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FÍSICA DE FLUIDOS – UNIDAD I

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Hidrostática I Descripción general de los fluidos Los objetos de nuestro entorno inmediato los encontramos en estado sólido, en estado líquido o como gases. Los sólidos se caracterizan por poseer una forma y un volumen propio y estable; los líquidos, en cambio, si bien poseen un volumen definido, se depositan en el fondo de los recipientes, adaptándose a la forma de estos; y los gases no poseen ni forma ni volumen propio, ocupando todo el espacio que tienen disponible. Esta definición, si bien es útil para muchos casos, con frecuencia resulta un tanto vaga. Esto se advierte cuando nos preguntamos, ¿en qué estado se encuentra la jalea de un postre? o ¿en qué estado nos encontramos nosotros? o ¿en qué estado se encuentra el aire de la atmósfera considerada globalmente? Por otra parte, si preguntamos en qué estado se encuentra el vidrio de una ventana o de un vaso, la respuesta será unánime: sólido. Sin embargo, se ha observado que en los ventanales de antiguas catedrales los vidrios son más gruesos abajo que arriba; es decir, lentamente se están derramando, como se ilustra en la figura 28. Así, incluso algo que nos parece muy sólido podría corresponder, como en este caso, a un líquido altamente viscoso. Las definiciones, aunque útiles, no siempre se prestan para ser seguidas a ciegas.

Los objetos que mejor se comportan como un sólido son los cristales de diamante, pero incluso éstos pueden ser alterados. En definitiva, los conceptos de sólido, líquido y gas son un tanto relativos y dependen de las circunstancias en que se encuentre la materia. Nosotros consideraremos el vidrio de una ventana o la madera de la cubierta de una mesa como sólidos por cuanto durante el tiempo en que los podemos considerar, para el análisis de una situación o un experimento, conservan prácticamente inalterada su forma. El que un material se encuentre en alguno de estos estados depende principalmente de la temperatura que tenga y ello se debe a las fuerzas de cohesión entre átomos y entre moléculas. Los sólidos, átomos y moléculas vibran entre posiciones bien definidas, ya que las fuerzas de cohesión entre ellos son muy grandes. En los líquidos, las moléculas están un poco más separadas, de modo que presentan cierta libertad de movimiento. En los gases, en cambio, las moléculas están a distancias tan grandes unas de otras que las fuerzas de cohesión prácticamente no existen. En algunos casos (gases ideales), incluso se pueden despreciar.


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En esta unidad nos preocuparemos de comprender el comportamiento de los fluidos, término genérico que incluye a líquidos y gases; es decir, materiales en que átomos y moléculas pueden moverse con cierta facilidad unos respecto de otros. Al estudio de un fluido que está en reposo (agua quieta en un vaso, aire cuando no hay viento, etc.) se denomina hidrostática, y cuando se estudia un fluido que está en movimiento o algo que se mueve en éste (agua corriendo por un río o saliendo de una cañería, avión en vuelo, etc.) se habla de hidrodinámica. La masa de los objetos podemos medirla con una balanza o (indirectamente) con un dinamómetro. La unidad de masa en el Sistema Internacional (SI) es el kilogramo (kg), que conocemos bien porque lo empleamos en la vida diaria. También empleamos algunos de sus derivados, como el gramo (g) y la tonelada (1.000 kg).

Toda porción de materia posee una masa m y, bajo ciertas condiciones, un volumen V que permiten definir la densidad D. Esta importante cantidad la calculamos según:

[1] La densidad tiene unidades de [masa/volumen] y en el SI debe ser: También se suele usar el .

Como 1 kg = 1.000 g y 1 m = 100 cm, se tiene que: 1 = 1.000 En el cuadro de la figura 31 se señalan algunas relaciones entre unidades de uso frecuente en física.

En la tabla de la figura 32 se muestran las densidades de algunos materiales. No debe olvidarse que la densidad del agua (destilada, a 0 °C y a 1 atm) es exactamente 1.000 kg/m3 Sin embargo, en adelante, se asumirá este valor al calcular ejercicios.


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Por otra parte, existen en el Universo densidades mucho mayores que la del agua, como la de las estrellas de neutrones (1.025 g/cm3), y otras muy pequeñas, como la del espacio interestelar (10-19 g/cm3). En el Big Bang, según los astrofísicos, la densidad habría sido infinitamente grande.

Hidrostática El concepto de presión. Si dos porciones de materia (A y B) interactúan entre sí con una fuerza F a través de una superficie S, la presión P que se ejerce se define como:

[2]

De acuerdo con esto, la unidad para medir la presión debe ser: Unidad de presión = [unidad de fuerza/unidad de superficie]

En el SI, en que la fuerza se mide en newton y el área de una superficie en metros cuadrados, la unidad de

presión es o y se denomina pascal (Pa), en honor a Blas Pascal. Lee el recuadro de la figura 33 para saber sobre este gran personaje.


