fractal_1 mat sec

Nue

vaed

icin Desarrollar competencias

para la sociedad del conocimiento

DAVID BLOCK

SILVIA GARCA

MATEMTICAS SECUNDARIA PRIMER GRADO

Direccin de contenidos y servicios educativos Elisa Bonilla Rius

Gerencia de publicaciones escolares Felipe Ricardo Valdez Gonzlez

Coordinacin editorial Ernesto Manuel Espinosa Asuar

EdicinCsar Jimnez EspinosaAlberto Lara CastilloArmando Solares Rojas

Revisin tcnicaLaura ResndizAlicia Vicua Guante

AutoresDavid Francisco Block Sevilla, Silvia Garca Pea

ColaboracinMnica de Lourdes Valencia (pginas 68, 69, 120, 121, 178, 179, 218 y 219)Ana Laura Barriendos (pginas 256, 257)

Coordinacin de correccinAbdel Lpez Cruz

CorreccinEquipo SM, Daniel Garca

Direccin de arte y diseoQuetzatl Len Calixto

Diseo de la serieJess Garca, Herminia Olvera

Diseo de portadaSegundo Gerardo Prez Cuevas

Coordinacin de iconografa e imagenRicardo Tapia Garca

ImagenEquipo SM

Coordinacin de diagramacinJess Arana

DiagramacinJess Arana, Jess Garca,Aldo Botello, Mara Elena Amaro,Vctor Hugo Romero Vargas

IlustracionesGuillermo Lpez Wirth

FotografaArchivo SM, CONACULTA.-INAH.-MEX. Reproduccin autorizada por el Instituto Nacional de Antropologa e Historia, pg. 18D.R. Salvador Dal/VEGAP/SOMAAP/Mxico/2008. Pg. 120M.C. Eschers 2008 The M.C. Escher Company-Holland. All rights reserved. Pg. 218. 2011, Thinkstock

Digitalizacin y retoqueCarlos Lpez, Ernesto Negrete, Federico Gianni

ProduccinCarlos Olvera, Teresa Amaya

Fractal 1. MatemticasSerie ConStruir

Primera edicin, 2006Segunda edicin, 2007Tercera edicin, 2008Cuarta edicin, 2011D. R. SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2011Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, Mxico, D.F.Tel.: (55) 1087 8400www.ediciones-sm.com.mx

ISBN 978-607-471-880-5

Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro nmero 2830

No est permitida la reproduccin total o parcial de este libro, ni su tratamiento informtico, ni la transmisin de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrnico, mecnico, por fotocopia, por registro u otros mtodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.

La marca Ediciones SM es propiedad de SM de Ediciones, S. A. de C. V.

Prohibida su reproduccin total o parcial.

Impreso en Mxico/Printed in Mexico

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Qu es hacer matemticas? Disear un vitral, contar las sillas para saber si alcanzarn para los invitados, medir la superficie de un terreno, averiguar la tarifa telefnica que

ms conviene, decidir si un juego con dados es equitativo, son algunas de muchas acciones en las que hacemos matemticas.

Tambin hacemos matemticas cuando intentamos contestar preguntas de las matemticas mismas, por ejemplo: existe un nmero que multiplicado por 5 d un resultado menor que 5?; las medidas de los lados de un tringulo, pueden ser tres nmeros cualesquiera?; es posible prever cul ser el centsimo trmino de una sucesin que empieza as: 1, 3, 5, 7?

Hacer matemticas es usar los conocimientos de esta disciplina que ya se tienen, para resolver ciertos problemas, y tambin es crear nuevos conocimientos, cuando los que se tienen no son suficientes.

Hacer matemticas es una buena manera de aprender matemticas. Por ello, en este libro procuramos proponerte numerosas cuestiones que pueden resolverse con ayuda de las matemticas.

Cuando enfrentas problemas nuevos, debes sentirte con la libertad de hacer todo lo que se te ocurra para resolverlos; por ejemplo, apoyarte en dibujos, ensayar resultados o procedimientos y, cuando no funcionen, probar otra vez. Poco a poco, al resolver ms problemas, al conocer lo que hacen tus compaeros y con la ayuda de tu profesor, la manera en que resuelves esos problemas se ir haciendo ms sistemtica y segura.

Cuando desarrollas o conoces una tcnica nueva para resolver cierto tipo de problemas, debes practicarla para dominarla.

Para aprender matemticas es recomendable combinar el estudio individual con el trabajo en parejas, en equipos o en grupo: l al enfrentar una nueva tarea, es bueno que pienses un rato t solo. Despus, compartir

las ideas y las dudas con los otros, trabajando en parejas o en equipos, te puede ser muy til para avanzar;

l al terminar de resolver los problemas, explicar al grupo lo que hiciste o lo que hicieron en tu equipo, conocer lo que hicieron tus otros compaeros, decidir juntos si los resultados son correctos o no, y conocer los aportes del profesor, te ayudar mucho a aprender.A lo largo del libro se indican nicamente los momentos de trabajo en grupo, en equipo

o en pareja que son muy necesarios, con estos smbolos:

Sin embargo, en muchos otros momentos que no se indican, esas formas de organizacin pueden ser convenientes. Tu profesor o profesora les propondr en qu momentos usarlas.

Esperamos, como todos los autores que escriben para jvenes como t, que este libro, adems de ayudarte a aprender, te haga decir, algunas veces, esto s me gusta!

Los autores

Presentacin

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194

Cuando una relacin entre dos conjuntos de cantidades es de proporcionalidad, hay un nmero (siempre el mismo) que al multiplicarlo por cualquier valor de un conjunto, da el valor que le corresponde en el otro conjunto. Ese nmero se denomina constante de proporcionalidad. Por lo tanto, si se representa a los valores de un conjunto con la letra x, a los del otro conjunto con la letra y, y a la constante de proporcionalidad con la letra k, la regla de co-rrespondencia de una relacin de proporcionalidad es del siguiente tipo:

y = kx

Por ejemplo: y = 3.14x; y = 0.2x; y = 5x

Leccin 81 Reglas de correspondencia IIEs posible saber si una relacin es de proporcionalidad a partir de su regla de correspondencia.

1 En la leccin anterior, Reglas de correspondencia I, trabajaste con varias relaciones entre cantidades de dos conjuntos que se presentaron en tablas. En la segunda columna de la tabla siguiente, indica cules de esas relaciones son de proporcionalidad y cules no. En la tercera columna explica cmo lo supiste. Para recordar qu caracteriza a una relacin de proporcionalidad, puedes consultar la leccin 19, Son proporcionales?; la leccin 20, Barcos a escala; o la leccin 61, La regla de tres.

Tabla La relacin es de proporcionalidad? Porque

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

2 En grupo y con ayuda de tu profesora o profesor, realicen lo siguiente:

a) Comparen las respuestas que dieron a la tarea anterior. b) Observen en qu se parecen las reglas de correspondencia de las relaciones que son de propor-

cionalidad.c) Lean y comenten la informacin que se presenta enseguida.

195

3 A continuacin se presentan reglas de correspondencia de varias relaciones.

a) Marca con 3 cuando consideres que la relacin es de proporcionalidad y un tache cuando con-sideres que no lo es.

y = 2x y = 34 x y = 0.1x y = 2x +1 y = 5x 3

b) Escribe los valores que faltan en las tablas usando las reglas de correspondencia anteriores.

c) Indica en qu tablas la relacin no cumple con la siguiente propiedad y por lo tanto no es de proporcionalidad:

Cuando una cantidad de un conjunto aumenta dos, tres veces o n veces, la cantidad correspondiente del otro conjunto tambin aumenta ese mismo nmero de veces.

d) Indica en qu tablas la relacin tiene un factor de proporcionalidad. Indica cul es el factor.

4 Con tus compaeras y compaeros y con ayuda de tu profesora o profesor comparen las respuestas que obtuvieron en la actividad 3.

5 Describan una relacin que tenga como regla de correspondencia la que se indica. Vean el ejemplo.

Regla de correspondencia x representa y representa Descripcin de la relacin

y = 3x Nmero de tamales Precio que se paga Cada tamal cuesta $3.00, por lo tanto, por x tamales se pagan 3x pesos.

y = 100x

y = 0.2x

6 Comparen las relaciones que escribieron con las de sus compaeros y compaeras.

7 Resuelve el anexo 5 de las pginas 262 a 263.

Tabla 12y = 2x

x y1412

1

3

Tabla 13

y = 34 x

x y

1

4

8

9

Tabla 14y = 0.1x

x y

1

10

20

5

Tabla 15y = 2x + 1

x y

1

2

4

13

Tabla 16y = 5x 3x y

1

2

3

22

4.3. Exp

resin

algeb

raica de

una

relacin

entre dos can

tidad

es

directam

ente propo

rciona

les. Sign

ificado

s de

las varia

bles en la exp

resin

y = kx.

TECNOLOGA

15

La palabra cero viene del rabe sifr, que significa vaco. Los rabes difundieron por el mundo muchos conocimien-tos matemticos que tomaron de otras culturas, como el cero, proveniente del sistema de numeracin de la India.

Una muestra del conocimiento geomtrico de los rabes puede verse en la Alhambra, en Espaa, donde existen muchos mosaicos elaborados con repeticiones simtricas de una figura (teselados).

En este bloque estudiars: las propiedades de los sistemas de numeracin;

la representacin de nmeros fraccionarios y decimales en la recta numrica;

sucesiones de nmeros y figuras construidas a partir de una regla;

frmulas del rea de figuras geomtricas;

la simetra con respecto a un eje;

problemas de proporcionalidad directa y de reparto proporcional;

algunas tcnicas para solucionar problemas de conteo.

BLOQUE I

15

Comentario sobre algn aspecto histrico de un conocimiento de matemticas.

Fractal 1 est dividido en cinco bloques. Cada bloque se inicia con una pgina intro-ductoria que consta de los siguientes elementos:

Actividades de construccin del conocimiento.Actividades diseadas para que el alumno se enfrente a situaciones problemticas con los conocimientos de matemticas que ya posee y desarrolle nuevas tcnicas y conceptos que le permitan resolver problemas similares.

Formas de organizacinEn algunas actividades se sugieren formas de organizar el trabajo: individual, en parejas, en equipo o grupal.

tecnologaEstas actividades se refieren a la seccin Anexos, al final del libro.

programticos que se estudian en el bloque.

Imagen que ilustra algunos conceptos matemticos del bloque.

Los contenidos se desarrollan con lecciones de dos pginas que presentan estos componentes:

ConceptosCuando es necesario, los conceptos importantes de la leccin aparecen resaltados.

introduccinTexto breve donde se destaca algn aspecto sobresaliente del conocimiento que se va a estudiar.

ContenidoEn cada leccin se indica el contenido que se trabaja del programa oficial. Si intervienen de manera importante dos o ms contenidos del programa, se sealan todos.

Gua de uso

Gua de uso

Repasemos lo aprendidoContiene preguntas de los distintos temas que se vieron en el bloque. Contestar estas preguntas te permitir repasar y, al mismo tiempo, identificar algunas cuestiones que quiz no te hayan quedado claras. Encontrars el formato tpico de los exmenes para que te vayas acostumbrando a usarlo: preguntas de opcin mltiple y una o varias preguntas abiertas.

Al finalizar cada bloque, encontrars tres secciones:

Las matemticas enSe proponen situaciones de la vida cotidiana, de la naturaleza, de la msica o de otros mbitos, en los que sorprendentemente, hay un conocimiento de matemticas en juego.

Y para terminarContiene una actividad final que se relaciona con varios de los temas que se vieron en el bloque.

Al final del libro, encontrars la seccin Anexos, con algunas actividades que se llevan a cabo con computadora. Estas actividades te permitirn afirmar algunos aspectos de los temas que has venido estudiando, al mismo tiem-po que aprenders a usar algunos programas. Los momentos en los que se sugiere realizarlas vienen indicados en las lecciones con el smbolo TECNOLOGA.

