons.
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Approche cinmatique Mobilit cinmatique
Loi(s) " entre-sortie "
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Lanalyse du mcanisme dans son environnement industriel permet dechoisir les paramtres dentres dont la valeur est impose ainsi queles paramtres de sortie.
DFINITION: loi(s) entre-sortie
On appelle " loi(s) entre-sortie ", la (ou les) relation(s) implicite(s) liantles paramtres cinmatiques dentre ei, les paramtres cinmatiquesde sortie siet les donnes gomtriques Gi.
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Approche cinmatique Mobilit cinmatique
Loi(s) " entre-sortie "
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Lanalyse du mcanisme dans son environnement industriel permet de
choisir les paramtres dentres dont la valeur est impose ainsi queles paramtres de sortie.
DFINITION: loi(s) entre-sortie
On appelle " loi(s) entre-sortie ", la (ou les) relation(s) implicite(s) liant
les paramtres cinmatiques dentre ei, les paramtres cinmatiquesde sortie siet les donnes gomtriques Gi.
Paramtredentre McanismeF(ei, si, Gi) =0Paramtrede sortie
Approche cinmatique Mobilit cinmatique
Loi(s) " entre-sortie "Lanalyse du mcanisme dans son environnement industriel permet de
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Lanalyse du mcanisme dans son environnement industriel permet dechoisir les paramtres dentres dont la valeur est impose ainsi que
les paramtres de sortie.DFINITION: loi(s) entre-sortie
On appelle " loi(s) entre-sortie ", la (ou les) relation(s) implicite(s) liantles paramtres cinmatiques dentre ei, les paramtres cinmatiquesde sortie s
iet les donnes gomtriques G
i.
Paramtre
dentre
Mcanisme
F(ei, si, Gi) =0
Paramtre
de sortie
mcparamtres
au maximum
Approche cinmatique Mobilit cinmatique
Loi(s) " entre-sortie "Lanalyse du mcanisme dans son environnement industriel permet de
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Lanalyse du mcanisme dans son environnement industriel permet dechoisir les paramtres dentres dont la valeur est impose ainsi que
les paramtres de sortie.DFINITION: loi(s) entre-sortie
On appelle " loi(s) entre-sortie ", la (ou les) relation(s) implicite(s) liantles paramtres cinmatiques dentre ei, les paramtres cinmatiquesde sortie s
iet les donnes gomtriques G
i.
Paramtre
dentre
Mcanisme
F(ei, si, Gi) =0
Paramtre
de sortie
mcparamtres
au maximum
A choisir parmi les
rc=Ic mc
inconnues restantes Approche cinmatique Mobilit cinmatique
Mobilit cinmatiquemc
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DFINITION: Mobilit cinmatique utilemuLa mobilit cinmatique utile mudun mcanisme est gale au nombrede paramtres cinmatiques ncessaires la dtermination des loisentre-sortie. Cest aussi gal au nombre de paramtres dentre.
Approche cinmatique Mobilit cinmatique
Mobilit cinmatiquemc
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DFINITION: Mobilit cinmatique utilemuLa mobilit cinmatique utile mudun mcanisme est gale au nombrede paramtres cinmatiques ncessaires la dtermination des loisentre-sortie. Cest aussi gal au nombre de paramtres dentre.
DFINITION: Mobilit cinmatique internemi
La mobilit cinmatique interne miest gale au nombre dinconnuescinmatiques imposer afin que toutes les pices internes au mca-
nisme soient dans une position parfaitement dfinie.
Approche cinmatique Mobilit cinmatique
Synthse
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La mobilit cinmatique se compose donc des mobilits cinmatiquesutiles et internes.
Approche cinmatique Mobilit cinmatique
Synthse
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La mobilit cinmatique se compose donc des mobilits cinmatiquesutiles et internes.
mc=mu+mi
Approche cinmatique Mobilit cinmatique
Synthse
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La mobilit cinmatique se compose donc des mobilits cinmatiquesutiles et internes.
mc=mu+mi
mobilit cinmatique = mobilit cinmatique utile + mobilit ci-nmatique interne
Approche statique
Sommaire
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1 Graphe de structure dun mcanisme
2 Approche cinmatique
3 Approche statiqueApplication du PFSDegr dhyperstatisme
4 Liaisons quivalentes :
5 Dualit entre les relations cinmatiques et statiques
6 Utilisation pratique de la thorie des mcanismes
7 Cas des problmes plans
Approche statique Application du PFS
Application du PFSOn se place dans une position dquilibre du mcanisme avec desliaisons parfaites Une t de d namiq e serait dcrite de la mme
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liaisons parfaites. Une tude dynamique serait dcrite de la mmemanire.