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La figura 34 ilustra un libro sobre una mesa. Este libro ejerce una fuerza sobre la mesa (su peso) y entre él y la mesa hay una superficie de contacto, entonces el libro está ejerciendo una presión sobre la mesa.

Como la masa del libro es 20 kg, su peso es F = 200 newton. Por otra parte, el área de contacto es S = 0,3m • 0,2m = 0,06 m2. Luego, reemplazando en [2] encontramos que la presión es: P = 3.333,3 Pa.

La presión será mayor mientras mayor sea la fuerza y mientras menor sea el área de contacto. Este último hecho explica la eficacia con que funcionan ciertos utensilios como los que se ilustran en la figura 35: cuchillos, tijeras, clavos, etc.; pues con fuerzas relativamente pequeñas es posible ejercer presiones muy grandes, que es lo que interesa realmente en estos casos.

Cuando empujamos un mueble o a una persona, evidentemente estamos aplicando una fuerza, pero lo que sentimos en nuestras manos al empujar el mueble, y lo que siente la persona cuando la empujamos, es una presión. El dolorcito que sentimos cuando la enfermera nos clava la aguja de una jeringa también es consecuencia de una gran presión. Estima la presión que se ejerce en alguno de estos casos.

¿Aproximadamente qué presión ejerce sobre el suelo una persona que está de pie? Si la masa es de 60 kg, como la del señor de la figura 36, y el área de contacto entre la planta de los zapatos y el suelo es 0,012

m2, entonces esta presión es ; es decir:


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,lo que corresponde a 50.000 pascal. ¿Cómo cambia la presión si la persona levanta uno de sus pies separándolo completamente del suelo?

La presión en líquidos ¿Por qué un buzo o un submarino están sometidos a mayor presión mientras mayor sea la profundidad a que se encuentren? La presión que ejerce un líquido en el fondo del recipiente que lo contiene ¿depende o no de la forma de este? ¿De qué factores depende? Para responder a estas preguntas consideremos un líquido de densidad D (no necesariamente agua) que se halla en un recipiente cilíndrico alcanzando una altura h según se indica en la figura 37.

La fuerza que aplica el líquido en el fondo del recipiente debe ser su peso; es decir, F = mg. Según [1], su masa debe ser: m = DV y su volumen V = S · h, en que S es el área del fondo del recipiente. Reemplazando en [2] encontramos:

; simplificando,


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[3]

Esta importante relación nos dice que la presión que ejerce el líquido en el fondo del recipiente depende solamente de su densidad D, de la altura h de la columna de líquido y de la aceleración de gravedad g del lugar donde se encuentre; es decir, no depende de la forma del recipiente, ni de la superficie del fondo, ni del volumen del líquido.

Ejemplo 1: ¿Qué presión ejerce una columna de agua de 15 cm de altura en el fondo del vaso que la contiene, aquí en la superficie terrestre? Como se trata de agua, D = 1.000 kg/m3; h = 15 cm = 0,15 m. Considerando g = 10 m/s2, al reemplazar en [3] encontramos:

Ejemplo 2: En la figura 38 se muestran tres vasos que contienen agua hasta el mismo nivel. ¿Cómo es la presión que el agua ejerce en el fondo de cada uno de ellos?

Como el líquido, la altura y la gravedad son iguales en los tres casos, la presión también lo es. Ejemplo: ¿Qué presión ejerce el agua en el fondo de un lago de 40 m de profundidad (figura 39)?

Solución: Reemplazando los datos en la expresión [3] tenemos.

Nota importante: en los ejemplos anteriores se ha considerado solo la presión ejercida por los líquidos. Posteriormente, veremos que la presión total en el fondo de los recipientes es la presión que ejerce la atmósfera más la ejercida por los líquidos.


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Si en un recipiente practicamos orificios en diferentes posiciones, según se ilustra en la figura 40, veremos que por el orificio más bajo, aquel para el cual h es mayor, el chorro de agua sale con mayor rapidez y llega más lejos, lo cual prueba que allí la presión es mayor. Es interesante observar que la fuerza que produce la presión es perpendicular a las paredes del recipiente. Más aún, actúa perpendicularmente a la superficie de cualquier objeto con el que esté en contacto.

