1

Física.

Introducció: magnituds escalars i vectorials Recordem que una MAGNITUD física és aquella propietat associada a la matèria (o energia) que es pot mesurar o calcular. Si per definir una magnitud física de forma precisa necessitam conèixer la seva direcció i sentit a més del seu valor numèric, estam davant d’una MAGNITUD VECTORIAL. P.e.: la velocitat (anava a 20 km/h cap a …). Pel contrari, si no té sentit preguntar-se cap a on, estam davant d’una MAGNITUD ESCALAR. P.e.: la temperatura (p.e. 25 ºC)

MAGNITUDS VECTORIALS (cap a on?)

MAGNITUDS ESCALARS

Velocitat Temperatura

Acceleració Pressió

Posició a l’espai Longitud

Força Energia

Pes (és una força) Massa

Superfície Volum Les magnituds vectorials es representen mitjançant vectors que són segments orientats:

2

Un vector ve definit per:

- punt d’aplicació - direcció - sentit - mòdul, longitud,

intensitat o magnitud.

Els vectors situats sobre els eixos tenen un signe associat al seu sentit: Cap a dalt o a la dreta + Cap a baix o a l’esquerra -

Tema 1. Cinemàtica -El moviment es pot definir com el canvi de posició respecte d’un punt o un

sistema de referència, en un temps determinat. -La trajectòria és el camí seguit per un cos en moviment. O el conjunt de punts per on ha passat el mòbil.

3

-Temps: t , t0 (el subíndex “sub-zero” vol dir “inicial”)

-Temps transcorregut: Δt = t - t0 (“Δ” representa la lletra “D” majúscula grega: “delta” i es llegeix “delta t” o “increment de t”)

POSICIÓ RESPECTE D’UN PUNT (l’origen de posicions): -> ->

Vector de posició: r , r0 Vector de posició sobre l’eix X (es pot ometre el signe de vector per comoditat): x , x0

Vector de posició sobre l’eix Y (es pot ometre el signe de vector per comoditat): y , y0 Posició sobre la trajectòria (no és vectorial): s, s0

DESPLAÇAMENT -> -> ->

- Vector desplaçament: Δr = r - r0 (sempre en línia recta) - Vector desplaçament sobre l’eix x (es pot ometre el signe de vector): Δx = x - x0

Vector desplaçament sobre l’eix y (es pot ometre el signe de vector): Δy = y - y0 - Desplaçament sobre la trajectòria (no és vectorial) : Δs= s - s0

ESPAI (e) o DISTÀNCIA (d) RECORREGUDA És el que quedaria registrat en un compta-quilòmetres. És la longitud de la trajectòria.

d = Δs (si no hi ha retrocessos)

d = Δr ; d= Δx ; d= Δy (si la trajectòria és recta i no hi ha retrocessos)

4

vector (2 o 3 dim.)

sobre eix X (unidimens.)

sobre eix Y (unidimens.)

sobre la trajectòria

posició

-> r =(x,y)

x

y

s

desplaça-ment

-> -> -> Δr = r - r0

Δx= x- x0

Δy = y - y0

Δs= s - s0

VELOCITAT MITJANA espai (e) o distància (d) recorreguda d Vm = -------------------------------------------------- = ---- (m/s , km/h) temps transcorregut Δt

5

-> -> vector desplaçament Δr

Vector velocitat mitjana: Vm=-----------------------------= ----- temps transcorregut Δt

Δx Si el moviment és rectilini sobre l’eix X, sense retrocés: Vm = -------

Δt VECTOR VELOCITAT INSTANTÀNIA EN UN PUNT -> -> -> vector desplaçament infinitesimal Δ r d r(t) V = -------------------------------------------- = lím ------- = ------

temps transcorregut infinitesimal Δ t -> 0 Δ t d t

El vector velocitat instantània és la derivada del vector de posició respecte del temps. El vector velocitat instantània es dibuixa tangent a la trajectòria (gràfic y//x) (en cada punt).

