fórmulas

U N I V E R S I D A D D E L V A L L E D E M X I C OFORMULARIO DE CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

F R M U L A S D E D E R I V A C I N A L G E B R A I C A

1. dd

cx

= 0. 2. xx

dd = 1. 2a.

xdd (cx) = c. 3.

xdd (u + v w) = d

dux

+ dd

vx

ddwx

.

4. xdd (cu) = c d

dux

. 5. xdd (uv) = u d

dvx

+ v dd

ux

. 6. xdd ( un) = nun 1 d

dux

. 6a. xdd (xn) = nxn 1.

7. xdd u

v! "# $% &

= 2

d d d d

u vv u

vx x

'. 7a.

xdd u

c! "# $% &

=

dd

u

cx . 8. x

ydd = d

dvy ( d

dvx

. 9. xy

dd =

yx

dd1 .

10. xdd ) u * =

dd

2

u

ux . 11.

xdd ) *3 u = 3 2

dd

3

u

ux . 12.

xdd ) *n u = 1nn

dd

u

unx

'.

F R M U L A S D E D E R I V A C I N T R A S C E N D E N T E

13. xdd (ln u) =

dd

u

ux , donde ln u = loge u.

13a. xdd (log u) = log e

u ( d

dux

14. xdd (au) = au ln a d

dux

. 15. xdd (eu) = eu d

dux

.

16. xdd (uv) = v uv 1 d

dux

+ uv ln u dd

vx

. 17. xdd (sen u) = cos u d

dux

. 18. xdd (cos u) = - sen u d

dux

.

19. xdd (tan u) = sec2 u d

dux

. 20. xdd (cot u) = csc2 u d

dux

. 21. xdd (sec u) = sec u tan u d

dux

.

22. xdd (csc u) = - csc u cot u d

dux

. 23. xdd (arc sen u) =

2

dd

1

u

ux'

. 24. xdd (arc cos u) =

2

dd

1

u

ux'

.

25. xdd (arc tan u) = 2

dd

1

u

ux

+. 26.

xdd (arc cot u) = 2

dd

1

u

ux

+.

27. xdd (arc sec u) =

2

dd

u

u ux

' 1. 28.

xdd (arc csc u) =

2

dd

u

u ux

' 1.

F R M U L A S D E D I F E R E N C I A L E S A L G E B R A I C A S Y T R A S C E N D E N T E S

1. d(c) = 0. 2. d(x) = dx. 3. d(u + v w) = du + dv dw. 4. d(cu) = c du. 5. d(uv) = u dv + v du. 6. d(un) = nun 1 du.

6a. d(xn) = nxn 1 dx. 7. duv

! "# $% &

= 2d dv u u v

v' . 7a. d u

c! "# $% &

= duc

.

8. d ) *u = d2

uu

. 9. d ) *3 u = 3 2d

3 uu

. 10. d ) *n u = 1d

nn unu

'.

Formulario de Clculo Diferencial e Integral

2

F R M U L A S D E D I F E R E N C I A L E S A L G E B R A I C A S Y T R A S C E N D E N T E S

11. d(ln u) = uud , donde ln u = loge u.

11a. d(log u) = log e ( duu

12. d(au) = au ln a du. 13. d(eu) = eu du.

14. d(uv) = v uv 1 du + uv ln u dv. 15. d(sen u) = cos u du. 16. d(cos u) = sen u du. 17. d(tan u) = sec2 u du. 18. d(cot u) = csc2 u du. 19. d(sec u) = sec u tan u du.

20. d(csc u) = csc u cot u du. 21. d(arc sen u) = 2d

1 u

u'. 22. d(arc cos u) =

2

d1

uu'

.

23. d(arc tan u) = 2d

1 u

u+. 24. d(arc cot u) = 2

d1

uu+

. 25. d(arc sec u) = 2

d 1

uu u '

.

26. d(arc csc u) = 2

d

uu u ' 1

.

F R M U L A S D E I N T E G R A L E S I N M E D I A T A S

1. = (d d d )u v w+ ', du, + dv, dw, . 2. da u, = a . du,3. = x + C. dx, 4. = dnu u,

1

1

nun

+

+ + C. 5.

duu, = ln u + C.

6. = dua u, lnuaa

+ C. 7. = edue u, u + C. 8. sen du u , = cos u + C.