En la figura 41 se ilustra un recipiente de forma caprichosa en el cual también hay sumergido un cuerpo cualquiera de forma arbitraria. Por medio de flechas se señala la dirección en que actúa la fuerza en cada punto, y las longitudes de las mismas representan la magnitud de las presiones en dichos puntos. Nótese que para alturas o profundidades iguales, las longitudes de las flechas también son iguales. Con esta representación hay que ser cuidadoso, pues la presión no es una magnitud vectorial.

Analicemos el caso de los vasos comunicantes: si en un tubo o manguera con forma de U colocamos agua, esta alcanzará en ambos brazos la misma altura cuando se establezca el equilibrio, es decir, hasta que en cada brazo las presiones sean iguales. Pero si colocamos aceite en uno de los brazos, veremos que el sistema queda como se ilustra en la figura 42.


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Supongamos que la altura (hB) de la columna de aceite es un poco mayor que 10 cm. Como la presión ejercida por el agua en el punto A debe ser la misma que ejerce el aceite en el punto B, tenemos:

[4]

Datos:

Densidad agua: Dagua = 1.000 kg/m3

Densidad aceite: Daceite = 980 kg/m3

Altura columna de agua: hA = 10 cm

Aceleración de gravedad: g = 10 m/s2

Solución:

· Método “carretero” (así se hizo en clase, pues, aunque perfectamente pudo simplificarse g a ambos lados

de la ecuación, la idea era ir explicando el desarrollo paso a paso).

PA = Dagua·g·hA

PA = 1.000 kg/m3 x 10 m/s2 x 0,10 m = 1.000 kg/m·s2 = 1.000 Pascales (Pa)

PA = 1.000 Pa = Daceite·g·hA = PB

Daceite·g·hA = 980 kg/m3 x 10 m/s2 x hB =1.000 kg/m·s2 = 1.000 Pascales (Pa)

Despejando, obtenemos: hB =1.000/9.800 m

hB = 0,1020 m

hB = 10,2 cm

· Método directo.

Al ser las presiones en A y en B iguales, tenemos que:

donde DB y DA son las densidades del aceite y el agua respectivamente y hB y hA sus respectivas alturas. Como g, la aceleración de gravedad, es la misma, se puede simplificar, con lo cual queda:


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Por último, como la densidad del aceite es 980 kg/m3, podemos determinar la altura de la columna de aceite. En efecto:

Reemplazando los datos del ejemplo encontramos que:

hB = 1.000 kg/m3 x 0,1 m = 0,1020 m 980 kg/m3

hB = 10,2 cm

El principio de Pascal y la máquina hidráulica “Si en un recipiente cerrado hay un fluido, la variación de presión se transmite en todas direcciones con la misma intensidad”.

Para comprender este enunciado del principio de Pascal resulta conveniente analizar la máquina hidráulica que se ilustra en la figura 43. En estos casos despreciaremos las diferencias de presión atmosférica que existen a diferentes alturas del fluido, así como la presión hidrostática. Para que el camión esté en equilibrio es necesario que las presiones en ambos pistones (A y B) sea la misma; es decir, PA = PB. Considerando [2] este principio se puede escribir:

donde FA y FB son las fuerzas ejercidas sobre los pistones y SA y SB sus respectivas áreas de contacto con el fluido. Si la superficie del pistón B es 60 veces mayor que la del pistón A; es decir, si SB = 60 SA, entonces la fuerza que debe aplicarse en A, para mantener el camión en equilibrio, es la cincuentava parte del peso del camión. En efecto, si reemplazamos los datos en [5] y calculamos FA, encontramos:


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Esta fuerza es la que se necesita para levantar del suelo un cuerpo de unos 75 kg. Como puede verse, la máquina hidráulica es muy eficiente y permite multiplicar considerablemente las fuerzas.

Si lo deseas, puedes experimentar con una máquina hidráulica elemental como la que se ilustra en la figura 44. Se trata de dos jeringas unidas por una manguera (una bombilla de plástico para tomar bebidas resulta ideal). Si se llena todo con agua, basta presionar con las manos ambos pistones para apreciar que la fuerza que debe hacerse sobre cada uno de ellos para mantenerlos en equilibrio es muy diferente.

Estos sistemas hidráulicos son parte de muchas maquinarias; pero posiblemente donde más se los emplea es en los automóviles, en particular cada vez que el chofer de un vehículo pisa el pedal de freno. En la figura 45 se ilustra una parte de un circuito de freno hidráulico tradicional. Si te interesa la mecánica, puedes investigar los distintos tipos de frenos que existen.


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Hidrostática II Presión atmosférica

¿Pesará el aire? Para responder a esta pregunta podría pensarse en realizar la medición que se ilustra en la figura 46.

Compara el “peso” de un globo cuando está desinflado con el peso que tiene cuando está inflado. La diferencia correspondería a la masa del aire atrapado en el interior del globo inflado.

