Formules d’aires des solides

Le calcul de l’aire totale d’un solide correspond à l’aire de tous les polygones ou cercles qui le composent.

Le calcul se fait en trois étapes :

On calcule l’aire des bases ou de la base;1

On calcule l’aire des faces latérales;2

On additionne le tout.3

L

l

l

h

L

h

Aire totale des prismes

Pour bien comprendre, faisons une représentation en 2 dimensions de ce prisme.

Longueur

largeurhauteur

On peut donc calculer l’aire de chaque rectangle et en faire la somme pour obtenir l’aire totale du prisme.

Cependant, il existe une formule plus rapide pour obtenir le même résultat.

Les bases Les faces latérales

L

l

l

h

L

h

Aire totale des prismes

Longueur

largeurhauteur

1) Calculer l’aire des bases : - chaque base est un rectangle, donc A = L X l;

- il y a 2 bases, donc l’aire des deux bases = 2 X L X l.

2) Calculer l’aire latérale :

on multiplie ensuite par la hauteur.donc L + l + L + l ou 2 ( L + l ) ;

Aire latérale = 2 ( L + l ) X h

Aire totale d’un prisme = Aire des 2 bases + l’aire latérale

Aire totale d’un prisme = Aire des 2 bases + périmètre d’une base X hauteur

L

l

L

l

l’ensemble des rectangles forme un grand rectangle.

La longueur de ce rectangle correspond au périmètre d’une base,

h

ou

2

2 X b X h

Aire totale d’un prisme = Aire bases + Pbase X h

Aire totale =

Aire totale = 2 X n c a

2n : nombre de côtés

Aire totale =

(ici 6)

a : mesure de l’apothème

c : mesure d’un côté

2 X L x l 2 ( L + l ) h+

n c h+

( c1 + c2 + c3 ) h+

c3

c2

c1Attention : Il ne faut pas confondre la hauteur du triangle

et la hauteur du prisme.

h

h

Remarque : La hauteur d’un prisme est le segment reliant les deux bases.

L

l

h

h

h

Exemple

Calcule l’aire totale de ce prisme.

4 cm

5 cm3 cm

Aire totale d’un prisme = Aire bases + Pbase X h

Aire totale = 2 X L X l + 2 ( L + l ) X h

Aire totale = 2 X 4 X 5 + 2 ( 4 + 5 ) X 3

Aire totale = 40 + 54

Aire totale = 94 cm2

Remarque :

Certaines situations peuvent ne demander que l’aire latérale.

Prends le temps de lire et de comprendre la situation.

Exemple :

4 cm

5 cm3 cmCalcule l’aire latérale de ce prisme :

Aire totale d’un prisme = Aire bases + Pbase X h

Tu n’as pas besoin de toute la formule.

2 X L x l + 2 ( L + l ) X hAire totale =

Aire latérale = 54

Aire latérale = 54 cm2

2 ( 4 + 5 ) X 3Aire latérale =

Aire latérale =

Aire totale du cube

c

Le cube est une figure régulière composée de 6 carrés.

La formule pour calculer son aire totale est simple.

Aire totale = 6 c2, car il est composé de 6 carrés.

Aire latérale = 4 c2, car l’aire latérale est composée de 4 carrés.

Remarque : Tu peux aussi utiliser la formule des prismes puisque le cube est un prisme.

Exemple

Calcule l’aire totale de ce prisme.

Aire totale d’un prisme = Aire bases + Pbase X h

Aire totale = 2 X n c a

2

n c h+

5 m

4 m 12 m

Aire totale = 2 X 6 X 5 X 4

2

6 X 5 X 12+

Aire totale = 120 +360

Aire totale = 480 m2

Exemple

Calcule l’aire totale de ce prisme.

8 cm

6 cm

10 cm

9 cm

Aire totale d’un prisme = Aire bases + Pbase X h

Aire totale =

2

2 X b X h ( c1 + c2 + c3 ) h+

2 X 10 X 4,8Aire totale =

2

( 6 + 8 + 10) X 9+

Aire totale = 264 cm2

4,8 cm

Aire totale = 48 216+

10 dm

Exemple

Calcule l’aire totale de ce cube.