9. = sen u + C. cos du u, 10. = tan u + C. 2sec du u, 11. 2csc du u, = cot u + C. 12. = sec u + C. sec tan du u, u csc cot du u u13. , = csc u + C. 14. = ln cos u + C = ln sec u + C. tan du u, 15. cot du u, = ln sen u + C. 16. = ln (sec u + tan u) + C. sec du u, 17. csc du u , = ln (csc u cot u) + C.

18. 2 2du

u a+, = 1a

arc tan ua

+ C. 19. 2 2du

u a', = 1

2a ln u a

au'+

+ C.

20. 2 2du

a u', = 1

2a ln a u

ua+'

+ C. 21. 2 2

dua u',

= arc sen ua

+ C.

22. 2 2

duu a-,

= ln ) *2 2u au+ - + C. 23. 2 2 dua u', = 2

u 2 2a u' + 2

2a arc sen u

a + C.

24. 2 2 dau u-, = 2u 2 2u a- -

2

2a ln ) *2 2u au+ - + C.

25. = uv - (integracin por partes) du v, dv u,


3

TABLA DE NGULOS ESPECIALES

NGULOGRADOS RADIANES

PUNTO DE DESCRIPCIN HIPOTENUSA

0 0 (1, 0) 90 2

1 . (0, 1) 180 . (-1, 0) 270 2

3 . (0, -1)

1

30 6

1 . ( 3 , 1)

150 65 . (- 3 , 1)

210 67 . (- 3 , -1)

330 611. ( 3 , -1)

2

45 4

1 . (1, 1)

135 43 . (-1, 1)

225 45 . (-1, -1)

315 47 . (1, -1)

2

60 3

1 . (1, 3 )

120 32 . (-1, 3 )

240 34 . (-1, - 3 )

300 35 . (1, - 3 )

2

90 12 . (0, 1) 180 . (-1, 0) 270 32 . (0, -1) 0 0

360 2. (1, 0)

1

C O N V E R S I O N E S G R A D O S R A D I A N E S

FRMULA DESCRIPCIN

/ = r

r180/ (.

0 Para convertir de radianes a grados

/r = r

1800 ( ./

0 Para convertir de grados a radianes


4

D E F I N I C I O N E S D E L A S F U N C I O N E S T R I G O N O M T R I C A S

Sen / = hipotenusa

opuesto c. Cos / hipotenusa

adyacente c. Tan / = adyacente c.opuesto c.

Csc / = opuesto c.

hipotenusa Sec / adyacente c.

hipotenusa Cot / = opuesto c.

adyacente c.

T R I N G U L O S R E C T N G U L O S

A

B

C

1

a c

b/

F U N C I O N E S T R I G O N O M T R I C A S P A R A /

FUNCIN PARA CALCULAR a PARA CALCULAR b PARA CALCULAR c PARA CALCULAR /

sen / = ac

a = c ( sen / c = sen

a/

/ = sen1 ac

! "# $% &

cos / = bc

b = c ( cos / c = cos

b/

/ = cos1 bc

! "# $% &

tan / = ab

a = b ( tan / b = tan

a/

/ = tan1 ab

! "# $% &

cot / = ba

a = cot

b/

b = a ( cot / / = cot1 ba

! "# $% &

sec / = cb

b = sec

c/

c = b ( sec / / = sec1 cb

! "# $% &

csc / = a = csc

c/

c = a ( csc / / = csc1 ca

! "# $% &

ca

F U N C I O N E S T R I G O N O M T R I C A S P A R A 1

FUNCIN PARA CALCULAR a PARA CALCULAR b PARA CALCULAR c PARA CALCULAR 1

sen 1 = bc

b = c ( sen 1 c = sen b

1 1 = sen1 b

c! "# $% &

cos 1 = ac

a = c ( cos 1 c = cos a

1 1 = cos1 a

c! "# $% &

tan 1 = ba

a = tan

b1

b = a ( tan 1 1 = tan1 ba

! "# $% &

cot 1 = ab

a = b ( cot 1 b = cot a

1 1 = cot1

ab

! "# $% &


5

F U N C I O N E S T R I G O N O M T R I C A S P A R A 1

sec 1 = ca

a = sec

c1

c = a ( sec 1 1 = sec1 ca

! "# $% &

csc 1 = b = csc c1

c = b ( csc 1 1 = csc1 cb

! "# $% &

cb

R E L A C I N E N T R E L O S L A D O S

TEOREMA DE PITGORAS PARA CALCULAR a PARA CALCULAR b PARA CALCULAR cc 2 = a2 + b2 a = 2 c b' 2 b = 2 c a' 2 c = 2 a b+ 2

