formulario tratamiento digital de la señal

DTFT

X(ej!) =+!!

n="!x[n]e"jn! x[n] =

12!

" "

""X(ej!)ej!nd"

+!!

n="!x1[n]x#

2[n] =12!

" "

""X1(ej!)X#

2 (ej!)d"

Im[x[n]] = 0!" X(e"j!) = X#(ej!)

x[#n] = x#[n]!" Im[X(ej!)] = 0

Re[x[n]] = 0!" X(e"j!) = #X#(ej!)

x[#n] = #x#[n]!" Re[X(ej!)] = 0

Funci on Transformadaa1x[n] + a2y[n] a1X(ej!) + a2Y (ej!)(x $ y)[n] X(ej!)Y (ej!)x[n]y[n] 1

2"

# """ X(ej#)Y (ej(!"#))d#

x#[n] X#(e"j!)x[n# no] X(ej!)e"jno!

x[n]ejn!o X(ej(!"!o))n x[n] j d X(ej!)

d!

x[#n] X(e"j!)$[n] 1$[n# no] e"jno!

1$+!

k="! 2!$(" + 2!k)anu[n] (|a| < 1) 1

1"ae!j!

u[n] 11"e!j! +

$!k="! !$(" + 2!k)

(n + 1)anu[n] (|a| < 1) 1(1"ae!j!)2

rn sin !o(n+1)sin !o

u[n] (|r| < 1) 11"2r cos !oe!j!+r2e!j2!

sin !on"n

$k !

%!+2"k

2!o

&

x[n] ='

1 0 % n %M0 otro n

sin(!(M+1)/2)sin(!/2) e"j!M/2

ej!on$!

k="! 2!$(" # "o + 2!k)

F ormula de Poisson+!!

k="!ejk$t =

2!

%

+!!

k="!$

(t# k

2!

%

)

Desigualdad de Schwarz*****

" b

av(#)w#(#)d#

*****

2

%" b

a|v(#)|2d#

" b

a|w(#)|2d#

La igualdad se da si v(#) = K · w(#) con K constante.

Transformada Z unilateral

X(z) =+!!

n=0

x[n]z"n

x[n]&' Xu(z)

x[n + no]&' znoXu(z)# x[0]zno # · · ·# x[no # 1]z

x[n# no]&' z"noXu(z) + x[#1]z"no+1 + · · · + x[#no]

F ormula 1

ej" + 1 = 0

DFT

X [k] =N"1!

n=0

x[n]W knN x[n] =

1N

N"1!

k=0

X [k]W"knN

donde WN = e"j2"/N

N"1!

n=0

x[n]y#[n] =1N

N"1!

k=0

X [k]Y #[k]

Im[x[n]] = 0!" X [#n mod N ] = X#[k]x[#n mod N ] = x#[n]!" Im[X [k]] = 0

Re[x[n]] = 0!" X [#n mod N ] = #X#[k]x[#n mod N ] = #x#[n]!" Re[X [k]] = 0

Funci on Transformadaax[n] + by[n] aX [k] + bY [k]X [n] Nx[#k mod N ]x[(n#m) mod N ] W km

N X [k]W"ln

N x[n] X [(k # l) mod N ]$N"1m=0 x[m]y[(n#m) mod N ] X [k]Y [k]

x[n]y[n] 1N

$N"1l=0 X [l]Y [(k # l) mod N ]

x#[n] X#[#k mod N ]x#[#n mod N ] X#[k]

Transformada Z

X(z) =+!!

n="!x[n]z"n x(n) =

12!j

+

CX(z)zn"1dz

donde C es una curva antihoraria en la regi on de convergencia yque envuelve al origen.

Secuencia Transformada Z ROC

ax[n] + by[n] aX(z) + bY (z) contiene Rx (Ry

x[n# no] z"noX(z) Rx, quiz a ± 0 o)zn

o x[n] X(z/zo) |zo|Rx

nkx[n],#z d

dz

-kX(z) Rx, quiz a ± 0 o)

x#[n] X#(z#) Rx

x[#n] X(1/z) 1/Rx

(x $ y)[n] X(z)Y (z) contiene Rx (Ry

$[n] 1 *zanu[n] 1

1"az!1 |z| > |a|#anu[#n# 1] 1

1"az!1 |z| < |a|$[n# no] z"no *z excepto 0 o)cos(&on)u[n] 1"z!1 cos %o

1"2z!1 cos %o+z!2 |z| > 1sin(&on)u[n] z!1 sin %o

1"2z!1 cos %o+z!2 |z| > 1

Serie Geom etricaN2!

