formulario fourier unitec
TRANSCRIPT
SERIES DE FOURIER
TRIGONOMETRICA EXPONENCIAL O COMPLEJA
( ) ( ) ( )0 0 01
cos senn nn
f t a a n t b n tω ω∞
=
= + +⎡ ⎤⎣ ⎦∑
( ) ( )0
00
2 cost T
nt
a f t n t dtT
ω+
= ∫
( ) ( )0
00
2 sent T
nt
b f t n t dtT
ω+
= ∫
( )0
00
1 t T
t
a f t dtT
+
= ∫ ; 00
2Tπω =
( ) 0e jn tn
nf t C ω
∞
=−∞
= ∑
( )00
0
1 et T jn t
n tC f t dt
Tω+
= ∫
Módulo: { } { }2 2Re Imn n nC C C= +
Fase: { }{ }
Imarctan
Ren
n
CC
θ =
TRANSFORMADA DE FOURIER D E F I N I C I O N
DIRECTA: ( ) ( )e j tF f t dtωω∞
−∞= ∫
INVERSA: ( ) ( )1 e2
j tf t F dωω ωπ
∞ −
−∞= ∫
P R O P I E D A D E S
Linealidad: Si ( ) ( )1 1f t F ω↔ Y ( ) ( )2 2f t F ω↔
⇒ ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2f t f t F Fω ω+ ↔ +
Desplazamiento en tiempo:
Si ( ) ( )f t F ω↔
⇒ ( ) ( )e jaf t a F ωω ±± ↔ siendo a∈ .
Diferenciación en tiempo:
Si ( ) ( )f t F ω↔
⇒ ( ) ( ) ( )
nn
n
d f tj F
dtω ω↔
Escalamiento:
Si ( ) ( )f t F ω↔
⇒ ( ) 1f at Fa a
ω⎛ ⎞↔ ⎜ ⎟⎝ ⎠
siendo a∈ .
Simetría: Si ( ) ( )f t F ω↔
⇒ ( ) ( )2F t fπ ω↔ −
Desplazamiento en frecuencia:
Si ( ) ( )f t F ω↔
⇒ ( ) ( )e jatf t F aω↔ ±∓ siendo a∈ .
Diferenciación en frecuencia:
Si ( ) ( )f t F ω↔
⇒ ( ) ( ) ( )nn
n
d Fjt f t
dω
ω− ↔
Modulación:
Si ( ) ( )f t F ω↔
⇒ ( ) ( ) ( ) ( )10 0 02cosf t t F Fω ω ω ω ω↔ + + −⎡ ⎤⎣ ⎦
Y ( ) ( ) ( ) ( )0 0 02sen jf t t F Fω ω ω ω ω↔ + − −⎡ ⎤⎣ ⎦
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS:
( ) ( ) ( )sen 2 2sen cosA A A=
( ) ( ) ( )2 2cos 2 cos senA A A= −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )sen sen cos cos senA B A B A B± = ±
( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cos cos sen senA B A B A B± = ∓
( ) ( )2 12sen 1 cos 2A A= −⎡ ⎤⎣ ⎦
( ) ( )2 12cos 1 cos 2A A= +⎡ ⎤⎣ ⎦
( ) ( )e cos senjA A j A± = ±
( ) ( ) ( ) ( )12sen sen cos cosA B A B A B= − − +⎡ ⎤⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( )12cos cos cos cosA B A B A B= − + +⎡ ⎤⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( )12sen cos sen senA B A B A B= − + +⎡ ⎤⎣ ⎦
( ) e ecos2
jA jA
A−+
=
( ) e esen2
jA jA
Aj
−−=
( )cos 2 1n nπ = ∀
( )sen 0n nπ = ∀
( ) ( )cos 1 nn nπ = − ∀
TABLA DE INTEGRALES:
a dt at=∫
111
n nt dt tn
+=+∫
1e eat atadt =∫
( ) ( )1sen cosaat dt at= −∫
( ) ( )1cos senaat dt at=∫
lndt tt
=∫
( )ln lnt dt t t t= −∫
( ) ( ) ( )( )
( )( )
sen sensen sen
2 2a b t a b t
at bt dta b a b− +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= −− +∫
( ) ( ) ( )( )
( )( )
sen sencos cos
2 2a b t a b t
at bt dta b a b− +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= +− +∫
( ) ( ) ( )( )
( )( )
cos cossen cos
2 2a b t a b t
at bt dta b a b− +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= − −− +∫
( ) ( ) ( )2 2
ee sen sen cosat
at bt dt a bt b bta b
= −⎡ ⎤⎣ ⎦+∫
( ) ( ) ( )2 2
ee cos cos senat
at bt dt a bt b bta b
= +⎡ ⎤⎣ ⎦+∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 1cos sen cost a bt dt t a bt btb b
± = ± +∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 1sen cos sent a bt dt t a bt btb b
± = ± −∫
( ) ( ) 2
1 1e e ebt bt btt a dt t ab b
± = ± −∫