Approche statique Application du PFS
Application du PFSOn se place dans une position dquilibre du mcanisme avec desliaisons parfaites Une tude dynamique serait dcrite de la mme
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liaisons parfaites. Une tude dynamique serait dcrite de la mmemanire.
Considrons un mcanisme comportant :
psolides
Isinconnues dactions mcaniques de liaisons
des efforts extrieurs connus Is(i)nombre dinconnues dactions mcaniques de la liaison i
Approche statique Application du PFS
Application du PFSOn se place dans une position dquilibre du mcanisme avec desliaisons parfaites Une tude dynamique serait dcrite de la mme
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liaisons parfaites. Une tude dynamique serait dcrite de la mmemanire.
Considrons un mcanisme comportant :
psolides
Isinconnues dactions mcaniques de liaisons
des efforts extrieurs connus Is(i)nombre dinconnues dactions mcaniques de la liaison i
Is=
NL
i=1 Is(i)
Approche statique Application du PFS
Application du PFSOn se place dans une position dquilibre du mcanisme avec desliaisons parfaites Une tude dynamique serait dcrite de la mme
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liaisons parfaites. Une tude dynamique serait dcrite de la mmemanire.
Considrons un mcanisme comportant :
psolides
Isinconnues dactions mcaniques de liaisons
des efforts extrieurs connus Is(i)nombre dinconnues dactions mcaniques de la liaison i
Is=
NL
i=1 Is(i)REMARQUE:Dans le cas dune liaison parfaitei
Approche statique Application du PFS
Application du PFSOn se place dans une position dquilibre du mcanisme avec desliaisons parfaites Une tude dynamique serait dcrite de la mme
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liaisons parfaites. Une tude dynamique serait dcrite de la mmemanire.
Considrons un mcanisme comportant :
psolides
Isinconnues dactions mcaniques de liaisons
des efforts extrieurs connus Is(i)nombre dinconnues dactions mcaniques de la liaison i
Is=
NL
i=1 Is(i)REMARQUE:Dans le cas dune liaison parfaiteiIc(i)+Is(i)=6
Approche statique Application du PFS
Grce au PFS :
( 1) i l ff l b i
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(p 1)isolements peuvent tre effectus en tant le bti.
6.(p 1)quations sont obtenues au maximum.Le systme linaire peut se mettre sous la forme :
6.(p 1)quations
Isinconnues
000000000
000000000
000000000
000000000
000000000
0
0
0
0
0
Isinconnues
=
Second membre non nul contenant
les efforts extrieurs
0
0
0
0
0
Approche statique Degr dhyperstatisme
Degr dhyperstatisme
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DFINITION: Degr dhyperstatismeLe degr dhyperstatisme caractrise le nombre dinconnues dactionsmcaniques imposer afin de rsoudre le systme linaire.
Approche statique Degr dhyperstatisme
Degr dhyperstatisme
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DFINITION: Degr dhyperstatismeLe degr dhyperstatisme caractrise le nombre dinconnues dactionsmcaniques imposer afin de rsoudre le systme linaire.
h=Is rs
Approche statique Degr dhyperstatisme
Degr dhyperstatisme
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DFINITION: Degr dhyperstatismeLe degr dhyperstatisme caractrise le nombre dinconnues dactionsmcaniques imposer afin de rsoudre le systme linaire.
h=Is rs
Degr dhyperstatisme = nombre dinconnues dAM - rang dusystme dquations
Approche statique Degr dhyperstatisme
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Degr dhyperstatisme h =0 : Le systme est dit isostatique. La seule connaissance
des actions mcaniques extrieures suffit dterminer les actionsmcaniques de liaisons en appliquant le PFS.
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Approche statique Degr dhyperstatisme
Degr dhyperstatisme
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rs
quations
Is
rsinconnues
h
=
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Liaisons quivalentes : Liaisons en parallle
Liaisons en parallle
Lassociations de liaisons en parallle peut engendrer des inconnues
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L associations de liaisons en parallle peut engendrer des inconnueshyperstatiques. Le calcul du degr dhyperstatisme dit " interne " sef-fectue de la mme manire que prcdemment.
