fourier
DESCRIPTION
Fourier. Transformation Car. Hjem. Bilverksted. Music - Digital. Analog. Digital. Ren tone. Reell tone Digitalisering Tabell FourierTransformSammensetn av rene toner. Integrasjon. Derivasjon. Transformation Computing. Rom 1. Rom 2. 4 + 16 = 20. 2 + 8 = - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
FourierFourierFourierFourier
Transformation Car
Hjem Bilverksted
Music - Digital
Ren tone Reell toneDigitalisering TabellFourierTransform Sammensetn av rene toner
Integrasjon Derivasjon
Analog Digital
Transformation Computing
2
dxxfexfFuF uxj )()()( 2
4
+
16
=
20
2
+
8
=
10
2
2
Rom 1 Rom 2
TransformasjonTransformasjon
Transformation Computing - Logarithm
2
dxxfexfFuF u xj )()()( 2
8
*
32
=
256
3
+
5
=
8
xy 2
yx 2log
Rom 1 y
Rom 2 x
TransformasjonTransformasjon
yxay x2log
Transformation TheoryTransformation Theory
TransformasjonTransformasjonf(x)f(x) F(u)F(u)Room 1 Room 2
f(x) = T-1(F(u))f(x) = T-1(F(u))
F(u) = T[f(x)] F(u) = T[f(x)]
Transformation TheoryIntegral TransformationTransformation TheoryIntegral Transformation
f(…)f(…) F(…)F(…)Room 1 Room 2
f(…) = T-1(F(…))f(…) = T-1(F(…))
F(…) = T[f(…)] F(…) = T[f(…)]
...(...)...)]([ dfxfT
Transformation TheoryIntegral TransformationWavelet - Laplace - Fourier
Transformation TheoryIntegral TransformationWavelet - Laplace - Fourier
f(…)f(…) F(…)F(…)
Fourier
jsdttfestfL st
)())](([
Wavelet
Laplace
dxxfexfFuF u xj )()()( 2
dxxfxfbafWbaW baba )()(),]([),( ,,
Transformation-theoryTransformation-theoryTransformation-theoryTransformation-theory
TransformasjonTransformasjonf(x)f(x) F(u)F(u)
Fourier
0
)())](([ dtetfstfL st
Wavelet
Laplace
dxxfexfFuF uxj )()()( 2
dxxfxfbafWbaW baba )()(),]([),( ,,
Definition of The Continuous Wavelet Transform Definition of The Continuous Wavelet Transform CWTCWTDefinition of The Continuous Wavelet Transform Definition of The Continuous Wavelet Transform CWTCWT
dxxfxfbafWbaW baba )()(),]([),( ,,
0 , )(, 2 aRbaRLf
The continuous-time wavelet transform (CWT)of f(x) with respect to a wavelet (x):
][ fW),]([ bafW
)(xf
)(xL2(R)
a
bxaxba
2/1, || )(
dadbxbaWaC
xf ba )(),(11
)( ,2
)(0,1 x )(0,2 x )(1,2 x
Wavelets
dxxfxfbafWbaW baba )()(),]([),( ,,
a
bxaxba
2/1, || )(
dadbxbaWaC
xf ba )(),(11
)( ,2
dadbxbaWaC
xf ba )(),(11
)( ,2
Kreftsvulster Bomring Video-komprimering
Fjerner lav-frekv. W Fjerner høy-frekv. W
The Norwegian RadiumhospitalThe Norwegian RadiumhospitalMammographyMammographyThe Norwegian RadiumhospitalThe Norwegian RadiumhospitalMammographyMammography
Mexican HatMexican Hat - 3 Dim - 3 DimMexican HatMexican Hat - 3 Dim - 3 Dim
2
2
2σ
x2
2π1 e
σ
x2Ψ(x)
1σ
cosθsin θ
sin θcosθR
2
y
2x
a
10
0a
1
A
ARRP T
y
xr
y
x
b
bb
brPbrT
a
T
y
brPbr
2
1
a2π
1b,a
e2)r(Ψx
y
x
a
aa
2a 1a yx
Image processing IIIWavelet-transformation
Compress 1:50
JPEG Wavelet
Original
Ultrasound Image - Edge detectionUltrasound Image - Edge detectionSINTEF – Unimed – Ultrasound - TrondheimSINTEF – Unimed – Ultrasound - TrondheimUltrasound Image - Edge detectionUltrasound Image - Edge detectionSINTEF – Unimed – Ultrasound - TrondheimSINTEF – Unimed – Ultrasound - Trondheim
- Ultrasound Images- Egde Detection
- Noise Removal- Egde Sharpening- Edge Detection
ArthritisArthritisMeasure of boneMeasure of boneArthritisArthritisMeasure of boneMeasure of bone
a
bxaxba 2/1
, || )(
xex x
2ln
2cos)(
2
Morlet
External part External part
[f]Wa
1ψ2
E/I bone edge E/I bone edge
Wavelet TransformWavelet TransformMorlet Wavelet - Non-visible OscillationMorlet Wavelet - Non-visible Oscillation [1/2] [1/2]Wavelet TransformWavelet TransformMorlet Wavelet - Non-visible OscillationMorlet Wavelet - Non-visible Oscillation [1/2] [1/2]
][fWa
11ψ2
][fWa
12ψ2
xex x
2ln
2cos)(
2
210)0.01(x1 1000e(x)f
9,11 xif x)5sin(2)(
11,,9 xif (x)(x)f
1
12 xf
f
(x)f1
(x)f2
Scalogram
Scalogram
ECGECGECGECG
Seismic traceSeismic traceSeismic traceSeismic trace
Laplace transformasjonLaplace transformasjon
0),,,,(2
2
idtdt
id
dt
diitf
Diff./Integral.lign.
0
)())](([ dtetfstfL st 0),( itg
’Ordinær’ ligningLaplace transformasjon
Fourier TransformationFourier TransformationFourier TransformationFourier Transformation
FourierTransformasjon
FourierTransformasjonf(x)f(x) F(u)F(u)
Continuous Fourier TransformContinuous Fourier TransformDefDefContinuous Fourier TransformContinuous Fourier TransformDefDef
The Fourier transform of a one-dimentional function f(x)
dxexfuf uxj 2)()(ˆ
The Inverse Fourier Transform
dueufxf uxj 2)(ˆ)(
FourierTransformasjon
FourierTransformasjonf(x)f(x) F(u)F(u))(xf )(ˆ uf
Continuous Fourier TransformContinuous Fourier TransformExample - cos(2Example - cos(2ft)ft)Continuous Fourier TransformContinuous Fourier TransformExample - cos(2Example - cos(2ft)ft)
Signals and Fourier TransformSignals and Fourier TransformFrequency InformationFrequency InformationSignals and Fourier TransformSignals and Fourier TransformFrequency InformationFrequency Information
)sin( 11 ty
)sin( 22 ty
)sin()sin( 213 tty
FT
FT
FT
Stationary / Non-stationary signalsStationary / Non-stationary signalsStationary / Non-stationary signalsStationary / Non-stationary signals
60 hvis )sin(
60 hvis )sin(
2
14 tt
tty
)sin()sin( 213 tty
FT
FT
Stationary
Non stationary
The stationary and the non-stationary signal both have the same FT.FT is not suitable to take care of non-stationary signals to give information about time.