Tambin se incluye una tabla que relaciona los contenidos programticos con los del libro.Por ltimo, hallars una tabla que relaciona los contenidos del programa y las lecciones del libro.

Leccin 13

66

I Subraya la respuesta correcta

1 En cierto sistema de numeracin, el 205 se escribe as: De las siguientes afirmaciones, cules son verdaderas con respecto a ese sistema de numeracin?i. Es un sistema posicional.ii. Tiene un smbolo especial para el cero.iii. No es un sistema posicional.iv. El smbolo vale 1.

a) i y iii b) i y ii c) ii y iv d) iii y iv

2 Esta secuencia de nmeros est en base 4: 14, 24, 34, 104, 114, 124, 134, Qu nmero sigue?

a) 144 b) 204 c) 244 d) 214

3 Jpiter es el planeta ms grande de nuestro sistema solar, tiene un dimetro ecuatorial de ciento cuarenta y dos millones ochocientos mil metros. Cmo se escribe ese nmero?

a) 1 428 000 b) 14 280 000 c) 142 800 000 d) 1 428 000 000

4 Qu nmero seala la flecha?

5 7a) 23 b) 5

23 c) 6 1

2 d) 6 13

5 Cuntos palillos tendr en total la figura 100?

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

a) 100 b) 200 c) 300 d) 400

6 Si se considera la secuencia de la pregunta 5, cuntos palillos tendr la figura n?

a) 3 + n b) 3 n c) 3n d) 3 n

Repasemos lo aprendido

67

7 Cul es la expresin que corresponde al permetro de la figura? Subryala.

m m

na) 2 + m + n b) 2m + n c) m + n d) 2mn

8 Considera la simetra con respecto a un eje, cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) Los puntos simtricos estn a distancias diferentes del eje de simetra.b) El segmento que une a un punto con su simtrico es perpendicular al eje de simetra.c) La simetra con respecto a un eje no conserva la medida de los ngulos.d) La simetra con respecto a un eje no conserva la medida de lo segmentos.

9 Tres maestros, Daniel, Carlos y rica, necesitan comprar pliegos de cartoncillo para realizar un trabajo con sus alumnos. Deciden comprar entre los tres un pa-quete de 90 pliegos, pues as les sale ms barato. El paquete les cuesta 45 pesos. Daniel se queda con 40 pliegos, Carlos con 30 y rica con 20. Deciden que el pago sea proporcional a la cantidad con la que cada uno se qued. Con cunto debe cooperar cada uno? Subraya la opcin correcta.

a) Daniel $15, Carlos $15, rica $15b) Daniel $40, Carlos $30, rica $20c) Daniel $10, Carlos $30, rica $5d) Daniel $20, Carlos $15, rica $10

10 En una urna se tienen 4 bolas como las siguientes:

Sin ver se extrae una bola, se anota su smbolo y se regresa a la urna; despus se extrae una segunda bola y se anota el smbolo. De cuntas maneras diferentes se pueden extraer las dos bolas? Subraya la opcin correcta.

a) 4 b) 8 c) 12 d) 16

II Haz lo que se te indica

1 Cmo se puede formar la cantidad de $20.00 con monedas de 10 centavos y de 50 centavos?a) Encuentra todas las soluciones posibles.b) Compara con tus compaeros, comenten el procedimiento de cada uno. Vean si es seguro que

tienen todas las soluciones posibles.1

1 FFente: SFdovsky, PFtriciF. Tesis doctorFl

Y para terminar...

258

1 Formen equipos.

2 Por equipo, hagan un tablero como el siguiente:

3 Consigan fichas (pueden ser frijolitos o botones).

4 Nombren a la persona que manejar la caja.

5 Cada integrante se queda con 20 fichas y el cajero con 50.

6 Cada integrante puede hacer apuestas de acuerdo con estas reglas:

Nadie puede apostar al 7. Se puede apostar el nmero de fichas que se desee

a un nmero en particular, por ejemplo, al 8, al 3, al 4. Si al lanzar los dos dados el total de puntos es igual a ese nmero, la caja le dar al jugador el doble de fichas de las que apost.

Se puede apostar a chicos o grandes, colocando en la parte azul las fichas por apostar. Si al lanzar los dos dados cae un nmero chico, a quienes hayan apostado a chicos la caja les dar el mismo nmero de fichas que apostaron; si cae uno grande, se dar lo mismo a quienes hayan apostado a grandes.

Juguemos a chicos y grandes!

Si a un equipo se le acaban las fichas, queda fuera.La caja, en cambio, puede pedir ms fichas.

7 Cuando los dados marquen 7, la caja recoge todas las fichas que en ese momento estn en el tablero.

A divertirse!Cuando terminen de jugar, analicen:

1) La probabilidad de que el total de puntos de los dos dados sea igual a cada uno de los nmeros del tablero.

2) Qu nmero tiene ms probabilidades de salir en los dos dados?

3) Qu nmeros tienen menos probabilidades?4) Si se lanzan dos dados y en el tablero hubiera un 1,

le apostaras al nmero 1?, por qu?5) Conviene ms apostarle a nmeros chicos, a nmeros

grandes o da lo mismo?

6969

Las plantas distribuyen sus hojas, ramas y ptalos, de tal manera que absorben la mxima luz solar. Los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en otro, dos nmeros que estn en la sucesin de Fibonacci!

El caracol ha logrado sobrevivir a muchas etapas de evolucin. En su estructura es posible encontrar la sucesin de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.

Cmo puede notarse que los datos que se dieron sobre la reproduccin de los conejos no son reales?

Si ya tienes la regla, puedes continuar la secuencia. Escribe 10 nmeros ms.

El problema de los conejos proviene del libro Liber Abaci, escrito por el matemtico italia-no Leonardo Fibonacci y publicado en 1202. Desde entonces, el problema ha fascinado a muchos debido a la sucesin de nmeros que aparece al encontrar la respuesta. La lista es conocida como sucesin de Fibonacci y resulta an ms fascinante encontrarla en los lugares menos esperados.

Haz dos listas de nmeros que contengan los principios de la sucesin de Fibona-cci; inicia la primera con 3, 3, y la segunda con 5, 5.

3, 3,

5, 5,

112

35

8

13

Las matemticas en la naturaleza

68

Imagnate que en enero te regalan una pareja de conejos recin nacidos. Despus de dos meses, esos conejos procrean una nueva pareja. Des-

pus de ello, cada mes, siguen procreando una nueva pareja.Cada nueva pareja de conejos, despus de dos meses, produce una

nueva pareja y sigue produciendo una pareja cada mes.

Completa la tabla. Observa que los conejos recin nacidos se representan con un crculo pequeo y los conejos de ms de un mes con un crculo mayor.

Mes Conejos Nm. de parejas

Enero 1

Febrero 1

Marzo 2

Abril 3

Mayo 5

Junio

Julio

Agosto

Septiembre

Escribe la secuencia de nmeros de la tercera columna de la tabla anterior.

1, 1, 2, 3, 5, 8

Cul es la regla que sigue esta secuencia? Descbrela y antala.

Presentacin para el maestro

El enfoque didctico de Fractal

A continuacin se exponen las principales caractersticas del enfoque didctico que subyace en el desarrollo de los temas en los libros Fractal.

Empezar con un problema. Los enfoques contemporneos para la enseanza de las matemticas tienden a coincidir en que, para lograr el aprendizaje significativo de un conocimiento, es necesario que ste aparezca como respuesta a una pregunta o como so-lucin a una problemtica que los alumnos ya hayan enfrentado. Se considera tambin que, en muchos casos, al enfrentar una problemtica adecuada, los alumnos pueden desarrollar por s mismos conocimientos aproximados al que se les quiere ensear.

Por esta razn, numerosas lecciones de Fractal comienzan con el planteamiento de uno o varios problemas; slo despus y paulatinamente se presenta la informacin relativa al conocimiento tratado.

Cmo solucionarn los alumnos un problema si an no se les ensea el conocimiento que lo resuelve? Los problemas que se plantean antes de dar informacin sobre el cono-cimiento involucrado, han sido diseados o seleccionados de manera tal que los alumnos puedan abordarlos aunque no dispongan de la herramienta ptima. Esto significa que tal vez se aproximen a la solucin de dichos problemas con herramientas ms elementales o bien que, aun cuando no pudieran resolverlos, identifiquen una limitacin en sus conoci-mientos previos y la necesidad de uno nuevo.

Despus de abordar estos problemas iniciales, conforme se introducen aspectos del nuevo conocimiento, es conveniente que los alumnos resuelvan ms problemas y ejerci-cios para aplicar dichos aspectos y afirmarlos. Cuando lo considere necesario, el profesor complementar los problemas y ejercicios de aplicacin que se proponen con otros que l disee o tome de otros materiales.

Varios procedimientos y no uno solo. Por qu tanto brinco estando el suelo tan parejo? es la pregunta que se hacen algunos maestros ante la diversidad de proce-dimientos que se propone para resolver ciertos tipos de problemas. Hay varias razones: ocurre con frecuencia que los procedimientos ms rpidos, o ms elaborados, para re-solver ciertos problemas parecen fciles de operar pero son difciles de comprender (por ejemplo, el algoritmo de la multiplicacin por decimales o la regla de tres), tal dificultad hace que los alumnos tengan poco control sobre su uso y, en consecuencia, alteren los pa-sos; otros procedimientos, en cambio, aunque ms precarios, por ser ms largos o menos sistemticos, son ms fciles de comprender para los alumnos, incluso en ciertos casos los pueden establecer por s mismos. Estos procedimientos cumplen varias funciones: ayudan a consolidar la comprensin del tema; en ciertos casos, algunos son ms econmicos que el procedimiento ms avanzado e, incluso, constituyen una herramienta de emergencia para los casos en que olvidan la tcnica ms avanzada.

Cabe sealar, adems, que est demostrado, al menos para algunos temas, que los alumnos que han desarrollado varios procedimientos tienden a ser ms exitosos en la re-solucin de problemas. A final de cuentas, cul de varios procedimientos es el mejor? Esto depende muchas veces del tipo de problema y de los conocimientos de quien resuelve.

Articulacin de contenidos. Uno de los males de los programas escolares es que atomizan los conocimientos en aras de organizar la enseanza: los conocimientos en los

Presentacin para el maestro

programas han tendido, a lo largo del tiempo, a segmentarse en pequeos conocimientos parciales, aislados unos de los otros, con lo cual su sentido se ha mermado y dificultado, contrariamente a lo que se buscaba.

Una tendencia actual en la enseanza de las matemticas es buscar mayor integracin de los conocimientos. Si bien en este aspecto todava hay mucho camino por andar, los programas actuales ofrecen ciertas mejoras, y en la serie Fractal hemos intentando apro-vechar esas posibilidades. As, por ejemplo, los temas de nmeros racionales, proporciona-lidad y escala se articulan en la secuencia propuesta para el estudio de la multiplicacin por nmeros no enteros; la nocin de funcin lineal se articula con la de relacin proporcional; las reas y los volmenes se exploran para determinar si varan proporcionalmente. Estas integraciones pueden identificarse en la indicacin de los contenidos del programa que se tratan en cada leccin, sealados en el margen derecho de las lecciones.

Secuencias de lecciones. Las lecciones se presentan casi siempre en grupos de dos a cuatro y, en pocos casos, cinco. Cada grupo constituye una pequea secuencia en la que se abre un aspecto nuevo de un tema, se desarrolla y se cierra; esto no impide que en otro grupo de lecciones se retome algn aspecto de ese mismo tema.

En esta nueva edicin hemos mejorado el contenido de las lecciones al enfatizar los elementos del enfoque propuesto en el programa para la enseanza de las matemticas en la escuela secundaria. Adems, hemos pensado en apoyarlo para el logro de los apren-dizajes esperados con dos innovaciones en el material dirigidas a un aspecto en especfico.

