formulas algebra y geometria.doc

8/17/2019 Formulas algebra y geometria.doc

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PRODUCTO ESCALAR332211 vuvuvuvu ⋅+⋅+⋅=• / ϕ cos⋅⋅=• vuvu

PROYECCIÓN

vv

vuu proyv

⋅

•=

2 /v

vuu proy v

•

=

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO/ESPACIO( ) ( ) ( ) 212

2

12

2

12 )(, z z y y x xq pd −+−+−=

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

( )

+++=

2,

2,

2, 212121

z z y y x x y x M mm

PRODUCTO VECTORIALϕ senvuvu ⋅⋅=×

( ) ( ) ( )k vuvu jvuvuivuvu

vvv

uuu

k ji

vu

122113312332

321

321 ⋅−⋅+⋅−⋅−⋅−⋅==×

PRODUCTO MIXTO

( ) ( ) ( ) ( )122131331223321

321

321

321

wvwvuwvwvuwvwvu

www

vvv

uuu

wvu ⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅==×•

ECUACIONES DE PLANOSEcuación vectorial (vector normal): ( ) ( ) 0,,,, 321000 =⋅−−− nnn z z y y x x

Ecuación vectorial (vectores paral.): ( ) ( ) ( ) ( )32123211000 ,,,,,,,, vvvuuu z y x z y x ⋅+⋅+= λ λ Ecuación general: 0=+++ DCz By Ax

Ecuaciones paramétricas:

++=++=++=

32310

22210

12110

vu z z

vu y yvu x x

λ λ

λ λ λ λ

Ecuación segmentaria: 1=−+

−+

− C

D B D

A D

z y x

ÁNGULO ENTRE PLANOS

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121cosC B AC B A

C C B B A A

++⋅++

⋅+⋅+⋅=θ

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

( )222

111

1 ,C B A

D z C y B x A P d

+++⋅+⋅+⋅=π

HAZ DE PLANOS( ) ( ) 0

22221111 =+++++++ D z C y B x A D z C y B x A β α

RECTAS EN EL ESPACIOEcuación vectorial: ( ) ( ) ( )321000 ,,,,,, uuu z y x z y x λ +=

Ecuaciones paramétricas:

⋅+=⋅+=

⋅+=

30

20

10

u z z u y y

u x x

λ λ

λ

1


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Ecuaciones simétricas:3

0

2

0

1

0

u

z z

u

y y

u

x x −=

−=

−

ÁNGULO ENTRE RECTAS

vu

vu

⋅

•=θ cos

ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO

2222

3

2

2

2

1

321

C B Auuu

C u Bu Au sen

++⋅++

⋅+⋅+⋅=ϕ

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

( )u

P P u

R P d 10

1,

×

=

DISTANCIA ENTRE RECTAS ALABEADAS

( )( )

vu

vu P P S Rd

×

×•

=10

,

2


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MATRICES – DETERMINANTES

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN:•

nmnm B A B A ×× ℜ∈+⇒ℜ∈,• ( ) ( )C B AC B A ++=++

• A A N N A =+=+• ( ) ( ) N A A A A =+−=−+

• A B B A +=+

PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR UN ESCALAR•

nmnm A A ×× ℜ∈⇒ℜ∈∧ℜ∈ .α α • ( ) ( ) A A .. β α β α =

• ( ) A A A β α β α +=+

• ( ) B A B A α α α +=+

• A A =.1

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES• ( ) ( )C B AC B A .. =

• ( ) C A B AC B A .. +=+

• A B B A .. ≠

• A.B=A.C no se cumple que B=C• A.B=N no necesariamente A=N v B=N

PROPIEDADES DE LAS MATRICES SIMETRICAS Y ANTISIMETRICAS•

( )

t t t

B A B A +=+• ( ) t t A A .. α α =

• ( ) t t t

A B B A .. =

• ( ) t t t A A A A +=+• ( ) t t t A A A A .. =• ( ) t t t A A A A −−=−

PROPIEDADES DE LAS MATRICES INVERSIBLES• Si una matri es inversi!le su inversa es "nica• ( ) 111 .., −−−× =⇒ℜ∈ A B B A B A nn

• ( ) A A =−− 11

• ( ) 0.. 111 ≠∧= −− α α α A A

• ( ) ( ) k k A A 11 −− =Una mat!" A #$ %t%&%na' I A A A A t t ==⇔ ..

