física 3 –ecyt –unsam 2015fisicarecreativa.com/unsam_f3/recursos/clases_3+4.pdfque liga los...
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1
1
Física 3 – ECyT – UNSAM2015
Introducción al electromagnetismoDocentes:Diego RubíSalvador Gil
www.fisicarecreativa.com/unsam_f3
Clases 3 y 4
Campo y Potencial Eléctrico Ley de Gauss
2
Ley de Gauss
Clase 3� Revisión de los visto� Campo Eléctrico� Concepto de flujo de un campo
vectorial� Ley de Gauss- Ley fundamental� Aplicaciones
3
Leyes básicas
�Ley de Coulomb – Gauss Las cargas eléctricas se atraen o repelen
�Ley de Gauss Magnetismo – No hay polo magnéticos aislados
2
21Fd
qqK
e
⋅=
2
4
Leyes básicas
�Ley de Ampere – Las corrientes generan campos Magnéticos
�A Ley de Inducción de Faraday –Un campo magnético variables (flujos variable) genera un campo eléctrico o tensión
5
Propiedades de las cargasConservación de la carga
Cuantización de la carga
Ley de Coulomb
Principio de superposición
La materia es de naturaleza esencialmente eléctrica, de hecho es la fuerza eléctrica la que liga los electrones al núcleo
2
21
0
2
2112
4
1
d
d
qqkF e
⋅=
⋅=
πε
6
Comparación entre las Fuerzas Eléctricas y Gravitacionales.
� Junto a las fuerzas nucleares (Fuertes y débiles) son las cuatro fuerzas básicas del universo.
� Hay una gran semejanza matemática de la Ley de Coulomb y la Ley de Gravitación Universal de Newton.
� Semejanzas en r2 semejanzas en los productos mAmB y qAqB� Diferencias en las constantes� Diferencias en los signos.
2
21
r
qqkF
ee
⋅= 2
21
r
mmGFe
⋅=
3
7
Comparación entre las Fuerzas Eléctricas y Gravitacionales
Átomo de hidrógeno� K=8.99 109 N/m2c2
� G=6.67 10-11 N/m2kg2
� Me=9.11 10-31 kg
� Mp=1.67 10-27 kg
� e= 1.6 10-19C
2
21
r
qqkFe
⋅=
2
21
r
mmGFe
⋅=
Fe(N)= 8.2 10-8 N
Fg(N)= 3.6 10-47 N
Fe/Fg= 4.4 x 10-40
Las interacciones Eléctricas son Muchísimas más fuertes que las gravitatorias
8
Por lo tanto, la fuerza resultante sobre qa será
..+++= adacaba FFFFrrrr
∑=i
ai
ai
ia rr
qkq r
2
o escrita de la siguiente forma:
∑=i
ai
ai
iaa r
r
qqF
rr
3
04
1
πε
Principio de superposición
Superpoción Lineal de las Fuerzas
∑∑ ==i
i
i
i
i
iTotal rr
qkEE
rrr
3dq
r
rkEdETotal ∫∫ ==
3
rrr
9
CAMPO ELÉCTRICO
Campo Eléctrico;Fuerza por unidad decarga que se ejerce enun punto P de espaciosobre una carga de prueba
q0
CAMPO ELÉCTRICO de UNA CARGA PUNTUALQ0Q
Q0, carga de prueba 0q
FE
rr
=
EqFrr
⋅= 0rr
QE ˆ
4
12
0πε=
r
2
0
04
1
r
qQF
⋅=
πε
4
10
Líneas de Campo Eléctrico
�Idea introducida por Faraday.�Las líneas de campo en cada punto tienen la dirección del campo.
�El número de líneas por unidad de área, es proporcional a la intensidad del campo.