R E L A C I N E N T R E L O S N G U L O S

NGULOS COMPLEMENTARIOS PARA CALCULAR / PARA CALCULAR 1/ + 1 = 90 / = 90 1 1 = 90 /

T R I N G U L O S O B L I C U N G U L O S

A

B

C /2

12

32

a c

b LEY DE SENOS

PARA CALCULAR NGULOS PARA CALCULAR LADOS sen

a/ = sen

b1 = sen

c3

sen a

/ =

sen b

1 =

sen c

3

L E Y D E C O S E N O S

PARA CALCULAR a PARA CALCULAR b PARA CALCULAR c a2 = b2 + c2 2bc ( cos / b2 = a2 + c2 2ac ( cos 1 c2 = a2 + b2 2ab ( cos 3

R E L A C I N E N T R E L O S N G U L O S

PARA CALCULAR / PARA CALCULAR 1 PARA CALCULAR 3 / = 180 1 3 1 = 180 / 3 3 = 180 / 1


6

G R F I C A S D E S E N O Y C O S E N O

1

0.5

-1

0

-0.5

x

y SENOIDE O SINUSOIDE

2 65431

y = sen xCOSENOIDE y = cos x

61 .

31 .

21 .

32 .

65 .

.

67 .

34 .

23 .

35 .

611.

2.

V A L O R E S C R T I C O S

x 0 21 . . 2

3 . 2.Sen x 0 1 0 -1 0Cos x 1 0 -1 0 1

I D E N T I D A D E S T R I G O N O M T R I C A S

IDENTIDADES RECPROCAS

1. csc / = 1sen /

2. sec / = 1cos /

3. cot / = 1tan /

IDENTIDADES DE COCIENTES

4. tan / = sen cos

//

5. cot / = cos sen

//

IDENTIDADES DE ARGUMENTOS NEGATIVOS 6. sen (-/) = - sen / 7. cos (-/) = cos / 8. tan (-/) = - tan /

IDENTIDADES PITAGRICAS 9. sen2 / + cos2 / = 1 10. 1 + tan2 / = sec2 / 11. 1 + cot2 / = csc2 /

IDENTIDADES ADITIVAS 12. sen (/ + 1) = sen / cos 1 + cos / sen 1 13. sen (/ 1) = sen / cos 1 cos / sen 114. cos (/ 1) = cos / cos 1 sen / sen 1 15. cos (/ 1) = cos / cos 1 + sen / sen 1

16. tan (/ + 1) = tan tan tan +/ 1/ 1

17. tan (/ 1) = tan tan tan '/ 1/ 11 tan' 1 tan+

IDENTIDADES DE NGULOS DOBLES Y MEDIOS

18. sen 2/ = 2 sen / cos / 19. cos 2/ = cos2 / sen2 / 20. tan 2/ = 22 tan

1 tan'//

21. sen 2/ = - 1 cos

2' / 22. cos

2/ = - 1 cos

2+ / 23. tan 2

/ = - 1 cos1 cos

/'+ /

24. sen2 / = 12

12

cos 2/ 25. cos2 / = 12

+ 12

cos 2/


7

L E Y E S D E L O S E X P O N E N T E S

NOMBRE REGLA EJEMPLO

Definicin de Potencia n ve

n =

ces

a a ( a( a (4 ( a

25 = 2 ( 2 ( 2 ( 2 ( 2 = 32

a0 = 1 50 = 1 Casos Particulares

a1 = a x1 = x

Producto de Potencias am ( an = am + n 32( 33 = 32 + 3 = 35 = 243

Cociente de Potencias 1 m

n

aa

= am n, si m 5 n 4

2xx

= x42 = x2

Cociente de Potencias 2 m

n

aa

= 1m na ', si m 6 n

5

8xx

= 8 51

x ' = 3

1x

Potencia de Potencias (am)n = amn (x2)3 = x2( 3 = x6

Potencia de un Producto (a ( b)n = an ( bn (xy)3 = x3y3

Potencia de un Cociente na

b! "# $% &

= n

n

ab

32

3! "# $% &

= 3

323

= 2 2 23 3 3( (( (

= 827

a n = 1na 2 3 = 3

12

= 12 2 2( (

= 18

1na'