TEOREMA DE CRAMER: si A es una matri inversi!le #e or#en n 1×ℜ∈∀⇒ n B elsistema B X A =. tiene e$actamente una solución% que se o!tiene asignan#o aca#a incognita el cociente #e #os #eterminantes. El #eterminante #el#enomina#or es el #e la matri #el sistema & el #el numera#or es el #e la matri

que se o!tiene sustitu&en#o #el anterior la columna #e los coe'cientes #e laincógnita por la columna #e los términos in#epen#ientes.

3


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TEOREMA DE ROUCH()*ROBENIUS: un sistema #e m ecuaciones lineales conn incógnitas es compati!le si & sólo si el rango #e la matri #el sistema es igualal rango #e la matri amplia#a.

Enuncia#o: ( ) ( ) B A R A RCs =⇔∅≠

ue#en ocurrir #os alternativas:• ( ) ( ) n B A R A R == (n el numero #e incógnitas)% el sistema es E*E+,-NA.• ( ) ( ) n B A R A R


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ESPACIOS VECTORIALES

n con0unto 1 es un espacio vectorial & se escri!e ( )⋅ℜ+ ,,,V si es un con0untono vac2o en el que se cumple que: e$iste el vector nulo% para ca#a vector e$isteun opuesto% se cumple una le& #e composición interna en la suma #e vectores &#e composición e$terne en el pro#ucto entre escalares reales & vectores.

SUBESPACIOS VECTORIALES

n con0unto S no vac2o e inclu2#o en 1 sien#o ( )⋅ℜ+ ,,,V un espacio vectorial% Ses un su!espacio #e 1 si se cumplen las siguientes con#iciones:

V S ⊂

∅≠S S y xS y x ∈+⇒∈,

S xS x ∈⋅⇒∈∧ℜ∈ α α

+n!,%$ $-.#$a,!%$ 0# 2ℜ : ( ){ } 2,0,0 ℜ %rectas que pasen por el origen+n!,%$ $-.#$a,!%$ 0# 3ℜ : ( ){ } 3,0,0,0 ℜ % rectas que pasen por el origen% planosque pasen por el origen.

COMBINACIÓN LINEAL

Sea ( )⋅ℜ+ ,,,

V espacio vectorial & seanV vvv r ∈,...,, 21 3 4 es com!inación lineal

#e r vvv ,...,, 21 si r r vvvw α α α +++= 2211 con ℜ∈r α α α ,,, 21 .Si 021 ==== r α α α la C.5. es la trivial & se o!tiene el vector nulo.

SISTEMAS DE GENERADORES

Sea ( )⋅ℜ+ ,,,V e.v. & sean V vvv r ∈,...,, 21 3 los vectores r vvv ,...,, 21 6orman unsistema #e genera#ores #e 1 o generan a 1 si to#o vector #e 1 pue#e

e$prearse como C.5. #e ellos.e'nición: r r r vvvwV w α α α α α α +++=ℜ∈∃∈∀ 221121 /,,,,

ropie#a#: Si el sistema { }r vvv ,,, 21 inclui#o en 1 es genera#or #e 1 & uno #elos vectores que lo 6orman es C.5. #e los otros% entonces el su!sistema queresulta al suprimir ese vector tam!ién es genera#or #e 1.

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL5a ecuación 02211 =+++ r r vvv α α α tiene siempre solución trivial

Si la trivial es la "nica solución entonces los vectores son linealmentein#epen#ientes.

"


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Si a#em7s tiene otras soluciones% los vectores son linealmente#epen#ientes.

!servaciones & propie#a#es: *o#o sistema que contenga al vector nulo es 5.. *o#o sistema con un "nico vector no nulo es 5.-. El sistema { }r vvv ,,, 21 es 5.. si & solo si algunos #e los vectores #el

sistema es C.5. #e los restantes. Si un sistema tiene #os vectores no nulos% si uno es m"ltiplo #el otro son

5..3 caso contrario son 5.-. En 2ℜ & 3ℜ #os vectores 5.. son paralelos.

BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL{ }nvvv B ,,, 21 = es !ase #e 1 ⇔ B es S.8. #e 1 9 B es 5.-. Si se comprue!a cualquiera #e las #os con#iciones &a se pue#e #ecir que

es !ase.

