formulazione quantitativa del secondo principio della...
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Formulazione quantitativa del secondo principio della termodinamica:
TEOREMA DI CARNOT
del secondo principio della termodinamica:TEOREMA DI CARNOT
R macchina di Carnot che lavora tra due sorgenti a temperature T1 e T2
X macchina termicaX macchina termica che lavora tra le stesse sorgenti
ηR ≥ ηXηR ≥ ηX
DimostrazioneDimostrazionePer ipotesi WR = WX = W
XW=η R
W=ηX2
X Qη
R2R Q
η
T2
T2 > T1RX
T2Q2R
WWQ2X T2 > T1RXQ1X Q1R
WW
T1
Q1X Q1R
Per il I principio
Q1R + Q2R = W = Q1X + Q2X
Dimostriamo il teorema per assurdo, supponendo
ηX > ηRR2X2 Q
WQW >⇔ R2X2 QQ <⇒
R2X2 QQ
0QQ < 0QQ R2X2 <−
0QQQQ X2R2R1X1 >−=−
R reversibile: utilizziamo il lavoro W prodotto da Xutilizziamo il lavoro W prodotto da X per far funzionare R come frigorifero
T2QQ
RR− Q2R
WX
Q2X
T− Q1R
WQ1XT1
Macchina complessiva X + R:Macchina complessiva X + R:
1) assorbe 0QQ > a temperatura T1) assorbe 0QQ R1X1 >− a temperatura T1
2) cede 0QQ R2X2 <− a temperatura T2
3) non scambia lavoro con l’ esterno
X + R viola l’ enunciato di Clausius
quindi deve essere necessariamente
ηR ≥ ηX
Se X reversibile, scambiando il ruolo di R e X ⇒ ηX ≥ ηR
sono compatibili solo seηX ≤ ηR sono compatibili solo se ηX ≥ ηR ηX = ηRηX ηR
Temperatura assoluta1Q1+=η
D l T di C i d d h2Q
1+=η
Dal Teorema di Carnot si deduce che per un ciclo reversibile il rendimento è funzione solo delle temperature delle sorgenti, indipendentemente dal sistema che lavoradal sistema che lavora
( )212 ttfQ=quindi ( )21
1ttf
Q,=quindi
A hi ibil h lA macchina reversibile che lavora tra t0 e t2
( )2Q t < t( )2002 ttf
QQ ,= t0 < t2
B macchina reversibile che lavora tra t0 e t1
Q ( )1001 ttf
QQ ,=
t2 t1t0 < t2
0Q
BA
t2
WWQ2
t1Q1
0 2
BAQ0
WBWA−Q0
t1 < t0
t0
Q0 Q0
Macchina complessiva A + B:non scambia calore con la sorgentenon scambia calore con la sorgente a temperatura t0
( )2 ttfQ= ( )21
1ttf
Q,=
022QQ
=101 QQQ
( ) ( )( )
( )( )
22021
2 tgttfttfQ=== ,,( )
( ) ( )11021
1 tgttfttf
Q ,,
g(t) temperatura termodinamica assoluta
Definizione della scala Kelvin
Macchina reversibile che lavora tra g(t) e g(tPT) g(tPT) temperatura del punto triplo dell’acquag(tPT) temperatura del punto triplo dell acqua
( ) ( )tgtgQ ( )( )
( )16273
tgtg
tgQ PTPT .
==
( )Q
16273tg =( )PTQ
16273tg .=
C i i i d l d l lCaratteristica termometrica = modulo del calore scambiato lungo un’isoterma di una macchina di Carnot alla temperatura g(t)
Per una macchina di Carnot Q
16273T
TT
Q
Q
PTPT==
16273TQ PTPT .
Q
PTQ
Q16273T .=
PTQ
La temperatura assoluta è la temperatura p pmisurata con il termometro a gas ideale
Zero assoluto è la temperatura a cui un sistema compie una trasformazione pisoterma reversibile senza scambio di calore
TEOREMA DI CLAUSIUS
M macchina qualsiasi che lavora con N sorgenti
Q1 T1che lavora con N sorgenti W
MQ2 T2W l i t M
Q T
T2W lavoro compiutoQN TN
Q Q Q l i bi ti d MQ1, Q2,…. QN calori scambiati da M con le sorgenti a temperature T1, T2,… TNg p 1 2 N
Dimostriamo che 0QN i ≤∑Dimostriamo che 0T1i i
≤∑=
R1, R2,….RN macchine reversibili che lavorano tra due sorgenti Introduciamo
Q1 T1Q01
−Q1 R1
W
Q1
Q2
T1
T
01
Q02−Q2
R1
R TMQ2 T2
022 R2 T0
QN TN Q0N−QNRNQN
Qi calore scambiato da Mcon la sorgente a temperatura Tig p i
− Qi calore scambiato da Ricon la sorgente a temperature Tig p i
Q0i calore scambiato da Ricon la sorgente a temperature T0
Per le macchineQQ 011 101 QQR1: ⇒=+− 0T
QTQ
0
01
1
1
1
1
0
01TQ
TQ =
⇒=+− 0QQ 022R2: 202 QQ =TT 02
220 TT
QQ QQRN: ⇒=+− 0T
QTQ
0
N0
N
N
N
N
0
0NTQ
TQ =
0N N0
Sommando sulle N macchine Rii
∑=∑N iN
i0 TQQ
T1
== 1i i1ii0
0 TT
Consideriamo il sistema costituito dalla macchina M e dalle N macchine Ri
D i l il i t h bi t
dalla macchina M e dalle N macchine Ri
Dopo un ciclo il sistema non ha scambiato complessivamente calore con le sorgenti p ga temperatura T1, T2,… TN
Il sistema compie un ciclo monotermoscambiando calore solo con la sorgentescambiando calore solo con la sorgente a temperatura T0