Aire totale d’un cube = 6c2

Aire totale du cube = 6 X 102

Aire totale du cube = 600 dm2

Calcule l’aire latérale de ce cube.

Aire latérale d’un cube = 4c2

Aire latérale du cube = 4 X 102

Aire latérale du cube = 400 dm2

Aire totale du cube = 6 X 100

AttentionPriorité d’opérations

On doit calculer l’exposant avant d’effectuer la multiplication par le coefficient.

Aire totale des pyramides

Avant de calculer l’aire, il faut connaître 3 segments très importants.

Hauteur

La hauteur d’une pyramide droite arrive perpendiculairement au centre de la base.

Comme la hauteur arrive au centre de la base,la mesure du demi-côté vaut la moitié de lamesure du côté.

Exemple6

3

Demi-côté

L’apothème de la pyramide

L’apothème est une ligne joignant le sommet d’une pyramide au milieu d’un des côtés de la base.

La relation de Pythagore nous sera donc très utile.

a

b

c

c2 = a2 + b2

Aire totale des pyramides

1) Calculer l’aire de la base : dans cet exemple, la base est un carré donc c2.

2) Calculer l’aire latérale :

- Le périmètre de la base est un carré,

- La mesure du périmètre de la base est multipliée par l’apothème et divisée par 2 (puisque ce sont des triangles).

donc 4 c.

Aire totale d’une pyramide = Aire de la base + Périmètre de la base X apothème

2

Aire latérale = 4 X c X a

2

Pour bien comprendre, faisons une représentation en 2 dimensions de cette pyramide.

L’apothème de la pyramide correspond à la hauteur du triangle.

la longueur totale des bases de ces triangles correspond au périmètre de la base.

Aire totale d’une pyramide = Aire de la base + Périmètre de la base X apothème

2

Droite à base hexagonale.

Aire totale d’une pyramide = Aire base + P base X apothème

2

Aire totale de la pyramide = c2 + 4c X apothème

2

Aire totale de la pyramide = + nc X apothème

2 2

nca

Attention :

Il ne faut pas confondre l’apothème du polygone et l’apothème de la pyramide.

n : nombre de côtés

c : mesure d’un côté

a apothème

Droite à base carrée.

Exemple :

6 cm

5 cm

6 cm

Aire totale de la pyramide = Aire base + P base X apothème

2

Aire totale de la pyramide = c2 + 4c X apothème

2

Aire totale de la pyramide = 62 + 4 X 6 X 5

2

36 + 60 = 96 cm2

Calcule l’aire totale de cette pyramide.

Exemple :

12 m

?

12 m

8 m

Calcule l’aire totale de cette pyramide.

La mesure de l’apothème est inconnue,

c2 = a2 + b2

c2 = 82 + 62

1) Déterminer le demi-côté : 6 m

3) Déterminer l’apothème :

c2 = 100

c = 10 m

6 m

c

b

a

donc il faut :

2) Utiliser la hauteur : 8 m

Exemple :

12 m

10 m

12 m

Aire totale de la pyramide = Aire base + P base X apothème

2

2

Aire totale de la pyramide = c2 + 4ca

Aire totale de la pyramide = 122 + 4 X 12 X 10

2

144 + 240 = 384 m2

8 m

Calcule l’aire totale de cette pyramide.

Exemple :

Aire totale de la pyramide = Aire base + P base X a

2

Calcule l’aire totale de cette pyramide.c = 7 m

a hexagone = 4 m

a pyramide = 12 m

2

ncapAire totale de la pyramide = ncah

2+

2

6 X 7 X 12Aire totale de la pyramide = 6 X 7 X 4

2+

Aire totale de la pyramide = 84 m2 + 252 m2 = 336 m2

apothème de l’hexagone

apothème de la pyramide

Aire totale d’un cylindre

Pour bien comprendre le problème, faisons une représentation en 2 dimensions de ce cylindre.