P1
P2
L1
L2
Li
Ln
Liaisons quivalentes : Liaisons en parallle
Liaisons en parallle
Lassociations de liaisons en parallle peut engendrer des inconnues
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L associations de liaisons en parallle peut engendrer des inconnueshyperstatiques. Le calcul du degr dhyperstatisme dit " interne " sef-fectue de la mme manire que prcdemment.
P1 P2
L1
L2
Li
Ln
Liaisons quivalentes : Liaisons en parallle
Liaisons en parallle
Lassociations de liaisons en parallle peut engendrer des inconnues
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L associations de liaisons en parallle peut engendrer des inconnueshyperstatiques. Le calcul du degr dhyperstatisme dit " interne " sef-fectue de la mme manire que prcdemment.
P1 P2
L1
L2
Li
Ln
P1 P2
Leq
Liaisons quivalentes : Liaisons en parallle
Approche cinmatique
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Pour que la liaison quivalente LeqentreP1et P2soit compatible avecles autres liaisons simples parallles, il faut que son torseur cinma-tique soit gal au torseur cinmatique associ chaque liaison paral-lle :
Liaisons quivalentes : Liaisons en parallle
Approche cinmatique
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Pour que la liaison quivalente LeqentreP1et P2soit compatible avecles autres liaisons simples parallles, il faut que son torseur cinma-tique soit gal au torseur cinmatique associ chaque liaison paral-lle :
VLeq
P2/P1
=
VL1P2/P1
= . . .=
VLn
P2/P1
Liaisons quivalentes : Liaisons en parallle
Approche statique
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Isoler P1permet de faire le bilan des actions mcaniques qui lui sontexerces. Le principe fondamentale de la statique (ou de la dynamique)appliqu P1nous permet dcrire que :
Liaisons quivalentes : Liaisons en parallle
Approche statique
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Isoler P1permet de faire le bilan des actions mcaniques qui lui sontexerces. Le principe fondamentale de la statique (ou de la dynamique)appliqu P1nous permet dcrire que :
F Leq
P2 P1
=F L1P2 P1
+. . .+
F LnP2 P1
Liaisons quivalentes : Liaison en srie
Liaison en srie
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P1
L1P2 Pn1
Ln
Pn
Liaisons quivalentes : Liaison en srie
Liaison en srie
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P1
L1P2 Pn1
Ln
Pn
Liaisons quivalentes : Liaison en srie
Liaison en srie
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P1
L1P2 Pn1
Ln
Pn
P1 Pn
Leq
Liaisons quivalentes : Liaison en srie
Approche cinmatique
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Par composition des vecteurs vitesses :
Liaisons quivalentes : Liaison en srie
Approche cinmatique
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Par composition des vecteurs vitesses :
VLeqPn/P1= VLn1Pn/Pn1 +. . .+ VL1P2/P1
Liaisons quivalentes : Liaison en srie
Approche statique
Par application du successives du PFS n 1 solidei:
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pp
Liaisons quivalentes : Liaison en srie
Approche statique
Par application du successives du PFS n 1 solidei:
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FPi1Pi
+
FPi+1Pi
=
#
0#
0
FPi+1Pi = FPiPi1
Liaisons quivalentes : Liaison en srie
Approche statique
Par application du successives du PFS n 1 solidei:
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FPi1Pi
+
FPi+1Pi
=
#
0#
0
FPi+1Pi = FPiPi1On en dduit donc que :
Liaisons quivalentes : Liaison en srie
Approche statique
Par application du successives du PFS n 1 solidei:
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FPi1Pi
+
FPi+1Pi
=
#
0#
0
FPi+1Pi = FPiPi1On en dduit donc que :
F LeqPnP1= F L1PnPn1= . . .= F LnP2 P1
Dualit entre les relations cinmatiques et statiques
Sommaire
1 Graphe de structure dun mcanisme
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2 Approche cinmatique
3 Approche statique
4 Liaisons quivalentes :
5 Dualit entre les relations cinmatiques et statiquesCinmatique/hyperstatismeAnalyse globale du degr dhyperstatismeInfluence de lhyperstatisme au montage
6 Utilisation pratique de la thorie des mcanismes
7 Cas des problmes plans
Dualit entre les relations cinmatiques et statiques Cinmatique/hyperstatisme
cinmatique hyperstatisme
muquations lient exclusivement les efforts dentre-sortie (efforts
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extrieurs) miquations sont du type 0=0 (issues de lapplication du PFS).