�Dan una idea grafica de la dirección e intensidad del campo
11
Fotocopias e Impresoras LáserFotocopiadora Impresora Láser
Cilindro Fotosensible
�El cilindro se carga
�La imagen reflejada descarga selectivamente
�El tonner se pega en la zona cargada
12
� Las líneas de campo son, si ambas cargas son de signo contrario:
Campo Eléctrico (para un dipolo eléctrico )
+Q
-Q+Q
-Q
Dipolo
5
13
Simetría� Teorema: El Campo eléctrico siempre esta contenido en el plano de simetría de una distribución de cargas
+ +
Plano de simetría
Plano de simetría
E E
+
+ +
14
Antisimetría� Teorema: El Campo eléctrico es siempre perpendicular al plano de simetría de una distribución de cargas
+ -Plano de simetría
Plano de simetría
E E
+ -
15
Dos cargas positivas distribución simétrica
Dipolo eléctricodistribución antisimétrica
Líneas de campo
Plano simetría
Plano simetría
Plano simetría
6
16
Permite calcular el campo creado por una distribución
de cargasr
r
rdqkr
r
qkE eii
i
ie
rr
r
∫∑ ⋅==→
33
)(
Distribuciones Continuas: densidades de carga :
�Volumétrica ρρρρ =dQ/dV, {C/m3}
�Superficial σσσσ =dQ/dA, {C/m2}
�Linealλλλλ =dQ/dL, {C/m}
Principio de superposición
SUMA
VECTORIAL
17
Líneas de campo en esferas y planos
Esfera con carganegativa
Plano positivo
Simetría esférica Simetría planar
Plano simetría
18
Campo de un Dipolo
+ -
y
y
d/2
θEx
d/2
r1θ
r2
El campo disminuye más rápido que para una carga puntual
Algo para recordar…
dr
q
r
d
r
qsen
r
qE
x 3
101
2
10
2
10
)1(
8
12/
4
1
4
1
πεπεθ
πε===4/
222
1 dyr +=
32/32
0
)2()1(
))2/(1(4
1
y
d
yd
qEEE xxx
+=+=
πε
+
−⋅⋅= ...
22
31
4
12
3
0 y
d
y
qdEx
πε
3
04
1
y
pEx ⋅≈
πε
......!2
)1(
!11)1( 2 +
−++=+ x
nnx
nx
n
dqp .≡
......8
3
2
31)1(
22/3 ++−=+ −xxx
2)2/( ydx =
dy >>
7
19
Campo de un Dipolo Ejercicio
Ex
El campo disminuye más rápido que para una carga puntual
Algo para recordar…
3
101
2
10
2
10
)1(
8
12/
4
1cos
4
1
r
p
r
d
r
q
r
qEx
πεπεθ
πε===4/
222
1 dyr +=
?)( =xEx
......!2
)1(
!11)1( 2 +
−+++=+ x
nnx
nx
n
dqp .≡
+ -
y
d/2
r1
r2
x
Ex
3
04
1)(
y
pyEx ⋅≈
πε
3
02
1
x
pEx ⋅≈
πε
2/1 dxr +=
2/2 dxr −=
)/1(1
2
2
1 xdx
r −≈−
)/1(1
2
2
2 xdx
r +≈−
20
Campo de hilo cargado (L, Q)
2
000 )/2(1
1
4
1
LyyE
y
+≈
λ
πε
El campo disminuye más lentamente que para una carga puntual
λ=Q/L
r
x
r
dx
r
dqdEy 2
0
2
0 4
1cos
4
1 λ
πεθ
πε==
y
y0
Ey
x-x
rθ
θ
r
∫ +
⋅=
2/
2/ 2/32
0
2
0
0 )(4
L
Ly
yx
dxyE
πε
λ
2
0
200
2/
0 2/32
0
2
0
0 )2/(
2/
2
1
)(4
2
yL
L
yyx
dxyE
L
y
+=
+
⋅= ∫
λ
πεπε
λE
2
0
22 yxr +=
21
Campo eléctrico sobre el eje de un anillo cargado, Q, a
dE
dExθ
rr
dqEd ˆ
4
12
0πε=
r
2
04
1
r
addE
θλ
πε=
θαλ
πεcos
4
12
0 r
addEx =
αθλ
πε
πd
xa
aEx ∫+
=2
02/322
0 )(
cos
4
12/322
0
2/322
0 )(4
1
)(
cos
2
1
xa
xQ
xa
aEx
+
⋅=
+=
πε
θλ
ε
Simetría
λ=Q/2π.a
8
22
Campo eléctrico sobre el eje de un disco uniformemente
cargado.