Para la planificacin de la enseanza, incluimos una propuesta de dosificacin de las lecciones, en sta se consider que algunas lecciones son ms complejas que otras, y la revisin de su contenido puede requerir dos o hasta tres clases;

para la evaluacin continua, agregamos en el ndice los conocimientos y habilidades indicados en el programa con el fin de facilitar su identificacin y seguimiento.

Esperamos que Fractal constituya un apoyo en sus clases, una herramienta que enri-quezca su acervo matemtico y didctico, pero, sobre todo, que se convierta en una fuente de aprendizaje y experiencias significativas para sus alumnos.

Los autores

Dosificacin

S E M A N A S

1 2 3 4

BLO

QUES

1

1.1. Sistemas de numeracin(lecciones 1 a 5)

1.2. Fracciones y decimales en la recta numrica (lecciones 6 a 9)

1.3. Sucesiones de nmeros (lecciones 10 a 13)

1.4. Uso de literales en frmulas geomtricas(lecciones 14 y 15)

1.5. Simetra respecto a un eje(lecciones 16 a 18)

2

2.1. Problemas aditivos con fracciones y decimales(lecciones 26 a 28)

2.2. Multiplicacin y divisin con fracciones (lecciones 29 a 32)

2.3. Multiplicacin y divisin con decimales (lecciones 33 a 35)

2.4. Mediatriz y bisectriz(lecciones 36 y 37)

2.5. Polgonos regulares(lecciones 38 y 39)

3

3.1. Divisin de nmeros decimales(lecciones 49 a 51)

3.2. Ecuaciones de primer grado (lecciones 52 a 56)

3.3. Condiciones geomtricas de posibilidad y unicidad (lecciones 57 y 58)

3.4. Permetro y rea. Conversiones de medida de superficie(lecciones 59 y 60)

4

4.1. Nmeros con signo(lecciones 75 a 77)

4.2. Raz cuadrada y potencia (lecciones 78 y 79)

4.3. Tabla y expresin algebraica de una relacin de proporcionalidad directa(lecciones 80 a 82)

4.7. Grfica de una relacin de proporcionalidad directa(lecciones 83 a 85)

5

5.1. Adicin y sustraccin de nmeros con signo(lecciones 92 a 95)

5.2. Grfica, tabla y expresin algebraica de una situacin (lecciones 96 a 98)

5.3. Clculo de reas (lecciones 99 a 101)

5.4. Juegos de azar equiprobables y no equiprobables(lecciones 102 y 103)

Debido a que el tiempo que dedica a cada apartado de Conocimientos y habilidades o leccin depende, en gran parte, de su forma de trabajo y de las caractersticas de sus grupos, esta tabla es una propuesta que usted podr modificar de acuerdo con el ritmo que marque el grupo, las fechas de entrega de calificaciones o las eventualidades que surjan (suspensiones, juntas, etc.). En aquellas semanas en que el tiempo lo permita,

Dosificacin

S E M A N A S

5 6 7 8 9

1.6. Proporcionalidad directa(lecciones 19 a 21)

1.7. Reparto proporcional(lecciones 22 y 23)

1.8. Problemas de conteo(lecciones 24 y 25)

Repasemos lo aprendido(pginas 66 y 67)

Evaluacin del bloque 1

2.6. Permetro y rea (lecciones 40 y 41)

2.7. Proporcionalidad directa (operadores fraccionarios y decimales)(lecciones 42 y 43)

2.8. Aplicacin sucesiva de factores de proporcionalidad(lecciones 44 a 48)



3.5. Proporcionalidad (procedimientos expertos) (lecciones 61 y 62)

3.6. Porcentajes (lecciones 63 a 67)

3.7. Frecuencia absoluta y relativa(leccin 68)

3.8. Grficas de barras y circulares(lecciones 69 a 71)

3.9. Probabilidad de eventos(lecciones 72 a 74)



4.4. Construccin de crculos (lecciones 86 y 87)

4.5. Justificacin de la frmula para permetro y rea del crculo(lecciones 88 y 89)

4.6. Clculo de permetro y rea del crculo (lecciones 90 y 91)



5.5. Proporcionalidad inversa (lecciones 104 y 105)

5.6. Medidas de tendencia central (lecciones 106 y 107)



podr trabajar las actividades de Las matemticas en as como Y para terminar o adelantar el trabajo de otros apartados si no es suficiente el tiempo asignado en la tabla. Los colores sealan al eje que corresponde a cada apartado: en azul el eje Sentido numrico y pensamiento algebraico; en amarillo Forma espacio y medida; y en verde Manejo de la informacin. Cabe sealar que la redaccin de los apartados ha sido simplificada.

Bloque1 Conocimientosyhabilidades

Leccin 1. Grandes construcciones 16 1.1. Identificar las propiedades del sistema de numeracin decimal y contrastarlas con las de otros sistemas numricos posicionales y no posicionales.

Leccin 2. Los mayas y el cero 18Leccin 3. El cajero 20Leccin 4. Un nmero, diferentes representaciones 22Leccin 5. Con cifras o con letras 24

Leccin 6. Las apariencias engaan 26 1.2. Representar nmeros fraccionarios y decimales en la recta numrica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representacin.

Leccin 7. Rectas y nmeros 28Leccin 8. Nmeros ocultos I 30Leccin 9. Nmeros ocultos II 32

Leccin 10. Las matemticas de las rejas 34 1.3. Construir sucesiones de nmeros a partir de una regla dada. Determinar expresiones generales que definen las reglas de sucesiones numricas y figurativas.

Leccin 11. Bordados 36Leccin 12. Smbolos en lugar de palabras 38Leccin 13. Construyendo secuencias 40

Leccin 14. La frmula es til pero no es lo nico 42 1.4. Explicar en lenguaje natural el significado de algunas frmulas geomtricas, interpretando las literales como nmeros generales con los que es posible operar.

Leccin 15. Con nmeros o con letras 44

Leccin 16. Reflejos 46 1.5. Construir figuras simtricas respecto de un eje, analizarlas y explicitar las propiedades que se conservan en figuras tales como tringulos issceles y equilteros, rombos, cuadrados y rectngulos.

Leccin 17. Reflejos en el geoplano 48Leccin 18. Sin cuadrcula 50

Leccin 19. Son proporcionales? 52 1.6. Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo valor faltante en diversos contextos, utilizando de manera flexible diversos procedimientos.

Leccin 20. Barcos a escala 54Leccin 21. La casita a escala 56

Leccin 22. El reparto proporcional I 58 1.7. Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de reparto proporcional.Leccin 23. El reparto proporcional II 60

Leccin 24. Tarjetas de felicitacin 62 1.8. Resolver problemas de conteo utilizando diversos recursos, tales como tablas, diagramas de rbol y otros procedimientos personales.

Leccin 25. Futbol 64

Repasemos lo aprendido 66

Las matemticas en la naturaleza 68

Y para terminar 70


Leccin 26. La migracin indocumentada de Estados Unidos de Amrica

72 2.1. Resolver problemas aditivos con nmeros fraccionarios y decimales en distintos contextos.

Leccin 27. Un vaso medio lleno o un vaso medio vaco

74

Leccin 28. El tipo de cambio y algo ms 76

ndice

Presentacin 3gua de uso 4Presentacin para el maestro 6Dosificacin 8

Leccin 29. La mitad de un cuarto I 78 2.2. Resolver problemas que impliquen la multiplicacin y divisin con nmeros fraccionarios en distintos contextos.

Leccin 30. La mitad de un cuarto II 80

Leccin 31. Vueltas alrededor de un circuito I 82 2.2. Resolver problemas que impliquen la multiplicacin y divisin con nmeros fraccionarios en distintos contextos.2.3. Resolver problemas que impliquen la multiplicacin de nmeros decimales en distintos contextos.

Leccin 32. Vueltas alrededor de un circuito II 84 2.2. Resolver problemas que impliquen la multiplicacin y divisin con nmeros fraccionarios en distintos contextos.

Leccin 33. Multiplicando y dividiendo por 10, 100, 1 000

86 2.3. Resolver problemas que impliquen la multiplicacin de nmeros decimales en distintos contextos.

Leccin 34. Tcnicas para multiplicar por decimales 88

Leccin 35. Qu nmero multiplicado por 2 da 3? 90 2.2. Resolver problemas que impliquen la multiplicacin y divisin con nmeros fraccionarios en distintos contextos.2.3. Resolver problemas que impliquen la multiplicacin de nmeros decimales en distintos contextos.

Leccin 36. A la misma distancia I 92 2.4. Utilizar las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ngulo para resolver diversos problemas geomtricos.

Leccin 37. A la misma distancia II 94

Leccin 38. Con doblado de papel 96 2.5. Construir polgonos regulares a partir de distintas informaciones.Leccin 39. Vitrales 98

Leccin 40. Unas frmulas se originan de otras 100 2.6. Justificar las frmulas de permetro y rea de tringulos, cuadrilteros y polgonos regulares.Leccin 41. La mitad del doble 102

Leccin 42. Banderas a escala 104 2.2. Resolver problemas que impliquen la multiplicacin y divisin con nmeros fraccionarios en distintos contextos.2.3. Resolver problemas que impliquen la multiplicacin de nmeros decimales en distintos contextos.2.7. Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo valor faltante en diversos contextos, utilizando operadores fraccionarios y decimales.

Leccin 43. Ms del doble pero menos del triple 106

Leccin 44. Copias de copias 108 2.2. Resolver problemas que impliquen la multiplicacin y divisin con nmeros fraccionarios en distintos contextos.2.8. Interpretar el efecto de la aplicacin sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.

Leccin 45. Engranajes I 110Leccin 46. Engranajes II 112Leccin 47. Desandando el camino. El factor

recproco I114

Leccin 48. Desandando el camino. El factor recproco II

116


Las matemticas en el arte 120

Y para terminar 122

ndice


Leccin 49. Multiplicaciones que achican, divisiones que agrandan I

124 3.1. Resolver problemas que impliquen la divisin de nmeros decimales en distintos contextos.

Leccin 50. Multiplicaciones que achican, divisiones que agrandan II

126

Leccin 51. Tcnicas para dividir decimales 128

Leccin 52. Adivinanzas I 130 3.2. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolucin de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c nmeros naturales o decimales.

Leccin 53. Adivinanzas II 132Leccin 54. Balanzas en equilibrio 134Leccin 55. Ecuaciones equivalentes 136Leccin 56. Problemas diversos 138

Leccin 57. Tringulos imposibles 140 3.3. Construir tringulos y cuadrilteros. Analizar las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.Leccin 58. Explorando cuadrilteros 142

Leccin 59. Terrenos irregulares 144 3.4. Resolver problemas que impliquen calcular el permetro y el rea de tringulos, romboides y trapecios. Realizar conversiones de medidas de superficie.

Leccin 60. Por 100 146

Leccin 61. La regla de tres 148 3.5. Resolver problemas del tipo valor faltante utilizando procedimientos expertos.Leccin 62. Un mismo problema, varias

tcnicas150

Leccin 63. Analizar informacin 152 3.6. Resolver problemas que impliquen el clculo de porcentaje utilizando adecuadamente la expresin fraccionaria o decimal.3.7. Interpretar y comunicar informacin mediante la lectura, descripcin y construccin de tablas de frecuencia absoluta y relativa.3.8. Interpretar informacin representada en grficas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicar informacin proveniente de estudios sencillos, eligiendo la forma de representacin ms adecuada.