k=N1

%k =%N1 # %N2+1

1# %si N2 > N1 y % += 1

Hoja de f ormulas MPD/SISCOM ver 2.8 c! 2003 INSTITUTO DE INGENIER IA EL ECTRICA

Formulario TDSFormulario

Procesamiento Digital de Senales

MX

n=0

↵n =1� ↵M+1

1� ↵(1)

1X

n=0

↵n =1

1� ↵, |a| < 1 (2)

sen(A ± B) = sen(A) cos(B) ± cos(A) sen(B) (3)

cos(A ± B) = cos(A) cos(B)⌥ sen(A) sen(B) (4)

cos2(A) =1

2(1 + cos(2A)) (5)

sen2(A) =1

2(1� cos(2A)) (6)

sen(A) sen(B) =1

2(cos(A�B)� cos(A + B)) (7)

cos(A) cos(B) =1

2(cos(A�B) + cos(A + B)) (8)

sen(A) cos(B) =1

2(sen(A�B) + sen(A + B)) (9)

sen

✓A

2

◆=

r1

2(1� cos(A)) (10)

cos

✓A

2

◆=

r1

2(1 + cos(A)) (11)

ej! = cos(!) + j sen(!) (12)

cos(!) =ej! + e�j!

2(13)

sen(!) =ej! � e�j!

2j(14)

1

Formulario

Procesamiento Digital de Senales

MX

n=0

↵n =1� ↵M+1

1� ↵(1)

1X

n=0

↵n =1

1� ↵, |a| < 1 (2)

sen(A ± B) = sen(A) cos(B) ± cos(A) sen(B) (3)

cos(A ± B) = cos(A) cos(B)⌥ sen(A) sen(B) (4)

cos2(A) =1

2(1 + cos(2A)) (5)

sen2(A) =1

2(1� cos(2A)) (6)

sen(A) sen(B) =1

2(cos(A�B)� cos(A + B)) (7)

cos(A) cos(B) =1

2(cos(A�B) + cos(A + B)) (8)

sen(A) cos(B) =1

2(sen(A�B) + sen(A + B)) (9)

sen

✓A

2

◆=

r1

2(1� cos(A)) (10)

cos

✓A

2

◆=

r1

2(1 + cos(A)) (11)

ej! = cos(!) + j sen(!) (12)

cos(!) =ej! + e�j!

2(13)

sen(!) =ej! � e�j!

2j(14)

1

Serie de Fourierx(t) funci on peri odica, con per ıodo T

X [k] =1T

! to+T

to

x(t)e!jk 2!T tdt x(t) =

+""

k=!"X [k]ejk 2!

T t

para cualquier to.

1T

! to+T

to

x(t)y#(t)dt =""

k=!"X [k]Y #[k]

Im[x(t)] = 0!" X [#k] = X#[k]

x(#t) = x#(t)!" Im[X [k]] = 0

Re[x(t)] = 0!" X [#k] = #X#[k]

x(#t) = #x#(t)!" Re[X [k]] = 0

Funci on Transformadaax(t) + by(t) aX [k] + bY [k]f(t# !) e!j2!k"/T X [k]ej2!mt/T x(t) X [k #m]1T

# T0 x(t# !)y(!)d! X [k]Y [k]

x(t)y(t) X [k] $ Y [k]$n !

%t!nT

"

&"T sinc(k!/T )

Identidades trigonom etricasej# = cos " + j sin "

cos " = ej"+e!j"

2

sin " = ej"!e!j"

2j

cos " = sin(" + 90$)sin " = cos(" # 90$)sin2 " + cos2 " = 1cos2 " = 1/2(1 + cos 2")cos3 " = 1/4(3 cos" + cos 3")sin2 " = 1/2(1# cos 2")sin3 " = 1/4(3 sin " # sin 3")sin(# ± $) = sin # cos$ ± cos# sin $cos(# ± $) = cos# cos$ % sin# sin$

tan(# ± $) = tan $±tan %1%tan $ tan %

sin # sin $ = 1/2 cos(## $)# 1/2 cos(# + $)cos# cos$ = 1/2 cos(## $) + 1/2 cos(# + $)sin # cos$ = 1/2 sin(## $) + 1/2 sin(# + $)

Algunas funciones utiles

p(x) =1&

2%&2e!