2/322
0 )(4
1
xa
xdQdEx
+
⋅=
πε
2/322
0 )(
2
4
1
xa
xdaadEx
+
⋅⋅⋅⋅=
πσ
πε
+−=
+
⋅⋅= ∫ 22
00 2/322
0
12)(2 xR
x
xa
daaxE
R
x ε
σ
ε
σ
σ =Q/πR2
Ex
23
Campo eléctrico sobre el eje de un disco uniformemente
cargado de radios R�∞
+−=
∞→ 220
12 xR
xLimER
x ε
σ
Ex
02ε
σ=xE
El campo es contante
24
Campo entre dos placas paralelas
++++++++++++++++
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Superposición �02ε
σ=xE
02ε
σ=xE
El campo uniforme confinado entre las placas
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
++++++++++++++++
0=xE
0=xE
0ε
σ=xE
9
25
Resumen de Campo Eléctrico� El Campo Eléctrico es un campo vectorial.
� Líneas de Campo: en cada punto tiene la dirección y sentido de la fuerza eléctrica.
� Simetrías
� Es una propiedad del punto
� Para calcular el campo de una distribución-Superposición
� Densidad de carga: λ,σ, ρ
� Campo de un Dipolo: p=q.d
� Campo de una línea de carga , Anillo, Disco, etc.
eFErr
//
rr
rdqkr
r
qkE eii
i
ie
rr
r∫∑ ⋅==
→
3
)(3
Concepto de Flujo
Flujo ≈≈≈≈ Lat. Fluxus ≈≈≈≈ Fluir, manar.El flujo de un campo de velocidad
está asociado al caudal o volumen del liquido que para en la unidad de tiempo.
vA
v.dt Q=dVdt=
= A.v.dt/dt
Q=A.v.
Concepto de FlujoCaudal = volumen del
liquido que para en la unidad de tiempo.
Q=dV/dt=
= A.v.dt/dt
vA
v.dt
v
v.dt
Q=A.v.
A A’θ A=A’.cos θ
Q=A.v=A’.v.cosθ
vAQrr
⋅=
10
28
FLUJO o descarga de un líquido
AvAvv
rr⋅==Φ ) cos( θ
AvAvv
rr⋅=⋅=Φ
∫ ⋅=Φ Sdvv
rr
dtdAdtvdVv⋅Φ=⋅= ).(
Definición de FlujoCampo Vectorial
� La “cantidad” líneas de campo
que atraviesan una superficie imaginaria S.
� Si tenemos un campo vectorial,
podemos en general definir un flujo que pasa por una
superficie S, asociado a dicho campo, definido por:
∫∫ ⋅=ΦSB
SdBrr
),,( zyxBr
),,( zyxBr
),,( zyxBr
Flujo Eléctrico- Ley de Gauss
� Es la cantidad de “líneas de campo que atraviesan las superficie S.”� Unidades de Flujo E= N-m2/C
∫∫ ⋅=ΦSE
SdErr
El flujo eléctrico encerrado por una superficie cerradaes igual a la carga neta encerrada dividida εεεε0
11
Flujo Eléctrico- Ley de Gauss
� Si la superficie encierra una carga Q0∫∫∫∫∫∫ ==⋅=ΦSS
SE dS
r
Q
r
dSQSdE
2
0
0
2
0
0
4
1
4 πεπε
rr
El flujo eléctrico encerrado por una superficie cerradaes igual a la carga neta encerrada dividida εεεε0
E
E
E
E Q0
0
02
2
0
0
44
1
επ
πε
Qr
r
QSdE
SE ==⋅=Φ ∫∫
rr
0
0
ε
QSdE
S=⋅∫∫
rr
32
Carl Friedrich Gauss 1777-1855Matemático, astrónomo
y físico alemán.
Contribuyó
significativamente en
muchos campos,
�teoría de números
�análisis matemático,
�geometría diferencial,
� geodesia,
� magnetismo
�óptica.
�"el príncipe de las
matemáticas"
�"el matemático más
grande desde la
antigüedad"
El cálculo de la órbita de Ceres
en 1801, como entretenimiento,
nombrado en 1807 director del
Observatorio Astronómico de
Göttingen
33
Flujo de campo
ε0Φ(S1)= +q
netaESqSdE =Φ=⋅∫ 00
εεrr
ε0Φ(S2)= -q
ε0Φ(S3)= 0
12
34
Ley de Gauss y Conservación de cargas
� Para un campo vectorial A cualquiera
)(sumideros fuentes de Intensidad. ∝∫∫S
SdArr
i=dq/dt ∫∫=s
SdJirr
.Q
Conservación de la carga
∫∫−=s
SdJdt
dQ rr.