Dualit entre les relations cinmatiques et statiques Cinmatique/hyperstatisme
cinmatique hyperstatisme
muquations lient exclusivement les efforts dentre-sortie (efforts
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extrieurs) miquations sont du type 0=0 (issues de lapplication du PFS).
Dautre part lapplication du PFS conduit rsquations permettant dedterminer les inconnues de liaisons (quations principales). On ad-
met :mc=mu+mi=6.(p 1) rs
Dualit entre les relations cinmatiques et statiques Cinmatique/hyperstatisme
cinmatique hyperstatisme
muquations lient exclusivement les efforts dentre-sortie (efforts
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extrieurs) miquations sont du type 0=0 (issues de lapplication du PFS).
Dautre part lapplication du PFS conduit rsquations permettant dedterminer les inconnues de liaisons (quations principales). On ad-
met :mc=mu+mi=6.(p 1) rs
La diminution du rang statique rsprovient uniquement des mobilits
cinmatiques.
Dualit entre les relations cinmatiques et statiques Cinmatique/hyperstatisme
hyperstatismecinmatique
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h (degr dhyperstatisme) quations de cinmatique sont dgnres.On admet :
Dualit entre les relations cinmatiques et statiques Cinmatique/hyperstatisme
hyperstatismecinmatique
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h (degr dhyperstatisme) quations de cinmatique sont dgnres.On admet :
h=6. rc
Dualit entre les relations cinmatiques et statiques Cinmatique/hyperstatisme
hyperstatismecinmatique
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h (degr dhyperstatisme) quations de cinmatique sont dgnres.On admet :
h=6. rc
La diminution du rang cinmatique rcprovient uniquement de lhyper-statisme.
Dualit entre les relations cinmatiques et statiques Analyse globale du degr dhyperstatisme
Analyse globale du degr dhyperstatisme
Les relations dtermines jusqu prsent permettent de trouver le
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Les relations dtermines jusqu prsent permettent de trouver ledegr de mobilit cinmatique ou le degr dhyperstatisme partirdune tude analytique aboutissant aux quations cinmatiques oustatiques du systme.
Dualit entre les relations cinmatiques et statiques Analyse globale du degr dhyperstatisme
Analyse globale du degr dhyperstatisme
Les relations dtermines jusqu prsent permettent de trouver le
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Les relations dtermines jusqu prsent permettent de trouver ledegr de mobilit cinmatique ou le degr dhyperstatisme partirdune tude analytique aboutissant aux quations cinmatiques oustatiques du systme.
Souvent, on recherche uniquement le caractre isostatique ou hy-perstatique dun mcanisme. Lcriture des systmes dquationsest alors superflue. Une mthode de dtermination globale du degrdhyperstatisme est prfre.
Dualit entre les relations cinmatiques et statiques Analyse globale du degr dhyperstatisme
En reprenant les quations prcdentes, on obtient :
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En reprenant les quations prcdentes, on obtient :h=6. rc=6.+mc Ic
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En reprenant les quations prcdentes, on obtient :
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p q p ,h=6. rc=6.+mc Ic
h=6.+mc Ic
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En reprenant les quations prcdentes, on obtient :
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p q p ,h=6. rc=6.+mc Ic
h=6.+mc Ic
eth=Is rs=Is (6.(p 1) mc)
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En reprenant les quations prcdentes, on obtient :
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p q ph=6. rc=6.+mc Ic
h=6.+mc Ic
eth=Is rs=Is (6.(p 1) mc)
h=mc 6.(p 1) +Is
Dualit entre les relations cinmatiques et statiques Analyse globale du degr dhyperstatisme
Ces formules permettent dviter de devoir crire le systme dquationcinmatique ou statique et de dterminer le rang du systme dqua-tions.
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Dualit entre les relations cinmatiques et statiques Analyse globale du degr dhyperstatisme
Ces formules permettent dviter de devoir crire le systme dquationcinmatique ou statique et de dterminer le rang du systme dqua-tions.