Constant function in [-3,3].Dominating frequency = 0and some freequency because of edges.
Transient signalresulting in extra frequencies > 0.
Narrower transient signalresulting in extra higher frequenciespushed away from origin.
Transient SignalTransient SignalFrequency InformationFrequency InformationTransient SignalTransient SignalFrequency InformationFrequency Information
Transient SignalTransient SignalNo Information about PositionNo Information about PositionTransient SignalTransient SignalNo Information about PositionNo Information about Position
Moving the transient part of the signal to a new position does not resultin any change in the transformed signal.
Conclusion: The Fourier transformationcontains information of a transient partof a signal, but only the frequencynot the position.
Signals and Fourier TransformSignals and Fourier TransformFrequency InformationFrequency InformationSignals and Fourier TransformSignals and Fourier TransformFrequency InformationFrequency Information
)sin( 11 ty )sin( 22 ty )sin()sin( 213 tty
FTFTFT
The Fourier Series ExpansionThe Fourier Series Expansionaann,b,bnn coefficients coefficientsThe Fourier Series ExpansionThe Fourier Series Expansionaann,b,bnn coefficients coefficients
L
L
n
L
L
n
nnn
dxL
xnxf
Lb
dxL
xnxf
La
L
xnb
L
xna
axf
sin)(1
cos)(1
sincos2
)(1
0
FourierTransformasjon
FourierTransformasjonf(x)f(x) F(u)F(u)f(x)
an
bn
Pulse Train approximated by Fourier SeriePulse Train approximated by Fourier SeriePulse Train approximated by Fourier SeriePulse Train approximated by Fourier Serie
f(x) square wave (T=2)
N=2
N=10
1
1
0
])12sin[(12
14
2sin
2cos
2)(
n
nnn
xnn
T
xnb
T
xna
axf
N
n
xnn
xf1
])12sin[(12
14)(
N=1
2
)sin(1
)1(2
)(1
1
kikxik
xfN
i
i
N = 1
N = 2
N = 5
N = 10
Zig tag approximated by Fourier Serie
Fourier SeriesFourier SeriesZig tagZig tagFourier SeriesFourier SeriesZig tagZig tag
2
cos(ikx))(
(-1)4
23
1)(
N
1i2
i2
kik
xf
N = 1
N = 2
N = 5
N = 10
Negative sinus function approximated by Fourier Serie
Fourier SeriesFourier SeriesNegative sinus functionNegative sinus functionFourier SeriesFourier SeriesNegative sinus functionNegative sinus function
2
cos(2ikx)1)2(
12)sin(
2
11)(
N
1i2
ki
kxxf
N = 1
N = 2
N = 5
N = 10
Truncated sinus function approximated by Fourier Serie
Fourier SeriesFourier SeriesTruncated sinus functionTruncated sinus functionFourier SeriesFourier SeriesTruncated sinus functionTruncated sinus function
L
L
j
L
L
j
N
j
N
j
dxjkxxfL
b
LdxjkxxfL
a
Lkjkxjkx
axf
)sin()(1
)cos()(1
)sin(b)cos(a2
)(0
j0
j0
N = 1
N = 2
N = 5
N = 10 N = 50
Lineapproximated by Fourier Serie
Fourier SeriesFourier SeriesLineLineFourier SeriesFourier SeriesLineLine
Fourier SeriesFourier SeriesSimulationSimulationFourier SeriesFourier SeriesSimulationSimulation
The Two-Dimensional DFT and Its InverseThe Two-Dimensional DFT and Its InverseThe Two-Dimensional DFT and Its InverseThe Two-Dimensional DFT and Its Inverse
1
0
1
0
)(2),(
1),(ˆ
M
x
N
y
yN
vx
M
uj
eyxfMN
vuf
1
0
1
0
)(2),(ˆ1
),(M
x
N
y
yN
vx
M
uj
evufMN
yxf
FourierTransformasjon
FourierTransformasjonf(x)f(x) F(u)F(u))(xf )(ˆ uf
FourierSampling - Digitalisering
Analog Digital
FourierSampling - Digitalisering
FourierSampling - Digitalisering
FourierSampling - Digitalisering
FourierAnvendelse
Svingninger Bølger Varmetransport
)x(Fkx'cx''mx
)x(g)0,x(y
)x(f)0,x(y
y)t,L(y
y)t,0(yx
ya
t
y
t
L
0
2
22
2
2
)x(f)0,x(u
u)t,L(u
u)t,0(ux
uk
t
u
L
0
2
2
2
2
2
22
2
2
y
z
x
za
t
zuk
t
u 2
F(t) f(x) g(x)f(x)
Disse funksjonene kan være kompliserte.Problemene kan løses vha Fourier
FourierMotivasjon
Svingninger
m
CA
m
ktAxx
tCxFkxmx
cos''
cos)(''
02
0
tA
tx
tctctx
txtxtx
p
c
pc
cos)(
sincos)(
)()()(
220
0201
F Ytre påtrykt kraft
k m
122
0
1
20
20
cos)(
cos''
)(''
nn
n
np
nnn
tA
tx
tAxx
tfxx
FourierMotivasjon - Eks 1 - Eksakt løsning
Svingninger
0)1()0(
10 44''
xx
ttxx
tctctx
txtx
tx
tctctx
tctctx
tctctx
xx
c
cc
c
c
c
c
2sin2cos)(
24
0)(4)(
)(
sincos)(''
cossin)('
sincos)(
04''
21
2
2
22
12
21
21
F = 4t Ytre påtrykt kraft k m
tttx
cx
cx
ttctctxtxtx
ttx
pc
p
2sin2sin
1)(
2sin
10)1(
00)0(
2sin2cos)()()(
)(
2
1
21
FourierMotivasjon - Eks 1 - Tilnærmet løsning vha Fourier
Svingninger
0)1()0(
10 44''