Leccin 64. Lo importante no es cunto, sino qu parte

154 3.6. Resolver problemas que impliquen el clculo de porcentaje utilizando adecuadamente la expresin fraccionaria o decimal.Leccin 65. Terrenos sembrados 156

Leccin 66. Uno y diez por ciento 158Leccin 67. El IVA y otros porcentajes 160

Leccin 68. Es mucho o es poco? 162 3.7. Interpretar y comunicar informacin mediante la lectura, descripcin y construccin de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

Leccin 69. Deportistas de Mxico 164 3.8. Interpretar informacin representada en grficas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicar informacin proveniente de estudios sencillos, eligiendo la forma de representacin ms adecuada.

Leccin 70. Mxico en el ao 2000 166Leccin 71. Informacin diversa 168

ndice

Leccin 72. Resultados posibles 170 3.9. Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Utilizar la escala de la probabilidad entre 0 y 1 y vincular diferentes formas de expresarla. Establecer cul de dos o ms eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir y justificar la respuesta.

Leccin 73. La medida de lo probable 172Leccin 74. Laberinto de tubos 174


Las matemticas en los recorridos 178

Y para terminar 180


Leccin 75. Temperaturas bajo cero 182 4.1. Plantear y resolver problemas que impliquen la utilizacin de nmeros con signo.Leccin 76. Nmeros positivos, nmeros

negativos184

Leccin 77. Estadsticas del futbol mexicano 186

Leccin 78. La medida de un lado 188 4.2. Resolver problemas que impliquen el clculo de la raz cuadrada y la potencia de exponente natural de nmeros naturales y decimales.

Leccin 79. Crecimiento exponencial 190

Leccin 80. Reglas de correspondencia I 192 4.3. Analizar en situaciones problemticas la presencia de cantidades relacionadas y representar esta relacin mediante una tabla y una expresin algebraica. En particular la expresin de la relacin de proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relacin.

Leccin 81. Reglas de correspondencia II 194Leccin 82. Relacionar dos magnitudes 196

Leccin 83. Puntos en el plano 198 4.7. Explicar las caractersticas de una grfica que represente una relacin de proporcionalidad en el plano cartesiano.Leccin 84. La grfica tambin informa! 200

Leccin 85. Viajar en automvil 202

Leccin 86. El crculo en la arquitectura 204 4.4. Construir crculos a partir de diferentes datos o que cumplan condiciones dadas.Leccin 87. Crculos y algo ms 206

Leccin 88. Dar la vuelta 208 4.5. Determinar el nmero Pi como la razn entre la longitud de la circunferencia y el dimetro. Justificar la frmula para el clculo de la longitud de la circunferencia y el rea del crculo.4.6. Resolver problemas que impliquen calcular el rea y el permetro del crculo.

Leccin 89. En la pizzera I 210 4.5. Determinar el nmero Pi como la razn entre la longitud de la circunferencia y el dimetro. Justificar la frmula para el clculo de la longitud de la circunferencia y el rea del crculo.

Leccin 90. En la pizzera II 212 4.6. Resolver problemas que impliquen calcular el rea y el permetro del crculo.Leccin 91. Circulando 214


Las matemticas en los mosaicos 218

Y para terminar 220

ndice


Leccin 92. Prdidas y ganancias 222 5.1. Utilizar procedimientos informales y algoritmos de adicin y sustraccin de nmeros con signo en diversas situaciones.

Leccin 93. La suma de nmeros con signo 224Leccin 94. La resta de nmeros con signo 226Leccin 95. Juegos con nmeros 228

Leccin 96. Tarifas telefnicas 230 5.2. Analizar los vnculos que existen entre varias representaciones (grficas, tabulares y algebraicas), que corresponden a la misma situacin, e identificar las que son de proporcionalidad directa.

Leccin 97. Tiempo, distancia y velocidad 232Leccin 98. Tablas de valores y grficas 234

Leccin 99. Diseos 236 5.3. Resolver problemas que impliquen el clculo de reas en diversas figuras planas y establecer relaciones entre los elementos que se utilizan para calcular el rea de cada una de estas figuras.

Leccin 100. Dimensiones desconocidas 238Leccin 101. reas y variacin 240

Leccin 102. Juegos equitativos I 242 5.4. Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la nocin de resultados equiprobables y no equiprobables.

Leccin 103. Juegos equitativos II 244

Leccin 104. Relaciones inversamente proporcionales I

246 5.5. Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.Leccin 105. Relaciones inversamente

proporcionales II248

Leccin 106. El salario representativo 250 5.6. Comparar el comportamiento de dos o ms conjuntos de datos referidos a una misma situacin o fenmeno a partir de sus medidas de tendencia central.

Leccin 107. Niveles de contaminacin por ozono 252


Las matemticas en la msica 256

Y para terminar 258

Anexos 259Bibliografa 276

ndice

15

La palabra cero viene del rabe sifr, que significa vaco. Los rabes difundieron por el mundo muchos conocimien-tos matemticos que tomaron de otras culturas, como el cero, proveniente del sistema de numeracin de la India.

Una muestra del conocimiento geomtrico de los rabes puede verse en la Alhambra, en Espaa, donde existen muchos mosaicos elaborados con repeticiones simtricas de una figura (teselados).

En este bloque estudiars: las propiedades de los sistemas de numeracin;

la representacin de nmeros fraccionarios y decimales en la recta numrica;

sucesiones de nmeros y figuras construidas a partir de una regla;

frmulas del rea de figuras geomtricas;

la simetra con respecto a un eje;

problemas de proporcionalidad directa y de reparto proporcional;

algunas tcnicas para solucionar problemas de conteo.

BLOQUE 1

15

1 LaGranPirmidedeKeopsfueconstruidaenEgiptoenelao2400antesdenuestraera.Tieneunaalturadecasi150metrosyelpermetrodesubasemide932metros.Durante20aos,alrededorde100000esclavostrabajaronensuedificacindesplazandobloquesdeentre2y60toneladas1alolargode10000hectmetros.2

a)Acontinuacinserepitelainformacinanterior,ahoraconcifrasegipcias.Analizaambostextosydescifraelvalordecadasmboloegipcio.Anotatushallazgosenlatablaqueapareceabajo.

b)Escribeconsmbolosegipcioslossiguientesnmeros.

456 21345

c)Escribeelvalorquerepresentanlossiguientessmbolosegipcios.

Smbolo egipcio Valor decimal Smbolo egipcio Valor decimal

1 000 000

GrandesconstruccionesAlolargodelahistorialasculturashandesarrolladomaneraseficientesparacontar,dedondehansurgidodiferentessistemasdenumeracin.

Leccin 1

Pirmide de Kops

FueconstruidaenEgiptoenelao antesdenuestraera.Tieneunaalturadecasi

metrosyelpermetrodesubasemide

metros.Durante aos,alrededorde esclavostrabajaronensuedificacindesplazan-

dobloquesdeentre y toneladasalolargode hectmetros.

16

1Unatoneladaequivalea1000kilogramos.2Unhectmetroequivalea100metros.

30 145 2 060

2 Conmsde2000aosdeantigedad,laGranMurallaChinaseextiendealolargodeunos6700kilmetros;lapartemsfamosafueconstruidaen1381,duranteladinastaimperialMing.Esunamaravilladeingenieraqueen22siglosnohasidoigualada.FuedeclaradaPatrimoniodelaHumanidaden1987.

a)Observalasdostablassiguientes;ladelladoizquierdocontienelos13sm-bolosconqueloschinosformansusnumeralesyladelladoderechocon-tienelosdatosnumricosdeltextoanterior,escritosconsmboloschinos.

l Descubrecmoseformanlosnumeraleschinosycompletalatablasiguiente.

b)Escribeentucuadernoel99999connmerosegipciosychinos.Conqusistemaempleaste

menossmbolos?

c)Quesloquepermiteenelsistemachinonorepetirlossmbolostantasvecescomoenelegipcio?

3 Comparatusrespuestasconlasdelrestodelgrupo.

Muralla China

1 10

2 100

3 1 000

4 10 000

5

6

7

8

9

2 000 6 700 1 381 22 1 987

1.1. Sistemas de nu

meracin eg

ipcio y ch

ino.

17

18

1 Leelasiguienteinformacin.

Lasreglasdeescrituradelsistemamayason:a)Paraescribircualquiernmeroslosedisponedetressmbolos:

uno cinco cero

Encadanivel,sepuederepetirhastacuatrovecesyhastatres.b)Losnmerosseescribenporniveles,deabajohaciaarriba.c)Lascifrasdecadaniveltienenunvalordiferente:

Cuarto nivel Multiplican su valor por 20 x 20 x 20 x8 000

Tercer nivel Multiplican su valor por 20 x 20 x400Segundo nivel Multiplican su valor por 20 x20Primer nivel Multiplican su valor por 1 x1

Enrealidadlosmayasdabanunvalorde360altercernivel;parasimplificarlosclculosaquledamoselvalorde400.

d)Encadanivelsepuedeescribirhasta19.

2 Completalaseriedel0al19usandolascifrasmayas.

3 Contuscompaerosaveriguaqunmeroestrepresentadoencadarecuadroyescrbeloenlacasilladeabajo,comosehizoconel403.

403

LosmayasyelceroLaculturamayausunsistemadenumeracinenelqueconslotressmbolospodanescribircualquiernmero.Ademsfueunodelospocossistemasquedisponadeunsmboloparaelcero.

Leccin 2

2

Cdice maya

19

4 Anotaenlatabla,conlossistemasdenumeracinqueseindican,losdatosquesepiden.Elsistemadecimaleselquenosotrosusamos.

Nmero/sistema Egipcio Chino Maya Decimal

Mi edad en meses

Nmero de alumnos de mi grupo

Ao actual

Enculesdelossistemasdelatablaexisteunnmeroparaelcero? Reflexiona:enquestilelceroennuestrosistemadenumeracindecimal?cmotendramos

queescribirlosnmerossinoexistieraelcero?Escribetusconclusionesentucuaderno.

5 Enlatablasemuestracmoseescribeunmismonmeroencuatrosistemas.

Egipcio Chino Maya Decimal

33

Enculesdelossistemasdelatabla,unsmbolonumricocolocadoendiferentelugaroposicin

cambiadevalor?

Observa que: l El smbolo vale 10 todas las veces que aparece. En cambio el smbolo vale 1 en el primer nivel, mientras que en el segundo nivel vale 20.l El smbolo vale tres, tanto si est arriba como si est abajo. Es necesario

colocar el smbolo para indicar que se multiplica por 10.

6 Comparatusrespuestasconlasdelgrupo.

1.1. Sistemas de nu

meracin maya.

20

Leccin 3 ElcajeroConelpropsitodehacermseficienteslossistemasdenumeracin,serealizanagrupaciones.Ennuestrosistemadenumeracinsehacenagrupacionesde10,enelmayade20.Habrsistemasdenumeracinconagrupacionesdeotrovalor?

1 Juguemosalcajero.

a)Formenunequipode4o5integrantes.b)Nombrenaunapersonaparaqueseaelcajero.c)Elcajerosequedaconlacajadefichas.d)Cadaunolanzareldadoypediralcajeroelnmerodefichasazulesquemarqueeldado.e)Cuandoalguienjunte4fichasazulesdebecambiarlasporunaroja,4fichasrojaslascambiapor

unaverdey4fichasverdeslascambiaporunablanca.f) Ganaelprimeroqueobtengatresfichasblancas.

2 Contestaestaspreguntas.

a)Cuntasfichas azulessenecesitanparaconseguirunaficharoja?

b)Cuntasfichas azulessenecesitanparaconseguirunafichaverde?

c)Cuntasfichas azulessenecesitanparaconseguirunafichablanca?

3 Consideraquecadafichaazulvaleunpunto.Enlasiguientetablaanotaelnombredelosintegrantesdetuequipo.EnlacolumnaFichasobtenidas,dibujalasfichasconlasquesequedcadaunoalfinaldeljuego.EnlacolumnaTotaldepuntos,escribeeltotaldepuntosquecadaunoobtuvo.