= an 21

3' = 32 = 3 ( 3 = 9 Potencias Negativas

nab

'! "# $% &

= nb

a! "# $% &

42

3

'! "# $% &

= 43

2! "# $% &

= 4

432

= 8116

4 1 / 2 = 4 = 2 a 1 / n = n a

27 1 / 3 = 3 27 = 3

27 2 / 3 = ) *23 27 = (3)2 = 9 Potencias Fraccionarias

a m / n = ) *mn a = mn a x 7 / 4 = 4 7x

P R O P I E D A D E S D E L O S L O G A R I T M O S

logb (AB) = logb A + logb B logb AB

= logb A logb B logb An = n logb A


8

D I S T A N C I A E N T R E D O S P U N T O S , S E G M E N T O S Y P O L G O N O S

Frmula de la Distancia: Frmula del Punto Medio: rea de un Tringulo:

x = 1x2

x2+ ; y = 1 2y2

y+

Frmula del Punto P(x, y) que Divide a un Segmento

una Razn r: en2

2 22

1( )x (y)x' + ' 1y

x = 1x x1+

rr

2+ ; y = 1 2y y1+

rr

+

! = 12

1 1

2 2

3 3

1 1

x yx yx yx y

= 12

|x1y2 + x2y3 + x3y1 x1y3 x3y2 x2y1|

rea de un Cuadriltero: rea de un Pentgono:

! = 12

1 1

2 2

3 3

4 4

1 1

x yx yx yx yx y

= 12

|x1y2 + x2y3 + x3y4 + x4y1 x1y4 x4y3 x3y2 x2y1|

! = 12

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

1 1

x yx yx yx yx yx y

= 12

|x1y2 + x2y3 + x3y4 + x4y5 + x5y1 x1y5 x5y4 x4y3 x3y2 x2y1|

L A L N E A R E C T A

Frmula Geomtrica de la Pendiente:

Frmula Trigonomtrica de la Pendiente:

Frmula Algebraica de la Pendiente:

m = ascensoavance

m = tan / m = 2 12 1

y yx x

''

Frmula del ngulo de Interseccin de Dos Rectas :

tan / = 1

2 1

2 1

m mm m'

+ ( m2 = pendiente final,

m1 = pendiente inicial Ecuacin General de una Recta: Ecuacin Punto Pendiente de una Recta:

Ax + By + C = 0 m(x x1) = y y1Ecuacin Pendiente Interseccin y de una Recta: Ecuacin Simtrica de una Recta:

y = mx + b ax +

by = 1

Ecuacin General de una Recta Vertical: Ecuacin General de una Recta Horizontal: x x1 = 0 y y1 = 0

Condicin de Paralelismo: Condicin de Perpendicularidad: m1 = m2 m1 ( m2 = -1


9

L A C I R C U N F E R E N C I A

ELEMENTOS CENTRO C(h, k) CENTRO C(0, 0) Radio r r

Ecuacin Estndar (x h)2 + (y k)2 = r2 x2 + y2 = r2x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 x2 + y2 + F = 0 Ecuacin General D = -2h, E = - 2k, F = h2 + k2 r2 F = -r2

L A P A R B O L A PARBOLAS CON V(h, k) PARBOLAS CON V(0, 0) ELEMENTOS H o r i z o n t a l Vertical H o r i z o n t a l Vertical

Vrtice V(h, k) V(h, k) V(0, 0) V(0, 0) Parmetro p = VF = VR p = VF = VR p = VF = VR p = VF = VR

Foco F(h + p, k) F(h, k + p) F(p, 0) F(0, p) Eje de Simetra y = k x = h y = 0 x = 0

Directriz x = h p y = k p x = - p y = - p Lado Recto LR = |4p| LR = |4p| LR = |4p| LR = |4p|

Ecuacin Estndar (y k)2 = 4p(x h) (x h)2 = 4p(y k) y2 = 4px x2 = 4py y2 + Dx + Ey + F = 0 x2 + Dx + Ey + F = 0 y2 + Dx = 0 x2 + Ey = 0