xx
ttxx
122
1
22
1
1
1
1
22
1
1
1
sin)4(
)1(8)(
)4(
)1(8
sin)1(8
sin)4(
sin)(
sin)1(8
4
44''
n
n
n
n
n
n
nn
nn
n
n
tnnn
tx
nnb
tnn
tnbn
tnbtx
tnn
t
txx
F = 4t Ytre påtrykt kraft k m
tttx 2sin2sin
1)(
1
22
1
sin)4(
)1(8)(
n
n
tnnn
tx
Eksakt løsning
Løsning vha Fourier
1
FourierMotivasjon - Eks 2 - Tilnærmet løsning vha Fourier
Svingninger
)('' tFkxmx
1
1
00201
sin )(
sin)(
)(sincos)(
nn
nn
p
L
tnbtx
L
tnBtF
m
ktxtctctx
F Ytre påtrykt kraft k m
Odde funksjon med periode 2L
FourierMotivasjon - Eks 2 - Tilnærmet løsning vha Fourier
Svingninger
2110
1010)(
/32
2 )(''
tN
tNtF
mNk
kgmtFkxmx
odd 22
22
odd odd
22
odd
odd
sin)16(
120)(
)16(
20
sin140
sin)322(
sin)(
sin140
)(
n
n
nnn
nn
n
tnnn
tx
nnb
tnn
tnnb
tnbtx
tnn
tF
F Ytre påtrykt kraft k m
Utvider F(t) tilen odde funksjon med periode 2 1 2 t
F
-10
10
FourierMotivasjon - Eks 2 - Tilnærmet løsning vha Fourier
Svingninger
2110
1010)(
/32
2 )(''
tN
tNtF
mNk
kgmtFkxmx
odd 22
sin)16(
120)(
n
tnnn
tx
F Ytre påtrykt kraft k m
Utvider F(t) tilen odde funksjon med periode 2 1 2
Hvis det finnes et ikke-null ledd
i Fourier-rekken til F(t) med
så vil dette leddet forårsake resonans.Grunnen er at ligningen mx’’ + kx = Bnsin0thar resonans-løsning:
L
tNB N
sin
0
L
N
Nn
NN
L
tn
Ln
m
Btt
m
Btx
sin)(
cos2
)(
2
222
0
00
m
ktt
m
Btx N 00
0
for cos2
)(
Løsning:
FourierMotivasjon - Eks 3 - Tilnærmet løsning vha Fourier
Svingninger
22 5)(
)(10''
tttF
tFxx
odd 22
1
22
odd
1
odd
22
odd
odd
2sin
)40(
)1(80)(
)40(
80
2sin
)1(20
2sin)12
4(
2sin)(
2sin
1205)(
n
n
n
n
n
nn
nn
n
tn
nntx
nnb
tn
n
tnnb
tnbtx
tn
nttF
F = 5t Ytre påtrykt kraft k m
Utvider F(t) tilen odde funksjon med periode 2L = 4 2
FourierMotivasjon - Eks 4 - Tilnærmet løsning vha Fourier
)(''' tFkxcxmx
21
222
0
0
tan
)sin()()(
)(
sin)(
mk
c
tcmk
Ftx
tFtF
p
Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2Log skriver F(t) som en Fourier-rekke:
F Ytre påtrykt kraft
cv Demping k m
Svingninger
1
sin)(n
n L
tnBtF
1
222 )sin()()(
)(n
nn
nn
n tcmk
Btx
Løsningen finnes nå vha superposisjon:
FourierMotivasjon - Eks 5 - Tilnærmet løsning vha Fourier
)(''' tFkxcxmx
21
odd 2223
0
327
02.0tan
)sin()02.0()327(
8)(
n
n
ntnnn
Ftx
nn
Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2L = 2og skriver F(t) som en Fourier-rekke:
F Ytre påtrykt kraft
cv Demping k m
Svingninger
odd 3
3odd
sin18
8
22 sin)(
n
nnn
n
ntn
nn
BLL
tnBtF
Løsningen finnes nå vha superposisjon:
t 0 t-t F(t)
funksjonperiodisk 2 odde F(t)
0.02Ns/mc
27N/mk
3kg
2
m
Fourier TransformationFourier TransformationFourier TransformationFourier Transformation
FourierTransformasjon
FourierTransformasjonf(x)f(x) F(u)F(u)
Continuous Fourier TransformContinuous Fourier TransformDefDefContinuous Fourier TransformContinuous Fourier TransformDefDef
The Fourier transform of a one-dimentional function f(x)
dxexfuf uxj 2)()(ˆ
The Inverse Fourier Transform
dueufxf uxj 2)(ˆ)(
Fourier-rekkeDef
L
L
n
L
L
n
1nnn
0
dtL
tnsin)t(f
L
1b
dtL
tncos)t(f
L
1a
L
tnsinb
L
tncosa
2
a)t(f
Lc
c
n
Lc
c
n
dtL
tntf
Lb
RcdtL
tntf
La
2
2
sin)(1
cos)(1
f(t) Stykkevis kontinuerlig funksjon med periode 2L
2L
Fourier-rekkeEks 1
...2
t5sin
5
1
2
t3sin
3
1
2
tsin
4
2
tnsin
n
14)t(f
(-1)-1n
2
2
tncos
n
2
2
tncos
n
2
2
1dt
2
tnsin1dt
2
tnsin)1(
2
1dt
2
tnsin)t(f
2
1b
,...3,2,1n 02
tnsin
n
2
2
tnsin
n
2
2
1dt
2
tncos1dt
2
tncos)1(
2
1dt
2
tncos)t(f
2
1a
0222
1tt
2
1dt1
2
1dt)1(
2
1dt)t(f
2
1a
L
tnsinb
L
tncosa
2
a)t(f
,...5,3,1n
n
2
0
0
2
2
0
0
2
2
2
n
2
0
0
2
2
0
0
2
2
2
n
2
0
0
2
2
0
0
2
2
2
0
1nnn
0
2t0 1
0t2- 1-f(t) 2L
2L = 4
2 4 6
1
L
L
n1n
nn0
L
L
n
dtL
tnsin)t(f
L
1b
L
tnsinb
L
tncosa
2
a)t(f
dtL
tncos)t(f
L
1a
2 L
Fourier-rekkeEks 2
...5
t5sin
5
1
5
t3sin
3
1
5
tsin
6
2
3
5
tnsin)1(1
n
3
2
3)t(f
(-1)-1n
3
5
tncos
n
5
5
3dt
5
tnsin3dt
5
tnsin0
5
1dt
5
tnsin)t(f
5
1b
,...3,2,1n 05
tnsin
n
5
5
3dt
5
tncos3dt
5
tncos0
5
1dt
5
tncos)t(f
5
1a
3535
1t3
5
1dt3
5
1dt0
5
1dt)t(f
5
1a
L
tnsinb
L
tncosa
2
a)t(f
1n
n
n
5
0
5
0
0
5
5
5
n
5
0
5
0
0
5
5
5
n
5
0
5
0
0
5
5
5
0
1nnn
0
5t0 3
0t5- 0f(t) 5L
2L = 10
5 10 15
3
L
L
n1n
nn0
L
L
n
dtL
tnsin)t(f
L
1b
L
tnsinb
L
tncosa
2
a)t(f
dtL
tncos)t(f
L
1a
5 L
Fourier-rekkeEks 3
1n2
2
2
032
22
0
22
0
n
2
2
032
22
0
22
0
n
22
0
32
0
22
0
0
1nnn