5lamamos !ases canónicas #e nℜ a por e0emplo: ( ) ( ){ } 21,0,0,1 ℜen

( ) ( ) ( ){ } 31,0,0,0,1,0,0,0,1 ℜen

DIMENSIÓN *o#o espacio vectorial #e #imensión 'nita que no se re#uca al vector

nulo a#mite por lo menos una !ase. Si 1 es un e.v. #e #imensión 'nita% to#as sus !ases tienen el mismo

n"mero n #e vectores que se llama #imensión #e 1 & se nota: nV =dim Se #e'ne { } 00dim = 1dimdimdim +=⋅=ℜ=ℜ × n P nmn n

nmn

!servaciones: sea nV =dim *o#o sistema con m7s #e n vectores #e 1% son 5.. *o#o sistema con menos #e n vectores #e 1% no generan a 1. *o#o sistema #e n vectores 5.-.% 6orman una !ase #e 1. *o#o S.8. #e 1 con n vectores% 6orman una !ase #e 1

ropie#a#: Sea nV =dim & sea un con0unto #e r vectores (rn) 5.-.% el con0untopue#e e$ten#erse a una !ase #e 1 agreg7n#ole (n;r) vectores% 6orman#o #eesta manera un con0unto 5.-. #e n vectores #e 1.

BASE DE UN SUBESPACIOB es !ase #e un su!espacio S si B es un con0unto 5.-. & 6orma un S.8. #e S.Si nV =dim & S su!espacio #e 1% entonces V S nS si ynS =⇔=≤ dimdim

COORDENADAS DE UN VECTOR EN UNA BASE

#


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{ } nnnn uuuvV vV de!seuuu B si α α α α α α +++=ℜ∈∃⇒∈∧= 22112121 /,,,$,,,

Se nota: [ ]

=

n

Bv

α

α

α

2

1

OPERACIONES CON SUBESPACIOS-ntersección:

Sean S


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ESPACIO *ILA Y ESPACIO COLUMNA DE UNA MATRIZSe llama espacio 'la #e A al su!espacio #e nℜ genera#o por los vectores 'la #eA. Se llama espacio columna #e A al su!espacio #e nℜ genera#o por losvectores columna #e A.Se llama rango 'la #e A a la #imensión #e ( ) AS#

Se llama rango columna #e A a la #imensión #e ( ) AS"El rango 'la & el rango columna #e una matri son iguales. Se llama rango #euna matri a su rango 'la & a su rango columna.


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TRANS*ORMACIONES LINEALES

DE*INICIÓN: Sean 1 & ? espacios vectoriales so!re ℜ % la 6unción $ V % → esuna tan$2%ma,!3n '!n#a' 0# V #n 4 si se veri'can los criterios #elineali#a#.

CRITERIOS DE LINEALIDAD: ( ) ( ) ( ) V x x x% x% x x% ∈′∀′+=′+ , ( ) ( ) V x x% x% ∈∀∧ℜ∈∀= α α α ..

PROPIEDADES:Sea $ V % → trans6ormación lineal

( ) $ V % 00 = ( ) ( ) x% x% −=−

( ) ( ) ( ) x% x% x x% ′−=′−

N+CLEO DE UNA TRANS*ORMACIÓN LINEAL: Sea $ V % →Se llama n5,'#% 0# T al con0unto #e los vectores #e 1 cu&a imagen me#iante *es >?.

( ) ( ) ( ){ }$ x% V x% &er % Nu 0/ =∈==El n"cleo #e * es un su!espacio #e 1.

IMAGEN DE UNA TRANS*ORMACIÓN LINEAL: sea $ V % →Se llama con0unto imagen #e * al con0unto #e vectores #e ? que son im7genesme#iante * #e al menos un vector #e 1.

( ) ( ){ } y x% V x$ y% =∧∈∃∈= /m5a imagen #e * es un su!espacio #e ?.

TEOREMA DE LAS DIMENSIONESSea $ V % → trans6ormación lineal

( ) ( )% % NuV mdimdimdim += !ien #e otra manera: ( ) ( )% r!n'o% nu(id!d n +=

*


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TRANS*ORMACIONES MATRICIALES:Sea nm A ×ℜ∈ 3 si se consi#eran los vectores #e mℜ & los vectores #e nℜ e$presa#os como matri columna% se pue#e #e'nir la trans6ormación lineal * #e

nℜ en mℜ como:

( ) X A X % % mn ./ =ℜ→ℜ

on#e A se llama matri est7n#ar.

