UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS

Dirección Universitaria de Educación a Distancia

Prof. Agustín Jesús Calla Salcedo Página 1

Matemática III

Facultad de Ingenierías y Arquitectura

Escuela Profesional de Ingeniería Ambiental

Matemática III

Lic. Mat. Agustín Jesús Calla Salcedo

Semestre académico 2013 – I

Semana 6 Ayuda 2

PROPIEDADES BÁSICAS DE LA

TRANSFORMADA DE LAPLACE

La transformada de Laplace tiene su origen en las limitaciones de la transformada de Fourier (T.F.), de la cual

es un caso particular. Ambas transformaciones tienen en esencia las mismas propiedades, pero la T.F. tiene un

conjunto muy limitado de funciones sobre las cuales puede ser aplicada directamente, pues sus condiciones de

existencia son muy restrictivas.

No es recomendable usar la definición cada vez que queramos calcular la transformada de Laplace de una

función. Por esto a continuación presentamos dos teoremas que permiten ahorrar trabajo a la vez que nos

permite construir una lista más extensa de transformada sin que sea necesario recurrir a la definición.

1. es un operador lineal

Teorema 1.

Dados dos funciones y cuyas transformadas de Laplace existen para y una constante real arbitraria.

Se cumple las dos propiedades siguientes:

a.

b.

Observación 1.

i. La demostración es inmediata y se basa en utilizar las propiedades lineales de la integración.

ii. Según el teorema 1, entonces se cumple que

Para todo .

Ejemplo 1.

Calcular

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS

Dirección Universitaria de Educación a Distancia

Prof. Agustín Jesús Calla Salcedo Página 2

Matemática III

Aplicando las propiedades lineales de , para tenemos

2. Propiedad de translación

Teorema 2.

Supongamos que es una función tal que existe para y además

Entonces si es cualquier número real, se cumple que para

Observación 2.

Por consiguiente, si ya conocemos podemos calcular sin más que trasladar, o

cambiar, por .

Ejemplo 2.

Calcular

Según el ejemplo 8 de la ayuda anterior, para tenemos

De aquí, por el teorema 2, obtenemos

Para

Ejemplo 3.

Calcular

Según el ejemplo 9 de la ayuda anterior, para tenemos

De donde, por el teorema 2, se tiene

Para