0
nxsinn
4nxcos
n
4
3
4)x(f
n
4
n
nxcos2
n
nxsinx2
n
nxcosx
1nxdxsinx
1dx
xnsin)x(f
1b
,...3,2,1n n
4
n
nxsin2
n
nxcosx2
n
nxsinx
1nxdxcosx
1dx
xncos)x(f
1a
3
8x
3
11dxx
1dx)x(f
1a
L
xnsinb
L
xncosa
2
a)x(f
2L2 2x0 xf(x) 2
2L = 2
L
L
n1n
nn0
L
L
n
dtL
tnsin)t(f
L
1b
L
tnsinb
L
tncosa
2
a)t(f
dtL
tncos)t(f
L
1a
2 4 6
Alternativ form med c = 0
Fourier-rekkeEven - OddDef
1
0
0
cos2
)(
0
cos)(2
nn
n
L
n
L
tna
atf
b
dtL
tntf
La
L
L
n1n
nn0
L
L
n
dtL
tnsin)t(f
L
1b
L
tnsinb
L
tncosa
2
a)t(f
dtL
tncos)t(f
L
1a
Even
1
0
sin)(
sin)(2
0
nn
L
n
n
L
tnbtf
dtL
tntf
Lb
a
f(t)f(-t) f(t)f(-t) OddSymmetrisk om y-aksen Symmetrisk om origo
tt t
t
Fourier-rekkeEvenBevis
1
0
0
cos2
)(
0
cos)(2
nn
n
L
n
L
tna
atf
b
dtL
tntf
La
L
L
n1n
nn0
L
L
n
dtL
tnsin)t(f
L
1b
L
tnsinb
L
tncosa
2
a)t(f
dtL
tncos)t(f
L
1a
Even f(t)f(-t) Symmetrisk om y-aksen
tt
0dttn
sin)t(fL
1 )t(d
tnsin)t(f
L
1
dttn
sin)t(fL
1 )t(d
tnsin)t(f
L
1
dttn
sin)t(fL
1)t(d
)t(nsin)t(f
L
1
dttn
sin)t(fL
1 dt
tnsin)t(f
L
1
dttn
sin)t(fL
1 dt
tnsin)t(f
L
1 dt
tnsin)t(f
L
1b
dttn
cos)t(fL
2dt
tncos)t(f
L
1 )t(d
tncos)t(f
L
1
dttn
cos)t(fL
1 )t(d
tncos)t(f
L
1
dttn
cos)t(fL
1)t(d
)t(ncos)t(f
L
1
dttn
cos)t(fL
1 dt
tncos)t(f
L
1
dttn
cos)t(fL
1 dt
tncos)t(f
L
1 dt
tncos)t(f
L
1a
L
0
L
0
L
0
0
L
L
0
0
L
L
0
0
L
L
0
0
L
L
L
n
L
0
L
0
L
0
L
0
0
L
L
0
0
L
L
0
0
L
L
0
0
L
L
L
n
Fourier-rekkeOddBevis
L
L
n1n
nn0
L
L
n
dtL
tnsin)t(f
L
1b
L
tnsinb
L
tncosa
2
a)t(f
dtL
tncos)t(f
L
1a
Odd f(t)f(-t) Symmetrisk om origo
L
0
L
0
L
0
L
0
0
L
L
0
0
L
L
0
0
L
L
0
0
L
L
L
n
L
0
L
0
L
0
0
L
L
0
0
L
L
0
0
L
L
0
0
L
L
L
n
dttn
sin)t(fL
2dt
tnsin)t(f
L
1 )t(d
tnsin)t(f
L
1
dttn
sin)t(fL
1 )t(d
tnsin)t(f
L
1
dttn
sin)t(fL
1)t(d
)t(nsin)t(f
L
1
dttn
sin)t(fL
1 dt
tnsin)t(f
L
1
dttn
sin)t(fL
1 dt
tnsin)t(f
L
1 dt
tnsin)t(f
L
1b
0dttn
cos)t(fL
1 )t(d
tncos)t(f
L
1
dttn
cos)t(fL
1 )t(d
tncos)t(f
L
1
dttn
cos)t(fL
1 )t(d
)t(ncos)t(f
L
1
dttn
cos)t(fL
1 dt
tncos)t(f
L
1
dttn
cos)t(fL
1 dt
tncos)t(f
L
1 dt
tncos)t(f
L
1a
t
t
1
0
sin)(
sin)(2
0
nn
L
n
n
L
tnbtf
dtL
tntf
Lb
a
Fourier-rekkeEven - OddUtvidelse - Def
L
L
n1n
nn0
L
L
n
dtL
tnsin)t(f
L
1b
L
tnsinb
L
tncosa
2
a)t(f
dtL
tncos)t(f
L
1a
f(t) definert for 0 < t < L
0)(
0)()(
tLtf
LttftfE
Even utvidelse med periode 2L
0)(
0)()(
tLtf
LttftfO
Odd utvidelse med periode 2L
L
L L
L2
LL
L2
Fourier-rekkeEven - OddPeriodisk - Eks
L
L
n1n
nn0
L
L
n
dtL
tnsin)t(f
L
1b
L
tnsinb
L
tncosa
2
a)t(f
dtL
tncos)t(f
L
1a
5t03
0t53)t(fE
Periode 2L = 10
2t0
t0tsin)t(fO
Periode 2L = 2
5L
10L2
L
10L2
2
10L2
10L2
Fourier-rekkeEven - OddUtvidelse - Eks
L
L
n1n
nn0
L
L
n
dtL
tnsin)t(f
L
1b
L
tnsinb
L
tncosa
2
a)t(f
dtL
tncos)t(f
L
1a
Utvid f(t) = sint 0 < t < til en Fourier cos serie L
22 L
2L
42 L
Utvid f(t) = t 0 < t < 2til en Fourier sin serie
Utvid f(t) = t 0 < t < 2og en Fourier cos serie 2L
42 L
Fourier-rekkePulstog - Odd
...5
sin5
13sin
3
1sin
4sin
14)(
partall 0
od 4
(-1)-12
cosn-12
cos2
sin2
sin)(2
sin)(
,...5,3,1
n
00
2
2
1
L
t
L
t
L
tA
L
tn
nAtf
n
dennn
A
n
A
L
tn
n
LA
Ldt
L
tnA
Ldt
L
tntf
Lb
L
tnbtf
n
LL
n
nn
Lt0 1
0tL- 1-f(t)
2L = 4
2 4 6
1
L
L
n1n
nn0
L
L
n
dtL
tnsin)t(f
L
1b
L
tnsinb
L
tncosa
2
a)t(f
dtL
tncos)t(f
L
1a
L2 Periode
Diff.lign.Innledning - Benyttes til å beskrive prosessendringer
Newtons 2.lov
Radioaktivitet
Kvantefysikk
SHM
Varmetransport
Bølger
Elektrisk krets
)x(Fkx'cx''mx
ukt
u 2
zat
z 222
2
Typer av diff.lign.
ODE Ordinære Endringer mht en enkelt variabelPDE Partielle Endringer mht flere variabler
E
ti
h E)r(V
m2
h 22
vmdt
dF
dt
rdmF amF
2
2
kNdt
dN
Eidtdt
diLRi
Diff.lign.Radioaktivitet
kt
kt
ktN
N
tN
N
tN
N
eNN
eN
N
ee
ktN
N
tkN
dtkN
dN
kdtN
dN
kNdt
dN
0
0
ln
0
0
0
0
0
0
ln
ln
kNdt
dN
Antall atomer som desintegrererer proporsjonal med antall atomersom vi har i øyeblikket.N0 Antall atomer ved tiden t = 0N Antall atomer ved tiden t
2ln1
2
100
0
k
eNN
eNN
k
kt
Halveringstid :Tiden det tarfør halvpartenav atomeneer desintegrert.
t
NN0
N0/2
Diff.lign.Separabel
2
2
21
21
2
12
2
22
22
22
2ln
12
12
2ln
2
14ln
4
4
4
04'
x
x
xcxcx
cxy
cey
ecy
eceeey
ee
cxy
cxy
xdxy
dy
xdxy
dy
xydx
dy
xyy
))(,()( xyxfxydx
d
Separabel:Oppsplitting slik atvenstre side er en funksjon av kun y,høyre side er en funksjon av kun x.