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Mthode de dtermination du degr dhyperstatisme par une analyseglobale :
Dualit entre les relations cinmatiques et statiques Analyse globale du degr dhyperstatisme
Ces formules permettent dviter de devoir crire le systme dquationcinmatique ou statique et de dterminer le rang du systme dqua-tions.
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Mthode de dtermination du degr dhyperstatisme par une analyseglobale :
La mobilit cinmatique est dtermine par une analyse qualitativedu mcanisme ( partir du schma cinmatique). Cest la princi-pale difficult de cette mthode (intuition).
Dualit entre les relations cinmatiques et statiques Analyse globale du degr dhyperstatisme
Ces formules permettent dviter de devoir crire le systme dquationcinmatique ou statique et de dterminer le rang du systme dqua-tions.
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Mthode de dtermination du degr dhyperstatisme par une analyseglobale :
La mobilit cinmatique est dtermine par une analyse qualitativedu mcanisme ( partir du schma cinmatique). Cest la princi-pale difficult de cette mthode (intuition).
Le bilan du nombre total de solides, dinconnues cinmatiques etdactions mcaniques de liaisons se fait partir du graphe destructure (des liaisons).
Dualit entre les relations cinmatiques et statiques Analyse globale du degr dhyperstatisme
Ces formules permettent dviter de devoir crire le systme dquationcinmatique ou statique et de dterminer le rang du systme dqua-tions.
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Mthode de dtermination du degr dhyperstatisme par une analyseglobale :
La mobilit cinmatique est dtermine par une analyse qualitativedu mcanisme ( partir du schma cinmatique). Cest la princi-pale difficult de cette mthode (intuition).
Le bilan du nombre total de solides, dinconnues cinmatiques etdactions mcaniques de liaisons se fait partir du graphe destructure (des liaisons).
Le degr dhyperstatismehdu mcanisme est alors dtermin
avec la formule.
Dualit entre les relations cinmatiques et statiques Analyse globale du degr dhyperstatisme
Ces formules permettent dviter de devoir crire le systme dquationcinmatique ou statique et de dterminer le rang du systme dqua-tions.
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Mthode de dtermination du degr dhyperstatisme par une analyseglobale :
La mobilit cinmatique est dtermine par une analyse qualitativedu mcanisme ( partir du schma cinmatique). Cest la princi-pale difficult de cette mthode (intuition).
Le bilan du nombre total de solides, dinconnues cinmatiques etdactions mcaniques de liaisons se fait partir du graphe destructure (des liaisons).
Le degr dhyperstatismehdu mcanisme est alors dtermin
avec la formule.REMARQUE:Cette mthode ne permet pas didentifier les inconnuesindterminables, juste de les dnombrer.
Dualit entre les relations cinmatiques et statiques Influence de lhyperstatisme au montage
Influence de lhyperstatisme au montage
La connaissance du degr dhyperstatisme est importante dans ltude
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des mcanismes. En effet, un hyperstatisme induit des contraintesgomtriques lors du montage des diffrentes pices. Il sagit dtrecapable de fermer la (ou les) boucle(s).
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Dualit entre les relations cinmatiques et statiques Influence de lhyperstatisme au montage
Influence de lhyperstatisme au montage
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Pour illustrer ce propos sur une chane ferme simple, la dmarcheconsiste briser artificiellement un solide, puis essayer derepositionner les 2 parties en face lune de lautre afin de raliser laliaison encastrement. Ceci consiste positionner le solide2sur le
solide1via la liaisonL1, puis le solide3sur le solide2via la liaisonL2. . . et on arrive au solide0positionn sur le solide Nvia la liaisonLN. 2 cas peuvent alors se produire :
Dualit entre les relations cinmatiques et statiques Influence de lhyperstatisme au montage
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soit le nombre de mobilit des liaisons en srie vaut 6 (mc =6),et alors, il est possible de bouger comme on le souhaite le solide0dans lespace, et donc de le positionner parfaitement par rapportau solide 1(on peut recoller sans problme les deux morceauxmme si les pices intermdiaires ont des dfauts ce qui est le cas
dans la " vraie vie " aprs lopration de fabrication)
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soit le nombre de mobilit des liaisons en srie vaut 6 (mc=6)
soit le nombre de mobilit de la liaison en srie est infrieur stric-tement (mc
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soit le nombre de mobilit des liaisons en srie vaut 6 (mc=6) soit le nombre de mobilit de la liaison en srie est infrieur stricte-
ment (mc
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soit le nombre de mobilit de la liaison en srie est infrieur stric-tement (mc
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soit on ralise des liaisons avec jeu, ce qui permet de retrouver unpeu de mobilit et donc de compenser les dfauts de fabrication afinde monter lensemble des pices (attention, les jeux ne sont pasmis au hasard, ils sont dtermins analytiquement en fonction desdfauts de fabrication et rduit le plus possible afin de conserver une
" qualit acceptable " du produit) soit on dforme les pices lors du montage, ce qui a pour effet de
rigidifier le mcanisme (il se dformera moins en utilisation) et daug-menter les efforts de contact dans les liaisons (les calculs sont faitsen modlisant les pices par des solides dformables et ncessitent
la connaissance des dfauts de fabrication).