CLASI*ICACIÓN DE LAS TRANS*ORMACIONES LINEALESSea $ V % → trans6ormación lineal:

* es MONOMOR*ISMO ⇔ * es INYECTIVA ( ) { }V % Nu 0=⇔ * es EPIMOR*ISMO ⇔ * es SOBREYECTIVA ( ) $ % =⇔ m * es ISOMOR*ISMO ⇔ * es BIYECTIVA ( ) { } ( ) $ % % Nu V =∧=⇔ )m0 * es ENDOMOR*ISMO $ V =⇔

TEOREMA *UNDAMENTAL DE LAS TRANS*ORMACIONES LINEALES

Sean 1 & ? espacios vectoriales so!re ℜ % & sea { }nvvv B ,,, 21 = !ase #e 1 &

nt t t ,,, 21 vectores ar!itrarios #e ? ( ) nit v% $ V % ( t i ,,1/..$ 1 =∀=→∃⇒(Si tenemos una !ase #e 1 con los trans6orma#os #e ca#a uno #e sus vectoresentonces po#emos 6ormar una "nica trans6ormación lineal con ellos)

o En los e0ercicios #epen#ien#o #e los #atos que nos #en se pue#en 6ormaruna "nica trans6ormación lineal% in'nitas o que no e$ista la misma (@a&que compro!ar si son 5.-. los vectores que nos #an o si nos 6altan vectorespara armar una !ase)

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANS*ORMACIÓN LINEAL

Sean m$ nV ( t $ V % =∧=→ dimdim/..

Sea { }nuuu B ,,, 211 = !ase #e 1Sea { }mvvv B ,,, 212 = !ase #e ?

5a trans6ormación lineal * que#a caracteria#a por una matri nm A ×ℜ∈ % sien#osu n"mero #e 'las igual a la #imensión #el co#ominio #e * & su n"mero #ecolumnas igual a la #imensión #el #ominio #e *. A la matri A se la llama mat!"a$%,!a0a a T #n 'a$ .a$#$ B6 7 B8:

( )

==

mnmm

n

n

B B

!!!

!!!

!!!

% M A

21

22221

11211

21

10


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Sien#o el vector columna

1

21

11

m!

!

!

las coor#ena#as #e *(u6) en la !ase B8 % el

vector columna

2

22

12

m!

!

!

las coor#ena#as #e *(u8) en la !ase B8 & el vector

columna

mn

n

n

!

!

!

2

1

las coor#ena#as #e *(un) en la !ase B8 .

+ES,-: ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]22221

21 Bn B B B B u% u% u% % M =

BSE+1AC-N: Sea m$ nV ( t $ V % =∧=→ dimdim/.. % { }nuuu B ,,, 211 = !ase #e 1%& { }mvvv B ,,, 212 = !ase #e ?3 entonces:

( ) [ ] ( )[ ]2121 B B B B

x% x% M =•

AC5A+AC-N: 5as !ases canónicas se suelen #enominar como E & E.

11


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MATRIZ ASOCIADA A LA TRANS*ORMACIÓN LINEAL INVERSA

Sea V V % → *.5. BIYECTIVA (5os su!espacios 1 no tienen que sernecesariamente iguales% tienen que tener igual #imensión)Con V V % nV →∃⇒= − dim 1 *.5.

Sea B6 !ase #e 1 & B8 !ase #e 1 & sea ( ) ( 122111

B Bnm

B B % M A% M A −−× =⇒ℜ∈=

MATRIZ ASOCIADA A LA COMPUESTA DE TRANS*ORMACIONES LINEALES

Sean $ ) % % V ) % $ V % →∃⇒→∧→ 2121 *.5.Con m$ pV n) === dim,dim,dim

Sean B6 !ase #e % B8 !ase #e 1 & B9 !ase #e ?3 & sean:( ) ( ) ( ) nm

B B

n p

B B

pm

B B B A% % M % M B% M A

××× ℜ∈⋅=⇒ℜ∈=∧ℜ∈=312132

2121

5a composición se pue#e @acer tanto matricialmente como aplican#o ( )[ ] x% % 21

MATRIZ CAMBIO DE BASE O DE CAMBIO DE COORDENADASConsi#eran#o la trans6ormación lineal i#enti#a# ( ) x x Id V V Id =→ /

Consi#eran#o { }nuuu B ,,, 211 = !ase #e 1% & { }mvvv B ,,, 212 = !ase #e ?3entonces:

( ) [ ] ( )[ ] [ ]22121 B B B B B

x x Id x Id M ==•

5a matri asocia#a a la i#enti#a# act"a como matri cam!io #e !ase o matricam!io #e coor#ena#as #e la !ase B6 a la !ase B8.