For en 1.ordens ordinær diff.lign.vil den generelle løsningeninneholde en vilkårlig konstant.
))(,()( xyxfxydx
d
Diff.lign.Integrerende faktor
2
2
2
8)(
8)(
8)(
8)'(
84'
5)0( 84'
4
4
4
44
44
44
44
44
444
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xxx
cey
e
cey
ceye
dxeyed
dxeyed
eyedx
d
eye
eyeey
yyy
cdxxQeey
xQyxPy
dxxPdxxP)(
)()('
)()(
27)(
7
25
25
5)0(
4
04
xexy
c
c
ce
y
Diff.lign.2.ordens diff.lign.
xx
x
x
rxrxrx
rx
rx
rx
BeAeByAyy
ey
ey
r
rr
CerCeCer
Cery
rCey
Cey
yyy
3221
32
21
2
2
2
2
3
2
2
15
2
61455
065
065
''
'
06'5''
0''' byayy
Diff.lign.Oversikt
Diff.lign.
Lineær Ikke-lineær
u1 og u2 løsninger u = Au1 + Bu2 løsning
Den generelle løsning inneholder alle løsningerEn partikulær løsning er en spesiell løsning
ODE PDE
En generell løsningvil inneholdelike mangevilkårlige konstantersom graden av diff.lign.
En generell løsningvil inneholdelike mangevilkårlige, uavhengige funksjonersom graden av diff.lign.
En løsning som ikke kan genereresfra den generelle løsningenkalles en singulær løsning
Part.diff.lign.Eks 1 - Bølgeligning
Vis at )sin( kxtAy er en løsning av den part.diff.lign. 2
22
2
2
t
yv
x
y
2
22
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
)sin(
)sin(
x
yv
t
y
vkkkxtAk
kxtA
xyty
kv
hvor
)sin(
)cos(
)sin(
22
2
kxtAt
y
kxtAt
y
kxtAy
)sin(
)cos(
)sin(
22
2
kxtAkx
y
kxtkAx
y
kxtAy
2
k
fv
Part.diff.lign.Eks 2 - Varmeligning
Vis at xetxu t 2sin),( 8 er en løsning av følgende initialverdiproblem:
xxututux
u
t
u2sin)0,( 0),(),0( 2
2
2
xxexu
etu
etu
xetxu
t
t
t
2sin2sin)0,(
02sin),(
002sin),0(
2sin),(
08
8
8
8
2
288
82
2
8
8
2)2sin4(22sin8
2sin4
2cos2
2sin),(
x
uxexe
t
u
xex
u
xex
u
xetxu
tt
t
t
t
Part.diff.lign.Eks 3 - Varmeligning
Løsning av følgende initialverdiproblem:
xxxxututux
u
t
u3sin20sin60sin80)0,( 0),(),0( 2 3
2
2
xexetxu
ccc
xecxecxec
txuctxuctxuctxu
xetxu
xetxu
xetxu
tt
ttt
t
t
t
3sin20sin60),(
20 0 60
3sin2sinsin
),(),(),(),(
3sin),(
2sin),(
sin),(
3
321
33
221
332211
33
22
1
1
),(),(n
nn txuctxu
(1) (2) (3)
Mulige løsninger av (1)
Oppfyller(1) + (2)
Oppfyller(1) + (2) + (3)
Generelt må vi forvente en superposisjonav uendelig mange leddfor å oppfylle inertialverdi-problemet
xx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
xxxxxxx
3
33
23
23
2
sin4sin3
sin2sin2sin2sin
)sin1(sin2sin2sin
cossin2sin2sin
cossin2cos)sin21(sin
2sincos2cossin)2sin(3sin
Part.diff.lign.Superposisjon av løsninger
)()0,(1
xfxucn
nn
1
),(),(n
nn txuctxu
1. u(x,t) 0 < x < L t > 0 Kontinuerlig og leddvis deriverbar
2.
3. u(x,t) 0 x L t 0 Kontinuerlig
u(x,t) Entydig løsning av initialverdi-problemet
Part.diff.lign.Eks 4 - Løsningsmetoder
a) Løs ligningen:
yyz
xxz
cos),1(
)0,( 2
b) Finn en partikulær løsning som oppfyller: y2
2
xyx
z
a) b)
16
1cos
6
1),(
)0(16
1cos)(
cos)0(1)(6
1 cos),1(
)0()(6
1),(
)0()(
)()0( )0,(
2223
2
2
223
2
22
xyyyxyxzz
HyyyH
yHyHyyyz
HxyHyxyxz
HxxG
xxGHxxz
)()(6
1),(
)()(6
1),(
)(3
1
)(3
1
ydx
y
y
23
23
3
3
2
2
22
xGyHyxyxzz
xGdyyFyxyxzz
dyyFyxdyy
z
yFyxy
z
xdxy
z
x
xy
z
x
xyx
z
Part.diff.lign.Eks 5 - Separasjon av variable
Løs initialverdiproblemet: yeyuy
u
x
u 38),0( 4
)4(3
33
)4()4(
4
8),(
3 8 8 8),0(
),(
0' 04'
'
4
'
'4'
)( )(
yx
ycyy
yxcyxc
cycx
eyxu
cKeKeeyu
KeABeXYyxu
BeYAeX
cYYcXX
cY
Y
X
X
XYYX
yYYxXXXYu
vha separasjon av variable
Part.diff.lign.SvingeligningGenerell løsning av 2.ordens diff.lign. m/konst. koeff.
ax’’ + bx’ + cx = f(t) 0 < t < L x(0) = x(L) = 0
1. Finn den generelle løsning xc = c1x1 + c2x2 av den assosierte homogene diff.lign.
2. Finn en partikulær løsning xp av den inhomogene lign.
3. Bestem konstantene c1 og c2 slik at x = xc + xp tilfredsstiller randbetingelsene.
F Ytre påtrykt kraft
cv Demping k m
)(''' tfcxbxax
Fkxxcxm
Part.diff.lign.Svingeligning - Diff.lign.