Utilisation pratique de la thorie des mcanismes
Sommaire1 Graphe de structure dun mcanisme
2 Approche cinmatique
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3 Approche statique
4 Liaisons quivalentes :
5 Dualit entre les relations cinmatiques et statiques
6 Utilisation pratique de la thorie des mcanismesCe quil faut retenir (fondamental)
Quelle dmarche choisir ?Comment rendre un mcanisme isostatique ?
7 Cas des problmes plans
Utilisation pratique de la thorie des mcanismes Ce quil faut retenir (fondamental)
Ce quil faut retenir (fondamental)Point de vue Cinmatique Statique
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Utilisation pratique de la thorie des mcanismes Ce quil faut retenir (fondamental)
Ce quil faut retenir (fondamental)Point de vue Cinmatique Statique
Inconnues Ic=
NLi=1 Ic(i) Is=
NLi=1 Is(i)
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Utilisation pratique de la thorie des mcanismes Ce quil faut retenir (fondamental)
Ce quil faut retenir (fondamental)Point de vue Cinmatique Statique
Inconnues Ic=
NLi=1 Ic(i) Is=
NLi=1 Is(i)
Nombre dquations Ec=6. Es=6.(p 1)
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Utilisation pratique de la thorie des mcanismes Ce quil faut retenir (fondamental)
Ce quil faut retenir (fondamental)Point de vue Cinmatique Statique
Inconnues Ic=
NLi=1 Ic(i) Is=
NLi=1 Is(i)
Nombre dquations Ec=6. Es=6.(p 1)
q ations indpen
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quations indpen-dantes ou rang dusystme.
rc6. rs6.(p 1)
Utilisation pratique de la thorie des mcanismes Ce quil faut retenir (fondamental)
Ce quil faut retenir (fondamental)Point de vue Cinmatique Statique
Inconnues Ic=
NLi=1 Ic(i) Is=
NLi=1 Is(i)
Nombre dquations Ec=6. Es=6.(p 1)
quations indpen
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quations indpen-dantes ou rang dusystme.
rc6. rs6.(p 1)
Degr de mobilit / de
statisme
mc=Ic rc h= Is rs
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Ce quil faut retenir (fondamental)Point de vue Cinmatique Statique
Inconnues Ic=NL
i=1 Ic(i) Is=NL
i=1 Is(i)
Nombre dquations Ec=6. Es=6.(p 1)
quations indpen
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quations indpen-dantes ou rang dusystme.
rc6. rs6.(p 1)
Degr de mobilit / de
statisme
mc=Ic rc h= Is rs
Indice de mobilit Ic Ec Es Is
Dgradation du sys-tme dquations
h= Ec rc=6. rcmc = Es rs =6.(p1) rs
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Utilisation pratique de la thorie des mcanismes Ce quil faut retenir (fondamental)
Ce quil faut retenir (fondamental)Point de vue Cinmatique Statique
Inconnues Ic=NL
i=1 Ic(i) Is=NL
i=1 Is(i)
Nombre dquations Ec=6. Es=6.(p 1)
quations indpen-
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quations indpendantes ou rang dusystme.
rc6. rs6.(p 1)
Degr de mobilit / de
statisme
mc=Ic rc h= Is rs
Indice de mobilit Ic Ec Es Is
Dgradation du sys-tme dquations
h= Ec rc=6. rcmc = Es rs =6.(p1) rs
Calcul de h par les for-mules globales
h=mc+6. Ich=mc 6.(p 1) +Is
Dualit cinma-tique/statique
Is+Ic=6.NL
Utilisation pratique de la thorie des mcanismes Quelle dmarche choisir?