(x!m)2

2#2 Distribuci on de Gauss

Q(k) =1&2%

! "

ke!&2/2d' Cola Gaussiana

sinc t =sin %t

%tSinc

sign t ='

1 t > 0#1 t < 0

Signo

u(t) ='

1 t > 00 t < 0

Escal on

!%

t"

&=

'1 |t| < "

2

0 |t| > "2

Rect angulo

"%

t"

&=

(1# |t|

" |t| < !0 |t| > !

Tri angulo

Transformada de Fourier

X(f) =! "

!"x(t)e!j2!ftdt x(t) =

! "

!"X(f)ej2!ftdf

! "

!"x(t)y#(t)dt =

! "

!"X(f)Y #(f)df

Im[x(t)] = 0!" X(f) = X#(f)

x(#t) = x#(t)!" Im[X(f)] = 0

Re[x(t)] = 0!" X(#f) = #X#(f)

x(#t) = #x#(t)!" Re[X(f)] = 0

Funci on Transformadaax(t) + by(t) aX(f) + bY (f)(x $ y)(t) X(f)Y (f)x(t)y(t) (X $ Y )(f)x#(t) X#(#f)X(t) x(#f)x(t# td) X(f)e!j2!ftd

x(t)ej'ct X(f # fc)x(t) cos((ct + )) X(f!fc)e

j$+X(f+fc)e!j$

2

x(#t) 1|$|X

)f$

*

dnx(t)dtn (j2%f)nX(f)# t!" x(')d' 1

j2!f X(f) + X(0)2 *(f)

tnx(t) (#j2%)!n dnX(f)dfn

*(t# td) e!j2!ftd

ej('ct+() ej(*(f # fc)e!!(at)2 1

ae!!(f/a)2

$"k=!" *(t# kT ) 1

T

$"k=!" *

%f # k

T

&

sign t 1j!f

u(t) 1j2!f + 1

2*(f)!

%t"

&! sinc f!

"%

t"

&! sinc2 f!

Cola Gaussiana

Cuando k > 3 la siguiente es una buena aproximaci on

Q(k) ' 1&2%k

e!k2/2


DTFT

X(ej!) =+!!


12!

" "

""X(ej!)ej!nd"

+!!

n="!x1[n]x#

2[n] =12!

" "

""X1(ej!)X#

2 (ej!)d"

Im[x[n]] = 0!" X(e"j!) = X#(ej!)

x[#n] = x#[n]!" Im[X(ej!)] = 0

Re[x[n]] = 0!" X(e"j!) = #X#(ej!)

x[#n] = #x#[n]!" Re[X(ej!)] = 0


2"

# """ X(ej#)Y (ej(!"#))d#



d!

x[#n] X(e"j!)$[n] 1$[n# no] e"jno!

1$+!

k="! 2!$(" + 2!k)anu[n] (|a| < 1) 1

1"ae!j!

u[n] 11"e!j! +

$!k="! !$(" + 2!k)

(n + 1)anu[n] (|a| < 1) 1(1"ae!j!)2


u[n] (|r| < 1) 11"2r cos !oe!j!+r2e!j2!

sin !on"n

$k !

%!+2"k

2!o

&

x[n] ='

1 0 % n %M0 otro n

sin(!(M+1)/2)sin(!/2) e"j!M/2

ej!on$!

k="! 2!$(" # "o + 2!k)


k="!ejk$t =

2!

%

+!!

k="!$

(t# k

2!

%

)


" b

av(#)w#(#)d#

*****

2

%" b

a|v(#)|2d#

" b

a|w(#)|2d#



X(z) =+!!

n=0

x[n]z"n

x[n]&' Xu(z)



F ormula 1

ej" + 1 = 0

DFT

X [k] =N"1!

n=0

x[n]W knN x[n] =

1N

N"1!

k=0

X [k]W"knN

donde WN = e"j2"/N

N"1!

n=0

x[n]y#[n] =1N

N"1!

k=0

X [k]Y #[k]




N X [k]W"ln


x[n]y[n] 1N

$N"1l=0 X [l]Y [(k # l) mod N ]


Transformada Z

X(z) =+!!

n="!x[n]z"n x(n) =

12!j

+

CX(z)zn"1dz






nkx[n],#z d

dz


x#[n] X#(z#) Rx

x[#n] X(1/z) 1/Rx


$[n] 1 *zanu[n] 1

1"az!1 |z| > |a|#anu[#n# 1] 1



1"2z!1 cos %o+z!2 |z| > 1


k=N1

%k =%N1 # %N2+1

1# %si N2 > N1 y % += 1


Cuadro 1: Transformada z de algunas funciones comunes

Senal x(n) Transformada z, X(z) ROC

�(n) 1 Plano z

u(n)1

1� z�1

|z| > 1

anu(n)1

1� az�1

|z| > |a|

nanu(n)az�1

(1� az�1)2

|z| > |a|

�(an)u(�n� 1)1

1� az�1

|z| < |a|

�n(an)u(�n� 1)az�1

(1� az�1)2

|z| < |a|

cos(!0

n)u(n)1� z�1 cos !