Newtons 2.lov anvendt på klossen (horisontalt)
Fkxxcxm
Fkxcvma
maFcvkx
F Ytre påtrykt kraft
cv Demping k m
Fkxxcxm
Part.diff.lign.Svingeligning - Fri, udempet svingning c = 0 F = 0
m
k 1i i
m
k
0km
0kCeCem
Cex Cex Cex
0kxxm
2
tt2
t2tt
F Ytre påtrykt kraft
cv Demping k m
Fkxxcxm
)tcos(C
tsinBtcosA
tsin)cc(itcos)cc(
)tsinit(cosc)tsinit(cosc
ecec
ececx
2121
21
ti2
ti1
t2
t1
21
)tcos(Cx
Part.diff.lign.Svingeligning - Fri, dempet svingning F = 0
m2
mk4c
m2
c
m2
mk4cc
0kcm
0kCecCeCem
Cex Cex Cex
0kxxcxm
22
2
ttt2
t2tt
F Ytre påtrykt kraft
cv Demping k m
Fkxxcxm
mk4c)t'cos(Ce
mk4ce)tcc(
mk4cecec
x
2tm2
c
2tm2
c
21
2t2
t1
21
m
k
m4
c'
0
2
22
0
Part.diff.lign.Svingeligning - Tvungen svingning
p0 xxx
Fkxxcxm
F Ytre påtrykt kraft
cv Demping k m
Fkxxcxm
222
0
0
0
c)mk(
FA
)tcos(Axx
tcosFF
Løsning av homogen ligning F = 0
Partikulær løsningSteady state
Part.diff.lign.Bølgeligning - SHM
(x,y)
2
22
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
)sin(
)sin(
x
yv
t
y
vkkkxtAk
kxtA
xyty
)sin(
)cos(
)sin(
22
2
kxtAt
y
kxtAt
y
kxtAy
)sin(
)cos(
)sin(
22
2
kxtAkx
y
kxtkAx
y
kxtAy
2
22
2
2
x
yv
t
y
Part.diff.lign.Bølgeligning - Utledning 1
(x,y)
F
vx
yv
t
y
2
22
2
2
2
2
2
2
11
t
y
Fx
y
aFx
xy
xy
xax
y
x
yF
xaFF
maF
yxxx
yxxx
yyy
yy
2
22
2
2
x
yv
t
y
F
F
F1
F2 F2y
F1y
x x + x
xx
y
x
y
x
y
F
F
x
y
F
F
21
Part.diff.lign.Bølgeligning - Utledning 2
(x,y)
T
vx
yv
t
y
2
22
2
2
Tvyvy
yTy
y
dxyy
TyT
y
TT
xxtt
ttxx
x
x
x
tt
x
xx
xy
x
xx
x
11 Derivasjon
1
01
2
2
2
2
00
0
2
22
2
2
x
yv
t
y
x0 x
T(x,t)
T(x0,t)
T
Tx
Ty yx
1 + yx
1
22 1
1
1
x
xy
x
x
y
y
T
T
yT
T
HeatHeat
0,...),,,(2
2
xxyxf
Partiell derivasjon Fourier
L
L
n
L
L
n
nnn
dxT
xnxf
Tb
dxT
xnxf
Ta
L
xnb
L
xna
axf
sin)(1
cos)(1
sincos2
)(1
0
dxxfexfFxfeuFuf uxjuxj )()()()()(ˆ 22
duufeufFufexf uxjuxj )(ˆ)(ˆ)(ˆ)( 212
Part.diff.lign.Varmeligning - Innledning
Varmeledning (energioverføring (varme)) pr tidsenhet H
Proporsjonal med tverrsnitt AProporsjonal med temperaturdifferens T1 – T2
Omvendt proporsjonal med lengden L
L
TKA
L
TTKA
t
QH
21
Lengde L
Tverrsnitt AT1
Fluks = Varmeledning pr areal
Temperatur Temperatur
T2
Termisk konduktivitet K
dL
dTKA
dt
dQH
dL
dTK
A
H
ut
u 2
Part.diff.lign.Varmeligning - Fluks / Varme i x-retning
Fluks
Masse mTetthet Spesifikk varmekapasitet cTemperatur u
xy
z
A(x,y,z)
x
y
z
xx
x
x
uK
x
uK
ut EFGH
inn ABCD
tzyx
uK Q
tzy x
uKQ
xxut EFGH
xinn ABCD
Varme
B
CD
E F
GH
tzyx
u
x
uKQQQ
xxxut EFGHinn ABCD
Netto varme inn i x-retning
ut
u 2
Part.diff.lign.Varmeligning - Netto varme inn
Masse mTetthet Spesifikk varmekapasitet cTemperatur u
xy
z
A(x,y,z)
x
y
z
B
CD
E F
GH
tzyx
u
x
uKQQQ
xxxut EFGHinn ABCD
Netto varme inni x-retning
Netto varme inn
tzyxz
z
u
z
u
y
yu
yu
x
x
u
x
u
K
tyxz
u
z
uKtzx
y
u
y
uKtzy
x
u
x
uKQ
zzzyyyxxx
zzzyyyxxx
ut
u 2
Part.diff.lign.Varmeligning - Formel
Masse mTetthet Spesifikk varmekapasitet cTemperatur u
xy
z
A(x,y,z)
x
y
z
B
CD
E F
GH
Netto varme inn tzyxz
zu
zu
y
yu
yu
x
xu
xu
KQ zzzyyyxxx
Kalorimetri uzyxcumcQ
c
K u
t
ut
ucuK
t
uc
z
u
y
u
x
uK
2
2
2
2
2
2
2
2
ut
u 2
2
2
2
x
u
t
u
ut
u
Diffusivitet
Part.diff.lign.Varmeligning - Alternativ utledning
Masse mTetthet Spesifikk varmekapasitet cTemperatur u
xy
z
D
Energi
DSD
S
t
D
t
D
dVFdSnF dV)uK(
dL
duKAH dS)nu(K
dt
dQH
t
uu dVuc
dt
dQH
udVc)t(Q
Kalorimetri uzyxcumcQ
ut
u 2
2
2
2
x
u
t
u
ut
u
Divergens-teoremet
Energi-endringVarme
Varme-fluksover randen
c
K u
t
uu
)uK(uc
dV)uK(dVuc
2t
t
DD
t
Diff.lign. - FourierAnvendelse
Svingninger
)(''' tFkxcxmx
F(t) f(x) f(x) g(x)
Disse funksjonene kan være kompliserte.Problemene kan løses vha Fourier
Varmeledning
)x(f)0,x(u
u)t,L(u
u)t,0(ux
uk
t
u
L
0
2
2
ukt
u 2
Bølger
)x(g)0,x(y
)x(f)0,x(y
y)t,L(y
y)t,0(yx
ya
t
y
t
L
0
2
22
2
2
2
2
2
22
2
2
y
z
x
za
t
z
Diff.lign.Spesielle løsninger
xxxxi
eex
eex
ixixixix
cos'sin sin'cos2
sin 2
cos
)sin()cos()(
0'' 2
tBtAtx
xx
cosh sinh
sincos
)sinh()cosh()(
0'' 2
tBtAtx
xx
xxxx
eex
eex
xxxx
cosh'sinh sinh'cosh2
sinh 2
cosh
tAetx
xx
)(
0'tttcct AexCeeeexctxdtdx
x
x
x
x ln''
Part.diff.lign.Svingeligning - Ingen dempning
Generell løsning x(t) = x0 + xp
F Ytre påtrykt kraft
k m
)('' tFkxmx
1