Como verás más adelante, independientemente de la precisión del instrumento que se emplee, este método es profundamente erróneo. Si bien no proporciona la masa del aire del interior del globo, permite convencerse de que la pregunta sí tiene sentido y de que la respuesta es positiva.

¿Existe el vacío?, ¿cómo puede producirse? La historia de este problema está también estrechamente relacionada con el concepto de presión. Aristóteles afirmaba que el vacío era imposible, que la naturaleza le tendría “terror al vacío” y que cualquier intento por producirlo estaría condenado al fracaso. Esta idea, como tantas otras de este pensador, no se puso en duda por más de diez siglos.

El experimento más importante lo realizó un discípulo de Galileo Galilei, el italiano Evangelista Torricelli (1608-1647), cuyo rostro y experimento podemos ver en la figura 48. Procedió a llenar con mercurio un tubo de vidrio del orden de 1 metro de longitud y luego lo invirtió, abriendo su extremo en un recipiente que también contenía mercurio, según la secuencia que se ilustra en la figura 49. Grande fue su sorpresa al constatar que parte del mercurio se derramaba en el recipiente, quedando dentro del tubo una columna de mercurio de unos 76cm de longitud.

Fue una sorpresa pues esperaba que ocurriera lo mismo que con otros líquidos, esto es, que el mercurio permaneciera dentro del tubo sin derramarse.


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Torricelli comprobó después que la altura de esta columna de mercurio resultaba igual aun cuando, según se ilustra en la figura 50, el largo del tubo, su diámetro y forma fueran muy diferentes. ¿Qué otra cosa aparte de vacío podía quedar en la parte superior del tubo? Si intentas realizar tú este tipo de experimentos, debes tener mucho cuidado, pues si bien el mercurio es muy hermoso, es altamente tóxico, por lo que resulta absolutamente necesario trabajar en un lugar bien ventilado.

Si realizas el experimento con agua en vez de mercurio, verás que no se derrama en el recipiente y el tubo queda lleno de agua.

La explicación de estos comportamientos no fue cosa simple. Torricelli sostuvo que la columna de mercurio era sostenida por la presión atmosférica. Si se examina el esquema de la figura 51 y aplicamos lo que aprendimos para el caso de los vasos comunicantes, podremos entender mejor a Torricelli. En efecto, la presión que ejerce la columna de mercurio de altura h en el punto B debe ser igual a la que existe en el punto A; pero el tubo aquí está abierto y en contacto con el aire; por lo tanto, este aire atmosférico debe ser el responsable de esta presión.


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La presión atmosférica puede ser calculada entonces con la expresión [3]; es decir:

Patmósfera = DHg•g•hHg

Como DHg, la densidad del mercurio, es 13.600 kg/m3, hHg = 0,76 m y g = 10 m/s2, encontramos que:

Patmósfera = 103.360,0 pascal

(Si empleamos valores más exactos, se encuentra que la presión atmosférica a nivel del mar es en promedio 101.325,0 pascal)

Si quisiéramos calcular la presión total en el fondo de un lago, a la presión del agua debiéramos sumarle la presión atmosférica. El instrumento construido por Torricelli es lo que conocemos como barómetro.

Fue a Blas Pascal a quien se le ocurrió un experimento que probaría que esta presión se debe efectivamente a la atmósfera. La idea consistía en ascender una montaña con un barómetro e ir midiendo, a medida que se asciende, la altura de la columna de mercurio. Al existir cada vez menos aire encima del barómetro, la presión ejercida por él debía ser menor y en consecuencia la altura de la columna de mercurio debía reducirse. El experimento fue realizado con éxito en el monte Puy-de-Dôme, como se ilustra en la figura 52, sin la participación de Pascal, debido a que su precaria salud no se lo permitía. Se encontró que por cada 10,5 m de ascenso, la altura de la columna de mercurio se reducía en 1 mm, por lo que este instrumento sirve también como altímetro.


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Por otra parte, es interesante comprender que la altura de la columna de mercurio no todos los días y a toda hora es la misma. En efecto, se observan variaciones pequeñas que están relacionadas con el estado del clima.

Otras unidades de presión

Las observaciones de Torricelli hacen de gran utilidad otras unidades de medición distintas al pascal. Entre las principales encontramos el “cm de Hg” y el “mm de Hg”, también denominado “torricelli” y abreviado como “torr”. Estas unidades corresponden a la presión ejercida en la base de una columna de mercurio de 1 cm y 1 mm, respectivamente. Otra unidad es la “atmósfera”, abreviada como “atm” y que corresponde a la presión ejercida, en su base, por una columna de mercurio de 76 cm de altura. No debe confundirse la unidad atm con la presión que ejerce la atmósfera en un momento dado. Son por lo general valores cercanos, pero los significados son distintos. Otras unidades usadas en meteorología son el “bar” y el “milibar”.