0

1� 2z�1 cos !0

+ z�2

|z| > 1

sen(!0

n)u(n)z�1 sen !

0

1� 2z�1 cos !0

+ z�2

|z| > 1

an cos(!0

n)u(n)1� az�1 cos !

0

1� 2az�1 cos !0

+ a2z�2

|z| > |a|

an sen(!0

n)u(n)az�1 sen !

0

1� 2az�1 cos !0

+ a2z�2

|z| > |a|

2

DTFT

X(ej!) =+!!


12!

" "

""X(ej!)ej!nd"

+!!

n="!x1[n]x#

2[n] =12!

" "

""X1(ej!)X#

2 (ej!)d"

Im[x[n]] = 0!" X(e"j!) = X#(ej!)

x[#n] = x#[n]!" Im[X(ej!)] = 0

Re[x[n]] = 0!" X(e"j!) = #X#(ej!)

x[#n] = #x#[n]!" Re[X(ej!)] = 0


2"

# """ X(ej#)Y (ej(!"#))d#



d!

x[#n] X(e"j!)$[n] 1$[n# no] e"jno!

1$+!

k="! 2!$(" + 2!k)anu[n] (|a| < 1) 1

1"ae!j!

u[n] 11"e!j! +

$!k="! !$(" + 2!k)

(n + 1)anu[n] (|a| < 1) 1(1"ae!j!)2


u[n] (|r| < 1) 11"2r cos !oe!j!+r2e!j2!

sin !on"n

$k !

%!+2"k

2!o

&

x[n] ='

1 0 % n %M0 otro n

sin(!(M+1)/2)sin(!/2) e"j!M/2

ej!on$!

k="! 2!$(" # "o + 2!k)


k="!ejk$t =

2!

%

+!!

k="!$

(t# k

2!

%

)


" b

av(#)w#(#)d#

*****

2

%" b

a|v(#)|2d#

" b

a|w(#)|2d#



X(z) =+!!

n=0

x[n]z"n

x[n]&' Xu(z)



F ormula 1

ej" + 1 = 0

DFT

X [k] =N"1!

n=0

x[n]W knN x[n] =

1N

N"1!

k=0

X [k]W"knN

donde WN = e"j2"/N

N"1!

n=0

x[n]y#[n] =1N

N"1!

k=0

X [k]Y #[k]




N X [k]W"ln


x[n]y[n] 1N

$N"1l=0 X [l]Y [(k # l) mod N ]


Transformada Z

X(z) =+!!

n="!x[n]z"n x(n) =

12!j

+

CX(z)zn"1dz






nkx[n],#z d

dz


x#[n] X#(z#) Rx

x[#n] X(1/z) 1/Rx


$[n] 1 *zanu[n] 1

1"az!1 |z| > |a|#anu[#n# 1] 1



1"2z!1 cos %o+z!2 |z| > 1


k=N1

%k =%N1 # %N2+1

1# %si N2 > N1 y % += 1


1

Cuadro 2: Propiedades de la transformada z

Propiedad Dominio n Dominio z ROC

Notacion x(n) X(z) ROC: r2

< |z| < r1

x1

(n) X1

(z) ROC1

x2

(n) X2

(z) ROC2

Linealidad a1

x1

(n) + a2

x2

(n) a1

X1

(z) + a2

X2

(z) por lo menos ROC1

\ROC2

Desplazamiento en n x(n� k) z�kX(z)como la de X(z) excepto z = 0 sik > 0 y z = 1 si k < 0

Escalado en z anx(n) X(a�1z) |a|r2

< |z| < |a|r1

Reflexion en n x(�n) X(z�1)1

r1

< |z| <1

r2

Conjugacion x(n) X(z) ROC

Parte real Re{x(n)} 1

2

⇥X(z) + X(z)

⇤ Incluye ROC

Parte imaginaria Im{x(n)} 1

2

⇥X(z)�X(z)