J
J
J
J
35
Ley de Gauss del magnetismo
� No hay polos magnéticos aislados� Si B es campo magnético
� Como no hay polos magnéticos aislados
� Esta es ley de Gauss del magnetismo 0. =∫∫S
SdBrr
)(sumideros fuentes de Intensidad. ∝∫∫S
SdBrr
La ley de Gauss
La expresión anterior puede generalizarse para cualquier distribución de carga. El valor del la carga de segundo miembro es la carga neta interior a la superficie.
0
.ε
in
E
qSdE∫∫ =≡Φrr
La ley de Gauss y la ley de Coulomb tienen el mismo contenido físico. Sin embrago para caso no estáticos se considera al ley de Gauss como más fundamental. No tiene la implicancia de acción instantánea, implícitas en la ley de Coulomb.
13
Superficies GaussianasEs una superficie cerrada (imaginaria) que rodea una distribución de cargas.
0
.ε
qSdE
E ∫∫ =≡Φrr
0.∫∫ =≡Φ SdEE
rr
38
Ley de Gauss- Ley de Coulomb
� De la ley de Coulomb sabemos que:
� Por la simetría del problema:
� Ley de Gauss
∫∫∫∫ ⋅=⋅=Φ dSESdESE
rr
rr
qE ˆ
4
12
0πε
=r
ESdrr
//
Sdr
24 rEdSE
E⋅==Φ ∫∫ π
0/ εq
E=Φ
39
Ley de Gauss – ¿Cuándo se usa?
Sólo es útil para situaciones donde hay simetría.Hay que usar la simetría para saber dónde E es constante y cuál es su dirección.Hay que seleccionar una superficie cerrada en la cual E sea constante o donde el flujo sea cero (E perpendicular a la superficie).
14
Cuando conviene usar la ley de Gauss para calcular campos
� La Ley de gauss es de validez universal
� Es “útil” para calcular campo E, cuando por simetría podemos suponer que sobre una dada superficie E =constante y conocemos su dirección.
� Hay que seleccionar una superficie cerrada en la cual E sea constante o donde el flujo sea cero (E perpendicular a la superficie).
Ejemplo- Hilo delgado de cargaEste problema tiene Simetría cilíndrica.
• Tomamos una superficie Gauussina como se
ve el la figura.
• La carga encerrada es q=λλλλl
• Sobre las tapas ΦΦΦΦE=0, pues es
perpendicular a
• Sobre la cara lateral es paralelo a
• Por lo tanto
∫ =⋅⋅==Φ
π
ε
λπ
2
0
2o
rEEdSl
Sdr
dSEr
Er
Sdr
rE
λ
πε0
2
1=
rr
E
o
ˆ2
1 λ
πε=
r
42
Ley de Gauss- Campo de una placa plana
o
o
qEA
qAdE
ε
ε
=
=⋅∫∫rr
o
AAE
ε
σ=2
ε
σ
2=E
o
Eε
σ
2=
15
Ejemplo- Esférica maciza con una distribución uniforme de carga
Radio a
ra
∫∫∫ ==⋅=ΦSSSEdSEdSESdE ..
rr
2)( 4
1
r
QE
o
ar⋅=
> πε
r
a
r > a
0
2/4. επ QrE
E=⋅=Φ
1/r2
Ejemplo- Esférica maciza con una distribución uniforme de carga
Radio a
E
r a
∫∫∫ ==⋅=ΦSSSEdSEdSESdE ..
rr
ra
QE
o
ar 3)(4
1⋅=< πε
r < a
3
3
0
24.
a
rQrE
E επ =⋅=Φ
2)( 4
1
r
QE
o
ar⋅=
> πε
Ejemplo- Placa plana cargadaEsfera cargada uniformemente
E rr a
o
< =ρ
ε3E
a
rr a
o
> =ρ
ε
3
23
Palca plana con distribución
de carga uniforme
E
o
=σ
ε2
16
46
00
12
ε
σ
ε
σ==E
Dos placas conductoras
cargadas
Conclusiones
� La ley de Gauss es útil para determinar campos cuando hay simetría en el problema
� Ojo, Pero su validez es universal.