sin)(n
n L
tnBtF
1
sin)(n
n L
tnbtx
mx’’ + kx = F(t) 0 < t < L x(0) = x(L) = 0
nn
nn
nn
Bk
Ln
mb
L
tnB
L
tnk
L
nmb
2
22
112
22
1
sinsin
L
n dtL
tntF
LB
0
sin)(2
Fouriersinusutvikling ivaretar tilleggsbetingelsene x(0)=x(L)=0
Fourierutvikling av F
Fourierutvikling av x
Part.diff.lign.Svingeligning - Ingen dempningEks 01 - Eksakt løsning
Løsning av homogen ligning:
F Ytre påtrykt kraft
k m
)('' tFkxmx
tctctx
xx
2sin2cos)(
04''
210
ttx p )(
x’’ + 4x = 4t 0 < t < 1 x(0) = x(1) = 0
tttx
cx
cx
ttctc
txtxtx p
2sin2sin
1)(
2sin
10)1(
00)0(
2sin2cos
)()()(
2
1
21
0
Partikulær løsning:
Generell løsning:
Part.diff.lign.Svingeligning - Ingen dempningEks 01 - Løsning vha Fourier
F Ytre påtrykt kraft
k m
)('' tFkxmx
1
1
0
1
sin)1(8
4)(
sin)(2
sin)(
44''
n
n
L
n
nn
tnn
ttF
dtL
tntF
LB
L
tnBtF
txx
x’’ + 4x = 4t 0 < t < 1 x(0) = x(1) = 0
Fouriersinusutvikling av F(t) = 4t Fouriersinusutvikling av x(t)
1
sin)(n
n tnbtx
Løsning
)4(
)1(8
sin)1(8
sin4
22
1
1
1
1
22
nnb
tnn
tnbn
n
n
n
n
nn
1
22
1
sin)4(
)1(8)(
n
n
tnnn
tx
Innsatt i diff.lign.2L = 2
Part.diff.lign.Svingeligning - Ingen dempningEks 01 - Oppsummering
F Ytre påtrykt kraft
k m
)('' tFkxmx
x’’ + 4x = 4t 0 < t < 1 x(0) = x(1) = 0
Fourierløsning
1
22
1
sin)4(
)1(8)(
n
n
tnnn
tx
tttx 2sin2sin
1)(
Eksakt løsning
Part.diff.lign.Svingeligning - Ingen dempningEks 02 - Løsning vha Fourier
F Ytre påtrykt kraft
k m
)('' tFkxmx
odd
0
1
sin140
)(
sin)(2
sin)(
)(32''2
n
L
n
nn
tnn
tF
dtL
tntF
LB
L
tnBtF
tFxx
+10 0<t<1 Odde periodisk
2x’’ + 32x = F(t) F(t) = med periode 2 -10 1<t<2
Fouriersinusutvikling av F(t) Fouriersinusutvikling av x(t)
odd
sin)(n
nsp tnbtx
Løsning
)16(
20
sin140
sin322
22
odd odd
22
nnb
tnn
tnbn
n
nnn
odd 22
sin)16(
120)(
nsp tn
nntx
Innsatt i diff.lign.
Part.diff.lign.Svingeligning - Ingen dempningResonans
F Ytre påtrykt kraft
k m
)('' tFkxmx
Nn
nN
N
N
N
L
tn
Ln
m
Btt
m
Btx
ttm
Btx
tBkxmx
m
k
L
N
L
tNB
tFkxmx
sin)(
cos2
)(
cos2
)(
sin''
sin :resonansRen
)(''
222
0
00
00
0
0
mx’’ + kx = F(t)
Det finnes et ledd nr N i Fourierrekken til Fsom svarer til systemets egenfrekvens 0
Diff.lign.
Diff.lign. når F har samme frekvens som systemets egenfrekvens 0
Løsning når F har samme frekvens som systemets egenfrekvens 0
|x(t)| pga faktoren t
Løsning når F har ett leddmed samme frekvens som systemets egenfrekvens 0
Part.diff.lign.Svingeligning - Ingen dempningEks 03 - Resonans
F Ytre påtrykt kraft
k m
)('' tFkxmx
42
32 )(32''2 0
m
ktFxx
2x’’ + 32x = F(t) Odde periodisk
Ingen ren resonans
...5sin5
13sin
3
1sin
40
sin140
)( 210
010)(
odd
ttt
ntn
tFt
ttF
n
Ren resonans
...4sin4
13sin
3
12sin
2
1sin20
sin)1(
20)( 10)(1
1
tttt
ntn
tFtttFn
n
Part.diff.lign.Svingeligning - Ingen dempningEks 04 - Tilnærmet resonans
F Ytre påtrykt kraft
k m
)('' tFkxmx
odd
1
0
2sin
)1(20)(
2
210 )(10''
n
n tn
ntF
tFxx
x’’ + 10x = F(t) F(t) = 5t -2<t<2 med periode 2L = 4
Fouriersinusutvikling av F(t) Fouriersinusutvikling av x(t)
odd
sin)(n
nsp tnbtx
Løsning
1
1
1
22
2sin
)1(20
2sin10
4 n
n
nn
tn
n
tnb
n
...2
3sin1738.0
2
2sin4111.24
2sin8452.0
2sin
)40(
)1(80)(
odd 22
1
ttt
tn
nntx
n
n
sp
Innsatt i diff.lign.
Stor amplitude
Part.diff.lign.Svingeligning - Dempning
F Ytre påtrykt kraft
k m
)(''' tFkxcxmx
1
sin)(n
n L
tnBtF
21
222
0
0
tan
)sin()()(
)(
sin)(
mk
c
tcmk
Ftx
tFtF
sp
mx’’ + cx’ + kx = F(t)
L
n dtL
tntF
LB
0
sin)(2
)sin()()(
)(
sin)(
1222
1
tcmk
Btx
L
tnBtF
nn
nn
nsp
nn
Hvis ytre påtrykt kraft er periodisk med kun en frekvens,vil systemet etter hvert påtvinges denne ytre påtrykte frekvensen.
Part.diff.lign.Svingeligning - DempningEks 05
F Ytre påtrykt kraft
k m
odd 2
0
1
sin18
)(
sin)(2
sin)(
)(27'02.0''3
n
L
n
nn
ntn
tF
dtL
tntF
LB
L
tnBtF
tFxxx
3x’’ + 0.02x’ + 27x = F(t) F(t) = t-t2 Odde periodisk 2
Fouriersinusutvikling av F(t) Superposisjon
Løsning
)(''' tFkxcxmx
)sin()()(
)(1
222
tcmk
Btx n
nnn
nsp
...))1437.35sin(0004.0)2
13sin(5719.1)0008.0sin(1061.0
)sin()02.0()327(
1)(
327
02.0tan
1222
21
ttt
tnn
tx
n
n
nn
sp
Ledd nr 2 dominererpga tilnærmet samme frekvenssom det udempede systemetsegenfrekvens.Systemets frekvens er 3 ganger’frekvens’ til ytre påtrykt kraft.