1 bar = 105 pascal

Algunos efectos de la presión atmosférica

¿Por qué el experimento de Torricelli no resulta si se hace con agua? En realidad sí resulta, pero el problema es que el tubo de vidrio debiera tener más de 10 m de longitud. Más exactamente, debiera ser a lo menos 13,6 veces más largo que los 76 cm que se requieren al hacerlo con el mercurio, ya que el mercurio es 13,6 veces más denso que el agua. Esto tiene una consecuencia importante: con una bomba de vacío, situada en la parte superior de una cañería (figura 54), es imposible hacer subir agua a más de 10,336 metros. En otras palabras, si queremos extraer agua de un pozo con esta técnica y el agua está a una profundidad mayor que esta, será imposible lograrlo, por muy poderosa que sea la bomba que usemos. Del mismo modo, si pretendiéramos tomar bebida con una larga bombilla, no lo lograríamos si el líquido está 10,5 m más abajo. En realidad, con la capacidad de nuestros pulmones, apenas lograríamos que el agua ascienda 1 m. Intenta verificarlo.

Como te has dado cuenta, vivimos en el fondo de un inmenso “océano de aire” y la presión que éste ejerce está siempre presente, produciendo algunos efectos. Veamos algunos ejemplos:

Podremos llenar de líquido una jeringa tirando su émbolo, ya que este penetra en ella gracias a la presión atmosférica.


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También una ventosa, como las que se adhieren a los vidrios para colgar objetos (figura 55), se sostiene gracias a la presión atmosférica. En la Luna, en cuya superficie no hay atmósfera, una ventosa no lograría adherirse a una superficie lisa como la de un vidrio.

Si sumergimos un vaso en agua estando invertido (figura 56a), vemos que en él prácticamente no entra agua. En cambio, si lo sumergimos como se indica en la secuencia b, observaremos que al sacarlo invertido, sale lleno de agua. Esto último también constituye un hecho a través del cual se pone en evidencia la presión atmosférica. ¿Puedes explicarlo?

El sifón es otro ejemplo. Si llenas una manguera con agua y la dispones como se indica en la figura 57, podrás vaciar el recipiente.


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Otro experimento que puedes hacer es el que se ilustra en la secuencia de la figura 58. Si llenas un vaso con agua hasta el mismo borde, lo tapas con una tarjeta o cartulina, al invertirlo constatarás que, al dejar de afirmar la tarjeta, el agua permanece en el vaso.

También es fácil realizar el experimento que se ilustra en la figura 59. Al colocar el vaso sobre la vela se observa que, cuando esta se apaga una vez que ha consumido todo el oxígeno, el agua asciende en el interior del vaso.

Considérese por último el dispensador de agua que se ilustra en la figura 60. Gracias a él, la mascota puede beber según sus necesidades, ya que el agua de la botella bajará en la medida que éste la consuma.

Nuestro organismo está sometido permanentemente a la presión atmosférica, y la presión que ejerce la atmósfera produce una fuerza perpendicular a la superficie de la piel en cada punto de nuestro cuerpo. Un cambio pequeño en su valor puede afectarnos considerablemente. Es así que se producen los malestares que experimentan los buzos al sumergirse en las profundidades del mar o los que experimentan los alpinistas que ascienden a cumbres elevadas.

¿Qué ocurrirá con un tarro de lata si lo calientas, luego lo tapas herméticamente y por último lo enfrías, por ejemplo, echándole agua? Piensa antes de responder y, si haces la experiencia, cuida de no quemarte.

La figura 61 ilustra una bomba de las que se emplean en el campo para extraer agua de los pozos. Obsérvala detenidamente y explica su funcionamiento. Indica, por ejemplo, en qué momento las válvulas se abren y cierran al accionar la palanca.


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El barómetro anaeróbico

La figura 62 representa el principio bajo el cual funciona este tipo de barómetro.

A la izquierda, fijo a un soporte, se halla un tarro herméticamente cerrado. Si a una cara flexible fijamos una varilla y una aguja, veremos que al aumentar la presión atmosférica esta cara se hunde hasta que la presión del aire que está en el interior del tarro se equilibra con la presión atmosférica. Como el panel está fijo al soporte, veremos que la aguja se desplaza hacia la izquierda; lo opuesto ocurre cuando la presión atmosférica se reduce. Como el efecto suele ser muy pequeño, los constructores de este tipo de instrumentos, por medio de un mecanismo con engranajes, amplifican este movimiento y le dan la apariencia de un reloj, como el que se muestra en la parte inferior de la figura 63.