⇤ Incluye ROC

Derivacion en z nx(n) �zdX(z)

dzr2

< |z| < r1

Convolucion x1

(n) ⇤ x2

(n) X1

(z)X2

(z) Por lo menos ROC1

\ROC2

Correlacion rx1x2(n) = x

1

(n) ⇤ x2

(�n) Rx1x2 = X

1

(z)X2

(z�1)Por lo menos la interseccion deROC

1

y la de X2

(z�1)

Teorema del valor inicial Si x(n) es causal x(0) = lımz!1

X(z)

Multiplicacion x1

(n)x2

(n)1

2⇡j

I

C

X1

(v)X2

⇣z

v

⌘v�1 dv Por lo menos r

1l

r2l

< |z| < r1u

r2u

Relacion de Parseval1X

n=�1x

1

(n)x2

(n) =1

2⇡j

I

C

X1

(v)X2

✓1

v

◆v�1 dv

3

Cuadro 3: Propiedades de la DFT

Propiedad Dominio temporal Dominio frecuencial

Notacion x(n), y(n) X(k), Y (k)Periodicidad x(n) = x(n + N) X(k) = X(k + N)Linealidad a

1

x1

(n) + a2

x2

(n) a1

X1

(k) + a2

X2

(k)Reflexion temporal x(N � n) X(N � k)Desplazamiento temporal circular x((n� l))

N

X(k) e�j2⇡kl/N

Desplazamiento frecuencial circular x(n)ej2⇡ln/N X((k � l))N

Conjugacion compleja x(n) X(N � k)Convolucion circular x

1

(n) N� x2

(n) X1

(k)X2

(k)Correlacion circular x(n) N� y(�n) X(k)Y (k)Multiplicacion de dos secuencias x

1

(n)x2

(n) 1

N

X1

(k) N�X2

(k)

Teorema de ParsevalN�1X

n=0

x(n)y(n)1

N

N�1X

k=0

X(k)Y (k)

Cuadro 4: Simetrıas en filtros FIR de fase lineal

Simetrıa Simetrica h(n) = h(M � 1� n) Antisimetrica h(n) = �h(M � 1� n)

M par Hr

(0) = 2

M2 �1X

k=0

h(k) Hr

(0) = 0

no apto como filtro paso bajos

M impar Hr

(0) = h

✓M � 1

2

◆+ 2

M�32X

k=0

h(k) Hr

(0) = Hr

(⇡) = 0

no apto como filtro paso bajos o altos

Cuadro 5: Funciones utilizadas como ventanas.

Ventana h(n), 0 n M � 1 Ancho Pico lobulolobular lateral [dB]

Rectangular 1 4⇡/M �13

Bartlett (triangular) 1�2��n� M�1

2

��M � 1

8⇡/M �27

Hamming 0,54� 0,46 cos2⇡n

M � 18⇡/M �32

Hanning1

2

✓1� cos

2⇡n

M � 1

◆8⇡/M �43

4

Cuadro 3: Propiedades de la DFT

Propiedad Dominio temporal Dominio frecuencial

Notacion x(n), y(n) X(k), Y (k)Periodicidad x(n) = x(n + N) X(k) = X(k + N)Linealidad a

1

x1

(n) + a2

x2

(n) a1

X1

(k) + a2

X2

(k)Reflexion temporal x(N � n) X(N � k)Desplazamiento temporal circular x((n� l))

N

X(k) e�j2⇡kl/N

Desplazamiento frecuencial circular x(n)ej2⇡ln/N X((k � l))N

Conjugacion compleja x(n) X(N � k)Convolucion circular x

1

(n) N� x2

(n) X1

(k)X2

(k)Correlacion circular x(n) N� y(�n) X(k)Y (k)Multiplicacion de dos secuencias x

1

(n)x2

(n) 1

N

X1

(k) N�X2

(k)

Teorema de ParsevalN�1X

n=0

x(n)y(n)1

N

N�1X

k=0

X(k)Y (k)

Cuadro 4: Simetrıas en filtros FIR de fase lineal

Simetrıa Simetrica h(n) = h(M � 1� n) Antisimetrica h(n) = �h(M � 1� n)

M par Hr

(0) = 2

M2 �1X

k=0

h(k) Hr

(0) = 0

no apto como filtro paso bajos

M impar Hr

(0) = h

✓M � 1

2

◆+ 2

M�32X

k=0

h(k) Hr

(0) = Hr

(⇡) = 0

no apto como filtro paso bajos o altos

Cuadro 5: Funciones utilizadas como ventanas.