393
270
m
k
Part.diff.lign.Varmetransport i en stav - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 1
Bestem temperaturen u i stavensom funksjon av posisjonen x og tiden t
)()0,(
),(
ut)u(0,
0 t L x 0
0
2
2
xfxu
utLu
x
uk
t
u
L
x = L
Lengde L
x = 0
Part.diff.lign.Varmetransport i en stav - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 2
Bestem temperaturen u i stavensom funksjon av posisjonen x og tiden t
x = L
Lengde L
x = 0
0 '
0 ''
'1''
'''
)()(),(
f(x)u(x,0) 0t)u(L,t)u(0, 0 t L x 0 2
2
kTT
XXT
T
kX
X
TkXXT
tTxXtxu
x
uk
t
u
0)()0(0)()(),(
0)()0(Xt)u(0,
LXXtTLXtLu
tT
Part.diff.lign.Varmetransport i en stav - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 3
2
22
sin)(
L
n
L
xnxX
n
n
0 )(
0 )0(
0''
LX
X
XX
L
nA
LX
X
xBxAxX
BALX
X
xBxAxX
xX
0
0)(
0)0(
)sin()cos()( 0
00)(
0)0(
)sinh()cosh()( 0
0)( 0
2
2
Egenverdi-problem med ikke-trivielle løsninger
cosh sinh
sincos
Part.diff.lign.Varmetransport i en stav - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 4
L
xne
tTxXtxu
etT
TL
knT
kTT
tL
kn
n
tL
kn
n
sin
)()(),(
)(
0'
0'
2
22
2
22
2
22
L
nn
nn
nn
n
tL
kn
nn
nn
dxL
xnxf
Lbc
L
xnbxf
L
xncxu
L
xnectxuctxu
0
11
11
sin)(2
sin)(sin)0,(
sin),(),(2
22
Part.diff.lign.Varmetransport i en stav - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 5
L
n
n
tL
kn
n
dxL
xnxf
Lb
L
xnebtxu
0
1
sin)(2
sin),(2
22
Bestem temperaturen u i stavensom funksjon av posisjonen x og tiden t
)()0,(
0),(
0t)u(0,
0 t L x 0 2
2
xfxu
tLu
x
uk
t
u
x = L
Lengde L
x = 0
Part.diff.lign.Varmetransport i en stav - Eks 1 [1/2]
En jernstav (k = 0.15 cm2/s) med lengde = 50 cmholdes i vanndamp inntil temperaturen i hele staven er 100 0C.
Ved tiden t = 0 isoleres overflaten og de to endepunktene omgis av is med temperatur 0 0C.
Bestem temperaturen i stavens midtpunkt etter en halv time.
x = L
Lengde L
x = 0
Part.diff.lign.Varmetransport i en stav - Eks 1 [2/2]
85.43n
(-1)1004)1800,25(
sinn
14),(
even 0
odd 4
sin)(2
sinn
14)(
sin),(
odd
1n
odd
0
0
0
odd
00
1
251815.022
2
22
2
22
n
n
L
n
n
n
tL
kn
n
n
L
ktn
eu
L
xne
utxu
n
nn
udx
L
xnxf
Lb
L
xnuuxf
L
xnebtxu
100u)(u(x,0)
0),(),0(
u
0 t L x 0
0
t
2
2
xf
tLutu
kux
uk
t
u
xx
FourierHeat
Part.diff.lign.Bølgeligning - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 1
Bestem bølgeutslaget i strengensom funksjon av posisjonen x og tiden t
)x(g)0,x(y
)x(f )0,x(y
0 )t,L(y
0 t)y(0,
0 t L x 0 x
ya
t
y
t
2
22
2
2
x = Lx = 0
0)x(g
)x(g)x(g0)0,x(y)0,x(y )0,x(y
)x(f0)x(f )0,x(y )0,x(y )0,x(y
)t,x(y)t,x(y)t,x(y
tt BAt
BA
BA
Problem A:
0)x(f Problem B:
Part.diff.lign.Bølgeligning - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 2Problem A
0 ''
0 ''
''1''
''''
)()(),(
0)0,(y f(x)y(x,0) 0t)y(L,t)y(0, 0 t L x 0
2
2
2
t2
22
2
2
TaT
XXT
T
aX
X
TXaXT
tTxXtxy
xx
ya
t
y
0)L(X)0(X0)t(T)L(X)t,L(y
0)t(T)0(Xt)y(0,
Bestem bølgeutslaget i strengensom funksjon av posisjonen x og tiden t
x = Lx = 0
Part.diff.lign.Bølgeligning - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 3Problem A
2
22
sin)(
L
n
L
xnxX
n
n
0 )(
0 )0(
0''
LX
X
XX
L
nA
LX
X
xBxAxX
BALX
X
xBxAxX
xX
0
0)(
0)0(
)sin()cos()( 0
00)(
0)0(
)sinh()cosh()( 0
0)( 0
2
2
Egenverdi-problem med ikke-trivielle løsninger
cosh sinh
sincos
Part.diff.lign.Bølgeligning - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 4Problem A
1nn
1nnnn
nnn
n
nn
nnn
nnn
n2
222
n
2
L
xnsin
L
atncosA)t(T)x(XA)t,x(y
L
xnsin
L
atncos)t(T)x(X)t,x(y
L
atncos)t(T
0B0)0('T
L
atncosB
L
atnsinA
L
atn)t('T
L
atnsinB
L
atncosA)t(T
0TL
an''T
0Ta''T
L
0
n
1nn
1nnnn
1nn
1nn
dxL
xnsin)x(f
L
2A
L
xnsin
L
atncosA)t(T)x(XA)t,x(y
L
xnsinb)x(f
L
xnsinA)0,x(y
Part.diff.lign.Bølgeligning - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 5Problem A - Eks
0)0,x(y
f(x)y(x,0)
0t)y(L,
0t)y(0,
0 t L x 0 x
ya
t
y
t
2
22
2
2
L,
2
Lx)xL(b
2
L,0xbx
)x(f
Bestem bølgeutslaget i strengensom funksjon av posisjonen x og tiden t
x = Lx = 0 x = L/2
122
1
22
2/
2/
0
0
sincos2
sin14
sincos),(
2sin
4
sin)(2
sin2
sin)(2
n
nn
L
L
L
L
n
L
xn
L
atnn
n
bL
L
xn
L
atnAtxy
n
n
bL
dxL
xnxLb
Ldx
L
xnbx
L
dxL
xnxf
LA
Part.diff.lign.Bølgeligning - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 6Problem B
1nn
1nnnn
nnn
n
nnnnn
nnn
n2
222
n
2
L
xnsin
L
atnsinB)t(T)x(XB)t,x(y
L
xnsin
L
atnsin)t(T)x(X)t,x(y
L
atnsin)t(T
0A0)0(T0)0(T)x(X)0,x(y
L
atnsinB
L
atncosA)t(T
0TL
an''T
0Ta''T
L
n
nn
nnnn
L
n
L
nn
nn
nnt
dxL
xnxg
anB
L
xn
L
atnBtTxXBtxy
dxL
xnxg
anB
dxL
xnxg
Lb
L
anB
L
xnbxg
L
xn
L
anBxy
0
11
0
0
11
sin)(2
sinsin)()(),(
sin)(2
sin)(2
sin)(sin)0,(
Part.diff.lign.Bølgeligning - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 7Problem B - Eks
0t
2
22
2
2
v)x(g)0,x(y
0y(x,0)
0t)y(L,
0t)y(0,
0 t L x 0 x
ya
t
y
Bestem bølgeutslaget i strengensom funksjon av posisjonen x og tiden t
x = Lx = 0
1n22
0
1nn
220
n22
0
L
0
0
L
0
n
L
xnsin
L
atnsin
n
1
a
Lv4
L
xnsin
L
atnsinB)t,x(y
even n0
odd nan
Lv4)1(1
an
Lv2
dxL
xnsinv
an
2
dxL
xnsin)x(g
an
2B
ENDENDENDEND