1) Calculer l’aire des bases :

En déroulant la face latérale d’un cylindre, nous obtenons un rectangle.

- chaque base étant un cercle, donc A = πr2.

- il y a 2 bases, donc 2πr2.

2) Calculer l’aire latérale :

- la largeur du rectangle correspond à la hauteur du cylindre;

h

- la longueur du rectangle correspond à la circonférence du cercle.

Aire latérale = 2πr X h

Aire totale d’un cylindre = Aire des bases + aire latérale

Aire totale d’un cylindre = 2πr2 + 2πrh

Exemple :

Aire totale d’un cylindre = 2πr2 + 2πrh

≈ 471,24 cm2

5 cm

10 cm

Calcule l’aire totale de ce cylindre.

Aire totale d’un cylindre = Aire des bases + aire latérale

Aire totale d’un cylindre = 2 X π X 52 2 X π X 5 X 10+

Aire totale d’un cylindre ≈ 157,08 314,16+

Pour le calcul de l’aire, nous devons connaître 3 segments très importants.

Hauteur

La hauteur d’un cône droit arrive perpendiculairement au centre du cercle.

Rayon

L’apothème est une ligne joignant le sommet d’un cône à un point de la circonférence de la base.

L’aire totale d’un cône

Remarque : On fait correspondre l’apothème avec le côté du cône.

Apothème

Encore une fois, la relation de Pythagore nous sera très utile.

a

b

c

c2 = a2 + b2

Aire totale d’un cône

Nous pourrions comparer un cône à une pyramide dont la base serait composée d’une infinité de segments avec une infinité de faces latérales.

La formule pour trouver l’aire totale d’un cône ressemble donc à celle de la pyramide.

Aire totale d’un cône

Aire totale d’un cône = Aire de la base

2

Circonférence de la base X apothème+

Aire totale d’un cône = π X r2 + 2 X π X r X a

2

Aire totale d’un cône = π r2 + 2 π r a2

Aire totale d’un cône = Aire de la base + Aire latérale

Exemple

3 cm

5 cm

Calcule l’aire totale de ce cône.

Aire totale d’un cône = π r2 + 2 π r a

2

Aire totale de ce cône = π X 32 + 2 X π X 3 X 5

2

Aire totale de ce cône ≈ 28,27 + 47,12 ≈ 75,39 cm2

Exemple

La mesure de l’apothème est inconnue,

c2 = 122 + 92

c2 = 144 + 81

1) Utiliser le rayon : 9 m

2) Déterminer l’apothème :

c2 = 225

c = 15 m

9 m

12 m

Calcule l’aire totale de ce cône. ?

c2 = a2 + b2

c

b

adonc il faut :

et la hauteur : 12 m

9 m

12 m

15 mCalcule l’aire totale de ce cône.

Aire totale d’un cône = π r2 + 2 π r a

2

Aire totale de ce cône = π X 92 + 2 X π X 9 X 15

2

Aire totale de ce cône ≈ 254,47 + 424,12 ≈ 678,59 m2

Aire d’une sphère

Une sphère n’a pas de développement.

Cependant, si nous défaisions sa surface, nous obtiendrions 4 cercles.

Comme l’aire d’un cercle se calcule avec la formule A = π r2

et que la sphère est composée de 4 cercles, alors

Aire d’une sphère = 4 π r2

Exemple

Calcule l’aire de la sphère suivante.

r = 5 dm

A sphère = 4 π r2

A sphère = 4 X π X 52

A sphère ≈ 314,16 dm2

En résumé

Aire totale d’un prisme = Aire bases + Pbase X h

Aire totale d’une pyramide = Aire base + P base X apothème

2

Ces deux formules dépendent de la forme des bases.

2πr2 + 2πrh

Aire totale d’un cylindre = Aire des bases + aire latérale

π r2 + 2 π r a

2

Aire totale d’un cône = Aire base + C base X apothème

2

Aire d’une sphère = 4 π r2

Aire totale du cube : 6 c2 Aire latérale du cube : 4 c2