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El manómetro

Cuando el barómetro se emplea como se indica en la figura 64, lo denominaremos manómetro. En este ejemplo se puede apreciar que la presión del gas del balón, que puede considerarse igual en todas partes, pues la diferencia de presión en su parte superior e inferior es despreciable, es de 120 torr.

El principio de Arquímedes

¿Cómo lo hacen los submarinos y los peces para permanecer quietos a cierta profundidad, sumergirse y emerger? ¿Por qué para los pájaros esto es imposible sin aletear? ¿Cómo funcionan los chalecos salvavidas? ¿Por qué flotan los témpanos de hielo? ¿Por qué las burbujas de aire en el agua, o de gas en las bebidas, siempre ascienden?

Si colocamos sobre agua (figura 65) distintos objetos: madera, plástico, papel, clavos, cubos de hielo, un barquito de papel, etc., veremos que algunos flotan y otros se hunden. Pero esto no depende únicamente del material, también depende de la forma que este tenga. Si con un mismo trozo de plasticina construyes una bola y un disco ahuecado, verás que la primera se hunde mientras que el segundo flota, según se ilustra en la figura 66. Por la misma razón un clavo de hierro se hunde y un barco, del mismo material, flota. Todas estas preguntas y los hechos señalados encuentran su explicación en el principio de Arquí¬medes. Para saber más sobre Arquí¬medes lee el recuadro de la figura 67.


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Este célebre principio se puede formular del siguiente modo: Sobre un cuerpo sumergido en un líquido actúa una fuerza, de abajo hacia arriba (el empuje), que es igual al peso del líquido desalojado.

El análisis de la figura 68 te ayudará a entender esto. Al sumergir la piedra el nivel del líquido sube, poniendo en evidencia el líquido desalojado por la piedra. Al mismo tiempo, es claro que los volúmenes de la piedra y el líquido desalojado son iguales. Ahora bien, el peso de este líquido, es decir, su masa multiplicada por la aceleración de gravedad, es igual a la magnitud de la fuerza que actúa sobre la piedra, de sentido opuesto al peso y que, por lo tanto, la harí¬a sentir más liviana.

Nadie sabe cómo Arquímedes llegó a esta conclusión, pero se conoce bien la leyenda según la cual el rey Herón de Siracusa encargó al genio averiguar si la corona de oro que le había hecho un orfebre contenía todo el oro que le habían entregado para su fabricación. Según se dice, hizo el descubrimiento cuando se estaba bañando, y tan contento se puso que salió desnudo y con la corona en sus manos gritando por las calles de su ciudad “¡Eureka! ¡Eureka!...”, en señal de que había hallado la solución al problema.

El principio de Arquímedes es una consecuencia de la presión hidrostática. Para entender este punto sigamos el siguiente análisis ayudado por la figura 69. Allí se muestra un líquido de densidad D y sumergido en él un cuerpo cilíndrico de altura H y área A en su parte superior e inferior. Según [3], en la superficie superior la presión es P1 = Dgh1, donde h1 es la profundidad a que se encuentra dicha superficie. Igualmente, en la superficie inferior es P2 = gh2. Arriba la fuerza producida por la presión actúa hacia abajo y la de abajo actúa hacia arriba, siendo mayor esta última dado que h2 h1.


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Los valores de estas dos fuerzas deben ser F1 = P1A y F2 = P2A, respectivamente, con lo cual la fuerza total resultante a la presión que aplica el fluido, ya que las fuerzas laterales se anulan, es:

F = F2 - F1

es decir, F = (P2 - P1)A,

o bien, F = (Dgh2 - Dgh1)A;

Finalmente se puede escribir como:

F = Dg(h2 - h1)A = DgHA;

El volumen del cilindro, y también el del líquido desalojado, es V = HA, por lo que encontramos que la fuerza que actúa hacia arriba y corresponde al empuje E es:

E = DgV [6]

Como la masa del líquido desalojado es, según [1],

m = DV,

el empuje corresponde a

E = mg,

E es igual al peso del líquido desalojado. Así, hemos demostrado, gracias a las matemáticas, el principio de Arquímedes.

No es muy difícil comprender que este es un resultado general; es decir, no depende de la forma del cuerpo que esté sumergido.

Empuje y peso aparente

Todos hemos experimentado la sensación de sentirnos más livianos cuando estamos sumergidos en agua. Ello no se debe a una reducción de nuestro peso, sino a la presencia del empuje.