Nombre Fichas obtenidas Total de puntos

4 Anotaeltotaldepuntosqueseobtuvoencadacaso.

Blancas Verdes Rojas Azules Total de puntos

Ana 1 3 3 3

Luis 0 2 2 3

Gisela 2 0 0 0

Cadaequiponecesita:Undado

20fichasazules,20rojas,20verdesy20blancas.

21

El sistema de numeracin que se ha estudiado en esta leccin es posicionaldebase4. El sistema de numeracin que nosotros usamos cotidianamente tambin es posicional, pero su base es 10.

5 Completalatabla.

Total de fichas azules ganadas

Despus de hacer todos los cambiosFichas blancas Fichas verdes Fichas rojas Fichas azules

12

34

76

100

150

Observa que, si se quita la tabla, el orden permite saber qu representa cada cifra: el primer nmero de la derecha se refiere a las fichas que valen 1; el que le sigue, a las que valen 4; el siguiente, a las que valen 16, y el siguiente, a las que valen 64; por ejemplo:

1 2 0 3 4

El nmero 4 pequeo indica que los cambios se hacen cada vez que se juntan 4 fichas de un color.

6 Anotaeltotaldepuntosencadacaso.

a)120345 b)221145 c)2345

d)2145 e)130245 f)11245

7 Contestalassiguientespreguntas.

a)Eslomismo1034que3014?b)Porqucambiaelvalorsienlosdosnmeroshayun1,un3yun0?

8 Comparatusrespuestasconlasdeotroscompaerosycompaerasdelgrupo,ycomentenlasiguienteinformacinconsuprofesoroprofesora.

Nmero de fichas que valen 1




1.1. Sistemas de nu

meracin ba

se 4.

22

Leccin 4 Unnmero,diferentesrepresentacionesAntelanecesidadderepresentarcantidadesgrandesyderealizarclculosconellas,elsistemaqueutilizamos,llamadoindoarbigo,presentaventajasimportantesencomparacinconotros.

1 Completalatabla.

Indoarbigo Egipcio Chino Maya Base 4

10

3334

23

2 Contestalassiguientespreguntasconrespectoalossistemasqueaparecenenlatablaanterior.

a)Qusistemadenumeracintegustams? Porqu?

b)Qusistemaconstademenossmbolos?

Cuntossmbolosseusanyculesson?

c)Qusistemastienenunsmbolopararepresentarelcero?

d)Enqusistemaseescribemsbrevementeelnmero999?

e)Qusistemassonposicionales?

f) Qusistemasnosonposicionales?

g)Lossistemasquetienenunsmboloparaelcerosontambinsistemasposicionales?

3 Comparacontuscompaeroslamaneraenquellenaronlatablaylasrespuestasquedierona laspreguntasplanteadas.Despus,conayudadelprofesoroprofesoraelaborenunresumenensucuadernosobrelosdistintossistemasdenumeracin.

4 Reneteconuncompaeroocompaeraydescubranlossmbolosylasreglasdelsistemaquesemuestraenseguida.Culessubase?Esposicional?Tienecero?Escribanlasconclusionesensuscuadernos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Alolargodelahistoriaalgunasculturashaninventadodiferentesmanerasderepresentarnmeros.Lossmbolosylasreglasutilizadasparaescribirnmerosconstituyenunsistemadenumeracin.

Algunossistemasdenumeracinsonmseficientesqueotros.Unade lasventajasdenuestrosistemadenumeracinconrespectoaotrosradicaenquepermiteescribircualquiercantidad,porgrandequesea,conpocascifras.

1.1. Com

paracin

y re

flexin

de diferentes sistemas de nu

meracin.

24

ConcifrasoconletrasLosnmerossepuedenescribirconcifrasoconletrasperotambinsepuedenexpresardemaneraoral.Cadaformatienesuspropiasreglas.

Leccin 5

Nuestrosistemadenumeracinesposicionalporqueunamismacifrapuedetenerdistintosvalores,dependiendodelaposicinqueocupeenunnmero.

Porejemplo,lascifrasdelosnmeros73y37sonlasmismasperoencadanmerotie-nenunvalordistinto.

1 Formaunequipodecuatrocontuscompaerosyhaganlosiguiente:

a)Tomecadaquienunahojatamaocartaydivdanlaenochopartesigualespartiendosiemprealamitad.

b)Anotenencadatarjetaunnmerodeunacifra,delceroalsiete.c)Realicenelsiguientejuego.

Reglas:

l Juntenlastarjetasdetodos,revulvanlasypnganlasunasobreotraconelnmerohaciaabajo.l Porturnos,cadajugadorvatomandounatarjetahastacompletartresyconellastratadeformar

elnmeromayorposible.l Cadajugadorleesunmeroenvozalta.Ganaelquelogrformarelnmeromayor.l Despusdecuatrorondasinicianunnuevojuegoperoahoracadaquientomacuatrotarjetas.

Enelltimojuegocadaquientomarochotarjetas.

2 Alterminardejugar,contestalosiguiente:

a)Culeselmayornmeroquesepudoformarconochotarjetas?

b)Describeelprocedimientoqueseguisteparaformarelnmeromayorposibleconlastarjetasque

tetocaron:

c)Sidosnmerostienenigualcantidaddecifras,enqutefijasparasaberculesmayor?

d)RosayPedrohansacadotrestarjetascadaunoylesfaltaunaporsacar.EsposiblequeganePe-dro? Cmo?

Tarjetas de Pedro Tarjetas de Rosa

6 6 6 1 0 0

Reglas:

l

l

l

l

25

3 Enelreversodesustarjetasescribanestaspalabras:

Realicenotrojuego,ahoraconlaspalabrasqueescribieronensustarjetas.stassonlasreglas:l Cadaunorevuelvesustarjetasylascolocaunasobreotraconlapalabrahaciaabajo.l Cadaquientomatresdesustarjetasytratadeformarelnmeromayorposible.Noesobliga-

toriousarlastrestarjetas.l Despusdetresrondasaumentanunatarjeta,esdecir,cadaunotomacuatrodesustarjetasy

tratadeformarelnmeromayorposible.

4 Loschequesllevananotadalacantidadconcifrasyconletras.Anotaencadaunoloquehacefalta.

5 Formaunequipodecuatrocontuscompaerosydespushagandosparejas.JugarlaparejaAcontralaparejaB.

l Cadaunoescribaunalistade5nmerosquetenganentre7y10cifras.Habrcuatrolistasentotal.

l LaparejaAdebedarsuslistasalaparejaByviceversa.l PrimerojuegalaparejaAmientraslaparejaBobservayvequesecumplanlasreglas.l UnmiembrodelaparejaAtomaunadelaslistasquehicieronsuscompaerosyledictaasu

parejaloscinconmerosdelalista.Debedecirelnombredelosnmeros,nosevaledecircifraporcifra.Elotromiembroanotalosnmerosconcifras,enunahojadepapel.Luego,cambian:tocaalsegundomiembrodictarlosnmerosdesulista,yalotroanotarlos.Alterminar,compa-ranlosnmerosdictadosconlosnmerosanotados,cifraporcifra.Cadavezquelosnmerosseaniguales,laparejatieneunpunto.

l Despus,tocajugaralaparejaBdelamismamanera.Alterminar,veanquparejasacmspuntos.

Un(o) diez cien(to)(s) mil milln (es) dos tres cuatro

Fecha Pguesea:

$50060.00

Conletra:

Fecha Pguesea:

$35004356.00

Conletra:

1.1. An

lisis de prop

ieda

des de

l sistema de

cimal de nu

meracin.

Recuerda.Paraleerunacantidadescritaconcifras,convienesepararstasengruposdetres,comen-

zandoporlasunidades.Porejemplo,lacantidad23201035804sepuedeescribiras:

23 201 035 804

milesmillonesmiles Yselee:veintitrsmildoscientosunmillonestreintaycincomilochocientoscuatro.

26

LasaparienciasengaanConnmerosdiferentespuedenescribirsefraccionesquevalenlomismo,porejemplo, 23 y

46 .A

estasfraccionesselesllamaequivalentes.Sabasqueidentificarfraccionesequivalentessirveparacompararyparasumarfracciones?

Leccin 6

1 Reneteconuncompaeroocompaerayrealicenjuntoslossiguientesejercicios.

a)Eldibujodeabajorepresentaunapistade9kilmetros.Ubiquenaloscorredoresenellugaraproximadoenquevan,comosemuestraenelejemplo.

Corredor A B C D E F G H I J

Kilmetros que lleva recorridos

634

213 6 5

34

163

183 6

12 5

13

132 7

14

Culescorredoresvanempatados?_________________________

b)Localicenenlarectanumricalassiguientesfracciones:

13 ,

23 ,

12 ,

56 ,

26 ,

39 ,

46 ,

1518,

36 ,

69

0 1

1

2

3

4

5

E6

7

8

0

27

Siubicaronbienlasfracciones,variasquedanenelmismolugar,esdecir,sonequivalentes.Delasfraccionesanteriores,escribanenelespaciocorrespondientelasequivalentesalasqueseindican.

13 ,

12 ,

23 ,

56 ,

c)Encadaparejadenmeros,averigenculeselmayorysubryenlo.Silosnmerossonequiva-lentes,subrayenlosdos.

612

y 1 76

y 1 56

y 1 32

y 1 66

y 1

12

y 13

12

y 23

12

y 36

12

y 46

12

y 56

32

y 23

46

y 64

34

y 43

612

y 126

64

y 46

23

y 46

512

y 76

1112

y 34

812

y 23

23

y 56

d)Ubiquenlosnmerosanterioresenlarecta.Unavezqueestnubicados,usenelordenenquequedaronpararevisarlapreguntaanterior.

e)Paracadaunade lassiguientes fraccionesencuentraotraqueseaequivalenteperoqueseescribaconlosnmerosmenoresposibles,esdecir,simplificalafraccin.

68 = 816 =

50100=

3090 = 1012 =

1015 =

2 Comparensusresultadosyentretodosrecuerdencmosepuedesaberculdedosfraccionesesmayorosisonequivalentes,ycmosimplificarunafraccin.

10 2

1.2. Orden

, sim

plificacin

y equ

ivalen

cia de

fraccion

es.

28

Leccin 7 RectasynmerosLarecta numricapermiterepresentardistintasclasesdenmeros,compararloseinclusoayudaaefectuaralgunasoperaciones.

1 Aungrupodealumnosselepidirepresentarlosnmeros0,8,16y24enestarecta.

Acontinuacinverscmoresolvieronelproblemacuatroalumnos.Anotaencadacasosicreesqueestbienomalyexplicaporqu.

a)Joslohizoas:

LoquehizoJosest porque

b)Pedrohizolosiguiente:

LoquehizoPedroest porque

c)Maralohizoas:

LoquehizoMaraest porque

d)Rosaresolvias:

LoquehizoRosaest porque

e)Yt,cmoloharas?Usalarectaquehayaliniciodelaleccinparadarturespuesta.

29

Alrepresentarnmerosenunarectanumricaesimportantetomarencuenta:Primero:Nohayunlugarespecficoparaelcero,demaneraque,aligualqueenelpro-

blema4,lopudisteubicardondetepareciconveniente.Segundo:Unavezqueseestableceunamedida,fraccionariaoentera,esamedidadebe

conservarseenesarecta.Josseequivocporquenoconservlamismamedida.De0a8cadaespaciovaleuno,perode8a16cadaespaciovaledos,yde16a24cadaespaciovalecuatro.Estonosepuedehacerenlamismarecta.

Tercero:Sehaconvenidoqueelvalordelosnmerosrepresentadosenunarectaau-mentadeizquierdaaderechaodeabajohaciaarriba.Rosanotomencuentaestaconven-cinyporesoestmal.