48
Potencial Eléctrico
Clase 4� Revisión de los visto� Campo Eléctrico- Ley de Gauss� Trabajo y energía� Concepto de Potencial eléctrico� Campo y Potencial� Aplicaciones
17
49
Expresión Matemática de la Ley de Gauss
� Electricidad: El flujo de campo = carga al interior de una superficie Gaussiana
� Magnetismo No hay polos aislados
� Conservación de cargas
0. =∫S SdBrr
0εinSqSdE =∫ ⋅
rr
∫−=S
SdJdt
dQ rr.
50
Ley de Gauss
El flujo de campo eléctrico a través de
cualesquier superficie cerrada (gaussiana),
es igual a la carga neta encerrada, por la
misma, entre la constante ε0.
netaESqSdE =Φ=⋅∫ 00
εεrr
�Si aplicamos la Ley de Gauss a un conductor, cargado y en estado estacionario (Electrostática) Entonces: No hay campo en su interior.
�Si tomamos una sup. Gaussiana, cercana a la superficie externa ���� qneta=0
�La carga en el conductor esta en la superficie.
Ley de Gauss - Conductores
netaSqSdE =⋅∫
rr
0ε
18
52
Ejemplo
Qi=q0
q0q0 Qext=q0
53
Superficies esféricas Gaussianas
a) carga puntual positiva
Flujo Positivo
a) carga puntual negativa
Flujo Negativo
54
Campo eléctrico de una carga puntual
r
EdA
Q
Considere una carga puntual q. El flujo en una esfera de radio r
será:
0
24
επ
QrEdAESdE ===⋅=Φ ∫∫
rr
netaES
QSdE =Φ=⋅∫ 00 εεrr
2
04
1
r
QE
πε=
Por la simetría del problema:
y E=E(r)
y
rErr
∝
2
0
.
4
1.
r
qQEqF
πε==
19
55
Campo eléctrico de una carga
puntual
2
0
.
4
1.
r
qQEqF
πε==
netaESqSdE =Φ=⋅∫ 00
εεrr
0
24
επ
qrEdAESdE ===⋅=Φ ∫∫
rr
2
0
1
4
1
rE
πε=
netaS
QSdE =⋅∫rr
0ε
La ley de Gauss es equivalente a la ley de Coulomb
56
Textos� R. Halliday, D. Resnick y M. Krane, Física para estudiantes de
ciencias e ingeniería, 4ª ed., vol. II (México, 1992).� Sears, F. et al., Física Universitaria: Volumen II (Addison Wesley
Longman, México D.F., 1999). � G. Wilson, Física, Prentice Hall, México, 1997. � D. Giancoli, Física: Principios y aplicaciones, Prentice Hall,
México, 1997.� Gettys, Keller, Skove Fisica Clásica y Moderna Mc Graw-Hill
México, 1996� http://www.anselm.edu/internet/physics/cbphysics/downloadsII.h
tml
� http://www.fisicarecreativa.com/unsam_f3/
57
Física 3 – ECyT – UNSAM2015
Introducción al electromagnetismoDocentes:Diego RubíSalvador Gil
www.fisicarecreativa.com/unsam_f3
Clase 5
20
58
Trabajo para mover una carga
∫∫ −==
2
1
2
1
2,1.. ldEqldFWrrrr
∫−=≡
2
1
2,1
12. ldE
q
WV
rr
Diferencia de Potencial= Trabajo por unidad de carga
Eqr
.Eqr
.Eqr
.
F F F1 2
59
Trabajo para mover una carga
Eqr
.Eqr
.Eqr
.
F F F
lEqWrr
∆=∆ ..
Potencial= Trabajo por unidad de carga
lEq
WV
rr∆−=
∆=∆ .
xEVx
∆−=∆ . x
VE
x ∂
∂−=
y
VE
y ∂
∂−=
z
VE
z ∂
∂−=
max
∂
∂−=
l
VE VE ∇−=
rr
60
Trabajo para mover una carga
Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial es el trabajo para traer una carga desde infinito
y
VE
y ∂
∂−=
z
VE
z ∂
∂−=
VE ∇−=rr
x
VE
x ∂
∂−=
∫−=≡
2
1
2,1
12. ldE
q
WV
rr
Si conocemos el potencial, podemos calcular el campo y si sabemos el campo, podemos calcular el potencial
21
61
Carga Puntual
Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial es el trabajo para traer una carga desde infinitoVE ∇−=
rr
∫−=≡
2
1
2,1
12. ldE
q
WV
rr
2
04
1
r
QE
πε=
=∆12
V
=−=−=−=∆ ∫∫∫2
1
2
1
2
0
2
1
124
r
r
r
rr
drQdrErdEV
πε
rr
−=−=∆
210
1212
11
4
1
rrVVV
πε
∞−=−=
11
4 20
122r
QVVV
πε
1= infinito
62
Potencial
� En general:
� El trabajo para mover una carga de 1 a 2 no depende del camino.
