fraktÆly { struŁný œvod a płehledkfe.fjfi.cvut.cz/~velechov/fractal.pdf · Úvod fraktÆly {...
TRANSCRIPT
Úvod
Fraktály – Stručný úvod a přehled
Jan Velechovský
KFE, FJFI ČVUT
27. dubna 2009
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod
1 ÚvodDimenzeKonstrukcePřehledUkázkaAplikaceZávěrOdkazy
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod
Motivace
Benoıt Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature
Clouds are not spheres, mountains are not cones,coastlines are not circles, and bark is not smooth,
nor does lightning travel in a straight line.
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod
Historie
Název Fractalrok 1975Benoıt Mandelbrot (∗1924), IBM Research
How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarityand Fractional Dimension
objekt, jehož Hausdorffova dimenze je větší než topologická
Již dříve byly známy matematické konstrukce, problém sezobrazením
Gottfried Leibniz (1646 – 1716)rekurzivně zkonstruoval první soběpodobný objekt – přímku
Karl Weierstrass (1815 – 1897), Helgevon Koch (1870 – 1924) – Kochova křivka
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod Dimenze
Dimenze fraktálu
Hausdorffova dimenze df - formální definice poměrně složitá
M(L) ∝ Ldf , kde
L . . . Charakteristický rozměr objektuM(L) . . . Hmotnost objektu
Například pro plošný objekt
ρ =M(L)plocha
∝ Ldf
L2 ∝ Ldf−2
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod Dimenze
Dimenze fraktálu
Alternativní zavedení, vhodné pro numerické vyčíslení
N útvarů velikosti r potřebných k zakrytí objektu
r → 0
N(r) ∝ 1rdf→ df = −∆ lnN(r)
∆ ln r
Obrázek: K definici dimenze, převzato z [1]
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod Konstrukce
Konstrukce fraktálů
Mnoho možností, například:
V přírodě
Afinní transformace (chceme soběpodobný objekt)
Zkoumáme konvergenci na množině
Buněčné automaty (Cellular automata)
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod Konstrukce
V přírodě
Obrázek: Romanesco broccoli
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod Konstrukce
Afinní transformace
Obrázek: Fraktál vytvořený afinní transformací pro 100 000 iterací
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod Konstrukce
Zkoumáme konvergenci na množině
Obrázek: Mandelbrotova množina
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod Konstrukce
Buněčné automaty (Cellular automata)
Obrázek: http://mathworld.wolfram.com/Rule90.html
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod Přehled
Cantorovo diskontinuum
Obrázek: Cantorovo diskontinuum 1D a 2D
je nespočetná množina
je perfektní množina (je rovno množině svých limitních bodů)
je řídká množina
je uzavřená množina
má Lebesgueovu míru 0
má Hausdorffovu dimenzi ln 2ln 3
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod Přehled
Sierpinského trojúhelník
Obrázek: Sierpinského trojúhelník a pyramida
poprvé popsán roku 1915, Wac law Sierpinski (1892 – 1969)
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod Přehled
Mandelbrotova množina
Obrázek: Mandelbrotova množina, detail okraje
množina c ∈ C, pro která
limn→∞
‖zn‖ 6=∞, kde z0 = 0, zn+1 = z2n + c
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod Ukázka
Vytvořme si vlastní fraktál
kfe.fjfi.cvut.cz/˜ velechov/mandel.c
kfe.fjfi.cvut.cz/˜ velechov/sharp.c
Zkompilujeme, např: gcc -o sharp sharp.c -lm
Spustíme, přesměrujeme výstup do souboru:./sharp > sharp.dat
Zobrazíme: gnuplot >>> p ’sharp.dat’
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod Aplikace
Použítí obecně
Generování různých povrchů v PC grafice
Komprese obrázků
Medicína - měření Hausdorffovy dimenze částic krve, mozku
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod Aplikace
Aplikace ve fyzice
Atraktory - problém tří těles, počasí
Fázové přechody
Brownův pohyb, DLA - en.wikipedia.org/wiki/DLA
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod Odkazy
Zajímavé zdroje (1)
Wikipedia.org. . .mnoho informací, můžeme začít napříkladtady:
en.wikipedia.org/wiki/Fractalen.wikipedia.org/wiki/List of fractals by Hausdorff dimensionen.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot seten.wikipedia.org/wiki/Koch snowflake
Pavel Tišnovský - Seriál Fraktály v počítačové grafice(82 článků):
www.root.cz/serialy/fraktaly-v-pocitacove-grafice
Rešerše - Počítačové generování fraktálních množin:kmlinux.fjfi.cvut.cz/˜ pauspetr/html/skola/. . .
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled
Úvod Odkazy
Zajímavé zdroje (2)
Buněčné automaty:en.wikipedia.org/wiki/Cellular automatonmathworld.wolfram.com/ElementaryCellularAutomaton.htmlmathworld.wolfram.com/SierpinskiSieve.htmlherodes.feld.cvut.cz/mereni/dema/alife/math.bu.edu/DYSYS/applets/chaos-game.html
[1] A Survey of Computational Physics: IntroductoryComputational Science,Rubin H. Landau, Manuel José Páez & Cristian C. Bordeianu,Princeton University Press, ISBN: 0691131376
Introduction to Nonlinear Physics, Lui Lam,Springer, ISBN: 0-387-40614-X
Jan Velechovský Fraktály – Stručný úvod a přehled