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Si haces el experimento que se ilustra en la figura 70, podrás constatar que en apariencia el peso de una piedra se reduce al sumergirla en agua. Por ejemplo, si al colgar la piedra del dinamómetro este indica que el peso de la piedra es de 10 newton (a) y al sumergirla en agua (b) indica 8 newton, ello se debe a que sobre la piedra, además de la fuerza de gravedad, está actuando el empuje que ejerce el agua. El peso de la piedra es 10 newton, su peso aparente 8 newton y el empuje 2 newton.

Debes notar que, si consideramos que la densidad del agua es 1.000 kg/m3 y la aceleración de gravedad 10 m/s2, entonces, con la ecuación [6] podemos determinar el volumen de líquido desalojado y el de la piedra (que es el mismo). En efecto,

;

por lo tanto:

= 0,0002 m3 = 200 cm3

También es importante notar que si conociéramos el volumen de la piedra, la medición del empuje con esta metodología y la expresión [6] nos permitirían determinar la densidad D del líquido en que la hemos sumergido. Este es el principio del densímetro, instrumento para medir la densidad de líquidos.

Empuje y flotabilidad

Sabemos que algunos objetos flotan sobre los líquidos y otros se hunden. Más exactamente, como lo indica la figura 71, hay tres posibilidades. Si el peso del objeto es mayor que el empuje (a), este se hunde hasta llegar al fondo del recipiente; si es igual al empuje (b), permanecerá “entre dos aguas”; y si es menor que el empuje (c), el cuerpo saldrá a flote y emergerá del líquido, reduciéndose el empuje hasta hacerse igual al peso.


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En la figura 72 se ilustra este último caso con más detalle. En (a) el cuerpo está completamente sumergido, pero como el empuje es mayor que su peso, está ascendiendo. Luego llegará a la posición que se indica en (b), pero igual que antes, seguirá ascendiendo. Desde este momento en adelante parte del cuerpo quedará por encima del nivel del líquido y el empuje se empezará a reducir, hasta hacerse igual a su peso. En este momento el cuerpo flotará en equilibrio. Las flechas azules indican el sentido del movimiento del cuerpo. En los líquidos en general, en tanto, las burbujas de aire u otros gases ascienden igual que un corcho, y lo hacen por la misma razón.

Problema:

En la figura 73 se ilustra un trozo de madera que flota en equilibrio sobre el agua. ¿Qué parte de él sobresale del agua?

Si consideramos [1], tenemos que la masa del trozo de madera es: M = DV. Como la densidad de la madera es 0,42 g/cm3, tomando en cuenta las medidas dadas en la figura 73, tenemos que:


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M = 0,42 g/cm3•10cm•10cm•8 cm M = 336 g

Por lo tanto, su peso es

Fg = mg = 0,336 kg•10 m/s2 = 3,36 newton.

Esta fuerza debe ser igual al empuje que ejerce el agua, dado que la madera está en equilibrio. Luego, considerando [6] podemos escribir:

3,36 newton = 1.000 kg/m3 •10 m/s2•0,10 cm•0,10 cm• y

de donde y = 0,0336 m = 3,33 cm;

por lo tanto, como x + y = 8 cm, tenemos que

x = 4,64 cm.

Es importante advertir que el empuje no solamente actúa sobre cuerpos sumergidos en líquidos. En efecto, también actúa sobre los cuerpos sumergidos en la atmósfera. Por ejemplo, un globo lleno de helio, como el que sostiene la persona de la figura 74, asciende porque el empuje que el aire le aplica es mayor que su peso, siendo lo mismo lo que ocurre con los globos aerostáticos. Pero, por extraño que parezca, también actúa sobre las personas y todas las cosas que nos rodean. En otras palabras, cuando nos subimos a una pesa, ella marca un poco menos de lo que marcaría si la atmósfera no existiera. Por esta razón el procedimiento indicado en la figura 46 para determinar el “peso” del aire es incorrecto.

Hagamos una estimación del empuje que el aire le aplica a una persona. Si ella posee una masa de 60 kg y suponiendo que su densidad es igual a la del agua, tendremos que su volumen, considerando [1], es de 0,06 m3. Si la densidad del aire la consideramos igual a 1,29 kg/m3, entonces, según [6], el empuje que él ejerce sobre esta persona es del orden de 0,77 newton, que se puede despreciar si se lo compara con los 600 newton de su peso.

Ahora te mostraremos un juego entretenido. Introduce un gotario a medio llenar con agua en una botella plástica casi llena de agua, según se ilustra en la figura 75, y de modo que flote. Al cerrar la botella y presionar con los dedos sus paredes, podrás constatar que el gotario desciende, y al dejar de presionar la botella, asciende. Este juguete, conocido como ludión o diablillo de Descartes (pues a él se le atribuye su invención), se explica en base al principio de Arquímedes. ¿Cuál es esa explicación?