2 Representaenlasiguienterectalosnmeros 14 ,12 y2.

3 Contuscompaerosyconlaayudadetuprofesorcomparenycomentenlasrespuestasquedieronenlosproblemas1y2.

4 Representaenlasiguienterectalosnmeros12 ,

54 y3,despuscontestalaspre

guntas.Tomaencuentaqueyahayunnmerorepresentado.

a)Cuntosoctavoshayde 18 a12 ?

b)Cuntosoctavoshayde 18 a3?

c)Cuntosoctavoshayde 12 a54 ?

d)Acuntosmilmetrosde 18 pusisteel0? Coincideestamedidaconladetus

compaeros? Eranecesarioquecoincidiera?

5 Representaenlaprimerarectatresnmerosnaturalesconsecutivos;enlasegunda,tresnmerosfraccionariostalesqueeldeenmedioestalamismadistanciadelmenorquedelmayor.Enlatercerarectarepresentatresnmerosdecimalesquecumplanconlasmismascondicionesquelosfraccionarios.

1.2. An

lisis de co

nven

cion

es al rep

resentar nm

eros en la re

cta nu

mrica.

30

Leccin 8 NmerosocultosILarectanumricapuedeserunrecursoparaplantearyresolverproblemas.

1 Enlasiguienterectaelsegmentode0a20estdivididoencincopartesiguales.Anotaelnmeroquelecorrespondealpuntoquesealalaflecha.

a)Unalumnodeotrogrupodicequeelnmeroquecorrespondealpuntosealadoconlaflecha

esel3.Explcaleporqunopuedeser.

b)Conbaseenlainformacinquehayenlarectaanterior,culeselvalordecadaunadelascinco

partesenquesedivideelsegmentode0a20?

c)Sielsegmentode0a20estuvieradivididoencuatropartesigualesenvezdecinco,quvalor

tendracadaparte? Cmoloaveriguaste?

d)Ysielsegmentode0a20estuvieradivididoentrespartesiguales,quvalortendracadaparte?

Verificaque,efectivamente,alsumartresvecesestevalorllegasa20.

+ + =20

2 Enlasiguienterectaelsegmentodeceroa20estdivididoenseispartesiguales.Anotaelnmeroquecorrespondealpuntosealadoconlaflecha.

a)Enungrupoenelquehabacincoequipospropusieronlossiguientesnmerosparaelpuntose-aladoconlaflecha.Anotaenlacolumnadecomentariosporqusoporqunoescorrectocadaresultado.

Equipo Resultados Comentarios

1 6

2203

3 7

4 6 + 23

5 6.6

31

b)Cmocreesqueaveriguaronelresultadolosdosequiposqueacertaron?

3 Enlasiguienterecta,elsegmentode0a5estdivididoentrespartesiguales.

a)Anotaelnmeroquecorrespondealpuntosealadoconlaflecha.

b)Qunmerohabrasanotadosienlugardel5estuvierael1?c)Y,sien lugardel5estuvierael2, qunmerohabrasanotadoenelpuntosealadocon la

flecha?

d)Verificaquesumandotresveceselnmeroqueanotaste,efectivamentellegasal5.

+ + =5

ascomo: + + =1

obien: + + =2

4 Elsegmentode0a5estdivididoenochopartesiguales.

a)Anotalosnmerosquecorrespondenalospuntossealadosconflechas.

b)Laflechadeenmediosealajustamentelamitaddelsegmentode0a5;verificaqueelnmeroqueanotasteefectivamenteeslamitadde5.

c)Qupartede5eselnmeroqueanotasteenlaprimeraflechadelaizquierda?

5 Enlasiguienterecta,elsegmentoABsedividiensietepartesiguales.

a)QunmeropuedecorresponderalpuntoA?

b)QunmeropuedecorresponderalpuntoB?

c)AnotaotronmeroqueseubiqueenelsegmentoAB.

d)AnotaunnmeroqueseubiquefueradelsegmentoAB.

e)Comentatusrespuestasengrupo.PuedesencontrarotrosvaloresparaAyB?

1.2. Ubicacin

de n

meros en la re

cta, bajo ciertas co

ndicione

s.

32

Leccin 9 NmerosocultosIILarectanumricaayudaaverqueentredosnmerosfraccionariosodecimalescualesquierasiempresepuedeubicarotronmero.

1 Enlasiguienterecta,elsegmentode0a13 estdivididoencuatropartesiguales.

a)Anotaelnmeroquecorrespondealpuntosealadoconlaflecha

b)Otramaneraderepresentar 13 divididoencuatropartes igualesescomosemuestraen lafiguradelaizquierda.

Qufraccindelenterorepresentalapartecoloreada?

Verificaqueestenmeroeselmismoqueanotasteenelpuntosealadoconlaflecha.

c)Unamaneradeindicarladivisinde 13 encuatropartesigualesesmediantelaescrituradelaoperacin.Anotaelresultadoyverificaquesumandocuatrovecesestenmeroseobtiene 13 .

13 4=porque: + + + =

13

2 Enlasiguienterectaelsegmentode2a5sedividientrespartesiguales.

a)Anotaelnmeroquecorrespondealpuntosealadoconlaflecha.

b)Comotehabrsdadocuenta,enestecasolalongituddelsegmentode2a5noestindicada,porqueelsegmentonoempiezaenelcero.

Culeslalongituddelsegmentode2a5? Culeselvalorquecorrespondeacadaunadelastrespartesenquesedivide?

c)Sielmismosegmentode2a5sedivideencuatropartesiguales,culeselnmeroquecorres-pondealpuntosealadoconlaflecha?Antaloenlasiguienterecta.

3 Antesdecontinuarconlaleccin,comentacontuscompaeros,compaerasy

contuprofesoraoprofesor,sobrelasrespuestasquehanencontrado.

33

4 Enlarecta,laflechasealaelpuntomediodelsegmentoquevade 13a23 .

Acontinuacinsepresentancuatrorazonamientosdistintosquepermitenencontrarelnmeroquesealalaflecha;anotasobrelaslneascorrectooincorrecto.

l Elsegmentoquevade13 a

23 mide

13

.Lamitadde13 es

16 ,entonces,elnmeroqueseala

laflechaes 13 +16 =

36 .

l Elnmeroquesealalaflechaes 13 +12 ,esdecir,

56 .

l 13 eslomismoque26 ,y

23 eslomismoque

46 ,elnmeroqueestalamitadentre

26 y

46 es

36 .

l Elnmeroquesealalaflechaeslamitadde 13 ,esdecir,16 .

5 EnlarectaAelsegmentoquevade0a1sedividiendiezpartesiguales.EnlarectaB,unadeestaspartesseamplificysevolviadividirendiezpartesiguales.EnlarectaC,unaparteseamplificyotravezsedividiendiezpartesiguales.

a) Anota losnmerosquecorrespondena lospuntossealadosconflechasydespuscontesta laspreguntas.

A

B

C

b)Escribeunnmeroqueestcomprendidoentre 110 y210

c)Escribeunnmeroqueestcomprendidoentre0.4y0.5

6 Comentaengrupo,conayudadetuprofesoraoprofesor,sobrelosresultadosdelasactividades4y5.

1.2. Propied

ad de de

nsidad

de los n

meros ra

cion

ales.

34

Leccin 10 LamatemticadelasrejasLasmatemticasestnpresentesenmuchosobjetosdelavidacotidiana.Algunaveztehaspreguntadoqutienenqueverlasrejasconlasmatemticas?

1 DonManolo,elherrero,disearejasformadasportresmodelosdebarras.

TipoA TipoB TipoC

staespartedeunareja.

1 2 3 4 5 6 7

a)Qutipodebarraeslabarranmero5?

b)Silarejacontina,dequtiposerlabarranmero10?

c)Yla39?

d)Labarranmero45esdeltipoB?

e)Cmoloaveriguaron?

35

2 VeamosunaseccindeotrarejaquedisedonManolo.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

a)Completalatabla.

Tipo de barra Lugares que ocupan

A 3 6 9

B 2 5 8

C 1 4 7

b)Encuentrayexplicalareglaquesiguecadaunadelastressecuenciasnumricasanteriores.

Tipo de barra Regla

A

B

C

c)Escribeeltipodebarra(A,BoC)queestencadaunodelossiguienteslugares.

Lugar 18 19 20 33 38 55 104 121 201 102

Tipo

3 Comparalosresultadosyprocedimientosdetuequipoconlosdelosdemsequipos.

1.3. Recon

ocim

iento de

patrone

s en

secue

ncias fig

urativas.

36

Leccin 11 BordadosMuchasdelasfigurasqueconocessiguenunaciertareglaopatrn.Enlaleccinanterioraprendisteareconocerpatronesenlasrejas,tehasdadocuentadequealgunosbordadostambinsiguenciertopatrn?

1 Lasfigurasdelaizquierdasondiseosparahacerbordadosenpuntodecruz.

a)Consideraquelasfigurascontinanycompletalatabla.

Figura 1 2 3 4 5 10 50 100

Cuadrados bordados

4 8

b)Cmocalculasteelnmerodecuadradosbordadosdelafigura100?

c)Siconoceselnmerodeunafigura,cmocalculaselnmerodecuadradosbordadosquetiene?

d)Siaunafiguralecorrespondeelnmero200,quoperacintienesquehacerparasaberelnmerodecuadrados?

e)Siaunafiguralecorrespondeelnmeron,cmoexpresaselnmerodecuadradosbordadosquetiene?

f) Algunafiguracompletadeestediseotendr101cuadradosbordados? Porqu?

2 Comparatusresultadosconlosdeotroscompaerosycompaeras.Noolvidencomentarloqueentiendenpornmero n.

3 Aqutienesotrodiseo.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4


37

a)Consideraquelasfigurasanteriorescontinanycompletalatabla.

Figura 1 2 3 4 5 10 50 100 n

Cuadrados bordados 5 9

b)Cmocalculasteloscuadradosdelafigura100?


d)Siaunafiguralecorrespondeelnmero200,quoperacionestienesquehacerparasaberel

nmerodecuadrados?

e)Algunafiguracompletadeestediseotendr45cuadradosbordados?

4 Finalmente,tepresentamosundiseoms.

a)Consideraquelasfigurascontinanycompletalatabla.

Figura 1 2 3 4 5 10 50 100 n

Cuadrados bordados 4

b)Cmocalculasteloscuadradosdelafigura100?


d)Siaunafiguralecorrespondeelnmero200,quoperacionestienesquehacerparasaberel

nmerodecuadrados?

e)Algunafiguracompletatendr121cuadradosbordados?

5 Comparatusresultadosconlosdeotroscompaerosycompaeras;noolvidencomentarlaexpresinqueencontraronparalafiguran.


1.3. Recon

ocim

iento y expresin simb

lica de

patrone

s en

secue

ncias fig

urativas.

38

Leccin 12 SmbolosenlugardepalabrasComoyaviste,lareglaopatrnquesigueunasecuenciapuedeexpresarseconlaayudadelaletran.Adems,paraabreviar,esposibleusarsolamenteletrasysmbolosmatemticosenlugardepalabras.

1 Consideralasecuenciadefiguras.

a)Completalatabla

Figura 1 2 3 4 50 100

Nmero de crculos

b)Analizaycompleta

Lafigura8tiene338crculos,lafigura90tiene3390crculos,lafigura1 000tiene

crculos,lafigura5 000tiene crculos,lafigurantiene crculos.

2 Consideralasecuenciadefigurasycompletalatabla;enlaltimacolumnatienesqueanotarcuntoscrculostendrlafiguran.

Figura 1 2 3 50 100 n

Nmero de crculos

Cuando se usan letras, por ejemplo la n, no conviene usar el signo x para la multiplicacin porque se confunde con la letra equis. En matemticas, en lugar de anotar 3 3 n, podemos anotar 3n que significa tres por n o tres veces n.