Ecuacin General D = -4p, E = -2k, F = k2 + 4ph

D = -2h, E = -4p, F = h2 + 4pk D = -4p E = -4p

A la derecha, si p = (+) Hacia arriba, si p = (+) A la derecha, si p = (+) Hacia arriba, si p = (+)Concavidad A la izquierda, si p = () Hacia abajo, si p = () A la izquierda, si p = () Hacia abajo, si p = ()L A E L I P S E

ELIPSES CON C(h, k) ELIPSES CON C(0, 0) ELEMENTOS H o r i z o n t a l Vertical H o r i z o n t a l Vertical Centro C(h, k) C(h, k) C(0, 0) C(0, 0)

Vrtices Mayores V1(ha, k), V2(h+a, k) V1(h, ka), V2(h, k+a) V1(-a, 0), V2(a, 0) V1(0, -a), V2(0, a) Vrtices Menores B1(h, kb), B2(h, k+b) B1(hb, k), B2(h+b, k) B1(0, -b), B2(0, b) B1(-b, 0), B2(b, 0)

Focos F1(hc, k), F2(h+c, k) F1(h, kc), F2(h, k+c) F1(-c, 0), F2(c, 0) F1(0, -c), F2(0, c) Eje Mayor 2a 2a 2a 2a Eje Menor 2b 2b 2b 2b Eje Focal 2c 2c 2c 2c

Lado Recto LR = 22b

a LR =

22ba

LR = 22b

a LR =

22ba

Relacin del Tringulo a

2 = b2 + c2 a2 = b2 + c2 a2 = b2 + c2 a2 = b2 + c2

Excentricidad e = ca

e = ca

e = ca

e = ca

Ecuacin Estndar

) *22

ha

x ' + ) *2

2

kb

y ' = 1 ) *2

2

hb

x ' + ) *2

2

ka

y ' = 12

2ax +

2

2by = 1

2

2bx +

2

2ay = 1

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Ax2 + Cy2 + F = 0 Ax2 + Cy2 + F = 0 Ecuacin General A = b

2, C = a2, D = -2b2h, E = -2a2k,

F = b2h2+a2k2a2b2

A = a2, C = b2, D = -2a2h, E = -2b2k,

F = a2h2+b2k2a2b2A = b2, C = a2,

F = -a2b2A = a2, C = b2,

F = -a2b2

Identificacin Si el denominador de x2

es mayor que el de y2. Si el denominador de x2 es menor que el de y2.

Si el denominador de x2 es mayor que el de y2.

Si el denominador de x2 es menor que el de y2.


10

L A H I P R B O L A HIPRBOLAS CON C(h, k) HIPRBOLAS CON C(0, 0) ELEMENTOS H o r i z o n t a l Vertical H o r i z o n t a l Vertical

Centro C(h, k) C(h, k) C(0, 0) C(0, 0) Vrtices Transversos V1(ha, k), V2(h+a, k) V1(h, ka), V2(h, k+a) V1(-a, 0), V2(a, 0) V1(0, -a), V2(0, a) Vrtices Conjugados B1(h, kb), B2(h, k+b) B1(hb, k), B2(h+b, k) B1(0, -b), B2(0, b) B1(-b, 0), B2(b, 0)

Focos F1(hc, k), F2(h+c, k) F1(h, kc), F2(h, k+c) F1(-c, 0), F2(c, 0) F1(0, -c), F2(0, c) Eje Transverso 2a 2a 2a 2a Eje Conjugado 2b 2b 2b 2b

Eje Focal 2c 2c 2c 2c

Lado Recto LR = 22b

a LR =

22ba

LR = 22b

a LR =

22ba

Relacin del Tringulo c

2 = a2 + b2 c2 = a2 + b2 c2 = a2 + b2 c2 = a2 + b2

Excentricidad e = ca

e = ca

e = ca

e = ca

Asntotas y k = ba

(x h) y k = ab

(x h) y = ba

x y = ab

x

Ecuacin Estndar

) *22

ha

x ' ) *2

2

kb

y ' = 1 ) *2

2

ka

y ' ) *2

2

hb

x ' = 1 2

2ax

2

2by = 1

2

2ay

2

2bx = 1

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Ax2 + Cy2 + F = 0 Ax2 + Cy2 + F = 0 Ecuacin General A = b

2, C = -a2, D = -2b2h, E = 2a2k, F = b2h2a2k2a2b2

A = a2, C = -b2, D = -2a2h, E = 2b2k, F = a2h2b2k2+a2b2

A = b2, C = -a2, F = -a2b2

A = a2, C = -b2, F = a2b2

Identificacin Si el trmino de x2 es positivo y el de y2 es negativo.