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Para que este juguete funcione como lo hemos descrito y sea sensible a la débil presión que con las manos ejerzamos sobre los costados de la botella, es preciso ajustar el agua dentro del gotario, de modo que cuando flote sobre el agua esté casi a punto de hundirse en ella.

La capilaridad y la tensión superficial

Al introducir diferentes objetos en agua u otros líquidos, observarás que las zonas en que dichos objetos están en contacto con la superficie de tales líquidos adoptan curvaturas especiales que llamaremos meniscos. Si el objeto es un tubo capilar, inferior a unos 4 mm de diámetro interior, observarás que el nivel que alcanza el líquido dentro y fuera del tubo es diferente. También podrás constatar que algunos líquidos mojan de manera diferente los objetos; pero en algunos casos los líquidos no mojan en lo absoluto a los objetos, como es el caso del mercurio y el vidrio. En la figura 76 se ilustran los distintos efectos señalados hasta aquí.

Estos fenómenos ocurren debido a que las moléculas de los distintos materiales interactúan con las moléculas de los líquidos y fluidos en general. Cuando el líquido moja al objeto, estas fuerzas son atractivas, y cuando no los mojan, repulsivas. Por otra parte, en las superficies de los líquidos estos átomos y moléculas se atraen entre sí más fuertemente que en otros lugares, produciendo lo que se denomina tensión superficial. El que los líquidos puedan ascender por delgados tubos se denomina capilaridad.

Al introducir un extremo de un tubo muy delgado de vidrio en agua, ésta asciende varios centímetros por el tubo, como se indica en la figura 77. Este ascenso depende del diámetro del tubo. Si agregas al agua una gota de tinta china, posiblemente verás que el colorante no asciende por el tubo. ¿Por qué ocurrirá esto?


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Hay papeles más absorbentes que otros. La publicidad de servilletas y toallas de papel suele destacar esta propiedad. La figura 78 muestra el diseño de un experimento que permite evaluar este aspecto. Corta tiras de igual ancho pero de distintos papeles y cartones e introduce sus extremos en agua. Después de un rato verás que el agua asciende más en unos que en otros. ¿Qué fenómeno es el que está ocurriendo aquí? ¿Qué tienen los papeles que permiten que esto ocurra?

Para medir la tensión superficial en líquidos se usa un dinamómetro de gran sensibilidad. Éste puede construirse con un alambre muy delgado, haciendo un resorte cuyas espiras posean unos 2 cm de diámetro y midan unos 10 cm de largo, dejando entre las espiras unos de 5 mm de distancia. En su extremo se hace una argolla lo más plana posible. Al introducir la argolla en agua, como se indica en la figura 79, se constata que al levantar el resorte éste se estira. El efecto es diferente con distintos líquidos, como aceite, mercurio, alcohol.

Una aguja de coser puede quedar sobre el agua sin que se hunda (figura 79), lo cual puede facilitarse si primero se pasa la aguja por una vela (parafina sólida). ¿Qué efecto producirá la esperma?


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Esta propiedad de los líquidos es responsable de que algunos insectos pueden caminar sobre el agua. Como dato curioso: si una piscina estuviera llena de mercurio en vez de agua, podríamos caminar por su superficie al igual que algunos insectos en el agua.

Si se disuelve un poco de jabón en agua, al introducir una argolla y sacarla se puede ver una delgada película de líquido que se sostiene en los bordes de la argolla. Soplando suavemente se forman hermosas burbujas que vuelan por el aire hasta reventar en el momento de tocar un objeto. Al agitar la superficie del agua jabonosa también podrás ver que en ella se forman numerosas burbujas. ¿Cómo explicas la formación de las burbujas?

Otra observación interesante que tiene relación con los hechos descritos son las gotas en diferentes líquidos; ¿serán todas las gotas de agua del mismo tamaño? ¿Qué pasa con gotas de agua, alcohol, aceite y mercurio si se colocan sobre la superficie horizontal de un vidrio? ¿Qué diferencia tiene una gota de agua, colocada sobre un vidrio horizontal, comparada con la que se forma en una superficie de teflón? ¿Por qué los gásfiter emplean huinchas de teflón en las uniones de las cañerías de agua?

La capilaridad es aprovechada por el reino animal y vegetal, siendo de gran importancia para la vida. Por ejemplo, en todos los organismos hay una red capilar que lleva los nutrientes a los tejidos y a los órganos a través de la linfa en los vegetales y de la sangre en los animales. La capilaridad contribuye significativamente a que la linfa llegue a más de 120 metros de altura en los grandes árboles.

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