Ventana h(n), 0 n M � 1 Ancho Pico lobulolobular lateral [dB]

Rectangular 1 4⇡/M �13

Bartlett (triangular) 1�2��n� M�1

2

��M � 1

8⇡/M �27

Hamming 0,54� 0,46 cos2⇡n

M � 18⇡/M �32

Hanning1

2

✓1� cos

2⇡n

M � 1

◆8⇡/M �43

4

Diseño por Ventanas.

Tratamiento Digital de Señales GIET Marcelino Martínez Sober

Filtros FIR. ResumenVentanas:

3.27

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

3.4.4.- Comparación entre los distintos métodos de diseño.

MÉTODO DE LAS VENTANAS

• Históricamente, fue el primero en aparecer, los otros dos se desarrollaron en la década

de los ’70.

• No fija de manera adecuada las frecuencias críticas !p y !s ya que éstas dependen del

tipo de ventana y de la longitud seleccionada.

MUESTREO EN FRECUENCIA

• Controlamos perfectamente la anchura de la zona de transición, ya que es igual a 2"/N.

• Hay procedimientos rápidos para el cálculo de los coeficientes, bien basándose en la

FFT, bien con las ecuaciones propuestas anteriormente. Especialmente interesante si la

mayor parte de los puntos el módulo de la ganancia son cero o uno.

• Como inconveniente, se tiene un pobre control de la respuesta fuera de esos puntos y el

procedimiento puede convertirse en un esquema de prueba y error.

APROXIMACIÓN DE TCHEBYSHEV

• Permite un control total de las características del filtro en cuanto a frecuencias,

ganancias y longitud.

• No existe una forma fácil de optimizar el diseño respecto a la longitud del filtro,

aunque existen aproximaciones como la de Kaiser:

3.27





de los ’70.















Muestreo en Frecuencia:

Aproximación de TChebyshev:

3.27





de los ’70.















3.27





de los ’70.















Estimación del Orden. Aprox. Kaiser

lunes 5 de marzo de 12

Estimación del Orden Aproximación TchebyshebFiltros Equiripple.

2

Cuadro 7: Caracterısticas de Filtros Paso Bajo Analogicos

Filtro Funcion de Transferencia Caracterısticas

Butterworth(todo-polos)

|H(⌦)|2 =1

1 + (⌦/⌦C

)2N

⌦C

: frecuencia de corte

|H(⌦)| monotona en las bandas de pasoy rechazo.

Chebyshev,Tipo I (todo-polos)

|H(⌦)|2 =1

1 + ✏2T 2

N

⇣⌦

⌦P

⌘

TN

: polinomio de Chebyshev

T0

(x) = 1

T1

(x) = x

TN+1

(x) = 2xTN

(x)� TN�1

(x)

Rizado constante en la banda de paso ycaracterıstica monotona en la banda derechazo.

Chebyshev, Ti-po II (polos yceros)

|H(⌦)|2 =1

1 + ✏2

T

2N

“⌦S⌦P

”

T

2N

“⌦S⌦

”

�

TN

: polinomio de Chebyshev

Rizado constante en la banda de recha-zo y caracterıstica monotona en la ban-da de paso.

Elıpticoo Cauer (polosy ceros)

|H(⌦)|2 =1

1 + ✏2UN

⇣⌦

⌦P

⌘

UN

: funcion elıptica Jacobiana

de orden N

Rizado constante tanto en la banda depaso como en la de rechazo.

Bessel (todo-polos)

H(s) =1

BN

(s)

BN

(s): funciones de Bessel

B0

(s) = 1

B1

(s) = s + 1

BN

(s) = (2N � 1)BN�1

(s) + s2BN�2

(s)

Respuesta de fase lineal en la banda depaso (aunque se destruye en la conver-sion a digital).

6

Cuadro 8: Transformaciones de frecuencia para filtros analogicos.

Tipo de filtro Transformacion Nuevasdeseado frecuencias

de corte

Paso bajo s! ⌦P

⌦0P

s ⌦0P

Paso alto s! ⌦P

⌦0P

s⌦0

P

Paso banda s! ⌦P

s2 + ⌦l

⌦u

s(⌦u

� ⌦l

)⌦

u

, ⌦l

Supresor de banda s! ⌦P

s(⌦u

� ⌦l

)

s2 + ⌦l

⌦u

⌦u

, ⌦l

⌦P : frecuencia de corte del prototipo

⌦l: frecuencia de corte inferior

⌦u: frecuencia de corte superior

Cuadro 9: Transformaciones de frecuencia para filtros digitales.