El vector velocitat instantània ens informa de la direcció i el sentit del moviment. En un gràfic posició/temps (s, x o y//t), la velocitat instantània és el pendent de la recta tangent en cada punt: pendent gran => gran velocitat. En un gràfic x//t, la derivada de la funció x(t) respecte del temps, dx(t)/dt en cada punt, és el pendent de la recta tangent en aquest punt. (dx(t)/dt = velocitat instantània)

6

y=f(x)= 4x3+2 ; y’=dy/dx=3·4·x3-1=12·x2

https://www.geogebra.org/m/baxuqn4r

EQUACIÓ DE LA TRAJECTÒRIA

-> Exemple: Donada l’equació del moviment, r(t)=(x,y)= ( 2t , 6t-2t2) m l’equació de la trajectòria s’obté expressant y en funció de x: x= 2t ---> t= x/2 ( aïllant el temps en x, i substituint-lo en y)

y= 6t-2t2 ---> y= 6·x/2 - 2·x2/4 -----> y = 3x - x2/2

VECTOR ACCELERACIÓ -ACCELERACIÓ MITJANA -> -> -> -> v- v0 Δv am = ------- = ------- ( m/s2 ) indica els canvis del vector velocitat amb t - t0 Δt el temps

7

- ACCELERACIÓ INSTANTÀNIA -> -> -> -> vector variació de velocitat infinitesimal Δ v d v(t) d2 r(t) a = ------------------------------------------------------ = lím ------ = ------ = ------

temps transcorregut infinitesimal Δ t -> 0 Δ t d t d t2

El vector acceleració instantània és la derivada del vector velocitat respecte del temps o també la segona derivada del vector de posició respecte del temps. A l’hora de dibuixar el vector acceleració sobre un mòbil que descriu una trajectòria curvilínia, és un vector cap a l’interior (la concavitat) de la trajectòria.

COMPONENTS INTRÍNSECS DE L’ACCELERACIÓ Hi ha dos tipus d’acceleració:

Acceleració tangencial (mitjana i instantània) (tangent a la trajectòria com la velocitat)

v - v0 atm = ------- ( m/s2 )

t - t0 _____ d v d (V vx2+vy2 )

at = -------- = -----------------------------

d t d t

Indica variacions de mòdul de la velocitat És la derivada del mòdul del vector velocitat respecte del temps

8

Acceleració normal o centrípeta (an o ac)

(perpendicular a at, cap al centre de curvatura)

v2

an = -------- ( m/s2 ) R R = radi de curvatura traject.

Indica variacions de direcció de la velocitat. an en moviments rectilinis val zero: an =0

ATENCIÓ: TOT MOVIMENT QUE SIGUI CURVILINI, TÉ an

MOVIMENT RECTILINI UNIFORME (MRU) Trajectòria: recta (suposarem sobre l’eix X) Velocitat instantània = Velocitat mitjana V = Vm

Acceleració = 0 (at i an = 0)

9

EQUACIONS ( eix X)

VELOCITAT (m/s) DESPLAÇAMENT (m) POSICIÓ (m) o EQUACIÓ DEL MOVIMENT

Δx x - x0

v = ----- = --------

Δt t - t0

Δx = v. Δt

x = xo + v. Δt en matemat. (y =m·x + b)

REPRESENTACIONS GRÀFIQUES MRU En gràfics posició-temps (s, x o y // t ) el pendent m=(x-x0)/t-t0 és la velocitat.