Si el trmino de y2 es positivo y el de x2 es negativo.

Si el trmino de x2 es positivo y el de y2 es negativo.

Si el trmino de y2 es positivo y el de x2 esnegativo.

ELABORADO POR:

Antero M. Gutirrez Talamantes Acadmico de Tiempo Completo

Matemticas y Estadstica. Departamento de Tecnociencias

TABLA DE NGULOS ESPECIALESNGULOHIPOTENUSAGRADOSRADIANES

DESCRIPCIN

LEY DE SENOSPARA CALCULAR NGULOSPARA CALCULAR LADOSLEY DE COSENOSRELACIN ENTRE LOS NGULOSGRFICAS DE SENO Y COSENOVALORES CRTICOSIDENTIDADES TRIGONOMTRICAS

IDENTIDADES RECPROCASIDENTIDADES DE COCIENTESIDENTIDADES DE ARGUMENTOS NEGATIVOSIDENTIDADES PITAGRICASIDENTIDADES ADITIVASIDENTIDADES DE NGULOS DOBLES Y MEDIOSLEYES DE LOS EXPONENTES

EJEMPLOPROPIEDADES DE LOS LOGARITMOSDISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS, SEGMENTOS Y POLGONOSLA CIRCUNFERENCIA

ELEMENTOSCENTRO C(h, k)CENTRO C(0, 0)RadiorrEcuacin Estndar(x h)2 + (y k)2 = r2x2 + y2 = r2Ecuacin Generalx2 + y2 + F = 0F = -r2LA PARBOLAELEMENTOSPARBOLAS CON V(h, k)PARBOLAS CON V(0, 0)HorizontalVerticalHorizontalVerticalVrticeV(h, k)V(h, k)V(0, 0)V(0, 0)Parmetrop = =p = =p = =p = =FocoF(h + p, k)F(h, k + p)F(p, 0)F(0, p)Eje de Simetray = kx = hy = 0x = 0Directrizx = h py = k px = - py = - pLado RectoEcuacin EstndarEcuacin GeneralConcavidadLA ELIPSEELEMENTOSELIPSES CON C(h, k)ELIPSES CON C(0, 0)HorizontalVerticalHorizontalVerticalCentroC(h, k)C(h, k)C(0, 0)C(0, 0)Vrtices MayoresV1(ha, k), V2(h+a, k)V1(h, ka), V2(h, k+a)V1(-a, 0), V2(a, 0)V1(0, -a), V2(0, a)Vrtices MenoresB1(h, kb), B2(h, k+b)B1(hb, k), B2(h+b, k)B1(0, -b), B2(0, b)B1(-b, 0), B2(b, 0)FocosF1(hc, k), F2(h+c, k)F1(h, kc), F2(h, k+c)F1(-c, 0), F2(c, 0)F1(0, -c), F2(0, c)Eje Mayor2a2a2a2aEje MenorEje FocalLado RectoRelacin del Tringuloa2 = b2 + c2a2 = b2 + c2a2 = b2 + c2a2 = b2 + c2ExcentricidadEcuacin EstndarEcuacin GeneralIdentificacinLA HIPRBOLAELEMENTOSHIPRBOLAS CON C(h, k)HIPRBOLAS CON C(0, 0)HorizontalVerticalHorizontalVerticalCentroC(h, k)C(h, k)C(0, 0)C(0, 0)Vrtices TransversosV1(ha, k), V2(h+a, k)V1(h, ka), V2(h, k+a)V1(-a, 0), V2(a, 0)V1(0, -a), V2(0, a)Vrtices ConjugadosB1(h, kb), B2(h, k+b)B1(hb, k), B2(h+b, k)B1(0, -b), B2(0, b)B1(-b, 0), B2(b, 0)FocosF1(hc, k), F2(h+c, k)F1(h, kc), F2(h, k+c)F1(-c, 0), F2(c, 0)F1(0, -c), F2(0, c)Eje Transverso2a2a2a2aEje ConjugadoEje FocalLado RectoRelacin del Tringuloc2 = a2 + b2c2 = a2 + b2c2 = a2 + b2c2 = a2 + b2ExcentricidadAsntotasEcuacin EstndarEcuacin GeneralIdentificacin

fórmulas

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