Figura 1 Figura 2 Figura 3

39

Nmero de mesas 1 2 3 4 20 100 n

Nmero de sillas

1 2 3 4 20 100 n

4 8 12 16 80

1 2 3 4 5 10 20 100 n

2 4 6 20 2n

5 10 100

3 5 7 201 2n11

1 3 5 9 199

6 12 60

Secuenciadefiguras:

Figura 1 Figura 2

3 Analizaelnmerodesillas(puntos)quesepuedenponeralrededordemesasparacuatropersonascolocadascomosemuestra.Completalatabla.

4 Lasiguientetablaesdeunasecuenciadenmeros;compltalaeinventalasecuenciadefiguras.

5 Comparatusresultadosyprocedimientosconlosdetuscompaerosycompaerasdegrupo;enespecial,comparenlasexpresionesdondeutilizaronlaletran.

6 Completalatabladesecuenciasnumricas.

1.3. Recon

ocim

iento y expresin simb

lica de

patrone

s en

secue

ncias fig

urativas.

40

Leccin 13 ConstruyendosecuenciasApartirdeunasecuenciadenmeros,yahasaprendidoaexpresarlareglageneralqueladefine.Ahora,apartirdelaregla,podrsdeterminarlasecuencia?

1 Enlasleccionesanteriorescompletastetablascomosta:

1 2 3 4 5 6 n3 6 9 12 15 18 3n

Enelsegundorenglnseformaunasecuencia:3, 6, 9, 12, 15, Lospuntossuspensivos()indicanquelasecuenciacontina.

Lasecuenciaanteriorsepuedegenerarapartirdelaexpresin3ndelasiguientemanera:Sienlugardenponemoslosnmeros1, 2, 3, 4, 5,...

3n 3 3 1 5 3 3 3 2 5 6 3 3 3 5 9 3 3 4 5 12 3 3 5 5 15

Losresultadosformanlasecuencia:3, 6, 9, 12, 15, . . .

2 Veamosotroejemplo.

Sienlaexpresinn1 4ponemoslosnmeros1, 2, 3, 4, 5,...enlugarden,obtenemosotrase-cuencia.Completalosiguiente.

n 1 4

1 1 4 5

2 1 4 5

1 4 5

1 4 5

1 4 5

Anotalasecuencia: , , , , ...

41

3 Realizaenlatablasiguienteloquesepideacontinuacin.

l Alsustituirlandelaexpresin2nporlosvaloresdelprimerrengln(1, 2, 3),seobtiene,enelsegundorengln,lasecuencia 2, 4, 6Compltalaenlatabla.

l Hazlomismoconlasexpresionesdelosrenglonessiguientes.l Cuandonosedalaexpresin,indgalaapartirdelosvaloresquesedan.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2n 2 4 6 10 12 14

5n

n 1 10

n 2 1

2n 1 1

3n 2 1

6 7 8 10

3 4 5 7

4 8 12 16

2 4 6 8

11 21 41

4 Comparatusresultadosengrupoy,conayudadetuprofesor,leanycomentenlasiguienteinformacin.

5 Inventatresreglasalgebraicasdesecuencias,escrbelasentucuadernoyanotalosprimeros10trminosdecadasecuencia.

6 Enlacomputadorapuedesgenerarsecuenciasnumricas.Consultalosanexos1y2delaspginas262a265.

Lasexpresionescomo n16 3n 4n12sellamanexpresionesalgebraicas.Observaquetienenunaletraquepuedetomardife-rentesvalores.

Cuandolaexpresinalgebraicaseusaparaexpresarelpatrndeunasecuencia,laletranrepresentaellugarqueocupacualquiertrminodelasecuencia.Porejemplo,enlasecuenciacuyaexpresines4n12,eltrminoqueestenelquintolugares:43512522.

Recuerdaqueenunaexpresinalgebraicanoconvieneusarelsignopor(3)delamul-tiplicacin,porqueseconfundeconlaequis,porloque 3n significa 3porn o 3veces n.

1.3. Con

struccin de

secue

ncias nu

mricas a partir de un

a regla da

da.

TECNOLOGA

42

Leccin 14 Lafrmulaestil,peronoeslonicoLasfrmulasconstituyenunaayudaenlarealizacindediversosclculos,peroavecesnosonsuficientes.

1 Imaginarectngulosdiferentes:pequeos,medianos,grandes,uobjetosquetenganformaderectngulo;porejemplo,cuadernos, losetas,pizarrones,ventanas,patios,etc.Quprocedimientoutilizarasparacalcularelreadecualquieradeellos?Descrbelo.

2 Aunqueexisteunprocedimientogeneralparacalcularelreadecualquierrectngulo,lainformacinquesenecesitaparahacerelclculopuededarsededistintasmaneras,comolassiguientes.

a)Sobre fondo cuadriculado.Culeselreadecadarectngulo?Considerauncuadritocomounidad.

A= A5

b)Sobre fondo blanco, con medidas reales.Culeselreadelsiguienterectngulo,encentmetroscuadrados?

A53.5 cm

6 cm

43

c)Con medidas ficticias.Culeselreadeesterectngulo,enmetroscuadrados?

A5

d)Con medidas disfrazadas.Elradiodelcrculopequeomide3yelradiodelcrculograndemide5.Culeselreadelrectngulo?

A5

e)Con medidas representadas con literales. Ellargodelrectngulomidemyelanchomiden.Culeselreadelrectngulo?

A5

3 Analizaengrupo,contuprofesoroprofesora,cadaunadelasrespuestasqueobtuvieron.Encasodehaberdiferencias,tratendeaveriguarquintieneraznyaqusedebenloserrores.

Elresultadoobtenidoenelltimoproblemaeslaexpresingeneral,tambinllamadafrmula,conlacualsecalculaelreadecualquierrectngulo.

Laexpresinconpalabrases:rea(delrectngulo)esigualalargoporancho.Laexpresinconliteraleses:A5mn.Envezdelargoyanchosueledecirsebase(b)yaltu-

ra(h),demaneraquelafrmulamsconocidaesA5bh,perosetratadelamismafrmula.Recuerdaquecuandosemultiplicandosliteralesnoseusaelsigno3,paranoconfun-

dirloconlaletraequis.

13 m

25 m

35

n

m

1.4. Signific

ado de

la f

rmula pa

ra el rea de

l rectng

ulo.

44

Leccin 15 ConnmerosoconletrasElusodeliteralesparaexpresarmedidasconstituyungranavanceeneldesarrollodelamatemtica.

1 Realizalosiguiente.

a)Expresaconpalabras,de lamaneramsbreveposible,elprocedimientoqueseutilizaparacalcularelpermetrodeunrectngulo.

b)Conayudadelprofesoroprofesora,averigencules ladescripcinmsbrevedelgrupo.Verifiquenqueseacorrecta.

c)Expresenenformageneralelprocedimientoparacalcularelpermetrodelrectngulodelaizquierda.

d)Lafrmulaparaobtenerelpermetrodelrectngulopuedeexpresarsealmenosdedosmaneras:comolasumadelasmedidasdesuscuatroladosocomolasumadedosveceslamedidadeunladomsdosveceslamedidadelotrolado.Anotaloquehacefaltaenestasdosexpresiones.

P5 1 1 1

P5 1

e)Todavahayunaformamssimpledeexpresarelpermetrodelrectngulo.Cules?

2 Lasdosfigurassiguientessontringulosequilteros,esdecir,tienensustresladosiguales.Enunodelostringulos,lasmedidasestnexpresadasconnmerosy,enelotro,conliterales.

a)Anotasobrelaslneaslasmedidasquesepiden.

Medidadeunlado:

Medidadelaaltura:

Permetro:

rea:

a

l

P5

2.6 cm

3 cm

a

b

Elreadeltringuloesigualalproductodesubaseporlaalturadivididoentre2.

Medidadeunlado:

Medidadelaaltura:

Permetro:

rea:

45

b)Engrupoyconayudadeldocenterevisencadaunadelasmedidasqueescribieronsobrelaslneas,especialmenteenloscasosenquenocoincidan.Tratendeverquinestienenrazn.

3 Ahorahazlomismoconlossiguientescuadrados.

4 Lasiguientefiguraesunparalelogramo.Dosmedidasestnindicadasconnmerosyunamsconunaliteral.Anotaloquesepideenlapartederecha.

5 ElpermetrodeunafiguracuyosladosyngulossonigualespuedecalcularsemediantelafrmulaP=a+a+a+a+a,obien,P=5a,enlaquearepresentalamedidadeunlado.

a)Dequfigurasetrata?

b)Siavale3.5,culeselpermetrodelafigura?

c)Sielpermetrodelafiguramide28,culeselvalordea?

d)Entucuaderno,hazundibujodelafiguraydivdelaen5tringulosiguales.Laalturadeunodeesostringulosmideb.Cmoseexpresaelreadelafiguraconliterales?A5

6 Conayudadelprofesorrevisencadaunadelasrespuestasdelproblemaanterior,enparticularaquellasquesondiferentes.

7 LasiguientefrmulasirveparacalcularelreadeuntrapecioA5(B1b)h2

.

a)AsignenvaloresaB,byh.

b)Calculenelreadeltrapecio.

c)Traceneltrapecioyescribansusmedidas.

3 cm a

Medidadeunlado:

Permetro:

rea:

Medidadeunlado:

Permetro:

rea:

6.5 cm

3 cm x

Medidadelabase:

Medidadelaaltura:

Permetro:

rea:

1.4. Uso del leng

uaje natural para explicar el signific

ado de

algun

as f

rmulas geo

mtric

as,

interpretand

o literales com

o n

meros gen

erales con

los qu

e es posible ope

rar.

Recuerda.Elreadelparalelogramoesigualalproductodesubaseporlaaltura.

46

Leccin 16 ReflejosTehasfijadocmosereflejaunaimagenenunespejo?

1 Imaginaquesecolocaunespejosobrelalnearoja.Escribesiunadelasfigurasdecadaparejaesreflejoonoesreflejodelaotrayporqu.

a) b)

c) d)

2 Trazaunalnearectadondecreasquesetienequecolocarelespejoparaque,encadapareja,unafiguraseaelreflejodelaotra.Lalneapuedeserhorizontal,verticaloinclinada.

Lalneaquetrazasteencadaparejasellamaejedesimetra.Sedicequeunafiguraysureflejosonsimtricosconrespectoalejedesimetra.

47

3 Identificalospuntosqueseansimtricosconrespectoalalnearojaypntalosdelmismocolor.


a)Unelasparejasdepuntossimtricosconunsegmentoymidelosngulosqueformacadasegmentoconelejedesimetra.

Cuntomidenestosngulos?

b)Cmosellamanlosngulosquetienenestamedida? Cmosellamanlasrectas queformanngulosdeesamedida?

5 Comparensusrespuestasycomentenloescritoenlosrecuadros.

Elejedesimetrayelsegmentoqueunepuntossimtricossonperpendiculares.

Unpuntoysureflejoestnalamismadistanciadelejedesimetra.

Comparaladistanciadeunpuntoalejedesimetraconladistanciadesureflejoalmismoeje.Qupuedesconcluir?

1.5. Noc

in de

sim

etra

y pun

tos simtric

os.

48

Leccin 17 ReflejosenelgeoplanoLasimetrarespectoaunejeconservaalgunaspropiedadesdelasfiguras.Lasactividadesdeestaleccinteayudarnadescubrircules.

1 Encadaarreglodepuntos,dibujaelsimtricodecadafigurarespectoalsegmentorojo.

2 Anotalasletrasquecorrespondenalosvrticesdelasfigurasquetrazasteenlaactividad1.

Habrsobservadoque sehanpuesto letrasa losvrticesdecadafigura.Seacostumbranombraraunpuntoyasusimtricoconlamismaletra,poniendounapstrofoalaletradelsimtrico.As,alsimtricodeAselenombraAyseleeAprima.