GRÀFIC FORMA PENDENT VALOR inicial

Posició // temps RECTES amb pendent que representa la velocitat

+: V>0 (mou cap a la dreta) -: V<0 (mou cap a l’esquerra)

xo

Velocitat // temps rectes HORITZONTALS

0 v=v0

10

11

MOVIMENT RECTILINI UNIFORMEMENT ACCELERAT o VARIAT (MRUA) Trajectòria: recta (suposarem sobre l’eix X) Velocitat instantània: varia uniformement v - v0

Acceleració: an=0 at= -------- és constant t - t0

12

MRUA:

ACCELERACIÓ (m/s2)

VELOCITAT (m/s) POSICIÓ (m) o EQUACIÓ DEL MOVIMENT

v - v0 Δv a= -------- = ------ t - t0 Δt

v = v0 + a. Δt (recta) v2 = v0 2 + 2. a. Δx

a.Δt2 x = xo + v0. Δt + ------ 2 desplaçament: a.Δt2 Δx = v0. Δt + ------ 2

MRU:

ACCELERACIÓ VELOCITAT (m/s) POSICIÓ (m) o EQUACIÓ DEL MOVIMENT

a= 0

Δx x - x0

v = ----- = --------

Δt t - t0 v = vm

x = xo + v. Δt desplaçament: Δx = v. Δt

13

GRÀFICS DEL MRUA http://www.educaplus.org/play-238-Graficas-del-movimiento.html

MRU MRUA x // t En els dos, el pendent és la v

v // t En els dos el pendent és l’a(t)

A partir d’un gràfic v//t es pot obtenir directament l’espai recorregut en un temps, calculant l’àrea compresa entre la

14

corba i l’eix d’abscises. Aquesta àrea tendrà unitats de longitud

PUJADA I CAIGUDA LLIURE CASOS DE MRUA

POSICIÓ/ DESPLAÇAMENT

VELOCITAT ACCELERACIÓ

PUJADA LLIURE

Canviar x per y (vertical)

Dalt, quan y= ymax v=0 (canvi de sentit)

a = g= -9,8 m/s2

CAIGUDA LLIURE

Canviar x per y (vertical)

Dalt, quan y= ymax v0=0 (repòs inicial)

a= g= -9,8 m/s2

No es recomana aprendre’s les equacions marcades amb fons gris

ACCELERACIÓ (m/s2)

VELOCITAT (m/s) POSICIÓ (m) o EQUACIÓ DEL MOVIMENT

v - v0 Δv a= -------- = ------- t - t0 Δt

v = v0 + a. Δt (recta) v2 = v02 + 2. a. Δx

a·Δt2 x = xo + v0. Δt + ------ 2 desplaçament: a·Δt2 Δx = v0. Δt + ------ 2

pujada lliure: dalt de tot: v=0 a=-9,8 m/s2≈ -10 m/s2

v = v0 + a. Δt v2 = v02 + 2. a. Δy dalt de tot: v=0

a.Δt2 y= yo + v0. Δt + ------ 2 a.Δt2 Δy = v0. Δt + ------ 2

15

caiguda lliure: dalt de tot: v0=0 a=-9,8 m/s2≈ -10 m/s2

v = a. Δt v2 = 2. a. Δy dalt de tot: v0=0

a.Δt2 y= yo + ------ 2 a.Δt2 Δy = ------ 2

GRÀFICS DE LA CAIGUDA LLIURE

a= -9,8 m/s2 ; x-->y

16

Composició de moviments

17

MOVIMENTS CIRCULARS

18

-MCU (Moviment Circular Uniforme) Trajectòria: una circumferència de longitud 2·π·R metres i angle 2π rad

VELOCITAT

ACCELERACIÓ

UNIFORME en mòdul o intensitat Δs (Δx) v = vm= ------ Δt

v - v0 at= -------- = 0 ; t - t0

UNIFORMEMENT VARIADA en direcció

v2

an= ------- =ctant R

En general, hi ha dos tipus d’acceleració: acceleració tangencial (tangent a la trajectòria)

indica canvis de valor o mòdul del vector velocitat

v - v0 Δv at= -------- = ------- t - t0 Δt dv

19

at= -------- dt

Acceleració normal o centrípeta (perpendicular a la tangencial)

indica canvis de direcció del vector velocitat

v2

an= ------- R

CAP MOVIMENT RECTILINI TÉ an

TOT MOVIMENT CURVILINI TÉ an posat que el vector velocitat, que sempre és tangent a la trajectòria, canvia de direcció. També pot tenir at , si la velocitat varia en valor o mòdul.