� La fuerza eléctrica (el potencial electrico) es conservativo
0.1,1
=−=∆ ∫C ldEWrr
63
Carga Puntual
Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial es el trabajo para traer una carga desde infinitoVE ∇−=
rr
∫−=≡
2
1
2,1
12. ldE
q
WV
rr
2
0
1
4
1
rE
πε=
No se puede mostrar la imagen en este momento.
r
QrV
04
1)(
πε=
∫∫∫=v r
dqrV
04
1)(
πεPor el teorema de superposición
rr
rdqkr
r
qkE
eii
i
i
e
rr
r∫∑ ⋅==
→
3
)(3 SUMA
VECTORIAL
SUMA Escalar
22
64
Trabajo y Energía Campo eléctrico no uniforme y
trayectoria no rectilínea
Debemos dividir la trayectoria
en pequeños desplazamientosinfinitesimales, de forma que
∫∫ ⋅−=⋅=B
Ao
B
A ext
ext
ABrdEqrdFWrrrr
∫ ⋅−==−B
Ao
ext
AB
ABrdE
q
WVV
rrEl potencial en este caso
será
B
AEr
Fr
rdr
Eqor
qo
65
Dipolo en campo Uniforme
-
+d
q
F=q.E θθτ senEdqsendF ..... == Eprrr
×=τ
θθθθ dsenEdqdsendFdW ⋅=⋅= .....
EpUrr
.)( =θ)(cos.. θdEpdW −=
EErF
r
Fr θ
θ
U
0 180º
Er
66
DÍPOLO ELÉCTRICOEs un sistema de dos cargas iguales y de signo contrario que se encuentran a pequeña distancia
Momento dipolar
Energía de un dipolo eléctrico
Trabajo necesario para girarlo en
contra de un campo eléctrico
Dipolo en un campo eléctrico uniforme
Eprrr
×=τ
EpUrr
⋅−=
23
67
Polarización Eléctrica
� Cuando se coloca una carga positiva, los átomos se polarizan o alinean con el campo
� Se rompe la simetría original, y los átomos se polarizarán, quedando la nube electrónica con carga negativa orientada hacia la localización de la carga positiva introducida. Ep
rr⋅= α α= Polarizabilidad
68
Dipolos
� Esta orientación se conoce como polarización en donde un polo de los átomos está más positivamente cargado y el otro más negativamente cargado.
� Cada átomo polarizado de esta forma se convierte en un dipolo.
� Los dipolos de los átomos tienden a contrarrestar el efecto del campo eléctrico producido por la carga positiva introducida.
� Por lo tanto, el campo eléctrico en cualquier punto del material será distinto al campo eléctrico que mediríamos cuando colocamos la misma carga eléctrica positiva en el espacio libre, sin la presencia del material y sus átomos formando dipolos.
69
POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES
�Para una distribución discreta de cargas
∑ ∑==n n n
n
n r
qVV
04
1
πε
�Para una distribución continua de cargas
⇔
�Ley de Gauss
∫ ∫==r
dqdVV
oπε4
1
netaS
QSdE =⋅∫rr
0εEn un dado problema, ¿qué ley uso o qué calculo primero, el campo E o el potencial V(r)?
VE ∇−=rr
∫∞
−=r
ldErVrr
.)(
24
70
Cascarón Esférico hueco
=
0
)(2
r
Qk
rE eR
Q
r ≥ R
r ≤ R
E(r)
Hay simetría ���� Ley de Gauss
Primero el campo E
71
Potencial eléctrico
en el interior y el exterior de un cascarón esférica de carga.