I II III

IV V VI

I

A D

B C

II

H

G

E

F

III

L

K

I

J

IV

MN

O

V

P

Q

R

S

PPPP

SSSSSSQQQQQQQQQQQQ

RRRRRRRRRR

VI

T

U

V

WWWWWWW

TTTTTTTT

VVVVVVVVVVVVV

UUUUUUUUU

49


a)Anotalasmedidasdelossegmentosusandounladodelcuadritocomounidad.

AB5 BC5 CD5 DA5

AB5 BC 5 CD5 DA 5 b)Comparalamedidadecadasegmentoconladesusimtrico.

Sonigualesodiferentes?

c)Anotalasmedidasdelosngulos.

/E 5 /F5 /G5 /H5

/E 5 /F 5 /G 5 /H5

d)Comparalasmedidasdeunnguloydesusimtrico.

Sonigualesodiferentes?


a)Enquarreglosdepuntosdelapginaanteriorhayfigurasconladosparalelos?

ABesparaleloaCD;estoseescribeABiCD.

b)LossegmentosAByCDtambinsonparalelos?

c)Sidossegmentossonparalelos,susreflejostambinloson?

d)Enquarreglosdepuntoshayfigurasconladosperpendiculares? ADesperpendicularaAB;estoseescribeAD'AB.

e)LossegmentosADyABtambinsonperpendiculares?

f) Sidossegmentossonperpendiculares,susreflejostambinloson?

5 Verificasilasfigurasquetrazasteenlaactividad1cumplenlosiguiente:cuandodossegmentossonparalelosoperpendiculares,susreflejostambinloson.

6 Comparatusresultadosconlosdetuscompaerosycompaerasdelgrupo.

A A D D

B B C C

F G

F G

E H

E H

Alreflejarunafiguraseconservan:llasmedidasdesusladosydesusngulos,lelparalelismoylaperpendicularidaddesuslados.

Unidad

1.5. Recon

ocim

iento de

las prop

ieda

des qu

e se con

servan

en la sim

etra

.

50

Leccin 18 SincuadrculaCmoseteocurrequeseconstruyenlasfigurassimtricascuandonohaygeoplanonicuadrcula?

1 Trazalasimtricadelafiguraazulconrespectoalalnearoja.AnotaAalpuntosimtricodeA,BalsimtricodeB,yassucesivamente.

2 Ahoranohaycuadrcula.Piensacontuscompaerosqupuedenhacerparatrazarlasimtricadelafiguraazulconrespectoalalnearoja.

Cuandosepongandeacuerdo,tracenlafigurayescribanensuscuadernoselprocedimientoqueemplearon.

3 Comparensuprocedimientoconlosdeotrosequiposdelgrupo.Entretodoselijanlosprocedimientosquecreanmsprecisosparaconstruirunafigurasimtricaaotrarespectodeuneje.

B

C

A

E

D

51

4 Trazalasimtricadecadafiguraconrespectoaleje.Rotulaconletraslosvrtices.

a)

b)

c)

Paratrazarunafigurasimtricaaotraconrespectoauneje:1Setrazanperpendicularesalejeporcadavrticedelafigura.2Sobrelaperpendiculartrazadasemideladistanciadecadavrticealejeyesamisma

distanciasetomadelotroladodelejeparaencontrarlosvrticessimtricos.3Seunenlosvrticessimtricosparaformarlafigurasimtrica.

1.5. C

onstruccin de

figu

ras simtric

as re

specto a un eje.

52

Leccin 19 Sonproporcionales?Cuandolascantidadesdeunconjuntodependendelasdeotroconjunto,enciertoscasosesposiblepreverelvalorquetendrunacantidadapartirdelvalordeotra.

1 Calculenlosdatosquefaltanencadatabla.Cuandoconsiderenquealgndatonopuedecalcularse,tachenlacasillacorrespondiente.

Cuando Mario naci, Luisa tena 6 aosAcontecimiento Edad de Mario Edad de Luisa

Mario entra a la primaria 12

Luisa termina su carrera 18

Luisa tiene su primer hijo 36

Mario tiene su primer hijo 42

Tabla 1

El taxi cobra $6.50 por el servicio ms $4.50 por kilmetroKilmetros recorridos en taxi Precio del recorrido

3

5

15 $74.00

30

Tabla 2

Una receta para un pastel pide hornear durante 45 minutos a 200 grados

Nmero de pasteles que se hornean al mismo tiempo Tiempo de horneado

1 45 min

2

3

Tabla 3

Los helados se venden a Nm. de helados Precio

3

6 $18.00

15

30 $90.00

Tabla 4

Todas las cajas tienen la misma cantidad de chocolates

Nmero de cajas Nmero de chocolates

3 36

6

10

12 144

Tabla 5

El disco trae 20 cancionesNmero de canciones

reproducidasTiempo transcurrido desde que se pone la primera cancin

1 3 min

2 7 min

3 9 min

4

Tabla 6

Ana lee un libroNmero total de pginas

ledasNmero de pginas

por leer

12 102

24

36

60 5544

Tabla 7

Un automvil se desplaza a una velocidad constante de 90 km/h

Tiempo transcurrido Distancia

1 hora

2 horas

3 horas

4 horas

Tabla 8

53

2 Engrupoyconlaayudadesuprofesor,revisencadaunadelastablasanterioresdelasiguientemanera:

a)Comparenlascantidadesqueencontraron.Sinosoniguales,analicensihayvariascorrectasosisolamenteunaloes.

b)Ponganunapalomitaountacheenelsiguientecuadroparaindicarsilatablaqueestnrevisandotieneonolacaractersticaqueseindica.

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8

Cuando una cantidad de uno de los conjuntos vara (au-menta o disminuye), la cantidad que le corresponde en el otro conjunto puede no variar (solamente una tabla tiene esta caracterstica).

Cuando las cantidades de un conjunto aumentan, las can-tidades correspondientes en el otro conjunto tambin tie-nen un aumento.

Cuando las cantidades de un conjunto aumentan, las canti-dades correspondientes en el otro conjunto disminuyen.

La diferencia (resta) entre dos cantidades de un conjunto es siempre igual a la diferencia entre las dos cantidades correspondientes en el otro conjunto.

4 8Cuando una cantidad se hace dos, o tres, o n veces mayor, la cantidad correspondiente en el otro conjunto tambin se hace ese mismo nmero de veces mayor (tres tablas tie-nen esta caracterstica).

c)Contestenlassiguientespreguntas:l LasedadesdeLuisasonproporcionalesalasedadesdeMario?l Lascantidadesdetiempoquerequierenlospasteles parahornearsesonproporcionalesalascantidades depastelesquesehornean? l Lascantidadesdedineroquesedebenpagarporloshelados sonproporcionalesalascantidadesdeheladosquesecompren?l Lacantidadtotaldetiempotranscurridodesdelaprimeracancin esproporcionalalnmerodecancionesquehansidoreproducidas?

d)Encuentrentresparejasdecantidadesqueustedespiensenquesonproporcionalesyotrastresquenoloson.

Recuerda.Haymuchasformasenquelascantidadesdeunconjuntopuedendependerdelascantidadesdeotroconjunto.

Siunacantidaddeunconjuntoaumentadosveces, tresvecesonveces,y lacantidadcorrespondientedelotroconjuntotambinaumentaesemismonmerodeveces,sedicequelascantidadesdeunconjuntosondirectamenteproporcionalesalasdelotroconjunto.

1.6. Id

entificacin de

relacion

es de prop

orcion

alidad

.

54

Leccin 20 BarcosaescalaCuandosehaceunacopiaaescaladeunafigura,todaslasmedidasdelosladosaumentanodisminuyen,peronodecualquiermanera.Hayunarelacinentrelasmedidasdelafiguraaescalaylasdelafiguraoriginal.

1 Observalosbarcosdeldibujo.Culesteparecequepodranserampliacionesaescaladelbarco1?

2 Anotaenlatablalasmedidasdecadabarco.Usalosladosdeloscuadritoscomo

unidaddemedida.

Lado AB Lado BC Lado CD Lado DE Lado EF Lado GH Lado IJ Lado KL

Barco 1 2 1 1 1 1 1 1 4

Barco 2

Barco 3

Barco 4

A

A

AA

B

B

BBC

C

C

C

1 2 3

4

D

D

D

DE

E

E

E

F

F

F

F

G

G

G

GH

H

H

H

I

I

II

J

J

JJ

K K KL

KL

L L

Recuerda.Unafiguraesunaampliacinoreduccinaescaladeotracuandotienelamis-maformaperodiferentetamao,comosiunafuerafotografadelaotra.Tambinsedicequelasfigurassonsemejantes.

55


a)Enelbarco1,elladoDEesigualalladoEF. EnqubarcoselladoDEnoesigualalladoEF? b)Enelbarco1,elladoABmidelodoblequeelladoBC. EnqubarcoselladoABnomidelodoblequeelladoBC?c)Deacuerdoconloanterior,qubarcosnopueden sercopiasaescaladelbarco1?

d)Culeselnicobarcoqueesunacopiaaescaladelbarco1?e)Culeselfactordeescalaquepermiteobtenersusmedidas almultiplicarlasdelbarco1?

4 Conayudadetuprofesor,comparatusrespuestasdelascincopreguntasanterioresconlasdetuscompaeros.

5 Dibuja,juntoalbarconmero4delapginaanterior,otraampliacinaescaladelbarco1enlaqueelfactordeescalasea3.

6 Enunanuevaampliacinaescaladelbarco1,elladoKLmide24unidades. Culeselfactordeescalaquecorrespondeaesebarco? Dibjaloen

lacuadrculadeabajo.

Cuandounafiguraesunacopiaaescaladeotra,losladosdeunasonproporcionalesalosladosdelaotra.Estoquieredecirque:

Sienunafiguraunladoaesdos,tresvecesonvecesmayorqueunladob,entonces,enlaotrafigura,elladoquecorrespondeaadebersertambinesemismonmerodevecesmayorqueelladoquecorrespondeab.

A B

CD

E F

GHI J

KL

Todaslasmedidasdeunafiguraaescalasepuedenobtenermultiplicandoodividiendolasmedidasdelafiguraoriginalporunmismonmero.Esenmerosellamaconstante de pro-porcionalidadofactordeescala.

1.6. La prop

orcion

alidad

en la escala. Id

entificacin y uso de

un factor de prop

orcion

alidad

entero o fraccin

unitaria

.

56

Leccin 21 LacasitaaescalaQuinformacinesnecesariaparadeterminareltamaodeunacopiaaescala?Lamedidadetodoslosladosdelacopia?,bastaconlamedidadeunlado?,esnecesarioconocercuntasvecesmayoromenoreslacopiaenrelacinconlafiguraoriginal?

1 Sevanahacercincocopiasaescaladeldibujoqueaparecealaizquierda.Enlatabladeabajoseindicanvariasmedidasdeldibujoyslounadelasmedidasdecadacopia.

Antesdecalcularlasmedidasquefaltan,contestalassiguien-tespreguntas.Explicaenqubasastusrespuestas.

a)Qucopiaserlamspequea?

Cmolosabes?

b)Qucopiaserlamsgrande? Cmolosabes?

c)Haydoscopiasquesaldrndelmismotamao. Culescreesqueson? Porqu?

Dibujo original Copia 1 Copia 2 Copia 3 Copia 4 Copia 5Lado a 4 12Lado b 10 5Lado c 6 18Lado d 2 10Lado e 5 10

d)Conayudadelprofesoroprofesora,comparensusrespuestasyexpliquenlasrazonesporlasque

respondieronas.Noesnecesarioquelleguenaacuerdostodava.Msadelantepodrnverificar.

2 Realizaahoralosiguiente:

a)Calculatodaslasmedidasquefaltanyantalasenlatabladelaactividad1.b)Enlaprimeracolumnadelasiguientetablaseindicanalgunasrelacionesquegua

fractal_1 mat sec

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