PERÍODE (T) d’un MCU : és el temps en fer una acció o volta (segons/volta) FREQÜÈNCIA (f) d’un MCU : són les accions o voltes en cada unitat de temps (voltes/segon, Hz o 1/s=s-1) Sempre es compleix que un és l’invers de l’altre:

1 T = -----

1 f = -----

T. f = 1 2 segons 1 volta

20

f T ------------ . --------------- = 1 1 volta 2 segons

LLETRA GREGA “OMEGA” majúscula i minúscula

LLETRA GREGA “PHI o FI” majúscula i minúscula

LLETRA GREGA “ALFA” majúscula i minúscula

QUÈ ÉS UN ANGLE D’ 1 RADIANT? LONGITUD D’UNA CIRCUMFERÈNCIA

6,28 (2·π) vegades el radi= 2·π ·R

ANGLE D’UNA CIRCUMFERÈNCIA

360º = 2·π radiants = 6,28 rad 180º = π rad

21

57,3º = 1 rad

1 radiant és l’angle que correspon a un arc de longitud igual al radi (Δs=R)

https://ca.wikipedia.org/wiki/Radian#/media/File:Circle_radians.gif

MAGNITUDS velocitat

distància recorreguda

posició

Lineals ( en metres…)

Δs (Δx) v = ------ (m/s) Δt si tenc T i R: 2·π·R v =-------- (m/s)

T

arc (m) recorregut: Δs= v · Δt

pos. lineal (m) s = s0 + v ·Δt x = xo + v·Δt

22

Angulars (en radiants… “radianes”

Δφ ω =----- (rad/s) Δt si tenc T: 2·π ω = ----- (rad/s) T

angle (rad) recorregut Δφ=ω· Δt

pos. angular (rad) φ=φ0 + ω ·Δt

Recorda: 1volta = 2·π·R (metres) = 2·π (radiants) Sempre: MAGNITUD LINEAL (m …) = MAGNITUD ANGULAR (rad …) · RADI

v = ω · R velocitat lineal (m/s) = velocitat angular (rad/s) x Radi

Δs = Δφ · R dist. o arc recorr. (m) = angle recorr. (rad) x Radi

23

MCUA: Mov. Circular Uniformement Accel. Trajectòria: una circumferència de longitud 2·π·R metres i angle 2π rad.

VELOCITAT

ACCELERACIÓ

UNIFORMEMENT VARIADA en mòdul o intensitat v = v0 + at· Δt v2 = v02 + 2· at· Δs

v - v0 at= -------- = ctant (0 EN MCU) t - t0

VARIADA en direcció v2

an= ------- (ctant. EN MCU) R

φ o Δφ (phi) posició angular o angle i angle recorregut (rad)

ω (omega) velocitat angular (rad/s)

α (alfa) acceleració angular (rad/s2)

MAGNITUDS lineals (m, m/s, m/s2)

angulars (rad, rad/s, rad/s2)

acceleració v - v0 at= -------- = ctant t - t0

ω - ω0 α= -------- = ctant t - t0

velocitat v = v0 + at· Δt v2= v02 + 2· at· Δs

ω= ω0 + α· Δt ω2= ω02+ 2· α· Δφ

desplaçament (arc o angle recorregut)

at·Δt2 Δs = v0·Δt + ------- 2

α·Δt2 Δφ = ω0· Δt + ------ 2

posició at·Δt2 s= so+ v0·Δt + -------- 2

α·Δt2 φ=φo+ ω0· Δt + -------- 2

24

MAGNITUD LINEAL (m …) = MAGNITUD ANGULAR (rad …) · RADI

v = ω · R velocitat lineal (m/s) = velocitat angular (rad/s) x Radi

Δs = Δφ · R dist. o arc recorr. (m) = angle recorr. (rad) x Radi

at = α · R accel. tangencial (m/s2) = accel. angular (rad/s2) x Radi RECORDATORI:

25