Quelle dmarche choisir ?
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A priori 2 possibilits :
lapproche globale en utilisant directement les quations reliantmobilits, hyperstatisme et nombres dinconnues. La seule diffi-
cult consiste dterminer les mobilits du mcanisme (mc =mu+mi) avec :
Utilisation pratique de la thorie des mcanismes Quelle dmarche choisir?
Quelle dmarche choisir ?
A priori 2 possibilits : lapproche globale en utilisant directement les quations reliant
mobilits hyperstatisme et nombres dinconnues La seule diffi-lt i t dt i l bilit d i (
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mobilits, hyperstatisme et nombres d inconnues. La seule difficult consiste dterminer les mobilits du mcanisme (mc =mu+mi) avec : mu, le nombre de mobilits dites utiles du modle (paramtres de
mouvements que lon retrouve dans les relations E/S, et qui sont
directement lis la fonction principale du systme) ; elles sont, g-nralement, clairement identifies dans le sujet mi, le nombre de mobilits internes, mobilits qui correspondent
des mouvements possibles de pices lintrieur du mcanismemme lorsque les mobilits utiles sont bloques. Si elles sont sou-
vent faciles identifier, il existe de nombreux cas o il est ncessairedavoir une certaine exprience pour les dtecter (il faut les " voir " partir du schma cinmatique)
Utilisation pratique de la thorie des mcanismes Quelle dmarche choisir?
Quelle dmarche choisir ?
A priori 2 possibilits : lapproche globale en utilisant directement les quations reliant
mobilits, hyperstatisme et nombres dinconnues. La seule diffi-lt i t dt i l bilit d i (
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mobilits, hyperstatisme et nombres d inconnues. La seule difficult consiste dterminer les mobilits du mcanisme (mc =mu+mi) avec : mu, le nombre de mobilits dites utiles du modle (paramtres de
mouvements que lon retrouve dans les relations E/S, et qui sont
directement lis la fonction principale du systme) ; elles sont, g-nralement, clairement identifies dans le sujet mi, le nombre de mobilits internes, mobilits qui correspondent
des mouvements possibles de pices lintrieur du mcanismemme lorsque les mobilits utiles sont bloques. Si elles sont sou-
vent faciles identifier, il existe de nombreux cas o il est ncessairedavoir une certaine exprience pour les dtecter (il faut les " voir " partir du schma cinmatique)
Utilisation pratique de la thorie des mcanismes Quelle dmarche choisir?
Quelle dmarche choisir ?
A priori 2 possibilits :
lapproche globale en utilisant directement les quations reliant
mobilits, hyperstatisme et nombres dinconnues. La seule diffi-lt i t dt i l bilit d i (
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mobilits, hyperstatisme et nombres d inconnues. La seule difficult consiste dterminer les mobilits du mcanisme (mc =mu+mi) avec : Donc par cette mthode, le risque est de sousvaluer les mobilits internes, ce qui revient sous valuer le de-gr dhyperstaticit. Par contre elle est extrmement rapide, mais
elle ne permet que de dterminermcet h. lapproche analytique en crivant le systme dquations cinma-
tiques ou statiques. Lcriture des quations de cinmatique se faitbien plus rapidement que lcriture des quations de statique. A
partir de lanalyse cinmatique, on identifie clairement les mobili-ts (internes et utiles) du modle, mais on ne fait que dterminerle degr dhyperstaticit
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Utilisation pratique de la thorie des mcanismes Quelle dmarche choisir?
Stratgie au concours
La mthode la plus rapide reste la mthode globale mais les rsultats
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La mthode la plus rapide reste la mthode globale, mais les rsultats obtenir sont dpendants de vos facults (" innes et acquises ") com-prendre le fonctionnement du modle partir du schma cinmatique.
Les approches analytiques sont probablement plus sures quant la d-
termination demceth( condition quil ny ait pas de fautes de calculs),mais elles sont galement beaucoup plus lentes et fastidieuses.
Utilisation pratique de la thorie des mcanismes Quelle dmarche choisir?
Stratgie au concours
La mthode la plus rapide reste la mthode globale, mais les rsultats obtenir sont dpendants de vos facults (" innes et acquises ") com-
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prendre le fonctionnement du modle partir du schma cinmatique.