Cascarón Esférico hueco
=
R
Qk
r
Qk
rV
e
e
)(
r ≥ R
∫∞−=r
drrErV ').'()(
=
0
)(2
r
Qk
rE e
r ≤ R
Después el potencial
72
Recordando la definición de
momento dipolar eléctricoqap ⋅= 2
22
ˆ.
4
1 cos
4
1
r
rp
r
pV
oo
r
πε
θ
πε=
⋅=
�V = 0 para α = 90º
No se requiere trabajo para llevaruna carga de prueba desde elinfinito hasta el dipolo a lo largode la línea perpendicular al puntomedio entre las dos cargas.
Dipolo - +
2a
P=2a.q-q q
- +
rθ
r1r1
rarrvr
+=1 θcos2
222
1⋅⋅−+= rarar
)cos)/(1(1
θ⋅−≈ rarr
)cos)/(1(2
θ⋅+≈ rarr
No hay simetría – Primero V(r)
25
73
Campo creado por un dipolo
� Dipolo = carga positiva y carga negativa de igual valor (q) situadas a una distancia muy pequeña ( d = 2a ).
� Aproximación r>> l
- +-a a
rr-a
r+a
)()(33
arar
qkar
ar
qkE
rrrr
rrrr
r+
+
−+−
−=
dqprr
= Momento dipolar - +
−
⋅=
⋅∇−=∇−= p
r
r
r
rp
r
k
r
pkVE
rrrr
rrr )(3
cos32
θ
X
Z
Y
dr
Complicado Simple
74
CONDUCTOR EN EQULIBRIO ELECTROSTÁTICO
Conductor: Material que se caracteriza por tener cargas
libres que pueden moverse en su interior.
Si sometemos un conductor a un campo eléctrico externo, su cargalibre se redistribuye hasta anular el campo eléctrico en su interior. En
estas condiciones se dice que el conductor está en EquilibrioElectrostático (E’ = Eo).
+++++++++++++ oE
r
'Er
Cualquier exceso de carga se colocará enla superficie del conductor, ya que el campoeléctrico externo no es lo suficientementeintenso como para vencer las fuerzas deligadura.
75
Condiciones que se deben cumplir en todo conductor
I
Toda la carga libre de un conductor se coloca en su
superficie.
Dado un conductor, supongamos unasuperficie gaussiana justo en el interior dela superficie del conductor. Como E =0dentro del conductor, también será nuloen todos los puntos de la superficiegaussiana. Por lo tanto el flujo a través dela superficie del conductor es cero.
Por el Teorema de Gauss
o
q
ε=Φ int
Como 0=Φ 0int =q
Por lo tanto si existe carga debe estar en la superficie del conductor
Conductor
26
76
El campo eléctrico en la superficie del conductor es
perpendicular a dicha superficie y valeoε
σ
Para hallar el campo eléctrico en lasuperficie del conductor consideremosun elemento infinitesimal plano, con
densidad superficial de carga σ. Comosuperficie gaussiana tomamos uncilindro con una cara en el exterior yotra en el interior del conductor
Si el conductor está en equilibrio electrostático, el E en la superficiedebe ser perpendicular a dicha superficie. Así, sólo hay flujo a través dela cara superior.