NOTACIÓN: ( ) P P Id M B B B B == → 2121

*ÓRMULA: [ ] [ ] ( ) X X P x x P B B B B ′=⋅=•→ 2121

BSE+1AC-N: n B B I P B B =⇔= → 2121

+-EA: 5a matri21 B B

P → es regular & ( )

1221

11

B B B B P P P →−

→− ==

12


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AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

Sea V V % → en#omor'smo

DE*INICIÓN: El vector V x∈ es un a-t%#,t% % #,t% %!% #e *

( ) x x% x v ⋅=ℜ∈∃∧≠⇔ λ λ /0 . A se lo llama a-t%a'% % a'% %!% asocia#o a$.

DE*INICIÓN DE *ORMA MATRICIAL: Sea nn A ×ℜ∈El vector 1×ℜ∈ n X es un autovector #e X X A X A n ../0 1 λ λ =ℜ∈∃∧≠⇔ ×ℜA se lo lama autovalor asocia#o a D.

+-EA: 0. =−⇔ I A Ade!utov!(or λ λ BSE+1AC-N:

( ) I A P .λ λ −= P%'!n%m!% ,aa,t#;$t!,% cu&as ra2ces van a ser los autovalores

#e A0. =− I A λ E,-a,!3n ,aa,t#;$t!,a.

BSE+1AC-N: na ve @alla#os los autovalores al reemplaarlos en el sistema@omogéneo X X A .. λ = que es compati!le in#etermina#o que#a 6orma#o unsu!espacio #e 1×ℜn llama#o $-.#$a,!% %!% a$%,!a0% a (oautoespacio):

{ } X X A X S n ../1 λ λ

=ℜ∈= ×

MATRIZ SEME1ANTE:na matri B #e or#en n es $#m#


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DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIM(TRICAS:+-EAES:

• Si A es una matri real #e or#en n simétrica ⇒ λ son n"meros reales.• Si A matri simétrica #e or#en n ⇒ A tiene n autovectores ortonormales.• na matri es 0!a&%na'!"a.'# %t%&%na'm#nt# ⇔ es simétrica

1!


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ECUACIONES DE TRANSLACIÓN:

−=′−=′

0

0

y y y

x x x

CÓNICAS

CIRCUN*ERENCIAEs el lugar geométrico #e los puntos #el plano que equi#istan #e un punto '0ollama#o ,#nt% una #istancia constante llama#a a0!%.

ECUACIONES DE LA CIRCUN*ERENCIA:• ( ) ( ) 220

2

0 r y y x x =−+− Ecuación canónica o cartesiana

• 022 =++++ * +y Dx y x Ecuación general

• π 20.

cos.

0

0


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ECAC-NES:• ( ) ( )0

2

0 2 x x p y y −=− Ecuación canónica

•

ℜ∈

+=

+=

t

p

t x x

t y y

2

2

0

0

osi!le ecuación paramétrica

E5E,EN*S• A+G,E*+: p• 1I+*-CE: ( )00 , y xV

• FC:

+

00 ,2 y

p x *

• -+EC*+-J:2

0

p x xd −=

• EHE FCA5: 0 y y =

• 5N8-* E5 5A +EC*: p.2A+GB5A E EHE A+A5E5 A5 EHE K

1#


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ECAC-NES:• ( ) ( )0

2

0 2 y y p x x −=− Ecuación canónica

•

ℜ∈+=

+=t

p

t y y

t x x

2

2

0

0

osi!le ecuación paramétrica

E5E,EN*S:• A+G,E*+: p• 1I+*-CE: ( )00 , y xV

• FC:

+

2,

00

p y x *

• -+EC*+-J:2

0

p y yd −=

• EHE FCA5: 0 x x =

• 5N8-* E5 5A +EC*: p.2

ELIPSEa#os en el plano #os puntos #istintos *6 & *8 llama#os 6ocos & un numeropositivo a #e mo#o tal que ( ) ! * * d 2, 21 < % se llama elipse al lugar geométrico #elos puntos #el plano tales que la suma #e sus #istancias a *6 & *8 resultaconstante e igual a a.

CN-C-N -,+*AN*E EN *AS 5AS E5-SES:!"on"! >+= 222

1'


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E5-SE E EHE A+A5E5 A5 EHE D

ECAC-NES:

•( ) ( )

12

2

0

2

2

0 =−

+−

y y

!

x x Ecuación canónica #e la elipse.