Per l’enunciato di Kelvin–Planck del II principio deve essere Ndeve essere
0QN
1ii0 ≤∑
1i=
0QN i ≤∑ (*)e quindi, essendo T0 > 0 0TQ
1i i
i ≤∑=
(*)
Se M scambia calore con infinite sorgenti, indicando con dQ il calore scambiato con la generica sorgente a temperatura T, si hacon la generica sorgente a temperatura T, si ha
0dQ ≤∫ 0T
≤∫
Se M è reversibile , invertendo i cicli risulta ,
N QN( ) ⇒≤∑ −
=0Q
N
1ii0 0
TQN
1i i
i ≥∑=
(**) 1i 1i i
Le disuguaglianze (*) e (**) possono sussistere solo seLe disuguaglianze ( ) e ( ) possono sussistere solo se
0TQN i =∑ 0
TdQ =∫oppureT1i i= T∫oppure
ENTROPIAA, B stati di un sistema termodinamico
R R1, R2trasformazioni reversibili
R1A trasformazioni reversibili BR2−R2
Percorriamo R2 in senso inverso (− R2 )
R1 + ( − R2 ) ciclo reversibile A
⇔=∫ 0T
dQ+∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛B
TdQ 0
TdQA
=∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
T ⎠⎝ 1RA T T2RB ⎠⎝ −
Percorrendo una trasformazione reversibile in senso inversoin senso inverso cambia il segno del calore scambiato dQ e quindi possiamo scrivere
⎞⎛B dQ dQB ⎞⎛−∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1R
B
A TdQ 0
TdQ
2R
B
A=∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎠⎝ 1RA 2RA ⎠⎝
∫ ⎟⎞
⎜⎛B dQ B dQ
∫ ⎟⎞
⎜⎛=∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
1RA TQ
2RA TQ
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∫ ⎟⎞
⎜⎛B dQ indipendente dalla trasformazione,∫ ⎟
⎠⎜⎝A REVT dipende solo dagli stati iniziale e finale
Possiamo quindi introdurre una funzione di stato S “ENTROPIA” così definita
ENTROPIA DEL GAS IDEALEENTROPIA DEL GAS IDEALE
n moli di un gas ideale compionon moli di un gas ideale compiono una trasformazione reversibiledallo stato A allo stato B
dQ = dU + dW ( I principio)
Per una trasformazione reversibiledV
dVpV = nRT
VdVnRTdW =
dQ = ncVdT + V
dVnRTV
V
VnRdV
TdTnc
TdQ V +=
VTT
∫ ⎟⎞
⎜⎛B dQ
∫∫BVBT
V nRdVdTnc∫ =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=−
A REVAB T
dQSS =∫+∫AVAT
VV
nRdVT
dTnc AA
BB VnRlnTlnnc += (*)AA
V VnRln
Tlnnc += (*)
Se si deve calcolare la variazione di entropia l ti d t f i i ibil ABrelativa ad una trasformazione irreversibile AB,
si congiungono lo stato iniziale A e lo stato finale B mediante un percorso reversibile lungo il quale è possibile determinare la variazione di entropia, p p ,applicando la (*)
PRINCIPIO DI AUMENTO DELL’ENTROPIAA, B stati di un sistema termodinamico
R
R t f i i ibilB
R1AR1 trasformazione irreversibile B
R2−R2
P i R i i ( R )R2 trasformazione reversibile
Percorriamo R2 in senso inverso (− R2 )
R1 + ( − R2 ) ciclo irreversibile
0dQ ≤∫Per il teorema di Clausius 0T
≤∫C
0T
dQT
dQ AB≤∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
TT21 RBRA ⎠⎝⎠⎝ −
BB
TdQ
TdQ
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≤∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
21 RARA TT ∫ ⎟⎠
⎜⎝
∫ ⎟⎠
⎜⎝
SdQBΔ≤∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ S
T irrAΔ≤∫ ⎟
⎠⎜⎝
Per un sistema isolato dqirr = 0
0S ≥Δ 0S ≥ΔPer una trasformazione adiabatica
0S =Δ0SΔ i ibil
se reversibile
0S >Δ se irreversibile
UNIVERSO = sistema + ambiente= sistema isolato sistema isolato
0SSS ≥Δ+ΔΔ 0SSS AMBSISTU ≥Δ+Δ=Δ
0SU =Δ
se la trasformazione è reversibile
0SU >Δ
se la trasformazione è irreversibile
0SU >Δ
se la trasformazione è irreversibile
Variazione di entropia dell’universo in un cicloSSS ΔΔΔ AMBCICLOUCICLO SSS Δ+Δ=Δ
0SΔessendo 0SCICLO =ΔSS ΔΔ
Oppure per un ciclo ABCDAAMBUCICLO SS Δ=Δ
Oppure per un ciclo ABCDA=Δ UCICLOS
+Δ+Δ+Δ+Δ= DACDBCAB SSSSUCICLO
+Δ+Δ+ AMBBCAMBAB SSAMBDAAMBCD SS Δ+Δ+
=Δ UCICLOSQuindi UC C O
UDAUCDUBCUAB SSSS Δ+Δ+Δ+Δ
ΔS
UDAUCDUBCUAB SSSS
S d ll i i i di t i d ll’ i
=Δ UCICLOSSomma delle variazioni di entropia dell’universo di ogni trasformazione del ciclog
0SUCICLO =Δ se il ciclo è reversibile0SUCICLOΔ
se il ciclo è irreversibile
se il ciclo è reversibile
0SUCICLO >Δ se il ciclo è irreversibile0SUCICLO >Δ