o
intqs
ε==⋅=Φ ∫ EsdE
rr
s q σ=into
Eε
σ=
Er
77
Distribución esférica, r ≥R
Distribución uniforme, r ≤R
2
04
1
r
QE
πε=
3
04
1
R
rQE
⋅=
πε
Esfera cargada
R
E(r)
78
Distribución esférica, r ≥R
Carga uniforme, campo r ≤R
2
04
1
r
QE
πε=
3
04
1
R
rQE
⋅=
πε
Esfera cargada
r
QrV
04
1)(
πε=
)(2
1
4
1)(
3
2
0
RVR
rQrV +
⋅−=
πε
−=
2
2
0 22
3
4
1)(
R
r
R
QrV
πεR
27
79
Ejercicio: Ley de Gauss:
Cascarón Esférico
Calcular Campo y Potencial en todo el espacio
R1 R2
r
80
2
04
1
r
qE
πε=
Cascaron esféricaUsando la ley de Gauss y las propiedades de simetría:
Para r < R2
0=EEntre a r < R2
Para r >R1
rrr
E0
3
2
033
4
4
1
ε
ρπρ
πε==
)(433
2
3
1RRq −= πρ
81
Problema 1� Calcular Campo y Potencial para:� Ley de Gauss (Calculamos E, por la simetría del
problema)
+Q
a
b
ra b
r
E
V(r)a b
Dentro del conductor E=0
+
+
+
+
+
++
+
+
+-
--
-
--
-
-
-
28
82
Problema 2
[ ]
−≈+=
−
2
22/122
42
11
1)2/(
1
x
d
xdx
r
-2Q
+Q
+Q
d/2
d/2
r
x
E
−=+
−=
xrkQ
r
Qk
x
QkxV
1122
2)(
222 )2/(dxr +=
2
2
2
2
8
1
42
11
111
x
d
xx
d
xxr−=−
−=≈−
3
2
82)(
x
QdkxV −=
4
2
43)(
x
QdkxE −=
83
Electrostática
Campo electrostático y potencial
84
SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
Vamos a suponer una región del espacio en la que existe un
campo eléctrico, representado por sus líneas de campo. Eltrabajo necesario para desplazar una carga de prueba, qo,una distancia infinitesimal a la largo de una de estas líneasserá
En términos de incrementos
rEVrr
∆⋅−=∆E alar perpendicu rr
r∆ 0=∆V V constante
E a paralelo rr
r∆ Variación máxima de
potencial
29
85
Superficies equipotenciales
Es el lugar geométrico de todos los puntos que se
encuentran al mismo potencial. Cumplen la condición deencontrarse en un plano perpendicular al campo eléctrico
El trabajo desarrollado para mover una partícula de un
punto A a otro punto B a lo largo de una superficieequipotencial es nulo, ya que
o
ABAB
q
WVV =−
A lo largo de una
superficie equipotencial
BA VV = 0=ABW
86
Ejemplos de superficies equipotenciales
87
Conductor en un campo eléctrico
� El campo interior siempre es nulo.
� Deforma las líneas de campo exterior.
� Se produce una redistribución de carga en la superficie debido a la fuerza eléctrica.
� Sobre la superficie del conductor el campo es siempre perpendicular a al superficie
30
88
Potencial eléctrico
� La fuerza eléctrica se puede expresar en función del campo eléctrico.
� Por ser conservativa
� Potencial eléctrico
� Campo eléctrico = gradiente del potencial eléctrico
� Unidades : el Voltio
)()( rEqrFrr
= )(rUFrrr
∇−=
q
UV =
Energía potencial
Carga
)(rVErrr
∇−=
[ ] [ ]CJVV /==
Se puede elegir el origen de potencial
89
Superficies equipotenciales
�El potencial es constante en todos sus puntos.
�El vector gradiente�es ortogonal a S.
�El gradiente va de �menores a mayores �valores de V.
1U
ctezyxV =),,(
V0
V1
V2
VN
0|||| =−=∆⋅∇−=∆⋅ ii VVrVrErrrr
ij
ij
VV
VVrVrE
>
<−−=∆⋅∇−=∆⋅ ⊥⊥ 0)(rrrr
Vectores campo eléctrico
90
Superficies equipotenciales
Campo producido por un dipolo
Campo producido por una carga puntual
Campo uniforme
Superficie equipotencial Campo eléctrico
31
91
Referencias� Física para estudiantes de ciencias e ingeniería - R. Halliday, D.
Resnick y M. Krane, 4ª ed., vol. II (México, 1992).� Física II - SERWAY R. FISICA ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO Ed.
CENGAGE LEARNING- Mexico 2003 � Física Universitaria: Volumen II Sears, F. et al., (Addison Wesley
Longman, México D.F., 1999). � G. Wilson, Física, Prentice Hall, México, 1997. � Física: Principios y aplicaciones, D. Giancoli, Prentice Hall, México,
1997.� Física Clásica y Moderna Gettys, Keller, Skove -Mc Graw-Hill
México, 1996� http://www.anselm.edu/internet/physics/cbphysics/downloadsII.html
� http://www.fisicarecreativa.com/unsam_f3/
92
Problema 3
93
32
94
Agradecimiento
Algunas figuras y dispositivas fueron tomadas de:
� Clases de E. y M.de V.H. Ríos – UNT Argentina
� Clases E. y M. del Colegio Dunalastair Ltda. Las Condes, Santiago, Chile
� Ángel López
FIN