Tipo de filtro Transformacion Constantes Nuevasdeseado frecuencias

de corte

Paso bajo z�1 ! z�1 � a

1� az�1

a =sen

„!P�!0P

2

«

sen

„!P +!0

P2

« !0P

Paso alto z�1 ! z�1 + a

1 + az�1

a =cos

„!P +!0P

2

«

cos

„!P�!0

P2

« !0P

Paso banda z�1 ! z�2 � a1

z�1 + a2

a2

z�2 � a1

z�1 + 1a

1

= �2↵ K

K+1

!u

, !l

a2

= K�1

K+1

↵ =cos(!u+!l

2 )cos(!u�!l

2 )K = cot !u�!l

2

tan !P2

Supresor z�1 ! z�2 � a1

z�1 + a2

a2

z�2 � a1

z�1 + 1a

1

= �2↵ 1

K+1

!u

, !l

de banda a2

= 1�K

1+K

↵ =cos(!u+!l

2 )cos(!u�!l

2 )K = tan !u�!l

2

tan !P2

!P : frecuencia de corte normalizada del prototipo

!l: frecuencia de corte normalizada inferior

!u: frecuencia de corte normalizada superior

7


Filtros Analógicos. Revisión

! "! "# $! "

1,...,1,0,:

/log2

1/1log

/1

1)(

2)12(

2

10

2

210

2

2

%&''(&

(('

%&

(()&(

)

NkeesPolos

NH

Nkjj

ck

cs

N

c

**

+

Filtros de Butterworth

•Respuesta plana en banda pasante y atenuada.

•Solo Polos.

•Respuesta monótona decreciente.

•Polos distribuidos en una circunferencia de radio unidad

10−2

10−1

100

101

102

−200

−150

−100

−50

0

Filtro de Butterworth !c=1

|H(!

)|(d

B)

Frecuencia

N=1N=2N=3N=4N=5

10−2

10−1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Filtro de Butterworth !c=1

|H(!

)|

Frecuencia

N=1N=2N=3N=4N=5


Estimación Orden Butterworth

Estimación Orden Tchebyshev



10−2

10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Filtro de Chebyshev I !c=1

|H(!

)|

Frecuencia

N=1N=2N=3N=4N=5

! " ! " ! "cs

cs

c

scNch

ch

NT

H##

$$%

&''(

)

*

+,

-./

01##2

##

++,

-

.

./

0

323121

455##32

4# 1

1

/

1

1/log

)1(11log

10/1

1)(

1

2

1

2

10

2

2

22

2

2

2

10

22

2 6776677

66

2

1 111 67 241

Filtros de Chebyshev I

8 Son filtros solo polos

8 Presentan rizado constante en la banda pasante

8Presentan una caída monotónica en la banda no pasante.

8Menor orden que Butterworth

TN(x), el polinomio de Tchebyshev que se define como:

! "! "9:

9;<

=3

534

1

1

1coshcosh

1coscos)(

1

1

xxN

xxNxT

N

TN+1(x)=23x3TN(x)-TN-1(x) con T0(x)=1 y T1(x)=x.

>TN(x)>51 ? @x@<1

TN(1)=1 ? N,

Todas las raíces de TN(x) están en xAB-1,+1CTodas las curvas pasan por

! "H

Tc

N

( )# #4 42 3

42

2

2 2 2

1

1 1

1

16 6




10−2

10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Filtro de Chebyshev I !c=1

|H(!

)|

Frecuencia

N=1N=2N=3N=4N=5

! " ! " ! "cs

cs

c

scNch

ch

NT

H##

$$%

&''(

)

*

+,

-./

01##2

##

++,

-

.

./

0

323121

455##32

4# 1

1

/

1

1/log

)1(11log

10/1

1)(

1

2

1

2

10

2

2

22

2

2

2

10

22

2 6776677

66

2

1 111 67 241

Filtros de Chebyshev I

8 Son filtros solo polos

8 Presentan rizado constante en la banda pasante

8Presentan una caída monotónica en la banda no pasante.

8Menor orden que Butterworth

TN(x), el polinomio de Tchebyshev que se define como:

! "! "9:

9;<

=3

534

1

1

1coshcosh

1coscos)(

1

1

xxN

xxNxT

N

TN+1(x)=23x3TN(x)-TN-1(x) con T0(x)=1 y T1(x)=x.