• π 20cos

0

0


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ECAC-NES:

• ( ) ( ) 12

2

0

2

2

0 =−+−!

y y

x x Ecuación canónica #e la elipse.

• π 20cos

0

0 % se llama elipse al lugar geométrico #e los puntos#el plano tales que la #i6erencia #e sus #istancias a *6 & *8 resulta constante eigual a a.

CN-C-N -,+*AN*E EN *AS 5AS L-I+B5AS:"!""on!" >∧>+= 222

L-I+B5A E EHE A+A5E5 A5 EHE D

1*


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ECAC-NES:

•( ) ( )

12

2

0

2

2

0 =−

−−

y y

!

x x Ecuación canónica #e la @ipér!ola.

• π π π 2320

020

tan

sec≠∧≠


21/26

ECAC-NES:

•( ) ( )

12

2

0

2

2

0 =−

−−

x x

!

y y Ecuación canónica #e la @ipér!ola.

• π π π 2320

020

sec

tan≠∧≠


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• egenera en rectas paralelas• egenera en < recta• No e$iste lugar geométrico

S! ( ) ( ) B A sgnsgn = ?$!&n% 0# a @ . %$!.'# #'!$#:• ue#e ser elipse• egenerar en un punto• No e$istir lugar geométrico

S! ( ) ( ) B A sgnsgn ≠ %$!.'# !=.%'a:• ue#e ser @ipér!ola• egenera en rectas que se cortan

22


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CUÁDRICAS

Se llama $-#,!# ,->0!,a al con0unto #e puntos #el espacio cu&ascoor#ena#as satis6acen una ecuación #e O gra#o en tres varia!les.

CUÁDRICAS CON CENTRO ( ) R Pz Ny Mx =++ 222

E5-S-E:

12

2

2

2

2

2

=++"

z

y

!

x

(Si "! == % es6era)

L-E+B5-E E NA LHA:

12

2

2

2

2

2

=−+"

z

y

!

x

L-E+B5-E E S LHAS:

12

2

2

2

2

2 =+−−" z

y

! x

C-5-N+ E5M*-C (C-+C5A+) +EC*:

23


24/26

12

2

2

2

=+

y

!

x

C-5-N+ L-E+B5-C +EC*:

12

2

2

2

=−

y

!

x

SE+F-C-E CN-CA +EC*A:

12

2

2

2

2

2

=−+ " z

y

!

x

CUÁDRICAS SIN CENTRO ( )Sz Ny Mx =+ 22

A+AB5-E E5M*-C:

"z

y

!

x=+

2

2

2

2

A+AB5-E L-E+B5-C:

"z ! x

y =−

2

2

2

2

2!


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C-5-N+ A+AB5-C +EC*:"y x =

2

CURVAS EN EL ESPACIO

( )

( )

==

0,,

0,,

z y x,

z y x * C

5a curva C est7 #a#a como intersección #e #os

super'cies #istintas F & 8 que contienen m7s #e unpunto en com"n.5a curva C es curva plana si to#os sus puntos est7n en un mismo plano. Es unacurva ala!ea#a en caso contrario.

APLICACIONES DE DIAGONALIZACIÓN

POTENCIAS DE UNA MATRIZ A DIAGONALIZABLE ?0# %0#n n

1.. −= P D P A & & Sien#o

=

&

n

&

&

& D

λ

λ

λ

00

00

00

2

1

ROTOTRANSLACIÓN DE CÓNICASAplican#o el proceso #e #iagonaliación% se i#enti'ca una cónica #a#a me#iantesu ecuación #e O gra#o en #os varia!les #e la 6orma:

022

=+++++ N%+S IND+P+NDI+ %+RMIN-S

.IN+A.+S %+RMIN-S C)ADRA%ICA *-RMA

* +y DxCy Bxy Ax

Se #e!e #iagonaliar ortogonalmente la matri o!teni#aF+,5A E 5A +**+ANS5AC-N:

( ) ( ) * y

x + D

y

x

C B

B A y x +=

+

0

2

2

Sa!ien#o que ( ) ( ) t

ND-%RANSP-NI+

P y x y x y

x P

y

x′′=⇒

′′

=

.

K como es ortogonal: t P P =−1Se reemplaa en la 6ormula #el principio & se reemplaa D P A P =− ..1

2"


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5a matri tiene que ser %t%&%na' %!a

formulas algebra y geometria.doc

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