Les approches analytiques sont probablement plus sures quant la d-termination de mcet h( condition quil ny ait pas de fautes de cal-culs), mais elles sont galement beaucoup plus lentes et fastidieuses.Lapproche analytique cinmatique est plus courte que lapproche ana-lytique statique. Elle permet didentifier clairement les mobilits, mais nepermet pas de " jouer " avec lhyperstatisme, contrairement lapprochestatique.
Utilisation pratique de la thorie des mcanismes Quelle dmarche choisir?
Stratgie au concours
La mthode la plus rapide reste la mthode globale, mais les rsultats obtenir sont dpendants de vos facults (" innes et acquises ") com-prendre le fonctionnement du modle partir du schma cinmatique.
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Les approches analytiques sont probablement plus sures quant la d-termination demceth( condition quil ny ait pas de fautes de calculs),mais elles sont galement beaucoup plus lentes et fastidieuses.
Si dans le sujet, il est demand de dimensionner les liaisons, lapprochestatique est obligatoire (et il est indispensable de faire intervenir les ef-forts extrieurs, voire mme de se placer en dynamique si les quantitsdinertie peuvent influer sur les inter-efforts de liaisons, pour dterminerles inconnues des torseurs des inter-efforts du systme en fonctionne-
ment).
Utilisation pratique de la thorie des mcanismes Quelle dmarche choisir?
Stratgie au concours
La mthode la plus rapide reste la mthode globale, mais les rsultats obtenir sont dpendants de vos facults (" innes et acquises ") com-
prendre le fonctionnement du modle partir du schma cinmatique. Les approches analytiques sont probablement plus sures quant la d
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Les approches analytiques sont probablement plus sures quant la d-termination demceth( condition quil ny ait pas de fautes de calculs),mais elles sont galement beaucoup plus lentes et fastidieuses.
Si dans le sujet, il est demand de dimensionner les liaisons, lapproche
statique est obligatoire (et il est indispensable de faire intervenir les ef-forts extrieurs, voire mme de se placer en dynamique si les quantitsdinertie peuvent influer sur les inter-efforts de liaisons, pour dterminerles inconnues des torseurs des inter-efforts du systme en fonctionne-ment). Dans ce cas, comme toutes les quations sont dj crites, il ne
reste plus qu analyser le systme dquations pour dterminer lhyper-statisme et les mobilits.
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Cas des problmes plans
Sommaire
1 Graphe de structure dun mcanisme
2 Approche cinmatique
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3 Approche statique
4 Liaisons quivalentes :
5 Dualit entre les relations cinmatiques et statiques
6 Utilisation pratique de la thorie des mcanismes
7 Cas des problmes plans
Cas des problmes plans
Cas des problmes plansDans le cas dune modlisation plane, les dveloppements prcdentsrestent valables, mais on ne peut crire que trois quations partir desfermetures torsorielles. On obtient donc les relations :
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Cas des problmes plans
Cas des problmes plansDans le cas dune modlisation plane, les dveloppements prcdentsrestent valables, mais on ne peut crire que trois quations partir desfermetures torsorielles. On obtient donc les relations :
h m + 3 I
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par lapproche cinmatique : h=mc+3. Ic
par lapproche statique : h=mc+3.(p 1) Is
Cas des problmes plans
Cas des problmes plansDans le cas dune modlisation plane, les dveloppements prcdentsrestent valables, mais on ne peut crire que trois quations partir desfermetures torsorielles. On obtient donc les relations :
h m + 3 I
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par lapproche cinmatique : h=mc+3. Ic
par lapproche statique : h=mc+3.(p 1) Is
Attention, Icet Iscorrespondent aux inconnues cinmatiques et sta-tiques des " torseurs plans ".
Cas des problmes plans
Cas des problmes plansDans le cas dune modlisation plane, les dveloppements prcdentsrestent valables, mais on ne peut crire que trois quations partir desfermetures torsorielles. On obtient donc les relations :
h m + 3 I
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par lapproche cinmatique : h=mc+3. Ic
par lapproche statique : h=mc+3.(p 1) Is
Attention, Icet Iscorrespondent aux inconnues cinmatiques et sta-tiques des " torseurs plans ".
REMARQUE:le degr dhyperstatisme avec une modlisation plane etavec une modlisation spatiale peuvent diverger. Il est ncessaire deprciser votre point de vue (plan ou spatial). Sauf indication contraireexplicite, on calcule un degr spatial.
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