>TN(x)>51 ? @x@<1

TN(1)=1 ? N,

Todas las raíces de TN(x) están en xAB-1,+1CTodas las curvas pasan por

! "H

Tc

N

( )# #4 42 3

42

2

2 2 2

1

1 1

1

16 6



Transformaciones en frecuencia en el dominio Z

32


4.5.- Transformaciones en frecuencia.

Las transformaciones digitales son:

P. Baja ! P. Baja

"’ nueva frecuencia de

corte

P. Baja ! P. Alta

"’ nueva frecuencia de

corte

P. Baja ! P. Banda

"l frecuencia inferior de la

banda

"u frecuencia superior de la

banda

" frecuencia de corte del

filtro pasa-baja

P. Baja ! Elimina Banda

"l frecuencia inferior de la

banda

"u frecuencia superior de la

banda

" frecuencia de corte del

Si aplicamos la transformación Bilineal a las Transformaciones en frecuencia analógicas obtenemos las T. en Frecuencia en el dominio Z.


Transf. en frecuencia digitales

3


Estructuras en celosía. (lattice)

!!

!

!!

!

!!

!!

+=

+=

=

=

"#"

!+=

!+=

=

=

=

=

!!

=!

!!=

== $$

!!

! +=

!!=

==

Obtenemos los coeficientes de reflexión

Recursión “Descendente”

Calculamos Am(z) y finalmente AM(z)=H(z)

Recursión “Ascendente”



Estructuras en celosía. (lattice-ladder)

1º consideramos que es una celosía todo-polos y calculamos los coeficientes de reflexión.2º Calculamos los coeficientes de la “escalera”, vm utilizando CM(z)

CELOSíA IIR con ceros y polos

H (z) =cM (k) ⋅ z

−k

k=0

M

∑

1+ aN (k) ⋅ z−k

k=1

N

∑=CM (z)AN (z) Cm−1(z) = Cm (z) − vmBm (z) siendo vm = cm (m)

La salida total del sistema se puede obtener como una combinación lineal de las salidas del sistema todo ceros (ver Proakis).

lunes 5 de marzo de 12 Tratamiento Digital de Señales GIET Marcelino Martínez Sober




H (z) =cM (k) ⋅ z

−k

k=0

M

∑

1+ aN (k) ⋅ z−k

k=1

N








H (z) =cM (k) ⋅ z

−k

k=0

M

∑

1+ aN (k) ⋅ z−k

k=1

N




Desc. Celosía


Estructuras en celosía. (lattice)CELOSíA IIR todo polos

H (z) = 1

1+ αN (k)z−k

k=1

N

∑=

1AN (z)

y(n) = − αN (k)y(n − k)k=1

N

∑ + x(n)

si intercambiamos y(n) y x(n)tenemos un sistema FIR y podemos calcular Km.

y(n) = x(n) + αN (k)x(n − k)k=1

N

∑

x(n) = fN (n)fm−1(n) = fm (n) − kmgm−1(n −1)gm (n) = km fm−1(n) + gm−1(n −1)y(n) = f0 (n) = g0 (n)

Ecuaciones de recurrencia

Si |Km|<1 El sistema es ESTABLE

•

•

!<

="+

"=

=

#

=

#

=

=$==



Estructuras en celosía. (lattice)✓Presentan una gran robustez numérica.✓Modularidad para la implementación.✓Constituyen un método para determinar la estabilidad de un sistema IIR (Schur-Cohn Test)✓Se trata de estructuras no DIRECTAS✓Distinguimos 3 casos: Sistemas MA(FIR), AR(IIR solo polos), ARMA(IIR con ceros y polos)

CELOSíA FIR

Estructura multietapa

Etapa genérica

Definimos el conjunto de filtros:

Dado H (z) = h(k)z−kk=0

M

∑

Am (z) = αm (k)z−k

m ≥ 1αm (0) = 1αm (m) = Km

k=0

m

∑

H (z) = AM (z)

Km= COEFICIENTES DE REFLEXIÓN

¿ C ó m o o b t e n e r l o s coeficientes de reflexión a partir de H(z) ?

f0 (n) = g0 (n) = x(n)fm (n) = fm−1(n) + kmgm−1(n −1)gm (n) = km fm−1(n) + gm−1(n −1)fM (n) = y(n)

Ecuaciones de recurrencia


CELOSIA IIR Todo Polos

CELOSIA IIR ceros y polos

4

formulario tratamiento digital de la señal

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